Caderno Exercicios 7º Ano

CADERNO DE ATIVIDADES

MATEMTICA7. ANO

Ftima Cerqueira Magro Fernando Fidalgo Pedro Louano

De ac

ordo

com

Met

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ovo P

rogr

ama d

e 201

3

NOVAEDIO

NmerosResumir 4Praticar 8

1. Multiplicao e diviso de nmeros racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 212. Propriedades da adio e multiplicao de nmeros

racionais relativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 73. Potncias de base racional e expoente natural 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 204. Quadrados perfeitos e raiz quadrada 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 355. Cubos perfeitos e raiz cbica 22, 23, 24, 26, 32, 34

Testar 14

FunesResumir 16Praticar 18

1. Referencial cartesiano2.1 Correspondncias e funes 12.2 Modos de representar correspondncias 1, 8, 9, 252.3 Anlise de algumas correspondncias 1, 7, 313. Funes 2, 3, 15, 17, 18, 194. Operaes com funes 45. Funo am 5, 14, 20, 25, 306. Proporcionalidade direta como funo 6, 7, 9, 11, 13, 21, 29, 30, 31, 337. Interpretao de grcos 10, 13, 16, 21, 22, 26, 27, 28

Testar 34

Sequncias e regularidadesResumir 36Praticar 38

1. Sequncias 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 131.1 Grco de uma sequncia numrica2. Sucesses 3, 4, 8

Testar 44

Figuras geomtricasResumir 46Praticar 48

1. Demonstraes 19, 30, 322. Linha poligonal e polgono 1, 2, 33. ngulos internos e externos de um polgono 6, 11, 13, 17, 21, 22, 26, 284.1 Algumas propriedades dos paralelogramos 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18,

20, 23, 304.2 reas de alguns quadrilteros 26, 27, 29, 32

Testar 58

UNIDADE 4

UNIDADE 3

UNIDADE 2

UNIDADE 1 Atividades Pgina

NDICE

Tratamento de dadosResumir 60Praticar 62

1.1 Mdia e moda 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 131.2 Mediana 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11

Testar 70

EquaesResumir 72Praticar 74

1. Noo de equao 6, 12, 15, 20, 26, 29, 342. Raiz ou soluo de uma equao 1, 3, 4, 19, 223. Equaes equivalentes 194. Adio de termos semelhantes 255. Princpios de equivalncia de equaes 2, 3, 4, 25, 266. Classicao de equaes 19, 20, 337. Equaes lineares a uma incgnita 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 338. Resoluo de problemas com equaes 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32Testar 84

Figuras semelhantesResumir 86Praticar 88

1. Comparao entre segmentos de reta 1 (Testar)2. Segmentos de reta comensurveis3. Segmentos de reta proporcionais4. Decomposio de um tringulo5. Teorema de Tales 15, 6 (Testar)6. Figuras semelhantes 1, 4, 77. Semelhana de tringulos 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 27, 29

30, 31, 32, 34, 35, 37, 388. Semelhana de polgonos 8, 9, 16, 17, 18, 19, 24, 289. Crculos semelhantes 2210. Como dividir um segmento de reta?11. Homotetias 4, 2112. Permetros e reas de guras semelhantes 22, 23, 25, 3713. Determinao de distncias aplicando semelhanas 12, 27, 28, 31, 33, 36, 3814. Incomensurveis

Testar 102

Provas globais 104Prova global 1 106Prova global 2 108Prova global 3 110

Solues disponveis em: www.pi7.asa.pt

UNIDADE 7

UNIDADE 6

UNIDADE 5 Atividades Pgina

Multiplicao e diviso de nmeros racionais relativos

Para multiplicar nmeros racionais positivos representados por fraes, multiplicam-se os numeradores e os de-nominadores das fraes.

Exemplo:

= = 25

113

2 115 3

2215

4

Resumir

Unidade 1 Nmeros

O simtrico da diferena entre dois nmeros racionais igual soma dos simtricos, ou seja, para quaisquer qe r nmeros racionais, (q r) = (q) + r.

Exemplo:

(4 ) = (4) + 75 75

Exemplo:

: = = = 37

112

3314

211

37

3 117 2

Exemplo:

( + 3) = ( ) + (3) 25 25

Exemplo:

(5) = ( ) 5 = ( 5)23 2323

Para dividir nmeros racionais representados por fraes, basta multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.

Operaes com nmeros racionais relativos

O simtrico da soma de dois nmeros racionais igual soma dos simtricos, ou seja, para quaisquer q e r n-meros racionais, (q + r) = (q) + (r).

Para quaisquer nmeros racionais q e n, n (q) = (q) n = (n q).

O produto de dois quaisquer nmeros racionais o nmero racional cujo valor absoluto igual ao produto dosvalores absolutos dos fatores, sendo o sinal deste produto positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e ne-gativo no caso contrrio.

Exemplos:

1. ( ) = 2. 5 ( ) = 23 15 215 27 107

5Propriedades da adio e da multiplicao de nmeros racionais

Exemplo:

= = 8

585

85

Para quaisquer nmeros racionais q e r, = = .qr

qr

qr

Exemplos:

1. : ( ) = 5 = 2. 11 : = (11 ) = 213 53 21115 13 112

Existncia deelemento neutro

Propriedade associativa

Propriedade comutativa

Propriedadesda adio

Sendo a um qualquernmero racional:a + 0 = 0 + a = a

Para quaisquer nmerosracionais a, b e c:

a + (b + c) = (a + b) + c

Para quaisquer nmeros racionais a e b:

a + b = b + a

Exemplo:

+ 0 = 0 + = 115

115

115

Exemplo:

( ) + = + ( + ) = 25 15 23 25 15237

15

Exemplo:

3 + ( ) = ( ) + 3 = + = 25 25 25 155135

Exemplos:

1. 0 : (3) = 0 2. 0 : 1,8 = 0 3. 0 : = 0 4. 0 : ( ) = 0 53 67

O quociente entre um nmero racional e um nmero racional diferente de zero o nmero racional cujo valor ab-soluto igual ao quociente entre os valores absolutos, sendo o sinal desse quociente positivo se os nmeros ti-verem o mesmo sinal e negativo no caso contrrio.

O quociente entre zero e um qualquer nmero racional diferente de zero, igual a zero.

Quadro-resumo

(+) (+) = (+)

(+) () = ()

() (+) = ()

() () = (+)

(+) : (+) = (+)

(+) : () = ()

() : (+) = ()

() : () = (+)

0 : (+) = 0

0 : () = 0

() : 0 impossvel

(+) : 0 impossvel

Multiplicao Diviso

6Resumir

Unidade 1 Nmeros

Quadro-resumo:

par mpar

+ +sinal da potncia

positiva (+) base

Expoente par mpar

+

negativa ()

Potncias

Sejam a e b nmeros racionais e m e n nmeros naturais. an am = an + m an bn = (a b)n an : am = an m, n > m, a 0 an : bn = (a : b)n, b 0

Existncia deelemento inverso

Existncia deelemento absorvente

Existncia deelemento neutro

Propriedade associativa

Propriedade comutativa

Propriedadesda

multiplicaoSendo a 0 um qualquer

nmero racional, o seu

inverso igual a 1a

Sendo a um qualquernmero racional:a 0 = 0 a = a

Sendo a um qualquernmero racional:a 1 = 1 a = a


a (b c) = (a b) c

Para quaisquer nmeros racionais a e b:

a b = b a

Exemplo:

O inverso de 1 : ( ) == 1 ( ) =

27

27

72

72

Propriedade distributiva em

relao adio


a (b + c) = a b + a c

Exemplo:

( + ) = + == + = + =

32

75

32

1520

2920

12

12

12

75

34

710

1420

Propriedade distributiva em

relao subtrao


a (b c) = a b a c

Exemplo:

( ) = + ( ) == = =

32

75

710

1520

120

12

75

12

32

12

34

1420

Exemplo:

0 = 0 ( ) = 037 37

Exemplo:

1 = 1 = 25

25

25

Exemplo:

(3 ) = 3 ( ) = 27 45 27 243545

Exemplo:

( ) = ( ) = 37 25 256

3537

Exemplo: 3 = 327364

2764

7

Quadrados perfeitos e razes quadradas

Chama-se quadrado perfeito a um nmero que quadrado de um nmero inteiro positivo.

A raiz quadrada de um nmero a (no negativo) um nmero b (no negativo) tal que b2 = b b = a e repre-senta-se por a ou 2a.

Sejam m e n quocientes de quadrados perfeitos. Ento, m n e , n 0, tambm so quocientes de quadra-dos perfeitos.

mn

Sejam q e r dois nmeros racionais positivos. Ento, q r = q r.

Sejam q e r dois nmeros racionais positivos com r 0. Ento, = .qr

qr

Cubos perfeitos e razes cbicas

Chama-se cubo perfeito a um nmero que cubo de um nmero inteiro positivo.

Exemplo: 25 um quadrado perfeito porque 25 = 52.

Exemplo: 64 = 8, porque 82 = 64.

Exemplo: 36 = 4 9 = 4 9

Exemplo: = 2549

2549

Exemplos:

1. = = = 2. : = : = = = 169

14

42

3212

22(4 1)2(3 2)2

42

62169

14

42

3212

2242

3222

1282

32(4 2)2(3 1)2

Exemplo: 27 um cubo perfeito porque 27 = 33.

A raiz cbica de um nmero a um nmero b tal que b3 = b b b = a e representa-se por 3a.Exemplo: 364 = 4, porque 43 = 64.

Sejam m e n quocientes(ou simtricos de quocientes) de cubos perfeitos. Ento, m n e , n 0, tambm soquocientes de cubos perfeitos.

mn

Exemplos:

1. = = = 2. : = = = = 827

1125

23

3313

53(2 1)3(3 5)3

23

1531

3438

27(1 3)3(7 2)3

33

1431

343278

13

7333

23

Sejam q e r dois quocientes ou simtricos de quocientes de cubos perfeitos. Ento, 3q r = 3q 3r.

Sejam q e r dois quocientes ou simtricos de quocientes de cubos perfeitos. Ento, 3 = , para r 0.3q3r

qr

Exemplo: 38 27 = 38 327

Sejam q e r dois quocientes ou simtricos de quocientes de cubos. Ento, 3 q = 3q.

Exemplo: 38 = 38

8Praticar

Unidade 1 Nmeros

1 Completa as duas tabelas seguintes.

2 Calcula o valor de cada uma das seguintes expresses numricas.

2.1 (3) (+ ) = _________________2.3 (+2) (+ ) = _________________2.5 ( ) ( )= _______________2.7 ( + 2) (0,7) = ____________2.9 (0,2 ) + (7 + ) = _______

_________________________________

2.2 ( ) ( ) = _________________________2.4 (+ ) ( ) = _________________________2.6 ( ) (+ ) 0,3 = ___________________2.8 (+5) (+4 2 ) = ______________________2.10 (2) ( + ) ( ) = _________

__________________________________________

45

72

207

39

57

54

43

53

34

63

87

23

52

15

34

810

52

35

3 Completa o esquema sabendo que em cada retngulo se escreve o produto dos dois nmeros que estoimediatamente por baixo dele.

