Cadena Markov

CADENAS DE MARKOV

Sea Xt la variable aleatoria para t0, t1, t2, …, tn, donde t0 < t1 < t2 < … < tn.

Sea E0, E1, E2, …, Ej para j=0,1, 2, 3, … los estados exhaustivos y mutuamente excluyentes de un sistema en cualquier tiempo.

A (0) = { a0 (0) , a1 (0) , a2 (0) , … , an (0) }

Sea pij la probabilidad de transicion o condicional de estar en el estado j dado que el periodo anterior estaba en el estado i. pij = P { X tm = j | X t m-1 = i }

Estas probabilidades dan origen a la matriz de transiciones P

p 00 p 01 p 02 … p 0np 10 p 11 p 12 … p 1n

P = p 20 p 21 p 22 … p 2n. . . .. . . .p n0 p n1 p n2 … p nn

donde p ij >= 0 y Σ p ij = 1 para toda i j=0,1, … n

El comportamiento futuro del sistema se puede predecir en base a :

Para el periodo 1 aj (1) = a1 (0) p 1j + a2 (0) p 2j + … an (0) p nj

Para el periodo 2 aj (2) = a1 (0) p 1j (2) + a2 (0) p 2j (2) + … an (0) p nj (2)

Para el periodo m aj (m) = a1 (0) p 1j (m) + a2 (0) p 2j (m) + … an (0) p nj (m)

En la notacion matricial A (m) = A (0) x P (m) ó

óDonde m significa el comportamiento a largo plazo.

Cadena de Markov irreductible, cuando se comunican todos los estados.

Estados de conjunto cerrado, cuando llega a un estado, permanece indefinidamenteEstados de conjunto absorvente, cuando p ij = 1.

Sea f jj la probabilidad de que regrese al estado j, entonces: pjj = f jj (1)f jj (m) = p jj (m) - Σm f jj (m) p jj (n-m)f 22 (5) = p 22 (5) - f 22 (1) p 22 (4) - f 22 (2) p 22 (3) - f 22 (3) p 22 (2) - f 22 (4) p 22 (1)

Sea u jj el tiempo de recurencia media de la cadena: u jj = Σ n f jj (m).

Clase de estado de la cadena1. Un estado es transitorio si fjj <1, es decir u jj = infinito2. Un estado es recurrente si fjj = 1.

Sea aj(0) la probabilidad absoluta de que el sistema se encuentre en el estado Ej en el tiempo to.

A 1xn (0) x P nxn (m)

P nxn (m) x A nx1 (0)

3. Un estado recurrente es nulo si ujj es infinito.4. Un estado es periódico con período t si un regreso es posible en t, 2t, 3t ….5. Un estado es ergódico si es nulo y aperiodico.

Aplicación de notación de Cadenas de Markov

X t : Preferencia de marca de las bebidas gaseosas, en el periodo t, de una población.

Estados exhaustivos y mutuamente excluyentes. Se descartar marcas pequeñas o locales.E1: Kola Real; E2: Concordia; E3:Inka Cola; E4:Coca Cola. j = 0,1,2,3 n=3.

Probabilidad absoluta: A (0) = { 22%, 30%, 25%, 23% }Equivalente a la participacion de mercado o la probabilidad de la preferencia de la marca en t 0.

a0 (0) = probabilidad de que al hacer un muestreo en la población se prefiera a Kola Real.a1 (0) = probabilidad de que al hacer un muestreo en la población se prefiera a Concordia.a2 (0) = probabilidad de que al hacer un muestreo en la población se prefiera a Inka Cola.a3 (0) = probabilidad de que al hacer un muestreo en la población se prefiera a Coca Cola.

Probabilidades de transición p ijj \ i 0 1 2 3

0 0.795 0.133 0.000 0.0401 0.091 0.767 0.109 0.0602 0.045 0.017 0.891 0.0403 0.068 0.083 0.000 0.860

Σ 1.000 1.000 1.000 1.000

P 00 La marca Kola Real retiene a sus clientes con una probabilidad de 79.5% P 11 La marca Concordia retiene a sus clientes con una probabilidad de 76.7% P 22 La marca Inka Kola retiene a sus clientes con una probabilidad de 89.1%P 33 La marca Coca Cola retiene a sus clientes con una probabilidad de 86.1%gananciasP 01 Existe una probabilidad de 13.3 % para Kola Real de ganar clientes de Concordia.P 02 Existe una probabilidad de 0.0 % para Kola Real de ganar clientes de Inka Cola .P 03 Existe una probabilidad de 4.0 % para Concordia de ganar clientes de Cola Cola.perdidasP 10 Existe una probabilidad de 9.1 % para Concordia de ganar clientes de Kola Real.P 20 Existe una probabilidad de 4.5 % para Inka Cola de ganar clientes de Kola Real.P 30 Existe una probabilidad de 6.8 % para Coca Cola de ganar clientes de kola Real.

