UNIVERIHOAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE DE MEDELLIN

FACULTAD DE MINAS

Departamento de Ingeniería Civil

INTRODUCCION AL CALCULO TENSORIAL

•

Carlos González Rodríguez Profesor Asistente

Medellín,Agosto de 1978

UNAL-Medellín

~~ 6 4000 00055964 4

INDICE

l' , BREVE NOTA HISTORIA 1

II ' d.:l.SES RECIPROCAS 3

III COORDENADAS CURVILINEAS 7

IV TRANSFORMACION DE CANTIDADES 16

v VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES 20

\;1 TENSORES 36

VII ALGEBRA TENSORIAL 42

VIII TENSOR METRICO 51

IX GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL 67 .

x DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES 85

XI TENSORES RELATIVOS 99

XII TENSORES CARTESIANOS 118

l BIB LIOG RAFIA 138

,

i -/66'69

•

CAPITULO 1

BREVE NOTA HISTORICA

El desarrollo del cálculo tensorial (también llamado análisis multilineal) se haya ligado al desarrollo de la geometría diferencial; el trabajo de Karl F. Gauss (1777-1855) sobre la geometría intrínseca de las superficies curvas bidimensionales fué generalizado por Bernhard Riemann(182 6-1866) quien desarrolló la geometría ir:.trín­seca para TI superficies TI no euclideanas de n-dimensiones (manifold s) ; en un ma­nifold . n~imensional cada punto está definido por n coordenadas y en el caso n~ tenemos una superficie no euclideana que es el único tipo de manifold que 'pode­mos captar intuitivamente. En 1827 Gauss mostró que las propiedades métricas de una superficie se pueden expresar por medio de los coeficientes 3t] (ir j=l, 2 ) de la siguiente forma diferencial:

~ ~%I d U;a. d V, + J2.l. d. Ul.. duz. ~ I

d-..s¿ siendo el cuadrado de la distancia entre dos puntos de la superficie infini-tamente cercanos y d (J, I d th son los diferenciales de las coordenadas intrín­secas de la superficie o coordenadas gaussianas.

Riemann generalizó en 1854 esta fórmula para" superficies" de n dimensiones así:

-J (i, j = 1 ,2 ...... n)

Por medio de los coeficientes J LJ' quedan determinadas todas las propiedades mé­tric;::as en el manifold, por ejemplo, longitud de curvas, ángulo entre curvas, "areas" sobre manifold¡ etc.

Después de 1868 se despierta el interés de los matemáticos por algunos de los pun­tos tocados por Riemann en sus trabajos; Christoffel y Lipzchitz introdujeron el copcepto de diferenciación covariante, Beltrami y Kronecker e s tudiaron la curvatu­ra de varios espacios y superficies n-dimensionales. Jordan generalizó las fórmu­las de Serret-Frenet para curvas en el espacio n-dimensional.

Todos estos trabajos abrieron el camino a la gran generalización que hizo el geó­métra italiano G. Ricci (1853-1925) a quien se considera fundador del cálculo ten­s~)fial; Ricci se apoyó en la métrica desarrollada por Riemann y en la diferenCia­ción covariante de ChristofÍel ; el profesor Tullio Levi-Civita, gran impulsador del cálculo de te nsores afirmó: "el desarrollo de los tensores como una rama sis­temática de las matemáticas fué un proceso posterior I el crédito del cual se debe a Ricci quien durante los diez afias desde 1887 a 1896 elaboró la teoría y realizó la elegante y comprer:.siva notación que permite adaptarla fácilmente a una gran

I

2

variedad de temas de análisis I geometría y física".

El éxito de Ricci se debió a la gran intuición que tuvo cuando percibió que las propiedades de la geometría riemanianna son propiedades de ciertos ve ctores y tensores covariantes y contravariantes; esto le permitió simplificar de un mo­do notable todos los estudios anteriores a la vez que abrió horizontes para nue-

• • • vas lnveStlgaclones.

El cálculo de Ricci despertó el interés general luego de que A. Einstein hizo u­so de él en su formulación de la teoría general de la relatividad (1913-1916) ; en su teoría, Einstein necesitó trabajar con un espacio riemanniano de cuatro dimensiones y encontró que toda la herramienta matemática necesaria ya había sido elaborada por Ricci.

Finalmente, en 1917 Gerhard Hessenberg en su obra sobre la fundamentación vec­torial de la geometría diferencial presenta un nuevo punto de vista sobre los ten­sores ; según Hessenberg un tensor puede ser mirado como una forma multilineal homogenea dada en vectores base y que es invariante bajo transformación de coordenadas; el tensor se compone así de un conjunto de escalares ( componen­tes del tensor) cada uno de ellos adscrito a un grupo de vectores base; según es­ta presentación, un vector es un tensor de orden uno porque es una forma lineal homogénea de vectores base esto es:

...... - - ~ A =. A, i l + Al t.'~+ A3(:J -;--. .., ~

siendo 1.." l~ J (..3 base vectorial en tres dimensiones.

Las componentes del tensor cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor mismo permanece igual, es un invariante.

En nuestra presentación trataremos algunos temas desde este punto de vista que desarrolló Hessenberg.

'f

A-

CAPITULO II

BASES RECIPROCAS

VECTORES BASE: En el espacio tridimensional cualquier conjunto de tres vectores no coplanares puede servir de base a todos los vectores de ese espacio, es decir, todo vector A puede expresarse como una combina­ción lineal de esos tres ya que siempre es posible construir un paralepí­pedo tal que una de sus diagonales tenga la magnitud y dirección de A y que los tres lados partiendo de uno de los extremos de esa diagonal tengan respec'tivamente la dirección de los vectores base;

-.., lla.> a'i ' a:2, "a3 : vectores base

Q.,

B- BASES RECIPROCAS:

S ·....,. -'"' -. t b I al, aZ' a3 represen an una ase y se definen otros tres vectores ~l,

~2 ,a 3 de la siguiente manera:

2-1 - ~ ......, d -= Q. '1.. X. Q.'). J •

le\; Ci"~ a') 1

[ - - .-.., ) - - -) .,.....,. ( - - '1 con: ct, Ch Q:\ = a.,. ( a. '2)C a.') :: o.~" a. I lt a. LJ ::.

...;.,. - - -, "'1. a."l ~ entonces las dos bases a, a~ al ya:. Cl. 1 se llaman recIprocas; como se I ~ ---. -.

puede apreciar de la definición los vectores a' 0..1. 0...' son respectivame ;-¡ ::<:-' • •

perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores (¿r; Q;) (a~, a:: ), (a:,a't). J

4

Se deduce entonces lo siguiente:

2-2 I ; análogamente:

; también:

o.

; análogamente: -3 ~ -:::l -"'7 - a. -o: . (...C.,'=' C)..'. Q. '&. :. a. _ Q3

-

Resumiendo los resultados anteriores: las dos bases anteriormente definidas son tales que:

--"'......... L-

2 -3) 0.'. ajO :. $j' ;aqui i y j pueden tomar los valore s 1,2 13;

de Kronecker que vale 1 y si i= j Y vale O para i * j. •

(jt. () es el delta

~¡~ -Como·a _ Clj = O para i::f- j se aprecia que cada aJ es perpendicular- a los dos vec-

~ • .-., --, -'lo tares (,{t (i 1- j) por lo tanto a., Q.1. a'3 son respectivamente perpendiculares a los planos determinados por los pares de vectores ( Cl\ a.? ), ( a', a~ ) , ( a', a't ) y por lo tanto son proporcionales a (a..'l.¡( a.~ ) J ca.:\- a' ), (c!lltlil.) y en consecuencia:

-'7 V -"¿ -3 al = 1\\ a. 1( Cl )

con Kl, K2 I K3; escalares; si realizamos el producto al fI al = 1 la ecuación

.... 1.. "'3) -'>, 2-2) nos queda: Kl (a 'IC a: . a \

K I = [O: o.~ ~ J" =- I • ,

I - ; o sea que los vectores análogamente K2 = K3 =

se pueden expresar en función de los como:

2-4) , ,

comparando 2-1) Y 2-3) se aprecia que las dos bases se comportan recíproca­mente cuando se expresa una en función de la otra.

Una relación importante entre las bases recíprocas es la de que sus correspon­dientes triples productos mixtos son inversos es decir:

[Ci' al. 0..31 . [a, a ... a3l == l. ;esto lo demostramos así: c ..... ,

•

•

•

'.

" - ,

•

) . • •

5

2 -5) a.l • (a\ ~ ) _ (i4)( (1-;). ti 0.-; x al)>( ( a; )t lii)] - . [ al 0:-1. 0:3] 3 ; el triple producto del nume-

rador lo expandimos utilizando la regla: ti' Ir (b" e) :: (u. L ) b - (i'. ¡;- ) F ==!:;7

(cr;. X a?'3 ). F!h lt 0.'1) II (el. lt <h. )];: (~l( a~ ). {U tI; x ni). u .. 1 a. -Rá;" a-) . Q.l24}

.:: (a\ )( Q;) .[(a';x al). u1.1 etl ~ [d":. (0:"7.)( (3) 1 [ cb.. ( a3 le QI Y) [

..-, _ --'7 ,

:: Q, a.l.. Q.~J llevando a 2-4 resulta:

- _ -"1.,. \ [ al al. ct}' ~ _ a'" (a"l.}I. Q'" ) =- d .-ta, Q"t. a3j~-I -

[' - - --i d, Cl.l. Q.3J

. -,~1"""3 Si los vectores base o. o.. a son triplemente ortogonales entonces como el vector

-..., J J -...... ___ --" -? 7.. -;::=t l a.1 (de la base recíproca al Q'L Q3 ) debe ser ortogonal a a. y u... coinci-de en dirección con al ; de la misma manera al.. coincide en dirección con 0...3. y Q"3 con ct~ ; por lo tanto en este caso las dos bases coinciden por lo me­nos en cuanto a que sus correspondientes vectores tienen igual dirección y sen­tido; si además de ser ortogonal a l -a1. Q..3 está formada por vectores unitarios

~ -. -.... ,,,. --""" 1 --> --.. • \ entonces los al Q.l..Q3 tambien seran unitarios ya que a.. a. = l Y como la ... :. I

:..-"'7 \ a: \.= I y \ Q'L \ :: \ Q3 \ = I Veamos un ejemplo ilustrativo sobre bases recíprocas: tenemos en el espacio bidimensional dos vectores base unitarios al y eh dirigidos a lo largo de los ejes Xl I XZ (después encontraremos justificado el que los vectores bases lle­ven subíndices y los ejes correspondientes superíndices) ;construyamos la base "recíproca el I , a'" .

~-.-~----~------------------ Xl

• X,

,

6

De 2-1) vemos que QI debe ser normal a ~ (o sea estar sobre Xl' que forma ángulo recto con X2 ) y a 1. no.!:,.mal a al (osea es tar sobre X2 que forma ángulo recto con Xl )¡ del extremo de QI y a7.. bajemos a los ejes Xl X2 líneas que sean perpendiculares a Xl X2; vamos a demos trar que los vectores así obte­nidos son los vectores ( a, a1. ) recíprocos de ( a.)i~ ) ; para esto debemos

-... • -- e: demostrar quE2,. estos vectores satisfacen 2-3) o sea al. QJ' == J.j , tenemos: a·. al = 10.1 \ \ a.: \ . Sentr; pero en el triángulo corre spondiente a a. al , tenemos Sen fT .::. Jet. L =;7 rá.'l= ltr.lhen-9- =-~

ra'\ 1-- - \-L-al. QI :: Q, 10,11 j~-&:::. I

.5.:.M e-

uni taria'; ademá s -. ---a . al.. VI \ V"" 4 = o porque A ...L-;'\

.. porque a. es

•

.....,. ....,. ....... ---De la misma manera se demuestra Q'l., Ql.. =.t. Y a1..,a. = O por lo tanto se cum""'"' pIe: al', aj ~; o sea si los vectores (O"Cl1.. ) son unitarios su base recíproca está formada por ( "O.! ;a.'- ) obtenidos como se indicó arriba.

CAPITULO III

COORDENADAS CURVILINEAS

En física existe un gran número de problemas que se pueden resolver mas fácil­mente si se trabaja con coordenadas apropiadas al problema que de resolver se trata, es decir, las coordenadas cartesianas no son siempre las mas convenien­tes para todo tipo de problema; así por ejemplo si estudiamos el flujo de calor a través de una esfera, evidentemente lo más práctico es trabajar con coordena­das esféricas; si estamos calculando la longitud de un arco de circunferencia lo mas conveniente es trabajar con coordenadas polares ( es decir, cilíndricas en un plano) ya que en e ste caso SCI. \,:;. f8-7<. d. -e- ~ 7< (ti-b - e-A..) lo cual

, )-0;0.

es mas simple que si lo hacemos con coordenadas cartesianas:

con id. ~ -.x. (R."L_;;(... 'l.. ) - '/,

d.:t..

En vista de lo anterior surge la necesidad de estudiar las coordenadas curvilíneas . J

en un espacio dado instalemos un sistema coordenado cartesiano Yi ó sea cada punto del espacio queda determinado en este sistema por una terna de valores ( d', Jl, 13 ); definamos ahora tres funciones ( :x,. XL, ~J ) tales que:

3-1) X,::: XI l J',1 1.,13 )

Xt= :lo¿ (:h.J'L,Jl) l' }.= X") ('J, ,lt, J:1)

Esas funciones las vamos a suponer monovaluadas y derivables en todos los pun-tos del espacio tomado; si en 3-1) hacemos x,:: el' ::x.2. = (~ ,..:t.:. -::: C3 , las ecuaciones quedan:

3-2) :t, ( J., 1 t.. , ~"3) = el Xl. ( J, )1.. j ~ ) ":. (lo , , ::(.~ (J •. 'j ~ . ') ~ ') ::. ~"}

Vemos que en cada una de esas tres ecuaciones se puede despejar una de las ~ en función de las otras dos 1. t por ejemplo jI = f, ( c.. 1 I J .... , 'J, ) ó sea que cada una de las ecuaciones 3-2) representa una s1..~perficie porque la coordenada en una dirección ( ';fl por ejemplo) es función de los puntos del pla­no normal a esa dirección (plano Y2 Y3 por ejemplo); este es el caso por ejem­plo de la ecuación ~::: -t" V7P"_x1.._J·L. que nos represente. una semiesfera de ra­dio R y centrada. en el origen: a cada punto ( x , y) del plano X Y corresponde un punto de coordenadas ( X. , J I t ) perteneciente a esa semiesfera y el z. dado precisamente por V 1<.1.. -xl..- j'Z" .

r

,

8

Si en la ecuación 1\ ( 'f '. '11. J, ) ::. L, vamos cambiando el valor de la cons tan­te e, obtenemos una familia de superficies (por ejemplo si en 2::. V'RZ-_:;;Ll._'jL

hacemos variar R obtenemos una familia de superEicies esféricas concéntricas) y lo mismo se aplica a X z. ('1.)'1. '1~)-:'(l.y x~('f,lz.'J'!))=-ó; de este modo el espa­cio considerado se puede pensar como lleno completamente con tres familias de superficies y en cada punto ( ~ I j~. ~") ) de este espacio se cortan tres super­ficies, p:-ecisamente aquellas para las cuales se cumple:

'J =- '1, (y \, ::t 2. • Y ~ )"; ~,dado

Como vemos, para poder garantizar la intersección de tres superficies en cada punto del espacio es necesario que en las ecuaciones 3-2) se puedan despejar las j \' en función de las ::i.,.' de modo que para cada terna ( X" xt. J X ~ ) exis-ta una y solo una terna ( ~" :J't. ~ 3 ); la condición algebráica que nos ga-nntiza esto la obtenemos si en 3-1) expresamos las diferenciales totales de x.... en función de los diferenciales totales de J',', es decir:

3-3) ~, r7 (

d :I:, d j, 4- d .x, d)1. + aXI el J3 2J'h,. -~ 'J, d'$~

d-:i., =

.;;::ú d 'J I + ;) X1.. d 1-r + ;; Xl. d '13 •

dj¡ d 'f~ .;):13 d -::1.1... =

a :f.3_ do 'i ~ .:i 3. d..1 '1. + a x,. el J'3 ... ~ j, I é>:f-z. d J'}

Se demuestra en el análisis matemático avanzado que la condición necesaria y suficiente para que exista una correspondencia buinÍvoca entre los ::fJ y los

JL es la de que no se anule el determinante de los coeficientes del sistema de ecuaciones 3-3); este determinante se llama el jacobiano de la transformación que nos convierte a los JI' en los .:(' a partir de las ecuaciones 3-1) I es decir se debe cumplir:

•

.I. é)Xj. =1 O - (3 :ü. a,:t lo -- dj, -C> 'j '&. d '13

;;; -:L) .a X3 . 2> X-J, d '1, •

.;) '1 ~ d 13

• 9

Volveremos sobre el jacobiano en el capítulo XI sobre tensores relativos. Si en un punto del espacio tenemos tres superficies intersectadas: :::t:.,:: x, C1.1"l.J'});:, (1.)

.:x."I. := X1 ['1,,'r"L . J"3 ) =- C"I., X ~:: ;1C') ( 1., '1 ... , '13) ;:. e 3 sabemos que ellas se cortarán dos a dos según una curva; así: la intersección de X 1.. :;:. c.."lo y 1} L.., la obtenemos despejando d~' en-función de XI' -!'7

3-5) J 1 =- 1, (X" (2. J C:J Jl.; ~1. (X." (1., ("?»

J 3:: J 3 ( "j. \ J Ú, ("!J)

Recordando que los J l' se refieren a coordenadas cartesianas del espacio pode­mos observar en las anteriores ecua~iones que para el punto en cuestión ( o sea siendo L"" c.") constantes) los valores de J" '$'1., j., son funciones de un solo parámetro ( X, )} por lo tanto las ecuaciones 3-5 son las ecuaciones pará­métricas de la curva que resulta de la intersección de las superficies )( " ~ -x: 1. ( JI, 17. ) -) ~ '") -::.. L z. Y :x ~ ;: ::;( , t.. 'f" 'j '&., '1 3) =- C"3 ; e s ta curva

la llamamos la curva Xl; análogamente podemos decir que la intersección de las superficies Xl = el y X3 = e3 es una curva X2 y la intersección de Xl = el y X2 = e 2 es la curva X3 I en el gráfico siguiente podemos apreciar estas curvas

Xl' X2' X3 :

j,

• • • •

-rl t ,

-•

superficie

superflcie

superficie

• • • • • . ::.::::;::-•

•

r- (X,;:(,¡ :t2 =- ¿~),)(3 ~ h) -• - -( j' J J 11. J 1 J )

•

,

XI el : -:: - • - • - , - -

X<.:= (, • 1I111/ •

X3 .= (3 .. .. . ~

• •••••• •

•

10

llamemos ~ al radio vector que nos localiza el punto l' con respecto al origen de coordenadas del sistema cartesiano ( 'j" J 'Z., ~ 3 .); tenemos entonces:

ya que

hemos d_cho que de 3-1) se pueden despejar las rL' en función de las J::(.' . Ahora, si desplazamos a y una distancia infinitesimal a lo largo de la curva Xl se-f0s convierte en y+- el.::; (aquí se mant~nen x2 y x3 constantes) sien­do d y un vector tangente a Xl ; la derivada ay representa entonces un vector

é):;(1 _

tangente ~ Xl Y nos mide precisamente el cambio de Y a lo largo de Xl; este vector dY en general no tiene por qué ser unitario; lo llamaremos a, ;análoga-,

d:t.1 _ -mente a: :=- a y ~.:x'L

y a.3:::: son vectores tangentes a las curvas Xz y

X3 respectivamente.

Si tenemos una función escalar .")(, ::...;(, ( JI )1. '53) se llama ... d:X -e ___ t '. 7? la expresión: eX, L. + -' L'., + é) .),[, l.'.,. _ '\7", con t.,'

;aj, ;;) 'i'l. 40 ;;¡'13 ~ - V ... I )

gradiente de..:x::1 a vector unitario en

Si A ~ representa el parámetro longitud de· arco a lo largo de la curva Xz enton­ces ;;;7 no solo es un vector tangente a la curva coordenada X2 sino que tam-

dA~ . -bién es unitario ya que en el límite (cuando AY y 6 h""L son infinitesimales) la magnitud de 6,':; tiende a la de .6.-1

2,este vector unitario lo llamamos

--.

1:- - ay . ~ -

~A'1. -. _ Pero Y .= '1, i, + 1t -z: T J"">¡) L:J (con ':t,. '1 'L, j"3 representando puntos de la cur­va X2 I para lo cual se deben cumplir las ecuaciones del tipo 3-5, es decir va-riando sólo una de las tres variables ::L." X'Z. J::L, en este caso sole X'L)

-.. - ' - --t: l.. ::. é) '1..l • a 'jL ,

;) 'h. .. , Tenemos entonces: L, .¡. l..,. +- L.3 • vector unitario

d~2. d--1'1. d-1z •

tangente a la curva X2 .

, d :!z d .:L. ~ '"1 3 d X,

Ahora: - ;::; XI é) '11 5) .::L,_ .;.. -VXI .T?:= + , - . - Gl...02. d /n.. - , ..

:;)'j-;) d J' ,9/')2. a'f7. 8.,.6'1.

,

Hemos demostrado pues que para cualquier punto P el gradiente de la función X,; .:tI (J,,'!<.,13) multiplicado por el vec:tor unitario en la direcCión de la

curva X. (o s e a XI:;' c..r4_ J X3::' dL ) es igual a la derivada de esa fun-ción X'::..:X, ( '/, '$z. '13) con respecto al arco A 1.. ; por lo tanto si a la fun-ción X, ~ X, [1./ .; :., \ la tomamos constante ( :x I =- (, ) entonces

- JI, J L, J»

(

11

-...... -d ~ '. = O Y en este caso: 3-6) d~z.

\l :X. , • -t- A., =O es decir I que si .x, =- <:'1 en-

-tonces el vector gradiente de XI es normal a la tangente -t-~ de la curva X 2. •

Análogamente:

Q -:;t. 1 • -F; :: ?J:;Y a '11 aJ' .9...13

+ a xJ é} '1 3. .¡.. a.:x.J a 'b, = d.. XI. ~'j¡. éJ/5:) é)"j} ;>~') dA3

o sea el g radiente de XI multiplicado e sca larmen te por el vector unitario tan­gente a la curva X3 es igual a la derivada de XI con respecto a 'la longitud a lo largo de X3 ( /.)'3); si X, = e 1 entonces d ';;::"', =O Y por lo tanto para este

_ _ dA3 caso "'1:$.1. -t:-~ =0: 3-7; vemos así que el gradiente de XI es normal a r:.; cuando XI es constante.

•

De 3-6 Y '3-7 se concluye que cuardo XI =cte ( o sea para la superficie X ,:.)L,{t,'j:'h):'(,,)

el gradiente de XI es normal a la tangente R a la curva Xz y a la tangente ---- .~ ----n a la curva X3 y co~ Ll.. Y -t"~ están sobre la superficie ?<l = el en ton-ceue concluye que '\/XI es normal a la superficie Xl = el' Análogamente:

'1X1. es normal a la superficie.x2 = eZ y

-'V-:/.3 es normal a la superficie:i.3 = e 3

Podernos demostrar ahora que los vectores:

Q. , ;:. Q..' °3 ~-- CJ, - - - y ,

•

Tenemos:

y:

entonces:

forman dos bases recíprocas.

--. --. -=-- ----y;. '! I l I ~ '$1. L'l. ~ )3 ¿ ::::-'/ do::.

~'1"Z.. ax! +- a:j-~ d.::tl 8':h a~1

el XI =- 1 dx,

, análogamente:

--o --?

a~. (Jx.. ::. o)

3-7 a)

y

12

.t- ;;)'11, :2;;(,2 4- ~j:J ? X1 ~ ? ~I é> ~ 'l. e ~ ; é) ':Í3

Vemos pues que se cumple la ecuación 2-3) que nos define las bases recíprocas: -;:;. ~ V' .... ( .' ( = 1 para i = j , = O para i ~ j) . '-(. L. V A.J... a t J

-? --:> Si los Ch forman una triada ortogonal entonces como ya sabemos, los V Xt: . ~

coinciden con los a.l' o sea las dos bases coinciden ( esta coincidencia es por lo menos de sus direcciones y si los ar. son unitarios también coinciden en magnitud).

Para terminar es te capítulo apliquemos lo anterior a un tipo simple de coordena­das curvilíneas, las cilíndricas; en este caso se cumple:

'-j I ;:.. Y ~ 4¡;10..

~ 1.. ;::: Y .s,..t..v¡ e-\)3;:: ~

siendo ( '1" :f .... , ':J") ) coordenadas cartesianas y gún la nomenclatura con que hemos venido trabajando

...., ..r _ ;:,L I & =- X"¡, "\:;::: 1 - J 'J

; e s decir: 3- 8) ,

J'2,-::' .xl .5~ ::r. '2. ) '53 ~ ~3

--':> a..:J son: ----? -Los vectores 0-., C1l., - -'9 --'> -C} ~j~ • • •

d ':Í~ .f _d1 1, ,

(. 4- (, (3 - ~ ::t...."l (, 1- ,)-<,v, - '" -dX, C7 x.. eXI

I

se-

.":> Z2.. Lt

- - ---, Para encontrar '({x" -V Xl., í/ X3 necesitamos la transformación inversa de 3- 8) es decir:

13

Ahora: - --.. -.. a:L. - • ax, • a X, 'VX I •

l.:a l., +- (1 r • --- é) 1, é) 'jt dj~

-"J, • ::fa. -.. L, .... • - t 1 -- V J.~ +!: V J.1.. + ~h1.

-- -:)~. ~ X'l.. _ i, ..

V -:f.," Ca ~ '1. :t. ~ +:(~ St.-II"':4

Análogamente obtenemos: - -. - j ..(N).:x.l. • t!C 5 ..:z:k. • 'íj Xl. l.. +- L z • - -- ~, :x, - -... "Ix) - (3 .-

Como vemos, re sulta: -=-- -a. I :. 'íf ::(. J :.

-1 _ _

Q. 3 =- '({.1.,3::' ¿ 3

~ --. tIz. y 'V:x. L tienen igual dirección pero no igual módulo ya que como -entonces 'íj Xl.

,. \ ~1. \ j: 1 --- ---. ~-,. Las dos bases resultan así iguales en sus vectores ( a, CL3 ). Y ( Y:x... \i':b)

--.. --:"'1J' ~ ~

pero no en Ch y 'V x.. esto debido a que ( UI ct·U1...)) es triplemente ortogo-nal pero \ Q'l.. \:f. 1; como se ve: Qt'. 2ij ~ O (i:ir j) I es decir:

, •

14

- - -En el siguiente gráfico apreciamos los vectore s a f .1 al. I a.) para coordenadas

cilíndricas

\

• • •

r ..... r-__ .:.. __ .... ; • • ..-.. '""':'"'1J' • • •

• • •

• •

: a, :::.a. ... • • • , • • • • • • • •

• •

••• '. 1 .. .. : . .. ...: I .... ..

,,/- •• ....... w • ~'" .............. +------ t ' .,' e 't ~ •

•

En este caso las tres su­perficie s que se cortan en todo punto P son las siguiente s :

Y':. XI ~ '1'1,'1.+1-; : d:c.(cilindro)

'1 -e I! X"f. :::. o.vc7"aa;" :t.:ct~(Plano )

,

La s curvas coordenadas son:

Xl: Intersección de las superficies X '2. ~ ct:~ J 1-:, -=- m o sea la inter­sección de los dos planos; es pues, la recta que pasa por P yes sopor-- --- . te del vector a,::. Q.".

X2: Intersección de las superficies X J;:' ere. ) X3::. (t:.e... es decir del ci­lindro y el plano Z= cte; esta curva es la circunferencia mostrada en el dibujo.

15

X3: Intersección de Xl =cte¡ ~=cte~s d:.cir es la paralela al eje Y3 que pasa por P. (recta soporte de a, ~ a.i ) .

I

CAPITULO IV

TRANSFORMACION DE CANTIDADES

Dado un sistema coordenado !tI, J ~. J J ,en él se pueden definir cantidades que sean :unción del punto ( j" 'j ~ I ¡ 3 ); si definimos un nuevo conjunto de coorde::3.das ( :x 1 .::t:.Z,¡-X.3 ) tales que las :XL' estén relacionadas a las Ji' por las eCU2.:::!:Jnes 3-1) es de mucho interés estudiar como se transforman las canti­dade s deÍi~idas en el sis tema dI.' cuando las expre samos en el nuevo conjunto X,.. Si la cantidad es un número, por ejemplo 1r ó 28, ese número permanece

inalterado al cambiar de coordenadas; si la cantidad a considerar es el conjunto de diferenciales d J i:( d 'J" d J .. I cl '13 ) ellos se transformarán en los d..::t(.: {d.~" d ~l, d x~ ~ así:

dx, ~ é)X, J 'j I + iJ::r;.,. di"l. + ~~I. · d 'J"3 :_:"} ~ \j, "dj" ;)'1.,

ol XI ~ [; a :x:, d J i - (::'1 ;)'ji

Siguiendo la convención dada por A. Einstein, vamos a quitar el símbolo de la sumatoria pero lo reemplazamos con la suposición de que siempre que en un tér­mino aparezca una letra repetida se toma la sumatoria con respecto a esta letra; esta sumatoria se toma sobre el rango de valores de esa letra en este caso: i= 1, 2,3.

Entonces la expresión de arriba queda;'

4-1) el :t. I ::.

En este caso el haber quitado el símbolo L no representa mucho ahorro en la escritura y es más, dificulta la comprensión de 4-1) porque debemos localizar el índice repetido (i) Y establecer una sumatoria sobre él; sin embargo como de ahora en adelante, a medida que vayamos profundizando en el álgebra y cál­culo tensoriales, vamos a hacer uso frecuente de expresiones que implican su­matoria se complicarían mucho las ecuaciones si colocamos tantos símbolos ~ . La letra que aparece repetida ( y por lo tanto sobre la cual se debe hacer suma­tofia) la llamaremos índice vacío o mudo (dummy index) porque esa letra la po­demos reemplazar por cualquier otra y el resultado es el mismo, es decir, una suma sobre el rango; por ejemplo 4-1 se puede escribir también así:

, d.xl == ~ ~~ el JI< , (~ ... J J 2. J.3 ) Esto es lo mismo que sucede cuando integramos entre límites: por ejemplo:

/(

3:x. 2. d.x. ;. 1

2 "3 'J"l ¿ '1 -::. e 3

I'rr; 7. el 'T?? J

.. )., J) Z - -: x,~"." son variable s muda? ,se pueden reemplazar por cualquier otra letra sin que cambie el valor de la expre-. , Slon.

17

Siguiendo con nuestra transformación de diferenciales, 3

d. X-2 ::. 'a:Xl. d J. + ;JX; el J-z. + ~;t.'l:. el 13 ::;;. 8 ;;> ""j J ;;; 'j 't ;;J :s ~ l:. ,

tenemos:

<>X:z.. d'" ' ;;>::1" JL

o sea: 4-2 I d ~ t;; dX,=- d 1L' (sumando sobre i= 1 ,2 , 3 ) ~ 'j¿,

también 4-3) d -./ ~ 9~3 d!L'::;;' d X3_ ~Jl'

~~ = L... ;;11' ,;)'jt' l·;:' .

•

Las tres expresiones 4-1, 4-2, 4-3 se pueden expresar en una sola: 4-4)

d -v' d_- .::ti d lit' '-"'-J ~ - J

d 1t' •

,

Aquí como sabemos debemos sumar sobre el índice repetido en un término en es­te caso ( i); el índice j varía tomando los valore s j= 1, j= 2 I j= 3 Y en cada ca­so nos dá las ecuaciones 4-1), 4-2) I 4-3),

Esta forma 4-4 es muy útil para trabajar ya que con una sola ecuación estamos escribiendo 3 ecuaciones cada una con tres términos a la derecha del signo igual; el índice j lo llamamos índice libre ( free index) porque no se puede cam­biar por cualquiera otro sin cambiar el valor de la expresión ( lo cual no ocurre con el índice vacío); cada valor del índice libre, dentro del rango de valores que puede tomar él, nos dá una distinta ecuación así como en el ejemplo la varia­ción de j de uno a tres nos produce las tres ecuaciones anteriores.

Otra cantidad que podemos estudiar c6mo se transforma es cP (JI, ':f'l~'f3 ),fun­ción escalar de punto; este es el caso por ejemplo de la variación de la tempera­tura en el interior de un cuerpo; si cambiamos de coordenadas, cp ( ' '!, ';f? )'3 ) se convierte en ~ ( ;t, ,.:ir,.x~ ) ; nos interesa apreciar cómo se transforma cada una de las componentes del gradiente de c; ( Ti cp ) cuando hacemos el cambio de coordenadas, tenemos:

(según la convención de

Einstein) ; tenemos pues:

• •

•

18

Similarmente: )

E s tas tres ecuaciones se escriben en una sola así:

a~ __ C) ':!L' ~ ~::t.j'- d.x.j' é)'ji

; aquí j toma sucesivamente los valores

1,2,3 dando lugar a las tres identidades anteriores y en cada una' de ellas ( o sea para cada valor de j) hacemos la sumatoria para i desde uno hasta tres.

Como un ejemplo final de transformación de cantidades transformemos el delta de Kronecker ~f ; si llamamos &~: al delta referido a las coordenadas , ( JI I j'L. • 'j 3 ) Y &! el delta referido a ( ~I I :x:: 'L.:l::., ), en tonces ~7 se

'1 transforma en SI( a través de la siguiente expresión:

4-4) ; al lado de la derecha

hay una doble sumatoria porque hay dos índices repetidos i, j; si efectuamos en extenso esas operaciones resulta:

'i.. d::J../" ~I ~: crJ(/' ~ .!t

~~ ~~ + dX d 1 3

4-5) ~ 1( = + • -d 'J I OlXK -;;) ':f j 'd .xl( .;)1' c>.x~

d;:C~ d 'jI ~~ + d.x.~~ ~~ + Oi.i rr ~~ + 9:;(1( d 'p. d 'jl. d;(1( é):12 :;>.xl(

c>;i~ d ~' ~:~ + p:t~ d J'~ b; + é).:í! d '1: S~ + .,;)':$3 ;;X" =. .. dJ3 a,xK ;;J 'j? é):X t<

J~

Vemos que para cada par de valores ( J(-t ), ~ K es la suma de 9 términos conteniendo a ~:. .

•

(J/. Como sabemos que c) vale 1 para i=j, Y vale cero para i =1 j resulta 4-5:

+ por

' .

tanto: I

S! mos que ( entonces

..

19

3 S) x,~ ;oj~ -a .:x:. .( L -a.:X ,.,. -, . • ;)'JL a ,.;x:. K. • • l .:; I

4 - 6 ) I pero . como sabe-

::lL 1) x'Z.. -ax-} ;;;:x. 1(,

) son variables inde¡endientes vale 1 si ~=- J< ( ?X A -:.., ) y

'dX J' J

(definidas en 3-1) vale cero si -l =1= ><

( r: es decir e s correcta la fórmula que nos transformó d (. en (j" ; vemos aquí

que la convención de Einstein nos comienza a reportar beneficios pues es muy sencilla y concisa la expresión 4-4 comparada con 4-5; a partir de. 4-4 podía­mos haber llegado más r~pidamente a 4-6 sin necesidad de haber desarrollado en e xtenso como en 4-5; para hacer esto volvamos a 4-4:

'J2 _ dX_t. ~:1 L' ~ ~. SI< - dji ~.x>( ( , el lado de la derecha se

j' y &i se hace uno cuando i = j "? anula cuando

I ~';:L#. ¿).a :::.:C>::f.. d 1J

-:. d . 1< é) 'JJ' d-X le a x'"

que es la misma 4-6.

•

CAPITULO V

VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES

En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les d 'j i en los diferenciales d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~ al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t'

I I J d rL' ct

) , ,

aquí cone ya sabemos se suma, para cada j f sobre i desde uno hasta tres; lo que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las com-ponentes del vector J:Y-;' =d ~I L? + cLjz it + d.j, L3 y los d'XJ las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo I -v \ d. ----. \ --:-'" ,-;"," \ --;? .-l"""'X"X,) osea "( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3 aSl

pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al cambiar del sistema tt' al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las compo­nentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman se­gún 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cier­to vector A expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en Al componentes del mismo vect0.r A pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~) de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~ Al ,A'"

A.!;:: -G) jL' entonces el vector es un vec-

tor contravariante; notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambia-, , do, las A t Y Al se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor

de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de ( '11 '1z ~3) a (Xl I -.L 1., :x. 3 ) ; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas e-

cuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes ( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nue­vas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas (s;?,..:t.J_) y tomando en

2)jL'

este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en ade­lante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contrava­riante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se debe escribir con superíndices así:

Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para i­dentificar los vectores contravariantes.

Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una función escalar cb (~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)

21

según la fórmula:

a(j; 5-2) ---

-7 Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un

-:> t

vector A se transforman en Al según la ley:

I '-< L'

5-3) Al = .~~. A ¿ entonces el vector es un vector cova-

riante.

~~

Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A es ~ ; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación

5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada par­cial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este pro­ducto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).

Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuacio­nes ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a

• expandirlas, es decir dar a l) L los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J <-, 3)

I •

De la ecuación 5-1 : A S ;:

t ;;J::f} A1 Al. j 1 - r • - d 'jI

• ¡:J::L ~ A'" A2 j= 2 -- OJ I

--j= 3

+

• a :ti • AL resulta: --a '1~'

d .xl AZ 4- q ::x? A 3 -- dJJ dj2

a:t.'- Z a.:;:¿ L .3 -aj3 A - ;;A

dj'"

ª:t: AZ -r

dj3

(

22

En forma matricial queda

r ~ 1

a .xl d .:::L ~ a..:x' Al --- -d~2. .a 'j' dj3

I Al. - a :Lz. dX~ a.:r.2._ Al. I -5-4 · . .. .

-a:J3 a'jl d '11-,

I Á3 a..:t.3 a.xJ <> .::iJ A3

L -• • -a'.fl -djl é) ':J~

Ya podernos apreciar la simplificación que introduce en la presentación el uso • •

de la convención de Einstein de índices libres (J ) y vacíos ( c. ); la ecuación matricial está representada por la breve fórmula 5-1. Análogamente I la ex­

presión 5-3) se puede expresar matricialmente así:

d 1(3 -ax'

• ~ /4. 1 a:L' ~ .a....::t::. 1

, A~ - ójl - - ,

• 2>.:t. "1-

~ d.::t3

A3 C) ::1 \ á:i3

-

Estudiaremos ahora la definición de vectores covariantes y contravariantes en su relación con las bases recíprocas · ru-= sf? y V~(· (C-::.1 1 2¡3) .

a.1 l

En primer lugar vamos a suponer que en un cierto . espacio hay dos sistemas de c~ordenadas ( Xl y'l.::i.1 ) Y ( )" 'J'I. '.1 3 ) curvilíneas en general defini­dos uno en función del otro por las ecuaciones .

• 5- 5) a) X. t :::

b)

En el entorno de todo punto P se puede expresar el radio vector que U!le a P con un punto Gt infinitamente próximo a él así:

•

23

ó también:

S-6, b)

-si9!1do los vectores

ay a~'

en el sistema coorde-. '. nado:(l y b 7, b:) b; los vectores e n e 1 s is tema <:f L'

Notemos que hemos colocado subíndice a los vectores base Ql y lo mismo a los otros vectores base b7; así mismo hemos colocado superíndice a los di­ferenciales correspondientes d.:t tl

y d J/.'; esta colocación d e índice s debemos ~

justificarla es decir vamos a demostrar que los vectores base a.c (,'::: 1,2,.3 ') Y

LZ (t":: 1) :z., 3 ) se transforman covariantemente al pasar de las coordenadas ::t.(' a las 'J t-' y viceversa y además que los correspondientes diferenciales se

transfonnan contravariantemente bajo esas mismas transformaciones de coordena­das.

Demostremos primero la transformación contravariante de d.t.~: J j': De S-S a) se deduce por diferenciación directa:

dx(::. d.~/ j,,/ a J I .J Y de S-S b análogamente:

S-S c)

Vemos entonces que travariantemente.

-!;> -:>

d L' X) se transforman según S-l e s decir, con-

Ahora: Q{ ;::. :9Y. a.:x(

y de S-6 b)

27 ~ .¿. -;r-:¿ ~ ~? G>:fl

..:-.'/ .t-- • "8j3 -o.xi - .. aj" a:::L l d J' • a.:x.c.

• ay b~ aY' 3jJ - ~ pero - -- ~. J - • - ~ - • dJ'! a:).J a:tL-

•

24

5-6 d) ; por lo tan to ---"77 -7 al' J b e se transfor-

man según 5-3 es decir covariantemente.

Lo que hic:mos fué coger el vector eL 1 en el punto P y descomponerlo según las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consi-deraremos a continuación) ll~ ~ 9~. bc =- Civ,"'. (i -::. (J <., 3»', las

é);tL a'l" componentes fueron d:L L' (C=-I) 2. I 3) para la base a} y d j' ( (t"= ),2;3) para la base t?evidentemente también podemos expresar d-:7 en función de cual­quier otra base localizada en P; expresemos Jyr'J en función de las bases re­cíprocas de 0.( y b1 ó sea (como se demostró en el capítu lo III) Vi,.. y {¡ Jc

-"7 respectivamente; por simplificación e!1 la escritura llamaremos

-'? -";¡

V:Le: ~. -:::. a t y

'íJ ji..-=- be. . Si expresamos al vector J l en las coordenadas resulta:

5-7 a) d. y::. Q) d1., -+- 2- d.:t."L +- (J} d-:L:J -:: (le ¿.xc aquí los

, 1 1 d:i... 1 d ..x'Jcl.:i.:zo

, d...::L.) no son en genera os mismos ) d .x:. ~

J

--'7 -7 d 1.3 vistos anteriormente ya que como las bases a f

) t1,; son díferentes en general (como vimos en el ca1(. II sólo coinciden las dos bases si los CIT· son vectores unitarios triplemente ortogonales) entonce s las componentes también se­rán diferentes; d7 ta.mbién se puede expresar en el punto P en términos de los b~ así:

~ ~ -~ 7' 5-7b) JV::.b/dJ.+-h dj"l.+b dJ'3::' n'-djt.·

\ e diferentes, en general, de los d j considerados en

siendo los

5-6 b ) .

c: Notemos que he mos colocado superíndice a los vectores base a ( c,'=. J) 2,3 ) ..,..., . y h L ( e=- ') 4, '3 ) así mismo hemos colocado subíndice a los diferenciales correspondientes d..:t(, d j L; esto tenemos que Justificarlo es decir, vamos a demostrar que los vectores base recíprocos aL. ( (::;.), 1,3) (re cíproco de los ~. ')} 'b¡; l L' ::'1) '-) "?> ) (re cíproco de los "17) s e tran sforman c ontra-

variantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para a( y el Ji para h?: ) s e transforman en forma covariante.

, ~'7 Como el vector CL Y e s 5-7 b) resulta:

5-8 ) al e l mismo ye s ea que s e exprese por 5-7 a )

, o por

el '-{ . -JJ (ca mbiamo s e l índ ice

25

• • vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío J ).

Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d )

;multiplicando escalarrnente a lado y la-

a.~ ( ~ -;?',: ) do por el vector uno de los recIprocas v- resulta: •

d Y~ -éJ je.' notemos que en la expre-

• sión de la derecha J es un índice repetido cf sea de suma sobre él I pe ro

- (por ser bases recíprocas) nos queda entonces: -b -7K

•

~~ a :::é a XK L'. O- - - , - • -J -dj( a:s f

• K ) es decir S-lJ) j=k e igual a cero para j:f=. •

•

.,.-y

Multiplicando 5-8) escalarrnente por bk resulta:

•

(ya que ~~/= 1

-?~ a ..:(( 1('.0. ~ -- = a je

f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d jj :::. d. J t( dj"

• hemos demostrado pues: ,

5-10 ).

•

::: ?:t. L

.dil' aJI<

•

para

Similarmente: en 5-6-c): "'"\ 1I J --?

- o JI. - - -. DJ multiplicando ambos lados escalar-

mente por -?{ 1 ¡ n resulta:

•

81 ~ - e (71

--'? I . oJ •

8:11.

- .., •

blA. al1

~/ aJI{ -- ~ - -:.. , .....,.

a:r t • r3.:X- L •

26

-Por lo tanto si multiplicamos 5-8) por QI( resulta:

-.0:., --,

a. l , al(

'8 'jJ~ -o.x" d x. l.' :::. pero:

~ ~ el::t l.' :;:: el. x K -=---'9 s-u: ax'"

Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman cova­riantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices. Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las deriva­das parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones

~l' = 'lt' ( X,) x .. , X3 ) y Xt..' = x.L ( 'j,) J2.)~:J ).

Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los -al' y los sea los a L' y los 1"t..' se transforman contravariantemente.

o

-? El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las formas 5-6 a, 5-6b, S-7a,

-=" 5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a la base de los Ql' , en ,...,. -i> , 'T"'> '

5-6 b a la base J:lL', en 5-7a a la base a L yen 5-7 b a la base~t. (siendo a( recíproca de al' y re recíproca de '1~ , siendo a:· =. :O'

ax{' y

-9 --:-? ~

.ht.':;:::' 'f( XL' ), Igualemos la expresión de J Y'" según 5-7a y 5-7b, re sulta:

¡--? -. -J' \ 5-12) d ...,. :: aLclxl.';:: .b ti 'j j ;hemos cambiado el índice vacío i por j en

•

5-7b; de 5-11 tenemos: d;(L :::>o ~ d .1J' oX(

( j índice vacío) entonces en 5-12

5-13 )

nos des

( j= 1,2, 3 ) --? , aL ~ ~,

, J. a ;t..t'

•

. C) j~ d 'Jj := é)~1

; ->

Ci ( @~': el ~J -d;l.'

- , .b J el:t' ::: o ;;-3;:>

; esta ecuación contiene tres térmi-

cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida-( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los d '5 J s o n in de pe n -

•

\

• dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ben anular para que se cumpla

5-14)

27

) entonces los términos entre paréntesis 5-12 , por lo tanto:

se de-

Similarmente: si en 5-12) reemplazamos el lJ' 5-10 ( es decir el. 1J ~ q::t~ d. X ('

por su valor que se obtiene de ) tendremos:

-? ' r 'a L

_­;,J -111-0..)

I

d;;!" ': - . a 'jJ

;;;~J

--•

8X':- d XI.: ";: 7p

él 'Ji d.1l.' ;:: f.::) -=---'='?

5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores se transforman contravariantemente.

:::: O :::!:::¡

Queda por lo tanto justificado expresar eL Y' de cualquiera de las siguientes cua­tro :fOrma s: .

j:j • -'7

5-15 - el :t L aL' -d:v -- djL b L'

d7 ::: d -->'>. :tL' eL L

d:7 ~ dJl bL

En esas expresiones se debe sumar sobre i.

--;> En el caso de que en el punto P se tenga un vector A diferente del vector

J~ . ~,~

y' ¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q lJ al' del sistema

t" T7, coordenado ( :t.1:t 1. X'3 ) Y en las bases recíprocas () "') .(J L del sistema J ,

coordenado ( ji, 1"t. 'i -; )? I

-"'7 En primer lugar debemos ver al vector A como un vector fijo en el punto ' P

por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según cuatro bases diferentes; ahora este vector -¡;;' es igual a K cf7 siendo K

,

•

28

J-4\:I ~ un escalar y V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como -::-7 A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en el espacio no cam-, ,

bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa; por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la cons­tante 1<. resulta:

--':1 L' ~ K J.y =- )<. cl.. '1 Ql -

• "? A y pero -

• KJ:i (. es la componente de A? según a~ y como J..::iYse transforma cont-ra-

variantemente entonces ~d..x l' también ya que: J..X ~ é):fJ el Ji ~ KJ.X¿~d.:il~l<di c'jJ · dJ J

entonces: -:;> \-::=7 A .:: A L al' ; análogamente:

K dY':::: ~ d..,t' P ..1 pero

llamémosla 8 (.' I por lo tanto :

5-1Sa) A = B l.: -¡;;. A~ =- Ac 71t'

/( -:::. "B L' bt' -:-")

componentes de A

; similarmente:

) .. segun

Al

'" J jt 'e s la componente de A/ según

d A ,;:)lL' y '1:> componentes e segun U\- !J ('

-? Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s covariantes ( ya sea a~' ó Et ) se transforman contravariante~e.nte y s1!s componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6 bL ) se transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son tri = a.:i. y los vectores base recíprocos son al' = 'l:Lt:. entonces

;:)::t. " cualquier vector A" se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si-

guientes: -A=?' AL --"7"7 A ~l . ' = al::' L U

--:-"? A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descom-poner según las tl~ o según at como se muestra en el dibujo siguiente:

-'1 \ Aa. a "

" " " ,

-al

\ \ ,

\ \

\ \ ,

, " , --------).,.

29

x'

OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS -:;.

Dadas las coordenadas :i.l'= Xl' ( 1, '11. ~3) un vector A cualquiera en un punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos (l~ ó según la base recíproca aL' ; en general 11"7 puede ser escrito así:

5-16)/\ = Al. eL' = Al' a~ -;-'? f -:-'? -')

Si tomamos A = ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f resulta: A, al = A t' el(. Zif = AL' ~l = AJ'.::::';)5.J6CL) AJ=A. 211 tenemos así

que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es ­calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos; similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' = A, lfl ó sea: las componentes co­variantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co·· rrespondientes vectores base directos .

_-JI> -:-':? el producto escalar A, --B se obtiene

- 7:' '( j L' e eL', uJ ) =- A' .8J o L' :. A 13 l'

•

30

-:? -? I 11. oh A):B es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I + 11 .01 +- J ; en el caso de que las coordenada3 sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 )

están formadas por vectores unitarios e igualesCa l '= á~por lo tanto no hay di­ferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudién­dose escy:.bir 5-17 así: X.E = A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).

Otra forma de escribir el producto -¡;:. Bes la siguiente: --? -? ( • -"') -";) • A.S :: '-.A l (JL'), (BJ' GJ ) == Al 13j

' ( m . aj') llamemos

11 ---='7 7f' A"""'" -::? A ['8/ q d lJ':: aL'. uj' resulta pues . .b == <t<r similarrnen te:

A. Ir ::=. (Al' al') . (Bi aJ ).= Al'Bi 8<.1' con

Relación entre las componentes covariantes y contravariantes:

• _ ~ -":> j' -:::? ~ i Tenemos~n5-16b) ,?:-17a) Al'~A.tlt'.::: A dJ,ai.::=.A g,.{ similar-mente Al = AJ' ~ IJ : 5-17b).

-.?A M~a:::Lg~n~it':..:"",u~d!.-. ~d;::e.--!.~_: De lo visto anteriormente tenernos:

5-17 el

Coseno del ángulo entre dos vectores -7 -::.") Ay-.B: -- ....,. A.a_ ~

• -lt\.la\ -Tenemos:

Al' &' gÚ' cos 0.(--

~A ~ Producto vectorial x 1J

~ <") ( A',) / 'R ~ l \ A t 1:".4.J' 'Q/ )( ~'. 5-18) Al! es ':. Á/ul' X. \. vi U: ) =: ..u

, . ~.~. ~

Encontremos el valor de alx a:.J en función de los vectores UK.

,

;:,. '1, Sabemos que el vector ~

31

--'?;¡ -:b es normal al plano de a y Q;.

y a7, i=l,2,3, son bases entonces

recíprocas como se definieron en el (ya que artículo

5-1 Q) L.= \

• • (de 2-4 )

similarmente:

. Introduzcamos ahora un símbolo e..~'t< llamado símbolo de permutación que pue­de valer + 1, - l. ó cero según la siguiente regla:

a) Si hay índices repetidos et:j'K vale cero, por ejemplo:

- ___ --- ""':::.. O -

b) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden cíclico su valor es + 1, así:

e¡,3 -~ c) Si los índices son todos distintos y se presentan en orden no cíclico su va­

lor es -1, así:

é:. f 3 1.. =- é! 3 2.. I = e 2..\"3> .= - 1

La misma regla define los valores para el símbolo con superíndices, c:: ('./J(

Utilizando este símbolo de permutación las 3 ecuaciones 5-19 se pueden escri­bir en una sola, así:

5-20 por ejemplo para

~ J 21 a} + e J2.l- «1..

al =- c. el! x ¿}

Volviendo a 5-18 tendremos:

-;-Al) 4> ---';> L' -¿ .l A- )( 8 :::. A t" 13J a >1 u )

pero de 5-2 o:

) por lo tanto:

\

32

--

Corno vimos en el artículo 2)

por lo tanw:

suma sobre i, j, k)

I - -....

Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y con­travariantes de un vector en coordenadas curvilíneas.

Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector veloci­dad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas cilíndricas

---------

I I

-------

Sean ( ~ I :f"l..,j'}) las coordenadas cartesianas y llndricas; b relación entre las coordenadas es la

y:

~I -=- y ~-e- -=- x, ~ xt..

:1 z...;:. -y A Jl/Y)-B :.:X I .-6.(m X 7..

:J ?> :=. ::í 3 ::z 1:: ~r=j-,-"l..-+--J-l2·

-L :1"2. .:t."L': Q.Pfccan, 'j ~'

./ ,/

,/

/

'< e 1-( :x. I X'1. X-J) , , siguiente:

coordenadas ci-

I

,

33

Corno el sistema .Jt' es cartesiano no hay diferencia ~tr..e la base directa y su , .. .-?

reCIproca por lo tanto solo considerarnos una base l, J I j<. Y no hay que ha-cer diferencia entre componentes covariantes y contravariantes en este siste-ma '-{ t' llamemos V 1./ V 1,/ V" esas componentes y son:

J ) ..1 1 , Jll J~

5-21 V ~ t'::' d 'J t • :- V~' d-t

Las componentes contravariantes ( la transformación:

•

Xl' V ) en el sistema se obtienen de

v;t 1.'-;:. (ecuación 5-1) por lo tanto:

utilizando 5-21 '-~ o:t I~

• • d ::L L' .. =7 --

a1J

es decir las componentes coruravariantes del vector velocidad son las deriva-• das de las coordenadas ::t l con respecto al tiempo:

v;t, - d. XI - dv - d+ .~ - -dt

VXl. _ d.x"2... - d.~ , . •

d-t: - d-t::

V x.::, - d.:t3 cl.7=;; - • - , - d-t.-de

Las componentes covariantes ( V:.ü ·) en el sis tema:4' seobtienen de la transfor-. ~ maCIon:

(de 5-21)

pero

5-23) V::t;(

(de 5-22)

Encontremos primero V:tl

; expandiendo 5-23 para

34

~ al' VX3

81' ~3

?'j1.. 91,1.. V:t.1. ..,. a~1 (3.:t

1 ;;>:{2. a '1"1.. y::t.3 e>x' ax3

Para i= <- =='9

Q '-1 1 ª-1!. V x\ . VXL= ~~ oX' +

+ 9j2. aJ-l. V~' -t--2)11.. ox'

+ ~ .CJ:f3 V~I a.:t."2- .e 1:'

-t qJ J -: fJ:i ¿ V XI

cLX3 a..:t. \ ,

?~: ~ V~l 31.3 8~ '

+

V cL :2:. :C?I =- el -C.-

::)~ 1 iL$.../ V Ü. ~ a:J..' V:t.3

~i-L ex?. +- dJ:'l. .8x3

52:'f: zf \fx%- .a12. CLi.2. VX) a 1. L ax-z.. .r éUlo éJ 1. "3

?j~ _C)J? V~t ª\(~ 0' V~) é)X'- a~1.. ax1.. ax'

+- ,:3 'j ~ .C) 'j 'L. \Í :t.2.-t d 1. 3 é7::L (..

-+ ~~~ d ~ v;:(-.. ~ a J~..3 d;L '1-

as. z. ~.J~ V:t.) ax; 01 3

d j' d:fJ Vx~ a.:t 3 ( 1 )

Esta s tres componente s covariantes también las hubieramos podido obtener u ti­lizando la e cuación 5-17 a} que nos da las componentes covariantes en función

35

de las contravariantes; en este caso 5-17 a) queda:

5-24 )

Encontrel"!10S los ~I'J' ; en e 1 ejemplo hecho al final del capítulo 3 encontramos: a......, ~ -:-?>

I = Cos e l. + sen ~ h -- - ~ th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& il. -='? --> a3 ~ ¿~

~ _ a.. a, :.. Cos?-9 + Ah'r't1t; :. I ~ 11- ?

- -? a -='" Q gIl. =- ~ .~~ ~'C3; = ~\ = o 91:' = al. U3:::' Q3' ClJ '" q-~I ;: o ;¡ 2. ') =- ~ 2 • C13 :::: Cb, tL;::. g 3'l. ;::: o f/u. = a.l. . Zlz. :::. y:L

~33 = a3' ~.: á Por lo tanto en 5-24 \ y

V \ lX' Q V..:tl. V~3 4 \f XI OJ • :t.. -;::. V <j ,1 +- g Ii.. ~ (1/3 :. I = al'e

\1 VXt z¿ ¡X) z V:tz ('2. cl-t1 v.tl.. :: f!.2/ + V ~:u + \ 81.3 .:: y == d-c

V V.:l· a VX2.a I/;J..) q ,1 3 ~ d.E )::,3 -=- c1 ~I + (j ~l. + d 3) :::.. V.:lo - d t::

Notemos que V~ ..... V.:l l y V.t..3 =- V:t) esto e s así ya que como para coordena-

~ - ,....., --:>_-das cilíndricas UI, ~,Cb son mutuamente ortogonales ,entonces Di aL 6 3 tie-

7"C> -..,. ,.....". ..,.-') ~

nen las mismas direcciones de lÁl D.:2. tl..3 y como D., y CL3 son unitarios, entonces a' ya:J también lo son por tanto a = al y Zi3 -:: a 3 y normales a 1 vector 11l y se debe cumplir V x, -:: VJLI , V;(. ') = y:t.') • no se cumple

tI VX'L -';> J ~ que V Xl. = ya que aunque aa. tenga la misma dirección de a.. no son vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa-~ ~ ~ ~

rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i e .s ,a. mas pequeña que la componente según O-?, esto es: ~ == \.

V::t.l yt

CAPITULO VI

TENSORES

El concepto de tensor surge naturalmente como una generalización de las canti­dades escalares y vectoriales; en los escalares el valor de la cantidad penna­nece ina¡terada para trarisfórmación de coordenadas; por ejemplo si en el inte­rior de u:;. 8uerpo la temperatura se puede expresar corno una función de punto t-j ( J. ::h 13 ) y si el mismo punto se expresa en otro sistema de 'coordenadas Xi comó ':)!., J X1.J~~ entonces la temperatura será -C;t. (x. I :r". :x:~) ; obviamente la tempera tura en cada punto tiene un valor de terminado independien­te del sistema coordenado utilizado para localizarlo por lo tanto:

-t~ ('J, 'f ~ 'j ~):::: tx. (~I I X 1 , X:, )

E ste tipo de transformación es la mas elemental que existe; en ella las compo­nentes de la cantidad (la cantidad escalar tiene una sola "componente" : su mag­nitud) permanecen invariables al cambiar de coordenadas.

También sabernos que las componentes de un vector se transforman al cambiar coordenadas; esta transformación puede ser covariante o contravariante para ca­da vector; es decir sus componentes I ya sean AJ' ó AJ' según que esten ex­presadas en la base recíproca o directa respectivamente r se transforman en Al!,

ó A l.: al cambiar del sistema Jl' al -:t.l': estas dos transformaciones son ~

aSl: , , A t.' :::. , A t..' ;:::

Recordemos que lo que se transfonna por medio de las anteriores ecuaciones son cierto tipo de componentes del vector pero no el vector mismo ya que este permanece fijo o inalterado,es un invariante, en cuanto a magnitud y dirección con respecto a algún sistema "absoluto" de coordenadas. Entonces el vector A~ se puede expresar según las coordenadas ::t,' o según las ~ L' Y en cada uno de estos sistemas se expresa según los vectores base directos o según los recípro-cos; por lo tanto: \. . ,_?(

K:::. A l'a- = AL' al' = A« bi == A l' b

siendo at', ti z: : base s directa y recíproca en -::::l L' = ::r'l' l '3', 'j t ;j-:;)

--¡; -;: t..' tJ t:, (V : bases directa y recíproca en ~ t:::. '1 l: (::L "Xl, X3)

• componentes contrava.riantes y covariantes refeddas a I

los :i. L:

,

I , AL. , •

•

37

componentes contravariantes y 00 variantes re­feridos a los j (' (los E (.' y l! l.' de las ecua­ciones 5-15 a).

Podemos generalizar ahora y suponer que existen cantidades, también invarian­tes como la magnitud de un escalar o como un vector fijo, cuyas componentes se transformc:1 de manera completamente similar a como se transforman las compo­nentes d e un vector; por ejemplo podemos suponer la existencia de una cierta cantidad A talq.¡e:

A=

En esta cantidad (Íormada por nueve componentes: 32) los términos A I'J' se lla­man las componentes de A según aL' 5.1; la expresión (!t@' no es un pro­ducto Ele vectores ( ni escalar ni vectorial) simplemente es la colocación de los dos vectores uno a continuación del otro para indicar que la componente !'1IJ corresponde o pertenece tanto a a.~' como a O:! , Reco!1ocemos un tipo de tal cantidad en el tensor de tensiones el cual como sabemos se acostumbra escri­bir como la matriz:

~ll

cf"23

Q;2

Este conjunto de nueve cantidades nos permite encontrar la tensión ( fuerza / area) para cualquier superficie infin itesimal en el entorno de un punto P Para el cual se conocen los <f(f referidos obviamente a un cierto sistema coorde­nado ;:(l; la tensión en esa superficie no cambia, es invariante, si en P re­ferimos los Ot-J' a un nuevo sistema de coordenadas; en el tensor de tensiones cada 0 J'esté5. adscrito a un par de direcciones Ql'Si , el índice T señala la cara sobre la cual actúa G( una cara es representada por el vector base nor­mal a ella, en este caso aL') y el índice J señala la dirección que tiene ~ en e SF.l. cara i.

Otra cantidad de este tipo es el conocido tensor de inercia • •

,/

38

~l 1 13

I:. 1 22 1. 23

, Si en un sistema coordenado 'jt , tenemos un punto P en el cual hay una masa puntual m y además existe una recta :A entonces el producto m el '2. (siendo cl la distancia de P a la recta 1. ) es un invariante, es decir no cambia si

referimos el punto y la recta a .un nuevo sistema de coordenadas ;t,.' : esta can-tidad m d,"2.. es función de los ,términos de la matriz,.I y al cambiar de coor-denadas cambiarán los "lij' a I~' pero la cantidad /Md.. ~ (que es propiamen~e a~ tensor de inercia) no cambia. En este caso los índices i, j representan los ejes a los cuales si baja la perpendicular desde P, es decir ILJ' 'está también

~. --...,. adscrito a dos direcciones a\ o..J

No nos interesa por ahora profundizar en los tensores de tensiones y de inercia, lo que se quiere resaltar: es el hecho de que hay cantidades que tienen varias componentes , (componentes que pueden pertenec:er "a más de una dirección) y que al cambiar de coordenadas cambia el valor de esas componentes pero la can­tidad misma es invariante ( por ejemplo: la tensión sobre una superfiCie infini­tesimal o el producto de inercia m d'Z. ); estas cantidades las llamaremos ten­sores.

Como en un tensor cada componente pertenece a varias direcciones ( ó a una si la cantidad invariante es un vector) entonces la transformación de cada com­ponente I al cambiar de coordenadas, hay que hacerla teniendo en cuen ta la per­tenencia de ella a esas varias direcciones; esto es : si en un tensor cada compo­nente A¿j' corresponde a los vectores D", o/ y como para estos vectores bases contravariantes las componentes de cualquier vector son componentes cova­riantes (ver 5-15 a) entonces las A'J" se deben transformar covariantemente tanto

~. ::.iP'. por p¡ntenecer a D L como por pertenecer a C» es decir,A IJ' se transforma en Ald~ al cambiar de coordenadas ~l,: a las :XI' según la ley doblemente co­variante: ,

6-1 ) •

a:r' 9'1.J. AIJ'

(3 :;c!: O ..:í .(

Decimos entonces que las Alj' son las componentes de un tensor covariante de rango 2 ( un vector covariante es un tensor covariante de rango 1).

..

39

En forma similar sí las componentes ( A if ) de una cantidad invariante co---iI' _

rresponden cada una a dos vectores bases covariantes ( aL') Q.J ) enton-ces esas componentes se transforman contravariantemente al cambiar del siste­ma j /.' al ::ú' por lo tanto:

6-2. ) --

, Podemos también considerar cantidades invariantes cuyas componentes ( A t{ ) corresponden cada una a un vector base covariante ( a:r· ) y a un' vector base contravariante( ZI/ ) y por lo tanto se transformarán en forma mixta es decir

-";1

contravariantemente por su pertenencia al vec tor covariante at' y covariantemen-te por su pertenencia al vector contravariante al' t así que:

6-3)

Se puede apreciar de lo anterior que una cantidad inv~iante puede tener sus com­ponentes referidas tanto a las bases covariante ( lIt') como a la contravarian-

..-l\P te( OJ) o también a ambas al mismo tiempo; por ejemplo, para coordenadas curvilíneas en el tensor de tensiones podemos tomar sus componentes referidas a las al.' solamente, serán las \).J' ,o referidas a las a .. ;' solamente, serán

, , -="'> ~ • t.: las ~Jo podernos ref~rirlas tanto a las at' corno a las a r , serán las C5J' ; en este último caso t;S'"J' representa la tensión en la cara cuya normal está en la di­rección de á.:' la tensión misma tomada en la dirección de 11..J' ,

Las cantidades cuyas componentes se transforman como en 6-1,6-2 I 6-3 las lla­mamos respectivamente tensor covariante de rango dos I tensor contravariante de rango dos y tensor mixto de rango dos, (la palabra tensor se usó por primera vez en relación con el tensor de tensioner:;) . Sin embargo no debemos perder de vista que los adjetivos covariarie, contravariante y mixto se refieren exclusivamente a las componentes del tensor no al tensor, este es un invariante. De ahora en ade­lante designaremos un tensor A por su componente genérica¡ por lo tanto si el

'-.J L' tensor es de rango dos podemos representarlo por Aü' , Al , A J ; esos tres símbolos representan al mismo tensor solo que en el primer caso se dan sus com­ponentes covariantes, en el segundo las contravariantes y en el último las mix­tas.

En las ecuaciones (6-1,6-2, 6-3) que nos definen tensores de rango dos (o de segundo orden) los índices que aparecen pueden tomar los valore s de 1,2 I 3 si estamos en un espacio tridimensional; y tornarían los valores 1-2 si estamos en una superficie; por ejemplo en el tridimensional 6-1 queda así:

,

40

1

C) l' .2íQ A 11 é)'i'. ~8'í-: A .1- ~ ~ A,) lo

A ~1 ..... é):::L 't.. a .;í. l éJ;:i. K 81R.. -- ~;tl( a..:t

0.f: ~ AZJ S?1: d~~ A21 -t ~ j~ ? j~ A 22- -r .J. 8::Ll( 8:1-14 B;i..K ax é):L"" o.x

~ 8'j' A31 -r _01 3 ~'t. A32. ;- SJ'f: ~A:H 8;iK a.xR.

é):t)(. -é>;i~ 8z" a~14

Una de estas ecuaciones se obtiene para cada par de valores (J<.) i ); por lo ta,T1-to corno los rangos de k y 1 son también de 1,2,3 resultan 32 componentes ;11<1. • Las ecuaciones 6-1,6-2, 6-3 se pueden generalizar si es necesario de modo que sean aplicables a espacios de más de tres dimensiones I por ejemplo n; en este caso lo único que hay que tener en cuenta e s que el rango de los índices va , de 1 hasta n; por lo tanto habrá n2 términos A K.i. cada uno conteniendo n2 tér-minos funciones de los AlJ; en la teoría de la relatividad por ejemplo, n= 4 ya que fuera de las tres dimensiones espaciales se considera una cuarta dimensión, el tiempo constituyéndose así un espacio -tiempo de cuatro dimensiones.

Podernos generalizar mas aún el concepto de tensor y entrar a definir tensores co­variantes f contravariantes y mixtos de orden 3 f 4, ... etc.; por ejemplo, un tensor covariante de orden 4 en el espacio n- dimensional trasnforma sus componentes A(!'lIC! al pasar del sistema (YI'Y2 ... Yn ) al sistema (XII x2 ... x n ) según la re-

gla:

•

~JJ' Bit(_ a .:t. ,;. -a;( l'

I

Este tensor tiene n 4 componentes que contienen a los AtJ'K 1. . forma sus componentes AL'.¡'t4fl.

A I'fl\ N'I ~ 9¡- cada una formada por n 4 sumandos Un tenEor contravariante de rango cuatro trans­

en las A rrn mp ~ al pasar del sistema J'L'al sis terna xi según la ley:

I 11"1'\ '"

A rM""~~::: ;::,.::(. r ª X-: 'a~r 8jJ

.Q:i~ <;3.:t ~~ '0:$1< BjJl.

A ¿'J'K1{ • )

Un tensor mixto de cuarto orden puede expreSélrse /)'

de varias maneras: A K':'"

por ejemplo: )

)

"

41

(,j,,,,1-rm ,Il\ r, 9r

De la reg la anterior para transformar las diversas componentes de tensores de distintos órdenes podemos apreciar que un escalar es un tensor de orden cero y un vector es un tensor de orden 1 ( puede ser covariante o contravariante); así mismo el cero es un tensor de cualquier orden, es decir se puede conside­rar escalar, vector I tensor de orden 2, ... tensor de orden n ya que se trans­forma así:

6-4) .. •

•

aquí está considerado co­mo tensor mixto de orden 4.

,

CAPITULO VII

ALGEBRA TENSORIAL

En este capítulo presentaremos las operaciones algebráicas que se pueden rea­lizar sob~e tensores de modo que el resultado de la operación sea un nuevo ten­sor.

-SUMA Y RESTA: La suma ( o resta) de dos tensores que tienen el mismo núme­ro de índices covariantes y contravariantes es un nuevo tensor dei mismo tipo (covariante, contravariante o mixto) y rango que los tensores dados

Por ejemplo dados los tensores AKt{ I ..z3~, , se transforma cada uno según la ley:

I ,

• a x"" A~, ..,., ~~ A~-w, -- é) x.~ é> :t.:- a'1~ IJ , m l< ,

<)::!. I

~~ BIJ' ~~ - , -- a:t ~X"'" é)j'"

Por lo tanto:

7-1

tl " Por 10 tanto ( A;j' ± .B 'J' ) es un tensor mixto de rango covariante 2 y de rango contravariante 1 ya que 7-1 es la ley de transformación de este tipo de tensores es decir:

-MULTIPLICACION: Hay dos tipos de multiplicación de tensores: la exterior y la in terior .

. Multiplicación exterior: Dados dos tensores cualesquiera (no necesariamente del mismo tipo y rango) se llama producto exterior de eh al tensor obtenido multiplicando cada componente de uno de ellos por todas las componentes del otro. Antes de ejecutar la multiplicación exterior de tensores, es necesario cambiar los índices en los dos tensores de modo que no haya indices· repeti­dos al mismo nivel. El producto exterior nos produce otro tensor como se dedu-

•

•

43

ce directamente de la ley de transformación de las componentes de cada uno de los tensores factores; por ejemplo:

De lo anterior deducimos que el producto exterior de dos tensores, uno de ellos de rango 1 covariante y de rango 1 contravariante y el otro, de rango 2 covarian­te y rango 1 contravariante es un tensor de rango 3 covariante y rango dos con-travariante es decir:

--Podemos generalizar y decir que el producto de dos tensores, uno de rango y covariante y S contravariante y el otro de rango {- covariante y ti. contrava­riante es un tensor de rango ( --(-t t ) covariante y ( S+ lt ) contravariante .

. Contracción: La contracción es una operación que se hace sobre un solo ten­sor y consiste en igualar un índice covariante con uno contravariante y al que­dar ambos iguales se realiza la suma sobre él; de esta mane ra resulta un nuevo tensor que tiene un rango menor en dos unidades que el tensor original; esto es, si el tensor original es de rango covariante -y y contravariante S al realizar una vez la contracción se obtiene un tensor de rango ("("-1 ) covariante y ( S - ¡ ) contra variante .

t Para comprobar lo anterior consideremos el tensor .})J'I<t,:

, • '-/ R. ""..." ,.,." • f'"l _ ~'t! ~ C> J _ ?"L" B \.

B""f~ - éJ;;("" dX-r dX~ ~Jl J 1l

igualando m y p re suIta: ''no'!

13't'l""~ Pero

l

d .L 't'tl _ - .... -é)jL"

• • ~ r7"'\ L

_ ~ j~ .a :LI( ~ a:t. J3 i ~Jt - ~:::['I"I d.x~8.x~ e>'jl' ,

? 'j ~( :::: ~:' por lo tanto : .;1 '-j t'

"

44

I ª-1:!' d ~~ B,L 13~'f

1(

A,' • ~ ~t" .. , ="/ - L.::K - é)X'" ax~ , Jd. )

1l'1"l'I • • (

~ ~ 13~",,~ - 13Ji.R. =7 -d ::f."'" a x c:t-

•

8it;. es ~r. tensor covariante de rango dos o sea:

En el ejemplo considerado, el índice m también se con q, . resultando en estos casos el tensor 0J~<l Bjk respectivamente.

•

podía haber contraído con n ó convertido en B I'C.{ Ó en

De lo visto anteriormente se deduce que la contracción de un tensor mixto de •

rangos 1 covariantr;s y contravariante, es un escalar, es decir enAf' si contrae-mos se obtiene Al::: A,'i A11. +- ---- +- A;: en el espacio n-dimensional; este tensor es un escalar ya que tiene una sola componente; la contracción de i con k en A~j' es un vect,or covariante ya que (si estamos por ejemplo en el es­pacio tridimensional) A:-. tiene tres componentes, una para cada valor de j, las cuale s son: J . Al lo 3

J:;./: 1I + Al. ,+A3 \

J;;. Z: A~2.. + A~t. + A~¡ ' J::-3: A~~ + A~~ -? A~3

Si hubiéramos contraído j con k nos hubiera dado el vector covariante A ~K cu­yas componentes son:

i= 1:

i= 2:

i=-3:

Hay que anotar que la contracción solo se realiza igualando un índice covarian­te con uno contravariante ya que la igualación de dos índices covariantes o de dos contravariante s produce una cantidad que en general no es un tensor; por ejemplo si en A 0' igualamos i con j nos produce A ~L' que se transforma así:

• dJ{ djJ - -- . é);t ..... é).x l'

4S

igualando i con j re suIta:

~j~ ~ a X"" 8:::t. l'

Se puede ""preciar de esta ley de transformación que A ~I..' no es un tensor por­que no se transforma como tal esto es, (Si estamos en espacio tridimensional por ejemplo) las tres componentes de A ~'l (una para cada valor de k ya aue se suma sobre i) se convierten en 33 = 27 componente s A:? y sabemos qU~ para que una cantidad sea tensor cada componente se transfonna en otra según la ley específica del tensor pero no como en este caso en que las tres compo­nentes se transforman en 27 .

. Producto interior: Si se realiza el producto exterior de dos tensores y luego en este tensor producto se efectúa una contracción de un índice covariante de un tensor con un índice contravariante del otro, el resultado es el produc­to interior de los dos tensores originales: qomo en general un tensor se, puede contraer de varias maneras (por ej emplo A J"< , se puede contraer en A~'K -= Al( ó en I\¡'c: = Áj' ) entonces en general hay varios tensores producto interior de dos tensores dados.

Por ejemplo, sean los tensores A~, Bf't entonces el producto exterior será: C. $rt = A"f .B +t ; contrayendo ,1.(, con Y resulta: (J't. ':. c: r'l"t ~ A ~ Bvt

también se puede obtener; t: A t: C. jy":- L ~V'-t:::' s"8 Y'4:.

Si se efectúa el producto interior de dos vectores, uno dado en sus componen­tes covariantes y otro en las contravariantes resultará un escalar ya que:

AL'::. P X .t' A l' ) B J':: d'1: B;. =-"/ ~j1' 'd..x Ó~, _ ......

():::í.~ I •

A L I

I si en este

producto externo realizamos la contracción i = j obtenemos:

A " B i = a ~ :' ~ó) j ~. A ~ B :; 51 ~ '+ A l' B ~ éI'jt d;tl !f. ~jf' ,.

l' Al' < ~ Af 1\ B ~ 3 L' -() r .f3 q.::: 1, l' '-.? -

='/

,

se demuestra así que A l' 13 f es un invariante de una sola componente I o sea

46

un escalar; esta expresión es la misma ecuación 5-17 que nos define el produc­to escalar de dos vectores la cual se convierte en coordenadas cartesianas ( o

-? sea vectores bases unitarios y sin distinción entre la base directa aL y la recíproca al' ) en la expresión conocida AL.'.3l = A, '8,+ Al.lh + A~ 13 '3 (para el espacio tridimensional) .

Cociente tensorial: ' La división entre tensores no está definida; existe sin em­bargo una operación que puede ser asimilada a la división.

Dado un conjunto de cantidades (mas propiamente dicho, un conjunto de fun­ciones de las Yi) queremos averiguar si ellas son componentes de un tensor; una forma de averiguar esto es determinar si se transforman corno tensores es decir, comprobar si al cambiar de coordenadas Yi a las Xi esas cantidades se transforman por medio de alguna de las ecuaciones 6-1, 6-2, 6-3 que nos definen a los tensores covariantes, contravariantes o mix:tos. Existe sin embar­go otro' método que en muchos casos es muy práctico; consiste en esencia en multiplicar el conjunto de cantidades (o sea funciones de las Jl') dadas por tensores de tipo y rango conocido, según el resultado de esta multiplicación po­demos decir si las cantidades son o no componentes de un tensor y en caso de que lo sean, podernos determinar el tipo y rango de este;vearnos algunos casos:

a) AL:{ Si el símbolo representa un conjunto de 9 cantidades, (funciones de la:=¡, J..(....) I si fu' es un vector covariante arbitrario y si el producto in­

terno ALJ Bj' produce un vector contravariante, entonces podernos afirmar que AL! es un tensor contravariante de 20. Orden.

t'S La demostración es la siguiente: como A BJ es un vector contra variante en-tonces se "transforma (sus componentes) así:

A'Il ~ E ~ p x~ A ú· lJ . ~ g 'j " J

Pero nos dice el enunciado que ]j es covariante =9

En el lado de la izquierda g es un índice mudo y lo reemplazarnos por .!!!... .:~

,

~

47

I , 'éLX~

....., .., ax ALJ,a Al(l'WI Erm - ::"0 =-"» • lrYI

Q 'j ¿' djJ

( AI~"., _ A LJ' ) I o Y.._"< ~.:t.::" 5trn - o -

d'j " d Ji

Para un valor dado de k la ecuación anterior nos resulta una ecuación con 3 términos (en el espacio tri- dimensional) .

