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alculo Diferencial e Integral I por Mar´ ıa Luisa P´ erez Segu´ ı

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Calculo Diferencial e Integral I

por Marıa Luisa Perez Seguı

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Introduccion

Se presenta aquı el material correspondiente a un primer curso en Calculo Diferencial eIntegral, el cual se imparte en la Facultad de Ciencias Fısico-Matematicas de la UniversidadMichoacana.

El material del libro constituyo el 100 % del curso impartido el semestre de agosto de2016 a febrero de 2017 en la Facultad.

Dentro del texto se intercalan numerosos ejemplos inmediatamente despues de que seha introducido un concepto nuevo, de manera que sea mas completa la comprension delconcepto. Se proponen tambien diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientrasque la solucion de otros requiere de un mayor esfuerzo, imaginacion y dedicacion.

El capıtulo 1 proporciona cierto material basico y notacion sobre Teorıa de Conjuntos yLogica, de forma que el alumno vaya adentrandose en la forma de trabajar en matematicas.

El capıtulo 2 estudia el conjunto de los numeros reales y se pone especial enfasis encompararlo con otros sistemas numericos.

En el capıtulo 3 se introduce el concepto de sucesion. Se aprovecha la idea discreta delas sucesiones para acostumbrar al lector a la idea intuitiva de lımite para, poco a poco, irformalizando el concepto. Se trabajan varias tecnicas para decidir la convergencia o no desucesiones.

El capıtulo 4 introduce el concepto de funcion y se profundiza en la idea de continuidad deuna funcion real de variable real, buscando un equilibrio entre la intuicion y la formalizacion.Se introducen los ejemplos mas importantes de funciones de una variable real.

En el capıtulo 5 se define la derivada de una funcion, enfatizando su papel como funcionque determina el crecimiento relativo de la funcion con respecto a la variable, Se deducenlas formulas mas importantes sobre las derivadas y, finalmente se resuelven los ejemplos mastıpicos de aplicaciones de la derivada.

Marıa Luisa Perez SeguıFac. Cs. Fısico-Matematicas

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgodiciembre 2016.

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Indice

Introduccion I

1. Logica y conjuntos 1

1.1. Deducciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Negaciones, “todo” vs “existe” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Uso de “y” y de “o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5. Preliminares de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. El conjunto de los numeros reales 17

2.1. Algunos sistemas numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Tamanos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Los reales como campo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Sucesiones 30

4. Funciones 41

4.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4. Lımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5. Inversas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Derivadas 63

5.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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1. Logica y conjuntos

Una buena parte del problema en el aprendizaje de las Matematicas radica en la laxitudcon la que a veces se maneja el lenguaje. Por esta razon, empezaremos el curso viendo unpoco de logica.

Desgraciadamente tendemos a usar el lenguaje de manera muy imprecisa, lo cual lleva aambiguedades. Esto podrıa ser aceptable al escribir una comedia, inclusive, precisamente laambiguedad se presta a un doble juego de palabras que provoca risa. En las Matematicas nopuede haber lugar para ninguna imprecision.

En Matematicas, cuando se asegura algo, no hay ninguna implicacion escondida. Es decir,si se dice “tengo un perro”, eso significa que se tiene por lo menos un perro, pero podrıanser dos o mas. Si se quiere decir que solo es uno, hay que especificarlo diciendo, por ejemplo:“Tengo exactamente un perro.” o “Tengo uno y solo un perro.”

Existe un area de las Matematicas dedicada a la Logica Matematica. Es un area difıcil,profunda, sujeta a mucha investigacion de especialistas, que formaliza todo el estudio delas Matematicas. Es un area que va mucho mas alla de nuestro estudio del Calculo a nivelintroductorio.

Como seres humanos, tenemos una logica natural. Nos basaremos en ella para dar al-gunos ejemplos de lo que es correcto y lo que no es. No intentaremos dar un recetario dereglas de como razonar ni seremos exhaustivos. Serıa tan absurdo como pretender explicarletodas las reglas gramaticales a un bebe cuando esta empezando a hablar. Empezaremos uti-lizando frases del lenguaje comun para ejercitar un poco nuestra logica natural, lo cual serafundamental para poder avanzar en el estudio de las Matematicas.

1.1. Deducciones

Empezaremos viendo algunos ejemplos sobre posibles deducciones que pueden obtenersea partir de algunas proposiciones dadas.

1.1 Ejemplo. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

Todo hombre es mortal. Raul es hombre.

Solucion. Raul es mortal. ♦

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1.2 Ejemplo. ¿Que puede concluirse de la frase siguiente?:

No es cierto que a todos los hombres les gusta el futbol.

Solucion. Existe por lo menos un hombre al que no le gusta el futbol. ♦

1.3 Ejemplo. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

Todos los que no estudien van a reprobar. Alonso va a reprobar.

Solucion. Nada. ♦

1.4 Ejemplo. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

Confıo en todos los que no confıan en sı mismos. No confıo en mı mismo.

Solucion. Confıo en mı mismo. (Esto es una paradoja, pero no hay problema, es la con-clusion.) ♦

1.2. Negaciones, “todo” vs “existe”

Cualquier afirmacion (matematica) que se haga tiene una “contraria”: negacion, de ma-nera que si la afirmacion es verdadera, entonces la negacion es falsa, y viceversa.

La negacion de la negacion es la misma afirmacion.

Veamos algunos ejemplos.

1.5 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Todos los matematicos estan locos.

Solucion. Existe un matematico cuerdo. ♦

1.6 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Tengo un amigo que no tiene computadora.

Solucion. Todos mis amigos tienen computadora. ♦

1.7 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Existe alguna persona que piensa que las matematicas son aburridas.

Solucion. Todas las personas piensan que las matematicas son divertidas. ♦

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1.8 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Hay (al menos) un salon de clase en el cual todos los estudiantes aprobaron.

Solucion. En cada salon de clase existe un estudiante que no aprobo. ♦

En general las afirmaciones en Matematicas incluyen, de alguna manera (posiblementeimplıcita), alguna de las palabras “todo” (que podrıa sustituirse, tal vez por “cada”) o“existe” (equivalente a “hay”, o a “algun”). En los ejemplos ya vimos que la negacion de“todo” (en sus diferentes formas como, por ejemplo “cada”) es “existe” (o, equivalentemente,“hay algun”) y viceversa.

1.3. Uso de “y” y de “o”

Una frase que consta de dos frases unidas por la conjuncion “y” es verdadera exactamentecuando las dos frases lo son. Por ejemplo, es falsa la afirmacion:

“Este hongo es venenoso y es comestible.”

Una frase que consta de dos frases unidas por la conjuncion “o” es verdadera cuando unade las dos frases lo es (posiblemente ambas). Por ejemplo, es cierta la afirmacion:

“Mido mas de un metro o mido menos de metro y medio.”

Tambien es cierta la afirmacion:

“En el mar hay agua o existe un perro con 4 patas.”

En general, la negacion de una afirmacion que usa “y” es una que usa “o” y viceversa,como veremos en los ejemplos.

1.9 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Juanito es grande y fuerte.

Solucion. Juanito no es grande o Juanito no es fuerte. (En este caso, en la negacion queestamos dando, con “o”, abarca las siguientes posibilidades:

Juanito es grande pero no fuerte.

Juanito es fuerte pero no grande.

Juanito no es fuerte y tampoco es grande.) ♦

1.10 Ejemplo. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Susana es maestra o es futbolista.

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Solucion. Susana no es maestra y tampoco es futbolista. (En este caso, la frase dada, con“o”, abarca las tres posibilidades siguientes:

Susana es maestra y tambien es futbolista.

Susana es maestra pero no es futbolista.

Susana no es maestra, pero sı es futbolista. ♦

1.4. Demostraciones

En Matematicas se busca saber si determinada proposicion es verdadera o falsa. Unaprueba o demostracion de la proposicion debe ser contundente. Un razonamiento logico debellevar de la llamada hipotesis (lo que se esta suponiendo) a la conclusion. Desde luego, elprocedimiento que va a usarse depende del tipo de afirmacion que se quiera demostrar. Enalgunos casos la demostracion es inmediata, de un solo paso. En otros casos, se debe recurrira otras afirmaciones que se toman como verdaderas, ya sea por definicion o porque ya seha demostrado su validez a partir de otras, y la demostracion puede ser muy larga. Hayciertas afirmaciones, inclusive, de las que no se conoce ninguna demostracion o que no puedededucirse a partir de lo que se supone.

Analicemos si los siguientes ejemplos de afirmaciones son verdaderos o falsos.

1.11 Ejemplo. Determinar si es verdadera o falsa la siguiente afirmacion, tomandocomo un hecho que todo animal es mortal.

Todo perro es mortal.

Solucion. Es verdadera pues todo perro es animal. ♦

1.12 Ejemplo. Determinar si es verdadera o falsa la siguiente afirmacion:

Toda persona mide menos de 1.8 m.

Solucion. Es falsa pues Shaquille O’Neal mide 2.16 m ♦

1.13 Ejemplo. Analizar como serıa una demostracion de la siguiente afirmacion, ycomo serıa la afirmacion de su negacion:

Existe un cisne negro.

Solucion. Para probar que la afirmacion es cierta bastarıa que mostrara un cisne negro.

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¡Con uno que mostrara serıa suficiente!

Si quisieramos probar que la afirmacion es falsa, tendrıamos que analizar cada uno de loscisnes del mundo y ver que ninguno de ellos es negro. Tambien serıa valida una demostraciontomando una definicion ya aceptada en la que dijera, por ejemplo: “Un cisne es un animalblanco que...” El punto es que debe darse un argumento general, que abarque todos loscasos. ♦

1.14 Ejemplo. Analizar como serıa una demostracion de la siguiente afirmacion, ycomo serıa la afirmacion de su negacion:

Todas las quesadillas tienen queso.

