SEMANA 14

SEMANA 14 PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE, CONDICIONES DE EQUILIBRIOProbabilidades de estado estable,Condiciones de equilibrioREYES ARAUCO SAMIR

Las cadenas de markov poseen una propiedad notable en cuanto a que tienden a aproximarse a lo que se llama estado estable.

Considerando estos dos ejemplos, de anlisis de transicin, En el sistema de dos estados, P(S1) result ser 0.75 al principio y despus y 0.516. Estas probabilidades se mueven hacia un lmite. En forma anloga, en el sistema de tres estados puede observarse que P(S2), por ejemplo, adquiere los valores ... Despus de unos cuantos ciclos nada ms, las probabilidades de estado comienzan a asentarse o estabilizarse.

REYES ARAUCO SAMIRCuando una cadena de Markov ha llegado lo suficientemente lejos como para estar cerca de estos limites, se dice que ha alcanzado un estado estable.Ademas estos lmites son los mismos, independientemente del punto de partida del sistema.

Es importante hacer notar que la existencia de una condicin de estado estable es una propiedad adicional de las cadenas de Markov. De ninguna manera afecta las probabilidades de transicin o la dependencia de cada estado en el estado anterior. Los lmites de estado estable se refieren slo al porcentaje de tiempo a largo plazo que el sistema se encontrar en cada estado particular.REYES ARAUCO SAMIRMtodo de la suma de flujos

ROBLES LOPEZ JHONEste mtodo est basado en el concepto de que todo lo que entra debe salir. El diagrama de estados se usa para presentar los flujos. En la figura 6 se muestra de nuevo el ejemplo anterior de dos estados. Para cada estado puede escribirse una ecuacin tal que para el estado k se cumpla:

ROBLES LOPEZ JHONEsta ecuacin se ve peor de lo que en realidad es. Observando el estado S, en la figura 6, pngase atencin slo en las flechas entre los estados. Para los flujos que llegan, se tiene

0.750.75Figura 6Un ejemplo de dos estados0.250.25S1S2ROBLES LOPEZ JHONPara los flujos que salen, se suman las probabilidades de transicin a todos los otros estados. En este caso slo hay una, 0.25. As, la ecuacin para S1 es0.25 P(S2) = 0.25 P(S1)De igual manera, el flujo hacia adentro para el estado S2 es 0.25 P(S1) y el flujo hacia afuera es 0.25P(S2). Esto da para S20.25 P(S1) = 0.25P(S2) El hecho de que estas dos ecuaciones sean iguales es una coincidencia. Pero no son independientes; as, se necesita una relacin ms:P(Sl) = P(S2) = 1Esto proporciona tres ecuaciones con dos incgnitas que pueden resolverse por eliminacin. El resultado esP(S1) = P(S2) = 0.5

ROBLES LOPEZ JHON

Si el estado es 1, tendremos queLa probabilidad de pasar al estado 0 es igual a la probabilidad de que en ese intervalo se produzca un egreso (.t) y ningn ingreso (1- .t):

La probabilidad de permanecer en el propio estado 1 es igual a las probabilidad de que no haya ningn ingreso ni ningn egreso

La probabilidad de pasar al estado es igual a la probabilidad de que haya un ingreso a la vez que no se produzca ningn egreso:

Si el estado del sistema es 2:La probabilidad de pasar al estado 1 en un paso es igual a la probabilidad de que se produzca un egreso

La probabilidad de permanecer en el mismo estado 2 es igual a la probabilidad de que no se produzca un egreso:

En definitiva, la matriz de transicin para el sistema ser la siguiente:

En rgimen permanente se cumple que:

Realizando el producto matricial de dos vectores tendremos:

Ejemplo 2:

ROBLES LOPEZ JHONPara el estado S1 se tiene0.1P(S2) + 0.1P(S3) = (0.3 + 0.3)P(S1)

Para el estado S2, se tiene 0.3P(S1) + 0.3P(S3) = (0.1 + 0.1)P(S2)

Para el estado S3 se tiene0.3P(S1) + 0.1P(S2) = (0.1 + 0.3)P(S3)

