C07 nivelacion y corrección por curvatura y refraccion

$: C07 nivelacion y corrección por curvatura y refraccion$
- 113 -

Pontificia Universidad Católica del PerúTOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes

NIVELACIONCORRECCION POR CURVATURA Y REFRACCION

- 114 -


NIVELACION – CORRECCION POR CURVATURA

A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R

EFECTO DE REFRACCION

A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


La línea de visual es una línea tangencial a una línea de nivel, en consecuencia deben aplicarseciertas correcciones cuando las visuales son largas, es decir, cuando es considerable la desviaciónde la tangente con respecto a un círculo

- 115 -


NIVELACION – CORRECCION POR REFRACCION

A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


Cuando los rayos de luz atraviesan la atmósfera son desviados o refractados hacia la

superficie de la tierra. Esta refracción de la luz produce un efecto curvo sobre las lecturas que

realizamos.

El desplazamiento debido a

refracción es variable y

depende de las condiciones

atmosféricas y la distancia.

Se puede estimar que la

corrección por refracción es

aproximadamente igual al

14% de la corrección por

curvatura.

- 116 -


(R + Cc)2 = R2 + d2

(R + Cc)2 - R2 = d2

(R+Cc+R) (R+Cc-R) = d2

Cc = d2/(2R+Cc) pero R >> Cc

Cc = d2/(2R) R= 6370 Km

Cc = 7.849x10-5d2 d en kilómetros

como C =0.86Cc C = 0.0675 d2 d en Km, C en mt.

C = 67.5 d2 d en Km, C en mm.

Corrección por curvatura = Cc

Corrección por refracción = Cr

Corrección por curvatura y refracción = C = Cc - Cr

C = Cc – Cr pero Cr = 0.14 Cc

C = 0.86 Cc

A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


A

B

b

B'

B''

N.R.

A'

LÍNEA

DE

VIS

UAL

SUPERFICIE DE NIVEL

C

R

CCC

r

R


NIVELACION – CORRECCION POR CURVATURA

- 117 -


NIVELACION RECIPROCA:

Es un método que evita la necesidad de aplicar las correcciones por curvatura y

refracción.

A

B

(1)

(2)

LINEA DE VISUAL

hA

h'A

hB

h'B

DESNIVEL APARENTE = DA(1) = hA

hB

Correción por Curvatura y Refracción = C

DESNIVEL VERDADERO = hA

( h - C )B

DESNIVEL APARENTE = DA(2) = h'A

h'B

DESNIVEL VERDADERO = h'B

( h' - C )A

(1) (2)

DESNIVEL VERDADERO = DA(1) + C DESNIVEL VERDADERO = DA(2) - C

DESNIVEL VERDADERO = SUMA DESNIVELES APARENTES

1

2

A

B

(1)

(2)

LINEA DE VISUAL

hA

h'A

hB

h'B


hB



( h - C )B


h'B


( h' - C )A

(1) (2)



1

2

A

B

(1)

(2)

LINEA DE VISUAL

hA

h'A

hB

h'B


hB



( h - C )B


h'B


( h' - C )A

(1) (2)



1

2

C = Correcc. por Curvatura y refracción

A

B

(1)

LINEA DE VISUAL

hA

hB

AB

(2)

LINEA DE VISUALh'A h'

B

A

B

(1)

(2)

LINEA DE VISUAL

hA

h'A

hB

h'B


hB



( h - C )B


h'B


( h' - C )A

(1) (2)



1

2

- 118 -


NIVELACION CERRADA:

Aquella que empieza y termina en puntos de cota conocida. Al concluir la nivelación

comparamos la cota calculada con la cota conocida, de esta manera obtenemos el

error de cierre que determina la precisión de la nivelación realizada.

BM1

BM2100 m

180 m

100 m

120 m

450.863

650.262 (dato)

650.255 (nivelado)

e = 7 mm

Error de cierre = 7mm

Circuito de nivelación cerrada - Vista en planta

- 119 -


Otra forma de hacer una nivelación cerrada es: partir de un punto (BM), realizar un circuito

de nivelación y concluir en el punto de partida (BM).