Solucion. Para probar que la afirmacion es cierta habrıa que mostrar todas las quesadillasdel mundo y exhibir que tienen queso. Otra forma podrıa ser argumentar que si no tuvieraqueso, por definicion no podrıa ser quesadilla.

Para probar que la afirmacion es falsa, serıa suficiente con mostrar una quesadilla que notuviera queso. ♦

1.15 Ejemplo. Hay cuatro tarjetas en la mesa. Cada tarjeta tiene un numero en unlado y una letra en el otro. Pedro afirma que si una tarjeta tiene una vocal en un ladoentonces el numero que aparece en el otro lado de la tarjeta es par. Si lo que se ve de lastarjetas es:

E,K, 4, 7,

¿cuantas tarjetas se deben voltear mınimamente para ver si lo que dice Pedro es cierto?

Solucion. Es necesario voltear 2 y con eso es suficiente: la que muestra E (para ver sies cierto que del otro lado hay un numero par) y la que muestra 7 (pues del otro lado nodeberıa haber vocal). ♦

1.16 Ejemplo. Si se consideran en orden las siguientes afirmaciones, ¿cual es la primeraque es cierta?

(a) “(c) es cierta”

(b) “(a) es cierta”

(c) “(e) es falsa”

(d) “(b) es falsa”

(e) “1 + 1 = 2”

Solucion. Si (a) fuera cierto, entonces tambien lo serıa (c), pero (c) es falso porque diceque (e) es falso. Entonces (a) es falso. Entonces (b) tampoco puede ser cierto. Como yavimos, (c) es incorrecto, ası que la primera afirmacion cierta es (d). ♦

1.17 Ejemplo. Formados en una fila hay 25 personas; algunas dicen siempre la verdady las demas siempre mienten. La primera persona de la fila dijo que todas las demas son

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mentirosas. Cada una de las otras personas dijo que la persona delante de ella es mentirosa.¿Cuantas de las personas de la fila son mentirosas?

Solucion. La primera persona no pudo haber dicho la verdad pues eso querrıa decir quetodas las demas son mentirosas, pero ası la tercera habrıa dicho la verdad (al decir que laanterior a ella es mentirosa) y entonces ella misma no serıa mentirosa. Entonces la primerapersona dijo mentira, de lo cual se deduce que la segunda persona dijo verdad, la terceramentira y ası sucesivamente. En total hay 13 mentirosas. ♦

1.18 Ejemplo. Silvia y Constancio juntaron sus canicas. Algunas eran rojas y las otraseran verdes. Se sabe que en total hubo mas canicas rojas que verdes, y que menos de la mitadde las canicas eran de Silvia. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones seguro son ciertas?

(a) Alguna de las canicas rojas era de Constancio.

(b) Todas las canicas de Silvia eran verdes.

(c) Constancio no puso ninguna canica verde.

(d) Silvia puso al menos una canica verde.

(e) Constancio puso mas canicas rojas que verdes.

Solucion. La afirmacion (a) debe ser cierta, pues si todas las canicas rojas fueran deSilvia, como hay mas canicas rojas que verdes, Silvia tendrıa mas de la mitad de las canicas.Las afirmaciones (b), (c) y (d) no necesariamente son ciertas. Podrıa ser, por ejemplo, queConstancio hubiera puesto 3 canicas rojas y 1 verde y que Silvia hubiera puesto una rojasolamente. Tampoco (e) es necesariamente cierta pues, por ejemplo Constancio podrıahaber puesto 3 canicas verdes y 2 rojas, y Silvia dos rojas. ♦

1.19 Ejercicio. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

Todo michoacano es mexicano. Ernesto no es mexicano.

1.20 Ejercicio. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

Todos los mexicanos usan sombrero. Existe por lo menos un mexicano que toma tequila.

1.21 Ejercicio. ¿Que puede concluirse de las dos frases siguientes?:

No existen los dragones. Barney existe.

1.22 Ejercicio. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Mi abuela tiene un perro y un gato.

1.23 Ejercicio. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Cada canica dentro de la caja es roja o azul.

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1.24 Ejercicio. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

Existe una persona a la cual le gustan todas las pizzas del menu.

1.25 Ejercicio. ¿Cual es la negacion de la siguiente afirmacion?:

A todas las personas les gusta alguna cancion de los Beatles.

1.26 Ejercicio. ¿Cual de las siguientes es la negacion de la siguiente afirmacion: “Todosresolvieron mas de 20 problemas.”?

“Nadie resolvio mas de 20 problemas.”

“Alguien resolvio menos de 21 problemas.”

“Alguien resolvio exactamente 20 problemas.”

“Alguien resolvio mas de 20 problemas.”

“Todos resolvieron menos de 21 problemas.”

1.27 Ejercicio. Juan Pablo tiene tres dispensadores de dulces que dan un dulce a lavez. No puede ver lo que tienen adentro, pero sabe que uno contiene dulces de cereza, otroesta lleno con dulces de limon y otro tiene de los dos sabores. Tambien sabe que todas lasetiquetas de los dispensadores se cambiaron entre sı y quedaron equivocados. ¿Cual es lamenor cantidad de dulces que puede sacar para reetiquetar los dispensadores correctamente?

1.5. Preliminares de Conjuntos

Los conjuntos estan formados por elementos y esos elementos determinan a los conjuntos,es decir, dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos elementos.

Normalmente usaremos mayusculas para denotar a los conjuntos, y minusculas para loselementos. Si a es un elemento del conjunto A escribimos a ∈ A; si a no pertenece a aescribimos a ∈6 A.

Hay varias maneras de describir un conjunto; una de ellas es poniendo sus elementosentre llaves, por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son 1, 7 y 22 se representa porA = {1, 7, 22} y ası 1 ∈ A, 7 ∈ A y 22 ∈ A pero 4 ∈6 A. El orden en que se escribenlos elementos dentro de las llaves no es importante ni tampoco si algun elemento aparecerepetido; por ejemplo, A = {1, 7, 22} = {7, 1, 22} = {22, 22, 1, 22, 7, 7}; en este caso elconjunto tiene 3 elementos, independientemente de cuantos se hayan enlistado. Otra formacomun de especificar un conjunto es mediante las propiedades que satisfacen sus elementos;

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por ejemplo, el conjunto de los numeros enteros del 1 al 5 puede escribirse tambien como

{x|x es entero y 1 ≤ x ≤ 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

La lınea vertical | se lee “tales que” o “con la propiedad” y puede sustituirse por : o por ;(para no confundirla con algun otro sımbolo matematico que se este usando en el texto encuestion).

El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacıo y se denota por ∅. Ası ∅ = {}.Es un error decir que el conjunto vacıo es {∅} pues este ultimo tiene un elemento, a saber,el conjunto vacıo: ∅ ∈ {∅}, mientras que el conjunto vacıo tiene 0 elementos.

Algunos conjuntos importantes en matematicas son:

N = {1, 2, 3, . . .} es el conjunto de los numeros naturales.

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} es el conjunto de los numeros enteros.

Q = {ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0} es el conjunto de los numeros racionales. Aquı debe considerarseque a

b= c

dsi, y solo si, ad = bc.

R = {A.a1a2... : A ∈ Z, an ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9} para n ∈ N} es el conjunto de los numerosreales. Aquı tambien debe considerarse que hay repeticiones cuando hay “colas”de 0′s o 9′s(por ejemplo 23.04999 . . . = 23.05000 . . .).

Si A y B son conjuntos tales que cada elemento de A tambien es elemento de B entoncesdecimos que A es subconjunto de B; escribimos A ⊂ B (algunos libros usan la notacionA ⊆ B) y leemos A “esta contenido en” B. (Esto mismo tambien puede escribirse comoB ⊃ A y leemos “B contiene a” A.) Por ejemplo

(∗) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Escribimos A ⊂6 B si A no es subconjunto de B, es decir que algun elemento de A nopertenece a B (o, en otras palabras, que existe a ∈ A tal que a ∈6 B). Si A ⊂ B pero sondistintos y queremos enfatizar la desigualdad, entonces escribimos A ⊆6 B y decimos que Aes subconjunto propio de B. El sımbolo ⊂ se llama contencion o inclusion. Ası tenemos quelas inclusiones de (∗) son todas propias. En efecto: N ⊆6 Z pues −1 ∈ Z pero −1 ∈6 N; Z ⊆6 Qya que 1

2∈ Q pero 1

2∈6 Z; Q ⊆6 R ya que

√2 ∈ R pero

√2 ∈6 Q.

Muchas veces es conveniente tener una visualizacion geometrica de la situacion de conjun-tos respecto a otros. Para ellos utilizamos los diagramas de Venn. Por ejemplo, el diagramade la izquierda representa que A ⊂ B y el de la derecha que A ⊂6 B:

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1.28 Proposicion. La relacion de inclusion entre conjuntos satisface:

(i) Para cualquier conjunto A se tiene que ∅ ⊂ A.

(ii) Para cualquier conjunto A se tiene que A ⊂ A. (Esta es la propiedad reflexiva de lainclusion.)

(iii) Si A, B y C son conjuntos que cumplen A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C. (Esta esla propiedad transitiva de la inclusion.)

Si A y B son conjuntos tales que A ⊂ B y B ⊂ A entonces A = B. (Esta se llamapropiedad antisimetrica de la inclusion.)

El conjunto potencia de un conjunto A es

P(A) = {B : B ⊂ A},

es decir, los elementos de P(A) son los subconjuntos de A; por ejemplo, si A = {1, 2, 3}entonces P(A) consta de 23 = 8 elementos:

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}.

Ası, por ejemplo {1} ∈ P(A) pero 1 ∈6 P(A) y {1} ⊂6 P(A).

1.29 Ejercicio. Decir cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales sonfalsas:

(a) ∅ ∈ {1, 2}.(b) {1} ⊂ {1, 2}.(c) ∅ ⊆6 P(∅).(d) {1, 5} ∈ N.

(e) {1, 5} ∈ P(N).

(f) {∅} ∈ P(N).