4 Completa a tabela, identicando a propriedade da multiplicao que permite escrever cada uma dasigualdades.

+2 2 2 1

+

+8

0,7

0,6

2

1

(7) = (7)52

52

( ) (3) = ( ) ( (3))27 95 27 95

PropriedadeIgualdade

2

0

+2 0,3 4 2:

+4

+

12

0

43

85

35

13

13

(2) ( + ( )) = (2) ( ) + (2) ( )45 611 45 611

96 Completa os espaos com um nmero inteiro de forma a tornar verdadeiras as igualdades.

7 Completa a tabela, indicando, em cada caso, os valores de a, b e c que tornam as igualdades verdadeiras.

8 Faz corresponder cada expresso da coluna da esquerda a uma expresso da coluna da direita, de modoque cada uma das expresses que associada a outra com o mesmo valor.

9 Completa cada uma das seguintes frases de modo a obteres armaes verdadeiras. Para isso, utilizaos termos: mpar/positivo/quadrado perfeito/par/ cubo perfeito/zero.

6.1 3 _____ =

6.3 _____ : ( ) = +16.5 ( + 3) _____ = 36

6.2 : _____ = +15

6.4 _____ : ( ) = 26.6 _____ : (14 (1)) = 3

97

307

152

153

16

35

9.1 Uma potncia de base positiva sempre um nmero _________________________.9.2 Uma potncia de base zero e expoente diferente de zero sempre _________________________.9.3 Uma potncia de base negativa e expoente _________________________ um nmero positivo.9.4 Uma potncia de base negativa e expoente _________________________ um nmero negativo.9.5 Um nmero que quadrado de um nmero inteiro diz-se um _________________________.9.6 Um nmero que cubo de um nmero inteiro positivo diz-se um _________________________.

5 Calcula o valor de cada uma das seguintes expresses numricas, utilizando, sempre que possvel, a pro-priedade distributiva da multiplicao.

5.1 ( + 5) 5.2 ( + 6 ) 5.3 ( + )+ (4) ( ) 5.4 ( )2(22 )+ (1)7 + 23 35 87 52 32 53 35 73 32 57 72

a b c

a b = 1,5

c b (4) =

a : c = 2b

(a : b) c =

Expresso

(2)2 + (1)5 l

: (1,5) (1)200 l

(2)2 l

16 : (4) ( ) l

92

15

l (3)2 (22 3)

l

l 16 (1) 13

l ( )2 : ( )2

22

5

165

85

32

307

13 Uma potncia de base negativa : (Escolhe a opo correta.)

[A] sempre positiva.

[B] sempre negativa.

[C] positiva se o expoente for um nmero par.

[D] negativa se o expoente for um nmero par.

10

Praticar

Unidade 1 Nmeros

14 Considera as potncias ax e ay, de expoente inteiro, sendo a um nmero inteiro positivo.

Se x y = 3 , ento igual a: (Escolhe a opo correta.)

[A] a3 [B] a [C] 1 [D] 0

ax

ay

15 Qual das armaes seguintes verdadeira?

[A] 1,4 > [B] (1)207 = 207 [C] 120 = +1 [D] (7)4 = 7412

16 Escreve em linguagem matemtica e calcula:

16.1 a soma de 2 com o dobro de ;

16.2 o produto da soma de + com pelo triplo de 7;

16.3 o triplo do quadrado de ;

16.4 a soma do cubo de com o quadrado de + ;

16.5 o quadrado da soma de com o dobro do seu simtrico.

32

35

54

15

54

72

57

10 Escreve como uma potncia de expoente 2. Explica como procedeste.6425

11 Escreve 64 como uma potncia de base 2. Explica como procedeste.

12 Uma potncia de expoente mpar e base positiva sempre: (Escolhe a opo correta.)

[A] negativa [B] positiva [C] maior do que 1 [D] menor do que 1

11

19 Considera um nmero racional a.19.1 Mostra que o simtrico de a 1 1 a.

19.2 Calcula cada um dos nmeros referidos na alnea anterior no caso de a = 3.

Caderno de Apoio s Metas Curriculares do Ensino Bsico

20 Sabendo que x = ( + ), y = 2 ( )2 e w = 3 ( ), determina o valor de cada umadas seguintes expresses.

20.1 x + y + w

20.2 x y + w

20.3 x2 (y w)2

23

52

25

23

15

52

21 Dentro de um saco esto quatro cartes de igual textura e formato. Em cada um deles est escrito um dosnmeros +1, 1, 2 e +2. Num outro saco esto tambm quatro cartes de igual textura e formato, mastodos com o nmero 3 escrito.

17 A expresso ( )2 igual a: (Escolhe a opo correta.)[A] ( )2 ( )2 [B] ( )2 + ( )2 [C] [D] +

32

45

32

45

32

45

2310

2310

18 Utiliza um dos smbolos >, < ou = para completar os espaos, tornando as armaes verdadeiras.

18.1 ( )3 _____ ( )2 18.2 1,5 _____ ( )5 18.3 030 _____ ( )301

18.4 (1)4002 _____ (+1)25 18.5 33 _____ (3)3 18.6 34 _____ (3)4

23

23

72

35

21.1 Sem olhar, a Ana retirou dois cartes, um de cada saco, e somou os nmeros neles escritos. Ob-teve 5. Que nmeros estavam escritos nos cartes?

21.2 Da mesma forma, o Pedro retirou dois cartes, um de cada saco, e multiplicou os nmeros nelesescritos. Qual o valor mximo que o Pedro pode ter obtido? Explica o teu raciocnio.

21.3 A Carlota armou que, na experincia descrita na alnea anterior, o Pedro tinha mais hiptesesde obter um produto positivo do que um produto negativo. Concordas com a Carlota? Explica oteu ponto de vista.

23 Completa a tabela, apresentando, sempre que necessrio, os valores arredondados s dcimas.

12

Praticar

Unidade 1 Nmeros

64

a

3

a

5

3a (a)2 (3a)3

24 Considera as seguintes armaes.

A. 9 um cubo perfeito. B. A raiz quadrada de cinco vinte e cinco.C. A raiz cbica de 64 4. D. 36 um quadrado perfeito.

Escolhe a opo correta.

[A] As armaes A e B so verdadeiras. [B] As armaes C e D so verdadeiras.

[C] As armaes A e D so verdadeiras. [D] Nenhuma das opes anteriores.

25 Qual o permetro de um quadrado com 36 cm2 de rea? (Escolhe a opo correta.)

[A] 6 cm [B] 9 cm [C] 24 cm [D] 36 cm

26 Qual o volume de um cubo cuja aresta tem o dobro do comprimento da aresta de um cubo com 125 cm3 de volume? (Escolhe a opo correta.)

[A] 250 cm3 [B] 1000 cm3 [C] 10 cm3 [D] 20 cm3

27 Dado um nmero racional q, mostra que 5 (q) = (5 q).


28 Calcula o valor exato de cada uma das seguintes expresses numricas.

28.1 [( ) ( )] :

28.2 (3 + )28.3 (3)2 + 364 (35)3

28.4 (81) (100 3125)

28.5 3 + 36 : 327 + (5) 2433

35

23

74

27

45

22 Completa os espaos em branco.

22.1 81 = _____ porque 92 = _____ ; 22.2 _____ = 7 porque 72 = _____ ;

22.3 3_____ = 3 porque 33 = _____ ; 22.4 38 = _____ porque _____3 = _____

35 Na gura ao lado esto representados trs quadrados.Sabe-se que o quadrado menor tem 121 cm2 de rea e que o quadradomaior tem 144 cm2. Sabe-se ainda que CB = BA.

35.1 Determina o comprimento do lado do quadrado maior.

35.2 Determina a rea do quadrado do lado [BD]. Explica o teu raciocnio.

13

29 Indica dois quadrados perfeitos cuja soma seja um quadrado perfeito e dois cuja soma no seja um qua-drado perfeito.

30 Sabe-se que 3 < 362 < 4. Sem utilizar a calculadora, indica outros quatro nmeros cuja raiz cbica tam-bm seja maior que 3 e menor que 4. Explica o teu raciocnio.

31 Sabendo que = , q 0, determina o valor de . Apresenta o resultado sob a forma de frao.pq

pq

2536

32 Mostra que se p e q so cubos perfeitos no nulos, ento tambm um cubo perfeito.pq

33 Considera o nmero racional .

33.1 Calcula ( )2.

33.2 Que relao existe entre o quadrado de e o quadrado do seu simtrico?

57

57

57

34 A Joana comprou um perfume para oferecer ao Joo Nuno no diados namorados. Na perfumaria, para embrulhar o perfume, utiliza-ram uma caixa com a forma de um cubo, tal como ilustra a gura.

Sabendo que a caixa utilizada tem 2197 cm3 de volume, e que parafazer o lao foram utilizados 30 cm, determina o comprimento totalda ta utilizada no embrulho. Explica como procedeste.

B ACD

1 O produto de dois nmeros inteiros sempre um nmero inteiro positivo.Prova que a armao anterior falsa, apresentando um contraexemplo.

2 Sem efetuar clculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potncias.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expresses.

3.1 [(3)2 ( )] ( + )

3.2 [5 (2 + )]3 : ( )

3.3 0456 + (1)789 ( ) + (+1)178 ( 2 + 36)

3.4

4 Observa a gura.

Como podes observar, a gura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem36 mm2 de rea, determina o permetro da gura.

72

53

65

12

52

34

12527

3

14

Testar

Unidade 1 Nmeros

Potncia (9)2 (35)457 (+2,4)223

Sinal

(+ )24279

( ) ( ) + ( )332 23 27643 323

15

5 Seja p um nmero racional. Mostra que 2 (p) = (2 p).

6 Escreve na forma de dzima.

7 Calcula, utilizando a denio de produto de dois nmeros racionais, ( ) ( ) e verica que igual a ( ).


8 Observa o polgono [RSTU].

O polgono anterior pode ser decomposto em dois tringulos geometricamente iguais, [RRU] e [SST],e um quadrado, [RRSS], tal como mostra a gura seguinte.

Sabendo que UR = 4 cm e que a rea do quadrado [RRSS] igual a 16 cm2, determina U T.

43

57

57

43

4253

R S

U

R

R

R

RU

S

S

S

S T

T

Cada ponto do grco ca denido por um par ordenado (coordenadas cartesianas). Este formado por uma abcissa e por uma ordenada.

(x, y)

abcissa ordenada

Coordenadas cartesianas

Referencial cartesiano

Um referencial cartesiano composto por dois eixos habitualmente perpendiculares entre si, cada um delescom uma orientao indicada por uma seta representada numa extremidade e por uma graduao, habitual-mente igual em ambos.

16

Resumir

Unidade 2 Funes

Funes

Uma funo uma correspondncia entre dois conjuntos, o conjunto de partida e o conjunto de chegada. Numafuno, a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um s elemento do conjunto de chegada.