Cada término multiplicado por un valor distinto de B'm (m::I,2,3) , vector B m, es arbitrario entonces para que la ecuación sea nula

y como el se debe cum-

plir que se anule cada uno de los n términos por lo tanto: I

A K,.,.., - -,?

, W fY""\ , . A :. ? X; 9 x""" A I.'j' d 'jL 'a 'jJ' o sea las

1J A son las com-

ponente s de un tensor contravariante de orden 2.

b) Si Bi

Y cj son dos vectores contravariantes arbitrarios si A,. es un con-) 1J

junto de cantidades (conjunto de funciones de las Yi ) de las cuales que-o remos saber si son las componentes de un tensor y si el producto interno Aij BicJ es un invariante, escalar, entonces Aij es un tensor covariante de orden 2.

Esto lo demostramos así: por hipótesis, , I

Bi = dyl 5" .;);('<

• •

A 'J' ~l (J

=-7 l I I

A J<.Q. E'" (..f :: A.-· ~'j~ ~. J ;;JXX ;:):xr¿

• B K

• .!l c.. =Y

i ' ,como B-, c J son vecto-

res arbitrarios entonces los términos entre paréntesis se deben anular =-'?

• tensor

48

covariante de rango 2 .

En forma ~.r,t<iloga podemos demostrar plo si A::J·<:x' es un conjunto de 34

nes ) y s;: sabe que:

mas propiedades del mismo tipo: por ejem­=Bl funciones de las Yi (en tres dimensio-

A ,'J j( i. B ¡¿ = Tensor contravariante de orden tres = Aijk) .

siendo],i un vector covariante arbitrario entonces tes de un tensor contravariante de orden 4.

las Aijk,l son las componen-

Las expresiones anteriores nos dan la idea de introducir un algoritmo de divi­sión entre tensores; veamos los tres resultados obtenidos:

7-2 A<"j es tensor , .

AZ¿.i 8 L e J -::. {; ( escalar ) ~ A if e s tensor 7-3

7-4 A l.')' d .!3 R. -:;::. A ,'j' 1( :::::!:) A 1.'/ H 1.

es tensor

Podernos pensar que en esas tres ecuaciones lo que se hizo fué despejar la can­tidad que se desea averiguar si es o no tensor ( A':1 J A l.j' I A iJ" 1< 1.. res­pectivamente): realizando este "despeje" obtenemos:

. , ' A '-j::. AL lJi

AL)':. At' B l'

Análogamente: De 7-2:

y de 7-3:

..,.. " • .".., I " 1-

;el vector covariante del denominador pasa al def\Omi-.n.adeF- como cotravariante -=-'?

- . .J ; tensor doblemente contravariante (siendo .B : el vector contravariante "inverso" 'del vector covarian­te B j ) .

• •

,

: tensor covariante de or­den 2 (aquíBi, Cj son los "inversos" de Bi, C j ).

vector contravariante de orden 4 ( 1ft: vector" inverso" de 13! )

En lo que acabamos de desarrollar no hemos definido el cociente de tensores,

•

49

porque este no existe, lo único que hemos hecho es inventar un artificio que nos permite conocer el carácter tensorial de un conjunto de funciones a partir de su producto con tensores de orden conocido y del resultado de este produc­to; lo que hacemos entonces es despejar la cantidad cuya "tensorialidad" desea­mos conocer; este despeje lo hacemos ''pasando a dividir" los tensores que están mult':'plicando a nuestra cantidad y en este "cociente" pasamos estos ten­sores al numerador cambiando los índices covariantes en contravariantes y vi­ceversa.

A Il. Veamos un último ejemplo: Si .. es un conjunto de funcione.s de Yi (i=l, 2,3) (n o sabemos si s'on o no componentes de un tensor) y 8 JI( es un tensor arbitrario covariante de orden dos, entonces si al efectuar el producto interno Ai ~J'I(' el resultado en un tensor AIJ' doblemente covariante podemos de la "ley del cociente" despejar a A t! así:

K L A i . 8;'1( ~ A ,'j' ~

• K A -JI( l< A i e _ ,'j_ <::. A (j 8 ::: A (

BJ'I< I

1< por lo tanto los A i

son en efecto componentes de un tensor mixto de orden dos.

PROPIEDAD fUNDAMENTAL DE LOS TENSORES

La propiedad más importante de los tensores es la de que las ecuaciones tenso­riales en las cuales se dá la igualdad de dos tensores o se enuncia que un ten­sor es nulo, son ciertas para todos los sistemas de coordenadas. Para poder afirmar esta invariancia de las ecuaciones tensoriales con respecto a los distin­tos sistemas coordenados se debe cumplir necesariamente que los tensores que se están igualando en la ecuación tengan los órdenes covariantes iguales y los órdenes contravariantes también iguales es decir deben ser ecuaciones del tipo:

Orden covariante de A= orden covariante de B= n.orden contravariante de A= Or-J

den contravariante de B=s.

Para demostrar esta propiedad fundamental de las ecuaciones tensoriales , no­temos que si en un sistema de coordenadas Yi (i=1(2,3 ... n) un cierto tensor se anula, entonces se debe anular para cualquier otro sistema Xi (i=l, 2 ... n) (ver ecuación 6-4); ahora t si se tiene una ecuación del tipo:

7-4 -t .JÁ TI -t .c.4.

A ..,.s V ::: ..9'(' ~ v

debemos demostrar que esta igualdad se sigue m.anteniendo cuando cambiamos de las coordenadas Yi a las Xi es decir debemos demostrar:

•

-"

7-5) , el. f

..B a..l;¡ c.

50

-t..... tA.4. La forma más sencilla de llegar a 7-5 es notando que de 7-4 ) el tensor Ay.s,,-:B1'"Sv es un tensor nulo y como el tensor nulo es nulo en todos los sistemas coordena­dos resulta que al cambiar de coordenadas Yi a las xi , obtenemos

A'd f ziJf ~ A'df Idf o.hG - a.bG ::. o =-7 A.b!..;;'.B c:t.b c.

Esto mismo se puede demostrar de otra forma.

A-t..u Tenemos de las leyes de transformación de yso"

I eS j 'O x d , 'C) X t d j ."" ,<:9 '1 ~ Aa.bt. :: d'it .91""" é),X<L d..::t h

Restando obtenemos:

'di J J.f _ A A.!>r.. - lJ ct.bc -

~~~ ª-L a 1~ ? ~t~ dJoV.. 8.xq.. :d:t. h e>'xc..

<? x.J _ ;;; X ~ a '] ~ d j 5

;;> 'j~ d r-- ;;;xa.. d x b

rJ.f- Id}

A c:t.,b '- :::: .B Cl.. b c.

• •

Vemos que para poder hacer esta demostración se necesitó que los tensores A y

B tuvieran igual orden covariante (3 en este caso) e igual orden contravariante ( 2); si esto no se hubiera cumplido, no podríamos haber hecho la resta de los dos tensores (porque la suma y la resta solo está definida para tensores que tie"­nen el mismo número de índices covariantes y contravariantes) y por lo tanto no hubiéramos obtenido la igualdad A = B al cambiar de coordenadas; por lo ta.n­to si la ecuación tensorial A~5 ;;. 13:; es cierta en un sistema Yi I podemos asegurar que en general no será cierta para cualquier otro sistema coordena-do xi-

CAPITULO IX •

GEODESICAS y LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Dada una superficie de dos dimensiones (por ahora y por facilidad de visuali­zación cCllsideraremos s610 superficies bidimensionales pero al final del artí­culo ge:-..eralizaremos a superficies n-dimensionales) definida por los puntos

• :i' (i : 1, 2 ~ referidos a las coordenadas curvilínea s 2t": , si en e sa superficie 7. J 'P"L 50n dos puntos cualesquiera, nos planteamos el problem~ de encontrar

de entre todas aquellas cur_vas que yaCiendo sobre la superficie pasan por 7',

•

y P~la curva cuya longitud sea mínima, es decir menor que la de las demás cur-~

vas.

La palabra "paralelo" no se utiliza en este artículo en el sentido euclediano si-- '> no que al decir que o.os vectores( pp', G G;?' por ejemplo) que yacen sobre

una superficie y se apoyan sobre una curva (ot.. p::>r ejemplo) son paralelos lo que queremos significar es que forman el mismo ángulo con la curva de apoy%~~

"':""';, -"> por ejemplo, en el plano de esta hoja los vectores A y B son paralelos por-que forman el mismo ángulo uJ con la curva mostrada o sea con la tangente a ella en los puntos A y B.

" ,

,/," -;;-----------¿..,-~---- ----

En realidad este tipo de paralelismo solo se puede definir sobre superficies de­sarrollables, sin embargo en el entorno longitudinal de una curv-a perteneciente a cualquier superficie (no necesariamente desarrollable) se puede tomar tal su­perficie como de sarrollable pudiéndose hablar por lo tanto también en ella de paralelismo en el sentido indicado anteriormente; de este modo, la esfera no es una .superficie desarrollable pero una franja definida por una curva en ella y su entorno sí se puede considerar desarrollable por ejemplo una franja de ancho infinitesima 1 que contenga al ecuador esférico se puede considerar una super­ficie de sarrollable.

Volvamos a nuestro problema de encontrar la curva de distancia mínima entre •

•

68

dos puntos de una superficie; sea O¿ una curva cualquiera situada sobre la su-perficie dada y comprendida entre los puntos r, y 'Pz I si tomamos otra curva cualquiera ~. I también sobre la misma superficie, situada infinitamente cer­ca de OL podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos

"f de eL y los puntos p' de oL', de modo que si C5t es otro punto de ~ infinitamente cercano a ? , entonces tQ..' es el punto correspondiente sobre

• • --'9 ~I sienc:.o entonces Gt Gi' paralelo a -p pI Y por lo tanto al desplazar el punto

"P a lo largo de eL,.¡;:pl se desplaza paralelo a si mismo en el espacio (en el sentido de paralelismo indicado anteriormente) permaneciendo siempre sobre la superficie.

'P,

La longitud de los segmentos PP' ( Q a', _ _ __ ti v", - - - - ) varía al despla­zarse el punto"? sobre ex: , podemos por lo tanto considerar la longitud de es-tos segmentos como el producto de un infinitesimal E.. , constante para ~ I ,

Y la magnitud de un vector finito A en la dirección de ppl; este vector A varía (en magnitud y dirección) a lo largo de ~ como una función del parámetro de la curva pero siempre desplazándose paralelo a si mismo (semejante a como . se desplazan los peldaños de una escala en hélice para formar la superficie he­licoide desarrollable) .

En los punto s ~ y 1', -:'?

obviamente el vector A es nulo.

Ahora, si consideramos otra curva d IJ los segmentos ?P/l ( (Q Ai' ) __ 111/'; ___ ) serán iguales al producto de otro L (constante para .,¿" y según el dibujo mos­trado l:. para a(: " es mayor que <- para el' ) por la magnitud del mismo vector A definido en todo punto r de eL ; vemos así, que una vez definido un vector "A' , o propiamente hablando, un campo vectorial sobre la superficie yapoya­

do sobre ~ , se pueden encontrar las curvas eL' d....J) J _ _ __ __ a partir de o.(.. ~

tomando sobre el vector A: las distancias ~A I de modo que a los diferentes .. valores de é.. corresponden curvas diferentes cL')d...", ..... y para E:...::.o la curva

obtenida es precisamente Q/... •

f

69

Sea L la longitud de eL entre P, y 'P-¿ y L' la longitud de otra curva C( 1

entre esos dos mismos puntos; obviamente 1.'

es función de é..... y para ¿ =- o se cumple L' ~ L J podemos entonces expandir L' en serie de Taylor de la siguiente manera:

• • • ....

La longitud mínima se debe obtener si

Esta condición no es práctica Para trabajar con ella, pero si damos por supues­to que hemos encontrado la curva de mínima longitud, llamémosla o( y su lon­gitud L) y expresamos la longitud , de cualquiera otra curva infinitamente cer­cana a ella tendremos:

9-2 ) L' '" L +- - .r .!- [ ". + - t- + ......•••.• «aLJ) "2.. (OLL') I 3 (d'lLI)

.- a ! o ..z! d €,'l- o 3 '. é) O o

Esta ecuación es la misma 9-1 pero con la diferencia de que en 9-1 L es la longitud de una curva eL. de referencia cualquiera y en 9-2 L es la longi­tud mínima, entonces, la mínima longitud se obtiene colocando en 9-2 :

d L J . -=- o =--.." dE-

9-3) dL' _ - -élt. .L L "L. ~') ~) t •. ' ." .•. 21 al.) -g

•

=0

Como sabemos que L es la mínima longitud entonces ra ~ -:.. o ( L' =- L ) y por lo tanto sabiendo que U reemplazamos ¿ por cero en 9-3 obtenemos:

L ' ~ en 9-2 es mlnima pa-~ . .

es mln1ma para L=- o Sl

dL' _ (a'L\ - o a i - a E. . ) o - 'Z. I d' L') E-n 9-2 obtenemos·. I L~LI) I (9 L:* \ ...l. I (. - + .•••.•. L - L -:::. ~~ 0-+.21 a{."- Jo • ~ aE..!> o Se aco stumbra llamar primera variacion de L el tér mino €:.. ( ~ L: \ y se sim-

e>{.. ) o

boliza por ~ L resulta entonces:

9-3a) L' - L : ~L I --:;1

•

•

70

Despreciando los infinitesimales de orden mayor que el primero se deduce: , L' - L ::: eS L pero ~ L:: ~(fi) y hemos deducido que si

nima longitud se debe cumplir (~~) =- o Y por lo tanto:

así: L' _ L ~ á L -;:. O

L es la curva de mí­~ L::: o: 9-4. resulta

J

Esta condición es fundamental y veremos como a partir de ella se pueden deducir las ecuaciones diferenciales de la curva de mínima distancia; esta curva la se­guiremos llamando geodésica; la geodésica sobre una superficie cumple el mis­mo papel que la recta sobre un plano, ambas son curvas de mínima longitud so­bre sus respectivas superficies.

El significado de la ecuación L'- L ::=- á L::. O es el siguiente: de todas las curvas que pasan por P, y 1'2. la que más se parece a las curvas de su entorno es precisamente la geodésica, es decir la longitud de la geodésica menos la longitud de una cualquiera de las curvas de su entorno es menor que la longi­tud de cualquier otra curva ~ menos la longitud de una cualquiera de las cur­vas del entorno de r>I.. ~ en realidad la ecuación L' - L -:::. á L ~ o lo que nos dice es que la longitud de la geodésica es igual. a la longitud de las curvas de su entorno pero esto es solo una aproximación introducida al despreciar los tér­minos de segundo y mayor orden en 9-3a , la verdad es que la longitud mínima es la de la geodésica y difiere "muy poco" de las longitudes de las curvas de su entorno.

A partir de L' - L ::. ~ l -.:. O encontremos las ecuaciones diferenciales de la geodésica.

Sea el S el diferencial de arco medido a lo largo de la geodésica yeb' el dife­rencial medido a lo largo de otra curva del entorno ( 0<.' ) , sabemos que :

L = ('P'L d.. S . )PJ

Se debe cumplir: .&L::. o =7 ~ (P"'d.5 ;:. o )70

Ahora:

9-5 • ~ J d S ::: J J S I - f J.5 = f (d.s I - d 5) ;:: f d (S '- 5 ) - fd!!'S -•

Pero: .& J. ~ -.:. ds ' _ d5 ~ J (SI ... ~) =- d ~5 -::!:)

i1~ ~ P ..

9-5a • ~L-;. S J.S ::: lJ~~ L & dS --• 7. 1, 7,

Necesitamos la expresión para ~ Js .

,

71

Tenernos : •

9-6 • • ~(J.s)"L':. (d.~lr'- (.l~)"I.-:.. (J..s'+d..s)( d.sl_d.!i) ': (~cl.S +.J.s-t- Ó..s)(ád~ +d.5-d..s) ~(~JS-t-<d.S)(~JS) :: ~(Jj)'L+ zd.s~¡;}5:: Zd.S ~J.~ , despreCiando la

l. pequeña cantidad ( .á d.s )

Ahora:

(ds) " := d.1' el ~ l' d ~ J' =?

.á(d.s)'l.= ~(dIJ'd:~/cl.::iJ')= 2.dS,&ci5, por 9-,6 , ~ ;¿ cl~ ~d5 -= d:x¡ d ~J l, 3,·.J + :!~. dx. L & d)l.J -r g':f d:;x:J ~ rl.:::i l

Pero: •

á ~ IJ' __ ( ~ ~},) ~ XK y por lo tanto:

.

é) :lC.J •

en la última expresión lo único que se hizo fué intercambiar los índices mudos

iy~

Subs tituyendo en 9-7) y dividiendo por 2. d.5 :;:;.0."/ ,

d ::t ~' _d ;t. ~ ~.Y J' d.s -t 1-el.> ds -'- dlJ

d ;t L' el 6 .":(J' + . .

ds •

+ .L g/" el ::f: J $ x.I.' Z J d~

(Hemos utilizado acá: ~ d -xl'!: J 1 ,'- el X l.' ::: d Cx <-x L') - d 6:x L')

9-8 , •

Notemos que las dos últimas integrales son iguales ya que como d")'=- ¡" J;. - -== jJ', dI' :- ~ú; se puede intercambiar i poyj y j por i en la 3a. in-tegral resultando igual a la 2a, ; vamos a resolver esta integral; designemos la integral por 1:

•

72

integrando por partes, sea y

por lo tanto:

El primer término a la derecha se anula porque en P, y 'P1 coincide'n la geo-, . .

désica ( .xJ ) y cualquier otra curva ot' ( X J .. ~:;!J ) por lo tanto:

Ahora:

d-'2 X ~L' ~ ;iJ' d 5

d.s"

Los dos términos entre paréntesis son iguales, basta intercambiar los índices i , k y al dividir por dos nos dá precisamente la expresión de la izquierda: rea­grupando obtenernos:

•

d ~ :' el x. ~ ~ X J d .s el 5 d 5

Queda así entonces 9-8.

~ L _ J 1\ .L ,0 ~,,~" el ::iJ - P. 2 dA) d.$

PL

f.!..(.d3",.i -\- acal~r - dJ.'~_) dx~ Jx~ -r dU ~ 2x i_]

PI l' Z 2l-X ,< a.:x. <>x'¡ d~ d.5 d..$ '1.

--

Llamemos: 9 - 9 • J.- ( ,o g .j' -t- ? ~ ~ ~. - d ~L '.< ) ::: [L' 1< r J • 2 a.:rK o-=tt.. aXJ ) I

e s te término

es simétrico cuan.d:o se refiere a 1. y k Y lo llamamos símbolo de Christoffel de primera clase '.

Obtenemos entonces:

73

Según 9-4 la curva ' es una geodésica si S L ::. o por lo tanto si la an-terior integral se anula se debe anular el término entre paréntesis debido a que los términos S :z:J' son arbitrarios es decir para cada curva del entorno (ca­da una de longitud L I ) de la geodésica existen ~::i/ (l:: 'J :1..) de modo que la integral siempre se anula por lo tanto:

. .

9-10) \ Z L'

e .x • ... [,. Ji( 1'] d.sl. J

d X. 1< -d..J

==D

En esta ecuación diferencial el Índice i es un Índice mudo en el primer térmi-. -no por lo tanto hay sumatoria para i= 1,2 y en el segunda término hay sumato-ria sobre los índices mudo i, k, por lo tanto j es un índice libre y como j = 1,2 para superficies bidimensionales entonces la ecuacIón 9-10 representa dos ecuaciones una para j=i y otra para j= 2: por lo tanto las dos ecuacione s diferenciales de las geodésicas para superficies bidimensionales son las si -guientes:

j=i: ~'J ¿l..x.' +- :l..J~z..x..: + (I'JIJd.X' ~x.' +- [21,/J .,Jx,1..;dx: 1" d..5t. d.~t dj .lj dS .J.s

'::0

j=2 : 'all J2.X I + ~u. J 1 X t 1- [1 I J 2.) d x.~ J..:x.' r[2I J Z ] dxt .1. )(.1 + -'"lo

, d3 t d. oSt d.5 d.3 c::!j dJ

toD 1.) lo] d Xl c!.x~ ~ [2.2./L) d.x.l..d.x2. --o ... --, .. - • d.~

, dj .d.~ dj

La generalización a superficies n-dimensionales es inmediata y aunque no sea posible captar visualmente superficies de tres o más dimensiones sin embargo se definen en ella las geodésicas de la misma manera que para las superficies que podemos visualizar ( las bidimensionales) esto es I como las curvas de mí­nima longitud que unen dos puntos dados de la superficie; por lo tanto, la ecua­ción 9-10 esla ecuación de las geodésicas para superficies de n-dimensiones y en este caso los índices i, j, k toman los valores de 1 hasta n, re sultan­do así n ecuaciones (j = 1, ... n)

La ecuación 9-10 se puede e scribir también de otra manera. Multiplique mos a lado y lado por ¡-"J' sumando sobre j =-?

i:t qRi JZ'¿": Ji . dI'$' d - z. + j (L'~ JI) J. x.c. J. .:x::" _ o

dJ 9J.~ . dS' -

74

P 1 é q i./:. -; R. qJ'::: C; i. q 1. __ c¡>J~ ero e tensor conjugado es sim trico o sea d Q Q <J d O

(ver ecuación 8-8) y para t..'::: J )

~::l~' dxl( = o dJ dJ

q Pi C ' J r ~ Llamemo~; 9-11) (J ( t<~.3' ';:. ú: 9 ;el subíndice j no aparece en la expresión de la derecha porque en ~ 'J [ ( K) J 1 , j es índice mudo y desaparece al hacerse sumatoria sobre él.

El ténnino Ti~ se llama símbolo de Christoffel de segunda clase y se acos­tumbra también escribirlo como l t' fe J .f 'J I es simétrico en j y k

Podemos expresar los símbolos de 1 a. clase en función de los de 2a. multiplicando 9-11 a ambos lados por ~ ~~ y sumando sobre f'N\

9-12) "

= d rm ~ \ el(, ~) ;:;.?

;: á' 1\'nJ( \ l' ", 'J ~ } . ~'> ~

[ l K) 1YY11 = d 'MR ~ L'kJ Q ~ -=- ;r,....,.,fl T (1(

La ecuación de la geodésica en términos de queda así:

9-13 :

clase, • •

En esta ecuación i, k son índices mudos y varían de 1 hasta n, y ~ es el índi­ce libre por lo tanto para cada valor distinto de.1 obtenemos una ecuación re­sultando así n ecuaciones diferenciales.

Los símbolos definidos en 9-9 y 9-11 se llaman símbolos de Christoffel en me­moria del matemático alemán Erwin Bruno Christoffel (1829-1901) quien los introdujo en 1869; Christoffel utilizó la notación \ t:~ K) para su segundo sím­bolo pero hoy en día se utiliza más escrito así: r:.t

t.'~

A modo de ejemplo calculemos los símbolos de Christoffel para coordenadas cartesianas, cilindrica s y esféricas.

a) Coordenadas cartesianas

Tenemos: (c.'I(,J1 ~ ~ (

•

75

El tensor métrico referido a coordenadas cartesianas ( Ej: a del cap. 8-B )

es: 1 o o

cr 'J' -e' -o 1 o

o o 1

Como las distintas ~'J' son constantes ( sean 1. ó O ) entonces todas sus derivadas son cero y por lo tanto todos los símbolos de Christoffel son nulos.

Los símbolos de Christoffel de 2a. clase son: ). R' Ti". e. ~ J [l' ~)J-J

Por lo tanto todos son también nulos.

b) Coordenadas cilíndricas:

El tensor métrico en estas coordenadas ( ver ejemplo: b arto 8-B) es:

1 O O

o o

o o 1

Todas las derivadas de

de: d g"l.t. :::.. zy-las componentes de este tensor son nulas con excepción

(recordemos que llamamos .:x' ~ Y, x'l.:=.g. ~ x)::: .c) 'é] ;c.'

por lo tanto los únicos ( i k, j] dis tintos de cero son :

e 2.2.,IJ .. -.L 9 Y'?- ::.. - Y" - 2. C)Y'

I d y1.... "'j [ l 1, "2. J :: [1 2, l.) -::.. -:z:: -o .. ,.: ~

Esto en virtud de que, como vimos al definir a(ik, f J ' es una expresión simé­trica en i y k .

.R Los r dis tintos de cero son:

t'A

r 21).. ~'I [ Z z, 11 P ero de 8-9: --T"l't - I [ H) I J ~-'1 -

T I~ Tl~ gz.1- - J =- L 2..)1 --- ..

~" I -;:.J - - =?) - jll

I (u,2.) \ .y \ - - .. - - ~

¿r2. t y'L '('

76

c) Coordenadas esféricas: •

El tensor métrico en estas coordenadas es:

(Ver ejemplo c art. 8-3)

1 o o

o o (llamamos -x.1 ~ '<', .x."".= " I x'3::. -e-)

Las derivadas distintas de cero son:

?g.ll:: Z y'.j.kY)I.CP j

() XI

a ~.1 3. ::. 7... y7.::'~ c) C,.o.s c( d.l:.'L-

Los símbolos de 1 a. clase diferentes de cero son:

[22,11 -

'(33,21 -

(23,31 -

[33,1 J -

[12,21 -

t 31 ,3) -

a -('1. 1 _ .. _ -'f' -"2 ;])'f - •

1 ?J '("l.j~"tP =- _ y 1...5~ .L UJ5 A . - 2 ';;) 4 IJ' 'f

[ 32 3 J = l. ~ Y 1. .j ..vr.1. r/:.. .:= '< 2. .5 -'.N\ ~ ea..s"¡ , , a<P 't

_ ~ . .a""~5.v.,1..f.=. _ 'lJArr.'--p dY'"

(21 , 2) = ~ ~ '(::.. '(" ~"("

[13,3] = ~ d y1.5~~q := y.5~ .... cp d'\

Los símbolos de 2a. clase diferentes de cero son:

•

77

Ejemplo: Hayar la ecuación de las geodésicas en el plano utilizando coordena­das polares ( G- A - Hawkins: multilinear Analysis for Students in En­gineering and Sience ). Para coordenadas polares se tiene:

Sabemos Que

~11=

:x. -::. y 6d S ~ =.

J -:. y j.2.ot') -9- -:.

g ''.1":: .3 1 ~ . ~ '1 : ~yJ d :EJ'

é};L' a:x..'

.x.'CP.sx"l.::. 'j'

X. ' ..5~.x ~ :: '/ l. por lo tanto:

)

~12= t) j' d 'JI +- ~ '11. C> J 1. _ X '~..s.x. 1. j..v.o, X 1. 't ;t.' 5-<rn;t 1. c:o j X 1. =- O • ->' po -;'>X' d x"t ;;) :i..' ox1..

~21= ~ ,~ - o -

Tenemos pues el siguiente tensor ~IJ' = 1 o

y de 8-9: .. 1

~ lJ=:.

o o

Los símbolos de Christoffel son

[J.1,11 - 1. (aCJ~ +- a~n Q) CJ 11, J O - - -2 ox.' -ax' a ~.

ll1,2) 1.(~ + a {l7.L - ~ ~"') - o - -2 e x' -

O.x i o.x 1

[12, ~ - [21 ,1J - ~ ( ~ +- d ~I\ _ d ~I'l..) ;: o - -d x' a.x~ ax'

\.12,2] - (21 ,2J - ~ (?~¿~ + d 8 ~ I _ é) ~"I. _) ~ '( - -'d..:t.1 dX1- a xl.

[22,1] - ~ (.~~Il -t" d ~)1_dgZ.1.)::_, -CU::1. d X Z () x.'

[22,21 - 1. ( 3:ll.1.. +-2 éLX"

~ iltL - a ;!-P .. ) := O dXl. ax-:..

o I -'í1.

•

..

78

1"111.. = ~r·1 [\\ ... ] t ~nr."1 ,-) ~ o

l' 1 _ TI -1, _ ,1 -:.. ~II [11.,,] -\- gll"ll"2¡t]:: o

T I ~ -;:. r "l~ -: d 4 1 [ )"< I I J 1"" g "L 1. [ I 2 J 2 ] ~

r ,1"1. = d 11 [2 '2., IJ 1'" dil. [2. 2¡ 2. J ::::.. - '\

.T ~ -:: ~"'I ["2. ~, IJ T d-l.:l. [,2., 2..J =- "O

, ---.

La ecuación diferencial de la geodésica es: C)l.x.t r.~ d.xl dX K

-

(ec. 9-11):

~-'...::.-- t- t K ~ - o a.57, d.5 dj

( ~, L", J.( :. )

llamando X ~ ;:. o'x.~ .x. .; -;;>s¡, y - se obtiene:

para ..t ~ 1 .J

.. r'·· .." I ... TI.. ,- ..

..... , , I -L .x'" x I X' ~ )' X 7.. ..,."lo_ ....... T ,. X .x. ~ 41 .... ,'1. .x. + ,n. """ __ o

•• I (~)"l. ;;L - ,\~1. :=. o

para ~~-l .)

... .t. -j ~ '1. ., ", -¡--\ 1. .. 1. .. T 1 ". l' "1.., • 1. • ~ X + II:X X T .1-1.1 X xl + '1. .x 'X 'l.;- _1.'1.:x..x. ='0

.- "Z. -'- 2.. ;. ~1. X ...... y ..... --:::-o

Pero por lo tanto las dos ecuaciones diferencia-les son:

a) :.r- - ~ ( .e ) z. =- o

b)

1:, 1( y'" ~

llamemos

.. ." . .. e- +- 3::..., -e ~ o

y .., "\...e. +- 't. ..,.. y.e. ;::. o : "'>

\ V:::. r •

. ;> e ~ .4 ::: A V-z.

Pero: y=- d. ~ d.-bl-, ;:: 9- v: ir _ ir eL, (~\ = _ '1-7. el v, A V 'Z.:: ~ A .,!y d-e. d.s de - d-e V) d-e- de-

Ahora: Y.;::. $... (- A ~) = _ A ~'2~ -é ::.. _ 1>;1.. \)'7. C:P'v" d..s ele- d-t71., d-e"l.

79

.. " Reemplazando "'S -f7 en a) resulta:

_ A'Z. V 1.~'I.1,( _..!.... A-;'V 4 = o ~ d 2 't + V ::. o de-~ V d-e &.

La solución de esta ecuación es:

V::. k ~.s (9- oL) _;;>

"r = a. .j.~~ (e - bL) Esta es 13 ecuación de la curva geodésica en el plano escrita en coordenadas polares y representa una recta, siendo a la distancia perpendicular del ori-gen a la recta geodésica y Ol. el áng~'lo entre a y el eje horizontal y I •

11.

~--~~-------------------yl

Si querernos encontrar la geodésica que pasa por dos pun tos dados P, ('>(" e,) y p~ ('<""7.) Gl, ) reemplazamos en la ecuación de la geodésica obteniendo:

y

y, ~ a.. .se.~ (e 1-""'- ) Yt.::. CL 5.¿c (-91. - o.l)

S.u:. (e, _",q _ yo 1, ="/ Ca S (-8'Z,. - c.lt S.e( (-9z.-oL) - Y'a. Ca.5 (&,-bl.)

ce> S.f) z Cd S 6t T 5 ~ 9'l... 5.ll.M oL

ea.s 6', Cas ó4 -t- .5.a..-., ~ J .5~ c{.. --

- y-; --n

o¿ :: a. y~ -t:-~ '\2 Go.s el. - '(", e.o.5t7,

\\ ~~ tJ I - 'f""l...5..qm-ez..

a. := - - , con y a determinado

80

Podríamos tratar de encontrar más geodésicas, por ejemplo: las geodésicas sobre una esfera son círculos máximos y sobre un cilindro circular son héli­ces circulares (si los puntos ~ ~ 'P-c. están sobre la generatriz.)la geodésica es una hélice de paso infinito es to es, la misma generatriz y si están so­bre un círculo paralelo a la base, la geodésica es el arco de este círculo en­tre esos dos puntos, es decir una hélice de paso cero) •

-TRANSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Nos proponernos en esta sección encontrar la ley de transformación de los sím­bolos de Christbffel cuando pasarnos de un si stema coordenado cualquiera

ji ( i =1,2 ... n), no necesariamente cartesiano,a otro sistema coordena­do cualquiera X t

'; estas leyes de transformación nos mostrarán un hecho im­portante: que los símbolos de Christoffel en general no son tensores, es decir sus componentes no se transforman como se transforman la s componentes de los tensores.

• En los sistemas coordenados x.~ y Jt: la ecuación 9-13 de las geodésicas resulta ser:

9-14 J';"'- + TY' d J"'" • d'i:' o . -- -

d .s-¡ 'j ,...., "'" d5 d5 S dX1' J. X. 'El-

9-15 d 1..x.i h~ - o + , ..,

l. d.5 dS d..s ,.

En la parte inferior de los símbolos de Christoffel de 2a. clase hemos colo­cado la letra que designa el sistema coordenado con respecto al cual está cal­culado el símbolo.

Ahora: d:c .d .:r: J x-f' -? - . , .-

dj ax1" d,5 . (~!1:-)

d"llY- ~'f; d 1.,X,i' d xf' d _dX~ - + • • - ds - . -d..5 'l.. a"X 1" d.P

dJ~ ~LX: + a1J'~_ --a:(1'dX~ a.x1" d...s -c.

Reemplazando en 9-14 obtenemos:

?J 'j'Y'" d'Z X l' (el J Y'"

;;)11' . dS'" 1- ·d~"" ax'4 -r

\ I yo

..L.. ........ M

j

d.s

d.x~ - ~

d,j

cl1~ , d.s

. el x: _ o d5

Multiplicando por

axS d '1-(" ,d'Z.x.1' +

é) 1" é>X1' d5~

Pero cXs :aj~ • • C}1'<" aX"p

81

y sumando sobre yo resulta:

- ~J Y vale 1 para l' ;: 5 '"-"-' - 'P

¿2.x5 ( 5'X' a 7.1."" . r< dXS d1: ?J1"" ) el .x.-p d. ::( !l

.. ==- 'O ... + ""'" 'Y\ él '),;.

• •

;;)'j~ az1' <>x~ '0;(1' C);.rq. <~U cl...5 cl.,51. .J .

. Comparando esta expresión con 9-15 obtenemos:

9-16 - d x.s ~ :1': é) j rvl - . - aJ't' ax1' ~x.~

Como vemos T i'~ en general no se transforma (sus componentes) como en tensor ya que" sobra" el término d:t.s Cl't '{.,- ;sólo cuando este término es nu-

~1Y ~x~aÁ~ . lo ( es decir cuando 'J t'J X J' están relacionados así: 'j t' ~ ej '-- .:!J siendo LJe. constantes; en este caso decimos que la transformación de coor-

o

denadas de las ~L' a las X J Y viceversa es una transformación afín) los sím-bolos de Christoffel se pueden considerar como tensores mixtos contravarian­tes de 1 er. Orden y covariante de 20. Orden como se aprecia en 9-16.

Veamos ahora como se transforman los símbolos de 2 a. Clase.

De 9-11 tenemos: J.l< ....... fW\ y de 9-12

;¡

«J 'l"J!. ::r "C'" ~otando que :i ~ N'l\M

• •

Hemos colocado el subíndice y en el extremo inferior derecho del símbolo de -la. clase y en la parte inferior de los tensores métricos y conjugado para ex-presar el hecho de que en este caso ellos están referidos al sistema coordenado

J'c.' ; en forma similar, para el sistema ;:¿ l' las dos ecuaciones anteriores que-dan así: .

qS~ ~.s

<r [-rq)jJx.~-L1'~ x ~ 5

[ f fj.,j Jx = 'Jji T 1'~ x x

•

Reemplazando en 9-16 se obtiene:

~~i '_ G)::.1 dj~ d '1 M

~ [fl4-,JJ~ - er" a~? 3X~

82

Multiplicando ambos lados de la ecuación por . ~ St: :

~

_ d;:¿ ~ 1"""" ~ '1 r'f\ t? -y'~ - ~xj <) < 1-(" - é) J" o.x:f d;~ f 1st: L """""/~J) -t ].s't a 'lV ~xi'o:t:~

,

[1'~1 JJ~ ~SJ ~j-t x x

pero y vale 1 para t= j -"7

En la sección 8-B) vimos que 'l1J' son las componentes covariantes del tensor métrico, por lo tanto al cambiar de coordenadas Ji a las XL' se transforman según la ley doblemente covariante:

gJJ' ~ d J~ ~ ~ dX' a:xJ'

Reemplazando resulta:

_ ax~ a~,: _ F

d'jY' a.x f

Esta es la ley de transformación de los símbolos de Christoffel de la, Clase; vemos así que ( tyV\ f't'\) Jt J no se transforma como tensor; solo si la trans­formación e s afín ( 'p' = (i L :xJ' ~ (i e : c-r.r¿) [fVY\ IV\ • .2. J e s tensor I un ten­sor covariante de tercer orden como se aprecia en 9-17.

Relación entre los Vectores base (directos y recíprocos) y los símbolos de Christoffel.

En 8-6) tenemos:

Los ~IJ son en general funciones de las coordenadas curvilíneas lo tanto:

por

,

83

9-18) •

En forma similar:

9-19) d ~I'/(, ~ é)~ • ftl.. 1-

21:x./ ;:;:XJ y

9-2Ó)

--;. ~

Ahora: 'J L' : 4.,

9-23)

(ver cap, 3) por lo tanto: ex"

aX t '

Sumando 9-19 ) con 9-20) y restándole 9-18) se obtiene;

d ~ ('J( a 91'1< a 3L'( --f!'

- ---? a {jt' --?

+ 3K + a f[1(_ ' ~ (' - -• -. - , , , ,

a:xJ' c>x( CJ:x K • é);x:.i a.xJ -=-" .-:-Y ---.., a gK -- -y

t- ~i - d ~c.' --9 a á'J ~j' . d L' •• -az<' • , , •

dX- ox k

Pero de 9-23):

--?

l- ~ dJ -;;> ,gl< ,;):xJ

~ ~ ri --:I'

~ :::. ~ ) é)QI<. -;: C> ;J'. a .:( 1( e )( t: ;;).::fJ' a...x. K

por lo tanto:

a:x. ~'

-? S t'K. +- ~ gjl<,.

0)(.1· -a 5'L' -~. '

é)xJ

9-24)

~ - -:?

_ '9 g-D: ;:: ,C) ~ L: . ~" + ? j ( . o X a< ;}:xJ a..:xJ

( éJ CJ··~ +- a dJK _.C) ~¡'J'_ \ C). :xi é>X L' d :::c. H' )

y de 9.9 ->

84

-7