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1.6. Operaciones con conjuntos

Si todos los conjuntos que se trabajan en determinado momento son subconjuntos deotro conjunto X, entonces decimos que X es conjunto universal. Por ejemplo, en geometrıaplana el conjunto universal es el plano.

Dado un conjunto A, el conjunto de los elementos que no pertenecen a A (pero que sıpertenecen al conjunto universal) se llama complemento de A y lo denotamos por Ac o porX \ A. Entonces

Ac = {x ∈ X : x ∈6 A}.El diagrama de Venn correspondiente es:

1.30 Proposicion. Sea X el conjunto universal. Entonces

(i) ∅ c = X y Xc = ∅.(ii) Si A es un conjunto entonces (Ac)c = A. ♦

Si A y B son conjuntos, su union es el conjunto

A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.

Recordemos que la conjuncion “o” significa que la proposicion en la que se encuentra esverdadera si cualquiera de las dos proposiciones que une lo es. Ası, en este caso la unionde dos conjuntos A y B se forma agregando a los elementos de A los elementos de B. Porejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} entonces la union es el conjunto A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.El diagrama de Venn para la union es el siguiente:

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Si A y B son conjuntos, su interseccion es el conjunto

A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.Ahora la conjuncion “y” nos dice que que las dos condiciones deben satisfacerse simultanea-mente. Ası, en este caso la interseccion de dos conjuntos A y B se forma tomando loselementos en comun de A y B. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} entonces lainterseccion es el conjunto A ∩ B = {3}. El diagrama de Venn para la interseccion es elsiguiente:

Cuando A y B no tienen elementos en comun, es decir A ∩ B = ∅, decimos que A y Bson ajenos. La situacion en el diagrama de Venn es:

Si A y B son conjuntos, la diferencia A menos B es el conjunto

A \B = {x : x ∈ A y x ∈6 B}.Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} entonces A \ B = {1, 2}. El diagrama de Venncorrespondiente es:

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1.31 Proposicion. Sean A, B y C conjuntos dentro de un conjunto universal X.Entonces

(i) A ∩B ⊂ A ⊂ A ∪B (y, similarmente, A ∩B ⊂ B ⊂ A ∪B).

(ii) A ∪ A = A y A ∪ ∅ = A.

(iii) A ∩ A = A y A ∩ ∅ = ∅.(iv) A = A ∩B si, y solo si, A ⊂ B.

(v) (A ∪B) ∪C = A ∪ (B ∪C). En particular, podemos omitir los parentesis sin peligrode confusion. Esta es la propiedad asociativa de la union.

(vi) (A∩B)∩C = A∩ (B ∩C). En particular, podemos omitir los parentesis sin peligrode confusion. esta es la propiedad asociativa de la interseccion.

(vii) A ∪B = B ∪ A. Esta es la propiedad conmutativa de la union.

(viii) A ∩B = B ∩ A. Esta es la propiedad conmutativa de la interseccion.

(ix) A ∩ Ac = ∅ y A ∪ Ac = X.

(x) A \B = A ∩Bc.

Demostracion. Todas son inmediatas de la definicion. ♦

1.32 Proposicion. Sean A, B y C conjuntos. Entonces

(i) Distributividad de la interseccion sobre la union:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

(ii) Distributividad de la union sobre la interseccion:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Demostracion. (i) Debemos probar Las siguientes dos inclusiones:

(1) A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) y

(2) (A ∩B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C).

Probemos (1). Sea x ∈ A ∩ (B ∪ C). Si x ∈ A ∩ B, entonces ya acabamos, ası quesupongamos que esto no es cierto; pero como x ∈ A, entonces x no puede ser elemento deB. Sin embargo, x ∈ B ∪ C, ası que x ∈ C; de esta manera tenemos que x ∈ A ∩ C yterminamos.

Ahora probemos (2) suponiendo que un elemento x ∈ (A∩B)∪ (A∩C). Sin perdida degeneralidad, podemos suponer que x ∈ A∩B (pues el razonamiento serıa identico en el casox ∈ A ∩ C). Entonces tenemos que x ∈ A y tambien que x ∈ B, pero como B ⊂ B ∪ C,entonces tenemos que x ∈ A ∩ (B ∪ C).

Nota: La distribucion de la interseccion sobre la union no es mas que la distribucion de‘y’ sobre ‘o’. Cuando uno ya ha comprendido bien esta distribucion, simplemente podrıaescribir la demostracion como sigue:

12

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Se deduce de las siguientes equivalencias:

x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ A y x ∈ B ∪ C⇔ x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)⇔ (x ∈ A y x ∈ B) o (x ∈ A y x ∈ C)⇔ x ∈ A ∩B o x ∈ A ∩ C ⇔ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

El diagrama de Venn correspondiente es

(ii) Se deja como ejercicio. ♦

1.33 Proposicion. Leyes de De Morgan. Sean A y B conjuntos dentro de un conjuntouniversal X. Entonces

(i) (A ∪B)c = Ac ∩Bc.

(ii) (A ∩B)c = Ac ∪Bc.

Demostracion. (i) Debemos probar las dos inclusiones:

(1) (A ∪B)c ⊂ Ac ∩Bc y

(2) Ac ∩Bc ⊂ (A ∪B)c.

Probemos (1). Sea x ∈ (A∪B)c. Entonces x /∈ A∪B. Si x ∈ Ac, entonces ya terminamos,ası que supongamos lo contrario; esto quiere decir que x ∈ A, pero esto es una contradiccionpues x /∈ A ∪B. De forma analoga se prueba que x ∈ Bc.

Ahora probemos (2). Sea x ∈ Ac ∩ Bc y supongamos que x ∈ A ∪ B; pero entonces, sinperdida de generalidad, x ∈ A, lo cual es una contradiccion.

Nota. Al igual que cuando probamos la distributividad de la intereseccion sobre la union,cuando ya hemos comprendido bien que la negacion de ‘y’ es ‘o’ y viceversa, podemos escribirla demostracion como sigue:

Se deduce de las siguientes equivalencias:

x ∈ (A ∪B)c ⇔ x ∈6 A ∪B ⇔ x ∈6 A y x ∈6 B⇔ x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac ∩Bc.

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El diagrama de Venn en este caso es:

(ii) Se deja como ejercicio. ♦

1.34 Corolario. Sean A, B y C conjuntos dentro de un conjunto universal X. Entonces

(a) (A \ (B ∪ C)) = (A \B) ∩ (A \ C).

(b) (A \ (B ∩ C)) = (A \B) ∪ (A \ C). ♦

1.35 Ejercicio. Decir si las siguientes propiedades son verdaderas o falsas para A, By C conjuntos en un conjunto universal X. (Si son verdaderas, hacer una demostracion; sison falsas, dar un ejemplo.)

(i) Si A \B = ∅ entonces A = B.

(ii) (A ∪B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C).

(iii) (A \B) \ C = A \ (B \ C).

(iv) Si A tiene m elementos y B tiene n elementos entonces A∪B tiene m+n elementos.

1.36 Ejercicio. Probar la distributividad de la union sobre la interseccion y hacer eldiagrama de Venn correspondiente.

1.37 Ejercicio. Probar la ley de De Morgan no probada en las notas y hacer el dia-grama de Venn correspondiente.

Si A y B son dos conjuntos definimos su producto cartesiano como sigue:

A×B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

Si A = B, en lugar de A × B escribimos A2; ası, por ejemplo, R2 es el conjunto de parejasordenadas de numeros reales, usualmente representadas geometricamente en el plano. De lamisma manera podemos definir An para n natural. Notemos que aquı, a diferencia de en

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los conjuntos, es importante si hay repeticion y el orden de los elementos, por ejemplo, enconjuntos tenemos que {1, 2} = {2, 1} = {1, 1, 2} = {2, 2, 1} pero (1, 1, 2), (1, 2, 1) y (2, 2, 1)son todos elementos distintos de R3.

1.38 Ejemplo. (a) Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces

A×B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}.

(b) Si A = {x ∈ R : x < 3} y B = {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 2}, entonces A × B es el conjuntodel plano que mostramos a continuacion:

1.39 Proposicion. Sean A, B conjuntos dentro de un conjunto universal X, y sea Cun conjunto dentro de un conjunto universal Y . Entonces

(i) A× ∅ = ∅.(ii) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).

(iii) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).

(iv) Ac × Cc 6= (A× C)c.

Demostracion. Se deducen directamente de la definicion. ♦

1.40 Ejercicio. Decir si las siguientes propiedades son verdaderas o falsas para A yB conjuntos dentro de un conjunto universal X, y C un conjunto dentro de un conjuntouniversal Y . (Si son verdaderas, hacer una demostracion; si son falsas, dar un ejemplo.)

(a) Ac × Cc = (A× Cc) ∩ (Ac × C).

(b) (A× C)c = (X × Cc) ∪ (Ac × Y ).

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1.41 Ejercicio. Para a = (a1, a2) ∈ R2 y r > 0, r real definamos

Br(a) = {(x, y) ∈ R2 :√

(x− a1)2 + (y − a2)2 < r}.

Probar que si s < r y a ∈ R2 entonces Bs(a) ⊆6 Br(a) y hacer un dibujo de esto.

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2. El conjunto de los numeros reales

2.1. Algunos sistemas numericos

Estudiaremos aquı distintos sistemas numericos. Explicaremos como surge la necesidadde crear sistemas cada vez mas completos y complicados. Conforme avancemos iremos in-troduciendo la notacion necesaria para describir conjuntos. (Una exposicion mas completasobre conjuntos puede encontrarse en el curso de Algebra Superior I).

Los numeros que nos sirven para contar se llaman naturales. Son los numeros 1, 2, 3,etc. (Algunos libros consideran al 0 como numero natural). Denotamos al conjunto de losnumeros naturales por N. De esta manera tenemos que

N = {1, 2, 3, . . .},

es el conjunto de los numeros naturales.

Sabemos que en N esta definida una suma; es decir, si a y b son naturales (escribimosa, b ∈ N), entonces a + b tambien es un numero natural. Sin embargo, la operacion inversade la suma no siempre es posible en N, esto es, dados a y b naturales, no siempre existe unnatural x de manera que a = b + x, como por ejemplo si a = 3 y b = 5 (hay solucion si, ysolo si, a > b). Es por esta razon que es necesario considerar un conjunto mas grande en elcual sı se valga restar. Se construye entonces

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .},

el conjunto de los numeros enteros.

El conjunto de los numeros naturales esta contenido en el de los enteros (escribimosN ⊂ Z) y en Z hay una suma (que extiende a la de N) pero es mas rico en estructura puesen Z todas las ecuaciones de la forma a = b + x, con a, b ∈ Z tienen solucion x en Z. Sinembargo ahora nos topamos con otra deficiencia en los numeros enteros: pasa lo mismo quecon los numeros naturales pero ahora con respecto a las multiplicacion, es decir, si a y b sonenteros (con b 6= 0), no siempre la ecuacion bx = a tiene solucion (por ejemplo no existeun entero x tal que 6x = 15; en general, hay solucion si, y solo si, a es multiplo de b). Seconstruye entonces el conjunto de los numeros racionales:

Q ={ab

: a, b ∈ Z, b 6= 0},

Aquı debe aclararse que la expresion como cociente de dos enteros no es unica, por ejemplo,26

= 515

, ası que debe tomarse en cuenta que ab

= cd

si, y solo si, ad = bc.

La estructura algebraica de Q es muy rica. Contiene a los enteros y hay suma, resta,multiplicacion y division (entre elementos distintos de 0) que satisfacen ciertas propiedades

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convenientes (las cuales enunciaremos mas adelante en el contexto de campo). Sin embargo, elconjunto de los numeros racionales todavıa tiene una deficiencia: no cubre todas las medidas,por ejemplo, si uno construye un triangulo rectangulo con catetos de medida 1 (que esracional) la hipotenusa mide un numero que veremos despues que no es racional:

√2. Otro

numero bien conocido por nosotros y que se puede probar que no es racional es π. Entoncesse construye:

R = {A.a1a2a3... : A ∈ Z, an ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}, para n ∈ N},

el conjunto de los numeros reales. Aquı tambien debe considerarse que hay repeticiones enla escritura que se presentan cuando hay “colas” de 0′s o 9′s (por ejemplo 23.04999 . . . =23.05000 . . .).

R es el conjunto de los numeros que nos sirven para medir distancias con direccion, esdecir, con signo. Podemos representar a los reales en una recta numerica y viceversa.

Los elementos de R que no pertenecen a Q (es decir, los elementos de la diferencia deconjuntos R \ Q) se llaman irracionales. Todo numero entero es racional y tambien todoracional es real; por ejemplo, 3 = 3

1= 3.000 . . ., 2

5= 0.4000 . . ., 4

3= 1.333 . . .. Resulta que

todo numero real es lımite de numeros racionales. Tendremos oportunidad mas adelante deexplicar de manera precisa y formal lo que se entiende por lımite pero, por ahora, analicemosun poco que significa las escritura A.a1a2a3 . . . presentada arriba en la descripcion de losnumeros reales. A una escritura de este tipo se le llama expansion decimal.

Nosotros estamos acostumbrados a trabajar en base 10. Por ejemplo, en la escritura de1095 se toma un 1, luego un 0, luego un 9 y luego un 5 y significa:

1095 = 1000 + 90 + 5= 1 · 103 + 0 · 102 + 9 · 101 + 5 · 100.

La razon para la nomenclatura “expansion decimal” es que la expresion se basa en unsistema posicional en que en cada posicion la cifra (que puede ser cualquier entero entre 0 y9) representa el numero de veces que debe tomarse la potencia de 10 correspondiente a esaposicion.

Para escribir este mismo numero 1095 en expansion binaria (base 2) deberıamos ponerlocomo suma de potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 . . .); en este caso

1095 = 1024 + 64 + 4 + 2 + 1= 1 · 1010 + 0 · 109 + 0 · 108 + 0 · 107 + 1 · 106 + 0 · 105

+0 · 104 + 0 · 103 + 1 · 102 + 1 · 101 + 1 · 100

= 100010001112

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Las cifras que se usan en expansion decimal de un numero son los enteros del 0 al 9 porque, encuanto aparece 10 veces una potencia de 10, mas bien se agrega a la cifra mas a la izquierda.Por ejemplo 48 + 6 = 40 + 8 + 6 = 40 + 14 = 40 + 10 + 4 = 54. De la misma manera, lascifras que se usan en base 2 son los numeros 0 y 1; en base 3, se usan los enteros 0, 1 y 2.

2.1 Ejercicio. Escribir el numero 1095 en expansion ternaria, es decir, en base 3.

2.2 Ejercicio. Realizar la suma siguiente en base 2: 101110102 + 1100012.

2.3 Ejercicio. ¿Que caracteriza a los numeros pares cuando se les escribe en base 2?

2.4 Ejercicio. Convertir los numeros 4211 y 349 a base 2 y realizar su suma y tambiensu resta en base 2. Comprobar los resultados convirtiendo otra vez a base 10.

2.5 Ejercicio. ¿Como se puede describir un algoritmo para realizar una multiplicacionen base 2?

Ahora consideremos que significa la escritura de un numero no entero en su expresiondecimal. Por ejemplo,

1

5= 0.4 =

4

10,

1

3= .333 . . . =

3

10+

3

100+

3

1000+ . . . ,

π = 3.14159... = 3 +1

10+

4

100+

1

1000+

5

10000+

9

100000+ . . . .

De esta manera, decimos que los numeros reales son lımite de numeros racionales. Es-tudiaremos mas adelante este concepto con mas cuidado. Por el momento solo digamos quetodo numero en la recta real se puede ir aproximando usando numeros reales; ası, si toma-mos, sucesivamente los numeros racionales 3, 3+ 1

10, 3+ 1

10+ 4

100, 3+ 1

10+ 4

100+ 1

1000, estaremos

cada vez mas cerca de π. Esto podemos representarlo en la recta real, como sigue: primeroestamos entre el 3 y el 4; luego dividimos ese intervalo (del 3 al 4) en 10 partes iguales y elnumero 3 + 1

10esta entre la primera y la segunda division; ese pedacito lo volvemos a dividir

en 10 partes iguales y ası sucesivamente; de esta manera nos vamos acercando a π.

2.6 Ejercicio. ¿Como se describe un numero no entero en expansion binaria?

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Como hemos dicho, todo numero racional es real (Q ⊂ R) pero hay numeros reales queno son racionales y, un ejemplo es

√2. Probemos esto.

2.7 Proposicion.√

2 ∈ R \Q.

Demostracion. Supongamos que√

2 = ab, con a y b enteros sin factores en comun; enton-

ces, despejando y elevando al cuadrado tenemos que 2b2 = a2, de donde a es par: a = 2c; peroentonces 2b2 = 4c2, ası que b2 = 2c2 y entonces b es par, contradiciendo nuestra suposicionde que a y b no tienen factores en comun. ♦

2.8 Ejercicio. Probar que si p es un numero primo, entonces√p no pertenece a Q.

(Sugerencia: Recordar que todo numero entero tiene expresion unica como producto denumeros primos, salvo por el orden.)

No debemos pasar por alto que algunas expansiones decimales son infinitas (despues delpunto decimal), como por ejemplo la expansion de 1

3, que consta de una infinidad de 3′s.

Esto usualmente se representa por 13

= .3, indicando que el 3 debe repetirse una infinidad deveces. De esta manera, tambien podemos considerar numeros reales como 1.2403 en donde,a partir del 2 la repeticion es de las tres cifras 403. En los casos que acabamos de consideraren que hay una repeticion infinita de cifras, decimos que la expansion de los numeros esperiodica y llamamos periodo a lo que se repite (en el primer caso el periodo es 3 y en elsegundo, el periodo es 403). Podemos decir que las expansiones finitas son periodicas conperiodo 0 (por ejemplo, 2.4 = 2.40). Es importante notar que hay numeros reales que notienen expansion periodica, como por ejemplo el numero .1010010001..., en el que despuesdel punto los 1′s estan intercalados entre cada vez mas 0′s.

Una pregunta natural, entonces es, ¿que caracteriza a los numeros racionales cuando seles escribe en notacion decimal? La respuesta de esto la encontramos precisamente en siexiste o no periodo de repeticion. Enunciamos esto con precision en el siguiente resultado.

2.9 Proposicion. Un numero real es racional si, y solo si, su expansion decimal esperiodica.

Demostracion. Supongamos primero que un numero x tiene expansion periodica y veamosque x es un cociente de enteros. Para esto, se multiplica x por potencias apropiadas de 10,de tal manera que al restar una de otra se elimine el periodo, y despues se despeja x deuna expresion de enteros. Esto queda mas claro con un ejemplo: Sea x = 3.825; entonces103x− 10x = 3825.25− 38.25 = 3787, ası que x = 3787

990).

Ahora veamos que todo numero racional tiene expansion periodica. Esto se basa en unprincipio muy elemental pero muy poderoso llamado Principio de las Casillas (o del Palomar):Si se dispone de n casillas para colocar m objetos y m > n, entonces en alguna casilla deberancolocarse por lo menos dos objetos.