Para representar uma funo podem utilizar-se diagramas sagitais, tabelas, grcos cartesianos ou ex-presses analticas:

Numa correspondncia que funo, o conjunto de partida designa-se por domnio da funo e representa-sepor D. Os elementos deste conjunto chamam-se objetos ou originais. A cada objeto, x, a funo far corres-ponder um e um s elemento do conjunto de chegada: a imagem desse objeto. A imagem de x representa-se porf(x). O conjunto das imagens chama-se contradomnio da funo, e representa-se por C.D. ou D.

Veculo

Bicicleta

Nmero de rodas

2

Triciclo 3

Automvel 4

f(x) = 2x

Tempo

Alt

ura

Nmero de pernas

ElefanteGato

AranhaPolvo

Homem

4

8

2

2.o quadrante

Origem do referencial

Eixo das ordenadas

Eixo das abcissas

x

y

1.o quadrante

3.o quadrante 4.o quadrante

A origem do referencial tem coordenadas (0, 0).

17

Operaes com funes

A soma de funes numricas com o mesmo domnio uma funo com o mesmo domnio tal que a imagem decada x A a soma das imagens. (a + b)(x) = a(x) + b(x)

A diferena entre funes numricas com o mesmo domnio uma funo com o mesmo domnio tal que a ima-gem de cada x A a diferena das imagens. (a b)(x) = a(x) b(x)

O produto de funes numricas com o mesmo domnio uma funo de mesmo domnio tal que a imagem decada x A o produto das imagens. (a b)(x) = a(x) b(x)

Proporcionalidade direta

As grandezas X e Y so diretamente proporcionais se a razo entre os valo-res correspondentes das duas, tomados pela mesma ordem, for constante eno nula. Ao valor dessa razo d-se o nome de constante de proporciona-lidade direta.Qualquer funo com uma expresso algbrica do tipo y = k x ou, de formaequivalente, f(x) = k x, k 0, diz-se uma funo de proporcionalidade direta.

Para xno nulo, = = k diz-se a constante de proporcionalidade direta.

Uma funo f de proporcionalidade direta igual, no seu domnio, a uma fun-o linear de coeciente a = f(1).Num grco de proporcionalidade direta, todos os pontos esto sobre uma reta que passa pela origem do refe-rencial.

f(x)x

k xx

Uma dada funo f: A B diz-se uma funo numrica quando B um conjunto de nmeros e uma funo devarivel numrica quando A um conjunto de nmeros.O grco de uma funo f: A B o conjunto dos pares ordenados (x, y), com x A e y = f(x). x designa-se porvarivel independente e y, porque depende de x, designa-se por varivel dependente.

Funo afim

Uma funo numrica de varivel numrica para a qual existe um nmero racional b tal que f(x) = b, para todoo racional x, diz-se uma funo constante.Uma funo numrica de varivel numrica para a qual existe um nmero racional a tal que f(x) = ax, para todoo racional x, diz-se uma funo linear. f(x) = ax diz-se a forma cannica da funo linear e a diz-se o coecienteda funo.A soma e a diferena de funes lineares so funes lineares de coecientes iguais, respetivamente, soma e diferena dos coecientes das funes dadas.O produto de uma funo linear por uma funo constante uma funo linear cujo coeciente igual ao pro-duto pela constante do coeciente da funo linear.Uma funo am a soma de uma funo linear com uma funo constante. f(x) = ax + b diz-se a forma ca-nnica da funo am, onde a o coeciente da funo linear e b o valor da constante. a diz-se o coecientede x e b o termo independente.O produto por uma funo constante, a soma e a diferena de funes ans so funes ans de coecientesda varivel e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, soma e diferena doscoecientes das funes dadas.

y1 = kx1y2 = kx2

y3 = kx3

y

x1

y3

y2

y1

x2 x3 x

18

Praticar

Unidade 2 Funes

1 Indica quais das seguintes correspondncias so funes. Justica a tua resposta.C

orre

spon

dnc

ia 1

Cor

resp

ond

ncia

2C

orre

spon

dnc

ia 3

Cor

resp

ond

ncia

4C

orre

spon

dnc

ia 5

Cor

resp

ond

ncia

6C

orre

spon

dnc

ia 7

A

210

B

12

0

2

1 funo

No funo

Justicao

y

x

1

1

1 2 3 44 3 2 1

12

12

funo

No funo

Justicao

funo

No funo

Justicao

y

x

funo

No funo

Justicao

C

2

4

5

D

8

3

9

7 funo

No funo

Justicao

E F

3

7

9

2

8

5

4 funo

No funo

Justicao

y

x

funo

No funo

Justicao

x y

2 42 02 12 35

19

2 Considera a funo f: A B denida pelo diagrama ao lado.

Identica o domnio, o contradomnio, o conjunto de chegada e o grco de f.


3 Dados os conjuntos A = {2, 1, 0, 1, 2} e B = {6, 3, 0, 3, 6}, a funo i: A B denida pela expres-so i(x) = 3x.

3.1 Determina o contradomnio de i.

3.2 Determina o grco de i.

4 Considera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaram, respetivamente, os grcosdas funes f e g.

4.1 Indica o domnio de f e de g.

4.2 Identica o contradomnio de cada uma das funes.

4.3 Completa com nmeros, por forma a obteres igualdades verdadeiras.

(f + g)(2) = f(2) + g(__) = ___ + ___ = ___

A

f 3

1

4

B

7

a

c

b

y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

y

x0 1 2 3 4

1

2

3

4

4.4 Preenche a tabela e indica o contradomnio da funo f + g.

x 1

f(x)

2 3 4

g(x)

(f + g)x)

6 Comenta cada uma das armaes seguintes.

A. O comprimento de um lado de um tringulo equiltero diretamente proporcional ao seu per-metro.

B. O comprimento do raio de um crculo diretamente proporcional sua rea.

C. O comprimento do raio de um crculo diretamente proporcional ao seu permetro.

20

Praticar

Unidade 2 Funes

5 Quais dos seguintes grcos representam uma funo linear? Justica a tua resposta.

g

h

f

i

j

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2345

6789

10y

x

4.6 Identica o domnio e determina o contradomnio de cada uma das seguintes funes.

a) f g b) f g c) f 2

Adaptado de Caderno de Apoio s Metas Curriculares do Ensino Bsico

4.5 Representa num referencial cartesiano o grco da funo f + g.

21

7 A Matilde inscreveu-se num workshop de dana. Este workshop de 50 h decorre s teras-feiras e cadasesso tem uma durao de 5 horas. O nmero P de horas que falta para terminar o workshop dadopela frmula P(n) = 50 5n, sendo n o nmero de sesses j realizadas.

7.1 Quantas sesses ter o workshop?

7.2 Se j se tivessem realizado quatro sesses, quantas horas faltariam para terminar o workshop?

7.3 Quantas sesses que j se teriam realizado se apenas faltassem 10 horas para terminar oworkshop?

8.2 Sendo x o preo do artigo sem desconto e g(x) o valor do desconto, escreve uma expresso al-gbrica para a funo g.

8.3 Sendo x o preo do artigo sem desconto e f(x) o preo do artigo com desconto, escreve uma ex-presso algbrica para a funo f.

8.4 Justica que as funes f e g so funes de proporcionalidade direta e indica as respetivasconstantes de proporcionalidade.

8.5 Determina o preo nal a pagar por um MP3 cujo preo de venda inicial 180 .

8 Uma loja de eletrodomsticos est em liquidao de stock.Assim, durante trs dias, todos os artigos expostos tm umdes conto de 70%.

8.1 Qual o valor do desconto de um frigorco que cus-tava 650 ?

9 Indica uma expresso algbrica que dena:

9.1 a rea do quadrado, A, em funo do comprimento do seu lado, l.

9.2 a rea do crculo, A, em funo do comprimento do seu raio, r.

22

Praticar

Unidade 2 Funes

12 O Sr. Fernando produz e vende batatas.

12.1 A tabela seguinte relaciona a quantidade de batatas vendidas, em quilogramas, com a quantiarecebida pelo Sr. Fernando, em euros. Completa-a.

12.2 Seja h a funo que quantidade de batatas vendidas (em quilogramas) associa o valor a rece-ber pelo Sr. Fernando (em euros). Escreve uma expresso algbrica de h.

12.3 Se algum comprar trs sacos de 20 kg, quanto ter que pagar? Apresenta todos os clculos queefetuares.

12.4 Na ltima venda que realizou, o Sr. Fernando recebeu 30 . Quantos quilogramas de batatas vendeu?

Peso (kg) 0

Valor recebido ()

2

0,60 1,5

PREO ESPECIAL

0,15 /kg

10 Observa o grco ao lado.Qual das seguintes interpretaes pode resultar da observao do grco?

[A] O Jorge ganha 20 por cada hora de trabalho.

[B] Por cada 10 rebuados, a Filipa paga 1 .

[C] Por cada 10 alunos presentes, so necessrios 2 professores.

[D] Um atleta corre a uma velocidade constante de 4 km por hora.

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Primavera de 2006)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

1

2345

678y

x

11 Quais das seguintes variveis so diretamente proporcionais? (Escolhe a(s) opo(es) correta(s).)

[A] Nmero de horas de estudo e nota obtida no exame.

[B] O peso das laranjas e o preo a pagar por elas.

[C] A altura de uma pessoa e o seu peso.

[D] O nmero de pes e o preo a pagar por eles.

23

13 Considera os quatro retngulos seguintes.

No grco ao lado, cada ponto A, B, C e D denido pela base e pela altura dosretngulos I, II, III e IV. Completa a tabela seguinte, fazendo corresponder cada ponto a cada retn-gulo.

IVIII

II

I

Base

Alt

ura

D

C

BA

Ponto A

Retngulo

B C D

14 Os pais do Gonalo foram passar uns dias a vora e caram instalados num hotel mesmo no centro dacidade. Na tabela que se segue esto registados os preos, em euros, a pagar, por noite, nesse hotel.

0 1 2 3 4 5

50

100

150

200

Preo a pagar ()

Nmeros de noites

14.1 Desenha o grco da funo representada pela tabela.

Nmero de noites (x)

1

2

3

4

Preo a pagar, em euros (y)

45

90

135

180

vora

14.2 Indica, justicando, qual das seguintes expresses dene a expresso analtica da funo re-presentada pela tabela.

[A] y = 45x [B] y = 5x

[C] y = 90x [D] y = x12

16 Em janeiro, o Vtor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar ocrescimento do seu cabelo, registando todos os meses a sua medida.O grco seguinte representa o crescimento do cabelo do Vtor, desdeo ms de janeiro (ms 0) at ao ms de junho (ms 5).

