Calcul Apunts Jmaroca 1

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    08-Nov-2015
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apuntes de calculo muy buenos

Transcript of Calcul Apunts Jmaroca 1

  • CA`LCUL INFINITESIMAL

    Notes de Classe

    J. M. Aroca

    Departament de Matema`tica Aplicada IV,

    Universitat Polite`cnica de Catalunya

    e-mail:[email protected]

    http://www-ma4.upc.edu/~aroca

    Febrer de 2014

  • Index

    Notacio i bibliografia 7

    I Fonaments: conjunts nume`rics i successions 9

    1 Me`todes de demostracio 10

    1.1 Lo`gica, axiomes i teoremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2 Demostracio directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Demostracio per contrarecproc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4 Demostracio per reduccio a labsurd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.5 Demostracio per induccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Conjunts 14

    2.1 Conjunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2 Operacions entre conjunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.3 Producte cartesia` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Relacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.5 Relacions dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.6 Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.7 Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3 Conjunts nume`rics 18

    3.1 Els nombres naturals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.2 Els nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.3 Els nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4 El cos dels nombres reals 22

    4.1 Estructura de cos ordenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.1.1 Estructura de cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.1.2 Relacio dordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.2 Propietats dun cos ordenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.2.1 Valor absolut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    1

  • 4.2.2 Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.2.3 Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.3 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    4.4 Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.1 Lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.2 Successions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4.4.3 Proposicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.5 Intervals encaixats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6 Definicio axioma`tica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6.1 Propietat arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.6.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.6.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.7 Subsuccessions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.7.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.7.2 Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.8 Representacio decimal dels nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4.9 Numerabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    5 Ca`lcul de lmits de successions 31

    5.1 Propietats del lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    5.2 Lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5.3 A`lgebra de lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    5.4 Resolucio dindeterminacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5.4.1 Expressions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5.4.2 Resta darrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    5.4.3 Indeterminacio 1. El nombre e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    5.4.4 Un lmit trigonome`tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5.4.5 Criteri dStolz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.4.6 Mitjanes aritme`tiques i geome`triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.4.7 Arrel n-e`sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    5.4.8 Successions recurrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    6 Nombres complexos 39

    6.1 El cos dels nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    6.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.3 Conjugacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.4 Mo`dul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2

  • 6.5 Representacio geome`trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    6.6 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    6.7 Pote`ncies i arrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    6.8 Formules dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    6.9 Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6.10 Arrels de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6.11 Teorema fonamental de la`lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    6.12 Factoritzacio de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    II Funcions reals. Ca`lcul duna variable 48

    7 Funcions a R 49

    7.1 Funcio real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.2 Domini duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7.3 Funcions injectives, exhaustives i bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    7.4 Funcio inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    7.5 Gra`fica duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.6 Funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    7.7 Altres funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7.8 Operacions entre funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7.9 Simetries duna funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    8 Lmit i continutat de funcions 58

    8.1 Definicio de lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.2 Teorema (lmit per successions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.3 Lmits infinits i en linfinit. Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8.4 Propietats del lmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    8.5 Lmits laterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.6 Teorema dels lmits laterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.7 A`lgebra de lmits infinits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    8.8 Resolucio dindeterminacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8.8.1 Expressions racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    8.8.2 Resta darrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    8.8.3 Resta de logaritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    8.8.4 Indeterminacio 1. El nombre e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.9 Continutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.10 Teorema (caracteritzacio de la continutat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    8.11 Tipus de discontinutat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    8.12 Propietats de les funcions contnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3

  • 8.13 Continutat de les funcions elementals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    8.14 Fites,