La preferencias para el período siguiente serían: A (1) = P (1) x A (0)

PERIODO 10.795 0.133 0.000 0.040 22.00% 22.42%0.091 0.767 0.109 0.060 30.00% 29.10%

0.045 0.017 0.891 0.040 X 25.00% = 24.70%0.068 0.083 0.000 0.860 23.00% 23.78%1.000 1.000 1.000 1.000

PERIODO m VARIACION22.72% 0.30%

P (1)

Participación de mercado en equilibrio: 26.76% -2.34%23.54% -1.17%26.99% 3.21%

22.00% 30.00% 25.00% 23.00%0.795 0.091 0.045 0.068 1.0000.133 0.767 0.017 0.083 1.0000.000 0.109 0.891 0.000 1.0000.040 0.060 0.040 0.860 1.000

0.2242 0.29097391 0.24702609 0.2378

P (m)

A (1)t = A (0)t x P (1)

Sea E0, E1, E2, …, Ej para j=0,1, 2, 3, … los estados exhaustivos y mutuamente excluyentes

f 22 (5) = p 22 (5) - f 22 (1) p 22 (4) - f 22 (2) p 22 (3) - f 22 (3) p 22 (2) - f 22 (4) p 22 (1)

CADENAS MARKOV APLIC. AL MARKETING

CASO: BEBIDAS GASEOSAS

MARCAS MUESTRA MUESTRA VARIACION % VARIAC.PERIODO 1 PERIODO 2

KOLA REAL 220 225 5 2.27% 0.22 220 175CONCORDIA 300 290 -10 -3.33% 300 230INKA COLA 230 230 0 0.00% 230 205COCA COLA 250 255 5 2.00% 250 215toal muestreo 1000 1000 0

MARCAS GANANCIAS PERDIDAS VARIACION % VARIAC.PERIODO 2 PERIODO 2

KOLA REAL 50 45 5 10.00%CONCORDIA 60 70 -10 -16.67%INKA COLA 25 25 0 0.00%COCA COLA 40 35 5 12.50%total muestreo 175 175 0

MATRIZ DE GANACIAS

KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALESKOLA REAL 0 40 0 10 50 220CONCORDIA 20 0 25 15 60INKA COLA 10 5 0 10 25COCA COLA 15 25 0 0 40

MATRIZ DE PERDIDAS

KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALESKOLA REAL 0 20 10 15 45CONCORDIA 40 0 5 25 70INKA COLA 0 25 0 0 25

COCA COLA 10 15 10 0 35

MATRIZ DE TRANSICION

KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALES P 2KOLA REAL 175 40 0 10 225CONCORDIA 20 230 25 15 290INKA COLA 10 5 205 10 230COCA COLA 15 25 0 215 255TOTALES P 1 220 300 230 250 1000

MATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSICION0 1 2 3

KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALES P 20 KOLA REAL 0.7955 0.1333 0.0000 0.0400 0.96881 CONCORDIA 0.0909 0.7667 0.1087 0.0600 1.02632 INKA COLA 0.0455 0.0167 0.8913 0.0400 0.99343 COCA COLA 0.0682 0.0833 0.0000 0.8600 1.0115

TOTALES P 1 1.000 1.000 1.000 1.000

P 00 La marca Kola Real retiene a sus clientes con una probabilidad de 79.5% P 11 La marca Concordia retiene a sus clientes con una probabilidad de 76.7% P 22 La marca Kola Real retiene a sus clientes con una probabilidad de 89.1%P 33 La marca Coca Cola retiene a sus clientes con una probabilidad de 86.1%

P 01 Existe una probabilidad de 13.3 % para Kola Real de ganar clientes de Concordia.P 02 Existe una probabilidad de 0.0 % para Kola Real de ganar clientes de Inka Cola .P 03 Existe una probabilidad de 4.0 % para Kola Real de ganar clientes de Cola Cola.

P 10 Existe una probabilidad de 9.1 % para Kola Real de perder clientes a favor de Concordia.P 20 Existe una probabilidad de 4.5 % para Kola Real de perder clientes a favor de Inka Cola.P 30 Existe una probabilidad de 6.8 % para Kola Real de perder clientes a favor de Coca Cola.

P 10 Existe una probabilidad de 9.1 % para Concordia de ganar clientes de la marca Kola Real.P 12 Existe una probabilidad de 10.9 % para Concordia de ganarNo gana nadaP 13 Existe una probabilidad de 6.0 % para Concordia de ganar clientes de la marca Coca Cola.

P 01 Existe una probabilidad de 13.3 % para Concordia de perder clientes a favor de Kola Real.P 21 Existe una probabilidad de 1.7 % para Concordia de perder clientes a favor de Inka Cola.P 31 Existe una probabilidad de 8.3 % para Concordia de perder clientes a favor de Coca Cola.

A partir de estos datos se puede hacer ajustes en el Plan de marketing (promoción) y ser un instrumento de evaluación.

La suposición basica es que los clientes compran marcas basadas en sus preferencias presentes y no consideran suspreferencias pasadas, para cumplir con la propiedad markoviana o de "falta de memoria".

Una aplicación practica es la estimación de participaciones de mercado en períodos futuros a partir de la participaciónPor ejemplo como sería la estimación para el período siguiente, si la participacion de mercado actual es:

MARCAS % DE PARTICIP.PERIODO 1

KOLA REAL 22.00%CONCORDIA 30.00%INKA COLA 25.00%COCA COLA 23.00%TOTAL 100.00%

% PART Merc PERIODO 20.79545 0.13333 0.00000 0.04000 22.00% 22.42% 0.795450.09091 0.76667 0.10870 0.06000 30.00% 29.10% 0.09091

0.04545 0.01667 0.89130 0.04000 X 25.00% = 24.70% 0.045450.06818 0.08333 0.00000 0.86000 23.00% 23.78% 0.068181.00000 1.00000 1.00000 1.00000

PERIODO 30.6476 0.2116 0.0145 0.0742 22.00% 22.66% 0.64759642

0.1510 0.6067 0.1802 0.1056 30.00% 28.46% 0.151042640.0809 0.0370 0.7962 0.0729 X 25.00% = 24.47% 0.080913280.1204 0.1446 0.0091 0.7473 23.00% 24.40% 0.12044766

P (1)

P (2)

PERIODO 40.5401 0.2550 0.0359 0.1030 22.00% 22.80%

0.1907 0.4971 0.2266 0.1405 30.00% 28.00%0.1089 0.0585 0.7137 0.1000 X 25.00% = 24.29%0.1603 0.1894 0.0238 0.6566 23.00% 24.90%

PERIODO 50.4615 0.2767 0.0597 0.1269 22.00% 22.87%0.2168 0.4220 0.2560 0.1673 30.00% 27.68%

0.1312 0.0796 0.6425 0.1224 X 25.00% = 24.15%0.1906 0.2217 0.0418 0.5834 23.00% 25.31%

Condiciones de equilibrio:

a0 (n) = 0.795 a0 (n) + 0.133 a1 (n) + 0.000 a2 (n) + 0.040 a3 (n)a1 (n) = 0.091 a0 (n) + 0.767 a1 (n) + 0109 a2 (n) + 0.060 a3 (n)a2 (n) = 0.045 a0 (n) + 0.017 a1 (n) + 0.891 a2 (n) + 0.040 a3 (n)1.000 = 1.000 a0 (n) + 1.000 a1 (n) + 1.000 a2 (n) + 1.000 a3 (n)

PERIODO n-0.2045 0.1333 0.0000 0.0400 0.000 a0 22.72%0.0909 -0.2333 0.1087 0.0600 = 0.000 a1 26.76%

0.0455 0.0167 -0.1087 0.0400 0.000 a2 23.54%1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000 a3 26.99%

0.000 0.133 0.000 0.040 ai(0) ai(n)0.000 -0.233 0.109 0.060 22.00% 22.719% 0.72%0.000 0.017 -0.109 0.040 30.00% 26.756% -3.24%1.000 1.000 1.000 1.000 25.00% 23.535% -1.46%