Agregamos la ecuacin general P(S1) + P(S2) + (S3) = 1

ARTEAGA VALERIO ANTHONYOrdenando las ecuaciones, para poner todo junto se tienen cuatro ecuaciones:

-0.6P(S1) + 0.1P(S2) + 0.1 P(S3) = 00.3P(S1) - 0.2P(S2) + 0.3 P(S3) = 00.3 P(S1) + 0.1P(S2) - 0.4 P(S3)= 0 P(S1) + P(S2) + P(S3) = 1

Cuando se resuelve un conjunto de ecuaciones como ste, la ltima ecuacin no puede eliminarse. Si se usan slo las primeras tres, al final se tendr una identidad ya que no son independientes. ARTEAGA VALERIO ANTHONYUna manera de resolverlas es por eliminacin. Se despeja P(S1) en la primera ecuacin y despus se sustituye el resultado en las ltimas dos:

P(S1) = I/6P(S2) + 1/6P(S3)0.3[1/6P(S2) + 1/6P(S3)] + 0.1P(S2)-0.4P(S3) = 0[1/6P(S2) + 1/6P(S3)] + P(S2)+ P(S3) = 1

Sumando trminos semejantes, resultan dos ecuaciones con dos incgnitas:0.15P(S2) - 0.35P(S3) = 01.17P(S2) + 1.17P(S3) = 1

ARTEAGA VALERIO ANTHONYDespus puede eliminarse P(S3) multiplicando la primera ecuacin por 1.17/0.35 y sumando las dos ecuaciones:

(1.17 / 0.35) (0.15)P(S2) - 1.17P(S3) = 01.17P(S2) - 1.17P(S3) = 1------------------------------------------------------ 1.67P(S2) = 1 P(S2) = 0.5988 = 0.6Con este resultado se encuentra P(S3):

1.17(0.6) + 1.17P(S3) = 1 P(S3) = 0.26ARTEAGA VALERIO ANTHONYPor ltimo, se sustituyen los valores en la ecuacin de P(S1):

P(S1) = 1/6 (0.6) + 1/6 (0.26) P(S1) = 0.14

Segn los resultados obtenidos en el anlisis de transicin, puede observarse que el sistema estaba cerca de estos lmites despus de slo cinco ciclos.

ARTEAGA VALERIO ANTHONYAplicacin a la administracin: cambio de marcaJames Valladares VegaAplicacin a la administracin: cambio de marcaLas compras de los consumidores estn influidas por la publicidad, el precio y muchos otros factores. Con frecuencia un factor clave es la ltima compra del consumidor.VALLADARES VEGA JAMESEJEMPLOEcuaciones de estado estableP(A) = 0.8 P(A) + 0.3 P(B)P(B) = 0.2 P(A) + 0.7 P(B)P(A) + P(B) = 1

La solucin de este sistema es:P(A) = 0.6P(B) = 0.4

La marca A capturar a la larga el 60 % del mercado y las otras marcas tendrn el 40%.

En este ejemplo, la marca A es la marca de inters y la marca B representa todas las dems marcas. Los clientes son bastante leales, el 80 % de ellos son clientes que repiten. La oposicin conserva el 70 % de sus clientes.0.30.2AB0.80.7DE:/A:Marca AMarca BMarca A0.80.2Marca B0.30.7VALLADARES VEGA JAMESCmo debe asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas?MatrizAnuncios dirigidos a los clientes de la

b) Anuncios dirigidos a otros compradores

Tabla N 04 La Publicidad altera la MatrizSi se dirige a los clientes de la marca A (Ver tabla N 04 parte a)

P(A) = 0.85 P(A) + 0.3 P(B)P(B) = 0.15 P(A) + 0.7 P(B)P(A) + P(B) = 1La solucin de este sistema es:P(A) = 0.75P(B) = 0.25