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Apliquemos este principio para terminar nuestra prueba: Sea ab

el numero considerado,donde a y b son enteros y b 6= 0. Al hacer la division segun el algoritmo usual, los residuosque van quedando son enteros entre 0 y b − 1, ası que forzosamente debera haber algunarepeticion; a partir de ese momento, los cocientes y los residuos que se van obteniendo vanformando un periodo de repeticion. ♦

2.2. Tamanos de conjuntos

Veremos aquı que N,Z y Q tienen el mismo “tamano” pero que el “tamano” de R esmayor. Debemos precisar que significa esto del tamano o cardinalidad de manera media-namente formal. Notemos que cuando decimos que un cierto conjunto tiene 3 elementos esporque se pueden contar sus elementos al mismo tiempo que el conjunto {1, 2, 3}. Por ejem-plo, el conjunto {2, 8, 21} tiene tres elementos: 1 ↔ 2, 2 ↔ 8, 3 ↔ 21. Ası, para n ∈ Nconsideramos a los conjuntos {1, 2, . . . , n} como basicos, y decimos que un conjunto A tie-ne cardinal n, en sımbolos #A = n, si existe una correspondencia uno a uno entre A y{1, 2, . . . , n}. Tambien decimos que el cardinal del conjunto vacıo es 0. En conjuntos infinitosla situacion es bastante mas complicada. Tomamos N como conjunto basico y a su cardinal lellamamos ℵ0 (lease alef 0). Tambien decimos que un conjunto con cardinal ℵ0 es numerable.

2.10 Observacion. Un conjunto A es numerable si, y solo si, es infinito y podemosenlistar los elementos de A de manera que no haya repeticion y que se abarquen todos loselementos: a1, a2, a3, . . . (pues, una vez establecida la correspondencia uno a uno entre N yA, al elemento correspondiente a i ∈ N le llamamos ai).

Veremos a continuacion que Z y Q son numerables pero que R no lo es.

2.11 Proposicion. Z es numerable.

Demostracion. Enlistamos los elementos de Z:

0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . . . ♦

2.12 Ejercicio. Probar que si A y B son numerables, entonces A ∪B tambien lo es.

2.13 Proposicion. El conjunto de los racionales positivos, Q+, es numerable.

Demostracion. Escribamos los elementos de Q+ en una tabla y numeremoslos en zigzagsiguiendo las flechas como indica el esquema, saltandonos los elementos que ya fueron conta-dos (por ejemplo, al pasar por 2

2nos lo saltamos pues ya lo habıamos contado en su expresion

11):

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2.14 Corolario. Q es numerable.

Demostracion. Usamos la proposicion y el ejercicio anteriores. ♦

2.15 Proposicion. R no es numerable.

Demostracion. Supongamos que sı lo es y demos una numeracion para los elementospositivos de R:

A1 = B1.b1,1b1,2b1,3 · · ·A2 = B2.b2,1b2,2b2,3 · · ·A3 = B3.b3,1b3,2b3,3 · · ·

...

Construyamos un elemento c = 0.c1c2c3 ∈ R que no este en esta numeracion tomando: cncualquier dıgito distinto de 0, 9 y de bn,n. ♦

Dentro de la Teorıa de Conjuntos se prueba que hay conjuntos con cardinal mayor queel de R. Otra idea importante en este sentido es la pregunta de si hay conjuntos que tienencardinalidad intermedia entre la de N y la de R. Se prueba que la existencia o no es indepen-diente de la axiomatica mas estandar de la Teorıa de Conjuntos. En ciertos contextos se tomala no existencia como axioma y se le llama Hipotesis del Continuo. Todo esto corresponde aun estudio muy complicado dentro de la Logica.

2.16 Ejercicio. Probar que el conjunto de los irracionales no es numerable.

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2.3. Los reales como campo ordenado

Vamos a estudiar el conjunto R mas profundamente. Empecemos por sus propiedadesalgebraicas.

Propiedad (R1). R es un campo, es decir, en R estan definidas dos operaciones: +(suma) y · (producto) que satisfacen:

(1) Hay neutro para + llamado neutro aditivo, es decir, un elemento 0 tal que a+ 0 =0 + a = a para todo real a.

(2) Hay inversos aditivos, es decir, dado a real existe otro real que denotamos por −aque satisface a+ (−a) = (−a) + a = 0.

(3) La suma es asociativa, es decir, para a, b, c ∈ R se tiene que (a+ b)+ c = a+(b+ c).

(4) La suma es conmutativa, es decir, para a, b ∈ R se tiene que a+ b = b+ a.

(5) Hay neutro para · llamado neutro multiplicativo, es decir, un elemento 1 tal quea · 1 = 1 · a = a para todo real a.

(6) Hay inversos multiplicativos para todos los elementos distintos de 0, es decir, dadoa real no cero existe otro real que denotamos por 1

aque satisface a · 1

a= 1

a· a = 1.

(7) El producto es asociativo, es decir, para a, b, c ∈ R se tiene que (a · b) · c = a · (b · c).(8) El producto es conmutativo, es decir, para a, b ∈ R se tiene que a · b = b · a.

(9) Se satisface la propiedad distributiva del producto sobre la suma es decir,para a, b, c ∈ R se tiene que a · (b+ c) = a · b+ a · c.

2.17 Nota. Q tambien es campo pero Z y N no lo son.

Otra propiedad importante del conjunto de los numeros reales es que tienen un orden.Intuitivamente decimos que a es menor que b si a aparece a la izquierda de b en la rectanumerica. Para poder trabajar de manera mas precisa y no tener contradicciones, los con-ceptos de Matematicas deben axiomatizarse. Podıamos haber hecho esto con la construcciondel conjunto de los numeros reales y con su estructura algebraica; sin embargo, eso resultacomplicado para un curso inicial de matematicas. Por otro lado, es importante empezar ahacer este tipo de estudio, por lo que aprovecharemos la axiomatica de orden, que no estan complicada, para ir adentrandonos en este mundo de la formalizacion matematica. Noharemos demasiado enfasis en esto.

Propiedad (R2). Hay un conjunto no vacıo P de R que satisface:

(a) Si a, b ∈ P entonces a+ b ∈ P .

(b) Si a, b ∈ P entonces ab ∈ P .

(c) Si a ∈ R, entonces exactamente una de las siguientes es cierta: a ∈ P , −a ∈ P o

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a = 0.

Decimos que a > b si a−b ∈ P . Definimos tambien ≥, < y ≤. Resultara que los elementosde P son precisamente los que estan a la derecha del 0, es decir, que P es el conjunto de losreales positivos. Esta es la formalizacion de la definicion de orden que conocemos (y quehace de R un conjunto totalmente ordenado).

Las propiedades de orden que hemos usado con frecuencia se deducen de (R2), comoveremos a continuacion.

2.18 Proposicion. (a) a2 ≥ 0, 1 > 0 y N ⊂ P .

(b) Si a ≥ b y c ≥ d entonces a + c ≥ b + d y, si una de las dos primeras desigualdadeses estricta, tambien lo es la tercera.

(c) Si a ≥ b, c ≥ 0 y d ≤ 0, entonces ac ≥ bc y ad ≤ bd.

(d) a > 0 si, y solo si,1

a> 0.

(e) ab > 0 si, y solo si, ambos a y b son positivos o ambos son negativos.

Demostracion. Probaremos, como ilustracion, algunas de ellas

(a) Por (R2)(c) tenemos tres casos: Si a = 0 entonces a2 = 0; si a ∈ P , entonces a2 ∈ Ppor (R2)(b); si −a ∈ P , entonces a2 ≥ 0 tambien por (R2)(b), pero (−a)2 = a2, ası quea2 ∈ P . Para ver que 1 ∈ P basta observar que 1 = (−1)2 y utilizar lo que acabamos deprobar. Un argumento inductivo y (R2)(a) nos permiten concluir que N ⊂ P . En un curso deAlgebra Superior se estudia detenidamente el significado de la induccion matematica; aquısimplemente explquemos esto como sigue: Ya sabemos que 1 ∈ P ; por (R2)(a) 2 = 1+1 ∈ P ;luego, 3 = 2 + 1 ∈ P y ası sucesivamente.)

(b) a ≥ b nos dice que a − b ∈ P ; analogamente y c ≥ d significa c − d ∈ P . Usando(R2)(a) vemos que a− b+ c− d ∈ P , de donde obtenemos lo que querıamos.

(d) Como a y 1a

son cada uno inverso multiplicativo del otro, basta demostrar una impli-cacion, digamos (⇒); ademas es claro que 1

a6= 0, ası que supongamos que −

(1a

)∈ P ; pero

entonces 1 = a ·(1a

)6∈ P , lo cual es un absurdo. ♦

Las propiedades (R1) y (R2) dicen que R es un campo ordenado.

A partir de ahora usaremos las propiedades algebraicas y de orden que hemos visto arribade manera natural, sin mencionar que las estamos usando.

Veamos algunos ejemplos de aplicacion de las propiedades que acabamos de ver.

Conviene considerar la siguiente notacion. Supongamos que a y b son reales con a ≤ b:

24

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El intervalo abierto de a a b es

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

El intervalo cerrado de a a b es

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

Los siguientes se llaman rayos, ya sea cerrados o abiertos:

[a,∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.

Se pueden considerar tambien intervalos semiabiertos como [a, b) o (a, b].

Ahora sı procedamos a resolver desigualdades. En el primer ejemplo explicaremos dete-nidamente los pasos; cada vez lo iremos haciendo con menos detalle.

2.19 Ejemplo. Determinar el conjunto de reales x que satisfacen la desigualdad −2x+8 ≤ −7x + 3. Escribir el resultado como intervalo, rayo o union de estos y representar eldibujo en la recta real.

Solucion. Utilizando las propiedades vistas arriba sucesivamente ponemos desigualdadesequivalentes a la dada (es decir, desigualdades con el mismo conjunto solucion). Procederemosde la misma manera que se resuelven ecuaciones, solo tomando en cuenta que si multiplicamos(o dividimos) por un numero negativo, la desigualdad debe invertirse:

−2x+ 8− 8 < −7x+ 3− 8,−2x < −7x− 5,

7x− 2x < 7x− 7x− 5,5x < −5,

155x < 1

5(−5),

x < −1.

El conjunto solucion es (−∞,−1). ♦

2.20 Ejemplo. Describir el conjunto {x ∈ R : x2 − 2x− 3 > 0}.

Solucion. Observemos que x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Queremos que este valor seapositivo, por lo cual ambos factores son positivos o ambos son negativos.

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Primer caso. Ambos positivos: x > 3 y x > −1. Como 3 > −1, estas dos condicionesjuntas se reducen a x > 3.

Segundo caso. Ambos negativos: x < 3 y x < −1. Como −1 < 3, estas dos condicionesjuntas se reducen a x < −1.

La solucion es (−∞,−1) ∪ (3,∞). . ♦

2.21 Ejemplo. Describir el conjunto {x ∈ R : x2 + 3x+ 1 ≤ 0}.

Solucion. Podrıamos usar la formula cuadratica para encontrar las raıces de x2+3x+1 = 0,a manera de factorizarlo y proceder como en el ejemplo anterior. Otra forma que, de hecho,tambien nos lleva a la misma factorizacion pero que nos conviene analizar porque nos recuerdala forma en que se deduce la formula cuadratica y nos hace practicar las desigualdadeses la siguiente (observando que completamos cuadrados en el tercer paso y que todas lasdesigualdades que escribimos son equivalentes entre sı):

x2 + 3x+ 1 ≤ 0,x2 + 3x ≤ −1,

x2 + 3x+

(3

2

)2

≤ −1 +

(3

2

)2

,(x+

3

2

)2

≤ 5

4,

Aquı tenemos una situacion del estilo y2 ≤ a con a ≥ 0 (y = x + 32

y a = 54) que podemos

resolver escribiendo 0 ≥ y2− a = (y−√a)(y+

√a). Otra vez, esto ocurre cuando uno de los

factores es positivo y el otro es negativo, lo cual produce dos casos:

El caso y +√a ≥ 0 y y −

√a ≤ 0 nos dice y ≥ −

√a y y ≤

√a y, sustituyendo, tenemos

x+ 32≥ −

√54

y x+ 32≤√

54, ası que x ∈ [−3−

√5

2, −3+

√5

2].

El caso y +√a ≤ 0 y y −

√a ≥ 0 nos dice y ≤ −

√a y y ≥

√a. Pero esto implicarıa que√

a ≤ −√a, lo cual es imposible, ası que solo nos quedamos con el primer caso.

. ♦

2.22 Ejemplo. Describir el conjunto {x ∈ R : 2x−2 <

x+2x−2 < 1}.

Solucion. Primer caso. x − 2 > 0. Entonces 2 < x + 2 < x − 2. La primera desigualdadnos dice que x > 0 y la segunda dice que 2 < −2; como esta segunda es un absurdo y debensatisfacerse las dos desigualdades simultaneamente, se trata del conjunto vacıo.

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Segundo caso. x − 2 < 0. Entonces 2 > x + 2 > x − 2. La primera desigualdad nos diceque x < 0 y la segunda dice que −2 < 2; como esta segunda no impone ninguna restricciona x, la cumplen todos los reales y solo nos fijamos en los que cumplen la primera, es decir,los reales negativos. La solucion final es (−∞, 0). ♦

2.23 Ejercicio. Describir los siguientes conjuntos:

(a) {x ∈ R : x2 ≥ −π}.(b) {x ∈ R : x2 < −π}.

2.24 Ejercicio. ¿El conjunto (2,∞) tiene algun elemento menor que todos los demas?,¿tiene algun elemento mayor?

2.25 Ejercicio. La siguiente “demostracion” concluye algo que es claramente falso.¿En que paso se cometio un error y por que? Sea x = y; entonces x2 ≤ xy, por lo tantox2 − y2 ≤ xy − y2, de donde (x + y)(x − y) ≤ (x − y)y y entonces x + y ≤ y; ası 2y ≤ y y,por lo tanto, 2 ≤ 1.

2.26 Ejercicio. Encontrar todos los reales x para los que se cumple cada una de lassiguientes afirmaciones (escribir la respuesta como union de intervalos).

(a) 4− x < 3− 2x (d) 5− x2 < 8

(b) x2 + x+ 1 > 2 (e)x− 1

x+ 1≥ 0

(c) (x+ 2)2 ≤ 4 (f) (x+ 2)2 ≤ 0

2.27 Ejercicio. Demostrar lo siguiente:

(a) Si a > 1 entonces a2 > a. (d) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.(b) Si 0 < a < 1, entonces a2 < 1. (e) Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2.(c) Si a, b ≥ 0 y a2 > b2 entonces a > b. (f) Si ab > 0, entonces 1

b< 1

a.

2.28 Ejercicio. Hallar el menor valor que puede tener 2x2−3x+4 si x ∈ R. (Sugerencia:Completar cuadrados.)

2.29 Ejercicio. Determinar exactamente para que elementos a ∈ R se tiene que a2 ≥ a.¿Como podrıa expicarse esto en un dibujo que involucre la grafica de la parabola que tienepor ecuacion y = x2 y la de la recta con ecuacion y = x?

Dado a ∈ R definimos el valor absoluto de a, en sımbolos |a|, por

|a| ={

a, si a ≥ 0−a, si a < 0

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Notemos que |a| es la distancia (sin signo) que hay de a a 0 en la recta real.

2.30 Ejercicio. Probar que, para a, b ∈ R, se tiene que |a| ≤ |b| si, y solo si a2 ≤ b2.

2.31 Proposicion. (a) |a| ≥ 0; se da la igualdad si, y solo si, a = 0.

(b) | − a| = |a|.(c) |ab| = |a||b|.(d) −|a| ≤ a ≤ |a|.(e) Para r > 0, |x| < r significa que −r < x < r, es decir, que x ∈ (−r, r).(f) Para r > 0, {x ∈ R : |x| > r} = (−∞, r) ∪ (r,∞).

(g) Para r > 0 y a ∈ R, {x ∈ R : |x− a| ≤ r} = [a− r, a+ r].

(h) Para r > 0 y a ∈ R, {x ∈ R : |x− a| ≥ r} = (−∞a− r] ∪ [a+ r,∞).

(i) Desigualdad del triangulo: |a+ b| ≤ |a|+ |b|.

Demostracion. Las pruebas de los incisos del (a) al (h) son faciles y se dejan como ejercicio.Para probar (i), usamos el ejercicio anterior para observar que es equivalente a probar que(a+ b)2 ≤ (|a|+ |b|)2, que es equivalente a probar que 2ab ≤ 2|a||b|, lo cual es obvio. ♦

2.32 Ejercicio. ¿Que pasa si no se pide que r > 0 en los incisos (g) y (h) de laproposicion anterior?

2.33 Ejemplo. Encontrar {x ∈ R : |x− 2|+ |x+ 1| ≤ 4}.

Solucion. Queremos quitar el valor absoluto para poder trabajar desigualdades como yasabemos hacerlo. Tenemos 4 casos:

Primer caso. x − 2 ≥ 0 y x + 1 ≥ 0. En este caso, x ≥ 2 y x ≥ −1 y, como ambasdeben satisfacerse, se reduce a x ≥ 2. Sin embargo tambien debe satisfacerse la condicion delenunciado que, en vista de que amobos son no negativos, se convierte en x− 2 + x+ 1 ≤ 4,es decir 2x ≤ 5, o sea x ≤ 5

2. Juntando esto con lo anterior tenemos que x ∈ [2, 5

2].

Segundo caso. x − 2 ≥ 0 y x + 1 ≤ 0. En este caso, x ≥ 2 y x ≤ −1, pero este caso esimposible porque ambas deben satisfacerse simultaneamente.

Tercer caso. x − 2 ≤ 0 y x + 1 ≥ 0. En este caso, x ≤ 2 y x ≥ −1, que se reduce ax ∈ [−1, 2]. La condicion del enunciado se traduce en −x+ 2 + x+ 1 ≤ 4, es decir 3 ≤ 4, locual no impone restriccion en la x ası que este caso es lo que ya tenıamos: x ∈ [−1, 2].

Cuarto caso. x − 2 ≤ 0 y x + 1 ≤ 0. En este caso, x ≤ 2 y x ≤ −1, que se reduce ax ∈ (−∞,−1]. La condicion del enunciado se traduce en −x+2−x−1 ≤ 4, es decir −2x ≤ 3que es equivalente a x ≥ −3

2. En total, este caso lo cumplen las x ∈ [−3

2,−1].

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La respuesta final de este ejemplo es la union de los conjuntos solucion de los 4 casos,esto es: [−3

2, 52]. ♦

2.34 Ejercicio. ¿El conjunto del ejercicio anterior es el mismo que {x ∈ R : −4 ≤x− 2 + x+ 1 ≤ 4}?

2.35 Ejemplo. Encontrar {x ∈ R :|x+ 2||x− 4|

≥ 5}.

Solucion. Empecemos por observar que la desigualdad del enunciado es equivalente a|x+ 2| ≥ 5|x− 4| con la restriccion x 6= 4.

Primera forma. Quitemos los valores absolutos analizando los distintos casos, como hemoshecho antes.

Primer caso. x+ 2 ≥ 0 y x− 4 ≥ 0; es decir, x ≥ −2 y x ≥ 4. Lo cual se reduce a x > 4(pues ya habıamos dicho que x 6= 4). Entonces la desigualdad del enunciado se convierte enx+2 ≥ 5(x−4), o sea 22 ≥ 4x y esto es x ≤ 11

2. Juntando con x > 4 tenemos que x ∈ (4, 11

2].

Segundo caso. x ≥ −2 y x ≤ 4. Lo cual se reduce a −2 ≤ x < 4. La desigualdad delenunciado se convierte en x + 2 ≥ 5(4 − x), o sea 6x ≥ 18 y esto es x ≥ 3. Juntando con−2 ≤ x < 4 tenemos que x ∈ [3, 4).

Tercer caso. x ≤ −2 y x ≥ 4. No hay x que satisfagan esto.

Cuarto caso. x ≤ −2 y x ≤ 4; entonces x ≤ −2 y la desigualdad del enunciado es−x − 2 ≥ 5(4 − x), que equivale a 4x ≥ 22, que nos dice que x ∈ [11

2,∞), pero esto no es

posible pues tenıamos que x ≤ −2.