23.00% 26.990% 3.99%-0.205 0.000 0.000 0.0400.091 0.000 0.109 0.0600.045 0.000 -0.109 0.0401.000 1.000 1.000 1.000

-0.205 0.133 0.000 0.040

P (3)

P (4)

P (n)

0.091 -0.233 0.000 0.0600.045 0.017 0.000 0.0401.000 1.000 1.000 1.000

-0.205 0.133 0.000 0.0000.091 -0.233 0.109 0.0000.045 0.017 -0.109 0.0001.000 1.000 1.000 1.000

Inversa de matriz-4.251846289 -1.407184879 0.682939041 0.227187383 0.000 0.22718738-0.461885092 -3.47540368 -1.0138941 0.267555389 0.000 0.26755539-0.083489798 0.493741394 -6.54099387 0.235354863 0.000 0.235354864.7972211791 4.388847165 6.87194893 0.269902366 1.000 0.26990237

-0.205 0.091 0.046 0.068 0.000 0.250.133 -0.233 0.017 0.083 0.000 0.250.000 0.109 -0.109 0.000 0.000 0.251.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.25

-0.204 0.133 0.000 0.040 0.000 0.2274940.091 -0.233 0.109 0.060 0.000 0.2683480.046 0.017 -0.109 0.040 0.000 0.2361941.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.267964

0.796 0.091 0.046 0.067 0.000 -0.086730440.133 0.767 0.017 0.083 0.0000.000 0.109 0.891 0.000 0.0000.040 0.060 0.040 0.860 1.000

0.13333 0.00000 0.04000 0.79545 0.13333 0.00000 0.040000.76667 0.10870 0.06000 0.09091 0.76667 0.10870 0.06000

0.01667 0.89130 0.04000 0.04545 0.01667 0.89130 0.040000.08333 0.00000 0.86000 0.06818 0.08333 0.00000 0.86000

0.21161616 0.01449275 0.07421818

0.60671058 0.18021424 0.105584190.03702679 0.79623503 0.072870360.14464646 0.00905797 0.74732727

La marca de gaseosas Inka Cola, quiere reducir el impacto de reducción de su participaciónde 30% a 35.1% , en condiciones de equilibrio. Para lo cual a elaborado un Plan de Mktdonde se considera hacer una campaña publicitaria. Tiene como alternativa el uso 3 medios:Radio, TV o períodico.

Realiza un estudio preliminar, determinado las matrices de transición de las marcas, según

MEDIO RADIOMATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSICION

0 1 2 3KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALES P 2

0 KOLA REAL 0.790 0.127 0.000 0.040 0.9571 CONCORDIA 0.057 0.780 0.109 0.060 1.0062 INKA COLA 0.085 0.013 0.891 0.040 1.0293 COCA COLA 0.068 0.080 0.000 0.860 1.008

TOTALES P 1 1.000 1.000 1.000 1.000

MEDIO TVMATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSICION

0 1 2 3KOLA REAL CONCORDIA INKA COLA COCA COLA TOTALES P 2


TOTALES P 1 1.000 1.000 1.000 1.000

MEDIO PERIODICOMATRIZ DE PROBABILIDADES DE TRANSICION

0 1 2 3CONCORDIA INKA COLA KOLA REAL COCA COLA TOTALES P 2


TOTALES P 1 1.000 1.000 1.000 1.000

Para tomar estas decisiones, requiere establecer políticas de publicidad, tomando en consideración el comportamiento y lealtad de sus clientes.

1. Si las ventas se reducen en 5% solo hacer uso de los periodicos2. Si esta se reducen en 8% hacer uso de la radio3. Si esta baja a los niveles mayores a 10% hacer uso de la TV.

Para cada politica se establece un costo o beneficio, a partir del cual se selecciona elmejor.