si cada incremento se un punto porcentual en el mercado aumenta las ganancias en S/. 50 000 nuevos soles, el presupuesto de publicidad es S/. 100 000 y esto podra aumentar la lealtad a la marca a 85% o incrementar el cambio a la marca a un 35%DE:/A:Marca A Marca A0.850.15Marca B0.30.7DE:/A:Marca A Marca A0.80.2Marca B0.350.65Cmo debe asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas?Si se dirige a los otros compradores (Ver tabla N 04 parte b)P(A) = 0.8 P(A) + 0.35 P(B)P(B) = 0.2 P(A) + 0.65 P(B)P(A) + P(B) = 1La solucin de este sistema es:P(A) = 0.64P(B) = 0.36Respuesta: el dirigir la publicidad a los clientes actuales traer el mayor incremento en el porcentaje de mercado, 15 puntos (P(A) = 0.60 en el estado estable y nueva P(A) = 0.75 lo que nos da un incremento de 15 puntos), por lo que la ganancia sera 15 x 50 000 = S/. 750000 nuevos soles con un gasto de S/. 100000.

MatrizAnuncios dirigidos a los clientes de la

b) Anuncios dirigidos a otros compradores

DE:/A:Marca A Marca A0.850.15Marca B0.30.7DE:/A:Marca A Marca A0.80.2Marca B0.350.65VALLADARES VEGA JAMESCONDICIONES DE EQUILIBRIO

OLIVOS CERNA HANSCONDICIONES DE EQUILIBRIOSolo puede haber una condicin de equilibrio si ninguno de los competidores altera la matriz de probabilidades de transicin. Es razonable suponer que podra llegarse en el futuro a un estado de equilibrio, con respecto a las participaciones de mercado. El intercambio de clientes en trminos de retencin, ganancias o prdidas, seria esttico en el momento en que se lograra el equilibrio. En trminos de mercadotecnia, cuales son las participaciones de mercado finales o de equilibrio?

Pueden emplearse varias matrices de probabilidades de transicin para demostrar las condiciones de equilibrio. La matriz de probabilidades de transicin de A no gana clientes sino que los pierde a favor de B y de C, es :

OLIVOS CERNA HANSEs evidente que al final, B y C se apoderaran de todos los clientes de A, porque A pierde .10 a favor de B y .05 a favor de C. Sin embargo, lo que es mas importante, A no gana clientes de B o de C. Otro tipo de equilibrio que puede ocurrir es la condicin en que A nunca pierde ninguno de sus clientes.

Como A no sufre perdidas de Mercado, solo es cuestin de tiempo para que tenga todos los clientes de B y C, a lo que se llama sumidero o Cuenca de un Estado, porque al final una empresa obtiene toda la clientela. En el primer ejemplo esto se llama sumidero o Cuenca de dos Estados, porque al final, dos empresas comparten toda la clientela del Mercado.El ejemplo mas comn es aquel en que ninguna empresa obtiene toda la clientela, sea que en un total de tres empresas, ni una ni dos de ellas se apoderara de todo el Mercado. OLIVOS CERNA HANSCompra actualMarca AMarca BMarca CTOTALESMarca A = 16905078453381690Marca B = 338067620286763380Marca C = 338084584516903380TOTALES2028371827048450EJEMPLO 01:Consumidores de caf en el rea de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En marzo de 2015 se hizo una encuesta en la que se entrevist a las 8450 personas que compran caf y los resultados fueron:

Compra en el siguiente mesSi las compras se hacen mensualmente, cul ser la distribucin del mercado de caf en Pontevedra en el mes de junio? A la larga, cmo se distribuirn los clientes de caf? En abril, cual es la proporcin de clientes leales a sus marcas de caf?OLIVOS CERNA HANS

Matriz de prob. de transicinSOLUCIN: a) Si las compras se hacen mensualmente, cul ser la distribucin del mercado de caf en Pontevedra en el mes de junio?

Con las frecuencias anteriores calculamos las probabilidades de transicin, conservando el mismo orden que la tabla (A, B, C) es:

OLIVOS CERNA HANSb) A la larga, cmo se distribuirn los clientes de caf? - se trata de la situacin o estado estable:

OLIVOS CERNA HANSc) En abril, cual es la proporcin de clientes leales a sus marcas de caf?

En Marzo la proporcin de clientes de A es: 2028/8450 = 0.24; para B es 3718/8450 = 0.44 y para C es 2704/8450 = 0.32. En el mes de abril la proporcin es:

OLIVOS CERNA HANSMatriz de prob. de transicin