C u r s o : MatemÆtica Material N°...

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 19

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONESFUNCIONES

DEFINICIÓN

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cadaelemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como:

f: A Bx y

y se lee “f es una función de A en B”.

Se dice que y es la imagen de x mediante f lo cual se denota y = f(x), y que x es pre-imagen de y.

Dominio de una función: es el conjunto formado por todas las pre-imágenes (x) y se denota Df.

Recorrido de una función: es el conjunto formado por todas las imágenes (y) y se denota Rf.

OBSERVACIÓN: y se denomina variable dependiente y x se denomina variable independiente.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [a, b]?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

x y

12345

5,56

233

2,5345

1 2 3 4 5

12345

6 x

y

Rec

orr

ido

Dominio

0

C u r s o : Matemática

Material N° 25

a b a b a b

2

2. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos no representa una función en el intervalo [a, b]?

A) B) C)

D) E)

3. Si f es la función señalada en el gráfico de la figura 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones esverdadera?

A) Df = [1, 4]B) Rf = [0, 3[C) La imagen de 4 es 0.D) x = 5 tiene imagen.E) la pre-imagen de 1 es 0.

4. En la ecuación 2x – 3y – 1 = 0, al despejar y en función de x, se obtiene

A) y =23

x + 1

B) x =32

y +12

C) x =23

y –13

D) y = -23

x +13

E) y =23

x –13

5. El dominio de la función f(x) =x + 5x + 4

es

A) lR – {4}B) lR – {-4}C) lR – {-5}D) lR – {-4, -5}E) lR

y

xba

x

y

a b

y

xa b

y

xa b

y

xa b

3

1 2 3 4 5

y

x

fig. 1

3

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Para encontrar las imágenes de una función, se reemplaza la variable independiente en la fórmulaque define la función, por el número o expresión que corresponda, colocándola entre paréntesis.

Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta lavariable dependiente.

Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variabledependiente disminuye.

Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente, lavariable dependiente toma un único valor.

EJEMPLOS

1. Sea f: lR lR, una función definida por f(x) = 3x + 2. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Df = Rf II) La imagen de 0 es- 23

. III) La pre-imagen de 11 es 3.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. Si f(x) = x2 – 1, ¿cuál de las siguientes relaciones es falsa?

A) f(-1) = f(1)B) f(1) < f(3)C) f(-2) > f(1)D) f(0) < 0E) f(0) > f(-1)

3. Si f(x) = 4, y h(x) = x, entonces ¿cuál es el valor de la expresión f(0,5) · h(4)?

A) 2B) 3C) 4,5D) 6E) 16

4

4. Sea f(x) = x2 – 2x + 1. Entonces, f(x + 2) =

A) (x + 1)(x – 2)B) (x + 1)2

C) (x – 1)D) (x + 2)2

E) (x + 2)(x + 1)

5. Con respecto al gráfico de la función f de la figura 1, ¿cuál de las siguientes alternativas esfalsa?

A) f(-2) = -f(2)B) f(0) = f(0,5)C) f(1) > f(3)D) f es creciente en el intervalo [-2, 3].E) f es decreciente en el intervalo [2, 3].

6. Con respecto al gráfico de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)?

I) f(x) es creciente.II) g(x) es decreciente.III) h(x) es decreciente.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

7. Si f(x) = x y g(x) = 3, ¿cuál es el valor de g(x + 3) g(x)f (x + 3) f (x)

?

A) 3B) 2C) 1D) 0E) -3

8. Si f(x – 1) = x2, entonces el valor de f(3) es

A) 1B) 4C) 9D) 16E) 25

1 2 3-1-2

-2

1

y

x

2

fig. 1

y

x

f(x)

g(x)

h(x)fig. 2

5

FUNCIONES PARES

Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valoresiguales.

FUNCIONES IMPARES

Son aquellas que al sustituir la variable independiente por dos valores opuestos, resultan valoresopuestos.

OBSERVACIÓN: Las funciones pare tienen una gráfica que es simétrica respecto al eje de lasordenadas, mientras que las funciones impares tiene gráficas respecto del origen.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes funciones es impar?

A) f(x) = x3 + 1B) f(x) = x2 – 1C) f(x) = xD) f(x) = x3 + 2E) f(x) = 3x4 – 2

2. ¿Cuál de las siguientes funciones es par?

A) f(x) = x2 + 2xB) f(x) = xC) f(x) = x3

D) f(x) = x5

E) f(x) = 2x7

3. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función impar?

A) B) C) D) E)

f(x) = f(-x)

f(x) = -f(-x)

1-1 x

y

2-3 x

y y

2 3 x 3-3 x

y

2-2 x

y

6

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función.

La función y = f(x) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en elsentido negativo (fig. 1 y 2).

La función y = f(x – h) es la función f trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo(fig. 3 y 4).

La función y = f(x – h) + k es la función f desplazada k unidades en el eje y, yh unidades en el eje x.

Si h y k son positivos, entonces:

EJEMPLOS

1. En la figura 1, se tiene la gráfica de la función f(x) = 3x. ¿Cuál es la gráfica de la funciónf(x) = 3x + 3?

A) B) C) D) E)

y

x-1-2-3 1 2 3

-2-3

123

fig. 1

y

x-1-2-3 1 2 3

-2-3

123

y

x-1-2-3 1 2 3

-2-3

123

y

x-1-2-3 1 2 3

-2-3

123

y

x-1-2-3 1 2 3

-2-3

123

y

x-1-2-3 1 2 3

-2

-3

123

x

y

y = f(x) + k

fig. 1

f

x

y

y = f(x) – k

fig. 2

f

x

y

y = f(x – h)

fig. 3

f

x

y

y = f (x + h)

fig. 4

f

7

2. La figura 2, muestra la gráfica de la función y = x2. ¿Cuál es la gráfica de la funcióny = (x + 1)2?

A) B) C) D) E)

3. La figura 3 muestra la gráfica de la función y = x . ¿Cuál es la gráfica de y = 1 + x + 1 ?

A) B) C) D) E)

4. La gráfica de la función y = x3 es la que aparece en la figura 4. ¿Cuál es la gráfica dey = (x – 2)3 + 2?

A) B) C) D) E)

x

y

fig. 2

x

y

x

y

x

y

x

y y

x

fig. 3

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

fig. 4

y

x2

8

-8

-2

y

x2

y

x-2

2

y

x21

1

y

x

2

y

x

-2

8

Se denomina Función Afín a la función definida por f(x) = mx + n, con m y n números reales.Su representación gráfica es una recta, su pendiente m determina si la función afín es creciente,constante o decreciente.

creciente constante decreciente

En el caso que el coeficiente de posición n sea igual a cero, la función se denomina lineal. Estafunción pasa por el origen.

OBSERVACIÓN: La función lineal f(x) = mx, cumple las siguientes propiedades: Para todo a y b pertenecientes al Df se cumple que

f(a + b) = f(a) + f(b)

Para todo a perteneciente al Df y lR se cumple que

f( · a) = f(a)

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la ecuación de la función afín representada en el gráfico de la figura 1?

A) y =34

x – 4

B) y =34

x + 4

C) y = -43

x + 4

D) y =43

x + 4

E) y = -34

x + 4

2. ¿Cuál es la ecuación de la función lineal representada en el gráfico de la figura 2?

A) y = -2x

B) y =12

x

C) y = -4

D) y = -12

x

E) y = 2x

x

ym > 0

x

ym = 0

x

ym < 0

x

y

-3

4fig. 1

x

y

-4

2 fig. 2

9

3. Si en la ecuación y – 3 = 0, tenemos una función respecto de la variable independiente x,¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) su dominio es el conjunto de los números reales.II) Su recorrido es el conjunto {(0, 3)}.

III) Su representación gráfica es una recta perpendicular al eje de las ordenadas.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

4. En una cuenta del agua potable se consigna un cargo fijo de $ 900. Sabiendo que el modelode cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un consumo de 15 m3 se facturó el mespasado $ 6.000, ¿cuál es la función que permite calcular el costo G de x m3 de agua?

A) G = 900 + 6.00015

x

B) G = 900 + 15 · 6.000 xC) G = 900 – 15 · 6.000 x

D) G = 900 + 6.000 90015 x

E) G = 900 – 6.000 - 90015

x

5. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la situación anterior?

A) B) C)

D) E)

5 10 15

6.000

900

G

x

6.000

5 10 15

900

G

x

6.000

5 10 15

900

G

x

5 10 15

6.000

900

G

x

5 10 15

6.000

900

G

x

10

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por x, es siempre un número real no negativo.

f(x) = x =x si x 0-x si x < 0

, x lR

Representaciones gráficas

f(x) = x f(x) = -x

OBSERVACIÓN: x = 2x

EJEMPLOS

1. Si f(x) = x – 1, entonces f(2) – f(-1) =

A) -1B) 0C) 1D) 2E) 3

2. Dada la función f(x) = 1 – x – 4, ¿Cuál(es) es (son) la(s) preimagen(es) de 2?

A) 7B) 6C) -5D) -5 y 7E) 5 y -5

-1

-2

1 2-1-2

y

x0

1

2

0 1 2-1-2

y

x

11

3. El gráfico que mejor representa a f(x) = x – 1 + 1, es

A) B) C)

D) E)

4. ¿Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 1?

A) x + 1 + 2B) x – 2 + 1C) x + 2 – 1D) x – 2 – 1E) x – 1 + 2

5. ¿Cuál es la función que se representa por el gráfico de la figura 2?

A) 1 +xB) -1 +xC) 1 -xD) x -1E) x +1

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x + x – 1?

A) B) C)

D) E)

y

x- 12

1

y

x-1

12

- 12

y

x

1

y

x

2

-1

1

12

y

x

1

1

2

y

x

2

2

1

31-2-1

fig. 1

x

y

fig. 2

x

y

1

1x

y

12-1

x

y

1

1 2

23

2

x

y

1

1 2

3

-1x

y

1

1

2

12

FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor oigual a x.

Su representación gráfica es

f(x) = x

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es el valor de la expresión [0,99] + [1,11]?

A) 3B) 2C) 1D) 0E) -1

2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdaderas(s)?

I) [] = 4II) [-] = -4

III) [ 2 ] = 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. Si f es una función tal que f(x) = [x] – x + 1, entonces f(-2,2) + f(2,2) =

A) 1B) 0,8C) -1,4D) -3,4E) -4,2

f(x) = [x] con x lR

x f(x)-1,7-1-0,300,5

11,6

22,3

-2-1-1 0 0 1 1 2 2

1 2 3 4-1-2-3-4-1

-2

-3

-4

12

3

4

y

x

13

4. El gráfico de la función f(x) = [x + 1] es

A) B) C) D) E)

5. ¿Cuál es la función representada en el gráfico de la figura 1?

A) [x + 2]B) [x – 2]C) 2[x ]

D)[x]2

E)x2

6. La tarifa para una obra de teatro es la siguiente:

¿Cuál de los siguientes gráficos es el que representa la función tarifa?

A) B) C) D) E)

7. Una oficina de turismo organiza visitas guiadas sólo para grupos de 4 personas. Si xrepresenta el número de personas interesadas, ¿cuál es la función que representa el númeroN de visitas a organizar?

A) N =[x]4

B) N =x4

C) N = 4 [x]

D) N =x 4

4

+ 1

E) N =x4

+ 1

2

2

-2 4

1fig. 1

x

y

0-1

Ninguna delas anteriores

-2 1 2 3 x

y

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -1 1 2 3 x

y

-2-1

1

2

3

-2 -1 1 2 3 x

y

-2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2-3 x

y

-2

1

2

3

* Niños de 10 o menos años : No pagan* Jóvenes entre 10 y 20 años : $ 2.000* Adultos de 20 o más años : $ 3.000

años10 200

2000

3000

$

10 200

2000

3000

años

$

10 200

2000

3000

años

$

10 200

2000

3000

años

$

2000

3000

años10 200

$

14

EJERCICIOS

1. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función en el intervalo [-2,2]?

I) II) III)

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

2. La figura 1, muestra el gráfico de una función y = f(x), definida en los reales. ¿Cuál es elvalor de [f(-3) + f(3)] · f(0) – f(2)?

A) 8B) 7C) 6D) 4E) 0

3. Si f(x) =4x 1x 2

, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(-2) =94

II) f(0) =12

III) f(2) = 7


y

x

1

2

-1

-2

-2 -1 2

y

x

1

2

-1

-2

-2 -1 21

y

x

1

-1

-2

-2 -1 21

y

x

1

2

-3-4 -2 -1 21 3 4

3

4

5

6

fig. 1

15

4. De acuerdo al gráfico de la curva h(x) de la figura 2, se puede afirmar que:

I) La función es creciente en [-2,4].II) Dom h = [-2,4]

III) Rec h = [-2,3]

Es (son) verdadera(s)

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

5. ¿Cuál es el dominio de la función f(x)=2

x 1

x 4

?

A) lR – {1}B) lR – {4}C) lR – {-2, 2}D) lR – {-2, 1, 2}E) lR – {1, 4}

6. Se llama función mantisa a aquella que a cada elemento x le hace corresponder la diferenciaentre el número x y su parte entera. Su fórmula es M(x) = x – [x]. ¿Cuál es el valor deM(8,75) + M(-3,75)?

A) 7B) 1C) 0,5D) 0E) -7

7. La función f(x) = x – 2 + 3 está representada por

A) B) C)

D) E)

1

y

x321-1-2

2

3

fig. 2

-2

-14

h(x)

y

x

3

-2

y

x

3

2

y

x

3

2

y

x

3

-2

21

y

x-1-2

-2

1

2

-3

16

8. El gráfico de la figura 3, ¿a cuál(es) de las siguientes función(es) representa(n)?

I) f(x) = [x + 1]II) f(x) = [x] – 1

III) f(x) = [x] + 1

A) A I solamente.B) A I y a II solamente.C) A I y a III solamente.D) A II y a III solamente.E) A I, a II y a III.

9. El gráfico que representa la función f(x) = 1 – x – 2 es

A) B) C)

D) E)

10. ¿Cuál de las siguientes funciones es par?

A) f(x) = x2 – 4B) f(x) = x2 + 2x + 1C) f(x) = xD) f(x) = 2x

E) f(x) = x2

11. Dadas las funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = x , entonces f(g(x)) es

A) 4 + xB) x – 4C) (2 + x )(2 – x )D) ( x + 2)( x – 2)E) 1 – x2

-2 -1 1 2 3

fig. 3

x

y

-2

4-3

1

2

3

4

y

x2

1

y

x-2 2

2

-2

y

x-2 2

2

-2

1

y

x-2 2

2

-2

1

y

x-2 2

2

17

12. ¿Cuál(es) de los siguiente tipos de funciones cumple(n) siempre con la propiedadf(k · x + y) = k · f(x) + f(y)?

I) La función afín.II) La función lineal.

III) La función constante.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

13. Si f(x – 1) =3x 5x + 2

, entonces f(-2) =

A) -11B) -8C) -5D) 0E) indeterminado.

14. Si f(x) = x2 para todo número real x, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

I) f(x) = f(-x)II) f(x + 1) = f(x) + 1

III) f(x + 1) · f(x – 1) = (x2 – 1)2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

15. La función y = f(x), cumple la siguiente propiedad: “a valores distintos de x le correspondevalores distintos de y”. ¿Cuál es la gráfica que representa a dicha función?

A) B) C)

D) E)

1 x

y

1 x

y

1 x

y

1 x

y

1 x

y

18

16. El gráfico de la figura 4, muestra el valor del pasaje en un taxi colectivo rural de acuerdo ala distancia recorrida por el pasajero. Entonces, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) falsa(s)?

I) Por un recorrido de 18 km se debe cancelar $ 600.II) El valor del pasaje aumenta en $ 300 por cada 15 km.

III) Si un pasajero recorriera exactamente 25 km, tendría que pagar $ 600.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

17. Una industria contrata un servicio mensual de transporte, el cual aplica el gráfico de lafigura 5 en el cobro de sus tarifas, según los kilómetros recorridos.

¿Cuánto debe pagar la industria al término del mes si el promedio de kilómetros recorridosen los primeros 20 días del mes fue de 20 km y en los 10 días siguientes fue de 15 km?

A) $ 60.000B) $ 100.000C) $ 120.000D) $ 140.000E) $ 160.000

18. Un taxista gasta mensualmente $ 80.000 en la mantención de su auto. El sabe que elrendimiento de su auto es de 10 lt de bencina por cada 100 km recorridos y que el litrocuesta $ 540. Una expresión que nos permite calcular el gasto total (G) mensual, en pesos,en función de un número x de kilómetros recorridos en el mes es

A) G = 540 x + 80.000B) G = 540 · 10 x + 80.000C) G = 540(x – 10) + 80.000D) G = 54(x – 10) + 80.000E) G = 54 x + 80.000

100 200 300 400 500 600 700 800

20406080

100120140160180200

km mensuales

(mile

s de

pes

os)

fig. 5

$

10 20 30 400

300

600

900

km

fig. 4

19

19. Si A es el área de un cuadrado y p su perímetro, entonces A en función de p seexpresa como

A) A(p) = p2

B) A(p) =2p4

C) A(p) =2p

16D) A(p) = 4 p

E) A(p) = 2 p

20. Un estanque se llena mediante un grifo que mantiene un flujo constante. Si en el instanteinicial el estanque tenía 100 litros y a los 5 minutos se habían alcanzado 250 litros, ¿cuál esla función que representa el contenido C de agua en función del tiempo t, en minutos defuncionamiento del grifo?