CONCORDIA INKA COLA KOLA REAL COCA COLA TOTALES P 2KOLA REAL 0.795 0.133 0.000 0.040 0.969CONCORDIA 0.091 0.767 0.109 0.060 1.026INKA COLA 0.045 0.017 0.891 0.040 0.993COCA COLA 0.068 0.083 0.000 0.860 1.012TOTALES P 1 1.000 1.000 1.000 1.000

Aplicación 2: Pronostico de Elecciones Presidenciales

Prob. absoluta al 1/28/2014 802 Prob. Abs. al 4/9/2016

Candidatos Preferencias %0 Keiko Fujimori 28% 4.1% 32.1% 0.32131 Nadine Heredia 25% 10.8% 35.8% 0.35812 Alan Garcia 14% -2.2% 11.8% 0.11823 PP Kuczynski 11% -2.9% 8.1% 0.08114 No sabe aun 13% -7.4% 5.6% 0.05655 Otros 9% -2.5% 6.5% 0.0648

Total 100% 100.0% 1.0000

Matriz de probabilidades de transición

Estados \ Estados Keiko Fujimori Nadine Heredia Alan Garcia PP Kuczynski No sabe aun Otros

Keiko Fujimori 0.80 0.05 0.05 0.08 0.20 0.35 1.53Nadine Heredia 0.08 0.75 0.15 0.12 0.30 0.30 1.70Alan Garcia 0.02 0.03 0.60 0.10 0.16 0.20 1.11PP Kuczynski 0.05 0.02 0.10 0.50 0.04 0.05 0.76No sabe aun 0.02 0.06 0.05 0.10 0.20 0.05 0.48Otros 0.03 0.09 0.05 0.10 0.10 0.05 0.42

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00Despues de 802 dias… en esquilibrio

Keiko Fujimori -0.20 0.05 0.05 0.08 0.20 0.35 0.00 0.321Nadine Heredia 0.08 -0.25 0.15 0.12 0.30 0.30 0.00 0.358Alan Garcia 0.02 0.03 -0.40 0.10 0.16 0.20 0.00 0.118PP Kuczynski 0.05 0.02 0.10 -0.50 0.04 0.05 0.00 0.081No sabe aun 0.02 0.06 0.05 0.10 -0.80 0.05 0.00 0.056Otros 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.065

AccionesHacer publicidad en TV


Keiko Fujimori 0.82 0.04 0.05 0.07 0.21 0.35 -0.18Nadine Heredia 0.07 0.79 0.15 0.12 0.31 0.31 0.07Alan Garcia 0.02 0.02 0.62 0.10 0.16 0.20 0.02PP Kuczynski 0.04 0.02 0.09 0.52 0.04 0.05 0.04No sabe aun 0.02 0.06 0.04 0.09 0.18 0.05 0.02Otros 0.03 0.08 0.05 0.10 0.10 0.04 1.00

1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00inversiones en publicidad en millones nuevos solesEstados \ Estados Keiko Fujimori Nadine Heredia Alan Garcia PP Kuczynski No sabe aun Otros

Keiko Fujimori 5.00 1.00 0.50 0.80 0.20 0.30Nadine Heredia 2.00 6.00 1.00 1.00 0.30 0.40Alan Garcia 1.00 0.80 4.00 0.50 0.30 0.40PP Kuczynski 1.00 0.50 0.50 4.00 0.20 0.30No sabe aun 0.50 0.20 0.10 0.20 0.20 0.30Otros 0.70 0.60 0.60 0.50 0.10 1.00

Hacer publicidad en radio


Keiko Fujimori 0.81 0.05 0.05 0.08 0.22 0.35 -0.19Nadine Heredia 0.08 0.77 0.15 0.13 0.32 0.31 0.08Alan Garcia 0.02 0.02 0.61 0.11 0.16 0.20 0.02PP Kuczynski 0.05 0.02 0.10 0.52 0.04 0.05 0.05No sabe aun 0.02 0.05 0.04 0.06 0.18 0.05 0.02Otros 0.02 0.09 0.05 0.10 0.08 0.04 1.00

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00inversiones en publicidad en millones nuevos solesEstados \ Estados Keiko Fujimori Nadine Heredia Alan Garcia PP Kuczynski No sabe aun Otros

Keiko Fujimori 3.00 0.50 0.40 0.80 0.20 0.30Nadine Heredia 1.00 2.50 0.80 0.70 0.30 0.40Alan Garcia 0.80 0.70 2.00 0.50 0.30 0.40PP Kuczynski 0.80 0.30 0.30 2.00 0.20 0.30No sabe aun 0.40 0.10 0.10 0.10 0.10 0.30

Otros 0.40 0.20 0.40 0.40 0.10 0.60

0.04 0.05 0.07 0.21 0.35 0.00 0.318383-0.21 0.15 0.12 0.31 0.31 0.00 0.388789380.02 -0.38 0.10 0.16 0.20 0.00 0.109017630.02 0.09 -0.48 0.04 0.05 0.00 0.07355150.06 0.04 0.09 -0.82 0.05 0.00 0.053089991.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.05716852

0.05 0.05 0.08 0.22 0.35 0.00 0.34110755-0.27 0.15 0.13 0.32 0.31 0.00 0.342046260.02 -0.39 0.11 0.16 0.20 0.00 0.114532370.02 0.10 -0.48 0.04 0.05 0.00 0.084927440.05 0.04 0.06 -0.82 0.05 0.00 0.045368651.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.07201773

16-2.20 1 2 3

0 0 0 0 Subio hoy y ayer

1 a2 0 0 1 Subio hoy y Bajo ayer

2 0 a3 0 2 Bajo hoy y Subio ayer

3 0 a4 0 3 Bajo hoy y ayer

0 1 2 3

0 0.8 0 0.2 0 1 0 Subira Mañana y sube hoy

1 0.7 0 0.3 0 1 1 Subira Mañana y Bajo hoy

2 0 0.6 0 0.4 1 2 Bajara Mañana y Subio hoy

3 0 0.5 0 0.5 1 3 Bajara Mañana y bajo hoy

a) 0.8 0.7 0 0 1.5 0.8 0.7 0 0

0 0 0.6 0.5 1.1 0 0 0.6 0.50.2 0.3 0 0 0.5 0.2 0.3 0 0

0 0 0.4 0.5 0.9 0 0 0.4 0.51 1 1 1

0.64 0.56 0.42 0.35 1.97 0.64 0.56 0.42 0.350.12 0.18 0.2 0.25 0.75 0.12 0.18 0.2 0.250.16 0.14 0.18 0.15 0.63 0.16 0.14 0.18 0.150.08 0.12 0.2 0.25 0.65 0.08 0.12 0.2 0.25

1 1 1 1

16-2.3 0 Subio Hoy, Ayer y Antiayer1 Bajo Hoy,Ayer, Antiayer2 Subio Hoy, Ayer y Bajo Antiayer3 Subio Hoy y bajo ayer y antiayer4 Bajo Hoy,Ayer y Subio Antiayer5 Bajo Hoy Subio Ayer y Antiayer6 Bajo Hoy Subio Ayer y Bajo Antiayer7 Subio Hoy Bajo Ayer y Subio Antiayer

16-3.2 0 10 0.99 0.011 0.01 0.99

P(0) 0.99 0.010.01 0.99

1 1P(1) 0.9802 0.0198 P(6) 0.9341 0.0659

0.0198 0.9802 0.0659 0.93411 1 1 1

P(2) 0.9706 0.0294 P(7) 0.9254 0.07460.0294 0.9706 0.0746 0.9254

1 1 1 1

a1 1-a1

1-a2

1-a3

1-a4

P(3) 0.9612 0.0388 P(8) 0.9169 0.08310.0388 0.9612 0.0831 0.9169

1 1 1 1P(4) 0.952 0.048 P(9) 0.9085 0.0915

0.048 0.952 0.0915 0.90851 1 1 1

P(5) 0.9429 0.0571 P(10) 0.9004 0.09960.0571 0.9429 0.0996 0.9004

1 1 1 1

16-5.5 0 1 2 30 0.1 0.2 0.3 0.4 11 0.6 0.4 0 0 12 0.3 0.3 0.4 0 13 0.1 0.2 0.3 0.4 1

1.1 1.1 1 0.8

0.1 0.6 0.3 0.1 0.26 0.3 0.33 0.260.2 0.4 0.3 0.2 0.27 0.28 0.3 0.270.3 0 0.4 0.3 0.27 0.18 0.25 0.270.4 0 0 0.4 0.2 0.24 0.12 0.2

-0.9 0.6 0.3 0.1 0 0.288 3.47220.2 -0.6 0.3 0.2 0 0.280 3.57140.3 0 -0.6 0.3 0 0.240 4.1667