La relación entre los vectores ba'se ~ L'

Clase se obtiene de la siguiente manera: y los símbolos de Christoffel de 2a.

De la ecuación 9-24 si llamamos resulta:

-..., El vector .b .. -Clproca 5 t'

, como todo vector, se puede expresar en función de la base re­esto es:

--:--? A J -;¡ ....... --.., K -h ::. ~m, d ~ o¿K ca •

(m, k: índices mudos)

Sustituyendo se obtiene:

pero (ver 3-7a)

pero

por lo tanto:

Ahora: -- (ver eco 5~16 d pago 65)

; utilizando 9-1) concluimos:

; 9-25

En forma completamente similar se puede deducir que:

: 9-26

CAPITULO X

DIFERENCIACION DE LAS COMPONENTES TENSORIALES

A- INTRODUCCION

Estudiaremos en este artículo la diferenciación aplicada a los tensores: en general se puede decir que el conjunto de derivadas de las compo-

o

nentes de un tensor con respecto a una de las coordenadas..x c. no for-man un tensor, esto es, sus componentes no se transforma'n como se trans­forman las componentes de un tensor; para apreciar es to supongamos que tenemos el tensor contravariante de 1 er o Orden A": definido en el sis-

, tema curvilíneo J l (i= 1,2 o. n) , si cambiamos al sistema curvilíneo

Xl' (i= 1, 2 .. n) la relación de las At: (componentes en .1<: ) con las ÁL (componentes en :x.': ) es la siguiente:

o

I (_ ox~ A'" A - djct. ) diferenciando a ambos lados con res-

pecto a obtenemos: , o

aA~-=-. axJ

• o i B d . • ,aA~:= (aZ ,;;l~-; ) f)A_ t- ( 2J2.:;Ll __ \ d'[8

10 -1' a x.J 8.Jci a;(J d j.D a j.'c;) 1 () ) axi

La cantidad cuya componente genérica es é)A~

é)j13 no e s un tensor ya que so-

bra el 20. sumando de la derecha para que esa componente .d A ~ se trans­.9 JO

~l..tlo forme como tensor; solo si = O podemos decir que la deriva-

d jex. d 'j {3

da de un vector contravariante es un tensor mixto de 20. Orden es decir solo cuando la tTansformación ' de coordenadas es lineal ( la llamada transformación

t. • • afin 'j:: (.l' ):,J) la derivada de un tensor es otro tensor; el mismo resultado se obtiene si tomamos otro tensor de cualquier orden y lo derivamos; por ejemplo,

• dado Ajl(' este tensor (sus componentes! ) se transforman así:

'dx5( .' .

•

?~~.P~C~ C> X fYY\ ~ .x. N'\

derivando con respecto a

x-'f resulta:

•

86

t'

Vemos nuevamente que la derivada de, Aj'J( no es un tensor, sobra todo el término que está multiplicando a A Ji< ' Veremos a continuación 'que de todos modos es posible definir una cierta operación de diferenciación ( llamada dife­renciación covariante) de modo que al derivar de esta manera cualquier tensor el resultado sea otro tensor; esta operación es por lo tanto de mucha importan­cia porque nos permite plantear ecuaciones tensoriales ( y por lo tanto válidas para ~odo sistema coordenado) en términos de derivadas de tensores y es sabi­do que en la física y en las matemáticas las derivadas desempeñan siempre un papel de primera importancia.

B- DIFERENCIACION COVARIANTE

Para introducimos en es te tipo de diferenciación tomemos un tensor con-. ' , travariante de orden 1 (vector) AL ; en general las componentes A~ de este tensor son funciones del sistema coordenado xi (i= 1,2,3).

De la ecuación 9-16 obtenemos:

~ _ r). ox l a'1~ ~ + a1. ~)._ ax~ l-~.!3 - 'j~" ¿;'j). ax«' é);tB d~d.x.!Jd~l

;)J ..... -Multiplicando esta ecuación a ambos lados por ;;.x(

resulta:

r: l .é) J ':': _ T). oC; X': ~ 'j::- .~y~ a J' ':. + al r\. é?X~ -?:r: -:=)

x CIt.]} é)'Xt.' - J IA.." ,,!} J}.. dXO( eX" dA l ' JxO(Q.x~ 3'J)' .3-X t '

I L' ~j~ _ ~NW\ r}. d'j~ d'J'"' -t- $"'" ;;;'1.) .. ~ x Q(lj "éJXt' - ). .J .L4."<J.z..d... a x.. 13 A á..rc(c)x!3

Si m=). ~ $;:' = 1 Y para m * ;t :=i) &).."""" = O por lo tanto

r t' 011 ~ = r). d J' ': c';) ;( -;- (F 1 ~ . -=/ ~ '" '" a x ,. J ~ 11' a.x. c;i. • dA. IJ éJx:t-ax..~

a1.. j l _ T t' d \:e', _ á.xqé}x,j - x.. eL jJ a;:( l'

a 1 '"'_ ~ '1 11.

él-x O( 0::( .B

¡

,

87

Esta ecuación que nos relaciona la 2a. derivada de las coordenadas cur-• •

vilíneas 'j l (con respecto a las coordenadas curvilíneas :r J ) con los

símbolos de Christoffel de 2 a. Clase fué deducida por primera vez por el mismo Crhistoffel en el añ o de 1869. Similarmente obtenemos (in ter-

• • cambiando los papeles de J L Y "y'J ):

10-2)

(En esta expresión s, m, n son índices mudos) .

• dt..x ( _ - por su valor obtenido en 10-2 re-

d'jt(.djt) S'i en 10-1 reemplazamos

suIta: 1 ,

aA l . , ~ dXJ -

-:::::'? 10-3)

En el segundo término de la derecha oL. y..5 to los podemos intercambiar quedando e s te

son índices mudos por lo tan-", ~ term1no a S1:

A' Dl j ~ I t>(. él X 4: a::LJ' 5g ;) 'J~

En el último término a la derecha el producto es igual a 1\'\ 5J y vale 1 para n= j por lo tanto este término queda:

Pero

I

A ........ = '7

10-4)

88

Vemos de es ta ecuación que la expresión o'- AS

+ L.H1 en el sistema :1

+ ,

coordenado J" se transforma en ,

A""'" •

en el sis tema Xl..

según una ley de transformación que es la de los tensores mixtos de 20. Or­den por lo tanto el conjunto de cantidades 10-4a : dA~ -+- Td.. A.s son los com­

aJa J f)1

ponentes de un tensor mixto • Este tensor lo llamamos derivada cova-• riante del t.ensor contravariante de orden 1, AL.. Vamos a consi.derar a con-

tinuación otra forma de llegar a la misma definición de derivada covariante y que tiene la ventaja de que nos permite obtenerla de una manera más sencilla.

En el cálculo diferencial ordinario se utiliza el operador 10-4) +-d - ; este operador se puede aplicar a escala-a~

res (obtenemos el gradiente del escalar), o a vectores ( se obtiene la divergen­cia o el curl del vector según que la multiplicación sea escalar o vectorial) ; consideremos ahora cual es el resultado de aplicar V a tensores; para un sis­tema coordenado curvilíneo cualquiera ')1.' en n-dimensiones se presentan en cada punto de ese espacio n- dimensional dos bases vectoriale s; la directa y la re­cíproca (los ~ ylos"f: );definamos 10-S)"l =~t: ::;1.: (i, ' índice

'-1 L' mudo, = 1, 2 , .. n); en el caso de que.J sean coordenadas cartesianas en tres dimensiones, las bases directas y recíprocas son iguales (ve r cap . 2) y forma­das por los vectores i, ji k convirtiéndose 10.5) en 10-4).

Apliquemos la definición general de -, d ~L dj" a un tensor contravarian-

,

te A t ; cada coordenada de este tensor -? .

se covariante ~, (ver 5-1 S a) es to es: (ve ctor) esta adscrita a un vector ba-...... J ~ A A ~J . Entonces:

gA ~ 31' ~1~' Je AJ

' ~ ') I por lo tanto:

lO-Sa}

( COI) r Iun-Pero de 9-2 S):

ción de los 'J e }. • >

En el 20. término de la derecha m y j son índice s mudos y por lo tanto s e pue­den intercambiar obteniendo:

10-6' V 7i = (~ ~~ r 1:' :"J") W'~

-

89

Comparando el término entre paréntesis con 10-4a) notamos que este término corresponde a la definición que hemos dado de derivada covariante de un vec­tor contravariante; los vectores 1(' t colocados a la derecha de este pa-

réntesis nos indican que cada componente de VA está adscrita a dos vecto­res base, uno directo y otro recíproco es decir ( ver arto 6) VA es un ten­sor mixto de orden 2 y por lo tanto el resultado obtenido en 10-6) coincide en todo con 10-4; para coordenadas cartesianas los símbolos I',.!¡ (ver ejemplo a) del arto 9) son todos nulos y por lo tanto en este caso las componentes de la derivada covariante de un vector se convierten en :21 A~ e.s decir en la

';>'1 ' " derivada parcial tal como se conoce en el cálculo diferencial ordinario ; en el "

caso de que el sistema sea curvilíneo hay por lo menos algunos r~~.que no

se anulan ( ver ej. b Y c del art. 9 ) Y en este caso la derivada covariante ya no coincide con la derivada parcial; vemos así que en general a la derivada parcial se le de be agregar un término para obtener la derivada covariante ,es­te término es precisamente aquel que nos indica corno varían los vect~r~.ba.~ con respecto a las coordenadas escogidas ( en el caso de 10-5 a) es d A.Jg l •

Resumiendo, en este tipo de diferenciación no sólo se tiene en cuen-@;¡I.· ta como varían con las coordenadas las componentes del tensor sino también como varían los vectores base cuando varían las coordenadas; el cálculo dife­rencial que se puede levantar sobre esta base se llama cálculo diferencial ab­soluto quedando reducido el cálculo diferencial ordinario a un caso particular de aquel (cuando l.: ~. ;::.. o )"

J -?ia

Podemos utilizar el operador V:: ~ c0J

~. para obtener la derivada covarian-

te de cualquier otro tensor. Supongamos que tenernos un tensor covariante de 1 er. Orden A j' ;encontremos su derivada covariante ; sabemos que cada com-ponente AJ' está adscrita a un vector base recíproco; J\ ::: Aj ~'¿'

(ver 5-15 a) así que: t¡ A :;:: 1'( ~ (AJ' i~'t ="/

;;J J~

~

'V A - ; pero de 9-26) tenernos:

(con • l' J referido al sistema \(1')

-~l· J

por lo tanto: ~"-~ldNY\

1t '11

90

Los términos se llaman las componentes del tensor deri-

vada covariante de A •

Consideremos. ahora la derivada covariante del tensor mixto A/< con respecto a .1 .. ' .

Tenemos : K le' g-#j 9-: A · - A· ~ J - J (ver diferentes componentes de un tensor

dado arto 8) así que:

De 9-25 Y 9-26 obtenemos: _. . ~ ~ = _ r~L drtO\ )

@jt'

Intercambiando los índices mudos L m en el 20. término del paréntesis y k , m en el 3er. término obtenemos:

10-7)

Apreciamos entonces que la derivada covariante del tensor mixto Al' 1( es un tensor mixto covariante de orden 2 ( recordemos de 5-15 a que a los vecto­res base contravariantes le corresponden componentes covariantes y a los vec­tores base covariantes le corresponden componentes contravariantes ) y contra­variante de orden l. Las componentes de esta derivada se llaman componentes de \/ A/' con respecto a jl' (i= 1, 2 I •• n en el espacio n-dimensional) y las representaremos simbólicamente colocando una coma después del último subíndice seguida del índice que nos representa la variable con respecto a la cual está derivada la componente así:

/(

A~. - ?"\ JJl ~ a'ji

K. T ""'" _ A I"N\ • • -\-jl

A .""" I K . ~ """\

91

Podemos generalizar el procedimiento anterior y obtener así las diferentes componentes del tensor derivada covariante de cualquier tensor; la derivada co-

• variante de una componente dada con respecto a ~r se obtiene así:

a) Se calcula primero la derivada parcial de esa componente con respecto a \( l' , .

• '"

b) Se calculan los productos de e sta componente ( cambiando cada vez uno de los índices covariantes 'por un índice m que será mudo comenzando por el 1 er. subíndice)por el símbolo de Christoffel de 2a. clase cuyo 'su­períndice es el índice mudo m y sus subíndices son el índice i de deri­vación y un índice covariante cada vez comenzado por el primero.

c) Computamos luego los productos de la componente ( cambiando cada vez uno de los índices contravariantes por un índice mudo, comenzando por el 1 er . superíndice) por el símbolo de Christoffel de 2 a. clase cuyo su­períndice es un índice contravariante cada vez comenzando por el primero y sus subíndices son el índice vacío m y el índice de derivación i.

d) Los productos del paso b se afectan todos con el signo menos ( -) y los del paso c con el signo más ( +) .

Estas Aj'J(~ son las componentes del tensor V P!J y es un tensor cuyo

orden contravariante es igual al del tensor original pero su orden covariante es mayor en una unidad que el orden covariante del tensor original (ver por ejemplo el tensor en la ecuación 10-7).

C- TEOREMA DE RICCI: Nos dice este teorema que del tensor métrico ( sea en su forma covariante te ca ,'J , o mixta &f ) es cero.

la derivada covariante ~ "J') contravarian-

Las componentes g"j, J( de la derivada covariante de ca 1'), son:

10-8) o ~ ,'1 •

92

Ahora; de 9-9:

. Sumando estas dos expresiones y teniendo en cuenta que:

Q'K '*-1.' ala - q" o. q (7' = v~ J <T;; - dJL) (jJK'=' (J"J obtenernos:

I

YK, t] ; ahora de 9-12 tenernos:

-....,

Reemplazando e s te valor en 10- 8 obtenemos:

E 3 deci.:-, ,;ada -::omponente del tensor derivada covar .. _ .. ite del tensor nula J por lo tanto "\J W ':.1' =O •

,-¡ (l';' Demostremos ahora que '4 Ó

, va18 uno ó cero; además:

i

es también cero; tenemos:

perü =0 porque

•

- -,-..,\ ~ - _ (..k

es

por lo tanto ('u __ OL ... _ como todas la s componen te s

, •

valen cero entonces 'VJ/ = O.

Demostrerr.os finalmente que la derivada covariante del tensor métrico escrito en su fOrITo..1 contrélvariante e:::; cero ó; V 8~' = O .

•

Tenernos ~.h' ca t"j _ ~f(J ; aplicando derivada covariante resulta:

93

; pero hemos demostrado que

I por lo tanto fuL' \j ~ ,'J'

vg({ O. es difere!lte de cero en general por lo tanto }

= O I pero 6!ll'

En esta última demostración hemos ·supuesto que en la derivación covariante de un producto de tensores se cumple la fórmula de la derivación ordinaria del productoestoesque si '1::= 'j (X)/"'é--=- ~ (:~) entonces

d ('1 ~) _ 1..( ~-'C + Z:- .d::s - .J dx d..::L

d..x.. Esta regla se sigue cumpliendo en la rI.erivación covariante de un producto ten­sorial como lo veremos a continuación .

por lo tanto:

En forma completamente similar se puede demostrar que la derivada covarian­te de una suma de tensores (recordemos del arto 7 que los tensores a sumar deben tener todos igual orden covariante e igual orden contravariante) es la su­ma de las derivadas covariantes de los tensores; por ejemplo:

94

- o -

Como consecuencia del teorema de Ricci podemos tratar en la diferenciación covariante los tensores métricos como si fueran constantes es decir podemos sacarlos fuera del símbolo? •

. \7 { 1 (. i A :!) = ~ I~' 1 A ~ pero

por lo tanto;

D- DIFERENCTACION INTRINSECA O ABSOLUTA DE UN TENSOR.

En este capítulo hemos estudiado la derivada de un tensor r definido en o

un sistema coordenado jL(i =1,2, .. n), con respecto a las coordena-das j lO ; se presenta en algunos problemas. de la física y las matemá­ticas la dependencia de las coordenadas JI.. con respecto a un paráme­tro t; este es el caso por ejemplo de la variación con respecto al tiem­po del vector velocidad en un fluido o del movimiento de un punto en el espacio describiéndonos una 'curva} ya que como nos lo enseña la geome­tría diferencial en este caso las coordenadas de las distintas posicio­nes del punto móvil son funciones de un solo parámetro t (este pará­metro puede ser la longitud del arco, .s ). Vamos a obtener en esta sec­ción la derivada de un tensor con respecto a t.

Tomemos un tensor cualquiera por ejemplo A 'X.. j(

• ; las componentes de

y supongamos que este tensor son funciones de las coordenadas JI.. . t.· a su vez estas J L son funciones de t , o 'jI.. -= ) ~ (-t:: ) .

La derivada absoluta de A! con respecto a t la representaremos bólicamente como .) A! / J -r y es igual a:

sim-

~ (~ -1<,. --, \ ~ -i> ~ 12 $ A 1< _ A A 1< (j ~ JZ L =. el A K_ 3 K d ~ + A 1<

Jt d-t d-t::

A ~ 8--?1( d ~ ~~ + k . d -=v

~1' -t:

en el 20. término de la d erecha i n te rcambia mo s los índ ices mudo s El r ~ y en

f

95

el 3er. término intercambiamos m, ~ por lo tanto: • - -

10-9)

Resulta p'.les que la derivada absoluta de un tensor es otro tensor de igual or­den que el tensor derivado así, en el ejemplo cada componente de J A ~

es tá adscrita a un vector base directo ( ~~ ) y a uno recíproco ( f lof 1 é:-

~ At •

~t es un tensor de 20. orden mixto tal y como indicándonos es to que

~ lo es el vector A .

t<

Ahora: el A~ __ (3 A~ . . clk - ;) J i

El término entre paréntesis riante de A! (ó g A ~ )

10-10)

por lo tanto

es la componente por lo tanto:

de la derivada cova-

.!! ; si en vez de A 1'< tomamos

cualquier otro tensor cuyas componentes sean funciones de las coordenadas y estas a su vez funciones de un parámetro t hubiéramos obtenido el mismo re--sultado; por ejemplo: el tensor derivada absoluta de A ~.~ ........ ,.., con respecto at es: -

- -

y sus componentes son por lo tanto: •• ~1'I""t

A d,l •

En el caso de que todos los T~. , sean nulos ( coordenadas cartesianas) re-sulta: ~ A! d.A! o sea la derivada intrínseca de un tensor corresponde a la

~t- -:::: d t

•

96

derivada total en coordenadas cartesianas.

E- EL TENSOR DE RIEMANN -CHRISTOFFEL (O TENSOR CURVATURA).

Sabemos que la derivada covariante de un tensor dado es otro tensor; po­demos por lo tanto obtener la derivada covariante de la derivada covarian­

. te :iel tensore.s decir la 2a. derivada covariante.

Tomemos por ejemplo el tensor covariante de orden 1 (vectqr) A l.' • Las componentes de la derivada covariante de AL son:

A·· a A( - ,,"- A ~ ¡j -::: é) ~ ;' -L tj <:L ; si derivamos covariantemen-

te) las componentes de este tensor 2a. derivada son .( ver parte final de la sección B del presente artículo):

Realizando las derivadas obtenemos:

10-11)

Si calculamos primero A l¡ 1( Y luego por 2a. derivación A 1.·)Kj· el resultado es el siguiente (basta intercambiar los índices j, k en la e­cuación de A L~ JI< ):

10-12) Cll.Al.' , -

+

-

\ 1 ~ K' :J

97

Restando 10-11) Y 10-12):

Intercambicndo los índices mudos.§.. J ~ en el 1 er. y 3er. términos de la dere­cha:

T. a.. a.. d ':K_ -d T <J' " 1"

d jJ' d jK

Sabemos que At"Jj"es un tensor covariante de 20. orden por lo tanto A I.'/J'/o(.

es covariante de tercer orden; como Aa es un tensor covariante arbitrario enton­ces por lo visto en el arto VII sobre el cuociente tensorial concluimos que el tér­mino entre paréntesis es un tensor mixto; covariante de orden 3 y contravariante de orden 1: 1<0J~. Este tensor se llama tensor mixto de Riemann-Ghristoffe 1 d , tensor Riemann- Christoffel de segunda especie o tensor curvatura.

En forma similar podemos obtener la 2 a. derivada de cualquier otro tensor y for­mar la diferencia de esas derivadas con los índices de derivación trastocados) por ejemplo si partimos de un tensor doblemente covariante A-:f resulta.

A (.1 / 1< 1! _ A lJ') 2. K := A Ca. K J~~;- A Ct. J ~ /:-~ ) re s ulta nuevamente que la diferencia de las dos derivadas depende directamente del tensor 1<.L~1< .

J

Concluimos entonces que en la 2a. derivada covariante el orden de derivación no es indiferente, en general no es igual A~'~~,.,... que A~'J m,~ ; sabemos sin embargo que en coordenadas cartesianas todos los símbolos ~~, son nu­los por lo tanto ~;I" = O y en es te caso el orden de derivación no importa.

En el artículo VII, en la sección titulada "propiedad fundamental de los tenso­res", dijimos que si un tensor cualquiera es nulo para un sistema dado de coor­denadas entonces será nulo para cualquier otro sistema; según esto, el tensor ~ :t/< será nulo para todo sis tema coordenado ya que se anula en el carte-

, Slano.

u.. En realidad 7<lj'K. no es siempre nulo; la aparente contradicción se resuelve si tenemos en cuenta un hecho que nos enseña la geometría no-euclideana, a saber: si en un espacio n dimensional no-euclideano tenemos un sistema coor­denado :X,t: (i= 1,2 I •• n)) no existe en esas n- dimensiones un sistema carte­siano jI. ( i= 1,2, .. n) con respecto al cual podamos localizar todos los pun­tos de ese espacio, por ejemplo sobre una superficie esférica ( espaci , no-eu­clideano de dos dimensiones) no se puede encontrar un sistema cartesiano de dos dimensiones con respecto al cual se puedan localizar todos los puntos de la es~ fera.

98

•

En general, lo anteriormente afirmaeb quiere decir que si :tI.. son coordenadas en un espacio no euclideano Y Z ~ son coordenadas cartesianas entonces no existen las ecuaciones J L' ;::.. JI.' (x 1 ) xl. J _ _ x"') ( i=l, 2 .. n).

Como una consecuencia de esta propiedad de los espacios no-euclideanos sur­ge el hec~o de que si en un cierto espacio n-dimensional es posible encontrar al menos ..m sistema cartesiano jI.' (i= 1,2, .. n) con respecto al cual queden localizados todos sus puntos, entonces el espacio es euclideano; así: todos los puntes de un plano pueden ser localizados con respecto a un sistema de coor­denadas polares ( Yj -e- ) pero al mismo tiempo pueden localizarse con respecto a un sistema cartesiano ( jI, J 1- ) por lo tanto el plano es un espacio euclidea­no.

En los espacios euclideanos se pueden entonces encontrar las ecuaciones que nos ligan las coordenadas cartesianas (fe: con cualquier otro sistema .:x lo' Y la transformación recíproca ,esto es:

10-13) I.f .: L' ( I"l. "",) O ~J X)::t..) _____ X

l' -.,¡ f.' I '-( I '1 L '"1' "" ) ::l ~.,.oL L J , J J - -- - - J

(i = 1 ,2 ... n) •

Con las anteriores observaciones queda aclarada la aparente contradicción que se nos presentó con respecto a la nulidad del tensor 'R';ff< ya que si ~n un cier-to espacio n dimensional se pueden tomar coordenadas cartesianas JI. (i=1,2 .. n) entonces J<~I<' vale cero para ese sistema cartesiano y para cualquier otro sis-

tema)l.f (ver ec. 6-4) obtenido a partir de J f.' según ecuacione s del tipo 10-13); no podemos decir sin embargo que 7<.0-J-.. es cero para un sistema :::t.L' adscrito a un espacio en el cual no se pueden definir coordenadas cartesianas J l.' ya que al no existir en este caso las relaciones 10-13 no podemos escribir la ecua­ción 6-4.

Vemos entonces que el tensor 7<~'K es nulo en espacios euclideanos y es dis­tinto de cero en espacios no euclideanos; en la geometría diferencial se estudia el significado geométrico de este tensor y se concluye que 1<tlt. es una medi­da de la no-euclideanidad del espacio es decir de lo que difiere el espacio con­siderado con respecto al espacio euclideano; por ejemplo en una esfera 1<.0'1<' es un tensor cons tante sobre la superficie y nos mide la no-euclidearlidad de la e s­fera en un punto es decir la "diferencia" entre la superficie esférica y el plano tangente de ella en el punto.

Es por esto que el tensor 7<.L:;'1<, se denomina tensor curvatura, porque nos mi­de la diferencia del espacia dado con respecto al euclideano, es decir su curva­tura.

CAPITULO XI •

TENSORES RELATIVOS

A- JACOBIANO DE UNA TRANSFORMACION

Se presenta en la física una serie de cantidades cuya ley de transforma­c ión al cambiar de sistema coordenado es muy semejante a la ley de trans­fO!lnación de las componentes tensoriales; la única diferencia radica en que aparece el jacobiano de la transformación \.d1 L·.1 elevado a una poten-

aXJ .

cia entera W ; estas cantidades se llaman tensores relativos; por ejemplo: si A~ es una cantidad tal que al pasar del sistema j r: al sistema x c.: sus componentes se transforman según la ley;

A',., -=- \_()'j~'.\uJ d2~ d),K A'< A~ rm dy"J ap ox...... K. decimos entonces que 1<.

es un tensor relativo mixto de orden dos y peso W .

Antes de estudiar más en detalle los tensores relativos repasemos algu­nas ideas fundamentales sobre el jacobiano.

Supongamos un conjunto de cuatro variables ( U, v J x)) ) relacionadas a través de dos ecuaciones:

11-1) F ( lÁ.¡ v) ;L ¡ lj') ::: o

b (u..¡ v):;(..) ')) =:. O

. Nos interesa encontrar la condición que se debe cumplir para que poda-mos expresar dos de las variables ( .AL¡ 11 por ejemplo) en función de las otras dos ( X, 'j ); es decir: qué necesitamos para garantizar que pode­mos encontrar las ecuacione s A.,...{..:: f 1.'X., 'J } ¡ V:: ~ r... )(..) lj ) ?

Supongamos que existe un conjunto de valores ( .Mo, Vo J X-D) 'fo ) que satisfacen las ecuaciones ll-l r por lo tanto:

Ao '" j CX-fJ) ':f.)

Vo:: d- CXo ¡ j" )

Si jCx, 'J) y ~(XI j) las supone mo s aptas para s e r expand idas en serie de Tay lar en el entorno d e ( XO¡ jo) tendre mos :

100 •

+ ........ "' ......... ..

-+-- ... .. • . ... - .. .. .. .. .... . ..

Esto corresponde al desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias variables (ver por ej. Ivan S. Sokilnikoff, Advance Calculus, Cap. XII funciones implícitas).

Para poder garantizar este desarrollo se necesita la exis tencia de las de-rivadas e t-), J (~~1 ,(~{> t, (~~t1)0, <)'/>1 J

•••• - '" ••• ) (:;). J ~ ;)0 I ~a2!2) o ) (~~.; t l ~ffL JOJ . .. .. . . ; ..... .. , .. ..

Veamos ahora qué se necesita para que existan estas derivadas. Dife­renciand.o 11-1) con respecto a x obtenernos ( y ,x: son variables in­dependientes) :

+ d f élV _ O - '1'- ___

-av a-x..

y por la regla de Cramer se obtiene:

aF dr -();(. iYV

dtL 04. C>6_ - ::';:[ av -- - - ~...,~-~...!:.--

ClX )

aF -;;)t-(.

d(" -a u...

dF -dI-{.

a61 al-\.

;:)F aX. ~~ . ax

-qT:. •

av c;>6t -av'

101

Si el denominador J:=. d¡: "OF • - -dc..t.. .aV

::/-0 para <.:u c:>, Vo ... :to /Jo)

dG. ~Go . .