16.2 Em cada ms, quantos centmetros cresceu o cabelo do Vtor?

24

Praticar

Unidade 2 Funes

(M) MsJaneiro

(C) Comprimento do cabelo

0

Fevereiro

1

4,4

Maro

2

5,8

Abril

3

7,2

Maio

4

8,6

Junho

5

0 1 2 3 4 5

1

2345

6789

10

C

Com

prim

ento

do

cabe

lo (

cm)

M Ms

janeirofevereiro

maroabril

maiojunho

16.1 Completa a tabela de acordo com os dados representados no grco.

16.3 Assinala a expresso que representa o comprimento do cabelo do Vtor, em cada um dos pri-meiros seis meses.

[A] C = 1,4 M [B] C = 3 + 1,4 M [C] C = 1,4 + 3 M [D] C = 3 M

16.4 O Joo foi cortar o cabelo no mesmo dia do Vtor, mas o seucabelo cou mais curto, com apenas 2 cm. Constri o grcoque representa o crescimento do cabelo do Joo desde janeiroat maio, supondo que cresce 1,5 cm em cada ms.

0 1 2 3 4

1

2345

6789

10

C

Com

prim

ento

do

cabe

lo (

cm)

(M) Msjaneiro fevereiro maro abril maio

1112

Adaptado de Prova de Aferio de Matemtica, 3.o Ciclo, 2004

15 Considera a funo h, representada pela tabela.

15.1 Indica o domnio e o contradomnio de h.

15.2 Completa:

a) h(3) = _______ b) h(_______) = 1

15.3 Qual a imagem, por h, do objeto 2?

15.4 Qual o objeto que, por h, tem imagem 0?

x 0

h(x) 4

2

3

3

5

4

0

5

1

25

17 Considera o grco de uma funo g denido por Gg = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.

17.1 Identica o domnio e o contradomnio de g.

17.2 Representa a funo g por um diagrama de setas, supondo que o contradomnio coincide com oconjunto de chegada.

17.3 Supe que o contradomnio de g no coincide com o conjunto de chegada. Representa por um dia-grama de setas um possvel exemplo de g.

17.4 Determina uma expresso algbrica que dena o valor de g(x) para qualquer x no domnio de g.

18 Considera a funo g de domnio A = { , 0, , 2} e conjunto de chegada Q, denida por g(x) = 2x 1.18.1 Determina o contradomnio de g.

18.2 Representa o grco da funo f num referencial cartesiano.

12

32

26

Praticar

Unidade 2 Funes

Cen

tm

etro

Polegada

8,897,626,355,083,812,541,27

00 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Diagon

al

21 Por vezes, o comprimento da diagonal do ecr de um televisor indicado em polegadas. No grco quese segue, podes ver a relao aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centmetro.

20 Para cada uma das funes, de Q em Q, denidas em cada uma das seguintes alneas, indica se se tratade uma funo am, linear ou constante, apresentando a respetiva forma cannica.

20.1 f(x) = 2 (x + 1) + x

20.2 g(x) = 1 3x + (4x 2) 1

20.3 h(x) =

20.4 i(x) = 2x2 (2x2 + 1) x

2x (3x 1) + 32

19 Na gura est representado o grco de uma funo g num refe-rencial cartesiano.

19.1 Indica o domnio de g.

19.2 Completa as igualdades:

a) g(3) = ____ b) g(__) = 4

19.3 Completa com um nmero de forma a obteres uma arma-o verdadeira: ____________ o objeto cuja imagem 0.

19.4 Indica se verdadeira ou falsa armao: 2 a imagem de um nico objeto.

y

x0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

21.1 Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecr de um televisor,em centmetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)?

[A] c = 1,27 p [B] c = p [C] c = 2,54 p [D] c = p

21.2 O Gonalo comprou um televisor com 106,68 cm de diagonal. A Marta tambm comprou um,mas com 40 polegadas de diagonal. Qual dos dois comprou o televisor com maior diagonal? Explica o teu raciocnio.

Adaptado de Exame Nacional de Matemtica do Ensino Bsico, 1.a chamada, 2007

12,54

11,27

27

22 O Sr. Marques alfarrabista. No nal de cada ano, o Sr. Marques estuda as vendasdo ano anterior e regista a informao que obtmatravs de um grco. O grco ao lado referentes vendas do ano passado.

22.1 Em que ms foram vendidos mais livros?

22.2 Em que ms foram vendidos menos livros?

22.3 Quantos livros foram vendidos em outubro?

22.4 Em dois dos meses foram vendidos o mesmo nmero de livros. Quais foram esses meses?

22.5 A determinada altura houve um grande crescimento nas vendas, que terminou com a tendnciade descida que se observava h alguns meses. Em que ms isso aconteceu?

22.6 No total, quantos livros foram vendidos nesse ano?

23 No seu telemvel, o Marco tem atualmente um tarifrio em que cada chamada custa 0,18 , por minuto,independente da rede para que ligue.O Marco est em dvida. No sabe se deve aderir a uma promoo em que, pagando 50 mensais, podeligar, sem restries de tempo, para quem quiser. Ajuda o Marco, determinando o nmero de minutos deconversao a partir do qual o seu tarifrio atual deixa de ser vantajoso. Explica o teu raciocnio.

24 Na bilheteira de um circo, em vez da habitual tabela de preos, estava axado o seguinte cartaz informativo:

24.1 A Eliana comprou cinco bilhetes. Quanto pagou?

24.2 A Soa pagou 9 . Quantos bilhetes comprou?

24.3 Completa a seguinte tabela, que ser axada na bilhe-teira do circo, em substituio do cartaz informativo.

Jane

iro

Mar

o

Feve

reiro

Abril

Maio

Junh

o

Agos

toJu

lho

Sete

mbr

o

Outu

bro

Nove

mbr

o

Deze

mbr

o

Meses do Ano

Nm

ero

de li

vros

ven

dido

s 3000

2500

2000

1500

1000

500

0

Nmero de bilhetes comprados (n)

1

2

3

4

n

Preo a pagar (P)

28

Praticar

Unidade 2 Funes

26 Imagina que um recipiente com a forma da pirmide, inicialmente vazio, se vaiencher com gua. A quantidade de gua que sai da torneira, por unidade detempo, at o recipiente car cheio, constante. Qual dos seguintes grcospoder traduzir a variao da altura da gua, no recipiente, com o tempo quedecorre desde o incio do seu enchimento? Explica, numa pequena composi-o, a razo por que no escolheste nenhum dos outros trs grcos.

altura

Exame Nacional de Matemtica, 3.o Ciclo, 2007

Grco A Grco B Grco C Grco D

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

25 Representa gracamente cada uma das funes f e g denidas por:

25.1 f(x) = 3x 25.2 g(x) = x + 1

29

27 Na realizao de uma determinada experincia, foi necessrio encher, com gua, trs recipientes de di-ferentes formas. Todos os recipientes se encontravam completamente vazios e, para os encher, utili-zou-se uma torneira que debitava gua de forma constante. Para cada um dos recipientes, indica ogrco que pode representar a variao da altura da gua em funo do tempo decorrido desde o ins-tante em que se abriu a torneira.

Rec

ipie

nte

1

TempoA

ltur

aTempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

Rec

ipie

nte

2

Tempo

Alt

ura

Tempo

Alt

ura

TempoA

ltur

a

Rec

ipie

nte

3

Tempo

Alt

ura

TempoA

ltur

aTempo

Alt

ura

28 O Paulo e a Teresa so dois irmos gmeos de 20 anos deidade. Os seguintes grcos permitem calcular a evolu-o dos pesos de ambos, desde o nascimento at hoje.

28.1 Com que idade o Paulo e a Teresa pesavam omesmo?

28.2 Observa o grco e assinala a armao corretasobre o aumento de peso da Teresa, entre os 5 eos 10 anos de idade.

[A] A Teresa aumentou mais do que 10 kg e menos do que 15 kg.

[B] A Teresa aumentou exatamente 15 kg.

[C] A Teresa aumentou mais do que 15 kg e menos do que 20 kg.

[D] A Teresa aumentou exatamente 20 kg.Adaptado de Prova de Aferio de Matemtica, 3.o Ciclo, 2003

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Pes

o (k

g)

Idade (anos)

0 5 10 15 20

Paulo

Teresa

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]

[A] [B] [C]

30

Praticar

Unidade 2 Funes

29 O intervalo de tempo que decorre entre o momento em que o condutor de um automvel v um obst-culo na estrada e o momento em que carrega no travo denomina-se tempo de reao. Durante otempo de reao, o automvel continua a circular mesma velocidade e percorre uma distncia a quese chama distncia de reao (Dr). Quanto menor for a distncia de reao, mais depressa se imobi-liza o automvel. Existe uma frmula, aceite internacionalmente, que relaciona a velocidade (v) a queum automvel circula e a distncia de reao (Dr). O grco dessa relao est representado na guraseguinte.

30 Dados dois nmeros racionais b e k, seja f a funo denida em Q por f(x) = bx e g a funo constanteigual a k. Prova que a funo g f linear e identica o respetivo coeciente.


0

80

Dr(m)

v

40

0100 200

(km/h)

De acordo com o grco, responde s seguintes questes.

29.1 Qual a distncia que um automvel percorre quando se desloca a uma velocidade de 100 km/h,desde o instante em que o condutor v um obstculo at que inicia a travagem?

29.2 A que velocidade seguiria um automvel que percorreu 45 m desde o instante em que o condu-tor viu um obstculo at que iniciou a travagem?

29.3 A distncia de reao diretamente proporcional velocidade a que um automvel circula. In-dica qual das seguintes expresses relaciona a distncia de reao (Dr) com a velocidade a queum automvel circula (v).

[A] Dr = v [B] Dr = v

[C] Dr = v [D] Dr = v

Projeto 1000 itens

30100

3100

1003

10030

31

31 O F-16 Fighting Falcon, avio de combate supersnico, umdos melhores avies da atualidade para o combate areo etambm para o ataque ao solo, dada a sua extraordinriamanobrabilidade, avanadas caractersticas aerodinmicase elevada capacidade de suportar aceleraes at 9G.

Fora Area Portuguesa,consultado em junho de 2009

Um caa F-16 da Fora Area Portuguesa encontrava-se a fazer testes no espao areo do Alentejo. Adeterminada altura, o avio atingiu certa velocidade, que se manteve constante por alguns segundos.Nessa altura, registou-se o seguinte:

31.1 Sabendo que velocidade = , determina a velocidade atingida pelo avio.

31.2 Se o avio mantivesse a mesma velocidade durante trs minutos, quantos quilmetros percor-reria?

31.3 Mantendo a velocidade constante, quanto tempo, em horas, demoraria o avio a percorrer 4500 km?

31.4 Tcnicos especializados, que estudavam a hiptese de melhorar a descolagem do avio, regis-taram as diferentes alturas a que o avio se encontrava, t segundos aps ter iniciado o seu mo-vimento. Alguns desses registos encontram-se na tabela seguinte.

Seja A a funo que ao tempo, t, decorrido desde o instante em que o avio iniciou as manobrasnecessrias descolagem, faz corresponder a altura do avio.

a) Completa as expresses seguintes, indicando o seu signicado no contexto da situao.i. A(20) = ___________

Signicado: ________________________________________________________________

ii. A(___________) = 1000Signicado: ________________________________________________________________

b) Comenta a armao: A funo A uma funo de proporcionalidade direta.

distnciatempo

f Tempo decorrido (segundos) 0

d Distncia percorrida (metros) 0

2

1056

4

2112

6

3168

Tempo decorrido (segundos) 0

Altura do avio (metros) 0

10

0

20

100

40

1000

32

Praticar

Unidade 2 Funes

32 O tempo que um modem leva a transferir um cheiro via internet depende do tamanho do cheiro e davelocidade de transferncia do modem. A tabela seguinte indica o tempo que o modem da Brbara de-mora a transferir alguns cheiros.

