Cadenas marko

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

TEMA 3

Introducción a las cadenas de Markov de primer orden

1. Definición de cadenas de Markov2. Tipos de estados y de cadenas de Markov.

Propiedades3. Comportamiento a largo plazo de cadenas de

Markov. Aplicaciones4. Comportamiento a corto plazo de cadenas de

Markov. Tiempos y probabilidades del primer paso

5. El caso particular de las cadenas absorbentes. Aplicaciones

6. Estudio de casos reales de aplicación. Los procesos de markov en los análisis coste-efectividad

Introducción

Las cadenas de markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.

Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinámica de las averías de máquinas para decidir política de mantenimiento; evolución de una enfermedad,…

Beatriz Gonzalez Lopez-Valcarcel

1. Definición de Cadena de Markov

• Una Cadena de Markov (CM) es:• Un proceso estocástico• Con un número finito de estados (M)• Con probabilidades de transición

estacionarias• Que tiene la propiedad markoviana


1

Proceso estocástico:

• Es un conjunto o sucesión de variables aleatorias: {X(t)CG } definidas en un mismo espacio de probabilidad.

• Normalmente el índice t representa un tiempo y X(t) el estado del proceso estocástico en el instante t.

• El proceso puede ser de tiempo discreto o continuo si G esdiscreto o continuo.• Si el proceso es de tiempo discreto, usamos enteros pararepresentar el índice: {X1, X2, ...}


1

Ejemplos de procesos estocásticos:

1. Serie mensual de ventas de un producto2. Estado de una máquina al final de cada semana

(funciona/averiada)3. Nº de clientes esperando en una cola cada 30 segundos4. Marca de detergente que compra un consumidor cada vez

que hace la compra. Se supone que existen 7 marcas diferentes

5. Nº de unidades en almacén al finalizar la semana


1

– Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)

– Ciclo de markov (“paso”) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)

– Probabilidades de transición entre estados, en un ciclo (matriz P)

– Distribución inicial del sistema entre los M estados posibles

ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

1

PROPIEDAD MARKOVIANA

Un proceso estocástico tiene la propiedad markoviana si las probabilidades de transición en un paso sólo dependen del estado del sistema en el período anterior (memoria limitada)

1


P(n) es la matriz de transición en n pasos, de orden (M+1)x(M+1)

1

PROPIEDAD MARKOVIANA1

Tipos de modelos de Markov:• Procesos de Markov (Modelos semi-

markovianos): Las probabilidades de transición entre estados pueden variar a medida que transcurren más ciclos

– Ejemplo: para modelizar la esperanza de vida, el riesgo de muerte aumenta con la edad

• Cadenas de Markov: Las probabilidades de transición se suponen constantes a lo largo del tiempo

LAS CADENAS DE MARKOVSON UN CASO PARTICULAR DE MODELOS DE MARKOV

1


Ejemplos:

Comportamiento (sube/baja) del precio de las acciones hoy depende de lo ocurrido ayer

Problema de la ruina de un jugador de casino

Elección de marca: Con qué línea aérea volar a Madrid?

1

Ejercicio 1: Tres agencias de viaje disponen de información respecto de los desplazamientos en vacaciones de semana santa.

Estado futuro n=1

Estado actual n=0 No viajar V. entre islas V. fuera

No viajar 40 20 40

V. entre islas 50 10 40

V. fuera 10 70 20

a) Supuestos necesarios para considerar esta situación como cadena de Markov de primer orden

b) Calcular la probabilidad de que los clientes que no han viajado estas vacaciones lo hagan fuera de las islas dentro de 2 años.

1

Ejercicio 2: La carrera de diplomado en CCEE tiene 3 cursos. A partir de los datos facilitados por el decanato del centro se sabe que el 35% y el 26% de los alumnos de primero y segundo abandonarán los estudios. El 28% de los alumnos de primero repiten curso, siendo este porcentaje del 20% y 30% para los alumnos de segundo y tercero respectivamente.

1

Tres laboratorios farmacéuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente

EJEMPLO 1: EL REPARTO DELMERCADO A LARGO PLAZO

EN UN OLIGOPOLIO

Matriz de transición en un paso (ciclo)

A B CA 0,8 0,1 0,1B 0,15 0,82 0,03C 0,13 0,12 0,75

Ciclo: Mes

Las filas suman 1

¿Cómo se repartirán el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 año?, ¿A largo plazo?