Juntando todo tenemos que el conjunto solucion es [3, 4) ∪ (4, 112

] = [3, 112

] \ {4}.

Segunda forma. En la desigualdad |x + 2| ≥ 5|x − 4| los terminos son positivos, asıque podemos elevar al cuadrado y tenemos una desigualdad equivalente, en la que ya no hayvalores absolutos (no debemos olvidar la restriccion x 6= 4): x2+4x+4 ≥ 25(x2−8x+16); estaes equivalente, a su vez, a 0 ≥ 24x2 − 204x+ 396 = 12(2x2 − 17x+ 33) = 24(x− 3)(x− 11

2)

(aquı usmos la formula cuadratica para encontrar las raıces y poder factorizar). Tenemosentonces dos casos:

Primer caso. x ≥ 3 y x ≤ 112

, que se reduce a x ∈ [3, 112

], pero recordando que x 6= 4.

Segundo caso. x ≤ 3 y x ≥ 112

, que es imposible.

Juntando tenemos el mismo resultado que en la primera solucion. ♦

2.36 Ejercicio. Hacer un dibujo del conjunto de puntos en R que satisfacen |x+ 3| <

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|x− 2|.

2.37 Ejercicio. Encontrar todos los reales x para los que se cumple cada una de lassiguientes afirmaciones (escribir la respuesta como union de intervalos).

(a) |x− 3| < 8 (c) |x− 1| |x+ 1| = 0(b) |x− 1|+ |x− 2| > 1 (d) |x− 1| |x+ 2| = 3

2.38 Ejercicio. Demostrar que si x, y ∈ R entonces |x| − |y| ≤ |x− y| ≤ |x|+ |y|.

3. Sucesiones

Intuitivamente, una sucesion de reales es una lista de reales (no necesariamente distintos)en la que importa como estan ordenados estos elementos. Consideraremos solo sucesionesinfinitas, o sea, ”listas” infinitas. Para distinguirlas de los conjuntos (en los que importan loselementos y no el orden en que se escriben ni si hay repeticion), escribimos los terminos dela sucesion entre parentesis: (a1, a2, a3, . . .) o, en forma abreviada, (an)n≥1 (o, simplemente(an)n si se sobreentiende que se tomara n a partir de 1, aunque podrıa tomarse a partirde cualquier entero). Ası, a1 es el primer termino de la sucesion, a2 es el segundo, a3 es eltercero y, en general, an es el n-esimo. El rango de la sucesion es el conjunto que forman losterminos de la sucesion: {an : n ∈ N}.

3.1 Ejemplo. (a) La sucesion de los naturales es en la que an = n, es decir, es lasucesion (1, 2, 3, . . .). Su rango es N.

(b) La sucesion constante 2 es la sucesion en que para todo natural n, se tiene que an = 2,es decir, (2, 2, 2, . . .). Su rango consta de un solo elemento: {2}.

(c) La sucesion ((−1)n)n es (−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . .). Es distinta de la sucesion ((−1)n+1)n =(1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .), aunque el rango de ambas es el mismo: {−1, 1}.

(d) La sucesion ( 1n)n es la sucesion (1, 1

2, 13, 14, . . .). Su rango es { 1

n: n ∈ N}.

En ocasiones conviene definir una sucesion en forma recursiva, es decir, definiendo losterminos a partir de los anteriores. En casos ası debe darse una base de la cual partir.Son ejemplos de estas, las sucesiones aritmeticas en que la diferencia de cualesquiera dosterminos consecutivos es una constante d llamada diferencia de la sucesion. Por ejemplo,

(e) La sucesion en la que a1 = 1 y, para n ≥ 2, an = an−1 +2 es la sucesion (1, 3, 5, 7, . . .).Esta es una sucesion aritmetica de diferencia 2. Otra sucesion aritmetica de diferencia 2 esla sucesion en que a1 = 2 y, para n ≥ 2, an = an−1 + 2; esta es (2, 4, 6, 8, . . .). Notamos queambas sucesiones tienen la misma difinicion recursiva pero, al cambiar la base, la sucesion

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es completamente distinta.

(f) La sucesion de los naturales, definida arriba en (a) es aritmetica de diferencia 1.

(g) Si (an)n es una sucesion aritmetica de diferencia d, podemos dar una definicion norecursiva de ella, diciendo que an = a1 + (n− 1)d. Observemos que en una definicion directa,podemos conocer cualquier un termino sin conocer los demas, mientras que en una definicionrecursiva se necesita conocer los terminos anteriores. Por ejemplo, las definiciones directasde las sucesiones de (e) son (2n− 1)n y (2n)n, respectivamente.

(g) La sucesion (π, π, π, . . .) temabien es una sucesion aritmetica. Aquı a1 = π y ladiferencia es 0.

(h) Una sucesion geometrica se da tambien en forma recursiva pero, en lugar de sumaruna constante r, se multiplica por ella. En este caso se dice que r es la razon de la sucesion.Por ejemplo, la sucesion geometrica en la que a1 = 1 y r = 2 es la sucesion (1, 2, 4, 8, 16 . . .).

(i) La sucesion de (g) arriba tambien es geometrica con razon 1, y tambien lo son lassucesiones del ejemplo (c) tomando r = −1.

(j) Si (an)n es sucesion geometrica con a1 = 1 y r = 12, entonces an = 1

2n−1 .

(k) La sucesion de Fibonacci se define recursivamente por f0 = 1, f1 = 1 y, para n ≥ 2,fn = fn−1 + fn− 2. Notese que aquı la base de la definicion consta de dos elementos puestoque cada termino depende de los dos anteriores. La sucesion es (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .).Es posible dar una definicion no recursiva de la sucesion de Fibonacci pero los terminos sonbastante mas complicados y no lo haremos aquı.

A continuacion damos la definicion de dos sucesiones importantes en matematicas; laprimera es la que nos dice como sumar los primeros n naturales y la segunda habla de lassumas de potencias de un numero fijo.

3.2 Ejemplo. (a) Sea a1 = 1 y, para n ≥ 2, an = an−1 + n. Observemos que an =1 + 2 + · · · + n, es decir, an es la suma de los primeros n naturales. Ası, la sucesion es(1, 3, 6, 10, 15, . . .). La definicion que dimos esta en forma recursiva. Veamos que la forma no

recursiva de la misma esa dada por an = n(n+1)2

. Para hacer esto conviene hacer un pequenotruco: escribir an dos veces pero una en orden opuesto y sumemos:

an = 1 + 2 + 3 + · · · + (n− 1) + nan = n + n− 1 + n− 2 + · · · + 2 + 12an = (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + · · · + (n+ 1) + (n+ 1).

De aquı ya es claro el resultado.

La formula

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2se llama formula de Gauss.

(b) Si x ∈ R\{1}. Sea an = 1+x+x2 + · · ·+xn.. En este caso la sucesion es (1, 1+x, 1+x+x2, 1 +x+x2 +x3, . . .) que, recursivamente dice a0 = 1 y, para n ≥ 1, an = an−1 +xn. La

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expresion no recursiva de esta misma sucesion esta dada por la formula entonces para todan ∈ N ∪ {0} se tiene

an = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn =xn+1 − 1

x− 1.

Para probar esto tambien hacemos un truco: multiplicamos la sucesion por x − 1, que esdistinto de 0 en vista de que x 6= 1:

(x− 1)an = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn

− x − x2 − x3 − · · · − xn − xn+1

= 1 − xn+1

Al despejar an tenemos la epresion propuesta.

Ahora nos interesa ver si determinada sucesion se va aproximando a algun numero real.Intuitivamente, decimos que una sucesion (an)n converge a A si los terminos de la sucesionse van aproximando cada vez mas a A de manera que la distancia entre ellos y A va siendocada vez mas parecida a 0. Dicho ası no es posible trabajar; necesitamos dar una definicionmatematica mas precisa, algo difıcil de entender al principio, pero que iremos entendiendopoco a poco, con los ejemplos. Formalmente, decimos que la sucesion (an)n converge a A,en sımbolos an → A (lease “an tiende a A”) o lim

n→∞an = A (lease “lımite de an cuando n

tiende a infinito es A”) si para toda ε > 0 existe

n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces |an − A| < ε.

La idea de la definicion es que no importa que tan pequeno fijemos un radio alrededorde A (que le llamamos ε), a partir de algun momento (que llamamos n0) todos los terminosde la sucesion caen dentro del intervalo (A− ε, A+ ε).

3.3 Observacion. an → A si, y solo si, |an − A| → 0.

Vamos a ver algunos ejemplos tratando la forma intuitiva y explicando el significado dela formal, que deberemos usar en las proposiciones mas adelante.

3.4 Ejemplo. (a) La sucesion ( 1n)n converge a 0. A manera de ejemplo, si tomamos

ε = 0.01, bastara que tomemos n0 = 101 pues para n ≥ 101 se tiene que an ≤ 1101

, ası que antiene distancia a 0 menor que 0.01 = 1

100. Desde luego, si tomaramos otra ε es posible que

esta n0 no nos sirviera; sin embargo es claro que en cualquier caso, sı podemos encontrar lan0 que nos sirva (que dependera de la ε dada). Esta convergencia suele llamarse principio

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arquimediano (que tiene varias formas equivalentes de expresarse y, por el momento aquısolo damos esta).

(b) La sucesion constante c converge a c. Aquı no importa cual ε > 0 tomemos puestodos los terminos son 2, ası que su distancia a 2 es 0 y 0 < ε.

(c) La sucesion ((−1)n)n no converge a ningun real. Decimos que diverge. Para probaresto, si suponemos que converge al real A, bastara que tomemos ε = 1

2para observar que

simpre se quedalgun termino fuera del intervalo (A− ε, A+ ε).