33 Considera um polgono regular cujo lado tem 3,4 cm de comprimento e cujo permetro 20,4 cm.

33.1 De que polgono regular se trata?

33.2 Escreve uma expresso algbrica que represente a funo que a cada valor do comprimento dolado associa o permetro deste polgono regular.

33.3 Representa gracamente essa funo.

32.1 Calcula a velocidade de transferncia do modem, em kB por segundo (kB/s). Explica o teu raciocnio.

32.2 Quantos segundos demora o modem da Brbara a transferir um cheiro de 1000 kB? Apresentatodos os clculos que efetuares e explica a tua resposta. Indica o resultado com uma casa decimal.

32.3 Cada 1024 bytes correspondem a 1 kB (Kilobyte), mas, normalmente, toma-se um valor apro-ximado, considerando 1 kB = 1000 bytes, e estabelecem-se as seguintes equivalncias entre asdiversas unidades de medida:

Tendo em conta as equivalncias da tabela, assinala a igualdade verdadeira.

[A] 1 kB = 106 bytes [B] 1 MB = 106 bytes

[C] 1 GB = 106 bytes [D] 1 byte = 106 MB

t Tempo (segundos) 2,5

f Tamanho (em kB) 72

100

288

25

720

60

1728

105

3024

Gigabyte (GB)

0,001

Megabyte (MB)

1

Kilobyte (kB)

1000

Byte (B)

1 000 000

Adaptado de Prova de Aferio de Matemtica A

33

33.4 Observa agora o grco no qual esto representadas as relaesentre o comprimento do lado e o permetro de quatro polgonos re-gulares.

a) Indica a que polgono regular corresponde cada uma das fun-es representadas gracamente na gura.

b) Indica uma expresso algbrica que represente cada uma dasfunes de proporcionalidade direta representadas.

c) Indica a constante de proporcionalidade referente a cada uma das quatro situaes.

d) medida que o valor da constante de proporcionalidade aumenta o que acontece ao grcode uma funo do tipo y = kx?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB Sequncias e Funes

0

18

16

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5

d() c() b() a()

34 Um txi A cobra 2 de bandeirada e 0,78 por quilmetro percorrido. Um txi B no cobra bandeiradamas cobra 1,1 por quilmetro percorrido.

34.1 Quanto paga um consumidor que faa uma viagem de 20 km no txi A? Explica o teu raciocnio.

34.2 O dono do txi B pretende colar uma tabela informativa dos preos que pratica, no vidro do seutxi. Essa tabela est representada de seguida. Completa-a.

34.3 O carro do Rui avariou. Para se deslocar para o emprego, o Rui tem de chamar um txi. Qual dosdois txis deve chamar? Justica a tua resposta.

Nmero de quilmetros percorridos 1

Preo a pagar () 1,1

2

11 49,5

1 Qual das seguintes correspondncias no dene uma funo?

[A] [B] [C] [D]

2 Observa a representao grca da funo g.

2.1 Indica o domnio e o contradomnio da funo g.

2.2 Qual a imagem, por g, do objeto 1?

2.3 Qual o objeto que, por g, tem imagem 2?

2.4 Completa as seguintes expresses:

a) g(3) = _______ b) g(_______) = 1

3 Numa papelaria todos os artigos escolares esto em promoo. A quantia a pagar por cada artigo mar-cado originalmente com o preo v, em euros, dada, tambm em euros, pela expresso C(v) = 0,85v.

3.1 Se um determinado artigo estiver marcado com o preo de 4,5 e lhe for aplicado o desconto,qual o preo a pagar?

3.2 Podemos armar que o preo a pagar, C(v), e o preo de marcado, v, so grandezas direta-mente proporcionais? Justica.

3.3 Qual a percentagem de desconto aplicada a cada artigo?

3.4 Comenta a armao: O desconto e o preo marcado so grandezas diretamente proporcionais.

34

Testar

Unidade 2 Funes

y

x

y

x

y

x

y

x

0

1

2

1

0 1 2 312

y

x

35

4 A Soa veterinria e vai estagiar, durante sete dias, na clnica Miau-Miau. No grco seguinte podeobservar-se a correspondncia entre o tempo de trabalho, em horas, e a quantia a receber pela Soa,em euros.

4.1 Que valor recebe a Soa por cada hora de trabalho?

4.2 Se a Soa, num determinado dia, trabalhar cinco horas, quanto receber nesse dia?

4.3 A Soa, depois de combinar com o gerente da clnica o seu horrio de trabalho, fez uns cl-culos e vericou que, pelos sete dias em que vai estagiar na referida clnica, receber um totalde 315 . Em mdia, quantas horas por dia trabalhar a Soa?

4.4 Comenta a armao: A quantia a receber pela Soa diretamente proporcional ao nmerode horas que trabalhar.

5 O lvaro tem o seu ioi na mo e lana-o. Quando o lana pela terceira vez, o o quebra-se e o ioi caino cho.

5.1 Indica qual o grco que pode representar a variao da altura do ioi, em relao ao cho,desde o momento em que o lvaro o lana pela primeira vez, at cair ao cho.

5.2 Explica, numa breve composio, a razo pela qual consideras errado cada um dos outros trsgrcos.

Adaptado de Prova de Aferio de Matemtica B

40

Qua

ntia

a r

eceb

er (

)

Tempo de trabalho (h)

30

20

10

0 2 4 6 8

y

x

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

Tempo

Altura

[A] [B]

[C] [D]

36

Resumir

Unidade 3 Sequncias e regularidades

Sequncias numricas

Numa sequncia numrica, cada nmero tem o nome de termo, pelo que dois nmeros seguidos dizem-se termosconsecutivos. Cada termo obtm-se a partir da lei de formao da sequncia.

11, 21, 31, 41, 51,

Lei de formao: Com exceo do 1.o termo, cada termo obtm-se adicionando10 unidades ao termo anterior.

Os termos de uma sequncia relacionam-se segundo uma regra, que pode ser traduzida por uma expressoalgbrica. Essa expresso designa-se por termo geral. O termo geral de uma sequncia muito til, pois permite determinar qualquer termo da sequncia, desde quese conhea a sua ordem. O termo geral tambm permite vericar se um nmero , ou no, termo da sequncia.

11, 21, 31, 41, 51, Termo geral: 10n + 1

Modos distintos de analisar a sequncia podem conduzir a expresses diferentes para a re pre sen ta o do termogeral. Essas expresses so equivalentes, ou seja, so expresses que, depois de simplicadas, so iguais.

11, 21, 31, 41, 51,

11 + (n 1) 10 = 11 + 10n 10 = 10n + 1 11 + (n 1) 10 equivalente a 10n + 1.

1.o termoou

termo deordem 1

2.o termoou

termo deordem 2

3.o termoou

termo deordem 3

4.o termoou

termo deordem 4

5.o termoou

termo deordem 5

Termo geral:

10n + 1

Termo geral:

11 + (n 1) 10

37

Grfico de uma sequncia numrica

O grco de uma sequncia numrica constitudo pelo conjunto dos pares ordenados (a, b), em que a a ordemdo termo e b o prprio termo da sequncia.

(a, b)

Sucesses

Uma sequncia numrica innita diz-se uma sucesso.Assim, uma sucesso uma funo cujo domnio o conjunto dos nmeros naturais.

3

1.o termou1

5

2.o termou2

7

3.o termou3

9

4.o termou4

11

5.o termou5

13

6.o termou6

15

7.o termou7

Ordemdo termo

17

8.o termou8

Termo

Estes pares ordenados de nmeros podem ser repre sen ta dos num referencial cartesiano, obtendo-se assim arepresentao grca da sequncia.Repara que, da denio de grco, a representao grca um conjunto de pontos isolados, como na re pre -sen tao da gura, correspondente sequncia de termo geral 2n + 1.

38

Praticar


1 Considera as seguintes sequncias numricas e supe que se mantm a regularidade entre termos con-secutivos.

Sequncia 1: 7, 14, 21, 28,

Sequncia 2: 11, 8, 5, 2,

Sequncia 3: , , , ,

1.1 Indica os prximos trs termos de cada uma das sequncias.

Sequncia 1: _________________________

Sequncia 2: _________________________

Sequncia 3: _________________________

1.2 Indica o termo de ordem 100 de cada uma das sequncias. Explica o teu raciocnio.

Sequncia 1: _________________________

Sequncia 2: _________________________

Sequncia 3: _________________________

1.3 Indica um possvel termo geral para cada uma das sequncias.

Sequncia 1: _________________________

Sequncia 2: _________________________

Sequncia 3: _________________________

59

47

35

23

2 O termo geral de uma sequncia nita 3n + 2. O ltimo termo dessa sequncia 17. Quantos termostem a sequncia?

3 Considera a sucesso (an) de termo geral an = 4n 1.

3.1 Determina os quatro primeiros termos da sucesso e repre-senta-os gracamente.

3.2 Determina o dcimo quinto termo da sucesso.

3.3 Verica se 78 termo da sucesso. Explica o teu raciocnio.

39

5 Observa a sequncia de guras.

Cada uma das guras apresentadas formada por tringulos equilteros com 1 unidade de medida decomprimento de lado.

5.1 Quantos tringulos equilteros so necessrios para formar uma gura com 20 unidades de pe-rmetro? Explica o teu raciocnio.

5.2 Descobre uma regra que permita determinar o permetro de uma qualquer gura desta sequncia.

4 Considera as sucesses, cujos termos gerais so:

an = 3n + 6

bn =

cn = n2 + 1

4.1 Para cada uma das sucesses, determina, a partir do seu termo geral, os cinco primeiros termos.

an: _________________________________________________________________

bn: _________________________________________________________________

cn: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sucesso (an). Verica se os nmeros 22, 31, 144, 186 e 211 so ter-mos da sucesso e, caso o sejam, indica a ordem que corresponde a cada um. Apresenta todosos clculos ou esquemas que efetuares.

nn + 1

Figura 1 Figura 2 Figura 3

6 Considera as seguintes sequncias.

I. 4, 9, 14, 19, ...II. 19, 15, 11, 7, ...

6.1 Para cada uma delas, indica:

a) o primeiro termo;

b) o vigsimo termo;

c) o termo de ordem n.

6.2 Considera, agora, a sequncia em que cada termo resulta da soma dos termos de igual ordemdas duas sequncias da alnea anterior. Determina o termo de ordem n desta nova sequncia.

7.1 Representa as guras 4 e 5 desta sequncia e indica o nmero de palitos que as constituem.

7.2 Por quantos palitos formada a 40.a gura? Explica o teu raciocnio.

7.3 Descobre uma regra que permita determinar o nmero de palitos de uma qualquer gura.

7.4 Para construir uma gura desta sequncia foram necessrios 122 palitos. Qual o nmero dagura? Explica o teu raciocnio.

7.5 Considera agora os retngulos que limitam as guras da sequncia anterior.

40

Praticar



A tabela seguinte refere-se a guras da mesma sequncia.