1

EJEMPLO 2: LA EVOLUCIÓN CLÍNICA DE LOSPACIENTES CON VÁLVULA CARDIACA

SOMETIDOS A TRATAMIENTO ANTICOAGULANTE

BIENCON

SECUELAS

MUERTO

3 estados (1 absorbente, 2 transitorios)

Ciclo=mes

Utilidades = Nivel salud

Distribución inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien


Ciclo=mes



1



BIENCON

SECUELAS

MUERTO

0.6 0.6

0.2

0.2 3 estados (1 absorbente, 2 transitorios)

Ciclo=mes




Ciclo=mes



1

Tres laboratorios farmacéuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente


EN UN OLIGOPOLIO

Matriz de transición en un

ciclo (P)

A B CA 0,8 0,1 0,1B 0,15 0,82 0,03C 0,13 0,12 0,75

Ciclo: Mes

Las filas suman 1

¿Cómo se repartirán el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 año?, ¿A largo plazo?

1

• Este es un ejemplo de cadena de Markov irreductible y ergódica. Todos los estados son recurrentes y están comunicados entre sí, formando una sola clase.Hay solución de estado estable (reparto del mercado a largo plazo, independiente de la situación inicial)


EN UN OLIGOPOLIO

Reparto del mercado después de n ciclos = P0*Pn

1 mes.....P1= [0.3350 0.2540 0.4110]

2 meses ....p2 =[ 0.3595 0.2911 0.3494]

6 meses ...... p6 =[ 0.4030 0.3543 0.2427]

1 año ....... p12 = [ 0.4150 0.3704 0.2146]

2 años ...... p24 =[ 0.4165 0.3722 0.2113]

3 años ....... p36 =[ 0.4165 0.3722 0.21131]Solución de estado estable

1

EJEMPLO 3: EL HÁBITO TABÁQUICODE LOS JÓVENES

5 estados (1 transitorio, 4 recurrentes)

Ciclo= un año

Distribución inicial de la cohorte (N=1.340): (0.58 0.28 0.05 0.03 0.06)

5 estados (1 transitorio, 4 recurrentes)

Ciclo= un año

Distribución inicial de la cohorte (N=1.340): (0.58 0.28 0.05 0.03 0.06)

Nunca lo ha probado

Lo ha probado, pero ahora no

fuma

Fuma menos de una vez por

semana

Fuma los fines de semana

Fuma diariamente Total

Nunca lo ha probado 77.7% 17.2% 3.2% 0.9% 1.0% 100.0%Lo ha probado, pero ahora

no fuma 0.0% 75.0% 12.2% 4.7% 8.1% 100.0%Fuma menos de una vez

por semana 0.0% 34.0% 22.0% 12.0% 32.0% 100.0%Fuma los fines de semana 0.0% 26.5% 17.6% 26.5% 29.4% 100.0%

Fuma diariamente 0.0% 6.3% 8.3% 0.0% 85.4% 100.0%Total 50.4% 31.8% 6.7% 3.0% 8.1% 100.0%

1

Tipos de estados y de cadenas de markov de primer orden

• Para clasificar los estados y las CM tenemos que definir algunos conceptos:• Tiempos del primer paso y de recurrencia• Accesibilidad y comunicación entre estados

2

Tiempos del primer paso/recurrencia (Corto plazo)

Con lo visto hasta el momento podemos calcular la probabilidad, dado que el proceso se encuentra en el estado i, de que el proceso se encuentre en el estado j después de n periodos Pij

(n).

2

a) Comenta el contenido de la matriz de transición P facilitada por el comercio.

b) Sabiendo que hay dos cámaras al final de la primera semana (x1=2), (x2=1), (x3=0), (x4=3) y (x5=1). Obtener el tiempo de primera pasada para ir del estado 3 al 1, y el tiempo de recurrencia del estado 3.

EJEMPLO: Un vendedor de cámaras fotográficas lleva acabo la siguiente política de inventario. Mantiene durante la semana de trabajo hasta un máximo de 3 cámaras en el almacén para su venta. Si al final de la semana le quedan en el almacén alguna cámara entonces no pide ninguna al fabricante. De partida en el almacén hay 3 cámaras (x0=3).

