Condensadores

Edilberto Vásquez Díaz

Universidad de Piura 2012-II

CONCEPTO DE CAPACIDAD

Utilidad: Almacenamiento de carga y energía en los circuitos. La propiedad que caracteriza este almacenamiento es la Capacidad Eléctrica.

Construcción de un condensador: Dos conductores aislados (placas) de forma arbitraria, con cargas +q y –q.

Un condensador se caracteriza por la carga de los conductores y por la diferencia de potencial que existe entre ellos.

a b

+q -q

Cómo se carga un condensador:

Conectando las dos placas a los terminales de una batería

De esta forma, los portadores de carga se mueven de una placa a otra hasta que se alcanza el equilibrio electrostático. Así, la diferencia de potencial entre las placas es la misma que entre los terminales de la batería.

La relación ente la carga y el potencial es una característica propia de cada condensador, por lo que se define la Capacidad del condensador como

V

QC Unidades en el S.I.: Faradio (F)

Tipos de Condensadores

TIPOS DE CONDENSADORES

1.- Condensador de placas planoparalelas

Vamos a calcular la capacidad para tres tipos de condensadores. En cada caso debemos encontrar la diferencia de potencial, V, entre las placas de dicho condensador.

Suponiendo cada placa como un plano infinito, el campo eléctrico creado por cada placa es s/2eo, luego el campo total entre las placas es

CteA

qE

oo

e

e

s

La capacidad será

Adq

q

V

qC

o / e

y

A

d qd EV

oe

d

A C oe

2.- Condensador cilíndrico: Se compone de un conductor cilíndrico de radio a y una corteza cilíndrica de radio b concéntrica con el conductor, ambos de longitud L.

b

ardEV

Siendo E el campo eléctrico en la zona entre los dos conductores. Podemos calcular esta campo eléctrico aplicando el Teorema de Gauss.

o

qsdE

e

int

o

qrL E

e

int2

rL

q E

oe

2

b

a

b

adr ErdEV

a

b

L

q

r

dr

L

q V

o

b

ao

ln22 e

e

)/ln(

2

ab

L

V

qC oe

Cuanto mayor es la longitud del cilindro más carga es capaz de acumular

+ + +

+ +

+

+ +

+

+

+ + + +

+

+

+ +

+ +

+

+ +

- -

- -

- -

-

-

- -

-

-

E

a

b

3.- Condensador esférico: Se compone de una esfera conductora interior de radio R1 y una corteza esférica concéntrica de radio R2.

Si suponemos que la esfera interior tiene carga negativa y la corteza está cargada positivamente, el campo eléctrico entre ambas, a una distancia r, será el de una carga puntual colocada en el centro.

2

1

2

1

2

1 21

122

R

R

R

R

R

R RR

RRkqdr

r

qkdr ErdEV

12

2

1

12

214

)( RR

RR

RRk

RRC o

e

2R Si Se define la capacidad de un condensador esférico aislado como

RC oe 4

-q

+q

R1 R2

ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES

Condensadores en serie Regla general: La diferencia de potencial entre los extremos de un cierto número de dispositivos conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial entre los extremos de cada dispositivo individual.

En este caso V=Vb-Va=V1+V2 y la carga permanece constante, luego

2

2

1

1

C

qVy

C

qV 21 VVV

)11

(21 CC

qV V

qCeq

21

111

CCCeq

i ieq CC

11

V

-q +q -q +q a b

V

V1

V2

Condensadores en paralelo Regla general: La diferencia de potencial entre los extremos de un cierto número de dispositivos conectados en paralelo es la misma para todos ellos.

En este caso q = q1+q2 y es la diferencia de potencial la que permanece constante, luego

VCqy V Cq 2211 21 qqq

)( 21 CCVq 21 CCC

i

ieq CC

V

-q1 +q1

-q2 +q2

b a

V

V

Introducción de un dieléctrico entre las placas de un

condensador

Si colocamos un dieléctrico entre las placas de un condensador planoparalelo, se polariza a medida que se introduce en el seno del condensador Aparece una densidad superficial de carga en las caras adyacentes a las placas del condensador

oE

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+ -

-

-

-

- -

-

-

- + +

+

sp

oE

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

s

pE

El campo eléctrico total es, en este caso

En módulo, el campo total disminuye

po EEE

oE

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

Inicialmente se tenía una diferencia de potencial , con la presencia del dieléctrico la diferencia de potencial será . Debido a esto, el potencial entre las dos placas disminuye, se tiene que el condensador con dieléctrico tiene menor diferencia de potencial entre sus placas que el condensador sin dieléctrico: La capacidad es inversamente proporcional al potencial, entonces la capacidad va a aumentar pues la cantidad de carga sobre las placas permanece constante.

dEVab 0

dEV ab '

abab VV '

CV

Q

V

QC

ab

f

ab

f

''

Esto quiere decir que la capacidad de un condensador desconectado de la fuente es mayor cuando entre sus placas tiene dieléctrico que cuando no lo tiene.

CC '

Para un condensador de placas paralelas se puede escribir

d

A

d

A C o e

e

Este resultado se puede generalizar para cualquier tipo de condensador escribiendo

L C oe

L es una constante que depende de la geometría

Planoparalelo

Cilíndrico

d

AL

)/ln(

2

ab

lL

Si el dieléctrico ocupa todo el espacio entre las placas, la capacidad aumenta en un factor , a la que llamamos Constante Dieléctrica

permitividad del vacío e0

Dieléctrico Constante dieléctrica

Ámbar 2.7-2.9

Aire 1.00059

Baquelita 4-4.6

Cera de abejas 2.8-2.9

Mica moscovita 4.8-8

Plástico vinílico 4.1

Plexiglás 3-3.6

Porcelana electrotécnica

6.5

Seda natural 4-5

ENERGÍA DE UN CONDENSADOR

Cuando se carga un condensador con una batería, ésta realiza un trabajo al transportar los portadores de carga de una placa a otra. Esto supone un aumento de energía potencial en los portadores que coincide con la energía eléctrica almacenada en el condensador. Se puede comparar este efecto con la energía almacenada en un muelle comprimido. Esta energía almacenada se recupera cuando se descarga el condensador.

C

qU

2

2

1

Este trabajo coincide con la energía eléctrica almacenada en el condensador, luego

También se puede escribir como 2

2

1CVU qVU

2

1o

Proceso de carga de un capacitor

En un tiempo t = 0 se cierra el interruptor S, el condensador está descargado

con lo cual la diferencia de potencial entre sus terminales es vc (t = 0) = 0. El

condensador se comporta como un interruptor cerrado (simplemente como un

cable equipotencial) como se ve en la figura

Instante t cualquiera

Una vez establecida una corriente, esta corriente va cargando al capacitor. En

un tiempo t, como se ve en la figura , el condensador tendrá una carga q, la

corriente en el circuito será i, la caída de potencial en la resistencia será vR(t) = iR

y en el condensador será vC(t) = q/C, por lo tanto la ecuación del circuito puede

ser escrita usando la Regla de Mallas:

0C

qiRV

0C

qR

dt

dqV

dtdqi

RC

t

fRC

t

eQeCVtq 11)(

RC

t

RC

t

eIeR

Vti

0)(

Carga y corriente en el capacitor a lo largo del tiempo.

Para un tiempo igual al valor de RC se obtiene la constante de tiempo capacitiva

y expresa como RC = RC y es el tiempo para el cual la carga del condensador

alcanza un 63,2% de su valor final Qf =CV. Si RC es muy pequeña, el

condensador se carga más rápidamente, esto se logra utilizando valores de

resistencia pequeñas. Cabe indicar que en la práctica se asume que un

condensador se encuentra totalmente cargado en un tiempo igual a 5RC

Instante final

La diferencia de potencial en el condensador crecerá en el tiempo. Cuando un condensador se ha cargado plenamente, se ve que la diferencia de potencial entre sus terminales es igual a la diferencia de potencial de la fuente, con lo cual ya no fluye corriente. El condensador se comporta como un interruptor abierto como se ve en la figura

Es importante resaltar que lo que se ha producido mediante la

carga del condensador es el almacenamiento de energía eléctrica

en el condensador. Se puede demostrar que la energía

proporcionada por la fuente en el proceso de carga será QV y se

ha convertido en energía almacenada, mediante la formación de

un campo electrostático en el espacio entre las placas del

condensador de valor QV/2, y la otra mitad ha sido disipada en

forma de calor en la resistencia. La resistencia juega un papel

importante pues limita el valor de la corriente inicial (valores

elevados dañarían al condensador) y regula el tiempo de carga del

condensador.

Proceso de descarga de un condensador

Instante inicial

Se supone que el condensador ha adquirido una carga inicial Q0. La capacitor tendrá una diferencia de potencial inicial igual a V0 = Q0/C. Al cerrar el circuito, como se muestra en la figura 5.17, el único elemento capaz de proporcionar energía eléctrica será el capacitor. El condensador comenzará a devolver la energía eléctrica almacenada, la cual se disipará en la resistencia, hasta que la carga en sus placas sea cero.

Instante t cualquiera Se establece una corriente a través de la

resistencia al tiempo que el condensador

se descarga. En un tiempo t , el

condensador tendrá una carga q, la

corriente en el circuito será i, la caída de

potencial en la resistencia será vR(t) = iR

(invirtió su potencial respecto al que tenía

cuando se cargaba al condensador) y en

el condensador será vC(t) = q/C, y

sabiendo que :

dtdqi

0C

qR

dt

dqRC

t

eQtq

0)(RC

t

RC

t

eIeRC

Qti

0

0)(

Cabe indicar que en la práctica se asume que un condensador se encuentra totalmente descargado en un tiempo igual a 5RC.

Instante final

Al final, en un el condensador quedará descargado y la corriente desaparecerá. Toda la energía almacenada en el condensador se habrá disipado en la resistencia.