A) C = 50 + tB) C = 100 + tC) C = 100 + 50tD) C = 100 + 30tE) C = 100 + 25t

21. El gráfico de la función y = f(x), donde x es la longitud del lado de un cuadrado y f(x) lamedida de una de diagonales es

A) B) C)

D) E)

y

x

2

1

y

x1

y

x

2

y

x

1

2

y

x

2

1

20

22. La recta L de la figura 6, corresponde al gráfico de la función y =4

x3

+ 4. El área del

triángulo achurado es

A) 48 cm2

B) 36 cm2

C) 32 cm2

D) 28 cm2

E) 24 cm2

23. El puntaje p(x) de una prueba de 70 preguntas se calcula asignando 4 puntos por respuestacorrecta y restando 1 punto por cada respuesta incorrecta, más 300 puntos de base. ¿Cuáles la función que representa el puntaje para quien responde toda la prueba teniendo xrespuestas correctas?

A) p(x) = 4x + 230B) p(x) = 5x – 230C) p(x) = 5x + 230D) p(x) = 4x – 230E) p(x) = 4x + 300

24. Si f(x) = -x + a + x – b con b > a, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)?

I) Si x b, entonces f(x) = 2x – (a + b).II) Si a x b, entonces f(x) = b – a.

III) Si x a, entonces f(x) = -2x + (a + b).


25. Dada la función f(x) = 2f(x + 1). Si f(1) = 1, entonces f(3) =

A) 1

B)12

C)14

D) -12

E) -14

1 x (cm)

y (cm)

2 3-2-1-3

fig. 6

L

21

26. El servicio de impuestos internos de un país ha estimado que una persona con ingresosde $ 300.000 debe pagar $ 7.500 por concepto de impuestos, mientras que otra, con uningreso de $ 900.000 debe pagar $ 24.500. Si estas variables se relacionan de manera lineal,¿cuánto se pagará por tener ingresos de $ 1.500.000?

A) $ 62.500B) $ 58.500C) $ 41.850D) $ 41.500E) $ 26.200

27. La gráfica de la función f(x) = x + a + b se puede obtener si :

(1) Se conoce el valor de a.

(2) Se conoce el valor de b.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

28. Se definen f(x) = 2x – 2 y g(x) = -x + 3. Si g(a) = b, se puede determinar el valornumérico de f(b) si :

(1) Se conoce a.

(2) Se conoce b.


29. La función para calcular aproximadamente el área, en metros cuadrados, de la superficie

corporal de una persona está dada por S(p) = 11100

· px, donde p es la masa de una persona

en kilogramos y x una constante. La superficie corporal de una persona se puede calcular si :

(1) x = 23

y la persona pesa 65 kg.

(2) La estatura de la persona es 1,75 m.


22

30. El gráfico de la figura 7, corresponde a una función afín. Se puede determinar la función dela forma f(x) = mx + n si :

(1) Se conoce el área del AOB.

(2) Se conoce el valor de BA

.


A

B

O

y

x

fig. 7

23

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 14

DMONMA25

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

EjerciciosPágina 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 C E C E B

3 y 4 D E E B D B D D

5 C B D

6 y 7 B C A E

8 y 9 B A C D B

10 y 11 A D B D C C

12 y 13 C B D C E B B

1. B 11. C 21. E

2. B 12. B 22. E

3. C 13. B 23. C

4. D 14. E 24. E

5. C 15. C 25. C

6. B 16. B 26. D

7. C 17. D 27. C

8. C 18. E 28. D

9. C 19. C 29. A

10. A 20. D 30. C

http://www.pedrodevaldivia.cl/

C u r s o : MatemÆtica Material N°...

Documents

Transcript of C u r s o : MatemÆtica Material N°...