1 2 3Nmero da gura

7 12 17Nmero de palitos


Descobre uma regra que permita determinar a rea de cada um desses retngulos. (considera1 palito como unidade de medida de comprimento).

7.6 Calcula a rea do retngulo que limita a gura 19.

41

8 Considera as trs primeiras guras de uma sequncia.


8.1 Completa a tabela.

8.2 Descreve o padro que observas.

8.3 Considera a sucesso (an) do nmero de pontos de cada gura.a) Determina o termo geral da sucesso.

b) Calcula a5 e interpreta o resultado no contexto do problema.

c) Determina o nmero de pontos da gura 5.

d) Existir alguma gura com 90 pontos? Justica a tua resposta.

8.4 Determina o termo geral da sucesso (bn) do nmero de segmentos de ligao de uma gura dequalquer ordem.

A tabela seguinte refere-se a guras da mesma sequncia.

1 2 3Nmero da gura

5 8 11

4 5

Nmero de pontos

5 9 13Nmero de segmentos de ligao


9.1 Escreve uma expresso que permita determinar o nmero de quadrados brancos de uma gurade qualquer ordem.

9.2 Escreve uma expresso que permita determinar o nmero de quadrados amarelos de uma -gura de qualquer ordem.

9.3 Escreve uma expresso que permita determinar o nmero de quadrados total de uma gura dequalquer ordem.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

42

Praticar


10 Durante as frias de Natal, a Catarina foi a Barcelona. Umadas zonas que visitou foi a Praa de Espanha, onde se en-contram duas magncas torres. Tal como a gura sugere,as torres da Praa de Espanha tm a forma de uma pir-mide quadrangular no topo de um prisma quadrangular, for-mando uma torre de quatro lados.De seguida apresenta-se um modelo das referidas torres.

10.1 O modelo apresentado respeita a Frmula de Euler? (Frmula de Euler: Vrtices + Faces = Arestas + 2)

10.2 Determina o nmero de vrtices, arestas e faces de um modelo de uma torre de 5 lados.

10.3 Descobre uma expresso que permita calcular:

a) o nmero de vrtices do modelo de uma torre com n lados;

b) o nmero de arestas do modelo de uma torre com n lados;

c) o nmero de faces do modelo de uma torre com n lados.

10.4 Averigua se a Frmula de Euler se verica no modelo de uma torre de n lados.

11 O irmo do Joo pintou a seguinte sequncia de desenhos em papel quadriculado.

Quantas quadrculas pintadas tem o dcimo desenho? Explica o teu raciocnio.

Adaptado de Olimpadas Portuguesas da Matemtica Pr-Olimpadas


Barcelona

43

12 O Superchocolate uma caixa de doces constituda por chocolates e caramelos. As caixas so organi-zadas da seguinte forma: cada caramelo colocado no centro de cada conjunto de quatro chocolates,tal como sugere a gura seguinte.

As dimenses de cada uma das caixas dizem-nos o nmero de colunas e de linhas de chocolates que cadacaixa possui.Descreve um mtodo para encontrar o nmero de caramelos de qualquer caixa, conhecidas as suas di-menses. Exemplica e justica o teu mtodo atravs de palavras, diagramas ou expresses.

Adaptado de Principles and Standards, NCTM, 2000

2 2 2 43 5

13 De regresso ao Colgio, depois das frias do Natal, todos os colegas de turma da Margarida se cumpri-mentaram com um abrao. Cada um cumprimentou cada colega uma s vez. A tabela seguinte esque-matiza parte da situao descrita.

Nmero decolegas

2

3

4

5

EsquemaNmero de

abraos

1

3

6

13.1 Completa a tabela anterior.

13.2 Observa com ateno o esquema constitudo por quatro colegas. Quantos abraos deu cadaco lega? E no esquema constitudo por cinco colegas?

13.3 Quantos abraos se tinham dado, no momento em que se encontravam na sala 10 meninos? Ex-plica o teu raciocnio.

13.4 Escreve uma expresso algbrica que permita determinar o nmero de abraos dados por umqualquer nmero de colegas.

13.5 Quantos colegas tem a Margarida na sua turma, sabendo que, no total, foram dados 55 abraos?

1 Observa as sequncias e supe que se mantm a regularidade entre termos consecutivos.

I. 26, 24, 22, 20,

II. , , , ,

1.1 Indica os prximos trs termos de cada uma das sequncias.

I.

II.

1.2 Indica um possvel termo geral para cada uma das sequncias.

I.

II.

2 Considera uma sequncia em que o primeiro termo 126. Sabendo que a lei de formao dos res-tantes termos da referida sequncia subtrair seis ao termo anterior e dividir por trs, determina oseu quarto termo. Explica o teu raciocnio atravs de palavras, clculos ou diagramas.

3 Considera a seguinte sequncia de pontuaes obtidas pela Joana nas primeiras seis vezes em quejogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.

3.1 Verica se alguma das expresses seguintes permite gerar esta sequncia de nmeros.

[A] 95 30n [B] [C] 55 10n [D] 5 +

3.2 Admitindo que a sequncia foi gerada por uma das expresses indicadas na alnea anterior ese a Joana continuasse a jogar e as pontuaes continuassem a seguir este mesmo modelo,que pontuao iria obter na 10.a jogada?


525

416

39

24

60n

5n + 602n 1

44

Testar


45

4 Considera as sequncias:

Sequncia 1: 5n 3

Sequncia 2: + 1

4.1 Para cada uma das anteriores sequncias, determina, a partir do seu termo geral, os cincoprimeiros termos.

Sequncia 1: _________________________________________________________________

Sequncia 2: _________________________________________________________________

4.2 Considera, agora, apenas a sequncia 1. Verica se os nmeros 33, 72 e 222 so termos da se-quncia e, em caso armativo, indica a ordem que corresponde cada um. Apresenta todos osclculos ou esquemas que efetuares.

5 De seguida apresentam-se as primeiras guras de uma sequncia.

5.1 Encontra o nmero de pontos da 20.a gura. Explica o teu raciocnio.

5.2 Escreve uma expresso que permita determinar o nmero de pontos de uma gura de qual-quer ordem.

5.3 Para construir uma gura desta sequncia foram necessrios 128 pontos. Qual o nmero dagura? Explica o teu raciocnio.

1n


46

Resumir

Unidade 4 Figuras geomtricas

ngulos internos e externos de um polgono

Cada ngulo externo de um polgono convexo adjacente a um ngulointerno e suplementar de um ngulo interno.

A soma das amplitudes dos ngulos internos de um polgono convexocom n lados dada pela expresso (n 2) x 180o.

A soma das amplitudes dos ngulos externos de um polgono convexo 360o.

ngulo externoA

D C

B

ngulo interno

Quadrilteros

Quadrilteros

No trapzios:Quadriltero sem lados paralelos.

Trapzios:Quadriltero com lados paralelos.

Retngulo:

Paralelogramo com quatro ngulos retos.

Quadrado:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais e quatro ngulos retos.

Losango:

Paralelogramo com quatro lados geometricamenteiguais.

Paralelogramoobliqungulo:

Paralelogramo sem ngulos retos.

Trapzioissceles:

Trapzio em que os lados opostos no paralelos sogeometricamente iguais.

Trapzioretngulo:

Trapzio em que um dos lados opostos no paralelos perpendicular s bases.

Trapzioescaleno:

Trapzio em que os lados opostos no paralelos noso geometricamente iguais.

Paralelogramos:Quadriltero com doispares de lados paralelos.

Trapzio no paralelogramo:

Quadriltero com um nicopar de lados paralelos.

Num paralelogramo:

os ngulos opostos so geometricamente iguais;

os ngulos consecutivos so su ple men ta res;

os lados opostos so geometricamente iguais;

as diagonais bissetam-se e dividem o para le lo gramo em quatrotringulos geometricamente iguais dois a dois. A

D

B

C

E

a b

cd

47

Num losango, as diagonais bissetam-se e so per pendi cul ar es.

Num retngulo, as diagonais bissetam-se e so geometricamente iguais.

Num quadrado, as diagonais bissetam-se, so perpendiculares e so geometricamente iguais.

Num trapzio, ngulos adjacentes a um dos lados opostos no paralelos so suplementares.Num trapzio issceles, ngulos adjacentes mesma base so geometricamente iguais e a suas diagonais sogeometricamente iguais.

rea do paralelogramo = base altura

rea do papagaio =

rea do trapzio = h

A

B

D

CE

A

B

D

C

A D

B C

B C

A D

altura

base

d D2

b + B2

d diagonal menorD diagonal maior

d

D

h

bb base menorB base maiorh altura

B

48

Praticar


1 Desenha trs linhas poligonais.

2 Desenha um pentgono e traa as suas diagonais.

3 De entre as seguintes guras, indica, justicando, as que so polgonos.

A B C D

49

4 Desenha, na grelha seguinte, um:

4.1 quadrado;4.2 retngulo no quadrado;4.3 trapzio issceles;4.4 paralelogramo obliqungulo;4.5 losango no quadrado;4.6 trapzio retngulo;4.7 papagaio;4.8 quadriltero no trapzio.

5 Em cada uma das seguintes alneas, esto representados dois dos lados dos quadrilteros referidos.Desenha os dois lados em falta. 5.1 Retngulo 5.2 Losango 5.3 Paralelogramo obliqungulo 5.4 Quadrado

6 Em cada uma das seguintes situaes, determina a amplitude do ngulo x.

6.1

7 Determina o permetro e a rea do seguinte paralelogramo.

50

Praticar


6.2

6.3 6.4

6.5 6.6

8 Completa o esquema, utilizando os termos trapzio, papagaio, paralelogramo, quadrado e losango.

51

11 Na gura seguinte est representado um losango.

11.1 Indica a amplitude do:

a) a;

b) b;

c) q;

d) e.

11.2 Sabendo que OA = 3 cm, indica o comprimento de [AC]. Explica o teu raciocnio.

9 Qual das armaes seguintes verdadeira?

[A] Todos os losangos so papagaios. [B] Todos os papagaios so losangos.

[C] Todos os retngulos so quadrados. [D] Todos os losangos so quadrados.

10 Na gura esto representados dois pontos, A e B.

10.1 Quantos quadrados se podem desenhar de modo queA e B sejam dois dos seus vrtices?

10.2 Quantos quadrados se podem desenhar de modo queA e B sejam dois vrtices consecutivos?

10.3 Quantos quadrados se podem desenhar de modo que o segmento de reta AB seja uma das suasdiagonais?

B

A

D C

A B

O

27o

12 De entre os quadrilteros seguintes, apenas um no sempre um paralelogramo. Assinala-o.

[A] Quadrado [B] Retngulo

[C] Losango [D] Papagaio

52

Praticar


13 Na gura est representado o tringulo [ABC] e otrapzio retngulo [ABDE].

13.1 Determina a amplitude do . Explica oteu raciocnio.

13.2 Classica o tringulo [ABC] quanto amplitude dos seus ngulos e quanto ao comprimento dosseus lados.

B D

A E

C 60o

150o

45o

14 Considera o segmento de reta [AB], representado de seguida.

Sabe-se que [AB] um dos lados de um paralelogramo obliqungulo com 21 cm2 de rea.