En este caso, para hallar el error de cierre se compara la cota de partida con la obtenida al

cerrar la nivelación.

NIVELACION CERRADA:

BM

NIVEL

Circuito de Nivelación.

Vista en planta

- 120 -


NIVELACIONPRECISIONES:

El grado de precisión con el cual se va a realizar un trabajo de nivelación depende

directamente del fin de dicho trabajo.

Desde el punto de vista de ingeniería tenemos los siguientes grados de nivelación:

a) Precisa: ejm: canales, túneles, tendido de tuberías de desagüe.

b) Ordinaria: ejm: carreteras, vías férreas.

c) Rápida: ejm: anteproyectos.

En donde “distancia” es la longitud horizontal nivelada.

Km)distancia(10mm)admisible(error mm

Km)distancia(0mmmm)admisible(error 2

Km)distancia(0mmmm)admisible(error 10

- 121 -


NIVELACION

Circuito de nivelación - Vista en planta

NIVEL

NIVEL

BM1

BM2

BM3

BM4

d1

Línea de visual

d2

d3

distancia=d1+d2+d3

Punto de apoyo de la mira

- 122 -


Ejemplo:

Un circuito de nivelación parte del BM1 (cota 450.863) hacia BM2 (cota 650.262).

Luego de realizar los cálculos se obtiene para BM2 una cota de 650.255. Determine la

precisión de la nivelación realizada.

BM1

BM2100 m

180 m

100 m

120 m

450.863

650.262 (dato)

650.255 (nivelado)

e = 7 mm

Niv. Precisa eadm = 10(0.5)1/2 = 7 mm

Niv. Ordinaria eadm = 20(0.5)1/2 = 14 mm

Niv. Rápida eadm = 100(0.5)1/2 = 70 mm

Como el error de cierre es 7mm, se trata de una nivelación precisa

- 123 -


NIVELACION

Si se utiliza equipo geodésico en lugar de equipo de ingeniería, se tendrán las siguientes

precisiones:

Km)distancia(mmmm)admisible(error 4



1º Orden:

2º Orden:

3º Orden:

- 124 -


AJUSTE DE NIVELACIONES CERRADAS:

Cuando se realiza una nivelación y el error de cierre es menor que la tolerancia, se puede

efectuar un ajuste.

BM

1

2 3

4

5

L1

L2

L3

L5L4

ecci

Li

1 2 3 4 5 1

L

Li

c

L

e ic LiL

ec c

i

ec = error de cierre

ci = correccion del punto (i) nivelado

Li = distancia hasta el punto (i) nivelado

L = L1 + L2 + L3 + L4 + L5

- 125 -


EJERCICIO AJUSTE DE COTAS NIVELACION CERRADA

La figura muestra el perfil de una nivelación compuesta. Se ha nivelado desde el punto A (BM1) hacia el

punto E (BM2). Determine la precisión de la nivelación y realice el ajuste de cotas correspondiente.

BM1 BM2

Datos:

BM1=200.000 msnm

BM2=200.435 msnm

D(AE)=315 m (distancia horizontal)

- 126 -


BM1 BM2

CALCULO DE COTAS

VA: VISTA ATRÁS

VI: VISTA INTERMEDIA

VD: VISTA ADELANTE

AI: ALTURA DEL NIVEL

- 127 -


CALCULO DE COTAS

Resultados:

BM2 (calculado)=200.430 msnm

BM2 (dato)= 200.435 msnm

Error de cierre = BM2 (calculado)- BM2 (dato)=200.430 – 200.435 = -0.005 m = -5 mm

Error admisible:

Nivelación precisa = = (error admisible)

Como el error de cierre (5 mm) < error admisible (5.6 mm), entonces se trata de una

nivelación precisa.

Ajuste de cotas:

Si se conoce la distancia entre puntos nivelados podemos realizar el ajuste de cotas.