2

Tiempos de primera pasada/recurrencia (Corto plazo)

En general podemos considerar a los tiempos de primera pasada como variables aleatorias, por tanto con una distribución de probabilidad asociada a ellos. Dichas distribuciones de probabilidad dependerán de las probabilidades de transición del proceso.

fij(1)=pij

(1)=pij

fij(2)=pij

(2)-fij(1)pij

.............................................

fij(n)=pij

(n)-fij(1)pij

(n-1)-fij(2)pij

(n-2)....-fij(n-1)pij

2

Tiempos de primera pasada/recurrencia (Corto plazo)

Como generalmente es bastante engorroso calcular las fij(n) para

todas las n, se suele optar por obtener el tiempo esperado de primera pasada del estado i al estado j

2

(n)

(n)

Podemos considerar fij(n) para (n=1,2,..) como la función de

probabilidad de la variable aleatoria tiempo de primera pasada

Una vez que el proceso se encuentra en el estado i no lo abandona

Una vez que el proceso se encuentra en el estado i existe una prob.>0 de no regresar

Tipos de estados y Cadenas de Markov2

Ejemplo Identifica los distintos estados en la siguiente matriz de transición.

Estados 0 1 2 3 4P 0 0.25 0.75 0 0 0

1 0.5 0.5 0 0 02 0 0 1 0 03 0 0 0.33333333 0.66666667 04 1 0 0 0 0

2

Tipos de estados y Cadenas de Markov2

Tipos de estados y Cadenas de Markov.2

Comportamiento a largo plazo de las Cadenas de Markov

3

Comportamiento a largo plazo de las Cadenas de Markov2

Comportamiento a largo plazo de las Cadenas de Markov: el caso de las cadenas absorbentes

4

• CM absorbente:– Tiene al menos un estado absorbente

– Desde cualquier estado no absorbente se puede acceder a algún estado absorbente

• A largo plazo, termina en absorción con probabilidad 1

• Interesa calcular:– Probabilidad de absorción por cada estado absorbente

– Numero esperado de pasos antes de la absorción

Comportamiento a largo plazo de las Cadenas de Markov: el caso de las cadenas absorbentes

4

• Ingredientes de una cadena de markov:– Conjunto de K estados exhaustivos y mutuamente

excluyentes definen las posibles situaciones (ej. Bien-discapacitado-muerto)

– Ciclo: periodo de tiempo en el que ocurren transiciones entre estados (ej: un mes)

– Probabilidades de transición entre estados en un ciclo

• Se suponen constantes en el tiempo, e idénticas para todos los pacientes

• Sus valores forman la matriz de transición en un paso (P) – Distribución inicial de la cohorte de pacientes entre los K

estados

EJEMPLOS DE APLICACIONESCÓMO HACER EL MODELO

REALISTAPropiedad Propiedad

markoviana: markoviana: falta de memoria falta de memoria

(¿Realista?...)(¿Realista?...)

Propiedad Propiedad markoviana: markoviana:

falta de memoria falta de memoria (¿Realista?...)(¿Realista?...)



BIENBIENCON

SECUELASCON

SECUELAS

MUERTOMUERTO

Se incluye un estado transitorio de proceso agudo (embolia o hemorragia interna)

Se incluye un estado transitorio de proceso agudo (embolia o hemorragia interna)

Complicando el modelo para hacerlo más realistaComplicando el modelo para hacerlo más realista



BIENBIENCON

SECUELASCON

SECUELAS

MUERTOMUERTO

Estado transitorio ACV: para un suceso que tiene solo efectos a corto plazo

Dos usos:

1) Incorporar un valor específico de la utilidad (o coste)

2) Asignar temporalmente diferentes probabilidades de transición

Estado transitorio ACV: para un suceso que tiene solo efectos a corto plazo

Dos usos:

1) Incorporar un valor específico de la utilidad (o coste)

2) Asignar temporalmente diferentes probabilidades de transición

Complicando el modelo para hacerlo más realistaComplicando el modelo para hacerlo más realistaACCIDENTE

CEREBRAL

VASCULAR

ACCIDENTE

CEREBRAL

VASCULAR

• Ingredientes de una cadena de markov:– Conjunto de K estados exhaustivos y mutuamente

excluyentes definen las posibles situaciones (ej. Bien-discapacitado-muerto)

– Ciclo: periodo de tiempo en el que ocurren transiciones entre estados (ej: un mes)

– Probabilidades de transición entre estados en un ciclo

• Se suponen constantes en el tiempo, e idénticas para todos los pacientes

• Sus valores forman la matriz de transición en un paso (P) – Distribución inicial de la cohorte de pacientes entre los K

estados

CONCEPTOS BÁSICOSEsta limitación Esta limitación generalmente puede generalmente puede

resolverse definiendo resolverse definiendo estados distintos para estados distintos para pacientes con distintos pacientes con distintos

antecedentesantecedentes

Esta limitación Esta limitación generalmente puede generalmente puede

resolverse definiendo resolverse definiendo estados distintos para estados distintos para pacientes con distintos pacientes con distintos

antecedentesantecedentes

Software y bibliografía

• Usaremos WinQSB

• Un excelente texto para este tema es el de Hillier y Lieberman (está referenciado en el programa)

