CABLES 1. DEFINICIÓN :

Los cables son elementos flexibles que tienen diversas aplicaciones en Ingeniería. Como elementos estructurales sirven para soportar cargas; se utilizan en algunos medios de transporte como ascensores, teleféricos, etc. y también como conductores en las líneas de transmisión eléctrica. Tienen la característica de ser sumamente flexibles, razón por la cual para su estudio no se considera su resistencia a flexión y se los diseña para soportar cargas en forma axil, con esfuerzos únicamente de tracción. En esta sección se analizarán los cables que, estando sujetos en sus extremos soportan cargas que pueden ser concentradas o distribuidas, bien sea uniformemente a lo largo de la horizontal o a lo largo de su longitud.

2. CLASIFICACIÓN :

a) De acuerdo con las cargas que actúan sobre ellos:

Cables que soportan cargas concentradas. Cables que soportan cargas distribuidas.

b) Cables parabólicos.

c) Catenaria.

En este trabajo solo se analizaran cables que soportan cargas concentradas y cables parabólicos.

3. CABLES QUE SOPORTAN CARGAS CONCENTRADAS

Considere un cable unido a dos puntos fijos A y B que soportan “n” cargas concentradas verticales P1, P2,….., Pn . (Figura 1)

Se supone que el cable es flexible, esto es, que su resistencia a la flexión es pequeña y se puede despreciar. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta. Por tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.

Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una línea vertical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es

Figura 1

conocida; además, también se supone que se conocen las distancias horizontal y vertical entre los apoyos. Se busca determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos C1, C2,….., Cn y también se desea encontrar la tensión T en cada uno de los segmentos del cable.

Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el cable (figura 2). Como la pendiente de las porciones del cable unidas en A y B no se conoce, cada una de las reacciones en A y B debe representarse con dos componentes. Por tanto, están involucradas cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no son suficientes para determinar las reacciones en A y B. De esta manera, se debe obtener una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable.

Lo anterior es posible si se conocen las coordenadas X e Y de un punto D del cable.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre del segmento

AD del cable (figura 3) y escribiendo 0DM , se

obtiene una relación adicional entre las componentes

escalares xA y yA se pueden determinar las reacciones

en A y B. Sin embargo, el problema continuaría siendo indeterminado si no se conocieran las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra relación entre

xA y yA (o entre xB y yB ).

Una vez que se han determinado xA y yA se puede

encontrar fácilmente la distancia vertical desde A hasta

cualquier punto del cable.

Por ejemplo, considerando el punto C2 se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción AC2 del cable

(figura 4). Si se escribe 2

0CM , se obtiene una

ecuación que se puede resolver para y2. A escribir

0xF y 0yF , se obtienen las componentes

de la fuerza T que representa la tensión en la porción

del cable que está a la derecha de C2.

Se observa que cos xT A ; por tanto, la

componente horizontal de la fuerza de tensión siempre

es la misma en cualquier punto del cable.

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Se concluye que la tensión T es máxima cuando cos es mínimo, esto es, en la

porción del cable que tiene el mayor ángulo de inclinación “ ”. Obviamente, dicha

porción del cable debe ser adyacente a uno de los apoyos del cable.

4. CABLES QUE SOPORTAN CARGAS DISTRIBUIDAS

Figura 5

Considere un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga

distribuida (figura 5.a). En la sección anterior se vio que para un cable que soporta

cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensión

dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida,

éste cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una

fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva.

Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de

cuerpo libre de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta

un punto D del cable (figura 5.b).

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión T0 en C, la cual

es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente

al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porción CD del

cable. Si se dibuja el triángulo de fuerzas correspondiente (figura 5.c), se obtienen las

siguientes relaciones:

0cosT T 0Tsen T 2 2

0T T W 0

WTan

T

A partir de las relaciones, es evidente que la componente horizontal de la fuerza de

tensión T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a

la magnitud W de la carga medida a partir del punto más bajo. Las relaciones

muestran que la tensión T es mínima en el punto más bajo y máxima en uno de los

dos puntos de apoyo.

5. CABLE PARABÓLICO

Ahora suponga que el cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo

largo de la horizontal .Se puede suponer que los cables de los puentes colgantes

están cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeño en

comparación con el peso de la calzada. La carga por unidad de longitud (medida en

forma horizontal) se representa con w y se expresa en N/m o en lb/ft.

L

ba

A

B

ah

bh

y

2

2

wxh y

H

Donde W y H son constantes.

H: tensión mínima. W: Fuerza distribuida.

2

min8

wLT H

h

2 22 22

max 21

8 2 2 16

wL L wL LT w

h H

2

21

4A

a

aT wa

h

2

21

4B

b

bT wB

h

6. CATENARIA

Cuando un cable tenga que soportar su propio peso que esta uniformemente distribuido a lo largo de un cable (peso propio) luego la forma de un cable bajo su propio peso se llama catenaria.

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

El procedimiento usado en la sección

anterior puede emplearse para

determinar la resultante de las

fuerzas de presión hidrostática

ejercidas sobre una superficie

rectangular sumergida en un líquido.

Considérese la placa rectangular

mostrada en la figura, la cual tiene

una longitud L y un ancho b, donde b

se mide perpendicular al plano de la

figura.

La carga ejercida sobre un elemento de la placa de longitud dx es wdx , donde w es

la carga por unidad de longitud. Sin embargo, esta carga también puede expresarse

como pdA pbdx , donde p es la presión manométrica en el líquido1 y b es el

ancho de la placa; por tanto, w bp . Como la presión manométrica en un líquido es

p h , donde es el peso específico del líquido y h es la distancia vertical a partir

de la superficie libre, se concluye que w bp b h lo cual demuestra que la carga

por unidad de longitud w es proporcional a h y, por tanto, varía linealmente con x.

Ilustración 1