14.1 Desenha, na gura, o paralelogramo referido.

14.2 Ser que a tua resposta nica? Justica.

A B

1 cm2

15 Apenas uma das armaes seguintes falsa. Assinala-a.

[A] Todos os quadrados so paralelogramos. [B] Todos os tringulos so polgonos.

[C] Todos os trapzios so retngulos. [D] Todos os retngulos so paralelogramos.

16 Uitlizando os tringulos [ABC] e [DEF], construiu-se um papagaio, como o que podes observar na guraseguinte.

Que outros quadrilteros possvel construir, utilizando os mesmos dois tringulos retngulos?

B

A

C

D F

E

53

17 Em cada uma das seguintes situaes, determina a amplitude dos ngulos e . Explica o teu raciocnio.17.1

18.1 Prova que A, B e C podem ser vrtices consecutivos de um losango.

18.2 Utilizando material de desenho, assinala na gura o quarto vrtice do losango referido na alneaanterior.

18 Na gura seguinte est representada uma circunferncia de centro A.

17.2

B

AC30

o

150o99o

51o

42o

66o

50o

A

C

B

D

17.3 A C

B

E

60o31o

D

A

B

C

19 Na gura ao lado pode observar-se o tringulo [AGF] e oquadrado [ABCD].

19.1 Prova que AGF e DCF so geometricamente iguais.

19.2 Determina a amplitude do . Explica o teu raciocnio.

19.3 Classica o tringulo [AGF] quanto amplitude dos seus ngulos e quanto ao comprimento dosseus lados. Justica.

A

C

B

F

29o

D

G

54

Praticar


20 As diagonais de um paralelogramo [ABCD] intersetam-se no ponto X. Sabe-se que BXA = 90o.

20.1 O Filipe acha que [ABCD] um quadrado. A Catarina no concorda e arma que, com as infor-maes fornecidas, apenas se pode garantir que [ABCD] um losango. Qual dos dois achas quetem razo? Justica a tua opinio.

20.2 Sabendo que BDA = 60o, determina a amplitude do XCD. Explica o teu raciocnio.(Sugesto: comea por fazer um esboo do paralelogramo.)

21 Na gura est representado um tringulo equiltero [ABC]. Determina aam plitude do ngulo x. Explica o teu raciocnio.

84oB

A

C

x

22 Na gura, [ABCD] um retngulo.

22.1 Classica o tringulo [AED] quan to amplitude dos seus ngulose quanto ao comprimento dos seus lados. Explica o teu raciocnio.

22.2 Determina a rea do trapzio [ADCE], sabendo que A D = 4 cm, DC = 2 cm e EC = 3 cm.

A

B C

D

51o

63o

E

23 Num teste de Matemtica, era pedido aos alunos que riscassem, de entre os quadrilteros apresenta-dos, os que no vericavam determinada caracterstica. De seguida, apresenta-se a resposta da Sandraa esta questo.

Sabendo que a resposta da Sandra est correta, formula uma possvel questo para o teste. Explica oteu raciocnio.

25 A gura ao lado composta por dois paralelogramos obli-qungulos, [ABCD] e [BCFE].Tendo em conta os comprimentos assinalados, determina area da gura. Apresenta todos os clculos que efetuares.

3 cm

5 cm

A D E F

B C

2,5 cm

55

24 Um agrimensor romano (cerca de 180 d. C.) usou tringulos geometrica-mente iguais para determinar a largura de um rio numa zona do seu leito.Comeou por traar uma reta AB ao longo da margem onde se encontrava.Num ponto C tirou uma perpendicular CG a AB. Colocou uma estaca no pontoE, ponto mdio de [AC]. De A xou um ponto F na outra margem, sendo AFperpendicular a AC. Finalmente, descobriu um ponto D a partir do qual ob-servou os pontos E e F de modo que D, E e F estivessem sobre a mesma reta.

24.1 O agrimensor concluiu que os tringulos [ECD] e [EAF] so geome-tricamente iguais. Esta concluso correta? Porqu?

24.2 A armao A largura do rio na zona do ponto A igual ao comprimento do segmento de reta CD verdadeira ou falsa? Justica.

Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB Tringulos e quadrilteros

B

E

AF

C D GRio

26 Considera o losango [ABCD], representado de seguida. Sabe-se que AC = 3 cm e BD = 5 cm.

26.1 Sabendo que I e J so os pontos mdios dos lados [AB] e [BC],respetivamente, determina a amplitude do ngulo . Explica oteu raciocnio.

26.2 Determina a rea do losango [ABCD].

26.3 Determina a rea do trapzio [AIJC].

A C

D

B

I J

67o

56

Praticar


27 Observa a gura.

Determina a rea da gura colorida a verde. Apresenta todos os clculos que efetuares.

Sabe-se que:

[ABCD] um retngulo;

[EFGD] um paralelogramo obliqungulo;

[HKJI] um paralelogramo obliqungulo.

A

9 cm

6 cm

1 cm

D

E

F

H

K

G

I

J

B C

1 cm

28 Na gura 1 est representado o quadriltero [ABCD] e, na gura 2, uma sua decomposio em doistringulos e um quadriltero.

Determina a amplitude dos ngulos , , e . Explica o teu raciocnio.

A

D

C

B

27o28o

18o42o

79o

139o

Figura 1 Figura 2

29 Prova que a rea de um papagaio, em unidades quadradas, igual ao semiproduto das diagonais per-correndo os seguintes passos:

1. Considera um papagaio [ABCD] em que A B = AD e BC = CD.Designando o ponto de interseo das diagonais por E, es-creve uma expresso que permita determinar a rea de cadaum dos tringulos [ACD] e [ACB].

2. Completa as seguintes igualdades com medidas de compri-mento de segmentos de reta:

A[ACD] + A[ACB] = + = = ___ ED

2___ EB

2___ (ED + EB)

2___ ___

2

D

B

AE C

57

30 Na gura esto representadas duas circunferncias com omesmo raio, uma de centro A e outra de centro B.

30.1 Prova que [AEBF] um losango.

30.2 Classica o tringulo [AEB] quanto ao comprimentodos seus lados.

A B

E

F

31 A e B so dois pontos situados em duas ilhotas uviais. Pre-tende determinar-se a distncia entre A e B. Fixa-se uma es-taca em terra num certo ponto C colinear com A e B, nossaescolha. Fixa-se outra estaca em D de modo que AC CD.Toma-se o ponto mdio do segmento de reta [CD], que se de-signa por E. Traa-se uma reta r perpendicular a CD e quepassa por D. Finalmente, marcam-se os pontos G e F que re-sultam da interseo das retas BE e AE com a reta r, respeti-vamente. Ento, [GF] representa a distncia entre as ilhotas.Porqu?

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB Tringulos e quadrilteros

Rio

A

BD

G

F

r

C

E

32 Dois quadrados, [ABCD] e [EFGH], sobrepem-se tal comomostra a gura ao lado.Sabendo que um dos vrtices do quadrado maior, E, coincidecom o centro do quadrado menor, prova que a rea do polgono[IEJC] a quarta parte da rea do quadrado menor.

Sugesto: Percorre as seguintes etapas. Traa as diagonais do quadrado menor. Prova que os tringulos [EIC] e [EJD] so geometricamente

iguais. Utiliza a prova anterior para justicar que a rea do polgono

[IEJC] a quarta parte da rea do quadrado menor.

A

D

E

BC

I

F

G

HJ

1 Observa os quadrilteros.

Indica, pelo nmero correspondente:

1.1 os trapzios no paralelogramos;

1.2 os paralelogramos;

1.3 os retngulos;

1.4 os quadrados;

1.5 os losangos no quadrados.

2 Na gura seguinte esto representados os tringulos [ABC] e [BED]. Sabe-se que A, B e E esto ali-nhados, que AC = BD e que CB = DE.

2.1 Prova que os tringulos [ABC] e [BED] so geometricamente iguais.

2.2 Determina a amplitude do ngulo . Explica o teu raciocnio.

1

23 4 5

67

12111098

45o45o

108o27o

A B E

C D

58

Testar


59

3 Observa a gura.Determina a amplitude dos ngulos e . Explicao teu raciocnio.

4 Considera um paralelogramo [ABCD], tal que as diagonais [AC] e [BD] tm o mesmo comprimento.

4.1 Justica que os tringulos [ACD] e [BCD] so geometricamente iguais.

4.2 Justica que os ngulos ADC e BCD so geometricamente iguais.

4.3 Sabendo que dois ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares e que os n-gulos opostos so geometricamente iguais, verica que o paralelogramo [ABCD] um retngulo.

5 Qual das seguintes armaes falsa?

[A] Num paralelogramo, os lados opostos so congruentes.

[B] Num paralelogramo, os ngulos opostos so congruentes.

[C] Num paralelogramo, as diagonais bissetam-se.

[D] Num paralelogramo, as diagonais so sempre congruentes.

6 Justica que os quadrados so os paralelogramos que tm as diagonais perpendiculares e iguais.

7 Pretende calcular-se a distncia entre duas rvores situadas beirade um lago nos pontos A e B. Para tal, colocou-se uma estaca numponto C e outra num ponto D de modo que os pontos B, C e D estosobre a mesma reta e CD = BC. Colocou-se uma outra estaca em Etal que A, C e E tambm esto sobre uma mesma reta e A C = CE.Com esta construo, possvel concluir que a distncia entre asrvores igual ao comprimento do segmento de reta [DE]? Justicaa tua resposta.

Retirado de Brochura de Apoio ao NPMEB Tringulos e quadrilteros

C

A

B

E

D

110o

51o28o

A

B

D

C

F

60

Resumir

Unidade 5 Tratamento de dados

Estatstica

A Estatstica um ramo da Matemtica que se dedica a recolher, organizar, analisar e interpretar dados.

Ao conjunto de todos os elementos que so alvo de um estudo estatstico d-se o nome de populao. Quandose recolhem dados de todos os elementos da populao, est-se perante um recenseamento (ou censo).

Por vezes, no possvel recolher dados de todos os elementos da populao. Quando isso acontece, escolhe-seuma amostra, ou seja, uma parte da populao. Quando se recolhem dados referentes a uma amostra dapopulao trata-se uma sondagem. Se a amostra for bem escolhida, do estudo estatstico podem resultarconcluses vlidas para toda a populao.

Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequncias. A frequncia absoluta o nmero devezes que se observa um determinado acontecimento. A frequncia relativa o valor que se obtm dividindo afrequncia absoluta pelo nmero total de observaes.

Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um grco.

