Lista de Ejercicios 1

Algebra Lineal 215 de julio de 2014

Ejercicio 1. Considere la siguiente afirmacion: ‘En un espacio vectorial E existe un uni-

co vector nulo y cada elemento de E posee un unico inverso’. ¿Cual hecho visto en aula

asegura que esta afirmacion es verdadera?

Ejercicio 2. Sean u = (x1, x2, . . . , xn) y v = (y1, y2, . . . , yn) vectores en Rn. Pruebe

que uno de ellos es multiplo del otro si, y solamente si, xiyj = xjyi para cualesquiera

i, j = 1, . . . , n.

Ejercicio 3. Use las relaciones 2(u + v) = 2u + 2v, 2w = w + w para probar que la

conmutatividad u + v = v + u puede ser deducida a partir de los demas axiomas de

espacio vectorial.

Ejercicio 4. En R2, mantengamos la definicion del producto αv de un numero por un

vector pero modifiquemos de tres maneras diferentes la definicion de la suma u+ v de los

vectores u = (x, y) y v = (x′, y′). En cada caso, diga cuales axiomas de espacio vectorial

continuan validos y cuales no:

(i) u+ v = (x+ y′, x′ + y),

(ii) u+ v = (xx′, yy′),

(iii) u+ v = (3x+ 3x′, 5y + 5y′).

Ejercicio 5. Dados los espacios vectoriales E1, E2, considere el conjunto E = E1 × E2

(producto cartesiano de E1 por E2), cuyos elementos son los pares ordenados v = (v1, v2),

con v1 ∈ E1 y v2 ∈ E2. Defina operaciones que tornen E un espacio vectorial. Verifique la

validez de cada uno de los axiomas y muestre que su definicion se extiende para el caso

de n espacios vectoriales E1 × · · · × En.

¿Se verifica tambien para una secuencia infinita de espacios E1, E2, . . . , En, . . .?

Ejercicio 6. Sea R(∞) el subconjunto de R∞ formado por las secuencias v = (x1, x2, . . .)

que tienen solo un numero finito de terminos xn diferentes de cero. Muestre que R(∞) es

un subespacio vectorial de R∞ y que las secuencias que tienen un unico termino no-nulo

forman un conjunto de generadores para R(∞).

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Ejercicio 7. ¿Cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales?

(a) El conjunto X ⊆ R3 formado por los vectores v = (x, y, z) tales que z = 3x y x = 2y.

(b) El conjunto Y ⊆ R3 de los vectores v = (x, y, z) tales que xy = 0.

(c) El conjunto Z de las matrices de 2× 3 en las cuales alguna columna es formada por

elementos iguales.

(d) El conjunto F ⊆ RR formado por las funciones f : R → R tales que f(x+ 1) = f(x)

para todo x ∈ R.

(e) El conjunto L ⊆ Rn de los vectores de la forma v = (x, 2x, . . . , nx), donde x ∈ R es

arbitrario.

(f) El conjunto v ∈ R5 que tienen dos o mas coordenadas nulas.

(g) El conjunto de los vectores de R3 que tienen por lo menos una coordenada ≥ 0.

Ejercicio 8. Sea V espacio vectorial y X ⊆ V . Pruebe que 〈X〉 es la interseccion de

todos los subespacios vectoriales de V que contienen al conjunto X.

Ejercicio 9. ¿Verdadero o Falso? Sea V espacio vectorial, X, Y, Z ⊆ V

(i) Si X ⊆ Y entonces 〈X〉 ⊆ 〈Y 〉.

(ii) Si 〈X〉 ⊆ 〈Y 〉 entonces X ⊆ Y .

(iii) 〈〈X〉〉 = 〈X〉.

(iv) Si X ⊆ 〈Y 〉 y Y ⊆ 〈Z〉, entonces X ⊆ 〈Z〉.

Ejercicio 10. ¿Verdadero o Falso? Sea V espacio vectorial. Para cualquier par de sub-

conjuntos X, Y ⊆ V se tiene

(i) 〈X ∪ Y 〉 = 〈X〉+ 〈Y 〉,

(ii) 〈X ∩ Y 〉 = 〈X〉 ∩ 〈Y 〉,

En base a las identidades arriba ¿cual serıa la definicion mas conveniente para 〈Ø〉?

Ejercicio 11. Sea E un R-espacio vectorial, y sean u,v ∈ V . Denotamos por [u,v] el

segmento de recta entre los puntos u y v, es decir

[u,v] = {tu+ (1− t)v : 0 ≤ t ≤ 1} = {su+ tv : s, t ∈ R, s+ t = 1}.

Un conjunto X ⊆ E se llama convexo cuando u,v ∈ X implica que [u,v] ⊆ X. (O sea,

el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de X esta contenido en X. Pruebe

(a) La interseccion X1 ∩X2 de dos subconjuntos convexos es convexo.

(b) Dados a, b, c ∈ R, el conjunto X = {(x, y) ∈ R2 : ax+ by = c} es convexo en R

2.

(c) El conjunto Y = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} es convexo en R

3.

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(d) Sea X ⊆ E convexo. Si r, s, t ∈ R son tales que r+ s+ t = 1 entonces u,v,w ∈ X ⇒

ru+ sv + tw ∈ X.

(e) Generalizamos el resultado anterior: la expresion t1v1 + t2v2 + . . . + tkvk, donde

t1, . . . , tk ∈ R son tales que t1 + t2 + . . . + tk = 1 se llama una combinacion convexa de

los vectores v1, . . . ,vk. Si el conjunto X ⊆ E es convexo, pruebe que toda combinacion

convexa de vectores v1, . . . ,vk ∈ X tambien pertenece a X.

Ejercicio 12. Sea p = (x0, y0) ∈ R2. Pruebe que el disco Dr(p) = {x = (x, y) ∈ R

2 :

||x− p|| < r} es convexo.

Ejercicio 13. Sea F1 ⊆ Rn×n el conjunto de las matrices triangulares superiores de n×n,

y F2 ⊆ Rn×n el conjunto de las matrices triangulares inferiores.

(i) Muestre que F1 y F2 son suberpacios vectoriales de Rn×n y que R

n×n = F1 + F2.

(ii) ¿Es cierto que Rn×n = F1 ⊕ F2?

Ejercicio 14. Considere los subespacios F1, F2 ⊆ R3 definidos por: F1 es el conjunto de

todos los vectores v = (x, x, x) que tienen las tres coordenadas iguales y F2 es el conjunto

de todos los vectores w = (x, y, 0) que tiene la ultima coordenada igual a cero. Muestre

que R3 = F1 ⊕ F2.

Ejercicio 15. Sean E1 = 〈u1, v1〉 y E2 = 〈u2, v2〉 los subespacios de R3 generados por

los vectores u1 = (0, 1,−2), v1 =(1,1,1), u2 = (−1, 0, 3) y v2 = (2,−1, 0). Halle numeros

a1, b1, c1 y a2, b2, c2 tales que se tenga

E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : a1x+ b1y + c1z = 0},

E2 = {(x, y, z) ∈ R3 : a2x+ b2y + c2z = 0}.

Verifique que u2 /∈ E1 y que E1 + E2 = R3. ¿Vale E1 ⊕ E2 = R

3?

Ejercicio 16. Encuentre tres vectores en u, v, w ∈ R3 con las siguientes propiedades:

ninguno de ellos es multiplo de otro, ninguna de sus coordenadas es cero, y R3 no es

generado por ellos.

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