1 1 1 1 1 0.192 5.2083

pij Cij16-5.6 0 1 0 1Bajo 0 0.5 0.5 1 0 -1 3Alto 1 0.25 0.75 1 1 0 1

0 1 0 10 0.75 0.25 1 0 0 41 0.5 0.5 1 1 0 2

0 1 0 10 0.5 0.5 1 0 -1 31 0.5 0.5 1 1 0 2

16-2-10 1

0: llueva 0.5 0.5

1: claro 0.1 0.9

-0.5 0.1 0 0.1671 1 1 0.833

16-3-30 1 2 3 4

0 0 0.5 0 0 0.51 0.5 0 0.5 0 02 0 0.5 0 0.5 03 0 0 0.5 0 0.54 0.5 0 0 0.5

-1 0.5 0 0 0.5 0 0.20.5 -1 0.5 0 0 0 0.2

0 0.5 -1 0.5 0 0 0.20 0 0.5 -1 0.5 0 0.2

1 1 1 1 1 1 0.2

Edad en mes 0 1 2 3 4 5Núm. compon 1000 950 874 769 615 0

4. Tres tanques: A, B y C, entran en una batalla triple. El tanque A tiene una probabilidad de 1/3 de destruir su blanco, B tiene una probabilidad de ½ de hacer lo mismo y para C la probabilidad es 1/6. Los tanques disparan al mismo tiempo y cada uno le dispara al oponente más fuerte que aún no ha sido destruido. Si se considera que los estados son los tanques sobrevivientes en cada etapa, elaborar una cadena de Markov

1)estado 1 Ver TV NA p1 0.9esado 2 Ver TV A p2 0.1

1 2 1 21 0.9 0.1 1 0.9 0.12 0.6 0.4 2 0.7 0.3

70% 30%

90% 10% f jj (m) = p jj (m) - Σm f jj (m) p jj (n-m)1h 0.9 0.1 1 f21 = p21(m) - Σ f21(m)p21(n-m)

0.63 0.37 10.873 0.127

m f21(m)2h 0.873 0.127 1 0.6300

0.800 0.2002 0.256 0.5437076576

3h 0.866 0.1340.846 0.154 3 0.081 0.7649913684

4h 0.864 0.136 4 0.023 0.83494215690.858 0.142

5 0.007 0.85522724575h 0.863 0.137

0.862 0.138 6 0.002 0.8608796523

6h 0.863 0.137 7 0.000 0.86243265310.863 0.137

Uij = 1.512572725 horas7h 0.863 0.137 1.000 para 2 a 1

0.863 0.137

2) Nmeses 0 1 2 3 4 5Ncompon 1000 950 874 769 615 0

0 50 126 231 385 10000 76 181 335 950

0 105 259 8740 154 769

0 615

1. Una empresa está viendo el impacto en el mercado de un nuevo canal de TV "A" en base a encuestas realizadas respecto a sus hábitos al ver TV de hora en hora a lo que respondieron que los jóvenes que continúa viendo el canal de costumbre con probabilidad de 0,9 y el resto si cambia a canal A; y si están en canal A continúan viéndolo la siguiente hora con probabilidad de 0,4. En el caso del resto de encuestados (que corresponde al 30% de la población en interés) si está viendo otro canal, cambia a canal A con probabilidad de 0,1y si está viendo canal A continúa viéndolo con probabilidad de 0,3. Formular como una cadena de markov y responder: Qué porción de mercado corresponde a canal A finalmente?(3), Si una persona está viendo canal A, después de cuantas horas se espera que esté viendo otro canal?(3).

2. Se tiene registrada la vida de un componente electrónico:

a. Si cada componente se remplaza después de la falla si tiene más de 2 meses por uno nuevo, en caso contrario por un repuesto de la misma edad, determínese la matriz de transición asociada con este proceso. Considérese que un remplaza durante el mes equivale a un remplaza al final del mes.(3)b. Cuantos meses en promedio dura un componente nuevo?(4)

3. Se plantea un juego que consiste en elegir cinco número entre 1 y 25 y se apunta en un ticket. Luego una máquina escoge al azar entre 25 bolillas numeradas del 1 al 25. Si el apostador acierta en una o dos bolillas no hay premio pero con 3 bolillas, te devuelve lo apostado, si se acierta en 4 ganas cuatro veces de lo apostado y si se acierta 5 se obtiene el premio mayor. Un apostador empedernido va a aplicar estrategia. Cada vez que gana algún premio, para el siguiente juego apuesta todo lo ganado. Sí, no ganara nada, por lo menos apostará un boleto siempre. Después de cuantos juegos se espera que el apostador gane el premio mayor.(6)

