C7: Introducción a la programación lineal Resumen Pag 11-14

“Investigacion de operaciones” Hamdy A.Taha (Pearson,2004)

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Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema. Ton de materia prima de Pinturas para Pinturas para Disponibilidad diaria exteriores interiores máxima (ton) Materia prima, MI 6 4 24 Materia prima. M2 1 2 6 Utilidad por ton (miles de $) 5 4 Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Reddy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total. El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos. 1. Las variables de decisión que se trata de determinar. 2. El objetivo (la meta) que se trata de optimizar. 3. Las restricciones que se deben satisfacer. La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vez hecha, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa. Para el problema se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. Así, las variables del modelo se definen como sigue: X1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores X2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores

Toneladas de materia prima de Disponiblidad

Pintura para exterior Pintura para Interior Máximo por día

Materia Prima M1 6 4 24

Materia prima M2 1 2 6

Utilidad x Ton (Miles de $) 5 4

¡Planeando lo mas optimo!

Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así:

Maximizar z = 5x1 + 4x2

A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda.

Uso de una materia prima Disponibilidad máxima

Para ambas pinturas ≤ de materia prima. Según los datos del problema.

Uso de la materia prima M1 por día = 6x1, + 4x2, toneladas

Uso de la materia prima M2, por día = 1x1, + 2x2 toneladas

Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue:

6x1 + 4x2 ≤ 24 (Materia prima M1) x1+ 2x2 ≤ 6 (Materia prima M2)

La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2 – x1 no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en x2 - x1 ≤ 1. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como x2 ≤ 2. Una restricción implícita (o "que se sobreentiende") es que las variables x1 y x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad, x1≥ 0, x2 ≥0, expresan ese requisito. El modelo de Reddy Mikks completo es:

Maximizar z = 5x1 + 4x2

sujeta a: 6x1 + 4x2 ≤ 24 x1 + 2x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0 Cualquier valor de x1 y x2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solución factible. Por ejemplo, la solución x1 = 3 toneladas diarias y x2 = 1 tonelada diaria es factible, porque no viola alguna de las restricciones, incluyendo las de no negatividad. Para comprobar este resultado se sustituye (x1= 3, x2 = 1) en el lado izquierdo de cada restricción. Por ejemplo, en la primera restricción, 6x1 + 4x2 = 6 x 3 + 4 X 1 = 22, que es menor que 24 en el lado derecho. El valor de la función objetivo correspondiente a la solución (x1= 3,x2 = 1) es z = 5 X 3 + 4 X 1 = 19 (miles de dólares).

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CONJUNTO DE PROBLEMAS 2.1

1. Para el modelo de Reddy Mikks, defina cada una de las siguientes restricciones y exprésela con una constante del lado derecho: a) La demanda diaria de pintura para interiores es mayor que la de pintura para

exteriores en al menos 1 tonelada. b) El uso diario de la materia prima M2 es 6 toneladas cuando mucho, y 3 toneladas

cuando menos. c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de

pintura para exteriores. d) La cantidad mínima que se debe producir de pinturas para interiores y para

exteriores es de 3 toneladas. e) La proporción de pintura para interiores entre la producción total de pinturas para

interiores y para exteriores no debe ser mayor que 0.5. 2. Determine la mejor solución factible entre las siguientes soluciones (factibles y no factibles) del modelo de Reddy Mikks: a) x1 = 1, x2 = 4 b) x1 = 2, x2 = 2 c) x1 = 3, x2 = - 1.5 d) x1 =2, x2 = 1 e) x1 = 2, x2 = -1 3. Para la solución factible x1 = 2, x2 = 2, del modelo de Reddy Mikks. Determine: a) La cantidad no usada de la materia prima M1. b) La cantidad no usada de la materia prima M2. 4. Suponga que Reddy Mikks vende su pintura para exteriores a un mayorista, con un descuento por volumen. La utilidad por tonelada es 55000 si el mayorista no compra más de 2 toneladas diarias, y de $4500 en los demás casos. ¿Se puede traducir esta situación a un modelo de programación lineal?

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