,dllL d V

entonces se puede calcular (0 ..(,{..) Jó I- ) a:Z o -ra~ o y

Análogamente de calcular

, diferenciando 11-1 con respecto a y resulta que se pue-

(du..) _ (dJ..) (av \ _ (di') dijo - d':1 o y l.:a:5) o - \d j o

siempre

que Y * o ; ahora, el cálculo de las derivadas de mayor orden que a­parecen en las ecuaciones 11-2 se hace a partir de las 1 as. derivadas; por ej emp1o:

J \ df (jF I aF dF aF Glr di" aF ~ - - .=-- - • - - - av éJu. av ;;;u. <JV a x.. dÁ é)'I/

.d f- .Ó - ---2lG d4 dX 'db a..k ij dGt g ¿-t. a.:x

\ a~ - - - ~J -;)()... CJV \ 2;::L ;3V a.:x.. av a u.. ClV ---

similarmente, obtenemos : • J vemos nueva-

mente que el requisito para que existan estas derivadas es que, ::r"* o ; si esto se cumple en ( -u", VD, ")CA) :1" ) entonces se pueden calcular:

y

Obviamente para que también existan las 3as, 4as .... derivadas S9 debe cumplir I:¡::. 'O en (..ÁÁ.- o , V",) Zt:;JJ 'jo ).

102

Una vez calculadas estas derivadas las llevamos a 11-2 y con esto co­nocemos las funcione s u = t ( X ~ 'j) y v= ~ l."]¿) :i ) expandidas en serie de Taylor.

Este problema nos permite resolver el siguiente: si )(. ~ 4 ( u, 1/) Y y= ~ ( .-U, v) qué condición se debe cumplir para que podamos expresar u, v en función de ~ ~ ':Lesto es: qué se debe cumplir para encontrar u = f ("X, Ij) y V = ~ ex , 'j)? tenemos:

11-3) f:.(u.,V,'X.JJ )=- c}Cu.,V)-x:::.o

¿; (u/v, ~,)J=- J (u J v)-l-=-o

Para que en F y G se puedan despejar cesita tener 7*0; ahora:

M- V - J -

hemos vis to que se ne-

aF -

- ;;IA... )

y resulta:

d~ . '

T::.

""- ~ J

dV

; la derivada parcial de una función con respecto a una de las variables se obtiene manteniendo constantes todas las variables menos aquella con respecto a la cual vamos a de­rivar, por lo tanto de 11-3:

d 6, -=-_. - a .8. d Á,.Áo J

Por medio de un procedimiento completamente similar al desarrollado pa­ra el caso anterior ( dos variables en función de otras dos) podemos obte­ner la condición necesaria para que si: j";:. ,)t'( X',x l )" _.' ,. X""") entonces; 21.':;. 2"( 1', '11." ........ j ..... ) I i=l,2 ... n

Esta condición es la misma obtenida para el caso de 4 variables es de-cir T=I O siendo .

•

¡

•

103

•

~ d'1' ~ 'jI ;;)" 'j I • • . ~ .. .. . • • • • •

;:,) X I .aX1. d:ll' óX""

~ d '11- ,;) ~l. d'J t

• • • • • • . .. .. ~ .. . .. .. , a x"'" d .)l' aXl ;a Xl

, •

• • • • • • •

J:=. , • • •

• • • • • • • • • • • •

~ .?J':J .... ~ • • • • • • • • ó'j .....

óX' -a.xl. a Xl ax""

El jacobiano]"" también se puede simbolizar como

Como conclusión podemos afirmar que si un conjunto de variables 'j L •

está en función de las variable s .x"" entonces podemos garantizar que las X~' se pueden expresar en función de las J t' siempre que el deter­minanteI::. I ~ ~ ;.} -:j:o( i I j= 1, 2 ~ .. n), en toda la región para la cual se

definen las funciones '-lL: __ ut'( -..JI ... , J J ........ - -- :::L I . •

Podemos ahora preguntarnos por la relación que existe entre el jacobiano ,

(cuando queremos expresar 11' en función de las J' L' )

• y el jacobiano (cuando queremos expresar 1 t.. en fun-

ción de las:tJ ) .

Supongamos un conjunto de n funciones E,.) E,~ .... E,,,,, de las n varia-. .

bIes J', JL. . . . . . J "" y supongamos que las ;:r c.. son a su vez funcio-nes de las variables x', Xl, - __ . x""; se puede uemostrar entonces la siguiente igualdad de matrice s:

l04

dE, ;> El .,) E. ~' d'j I - - -- ...... _. d 'j' ;> j 1. C):J'"" • . •

"Ox· o .x 'L

af .... a él. dEl: ;:)':S~ - ' , , , .. . . . dj~ ;;J 'j • ~ 'p. ;)) ... , , •

ll-4: é) .x' a..x"l. • • •

• , • , • • ,

• • • •

, d'j .... ci;!'" dE,." ~ l3h'! dE", . • • • . • . • • • <:).x • a ){."I. ,:)j' C3j'Z. ~j""

\'I! } (:r. )

.. . .. ... .. .. .. ?>i:. -:d.x.. ...

- • - • • •

• • , • •

· dE.,.,., ~ ~~ . . . - . • a:x . d .:t."'-

(J 1 t )

esta ecuación es columnalde ( II )

cierta ya que el produc to de la fila 1 de

-

~' + a X,'

es:

8~!... ~j2; él'j'!. 9x'

-

+ '. '" ..... + ~E., -::J'jrr, ;;) '1'''' d .l:. •

--

• • • a'j :

2lx ....

.;) 'jl , • • -a~ ..... • •

• • • •

ti':f"" • • •

ax. ......

( I) por la

que e s el término (l,l) en la matriz e III) Y en general el producto de la fila i de ( I) por la columna j de ( Ir) es -

2) el' • <:) '11.

~:LL. a-xJ

+- ' . . , , . .

es el término (i, j ) en la matriz ( III ) .

.

. ' + a 'j .... _ .

En el caso de que tef'gamos los dos tipos de ecuacione s :

-a :xJ que

:¡t'= Ji' (-;:¿ " X' I -- - x'" ')0.'.= I.~ "17'1) Y su transformación inver-) J

sa: -X i '..:- ~c" ('j', j2, ___ . J~ ') J podemos encontrar la re -

105

lación entre funciones

sus jacobianos si consideramos a las X( -= g,' {'J" . . ;.,,) como las E L' de la ecuación 11-4 y por lo tanto:

• 1

d.:t ' d)' I a '1' , dX' •• • • <::l.)t' d 'jI , • • • • • • • •

~ J' 8 ':P' CJ'1-" aXl oX· ~::t-¡ I 0-41- ,a..'l:';-. . - , . • ~x~ d ')1.. -<3 'i 1: .. d'f2 1 sJ">1 • • • •

d 'j' é) j'L éJX' ax. ... aY... .... I • • • • •

, • • • • •

• • • dX ..... é)~: a x'" ,

• , • • • • • é>'jl d 'jt a.::s"" ~'f~ ~'j'" , <31'" . • • ,

, ox' o ::(.1. a.-:t....,

dX I dX I s;Jx~ \ o o o • • • • • , • . -

at,1 c3X1. a.:r"">1 a;r1. O I o , · • • o

"9:(l. 9x~ . . , , ' • ax' é7X].. 0-1:."'" - O I :::I - o • · - , o

, • , •

• ;)2-: a:t.:~ a x. "'" ,

\ , , • •

OA o o o , , • • a;x' 2).x7..

resulta pues que la matriz del jacobiano es la inversa de la

matriz del jacobiano y por lo tanto como el determinante de

un producto es el producto de los determinantes obtenemos :

11-5) _d_X_~~" 01 J~ ) -1 es decir el producto de d 'j J d X (' - J

los jacobianos de las

transformaciones inversas es igual a 1 •

B- DIFERENCIALES DE AREA Y VOLUMEN EN COORDENADAS CURVILINEAS.

En un plano sobre el cual tomamos el sistema cartesiano ( :x) 'f ) va­mos a tomar unas coordenadas curvilíneas ( .-U., v') de modo que:

11-6) X=-cP,lU,V) J -=- c1-z. ( u.. V )

106

Si el jacobiano J - \ ~ (x, 'j) \ es distinto de cero en todos los - d(U.V)

·de una región dada del espacio entonces podemos obtener:

u. =- J. C~. 'j )

V: h. Cx,'j)

puntos

Las ecuaciones [,( = cte, V = cte representan ¡famIlias de curvas y

cada curva de la familia obtenida para un valor distinto de la constante, , por ej emplo si . .L-'l..::.-Q-. y V:::.., o sea coordenada s polare s en el plano ( XI J ) entonces --u...:: cte, V=: cte nos representan respectivamente un haz de radios con centro en el origen de coordenadas y ' un conjunto de circunferencias concéntricas de radio 'í =ete cada una.

Sa remos que simplemente el área de

el diferencial de área expre sado en función de d..:t.. y ~ es -: el A = d...x d d ; nos proponemos encontrar dA (o sea

P, p, 7y.. '?3 en el dibujo) en términos de dl4.., Jv.

x.

El punto p/ tiene líneas ( ..A-<. IV) es

coordenadas carte síanas (:(,::f 1) Y coordenadas curvi­decir r según 11-6:

X 1-- tf¡ (U, v) ) 'f,:: cj 7. (U, \.1 )

•

107

Las coordenadas de '?z. son ( ::C"l,)l. ) Y (A.-(., V+dV) debido a que el punto P<. está sobre la curva u=. ete, por lo tanto:

x~ :: c),- (U,II +dll)

J,-:: qz (u, V+dv)

El Punto P3 e s tá sobre la curva V = cte por lo tanto sus coordenadas son:

X'3= 4>, [u+du... v)

J 3 = c;L- (..u -+ d.lÁ.., V )

y las coordenadas de P¡¡. son:

-:::L 'f:::. r:p / (u. -+ el I,Á. • v + cl. v )

':f ~:: t}J"t. ( U. + d lA I v +d v )

Podemos expandir 11 ¡ ':5 -:1.. J X 3 J :J 3 en serie de Taylor en el en-torno de Ji " ':5 1 (o sea de --u.. V ) despreciando los diferenciales de orden mayor que el priímero , por lo tanto:

...J. ,J,) + ~4'1_ d V x-z.::. Cf,(u,v+dv) ~ y, lU.JV av

)1.::: cPl ( U. V-I-cl v) = el, (u/v) + ~ d V élV

~3.::: q J (u -+.J u.. v) =- ~ / (u IV') + <:)(j 1. el 4...

J3:: 4Z.(.A.J.-1-dtA..,V)= p<- (u,V) + ~~~ du. .;)u

El área de 7 1 P2. 'Pt.;. P3 es aproximadamente igual al área del parale­logramo 'PI -PI. P3 ; la aproximac ión se convierte en igualdad si tomamos el área cada vez mas y mas pequeña de modo que los segmentos curvili­neos PI PI) P, P3, P3 -p~ J Y "Pz. 7'}L se conviertan en segmentos de línea recta; ahora: el área A del paralelogramo "Pi ? ... P3 es igua 1 al módulo del producto v;;torial J>/~ >t P,?} pero:

'P I P2 )<¡ 7, 1>3 ::. [~l.-x,) 7 + (j"L-:Ü7]x[ft>-X,)L+('k1,)T] ...... L --

:r

11 -7 + A=-- ':h \

•

108

• ,

Colocamos el doble signo ± para tomar aquel que nos haga positiva el é.rea según el signo del determinante.

Resulta entonces que el área ( dA) es:

J. eP, <P~ I x. 1

dA _4- J'L- I + ~ + 09. J .. 41.T aq ... ,j-.¡ \ ::tlo --- - - I .1'1 ;;)'1

:t. ,:! '13 \ ~l + -a&'.dU ~<+9lh dÚo I éJ<.<.. ;)t..L

1) c/;z. I 2>Q, d" ~dv' --t OQI. dO¡ 2)q?,.. d y' - O 1-- Jv' ay -d-l .¡)V - - =/

atP¡ clt..L .aq":du. O '?Q I .,)1.(. d clz... el t.t 8L<.

dL<. ;;)IA.. é)Lt

dA=+ d <PI d ~l. • -

~v' av du...civ -at};1 d ello - pero este determinante es c;>u.. .)L-l

el jacobíano de las ecuacione s de transformación 11-6 por lo tanto

11-8) ' dA'"- ±.J dt-t.dv == Irl du..dll

En forma semejante podemos resolver el problema de encontrar el diferen­cial de volumen referido a las coordenadas curvilíneas: ..A..-<- J v.> uJ

En este caso tenemos 11-9) X == cP, (lÁ, vJ u)) )

.J ::: cpz. (u. I V, w) -i: = cp, L U , ¡} J uJ) , I

Se puede ex pre sar en función de x'J ~ I i si el

jaco;)iano de 11-9 no se anula en l a región considerada Y en este ca­

so obtenemos:

•

109

.AÁ- ::. J, (x, '),2: ) J V::: 1'1. (~, 'j, ~ ) w - f;, (::t,~,~). -

•

l'

, • I

,-......¡. ..... ' /'-----/ 1'.)

I I

/ ,

'1, (U,¡/JW)

Y'+.!v " 176 •

~.

(Ah f, ::. ,'CJ,. V~ b (.:r,1.i) = (:T.t..

Si colocamos ~ = cte obtenemos una superficie ( ya que x, y, z queda­rían ligadas pudiéndose expresar una de las variables en función de las otras dos) y similarmente V =cte, W =cte. representan superficies; para diferentes valores de las constantes obtenemos tres familias de su-

• per:ficies las cuales nos ,"cuadriculan" completamente el espacio. Las coordenadas cartesianas de PI son ( xl. y;t~) y sus coordenadas curvilí­neas son ( ..-U-, v, u.J );las coordenadas de ?"?. son: ( x'Z., J~J ~l. )

Ó (....u. + du, v, UJ ), las de 'P3 son ( X3, J".},~) ) o' (...u., V+dv, 0 ) ylasde 'PI¡. son: ( xv-, J<;,?:¡<) ó(..u.,v,w+"<:tt.U);

el volumen del sólido :1',;b 7"PJl- .:PE -:P" :E:¡. :E e es aproximadamente igual al volumen del paralepípedo que ;¡asa por esos mismos puntos; esta aproxi­mación se convierte en igualdad si tornamos el elemento de volumen lo sufi­cientemente pequeño de modo que los segmentos curvilíneos se conviertan en segmentos de recta; pero el volumen del paralepípedo es igual al produc-to mixto:

Ahora:

v ::: t -

(X1..- Y I) ( +--. ( X3 -XI) i. + ( .tv.-~. ) T +

Xt -x, X3 -:i.¡

;i. t¡ - :XI

(1 ... -1.)T + (:z.l.-~\)lZ eh-JI.') T + ('b-'i,) -¡( l J' If- )') T + ( 7:. '+- 7: ,) '?

i! z.- =t:¡ ~3-~J

~ '1- -=t ¡

t-I

Pero : x,:::. eP, (lA., V, tAl»)

:('L = q, -r aq, " d Vl é)Lt. I

110

J, =- 4'L ( u.. 11 , LV) ,

:¿1.:c13+ -aq,.3,dc..L C>"L

;{. '3 = Q. + ac:j,. dV' ) I •

:h= <?&.+ d~"" dt..t, d~

tj ~::: cf'l. -+ ~ fl. d 11 I ::c. '3::' ~3 + arp3 d v

-"'>

av .x ~ = ~ I -t a ~I • el "" , '1 o.; :.

dIAl

a~, J~ ~~2- ~ 8\0(. 091-1.

¿JI dV a ~2. - dv o ev' ;;;11

dv:: ! e>d>J ti kJ él ~'Z. duJ -.;,:,¡,(} aw

CJ r} I :a ~'Z. -+ dUo du... - -

~cJl o~ . ay av

::JtPI arh •

avJ d W

C)V

q~ ~ é)CP1..duJ J

f:)uJ

, df?J.. dUo .dU

,;;) r}:3 d '{ •

El'"

:J 13 ciMJ ;)W

'2r ~3 " -. oLA..

C7(h :

-o€JV

?J.l é)w

• eJ.v = tI \ cUt. dv dMJ 11-10

c- TENSORES REIATIVOS

,

a" ~p.: cP3~~c}3dLu

• é)1() ,

';,

Existen cantidades cuya ley de transformación incluye el jacobiano del cambio de coordenadas elevado a una potencia entera. Un ejemplo es el determinante del tensor métrico g .. j' ; hemos visto que g"J" es un tensor doblemente covariante,por lo tanto al pasar de las coordenadas 'j t' a las .:t lO se transforma en ~II\~ según la ley.

11-11)

Esta ecuación se puede considerar como una igualdad de matrices si hace­mos variar i, j}c 1 en su rango; para realizar esto debemos colocar 11-n) matricialmente así:

o

11-12)

111

-

Si en la matriz el índice 1. corresponde a filas .y j a columnas en-

tonces en la matriz el índice i corre sponde a columna s ( la colum-

na i) Y en I el índice j corre sponde a fila s (la fila j); por lo tanto I ,

oJ' '"l [ -ox.' J es la transpuesta de r ~~~] ; en la ecuación 11-12 se efec-

túa el producto de [ ~ ~~~ 1 por la matriz producto [~,'.,j J . [ •

Por ejemplo en el espacio de 3 dimensiones 11-12 queda así:

I I

I

JI3 () dl1- oj' <>j: a'j3 áll ~ .. ~I'!- di) ;} JI a 'S ~ d ~' -a~' • ~Xl aL' -

I I j c3:t I d.l 1 d.x J

d~1 aU. ~~ - ~ll ~jl- 0:1 3

~\ ~21 ~l.3 ':1'- d:J 'Z. ,;)~~ - - • -ax'" é) Xl. .;>.x. '- • • I I -I d.x...\ () x'- ~.x.")

~31 ~~ ~33 ;)j? aj' ~)~ {J31 ~31. ~hJ - . dj~ ~ o- :j"?> ax3 0.1) ';.x:) • aX.' ¡;'Xl 0;:(3

•

112

1

Cada término la columna ~

d IC.t de (1) se obtiene de V por ejemplo:

multiplicando la fila k de II por

~2' dj' . 4- ~j? d'1~

G).::t.1. c9xJ ~31 ..... é)'j~ n"l. dn.

ax."L 8.x>

I

Y como dl'J = :!Jt' coincide este valor de d 23 mo el término (2 I 3) se la matriz [:1 K.E J .

con j 23 obtenido co-

Sabemos que el determinante de un producto de matrice s cuadradas es igual al producto de los determinantes de las matrices ¡ si aplicamos es ta regla dos veces sobre el producto matricial representado en 11-12 resulta:

Hemos dicho anteriormente que y [ son matrices

transpuestas, pero el determinante de una matriz es igual al determinan­te de su tranpuesta por lo tanto:

y resulta:

11-13:

I 1:> •

•

113

Concluirnos entonces que el determinante del tensor métrico ~~ (escri-to corno matriz) se transforma como un escalar pero multiplicado por el cua­drado del jacobiano de la transformación de coordenadas; decimos enton­ces que 3- (el determinante del tensor ;¡ I~_( ) es un escalar relativo de peso 2; de 11-13 obtenernos: \lW -:=.. ""J" J-t :11-13a) es decir la raíz cuadrada del determinante de <J 'jO es un escalar relativo de peso 1; ir.t:ooucimos el (érmino relativo para diferenciar estos escalares de los escalares absolutos; por ejemplo la temperatura en un punto de un cuerpo

• • se transforma al pasar del sistema coordenado;¡ 1. al sistema :x t según la ecuación: <f (:t") -=. § ( '1 '") es decir es un escalar absoluto ( o escalar relativo de peso cero! ).

Otro ejemplo de escalar relativo lo constituye la distribución de la den­sidad en un cuerpo; sea un cuerpo de masa M y densidad física ( masa/ volumen) f variable de punto a punto en general; si referirnos el cuerpo a las coordenadas cartesianas (llamémoslas j L' ), la masa del cuerpo se calcula a sí:

11-14)

Si referirnos el cuerpo al sistema curvilíneo X 1. el diferencial de vo­se transforma según 11-10) en el 11' =

siendo I rIel jacobiano de la trans-lumen J v d:{' cd '1"1.. d::r"}

\:r l. d:t.'. Ax. ... clX 3

formación o sea el determinante lo tanto:

con:

la densidad física

es un escalar absoluto o sea f{'f'j"t.'j J).= f (-x' ~1.X3) por lo tan-

to:

11-15)

Si en 11-15 considerarnos el producto d.::x.'. el. x'l... d. y'3 corno un supuesto diferencial de volumen,entonces r(~'xZX3) 1.T J ~s una distribución de densidad ( no la densidad física la cual es escalar abso­luta) y desde este punto de vis ta podernos decir que la dis tribución de den­sidad es un escalar relativo de peso - 1 ya que de 11,14 y 11-15:

, ~

114

,

Para generalizar podemos considerar ahora cantidades cuya transforma­ci':n (la de sus componentes) al pasar de un sistema coordenado a otro e~ similar a la de los tensores solo que introducen el jacobiano J" eleva­do a una potencia entera w ; estas cantidades las llamaremos tenso­res relativos (por oposición a los tensores absolutos) o también densi­dades tensoriales (por analogía al escalar relativo distribución de den­sidad) .

Por ej emplo, JI.: a '";L"o

si un conjunto de cantidades según la ley:

o

JIC. A ¡ se transforma al pasar de

decimos que las

son las componentes de un tensor relativo mixto (covariante de orden 1 y contravariante de orden 2) de peso W o

Es muy importante resaltar que toda la teoría desarrollada en 10.3 capítu­los anteriores no se aplica a los tensores relativos ya que en esos capí­tulos supusimos que la ley de transformación de las componentes ten­soriales no involucra al jacobiano; por lo tanto el tensor relativo no es un tensor en el sentido que le hemos dado a este término hasta el momen­to; solo cuando el peso ( uJ) es cero coincide el tensor relativo con el tensor absoluto y por lo tanto podemos con siderar los tensor ordinario.s ( d absoluto.scomo casos particulares de los tensores relativos).

D- ALGEBRA DE LOS TENSORES RELATIVOS

a) Suma y Resta: La suma de dos tensores relativos de igual número de índices covariantes y contravariantes y de igual, peso W es otro

tensor relativo de peso vJ o

o o

Por ejemplo, dados A~ /( J

8;~ entonces: l

I d x'4 A~'K A lv_ :r"' 3 x""'" O}'j~ P - p - - -d'ji 0':1" e; x. 1>

I (} \(" .

:r w óx«¡ _ oX" ;;) 'j lO _ :i3 ~ ~ J3'f -- - . l d 'j.í C>'jl< e>X P -~

11S

. A

JI(

1 .¡.

•

B~" I

tensor relativo de peso

b) Producto exterior: el producto exterior de dos tensores relativos de pesos W, y W-z.. es otro tensor relativo de peso Wl + W"l. ;por

• JI. '"""" ejemplo, dados A~) B 1 entonces:

~/

Á 'l'" _ I "". a..x ~ d 2L '1" d 'j~' A t f d'ji ~~; a;-..

13~ = J~1. ax~ ~lp.. B;' é) :1'''''' ~ x. >

A Jl" 1'< 1;;> 'W\ .. 1 • -LJ R tensor relativo de peso tU. -t \..I.It Y orden

covariante y contravariante igual a la suma de los respectivos órdenes de i!( """ A ¡' y B!(

c) Contracción: si se iguala un índice covariante con un índice contra­variante de un tensor relativo de peso LV y orden covariante..s y contravariante y- obtendremos otro tensor relativo de peso LJ y órdenes covariante y contravariante (..$- J ) Y ( y- - 1) respectiva-mente; por ejemplo, dado A l~' tal que "

A' tl ~ - w .. a::1 ~ ~ ~ J~ i1 x p. A (~ 'YYI ,., J ~ ::t 'Y'I'\ a .::C'" ¿;¡:) '" J

si igualamos tendremos:

i Y k Y sumamos sobre este índice mudo , 1 ob--

t

A':M =. :r \Al ~j l: d ':1J~

~x""'" ox"" pero :

I \'

Af'Mrn = y ¡>

~ 'W\ ::. I para m = i

sor relativo ) por lo tanto

de peso uJ , orden covariante 2 -1 = 1

(

A ,-j' es un ten-y orden contrava-

116

riante 1-1= O es decir es un vector covariante Aj'.

d) Producto interior: si efectuamos el producto exterior de dos tenso­res relativos de pesos uJ I Y (lj 1. Y de órdenes covariante y con­travariante Y, J~ ¡ Y Yl, S 1. Y luego igualamos un índice cova­riante de este tensor producto con uno de sus índices contravarian­tes obtenemos un tensor relativo de peso wl -lo W-z. y órdenes cova­riante y ca travariante ( y, .... 'Í'1. -1 ) Y (5, +.h - I ) respectiva­mente; esto se deduce directamente de los dos puntos anteriores.

e) Obtención de un tensor absoluto ( uJ:: o ) a partir de un tensor relativo. Dado un tensor relativo de peso uJ, si multiplicamos ca­da componente de este tensor por cualquier escalar relativo de peso 1 elevado a la (- w ) potencia obtendremos un tensor absoluto; demostremos esta importante propiedad.

Sea B un escalar relativo de peso 1 , esto quiere decir que si en las • • I

c~ordenadas JL el escalar vale B, en las :XL v':lle .13 de modo que 13:: -:r B ; elevando a la W potencia re sulta: 11-16) : :By) =- -:r\AJ 13 w ; ahora supongamos que tenemos un tensor relativo A ~f

de peso uJ , esto quiere decir que sus componentes se transforman .-

aSl: ;J 'j t'

-

Multiplicando ambos lados de es ta ecuación por ,J3~....v y pasando :::rw a la izquierda del signo igual obtenemos:

B~L.fJ I

K a-w t a.:x t ~ '1 L' •

Ay~ - C> :JJ A .. - . - --w .;> ~ )( ax"" a.x j I.j J

J3-w I

Pero de 11-16: :B LV por lo tanto: • ~ --.::yi.U

( 8-w A~j ) ayt: , • (B-WAl~') - a 'j t ;;; 'jJ

- - , •

a '1" ax"" a.:t J

-uJ A K esta ecuación nos dice que -J3 tJ" es un tensor absoluto ya que no aparece en su ley de transformación (o mejor aparece

.::r a la potencia cero).

Como ya conocemos (ver ecuación 11-13 a) un tensor relativo de pe-

f)

117

so 1 podernos utilizar V1- para obtener tensores absolutos a partir de los tensores relativos; por ejemplo si A:)· es un tensor relativo de peso vJ entonces el conjunto de cantidades (Vfi. )-W Al} o sea <r"i'i. A~<' es un tensor absoluto 13; .. Propiedad fundamental de los tensores relativos: análogamente a lo visto en el capítulo VII sobre tensores absolutos podernos afirmar aquí que si un tensor relativo se anula para un sistema coordenado

~ e se anulará también para cualquier otro sistema o .:z L: que se pueda relacionar con el 'j lo: por medio de ecuaciones del tipo 3-1; corno consecuencia de lo anterior se puede decir que si dos tensores relativos de igual peso y número de índices covariantes y contrava-

• riantes son igu~les en un sistema 'j L. serán también igu~les par~ to-do sistema .x'; por ejemplo si en jL se cumple que A LJ -=- ELjo

~ '1< 't(

entonces en XL se cumple A t'.{ -:.. Bc') esto es cierto ya que A~o-13IJ se anula en J /.: y por lo tanto' también se anula en :Xl.. •

CAPITULO XII ,

TENSORES CARTESIANOS

A- INTRODUCCION

Se ;>resenta con mucha frecuencia en ingeniería la transformación de u­nas coordenadas cartesianas en otras coordenadas cartesianas; cuando transformamos unas componentes cartesianas de un tensor a otro sistema también cartesiano decimos que el tensor es cartesiano; esta forma de hablar no es rigurosa porque como hemos visto anteriormente un tensor es una cantidad independiente del sistema coordenado) lo que cambia es el va­lor de sus componentes; al decir que un tensor es cartesia'no no nos refe­rimos entonces a una cualidad intrínseca del tensor sino a los dos siste­mas cartesianos entre los cuales se transforman sus componentes.

Si J L' es un sistema cartesiano y X C,,' es un nuevo sistema pero también cartesiano entonces la relación entre esas coordenadas es la siguiente:

12-1) (i, j= 1,2 .. n; j índice mudo) ,

En esta ex presión los coeficientes Qtj' son constantes y son los res-ponsables de la rotación de los ejes JI. hasta convertirse en paralelos

,

a ;t tia t'j' es pues el coseno del ángulo que forma el eje x. C,' con el eje 1 J ; C{c es también constante y es el responsable de la transla­ción del origen de los ejes j l.: hasta el origen de los nuevos ejes .xL' •

La ecuación que convierte los ::JJ en ~ L' es: 12 -2 : ~,j'::: aLj' :::( l.: ~~' siendo alJ el coseno del ángulo que forma el eje xc.. con el eje j' r al final de e sta introducción j us tificaremos 12-1 y 12 -2.

En el capítulo VI vimos que lo que caracteriza a un tensor es el hecho

• l

de que sus componentes se transforman de un modo peculiar según una ley de transformación que involucra las derivadas parciales de las nuevas coor­denadas con respecto a las viej'as coordenadas o viceversa; si tenemos un tensorcontravariante de orden 1 ( un vector) A J' sus componentes se trans-forman en A' t' ( AJ' expresadas en el sistema :JJ' , A C,' en el sistema

,

:XL ) así:

Ahora que

J , Al:::.

•

,

y X l son coordenadas cartesianas obte ne rnos de 12- 1 eLl~( Y por lo tanto:

119

12-3) I ,

Al;::. a L'J ,

, I

Ahora I si AJ" e s un vector covariante en :f J Y A l' son sus componen-, tes en el nuevo sistema :i.. 1.. esas componentes se relacionan así:

,

S i :~jJ y -.x. L'

y por lo tanto:

12-4)

, Al =

son cartesianas obtenemos de 12 -2 I a()' (12 - 3a)

De 12 -3 Y 12 -4 observamos que la ley de transformación para las compo­nentes contravariantes de un vector es exactamente igual a la de las com­ponentes covariantes y por lo tanto podemos concluir que en coordenadas cartesianas no hay diferencia entre componentes covariantes y contravarian­tes; esto inismo también puede ser deducido del hecho de que, como vimos en el capítulo 3, en ' un sistema cartesiano coinciden la base directa ( ~: ) y la recíproca ( 8l ' ) y por lo tanto las componentes de un vector dado según esas dos bases (componentes contravariantes y covariantes respec­tivamente ) también coinciden,

Como no hay diferencia entre componentes covariantes y contravariantes utilizaremos un subíndice para designar las componentes vectoriales y las llamaremos simplemente componentes del vector sin agregar el adjeti­vo 11 covarían te 11 o 11 contravariante ", S} tomamos ur: tensor mixto A; se transformarán sus componentes' en A..e:' (Jt viejo sistema, J( L'

