Cables Parabólicos.

Cuando un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal, dicho hilo

adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este

caso se presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es mucho

mayor que el del cable que lo sustenta.

El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga vertical, p (N/m),

uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero

al cable se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso despreciable frente al

del tablero.

2. Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal

Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este.Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo.

 

a. Desde el centro

Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:

Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola.

Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos:

, en esta ecuación podemos observar que el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada.

Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:

El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:

La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H.

b. Cables con apoyos no alineados horizontalmente:

Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y tomando momentos con respecto a m:

Igualando Ay y despejando la H*ym

Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida desde el extremo izquierdo.

Para xm=L/2

Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado en una viga horizontal con la misma carga w.

La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el extremo izquierdo:

Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en función de H, se deriva e iguala a cero:

Constituye la tangente en cualquier punto del cable

Para dy/dx=0

Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym.

Longitud del cable necesaria:

Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy tenemos:

Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:

Se conoce la expresión dy/dx

Reemplazando:

Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable.

 

En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero, el valor de dy/dx es:

 

dx

Haciendo una sustitución de variables:

, donde X es el valor de la proyección horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de tangencia cero.

En el libro “Mecánica vectorial para ingenieros, estática” de Beer, Johnston y Eisenberg se plantea otra solución para esta integral expandiendo el radical por medio del teorema del binomio. Esta solución está en términos de la flecha máxima y la distancia X desde el punto de flecha máxima a uno de los apoyos.

 

Ejemplo:

Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable.

Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.

En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la geometría del cable.

La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros.

Reacciones verticales:

Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:

 

Área de cable mínima: