C alculo Diferencial e Integral - Integraci on trigonom...
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Calculo Diferencial e Integral - Integracion trigonometrica. Prof. Farith J. Briceno N.
Objetivos a cubrir Codigo : MAT-CDI.7
• Integracion : Integrales trigonometricas.Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Integre∫
sen3 x cos2 x dx
Solucion : Tenemos que ∫sen3 x cos2 x dx =
∫sen2 x cos2 x senx dx =
∫ (1− cos2 x
)cos2 x senx dx.
Hacemos el cambio de variableu = cosx, du = − senx dx =⇒ −du = senx dx,
la integral se transforma en∫ (1− cos2 x
)cos2 x senx dx =
∫ (1− u2
)u2 (−du) = −
∫ (u2 − u4
)du = −
u3
3+u5
5+ C
como u = cosx, se tiene que ∫sen3 x cos2 x dx = −
cos3 x
3+
cos5 x
5+ C.
F
Ejemplo 2 : Integre∫
sen4 x cos3 x dx
Solucion : Tenemos que ∫sen4 x cos3 x dx =
∫sen4 x cos2 x cosx dx =
∫sen4 x
(1− sen2 x
)cosx dx.
Hacemos el cambio de variableu = senx, du = cosx dx,
la integral se transforma en ∫sen4 x
(1− sen2 x
)cosx dx =
∫u4(1− u2
)du =
∫ (u4 − u6
)du =
u5
5−u7
7+ C
como u = senx, se tiene que ∫sen4 x cos3 x dx =
u5
5−u7
7+ C.
F
Ejemplo 3 : Integre∫
sen5 x cos7 x dx
Solucion : Tenemos que ∫sen5 x cos7 x dx =
∫ (sen2 x
)2cos7 x senx dx =
∫ (1− cos2 x
)2cos7 x senx dx.
Hacemos el cambio de variableu = cosx, du = − senx dx =⇒ −du = senx dx,
la integral se transforma en∫ (1− cos2 x
)2cos7 x senx dx =
∫ (1− u2
)2u7 (−du) = −
∫ (1− 2u2 + u4
)u7 du
= −∫ (
u7 − 2u9 + u11)du = −
u8
8+u10
5−u12
12+ C,
como u = cosx, se tiene que ∫sen5 x cos7 x dx = −
cos8 x
8+
cos10 x
5−
sen12 x
12+ C.
F
1
Ejemplo 4 : Integre∫
cos2 x sen2 xdx
Solucion : Es conocido que
cos2 x =1 + cos 2x
2, sen2 x =
1− cos 2x
2.
Tenemos ∫cos2 x sen2 x dx =
∫ (1 + cos 2x
2
)(1− cos 2x
2
)dx =
∫ (1− cos2 2x
4
)dx
=1
4
∫sen2 2x dx =
1
4
∫1− cos 4x
2dx =
1
8
∫dx−
1
8
∫cos 4x dx
Calculamos las integrales. La primera integral es sencilla ∫dx = x+ C1.
Para la segunda integral, hacemos el cambio de variable
u = 4x, du = 4 dx =⇒du
4= dx
la integral nos queda ∫cos 4x dx =
∫cosu
du
4=
1
4
∫cosu du =
1
4senu+ C2 =
1
4sen 4x+ C2.
Luego ∫cos2 x sen2 xdx =
1
8(x+ C1)−
1
8
(1
4sen 4x+ C2
)=x
8−
1
32sen 4x+ C,
es decir, ∫cos2 x sen2 xdx =
x
8−
1
32sen 4x+ C.
F
Ejemplo 5 : Integre∫
cos2 3x sen4 3x dx
Solucion : Es conocido que
cos2 x =1 + cos 2x
2, sen2 x =
1− cos 2x
2.
ası, Es conocido que
cos2 3x =1 + cos 6x
2, sen2 3x =
1− cos 6x
2.
Tenemos∫cos2 3x sen4 3x dx =
∫cos2 3x
(sen2 3x
)2dx =
∫ (1 + cos 6x
2
)(1− cos 6x
2
)2
dx =
∫ (1− cos2 6x
4
)(1− cos 6x
2
)dx
=1
8
∫(1− cos 6x) sen2 6x dx =
1
8
∫sen2 6x dx−
1
8
∫cos 6x sen2 6x dx,
Calculamos las integrales, para la primera integral,∫sen2 6x dx =
∫1− sen 12x
2dx =
1
2
∫dx−
1
2
∫sen 12x dx
donde ∫dx = x+ C1
mientras que para la otra integral usaremos el cambio de variable
u = 12x, du = 12 dx =⇒du
12= dx
y obtenemos ∫sen 12x dx =
∫senu
du
12=
1
12
∫senu du = −
1
12cosu+ C2 = −
1
12cos 12x+ C2
ası, ∫sen2 6x dx =
1
2(x+ C1)−
1
2
(−
1
12cos 12x+ C2
)=x
2+
1
24cos 12x+ C3.
2
Por otra parte, para obtener la familia de primitivas de
∫cos 6x sen2 6x dx hacemos el cambio de variable
u = sen 6x, du = 6 cos 6x dx =⇒du
6= cos 6x dx
y nos queda ∫cos 6x sen2 6x dx =
∫u2 du
6=
1
6
∫u2 du =
1
18u3 + C4 =
1
18sen3 6x+ C4,
entonces, ∫cos2 3x sen4 3x dx =
1
8
(x
2+
1
24cos 12x+ C3
)−
1
8
(1
18sen3 6x+ C4
)Finalmente ∫
cos2 3x sen4 3x dx =x
16+
1
192cos 12x−
1
144sen3 6x+ C
F
Ejemplo 6 : Integre∫
tan1/2 x sec4 x dx
Solucion : Como la potencia de la secante es par, entonces nos quedamos con un termino de sec2 x y transformamos los demas terminosen tangente, es decir, ∫
tan1/2 x sec4 x dx =
∫tan1/2 x sec2 x sec2 x dx =
∫tan1/2 x
(tan2 x+ 1
)sec2 x dx.
Hacemos el cambio de variableu = tanx, du = sec2 x dx
y la integral nos queda en∫tan1/2 x
(tan2 x+ 1
)sec2 x dx =
∫u1/2
(u2 + 1
)du =
∫ (u5/2 + u1/2
)du =
2
7u7/2 +
2
3u3/2 + C
como u = tanx, entonces, ∫tan1/2 x sec4 x dx =
2
7tan7/2 x+
2
3tan3/2 x+ C
F
Ejemplo 7 : Integre∫
tan4 ax sec6 ax dx
Solucion : Como la potencia de la secante es par, entonces nos quedamos con un termino de sec2 x y transformamos los demas terminosen tangente, es decir,∫
tan4 ax sec6 ax dx =
∫tan4 ax sec4 ax sec2 ax dx =
∫tan4 ax
(sec2 ax
)2sec2 ax dx =
∫tan4 ax
(tan2 ax+ 1
)2sec2 ax dx.
Hacemos el cambio de variable
u = tan ax, du = a sec2 ax dx =⇒du
a= sec2 ax dx
y la integral nos queda en ∫tan4 ax
(tan2 ax+ 1
)2sec2 ax dx =
∫u4(u2 + 1
)2 du
a=
1
a
∫u4(u4 + 2u2 + 1
)du
=1
a
∫ (u8 + 2u6 + u4
)du =
1
a
(u9
9+
2u7
7+u5
5
)+ C
como u = tanx, entonces, ∫tan4 ax sec6 ax dx =
tan9 ax
9a+
2 tan7 ax
7a+
tan5 ax
5a+ C
F
Ejemplo 8 : Integre∫
tan5 x sec2 x dx
Solucion : Como la potencia de la tangente es impar, entonces nos quedamos con un termino tanx secx y transformamos los demasterminos en secante es decir,∫
tan5 x sec2 x dx =
∫tan4 x secx tanx secxdx =
∫ (tan2 x
)2secx tanx secxdx =
∫ (sec2 x− 1
)2secx tanx secxdx.
Hacemos el cambio de variableu = secx, du = tanx secx dx
3
y la integral se transforma en∫ (sec2 x− 1
)2secx tanx secxdx =
∫ (u2 − 1
)2u du =
∫ (u4 − 2u2 + 1
)u du =
∫ (u5 − 2u3 + u
)du =
u6
6−u4
2+u2
2+ C
como u = secx, entonces ∫tan5 x sec2 x dx =
sec6 x
6−
sec4 x
2+
sec2 x
2+ C
F
Ejemplo 9 : Integre∫
tan3 x sec1/2 x dx
Solucion : Como la potencia de la tangente es impar, entonces nos quedamos con un termino tanx secx y transformamos los demasterminos en secante es decir,∫
tan3 x sec1/2 x dx =
∫tan2 x sec1/2 x
1
secxtanx secxdx =
∫ (sec2 x− 1
)sec−1/2 x tanx secxdx.
Hacemos el cambio de variableu = secx, du = tanx secx dx
y la integral se transforma en∫ (sec2 x− 1
)sec−1/2 x tanx secxdx =
∫ (u2 − 1
)u−1/2 du =
∫ (u3/2 − u−1/2
)du =
2
5u5/2 − 2u1/2 + C
como u = secx, entonces ∫tan3 x sec1/2 x dx =
2
5sec5/2 x− 2 sec1/2 x+ C
F
Ejemplo 10 : Integre∫
tan4 4x dx
Solucion : Como no hay termino secante y la potencia de la tangente es par, entonces∫tan4 4x dx =
∫tan2 4x tan2 4x dx =
∫ (sec2 4x− 1
)tan2 4x dx =
∫sec2 2x tan2 4x dx−
∫tan2 4x dx.
Calculamos cada una de las nuevas integrales. En la primera integral hacemos el cambio de variable
u = tan 4x, du = 4 sec2 4x dx =⇒du
4= sec2 x dx
y la integral se transforma en ∫sec2 2x tan2 4x dx =
∫u2 du
4=
1
4
∫u2 du =
u3
12+ C1
como u = tan 4x, entonces ∫sec2 2x tan2 4x dx =
tan3 4x
12+ C1
Para la segunda integral, procedemos de la siguiente manera∫tan2 4x dx =
∫ (sec2 4x− 1
)dx =
∫sec2 4x dx−
∫dx =
1
4tan 4x− x+ C2
donde, se hace el cambio de variable
u = 4x, du = 4 dx =⇒du
4= dx
para obtener
∫sec2 4x dx. Luego ∫
tan4 4x dx =1
12tan3 4x−
1
4tan 4x+ x+ C
F
Ejemplo 11 : Integre∫
dx
1− cosx
Solucion : Aplicando la conjugada trigonometrica, tenemos∫dx
1− cosx=
∫1
(1− cosx)
(1 + cosx)
(1 + cosx)dx =
∫1 + cosx
1− cos2 xdx =
∫1 + cosx
sen2 xdx =
∫1
sen2 xdx+
∫cosx
sen2 xdx,
4
donde, ∫1
sen2 xdx =
∫csc2 x dx = − cotx+ C1,
mientras que para resolver la segunda integral,
∫cosx
sen2 xdx, hacemos el cambio de variable
u = senx, du = cosx dx,
entonces ∫cosx
sen2 xdx =
∫du
u2=
∫u−2 du = −
1
u+ C2,
como u = sinx, se tiene que ∫cosx
sen2 xdx = −
1
senx+ C2 = − cscx+ C2.
Por lo tanto, ∫dx
1− cosx= − cotx− cscx+ C.
F
Ejemplo 12 : Integre∫
dx
senx cos2 x
Solucion : Es conocido quesen2 x+ cos2 x = 1
podemos escribir la integral como∫dx
senx cos2 x=
∫sen2 x+ cos2 x
senx cos2 xdx =
∫sen2 x
senx cos2 xdx+
∫cos2 x
senx cos2 xdx =
∫senx
cos2 xdx+
∫1
senxdx.
La primera integral la resolvemos haciendo el cambio de variable
u = cosx, du = − senx dx =⇒ −du = senx dx
y obtenemos ∫senx
cos2 xdx =
∫ −duu2
= −∫u−2 du =
1
u+ C1 =
1
cosx+ C1 = secx+ C1,
es decir, ∫senx
cos2 xdx = secx+ C1,
mientras que ∫1
senxdx =
∫cscx dx = ln |cscx− cotx|+ C2.
Luego ∫dx
senx cos2 x= secx+ ln |cscx− cotx|+ C
F
Ejercicios
Calcular las siguientes integrales trigonometricas
1.∫
senx cosx dx 2.∫
sen2 x cosx dx 3.∫ √
senx cosx dx 4.∫
sen2 x cos3 x dx
5.∫
sen6 (2x) cos5 (2x) dx 6.∫
cos3 x√senx
dx 7.∫
cos3 x dx 8.∫
cos2 x senx dx
9.∫
3√
cosx senx dx 10.∫
cos2 t sen3 t dt 11.∫
cos4(x
2
)sen5
(x2
)dx 12.
∫sen3 t dt
13.∫
sen3 x√
cosx dx 14.∫
sen2 x dx 15.∫
cos2 x dx 16.∫
cos4 x dx
17.∫
sen2 x cos2 x dx 18.∫
sen4 x cos2 x dx 19.∫
cos2 3x sen4 3x dx 20.∫
tan2 x dx
5
21.∫
cot2 x dx 22.∫
tan4 t dt 23.∫
sec4 t dt 24.∫
csc4 t dt 25.∫
cot4 x dx
26.∫
tan3 x sec6 x dx 27.∫
tan5 x secx dx 28.∫
cot3 x csc4 x dx 29.∫
tan3 3x dx
30.∫
sen5 x dx 31.∫
cos5 x
sen3 xdx 32.
∫cos3 θ sen−2 θ dθ 33.
∫sen5 x 3
√cosx dx
34.∫
sen4 x dx 35.∫
sen2 θ cos4 θ dθ 36.∫
sen4 θ cos4 θ dθ 37.∫
sec2 x
cotxdx
38.∫
cot1/2 t sec2 t dt 39.∫
cos2 θ
sen4 θdθ 40.
∫cos2 x
sen6 xdx 41.
∫cos2 x tan3 x dx
42.∫
(tanx+ cotx)2 dx 43.∫
cos7 t dt 44.∫
dx
1− senx45.
∫sen 3y cos y dy
46.∫
sen5 2t cos4 2t dt 47.∫
dx
sen4 x48.
∫cot4 θ csc4 θ dθ 49.
∫cosx cos
(x2
)dx
50.∫
sen4 5x dx 51.∫
cos 2t dtcos t− sen t
52.∫
sen1/2 t cos3 t dt 53.∫
csc3 x
tanxdx
54.∫
dt
sen t cos t55.
∫sen7 3x cos2 3x dx 56.
∫cos6 t dt 57.
∫(1− sen 2x)2 dx
58.∫
dt
cos6 t59.
∫cos4
(ω2
)sen2
(ω2
)dω 60.
∫cot7 x dx 61.
∫sec6 x
tan6 xdx
62.∫
tan4 t sec2 t dt 63.∫
cosx cos 2x cos 3x dx 64.∫
tan2 5t dt 65.∫
cos4 2t dt
66.∫
tan5 x sec3 x dx 67.∫
sen 3t sen t dt 68.∫
dt
sen4 t cos2 t69.
∫sec4 7x dx
70.∫
tan−3 θ sec2 θ dθ 71.∫
cos6 3x dx 72.∫
dt
1− cos 2t73.
∫cos2 (
√x)√
xdx
74.∫
senωt sen (ωt+ φ) dt 75.∫
sen(x+
π
6
)cosx dx 76.
∫sen(x
2
)cos(
5x2
)dx
77.∫
1 + tan2 x
sec2 xdx 78.
∫cot6 4w dw 79.
∫x sen3
(x2)dx 80.
∫cotx csc3 x dx
81.∫t sen2
(t2)dt 82.
∫tan6 2x dx 83.
∫sen5√x√
xdx 84.
∫tan2 x sec4 x dx
85.∫
sen4√x cos4√x√x
dx 86.∫
cot4 2t dt 87.∫
tan t sec3 t dt 88.∫
tan t sec6 t dt
89.∫
sen 5x sen 2x dx 90.∫
cos5 x sen5 x dx 91.∫
cos (at+ b) cos (at− b) dt
92.∫
senx sen 2x sen 3x dx 93.∫
sen3(x
2
)cos5
(x2
)dx 94.
∫sen6 t cos2 t dt
95.∫
tan5 t sec−3/2 t dt 96.∫
cos 3x cos 4x dx 97.∫
cot5 x sen3 x dx
98.∫
sen 4y cos 5y dy 99.∫
cos y cos 4y dy 100.∫
tan−3/2 t sec6 t dt
6
101.∫
tan3 x sec3 x dx 102.∫
cot3 t csc4 t dt 103.∫
sen3 x cos4 x dx
104.∫
tan3 3y sec3 3y dy 105.∫
sen4 x cos3 x dx 106.∫
sen(x
3
)cos(
2x3
)dx
107.∫
senmx sennx dx m 6= n 108.∫
senmx cosnx dx m 6= n
109.∫
cosmx cosnx dx m 6= n 110.∫
senh4 x cosh3 x dx 111.∫
tanh5 t sech−3/2 t dt
112.∫
sechx tanh3 x dx 113.∫
senh3 x√
coshx dx 114.∫
coth3 t csch4 t dt
115.∫
senh5 x3√
coshx dx 116.∫
tanh5 x sech3 x dx 117.∫
senh3(xa
)cosh5
(xa
)dx
Respuestas: Ejercicios
1. 12
sen2 x+ C; 2. 13
sen3 x+ C; 3. 23
sen3/2 x+ C; 4. 13
sen3 x− 15
sen5 x+ C;
5. 114
sen7 (2x)− 19
sen9 (2x) + 122
sen11 (2x) + C; 6. 2√
senx− 25
sen52 x+ C; 7. senx− 1
3sen3 x+ C; 8. − 1
3cos3 x+ C;
9. − 34
cos43 x+ C; 10. 1
5cos5 t− 1
3cos3 t+ C; 11. 4
7cos7
(x2
)− 2
5cos5
(x2
)− 2
9cos9
(x2
)+ C; 12. 1
3cos3 t− cos t+ C;
13. 27
cos72 x− 2
3cos
32 x+ C; 14. 1
2x− 1
4sen 2x+ C; 15. 1
2x+ 1
4sen 2x+ C; 16. 3
8x+ 1
4sen 2x+ 1
32sen 4x+ C;
17. x8− 1
32sen 4x+ C; 18. x
16− 1
64sen 2x− 1
64sen 4x+ 1
192sen 6x+ C; 19. x
16− 1
192sen 6x− 1
192sen 12x+ 1
576sen 18x+ C;
20. tanx− x+ C; 21. − cotx− x+ C; 22. t− tan t+ 13
tan3 t+ C; 23. tan t+ 13
tan3 t+ C; 24. − cot t− 13
cot3 t+ C;
25. − 13
cot3 x+ cotx+ x+ C; 26. 14
tan4 x+ 13
tan6 x+ 18
tan8 x+ C; 27. secx− 23
sec3 x+ 15
sec5 x+ C;
28. − 14
cot4 x− 16
cot6 x+ C; 29. 16
tan2 3x− 13
ln |sec 3x|+ C; 30. 23
cos3 x− cosx− 15
cos5 x+ C;
31. 12
sen2 x− 12
csc2 x− 2 ln |senx|+ C; 32. − senx− cscx+ C; 33. 35
cos103 x− 3
4cos
43 x− 3
16cos
163 x+ C;
34. 38x− 1
4sen 2x+ 1
32sen 4x+ C; 35. 1
16θ − 1
64sen 4θ + 1
48sen3 2θ + C; 36. 3
128θ − 1
128sen 4θ + 1
1024sen 8θ + C;
37. 12
tan2 x+ C; 38. 2√
tan t+ C; 39. − 13
cot3 θ + C; 40. − 13
cot3 θ − 15
cot5 θ + C; 41. 12
cos2 x− ln |cosx|+ C;
42. tanx− cotx+ C; 43. sen t− sen3 t+ 35
sen5 t− 17
sen7 t+ C; 44. tanx+ secx+ C; 45. − 14
cos 2y − 18
cos 4y + C;
46. 17
cos7 2t− 110
cos5 2t− 118
cos9 2t+ C; 47. − cotx− 13
cot3 x+ C; 48. − 15
cot5 θ − 17
cot7 θ + C;
49. sen 12x+ 1
3sen 3
2x+ C; 50. 3
8x− 1
20sen 10x+ 1
160sen 20x+ C; 51. sen t− cos t+ C; 52. 2
3sen
32 t− 2
7sen
72 t+ C;
53. − 13
csc3 x+ C; 54. ln |tan t|+ C; 55. 15
cos5 3x− 19
cos3 3x− 17
cos7 3x+ 127
cos9 3x+ C;
56. 516t+ 15
64sen 2t+ 3
64sen 4t+ 1
192sen 6t+ C; 57. 3
2x+ cos 2x− 1
8sen 4x+ C; 58. tan t+ 2
3tan3 t+ 1
5tan5 t+ C;
59. 116ω − 1
32sen 2ω + 1
24sen3 ω + C; 60. senx+ csc2 x− 1
5csc5 x+ C; 61. − 2
3cot3 x− cotx− 1
5cot5 x+ C;
62. 15
tan5 t+ C; 63. x4
+ 14
sen 2x+ 116
sen 4x− 16
sen3 2x+ C; 64. 15
tan 5t− t+ C; 65. 38t+ 1
8sen 4t+ 1
64sen 8t+ C;
66. 13
sec3 x− 25
sec5 x+ 17
sec7 x+ C; 67. 14
sen 2t− 18
sen 4t+ C; 68. tan t− 2 cot t− 13
cot3 t+ C;
69. 17
tan 7x+ 121
tan3 7x+ C; 70. − 12
cot2 θ + C; 71. 516x+ 5
64sen 6x+ 1
64sen 12x+ 1
576sen 18x+ C;
72. − 12
csc 2t− 12
cot 2t+ C; 73.√x+ 1
2sen 2
√x+ C; 74. cosφ
(12t− 1
4ωsen 2tω
)+ senφ
2ωsen2 ωt+ C;
75. x4
+ 18
sen 2x+√
32
sen2 x+ C; 76. 14
cos 2x− 16
cos 3x+ C; 77. x+ C;
7
78. − 120
cot5 4w + 112
cot3 4w − 14
cos 4w − w + C; 79. 124
cos 3x2 − 38
cosx2 + C; 80. − 13
csc3 x+ C;
81. 14t2 − 1
8sen 2t2 + C; 82. 1
10tan5 2x− 1
6tan3 2x+ 1
2tan 2x− 2x+ C; 83. 4
3cos3√x− 2 cos
√x− 2
5cos5√x+ C;
84. 13
tan3 x+ 15
tan5 x+ C; 85. 364
√x− 1
64sen 4
√x+ 1
512sen 8
√x+ C; 86. − 1
6cot3 2t+ 1
2cot 2t+ t+ C;
87. 13
sec3 t+ C; 88. 16
sec6 t+ C; 89. 16
sen 3x− 114
sen 7x+ C; 90. 14
cos8 x− 16
cos6 x− 110
cos10 x+ C;
91. cos 2b sen (at+ b)− cos 2b3
sen3 (at+ b) + sen 2b3
sen3 (at+ b) + C; 92. 124
cos 6x− 116
cos 4x− 18
cos 2x+ C;
93. 14
cos8(x2
)− 1
3cos6
(x2
)+ C; 94. 5
128t− 1
64sen 2t− 1
128sen 4t+ 1
192sen 6t− 1
1024sen 8t+ C;
95. 25
sec5/2 t− 4 sec1/2 t− 23
sec−3/2 t+ C; 96. 12
senx+ 114
sen 7x+ C; 97. 13
sen3 x− cscx− 2 senx+ C;
98. 12
cos y − 118
cos 9y + C; 99. 16
sen 3y + 110
sen 5y + C; 100. 43
tan3/2 t− 2 tan−1/2 t+ 27
tan7/2 t+ C;
101. 15
sec5 x− 13
sec3 x+ C; 102. − 14
cot4 t− 16
cot6 t+ C; 103. 17
cos7 x− 15
cos5 x+ C; 104. 115
sec5 3y − 19
sec3 3y + C;
105. 15
sen5 x− 17
sen7 x+ C; 106. 32
cos 13x− 1
2cosx+ C; 107. − 1
2(m+n)sen (m+ n)x+ 1
2(m−n)sen (m− n)x+ C;
108. − 12(m+n)
cos (m+ n)x− 12(m−n)
cos (m− n)x+ C; 109. 12(m+n)
sen (m+ n)x+ 12(m−n)
sen (m− n)x+ C;
110. 15
senh5 x+ 17
senh7 x+ C; 111. 23
sech−3/2 t+ 4 sech1/2 t− 25
sech5/2 t+ C; 112. 13
sech3 x− sechx+ C;
113. 27
cosh7/2 x− 23
cosh3/2 x+ C; 114. 14
coth4 t− 16
coth6 t+ C; 115. 316
cosh16/3 x− 35
cosh10/3 x+ 34
cosh4/3 x+ C;
116. 25
sech5 x− 13
sech3 x− 17
sech7 x+ C; 117. a8
cosh8(xa
)− a
6cosh6
(xa
)+ C;
Bibliografıa
1. Purcell, E. - Varberg, D: “Calculo con Geometrıa Analıtica”. Novena Edicion. Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Calculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Calculo Diferencial e Integral - Integracion trigonometrica. Prof. Farith Briceno
Ultima actualizacon: Enero 2010 e-mail : farith [email protected]
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