PROCESO DE DECISION MARKOVIANO

CARACTERISTICAS

• SE OBSERVA LOS ESTADOS i DE UNA CADENA DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO DESPUES DE CADA TRANSICION (i=0,1,….M)

• DESPUES DE CADA OBSERVACION, SE SELECCIONA UNA DECISION (ACCION) k DE UN CONJUNTO DE K DECISIONES POSIBLES (k=0,1,2,… K)

DECISIONES POR ESTADO

• SI SE ELIGE LA DECISION di = k EN EL ESTADO i, SE INCURRE EN UN COSTO QUE TIENE UN VALOR Cik. TAMBIEN SE MODIFICA LAS PROBABILIDADES DE TRANSICION.

• LA DECISION di = k EN EL ESTADO i DETERMINA CUALES SERAN LAS PROBABILIDADES DE TRANSICION p ij (k) PARA j= 0,1,…M. GENERA UNA MATRIZ DE RENDIMIENTOS r ij O DE COSTOS c ij.

POLITICA O REGLA DE DECISION

• UN CONJUNTO DE DECISIONES PARA CADA UNO DE LOS ESTADOS i RESPECTIVOS : (d 0, d 1, d 2, … d M ), DEFINE UNA POLITICA PARA EL PROCESO DE DECISION.

• EL OBJETIVO ES ENCONTRAR UNA POLITICA OPTIMA DE ACUERDO A ALGUN CRITERIO DE COSTO. UN CRITERIO COMUN ES MINIMIZAR EL COSTO PROMEDIO ESPERADO POR UNIDAD DE TIEMPO. ESTE COSTO PUEDE AJUSTARSE, MEDIANTE UN FACTOR DE DESCUENTO.

APLICACIÓN A PROBLEMA DEL JARDINERO

• VARIABLE ALEATORIA DE ESTADO: CONDICIONES DEL SUELO X t SE DETERMINAN TRES POSIBLES ESTADO, DESPUES DE UNA INSPECCION: ( QUE PUEDE SER UN ANALISIS FISICO-QUIMICO DE SUELOS).

• E1: BUENAS CONDICIONES 0• E2: REGULARES CONDICIONES 1• E3: MALAS CONDICIONES 2=M

PROB. DE TRANSICION

i \ j 0 1 2

0 0,2 0,5 0,3 1

1 0 0,5 0,5 1

2 0 0 1 1

MATRIZ DE RENDIMIENTOS

j \ i 0 1 2

0 7 6 3

1 0 5 1

2 0 0 -1

ACCIONES A TOMAR

k Descripcion de la acción del jardinero

1 No usar fertilizantes

2 Usar fertilizantes

DEFINIR POLITICA: Usar fertilizante en caso de estado 2: malas condiciones.

Estado i \ k 1 2 d i

0 1 0 0

1 1 0 0

2 0 1 1

COSTO DE LA POLITICA R1:

Estado i \ k 1 2

0 0 2

1 0 1

2 0 1

NUEVAS PROB TRANSICION

i \ j 0 1 2

0 0,3 0,6 0,1 1

1 0,1 0,6 0,3 1

2 0,05 0,4 0,55 1

Nuevos COSTOS

i \ j 0 1 2

0 6 7 6

1 5 4 3

2 -1 0 -2

COSTOS ESPERADOS POR ESTADO Y ACCION

i V i (k)

0 4,7 0,3x6 + 0,5x6 + 0,1x-1

1 3,1 0,1x7 + 0,6x4 +0,3x0

2 0,4 0,05x6 + 0,4x3 + 0,55x-2

SELECCIÓN DE POLITICAS

• CON LOS COSTOS ESTIMADOS EN CADA POLITICA, ENTONCES SERA RAZONABLE SELECCIONAR LOS MENORES COSTOS.

• SI LOS RENDIMINTOS FUERAN UTILIDADES ENTONCES SE BUSCAR A LOS MAYORES UTILIDADES.

METODOS PARA SELECCIONAR POLITICAS

• ETAPAS FINITAS– PROGRAMACION DINAMICA

• ETAPAS INFINITAS– POLITICAS EXHAUSTIVAS– MEJORAMIENTO DE POLITICAS– PROGRAMACION LINEAL

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