En este caso como la cota de llegada es menor al BM2 entonces las correcciones

serán positivas.

d(km)10 5.6mm0.31510

- 128 -


AJUSTE DE COTAS

TRAMODISTANCIA

HORIZONTAL (m)

A-B 105.00

B-C 30.00

C-D 45.00

D-E 135.00

∑ 315.00

BM1 BM2

LiL

ec c

i

ec = error de cierre

ci = correccion del punto (i) nivelado

Li = distancia hasta el punto (i) nivelado

L = suma de tramos nivelados

0.0017m105315

0.005cB 0.0021m135

315

0.005cC 0.0028m180

315

0.005cD

- 129 -


AJUSTE DE COTAS

TRAMODIST. HORIZ

(m)

DIST. ACUM

(m)

CORRECCION

(m)

PUNTO

NIVELADO

COTA CALCULADA

(msnm)

COTA CORREGIDA

(msnm)

A-B 105.00 105.00 0.002 B 200.220 200.222

B-C 30.00 135.00 0.002 C 199.765 199.767

C-D 45.00 180.00 0.003 D 199.235 199.238

D-E 135.00 315.00 0.005 E 200.430 200.435

∑ 315

BM1 BM2

- 130 -


NIVELACION POR RUTAS DIFERENTES:

Procedimiento utilizado para conocer la cota de otros puntos a partir de cotas conocidas de dos

o más BMs.

Se deben ajustar las líneas de nivelación

para que las cotas calculadas por una u

otra ruta resulten iguales.

Debe considerarse el peso de cada una

de las rutas, el cual será:

i

i

d

1p

2

i

De modo que las rutas más cortas

tendrán mayor precisión que las más

largas.

BM1100.000

BM2

107.194

BM3120.282

A

B

BM4145.585

1

2

3

4

5

6

7

pi = peso de la ruta i

di =distancia nivelada en la ruta i

σi= desviación estándar de la ruta i

- 131 -


1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi).

2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones.

3. Escribir la sumatoria piVi2

4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto

a las mediciones halladas e igualar a cero.

5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.

Pasos para aplicar el método de los Mínimos Cuadrados:

Se puede compensar un circuito de nivelación utilizando el método de los “MÍNIMOS

CUADRADOS”

pi = peso o ponderación

Vi = error o residuo

- 132 -


NIVELACION POR RUTAS DIFERENTES

Ejemplo:

La figura muestra una red de nivelación. Se ha

nivelado partiendo desde el BM1 y BM2 hacia

el punto A, desde el BM3 hacia el punto B y

desde A hacia B.

Adicionalmente se muestra la diferencia de

elevaciones y longitudes niveladas (entre

paréntesis) a lo largo de cada ruta.

Si en cada ruta se utilizó un nivel con

desviación estándar . Determine las cotas

más probables de los puntos A y B.

- 133 -


Solución:

4

3

2

1

ruta

ruta

ruta

ruta

v43.840AB

v310.100-BM3B

v212.200-BM2A

v1 8.280BM1A

1. Expresar cada medida como el valor medido más un residuo (Vi):

2. Expresar cada residuo como una función de las mediciones:

3.840-A-Bv4

112.124-Bv3

108.282-Av2

108.280-Av1

3. Escribir la sumatoria piVi2

Pesos por ruta: 4

3

2

1

ruta

ruta

ruta

ruta

2

2

2

2

4001/p4

10001/p3

5001/p2

10001/p1

- 134 -


Solución:

2

2

2

2

2

2

2

2

i

2

i400

3.840)-A-(B

1000

112.124)-(B

500

108.282)-(A

1000

108.280)-Apv

(

4. Hallar las derivadas parciales de la función mínimos cuadrados con respecto a las mediciones

halladas e igualar a cero:

(2)121.7243.5B2.5Ap

(1)315.2442.5B5.5Ap

i

i

22

2

i

222

2

i

400

3.840)-A-2(B

1000

112.124)-B

B

v

400

3.840)-A-2(B

500

108.282)-2(A

1000

108.280)-A

A

v

(2)(

(2)(

108.282A

112.123B

583.0375.2B

(2)267.7937.7B5.5A

(1)315.2442.5B5.5A

5. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido:

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Engineering

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