nuevo sis tema) según:

A;~ = ,

Si tanto :Y j. como J J' son sistemas coordenados cartesianos la ecua-ción anterior resulta:

'''l'\

A~'M =

Si el tensor es Al'.f Jo( se transformará así: I

12-4a) AR"'YII'rt ::: QQ,' a"""J aMI' ALj'K

Notemos pues que la leX' ,de transÍ~rmación de A l~' es idéntica a la de ALJ'j( (y a la de A LJ K Y AL; ) es decir no hay diferencia entre el

tensor mixto de orden 3 y el covariante de orden 3 o contra variante de or-

120

den 3; esto mismo se puede concluír notando nuevamente que al coinci­dir las bases f,o y t no hay diferencia entre componentes según

l[; (componentes contravariantes), c¿c (componentes covariantes) o según iL" y 'J; (componentes mixtas).

Como resumen de todo lo anterior podemos decir que si las componentes de cualquier tensor se transforman de un sistema cartesiano a otro tam­bién cartesiano se pierde la diferencia entre covariante y contravariante y sdo necesitamos utilizar un solo tipo de índices los cuales corriente­mente son subíndices. Para terminar esta introducción pasemos a justifi­car 12-1 y 12-2.

Sea A un vector cualquiera en el espacio tridimensional y fijado al orígen Q de la s coordenadas cartesianas J LO (i= 1,2,3 ) i si en ese ori­gen tomamos otro sistema carte siano x t.

0

(i= 1, 2,3,) encontremos la expresión de las componentes AL (componentes de A según los ejes 'j LO ) y A (" (componentes de A según los ejes ;( LO ).

X"l, '\

\ \

Y-l

\ \

\ \

1

\

121

Del gráfico tenemos: ,

Al';:; . /"- -"'-

A"} c..o~(~03) A, ~ (~I JI) + A~ Goj (~'J1..1 -l-

, /'-

A3 ~ (:(.0.3) ..;1.- A lo L.O S (.)[, Jl. ) + Az - A, ~ ( ::i..1- JI) +--I ...... .......

lb - Á, ~ C~-;j,) + Az l.M (:::L3:h) -+ A-:, c.os (:~3J.))

......... Si !lamamos a lj'::. ~ (x. .. :L') resulta:

I

A, -= a:1.j Ai l

~ '-::: a~J' Af A3 ::.. 0-3J AJ'

En estas 3 ecuaciones j es un índice mudo; las 3 ecuaciones se pueden escribir en una sola así:

, 12-5 Al' = aCJ A J' • • j: índice mudo == 1,2 I 3

En el caso de que el vector quiera P e:J, j. j)) ó da:

¡;: sea el vector posición de un punto cual-p (x. "X.-z. ")(.3» la ecuación anterior que-

, Si el origen de los ejes ;L. L no coincide con el de los ejes ~ i I (

entonces 12-6) ~ XL';::.. !ltJ 'ji + a.. L' siendo LL l' la distancia me-dida a lo largo de J ¡' entre los dos Drígenes y esta es precisamente la ecuación 12-1 la cual se escribió para n dimensiones. Ahora, similar­mente las componentes AL del vector A'? se pueden expresar en fun­ción de las A' (." así:

I ....... A~ Al

- Al C-.lM(x,'j',) + -,

A2 - Al, ~ (x~J + A 1-- ,

......... ~ (~:L ) -f A 3 c..tY> (X3 JI)

....- I ---

~ (Xl 1J + AJ Cér; (x.) ~h )

I éX0..3 ) + A <. A3 - A/~ -

~ o

122

y nuevamente si Q lJ" entonces:

,

I

con: i índice mudo = 1, 2, 3

, Estas tres ecuaciones se escriben en una sola así:

12-7) j= 1,2,3 i i= índice mudo

Si A es el vector posición de un punto P cualquiera obtenernos:

~ J :=. Q..¿J .x L."

tonce s: ; si los orígenes de coordenadas no coinciden en-

.JJ"::: atj" y. L 1- a..J (Siendo definido en 12 - 6) que es pre.cisamente la ecuación 12-2

Es de uso frecuente escribir matricialmente las ecuaciones 12-5 y 12-7 Y en ese caso quedan así:

- ... , • Al el" a,!. Q..'3 A, I 0./1 a1.1 a.."} I ,

12 -5) I az, alt. al.) 12-7 AL 1 Az - • 1- - Cl./1. a.H .. aH ·Al -•

A3 A3 ti3. 0...;\1. Q.;?3 AJ 1 9....:> Cl 23 Cl')) A3

y 12-9

B- REIACIONES ENTRE LOS DIFEREI TTE S COEFICIENTES

El tensor mas frecuente en ingeniería es el tensor de 20. orden. por ejem­"

123

plo el tensor de inercia, el tensor de tensiones, el tensor de defonnacio­nes , etc; estudiaremos en las siguientes secciones algunas generalida­des relativas a es te tipo de tensores.

De las ecuaciones 12-8 y 12-9 obtenemos:

COI: [ 1 ] : matriz unitaria; por lo tanto concluimos que:

12-10)

Por ejemplo en el espacio tridi:nensiona11á ecuación anterior se escribe así:

• Ct I Z. l1.:H. _ -aL3

1111 a.)

Efectuando el producto resulta:

12-11 1. ~ 1-

a" +- a..~ ¡. ct '3 ::. J 'I. 1. ....

all + an + az') ~ J 1- 1- t..

a3. + a.)l +aH ::. I

a."

(L1I -t- /lIt a.zz -t a.1~ a1.) ::.-0

(LZI lbl +- Clu..lbl +- aZ.3 llJ3 :::. V

eL31 0.11 + tbl.. Q.¡z + Q3) tu.3 "'- o

loo

o I o

o o I

Resultan además otras tres ecuaciones pero son iguales a las tres últimas escritas; las tres primeras ecuaciones nos indican que la suma de los cua­drados de los cosenos directores de una dirección dada (ejes x,,:x.z,A.) respectivamente) es igual a 1 y las tres últimas nos dicen que los ejes de coordenadas XI) :Xl) x") son ortogonales dos a dos.

En una forma simplificadas las seis ecuaciones anteriores se pueden es-cribir así: 12-12) Cl<f a.k:J' ;:::. á,·)( (j índice mudo)

Otras seis ecuaciones similares a 12-11 se obtienen utilizando 12-4 y

124

12-8 así;

lo tanto: •

Expandiendo esta ecuación en el espacio tridimensional resulta:

12-11a)

a JI QZI Q..) I a" Ct'l.. a,) I o o

a.)~ • Q.1.\ an. Q2.) ::::. o I o

a lJ arlo + Lb, aH -t- Cl..3' a:)2 ==- D

• a/lo a'3 + Qzz CU3 + aJ"2.. tl.3.3 := o

0 . .11 al' + Q..2.3 all 4- 0..33 a 3 I =- o

o 1

-/>"

Las tres primeras ecuaciones nos dicen que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de las direcciones ':J, I '1-1.., J 3 respectiva­mente son iguale s a 1 y las tre s' últimas expresan la ortogonalidad de los ejes )'. 1z, 13 .

Esas seis ecuaciones se pueden escribir resumidamente así:

12-13) (j índice mudo)

De 12 -12 Y 12 -13 observarnos que el índice mudo j puede colocarse co­mo primer índice en ambos factores o como segundo índice en ambos facto­res.

Si en 12-10 tornarnos el determinante de las matrices y recordamos que el determinante de una matriz es igual al determinante de la matriz trans-

f

125

puesta obtendremos:

~ , o (12 -14)

,

Es te mismo resultado se puede obtener a partir de la ecuación 11-10¡ Ti ,,1 son también coordenadas cartesianas entonces : ~. v J """

dv.:: dl-(.dll ¿IAJ dv -::. l:fldu.dvdLU

pero según 11-10:

, SI

pero :r es el jacobiano de la transformación que según 12-3a es el de­terminante de la matriz L o.li] ; como 1 J) -=- ' I entonces T =- ± I J es decir 1 a \'j J ':". '!: I que es el mismo re sultado de 12 -14 -,

C- TENSORES SIMETRICOS, EJES PRINCIPALES) INVARIANTES

Dado un tensor cualquiera (no necesariamente cartesiano) que tenga dos o mas índices covariantes ( o con travariante s) , decimos que este tensor es simétrico con respecto a dos de esos índices covariantes ( o contrava­riantes) si las componentes obtenidas al intercambiar esos índices son iguales; por ejemplo dado ALj- en el sistema ~ft· dec~ll!0s que es-t t ' ét' " A K A ~ A l J K e ensor e~ Slm flen en.l..r 1. si f!J = ji.) dado el tensor es simétrico en i, k si A i! j')( = A 1< J e ; si el tensor es simétrico para todos los índices covariantes ( y contravariantes) decimos que el tensor es completamente simétrico; por ejemplo A ¡~J 1( es com-pIe tamente simétrico si:

A ~,~::: A } i J( :::

Una propiedad fundamental de los tensores simétricos es el hecho de que si es simétrico para un sistema coordenado también lo es para cualquier otro sistema; por ejemplo si Ar es simétrico en J l' también lo se-rá en :t t' ya que: J

'"" ;yr' d'.fJ ax"n A~, A~IW\ = dXR ax ....... a'j~ lJ

Á:::!J. = @J~ ?)l' ?X~ A.J~ aX""" C)Xi. d j 1(

Pero x A ' ,

'J

126

, "'" por lo tanto: A,......l.

,

- AJ~

Si el tensor considerado es un tensor de segundo orden la simetría se ex­presa en el hecho de que la matriz que representa este tensor es una ma­triz simétrica"

Un problema de mucha importancia práctica en ingeniería consiste en en­contrar las direcciones ( ~'J X"t¡ X ~ ) con respecto a las cuales solo

l" las componentes A 11 J AH, A 3'} son diferentes de cera y las demás

• componentes At'J' son nulas.

Si Á tJ' es un tensor cartesiano, se transformarán sus componentes se­gún la ley ( ver 12 -4 a).

, ,

12-1 S) A I(! = O-I<t" QJ.j A LJ'

Esta ecuación la podemos escribir matricialmente así:

I I •

A" A 11. A'3 (l. .. a It- a.,> A" An. Al) 011 al' a" ,

I I

A,I Qt3 • Az' AH An •

A 21 A 1.3 -

CLZI G.n CA-u a3~ 12 -16: - D.l't

I • I

A" A.3 t A)3 (lJ' a31.. aH A"l¡ A31. AJ~ al) (43 Q33

, Cada término A x,R se obtiene multiplicando la fila k de.IL por la co-lumna j del producto ( U1 ), ( Dt. ); este producto es la matriz;

(II) (III)= Ava,. + An a,z + A2.) aJJ, J;ha 0.'/.1 -t An Q21. + Anaz3, A1.l Q.,I + AnQ.3HÁnQJl

}, A n A A}lQ.n+ A~")a ·n,A)lall+/hl4.3?:t-A.n/l.n 1i3' tljl + A :n. a/O! t- 3) <.A-H 1 ,H a.v+

J

Entonces e l término A 2) por ejemplo , se obtiene así:

127

I

AH: CL-tl (AIIQ.31+Afta~1. +AI:3(l~n)+ al.t(AtlQ.:~I ... AlZ.a:>I.+-Ana.-:n)+

+- al~ (AJI Q.31 ~ A}l a~l. + 1\~:> Q.3})

Este I

valor coincide con A z.) calculado de 12 -15 así:

t- lll.l eL]2 An + lb.) Q.):t A:Y2 + Ctv Q.)} An + CL2.2Ci.)¡} A13

+ Lb.) Q:H A 3}

I

Si en 12-16 hacemos A k~ =0 ( ;.¿ *fl. ) resulta :

I r-'

A" o o 0.." Q.,z a,'J Al! Aa. A,) a" a.ll a~ I

12 -1 7) I (, Au. A '1.) o A 2.Z o - 4.z1 ÚH o...Z3 (1/t ano a:>l -

1

o o A3) (bl a.3L a33 A~I A;Jl. AH a.'3 0.7.3 Ql)

Esto nos representa un sistema de 9 ecuaciones con 12 incógnitas (supo­niendo conocidos 10sAc.'.l, son incógnitas los a.J/ y A/I, Fi u • ~~) ):, además de estas 9 ecuaciones tenemos otras seis que son las 12-11 (o las 12-11a) ; el sistema de 15 ecuaciones con 12 incógnitas no tie­ne en general solución y por lo tanto el tensor cartesiano de 20. Orden no se puede reducir en general de modo que las únicas componentes dife­rentes de cero sean "11, A 'll, A 3>j sin embargo si el tensor es simétrico entonces el hecho de que Al'J' sea igual a Af L' implica como vimos

I \

anteriormente que A I<~ = ARto( y por lo tanto en 12 -17 solo tendre-mos en este caso seis ecuaciones diferentes; sumadas estas 6 ecuacio­nes a las seis de 12-11 llegamos a un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas ; se pueden resolver primero las 9 incógnitas a,J'utilizando 12-11 y las 3 ecuaciones de 12-17 que resultan iguales a cero; una vez encontradas las a/~/ hallamos Ii /1 J ,ti H I A 3) utilizando las restantes tres ecuaciones de 12-17.

,

Los ejes definidos por los nueve valores a IJ • I I

se llaman direcciones principales y los valores A " 1 A Zl I A 33

CL:J se llaman los valores principales de correspondientes

Al'" . -a esos

En el capítulo VII demostramos que la diferencia de dos tensores e s 0-,

tro tensor I sabemos además que el de Ha de Kroneck:.er & t es un ten-sor de segundo orden ( ver ecuación 4-4); si consideramos transformacio-

128

, e J

l

, nes entre coordenadas cartesianas) 6 se pued~ escribir 6¡j' ; to-memos un tensor cartesiano cualquiera de 20. Orden, A~J' entonces la diferencia A'j - 1< ~ l:J es también un tensor (k es un escalar absoluto) y se puede escribir matricialmente así:

A,,- K A,z- A.)

12-18) A~. A~3 Af.l. - )(

A31 A 31. A 3)-)(

,

Ahora si cambiamos del sistema coordenado Jl (sistema en el cual su­ponemos definido A.:/ - J<. Ó <1') al siste,ma también cartesiano XL' I

el tensor A L')' cambia sus componentes a A 'J" y el tensor 1< ~ "J' no cambia componentes ya que supusimos que k es un escalar absoluto (en el sentido dado a este término en el capítulo 11) y ~'j' es un tensor cuyas componentes son las mismas en todo sistema coordenado ( como matriz á ti es la matriz unitaria 1) por lo tanto en el sistema xi el ten­sor diferencia es:

• , , A,¡ _ ~ A '<- AI3

I I ,

12-19) Az, A <.'4-1< A 1."3

, , \

A:\I A31. A 3J-K ,

Como A'J' - 1< ~ 'j' es un tensor de 2 o. Orden se transforma según la .ley~ -

(APM\- ~~.e....,) -::. aiL'a~' (ALj'-KÓ'J)

Matricialmente podemos escribir esto así (ver 12-16):

I I • A" _ l< A" A 13 a., an_ 0-, ) AJI-K A, .. A,.} Q.'l Q2../ Q31

1 , Al l A;!2-K Aa3 - aZ., ehl a1-) A2f Án.-K A~3 a21 Q 3'1... 11.

A31 , I

A 32 kU-KJ f31 CL32. a3":~ A3' AJl. AJ 3-t< ct rJ Q2.3 a3J,

Si tomamos el determinante a ambos lados de la igualdad y recordando

129

de 12-14 que I o..¡j r" =- I resulta:

pandiendo y agrupando términos según potencias de k obtenemos a cada lado de la igualdad una ecuación cúbica en k a sí:

, (AI/

I I

A'., A,¿ A ,~ + • I

, A21 Au A-l.3

• I • IA3' A )1, A33

• I 1) + AH + A 33 - K AII

I

A:2.1 +

== _X,?J+ J<J.(AtI+Au.+ A.3))_K

Al, AlZo Ár)

Az.. An A2.) A.31 A31. A3)

, • t'

Al? A2, Au AI3 •

Como esta igualdad se cumple para todo valor de k entonces los coefi-cientes de K\ k j Jo{. o deben ser iguales a la izquierda y a la dere-cha de la ecuación por lo tanto :

I I 1

I, - AIl + A'2"Z i- A.33 - ÁI! + A ~2. -\- 43?> - -• I , I I I

AII A,~ A2.l.. A2.) Au A'J AII A ,<- AL"\. AZ3 AII Ao 3 4

i- + - i- +

A~, - I I - AH I A3l. • ¡ , - ,l\31. AJ~ A3} AlI A~. AH A 3:; A '31 A 3 J

AR A,:> ,

412. • AII AH Al.) J3 I • , - Al\ An A "-.3 - - An A <!.) - 2.1

A}~ A.3J I • •

A31 AJI 432- A33

Hemos obtenido pues que para todo tensor cartesÍé'lfio de 20. Orden exis­ten tres cantidades (funciones de las componentes del tensor) que son invariantes, no cambian al cambiar d e sistema coordenado,. esas cantida­des se acos tumbra llamarlas el primer invariante, el segundo invariante y el tercer invariante del tensor A:;' .

•

D-

130

EJEMPLOS DE TENSORES CARTESIANOS •

Tensot de tensiones, tensor de inercia.

l. Supongamos un cuerpo sometido a solicitaciones (fuerzas y momen­tos); si en su interior tornamos un punto cualquiera y en ese pun­to localizamos un sistema coordenado cartesiano, podemos tomar en el entorno de ese punto un plano cualquiera que corte a los ejes coor­jenados quedando de esta manera definido un tetraedro de dimensio­nes infinitesimales : como las fuerzas de superficie que actuan sobre las caras de este tetraedro son proporcionales al cuadrado de las di­mensiones infinitesimales y las fuerzas de masa (por ej: fuerzas electromagnéticas J gravitatorias) son proporcionales al volumen o sea al cubo de las dimensiones infinitesimales podemos entonces despre-

I

ciar estas últimas ( para efectos de equilibrio estático) y tener en cuenta solamente las fuerzas sobre las caras del elemento.

I ..... I I

...... ..' : "-, I

I 'l cr~ \ / ... ~.~ I 1--.......4.

I ..... .,. IV: u'. I I~ • . ' ; I~ ~

, I

, A.'

'a.)~_ _ ____ ;_ .. A _____________ y, fr .. "~n J •

, ,,' ¡<rn

L a s fuerzas por unidad de área (o tensiones) que actuan sobre cada cara (OAS, 08 C) o A C. ) las podemos resolver en sus componentes según los ejes coordenados; todas esas componentes las designaremos con el símbolo genérico ~,independ iente de si son tensiones norma­les o cortantes l

; a cada ~ ]e colocamos dos subíndices, el primero indica la cara o superficie sobre la cual actúa la tensión y el segundo nos indica la dirección que tiene ese ~; sobre la cara inclinada ABe hemos tomado un nuevo sistema cartesiano de ejes X I Xl.. X.3 de

•

modo que X, sea normal a esa cara y por lo tanto X~ y X3 están con-

131

tenidos en el plano de la cara; las tensiones actuando sobre ABe son , . . cr" J (J'4} C). 3 ;encontremos la relación que nos liga las ten-

siones sobre los "nuevos" ejes X l' con las tensiones sobre los "viejos" •

ejes Yi' o sea las r:!{L'j con las CS-l',j' .

Las direcciones de los ejes )( L están definidas por los cosenos di-rectores at'l, Q,''1. aL',. (L' = 1, '. ;.) ; si llamamos A el área del triángu-

.# J ~ ~ --.

lo ABC entonces esta área como vector es A = A lXI siendo {XI el versor en la dirección del eje X, ; el área de O,4B es por lo tan-

-:-':t -;-P ~ -:e ~ . to A. L:J~ =- A l.~ , LJ3 pe ro '-x.' lb ::. Q..'3 o sea:

A cA a =- A Cl.'3 ; análogamente: A 081:...= A a ,J } A oAt.. '" A lLn

Si en el tetraedro mostrado tomamos equilibrio de fuerza en la direc­ción de )( I resulta:

A<S-'J = Aoac (<f.i a., -f~4 t1./'l. +~'3 a.¡~ ') + Ao~c.. (6"n Q n. -t~'tICLII+<:S'"'l.~a.,)

+ AMa (~33 a,~ + ~31 CL It + <S"':n. 0. 11.)

.:::: AQ.II (~1I al' +- ~'l a'2 +-E;"13 a.,) J + A a.1'!. (~2'2. a./1.. +~2IalJ-}-~B a'3J

+ A U l 3L 6"33 tL'3 -+- ~> , a..'J + G':n. a,'l.) I

1

Cf;/:: a , L Q¡J G ~J'

En forma similar obtenemos:

ciJ ~ = a 1/: a z.J Gt), <S- /) :: Q /L' a 3J <s" L:'/

Estas tres ecuaciones se pueden escribir uniHcadamente así:

12 -2 O)

I , I I

Si construimos otro te traedro rectangular ( o A -B e ) similar al te-traedro O A a L y de modo que sus aristas triplemente ortogona-

I I ,

les estén en la dirección de O XI, 0)( "l. OX3 entonces las tensiones "/ J Ilj ~',

sobre la? caré( s O 8. e (yace en el, plano de ~BC) r O A <; y. o A. 8 son: ( <ro, ~/<- ()13 ), ( ()~J,<S-U.\f'23 ), ( \S'"..J,.<:r.:n, \\3:;);

I J

las tensiones <S-"J~I'2.) (513 las hemos determinado ya en 12-20; en forma semejante deducimos:

Y

1

<S""" 2..2 ::: , ~3..2. =

132

Cl.:¡t· D..lf ~:./ ebL' C1J!J' '\S""LJ'

( 1. =- 1, l,)) ( 1 -:. 1, ~, J)

Estas dos últirT'as ecuaciones y las 12-20 se pueden escribir así simpli­ficadamente:

, 12 -21) es-K ~ = a. 1( " Q.-2j" ~lj' (i, j: índices mudos: k,.l=1,2,3)

Esta ecuación nos indica como se transforman las componentes (['J' pertene­cientes al sis tema coordenado :tI. 'cuando pasamos al sistema también car­tesiano ~l' ; esta ecuación es la misma 12-15) lo cual nos indica que las

<S"l:'J' son las componentes de un tensor el cual se acostumbra llamar tensor de tensiones,

Al principio del capítulo VII definimos un tensor como una cantidad que por sí misma es invariante pero que cambia el valor de sus componentes cuan­do las referimos a diversos sistemas coordenados; esto lo podemos apreciar claramente en el tensor de tensiones ya que por ejemplo la tensión en la cara ABC (ejes Xt: ) no cambia si la referimos al sistema J't. o a otro sis­tema cualquiera l L: ; si llamamos (JLj' las tensiones en las caras tri-

, I '

plemente ortogonal¡;s de jI ':1"t. J 3 Y ()j, J <:3'2, ~, ~ la tensiones en la cara ABC y <fL~./ las tensiones en las caras triplemente ortogonales de

.e" :C"L I ?:~ ,entonces según 12-20 tendremos:

12 -2 2 :

11-23:

Siendo

I

Qt.{ <S'LJ' CSI, - au: -

~t == a, t" Q2J \)cJ' I

Cf/3 ~ a'tO QlJ ~LJ'

, "

, I •• C:::/i ~ a IL" O-'J (f'J' -, ,1 11 " \),t D.. l." a 2.J

, ~{j' --

• H " cr' ~~ - aH.' tÁ")J' (j -

el coseno del ángulo que forma el eje X t" el coseno de 1 ángulo que forma el eje X t.. ..

con el eje con el eje

,

'l.

Yl,

A

133

La cara ABC cortada por los ejes ~, ;C't. ~~ se muestra en trazo

discontínuo.

En este capítulo hemos tratado el tensor de tensiones corno un tensor cartesiano debido a que solo considerarnos transformaciones en coorde­nadas cartesianas; es posible también estudiar el tensor de tensiones en coordenadas curvilíneas: en ese caso el triángulo ABe será en gene­ral un triángulo curvilíneo, sin embargo se seguirá manteniendo cons­tante la tensión sobre esa 11 cara inclinada "; la ley -le transformación de las <5"'L";" en ~lJ' ya no será· 12-21 sino las leyes estudiadas en el capítulo VI para tensores en general ( exis tirán componentes doblemen­te covariantes <S' LJ" I doblemente contravariantes ~I..J y mixtas \5 / ) Ah l

e

,

2. Corno un segundo ejemplo de un tensor cartesiano consideremos en un sistema cartesla!'.o ;¡ L' una masa m concentrada en el punto ? ( :J, J '1. ~., ) y una recta X, que pasa por el origen de coordenadas y definida por el versor J,.~ cuyos cosenos di­rectores son alJ J Q,'l,. eL J} (el primer subíndice se refiere a la recta X I Y el segundo subíndice se refiere a los ejes y, J

Y"l, Y 3 ; encontremos el valor del producto t'rrl o\. 1... siendo ~ la distancia del punto 7 a la recta Xl'

•

Tenemos:

134

~ l..

•

y,

-? OA -: 0./'1, +Ull j~ + Cl'3 J3

Ahora: d 1 -::. i5P'-- o ti '- = (.1/ "l.. + Jll. + J31.)- ( a" J. t- Q'2 ':h + a.13..:r~) 't.

Por lo tanto: l1"l? J 1. =- (7Y\ ( .'L'- + )1.1.- -t j; - Q./~ r,1.. - ah fz L - a.,~ r;- -2..a..J/ CUt 1. J 1-

- ¿a" QI.3J, 'J:J - :¿,a..,~ al:'> :J.2.. J.))

De 12 -11 tenemos : a 1. M '1.. n""L J por lo tanto: I 1 1- '-"-n. + '< 1.3:::' I

Al '1'1.. "L"2. L '{1. J - L<.".J, - a ll Jl -1)..,3 J3 -2A,."Q,2-J,J2.-2A."til]r.]J-?aJtct,3Jl.::h

NY) (JI"Z.a~l +)I"Z.a.~ +):.1 a,¡T +jz.' a~ +J;a.~ +j;Q,'z-z.4.lIanJ

- 2.a.." a 13:J1 ).3 - ZLlrz. a/:3 J¡ J3 ) --3>

m?dl.::. rrr, f(JI1.+:fjl) a~ 4- CJ}'1-Ji-) ·a.~3 t C:f2lt-J})o.~ -0"o./21,}1.--_ CL12 a /1 Jz. :JI _ ellJ a,) J, ~h - a,:, a" J 3 ':S I - Cll!. Clo :1'2- J :3

- a 13 ¿l,z..]J J LJ

,

'f

135

12-24) Llamemos:

I

- rm j, 'j ~ ::. - ,.,..,.. j ~ :1. = .I • 3 ::. I"> 1, - rY""'\ i t 'j., :: - ~ J ~ :1 "t -:.. Iz. ~ ::. L.3 1. •

~

12-25)

1- I ozJ Q,z.. ct .. 4- I' 3

+ I. 3 "'l. aJ:) c:t.12.

I

Si llamamos "M d'1. = I 1\ queda así 12-25:

I

12 -2 6) T,¡:: DJt a'i It.:i'

Similarmente t si trazamos por los cosenos directores respectivamente entonces:

,

por O otros dos ejes a.z I Q 1 .. Q ? 3 Y

• J

12 -2 7) I,'lo .:::. CLl; a2j' I Lj'

I

12 -28) 133 :: a3t' G.3J Il-~i

x%. ... X 3 definidos Q) ,) 0_) 2) a 3 3

Estas tres últimas expresiones son los momentos de inercia con respec­to a los nuevos ejes X. )foz. X3 respectivamente dados en función de los momentos y productos de- inercia con respecto a los viejos ejes y, J

'lz.) >'3, Encontremos los productos de inercia referidos a los ejes X l.: ; su-ponemos que estos ejes X L' son triplemente ortogonales.

1 1

Tenemos: Irz ..... - rm.::t., X~ = I.. 21 pero de 12 - 6 (con al i = O ) :

x .. ;; a.~i j J por lo tanto: I

I.'I..:: - (Y"Y) (au' 'lJ') (Q.2.i< J f.I.) =

::. - fn') ( Cl '1 )' I + a. ¡¡ 1 ~ +- a 13 j.:> J ( a Z I J' + a u'1 z. 4- a. l.) ':J 3 J = - ".." ( al¡ a.ú 'JI't -r Cl.1I a.n :J, j 2 + a..1/ a. 2.) 'j, '1.} + QJ2.. o~ J .':5,. J I -t

,

T all aH. 1,.1. r QI'Z C{1..J ':fl.::r, t- al) U·2.I.13.J, .. al)aU. )),)z. ra'3QB'L

Pero de 2-11: all L12..J '=: - c.:t/"L.a z.2. -aJ3 Cll.3

é1n an -::.. - C2J1 a ·u - a 13 Q..l J

a,) Q2..3:: - a" Wl - CLH Q.. 2."l. '0 y

•

136

• I I;t. ""- [(_0..1. Q.u-a,'l

+- Ci¡Z,ll.Z' 'f,. JI + (-Q.JI az' - al:!> q2.~) Jz."l.+ alz.a..~:3:hj~

-+- al3a.ll J3~' + a..,').QllJ.l~h r (-al.a.lJ-a"nln')J~zJ

:::.. _,...,..,.. [ ... 0-" a...11 (. Ijz.l +~] ) + ctll a.. n J. j ~ t a. " a.D 'j. :::13 1- t.{llt2U.J,.

- ar¿ QH ['1,2.+.3';) + ana.ZJ:J2J)+t{/3Q.ZIJ3j,T-

+ a../3 a..n:h 'jz - a..,~ Cl..2.3 (:;,2.+ :fl)]

Utilizando 12-24 resulta:

I

I.. I"t.::. {lJ I eLlo' I " + a.. 1I a Z 1. I¡ 2: + tl, I Q z."} L, 3> + a I z.. a. Z 1 .I 1.. I

+ all. a.z.2. .I u + a.J2 tL2.3 I.2:3 + al') aZI I. 317- tv~ az ¿ I31..

+ a.Jj a.l.3 T 33

ecuación se puede escribir así:

I

I.¡-¿ := aH' a z.;' II-J ; análogamente obtenemos:

; esta

• I ~ L 13:: alL' a 3J .IlJ ' J .I z.'::: az,' a'J ILJ' I .L 2.3 ~ a ¡¡l' a3J ' ~".f , 1.31 ::. o,)l' a'...J· :L/j') Í3Z.:; o.:J¡' al)' X(J'

Estas seis ecuaciones y las ecuaciones 12-26 I 12-27 Y 12-28 se pue­den escribir unificadamente así:

I 12 -2 9) I 1<.1. = a. J< l' CA....Rf ~ L:i

Por lo tanto las cantidades segundo orden (ver 12 -15) cia 1.

I "..1' son las componentes de un tensor de al cual se acostumbra llamar tensor de iner-

Si en vez de una partícula de masa m tenemos un cuerpo de dimensiones finitas entonces las componentes del tensor de inercia son:

III:=' i{Xl,,?+X:l)d. ITl1 ; I2.2..~ i (:i..1..t-x1)~} I 33 ::. f~X,'2.+Xl1.)~

I,~ -; _ LXI Xl ~ :: L zl J I I.J;:. -í ;(,X3 d.-vn ::- I3' ) I Z3':: - !:l X3 J-m:= l...l

¡

137

N otemos finalmente que el tensor de inercia se puede definir (lo mis­mo que todo tensor) corno una cantidad invariante cuyas componentes cambian al cambiar de sistema coordenado pero el tensor en sí permane­ce inalterado; esta cantidad es el cuadrado de la distancia de un punto -a un eje dado ( definido por su versor ).. ) multiplicada por la masa ,

n: es decir rrn d'2. ; al cambiar del sistema 'j L al -tt.:, rmd ~ no pue-di cambiar pero si sus componentes; por ejemplo si en '1l' los cosenos

-J? directores de). son 0.'" a,z.. a.3 y las coordenadas de P son ( ':J,. '1t. J3 ) entonces según 12-25:

rrr,J l = I.J aJ~ + In 0...;;' + '2. I;n a,,:?> + I,~ Q 11 a IZo + I"l.J QIZ a"

+ L,~a" a'3 r I~I a,:?> a. I1 +:I,~ an..aJ'3 +I~'2a./'~a,z --,. "" 11

Ahora I si en ~ L' los cosenos de 1 son al', a,.... a. l:l Y las coordenadas de P son ( "il::J J ~L, -e ~ ) entonces:

tI ,r l' t l ,t ,.

-t- .I''L a" Q'l ~ I1..1 a./l a"

" + 'I.':3 aH a 13

• J

La relación entre I. K..( e II.j'es:

., I 1< R. - tLN~ a..R ' Il:'( - J ,

,

BIBtIOGRAPIA

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•

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•