1 2 3 4 51 0.050 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0502 0.126 0.080 0.000 0.000 0.000 0.2063 0.231 0.191 0.120 0.000 0.000 0.54166361564 0.385 0.353 0.296 1.137 0.000 2.1705112145 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 5


f jj (m) = p jj (m) - Σm f jj (m) p jj (n-m)f21 = p21(m) - Σ f21(m)p21(n-m)

f21(1) = p21(1)

0.54370766 f21(2) = p21(2) - f21(1)*p21(7)

0.22128371 f21(3) = p21(3) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6)

0.06995079 f21(4) = p21(4) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5)

0.02028509 f21(5) = p21(5) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5) - f21(4)*p21(4)

0.00565241 f21(6) = p21(6) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5) - f21(4)*p21(4) - f21(5)*p21(3)

0.001553 f21(7) = p21(7) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5) - f21(4)*p21(4) - f21(5)*p21(3) - f21(6)*p21(


a. Si cada componente se remplaza después de la falla si tiene más de 2 meses por uno nuevo, en caso contrario por un repuesto de la misma edad, determínese la matriz de transición asociada con este proceso. Considérese que un remplaza durante el mes equivale a un remplaza al final del mes.(3)



0.9 0.37

0.096 0.77672523 0.149 0.05071833

0.006 0.08309156 0.083 0.020485720.07120406

-0.001 0.00508708 0.059 0.011440710.08264476

-0.001 -0.00100381 0.047 0.008342590.09098735

f21(6) = p21(6) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5) - f21(4)*p21(4) - f21(5)*p21(3) 0.000 -0.00059716 0.039 0.007273270.09826062

f21(7) = p21(7) - f21(1)*p21(7) - f21(2)*p21(6) - f21(3)*p21(5) - f21(4)*p21(4) - f21(5)*p21(3) - f21(6)*p21( 0.000 -0.00020613 0.031 0.00780810.10606872

1.10023371 horas 1.06663838 hora1.000 de 1 a 1 0.778 de 2 a 2


a. Si cada componente se remplaza después de la falla si tiene más de 2 meses por uno nuevo, en caso contrario por un repuesto de la misma edad, determínese la matriz de transición asociada con este proceso. Considérese que un remplaza durante el mes equivale a un remplaza al final del mes.(3)


Agencia de viajes para los estados no viajar, viaje local y viaje al exteriorNV VL VE

NV 40 20 40 100VL 50 10 40 100VE 10 70 20 100

Matriz de Transición Pij P(m=2)1 2 3

1 0.4 0.2 0.4 1 0.3 0.382 0.5 0.1 0.4 1 0.29 0.393 0.1 0.7 0.2 1 0.41 0.23

-0.6 0.5 0.1 0 0.333333330.2 -0.9 0.7 0 0.33333333

1 1 1 1 0.33333333

Tiempo de primera pasada

Matriz de transicion- inventarios0 1 2 3

0 0.08 0.184 0.368 0.368 11 0.632 0.368 0 0 12 0.264 0.368 0.368 0 13 0.08 0.184 0.368 0.368 1

1.056 1.104 1.104 0.736

0 -0.92 0.632 0.264 0.08 0 0.285654111 0.184 -0.632 0.368 0.184 0 0.284834882 0.368 0 -0.632 0.368 0 0.263180763 1 1 1 1 1 0.16633024

U 13 = 1 + p11 U13 + p12 U 23U 23 = 1 + p21 U23 + p22 U 23

0.320.32 U 13 U 230.36 0.6 -0.2 1 2.5

-0.5 0.9 1 2.5

U 10 = 1 + p11 U10 + p12 U20 + p13 U30U 20 = 1 + p21 U10 + p22 U20 + p23 U30U 30 = 1 + p31 U10 + p32 U20 + p33 U30

U 10 U 20 U 30 Tiempo promedio de retorno0.632 0 0 1 1.58227848 U 10

-0.368 0.632 0 1 2.50360519 U 20-0.184 -0.368 0.632 1 3.50073726 U 30

N29

LAB-01: pasos promedio

N30

LAB-01: N° de pasos, no pueden ser negativos

Cadena Markov

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