Exemplos:

1. Grco circular

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Profisses desejadas pelos alunosNmero

de alunos

Profisses

Astronauta Professor Comerciante FutebolistaMdico

Consumo de gua

Higiene pessoal

Autoclismo

Comida e bebida

Roupa

Outros

12,50%

18,75%

6,25%

43,75%

2. Grco de barras

Medidas de localizao

Mdia de um conjunto de dados

A mdia de um conjunto de dados, que se representa por x, o valor que se obtm dividindo a soma dos va-lores observados pelo nmero total de observaes.

61

Exemplo:

Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

x = = 7,5

Mediana de um conjunto de dados

Depois de ordenado o conjunto de dados, podem vericar-se duas situaes:

se o nmero de dados do conjunto for mpar, a mediana (Me) o valor central desse conjunto de dados; se o nmero de dados do conjunto for par, a mediana (Me) a mdia dos dois valores centrais do conjunto

de dados.

Exemplos:

1. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7 e 8. 2. Conjunto de dados: 5, 6, 4, 8, 12, 7, 8 e 10.

Mediana: Mediana:

4 5 6 8 8 12 4 5 6 8 10 12

Me = 7 Me = = 7,5

5 + 6 + 4 + 8 + 12 + 7 + 8 + 108

7 + 82

7 87

7

6

5

4

3

2

1

0

Crescimento demogrfico nas ltimas dcadasPopulao

(mil milhes)

Anos1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

56789

16620

84363

3891

9736

667

14

3

caule folhas

3. Grco de linha

4. Diagrama de caule-e-folhas

62

Praticar


1 Os carboidratos so um composto orgnico indispensvel para o metabolismo energtico. A tabela se-guinte resultou de um estudo estatstico e revela a quantidade de carboidratos existente em determi-nadas marcas de cereais.

1.1 Determina o nmero de marcas de cereais que foram alvo do estudo estatstico.

1.2 Com os dados da tabela, constri um diagrama de caule-e-folhas.

1.3 Quantas marcas de cereais tm mais de 33 gramas de carboidratos na constituio dos seus cereais?

1.4 Qual a percentagem de marcas de cereais que tm, no mximo, 21 gramas de carboidratos naconstituio dos seus cereais?

1.5 Qual a percentagem de marcas de cereais que tm entre 21 e 33 gramas de carboidratos naconstituio dos seus cereais?

16

37

41

43

15

18

37

32

39

35

31

20

41

22

37

15

37

28

16

33

17

27

17

27

26

Carboidratos existentes em diferentes marcas de cereais (gramas)

63

2 Determina a mediana de cada um dos seguintes conjuntos de valores.

2.1 2, 7, 3, 3, 5, 6, 2, 2, 7, 3, 4, 2.

2.2 6, 3, 2, 6, 6, 2, 4, 5, 8, 4.

3 A famlia da Patrcia reuniu-se na noite de consoada para celebrar o Natal. Pais, tios, avs, primos e ir-mos encontram nesta festividade um momento raro de confraternizao.

De seguida apresentam-se as idades dos familiares da Patrcia.

10 76 12 68 12 37 25 22 16 34 20 33 35

3.1 Constri um diagrama de caule-e-folhas.

3.2 Determina a mdia, a mediana e a moda das idades dos familiares da Patrcia.

3.3 Qual das medidas de localizao referidas na alnea anterior a mais adequada para represen-tar o conjunto de dados? Explica o teu raciocnio.

3.4 Indica a percentagem de familiares da Patrcia que tm, pelo menos, 25 anos de idade. Explicao teu raciocnio.

3.5 O Dinis, primo da Patrcia, apenas se pde juntar famlia depois da consoada. Sabendo que,com a sua chegada, a mdia de idades mudou para 30 anos, determina a idade do Dinis. Explicao teu raciocnio.

64

Praticar


4 O casal Silva tem quatro lhos, dos quais trs so raparigas. As idades, em anos, das raparigas so 18,8 e 4 e a do rapaz 10.Qual a mediana das idades dos quatro lhos do casal Silva?

Adaptado de Teste Intermdio de Matemtica, 9.o ano, 12/04/2013

5 As tabelas seguintes mostram os sucessivos Presidentes da Repblica Portuguesa, desde a sua im-plantao, e o perodo de tempo durante o qual presidiram a esse cargo.

5.1 Indica os Presidentes que estiveram durante mais e menos tempo na Presidncia da Repblica.

5.2 Consegues detetar algum perodo bastante conturbado da vida poltica portuguesa? Justica.

(a) Cavaco Silva iniciou o seu mandato a 09/03/2006. Nesta contagem do tempo considermos as datas 09/03/2006 a 09/02/2010.(b) Inclui os dois mandatos de Bernardino Machado.

2006 Cavaco Silva1996-2006 Jorge Sampaio1986-1996 Mrio Soares1976-1986 Ramalho Eanes1974-1976 Costa Gomes1974-1974 Antnio Spnola1958-1974 Amrico Tomas1951-1958 Craveiro Lopes1926-1951 scar Carmona1926-1926 Gomes da Costa1926-1926 Mendes Cabeadas1925-1926 Bernardino Machado1923-1925 Teixeira Gomes1919-1923 Antnio Jos de Almeida1918-1919 Canto e Castro1917-1918 Sidnio Pais1915-1915 Bernardino Machado1915-1915 Telo Braga1911-1915 Manuel de Arriaga

Presidentes

Cavaco SilvaJorge SampaioMrio SoaresRamalho EanesCosta GomesAntnio SpnolaAmrico TomasCraveiro Lopesscar CarmonaGomes da CostaMendes CabeadasTeixeira GomesAntnio Jos de AlmeidaCanto e CastroSidnio PaisBernardino MachadoTelo BragaManuel de Arriaga

47(a)

120120

115,821,44,2

188,584

297,30,40,6

26,2489,6

11,731,7(b)

4,245,2

PresidentesTempo

(aproximado em meses)

65

0

Nmero de mensagens

Nmerode alunos

Nmero de mensagens que os colegasdo Srgio enviaram num dia

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6.1 Organiza os dados numa tabela de frequncias absolutas e relativas.

6.2 Quantos colegas tem o Srgio na sua turma?

6.3 Indica a percentagem de colegas do Srgio que enviou mais de cinco mensagens nesse dia.

6.4 Determina a mdia e mediana do conjunto de dados.

6 O Srgio realizou um inqurito para saber o nmero de mensagens escritas que os colegas de turma en-viaram num determinado dia. Os resultados que obteve esto representados no grco de barras se-guinte.

7.1 Qual foi o grco apresentado pelo governo? E qual foi usado pela oposio?

7.2 Para defenderem as suas posies, tanto o governo como os diferentes partidos da oposio -zeram uso de outras ferramentas estatsticas. Tendo em conta as medidas estatsticas que co-nheces, indica as que tero sido utilizadas pelo governo e as que tero sido utilizadas pelaoposio. Explica a tua escolha.

Adaptado de Brochura de Apoio ao NPMEB OTD

66

Praticar


7 Os grcos seguintes mostram a mesma informao. No entanto, apresentam uma imagem diferente.Supe que um desses grcos foi apresentado pelo governo de um determinado pas e o outro pela opo-sio.

Grco I Grco II

8 Considera o conjunto de dados seguinte.

2 8 9 8 3 4 a 7

Sabendo que a mediana 6, qual o valor de a?

250

200

150

100

60

0

Anos

Desemprego entre 2000 e 2003

Nm

eros

de

dese

mpr

egad

os(e

m m

ilhar

es)

2000 2001 2002 2003 2004

230220210200190180170160150

Anos

Desemprego entre 2000 e 2003

Nm

eros

de

dese

mpr

egad

os(e

m m

ilhar

es)

2000 2001 2002 2003 2004

67

9 O queijo, proveniente do leite, um alimento rico em clcio. No entanto, necessrio no abusar, j que,de um modo geral, um alimento muito calrico e a maior parte das vezes rico em gordura. Na tabelaseguinte apresentam-se, para vrios tipos de queijo, a quantidade de gordura e o nmero de calorias, porcada 100 gramas.

Considera os dados respeitantes quantidade de gordura, por cada 100 gramas de queijo.

9.1 Representa essa informao atravs de um diagrama de caule-e-folhas.

9.2 Como podes observar, as representaes anteriores revelam um determinado tipo de enviesa-mento. Atendendo a este facto, o que podes esperar relativamente aos valores da mdia e da me-diana? Explica o teu raciocnio. Comprova a tua tese determinando os valores das medidas detendncia central referidas.

Adaptado de Anlise de Dados, Ministrio da Educao DGDIC

Alimento (100 g)

Queijo Brie Queijo Camembert Queijo da Ilha Queijo da Serra curado Queijo da Serra fresco Queijo de Azeito Queijo de vora Queijo de Serpa Queijo de Tomar Queijo amengo 20% Queijo amengo 30% Queijo amengo 45% Queijo fresco Queijo Gorgonzola Queijo Gruyre Queijo Parmeso Queijo Roquefort Queijo Suo

Gordura (g)

2023263227253426278

1423213720283229

Calorias

263313357385327309412330305185246315265407315401371357

Alimento com baixo teor em gordura mas podendo ter um elevadocontedo em calorias.

Alimento intermedirio: consumir com moderao. Alimento rico em gordura: comer pontualmente ou moderar o seu

consumo.

68

Praticar


10 No ensino prossional, o nmero de horas semanais na disciplina de Matemtica varia de acordo comos cursos e com os anos de escolaridade.Num agrupamento de escolas, registou-se o nmero de horas semanais na disciplina de Matemtica decada turma do ensino prossional.Com base nesse registo, elaborou-se o seguinte grco.

11 A Ana registou o nmero de pessoas que a sua me atendeu na papelaria durante uma semana e registouos dados na tabela seguinte.

Qual o nmero mdio de horas semanais na disciplina de Matemtica das turmas dos cursos do en-sino prossional deste agrupamento? (Escolhe a opo correta.)

[A] 2,2 [B] 2,3 [C] 22 [D] 23

Adaptado de Teste Intermdio de Matemtica, 9.o ano, 12/04/2013

11.1 Determina a mdia e a mediana das pessoas atendidas pela me da Ana durante essa semana.

11.2 Qual seria a mdia de pessoas atendidas se na quinta-feira tivesse atendido 40 pessoas? E amediana? Mostra como chegaste tua resposta.

30

Segunda-feira

24

Tera-feira

31

Quarta-feira

28

Quinta-feira

42

Sexta-feira

21

Sbado

1 1,5 2 2,5 3

4

10

13

8

15

Nmero de horas semanais

Nmero de turmas

Nmero de horas semanais de Matemtica

69

12 Na turma da Marta zeram um estudo acerca do nmero de idas ao cinema dos alunos durante o pri-meiro perodo e concluram que a mediana era quatro. Sabe-se que a turma tem 27 alunos, que a Martafoi ao cinema s uma vez e a colega Ana foi oito vezes.

12.1 Qual o nmero mnimo e mximo de alunos que foi ao cinema:

a) mais do que quatro vezes?

b) menos do que quatro vezes?

12.2 Sabendo que a mdia do conjunto de dados 3, apresenta, justicando, um possvel conjunto dedados correspondente a este estudo.

Adaptado de Caderno de

Caderno Exercicios 7º Ano

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