(d) La sucesion (n)n = (1, 2, 3, 4, . . .) tampoco converge a ningun real, sin embargo,observamos que es distinta de la del ejemplo anterior en cuanto a que los terminos de la su-cesion van creciendo indefinidamente. Por esta razon decimos que diverge a ∞ y escribimoslimn→∞

n =∞. Mas adelante precisaremos la definicion de esto.

(e) La sucesion (an)n en la que an = n−1n

converge a 1. Aquı podemos analizar la distanciaentre un termino generico de la sucesion y el 1:

|an − 1| =∣∣∣n− 1

n− 1∣∣∣ =

∣∣∣ 1n

∣∣∣,que va tendiendo a 0 cuando n tiende a ∞ y ası, si damos una ε > 0 cualquiera, como en elejemplo (a) podemos saber a partir de cual termino ya tenemos distancia menor que ε conel 1 que estamos afirmando que es el valor al cual converge la sucesion.

(f) La sucesion (an)n definida por an = 310

+ 3102

+ · · ·+ 310n

converge a 13. Notemos que la

sucesion es (0.3, 0.33, 0.333, . . .). La diferencia entre an y 13

tiende a 0 pues es 0.000 · · · 03.

Un conjunto de reales X es acotado superiormente si existe un real R tal que paratodo x ∈ X se tiene que x ≤ R. Cuando esto ocurre decimos que R es una cota superior.Analogamente se define que X sea acotado inferiormente y cotas inferiores. Decimosque X es acotado si lo es inferior y superiormente o, equivalentemente, si existe un real Rtal que para toda x ∈ X se tiene que |x| < R. En otras palabras, X ⊂ (−R,R), es decir,todos los elementos de X estan encerrados dentro del intervalo (−R,R).

Una propiedad importante del conjunto de los numeros reales es la siguiente:

3.5. Axioma del supremo. Si X es un conjunto de reales no vacıo y acotado superior-mente entonces existe una cota superior, s = sup(X), menor que todas las demas (llamadasupremo de X).

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3.6 Ejemplo. (a) Si X = (−∞, 1] entonces sup(X) = 1.

(b) Si X = (−2, π) entonces sup(X) = π.

(c) Si X = {x ∈ Q : x2 < 2} entonces sup(X) =√

2.

(d) Si X = {1− 1n

: n ∈ N} entonces sup(X) = 1.

(e) Si X = N, entonces X no tiene supremo.

3.7 Observacion. (a) El conjunto de los racionales no cumple el axioma del supremo(en el ejemplo (c) arriba todos los elementos son racionales pero se supremo no lo es).

(b) El supremo puede o no pertenecer a X.

(c) El supremo s de X esta caracterizado por ser cota superior pero para cualquier ε > 0se tiene que s− ε no es cota superior (es decir, existe x ∈ X tal que x > s− ε).

(d) Se define el ınfimo de un conjunto de forma analoga: Si X es acotado inferiormente,entonces X tiene una cota inferior mayor que todas las demas; a esa cota se le llama ınfimode X y se denota inf(X).

Decimos que una sucesion (an)n es sucesion acotada si su rango {an : n ∈ N} es unconjunto acotado.

3.8 Proposicion. Toda sucesion convergente es acotada.

Demostracion. Supongamos que (an)n es una sucesion convergente a A. Entonces, paraε = 1, tenemos que existe un natural n0 tal que si n ≥ n0, entonces |an −A| < 1. En conse-cuencia, para toda n ≥ n0, se tiene que |an| ≤ |A|+1. Sea R > max{|a1|, . . . , |an0−1|, |A|+1}.Entonces todo elemento de la sucesion tiene valor absoluto menor que R. ♦

3.9 Nota. No es cierto que toda sucesion acotada sea convergente, por ejemplo, lasucesion en que el termino n-esimo es an = (−1)n. Es claro que esta sucesion esta acotadapor 3

2, pero ya vimos arriba que diverge.

Dadas sucesiones (an)n y (bn)n en R y c real definimos nuevas sucesiones como sigue:

(a) La sucesion suma (an)n + (bn)n tiene termino n-esimo an + bn.

(b) El producto por el escalar c se obtiene multiplicando cada termino de la sucesionpor c: (can)n.

(c) El producto de las sucesiones an)n y (bn)n es la sucesion (anbn)n.

(d) Si bn 6= 0, el cociente de an)n entre (bn)n es la sucesion cuyo termino n-esimo es anbn

.

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3.10 Proposicion. Si an → A y bn → B, entonces

(a) an + bn → A+B.

(b) can → cA.

(c) anbn → AB

(d) Si B 6= 0, entoncesanbn→ A

B.

Demostracion. Haremos solo (a) y (c); dejaremos (b) y (d) como ejercicio.

(a) Sea ε > 0. Entonces |(an + bn)− (A+B)| ≤ |an−A|+ |bn−B|. Como an → A, existen1 ∈ N tal que si n ≥ n1, entonces |an − A| < ε

2. Analogamente, existe n2 ∈ N tal que si

n ≥ n2, entonces |bn − B| < ε2. Sea n0 = max{n1, n2}. Entonces para n ≥ n0 tenemos que

|an − A|+ |bn −B| < ε2

+ ε2, lo cual implica que ası que |(an + bn)− (A+B)| < ε.

(c) Sea ε > 0. Entonces |anbn − AB| = |anbn − anB + anB − AB| ≤ |anbn − anB| +|anB − ab| = |an||bn −B|+ |an −A||B|. Aquı podemos proceder como en (a), buscando verque cada uno de los sumandos es tan chico como queramos para n suficientemente grande.Consideremos el primer sumando: El que la sucesion (an)n sea convergente implica que esacotada, digamos, por R > 0. Entonces, sea n1 tal que para n ≥ n1 se tenga que |bn−B| < ε

2R.

El segundo sumando puede acotarse de la misma manera por ε2

(pues |B| es constante y, sifuera 0, no serıa problema) y la demostracion termina como en (a). ♦

3.11 Ejercicio. Probar que una sucesion (an)n converge a 0 si, y solo si la sucesion(|an|)n converge a 0.

3.12 Proposicion. Criterio de comparacion. Si an → A, bn → B y an ≤ bn paratoda n, entonces A ≤ B.

Demostracion. Supongamos que es falso el resultado, es decir, que A > B; sea ε = A−B2

.Sea n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0, an ∈ (A − ε, A + ε) y bn ∈ (B − ε, B + ε). Entoncesan0 < A+ ε ≤ B − ε < bn0 , lo cual es una contradiccion. ♦

3.13 Corolario. Lema del sandwich. Si an ≤ bn ≤ cn para toda n ∈ N y limn→∞

an =L = lim

n→∞cn, entonces (bn)n es convergente y lim

n→∞bn = L.

Demostracion. Sea ε > 0. Queremos encontrar n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces|bn − L| < ε. Sea n1 tal que si n ≥ n1 entonces |an − L| < ε y sea n2 tal que si n ≥ n2

entonces |cn − L| < ε. Entonces, para n ≥ max{n1, n2}, tenemos que bn ≥ an > L − ε ybn ≤ cn < L+ ε, ası que bn ∈ (L− ε, L+ ε), como querıamos demostrar. ♦

3.14 Ejemplo. La sucesion(

12n

)n

converge a 0 pues se encuentra entre dos sucesiones

que convergen a 0, a saber, la sucesion constante 0 y la sucesion(1n

)n, pues para toda n ∈ N

se tiene

0 ≤ 1

2n≤ 1

n.

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3.15 Ejemplo. Si c ∈ R y k ∈ N, entonces la sucesion an =(cnk

)n

converge a 0.

Para probar esto, por 3.11, basta ver que |c|nk → 0, pero esta ultima se encuentra entre dos

sucesiones que convergen a 0, a saber, la sucesion constante 0 y la sucesion(|c|n

)n, pues para

toda n ∈ N y toda k ∈ N se tiene

0 ≤ |c|nk≤ |c|

n.

Formalicemos aquı la nocion de divergencia hacia infinito: Una sucesion (an)n diverge ainfinito (en sımbolos, an →∞) si para todo numero real R existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0

entonces an > R. Analogamente, decimos que an → −∞ si para todo numero real R existen0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces an < R.

3.16 Proposicion. Una sucesion (an)n de elementos positivos tiende a 0 si, y solo si,la sucesion de recıprocos ( 1

an)n tiende a ∞.

Demostracion. Hagamos la implicacion (⇒). La demostracion de (⇐) es similar y sequeda como ejercicio. Sea R ∈ R. Sin perdida de generalidad, supongamos que R > 0. Comoan → 0, al dar ε = 1

Rtenemos una n0 ∈ N que cumple que para n ≥ n0 se tiene que

an = |an| = |an − 0| < ε = 1R

, es decir, an <1R

, lo cual implica que para n ≥ n0 ocurre que1an> R, como querıamos probar. ♦

3.17 Observacion. En la proposicion anterior se pidio que los an fueran positivos.Esto fue necesario en la demostracion pues usamos que an = |an|. De hecho, es posible queuna sucesion de terminos distintos de 0 tienda a 0 pero que la sucesion de recıprocos oscile demanera que, en valor absoluto crezca indefinidamente, pero no tienda ni a ∞ ni a −∞. Un

ejemplo de esto es la sucesion(

(−1)nn

)n

que converge a 0, de acuerdo a 3.11 y, sin embargo,

la sucesion de sus recıprocos es (−1, 2,−3, 4,−5, 6, . . .) diverge oscilando.

3.18 Ejemplo. En caso de que exista, encontrar el lımite de la sucesion (an)n si an =2n2−1

n3+2n−7 .

Solucion. Dividimos numerador y denominador entre n3:

2n2 − 1

n3 + 2n− 7=

2

n− 1

n3

1 +2

n2− 7

n3

→ 0− 0

1 + 0− 0= 0. ♦

Es facil generalizar el ejemplo anterior:

3.19 Proposicion. Sean f(n) y g(n) dos polinomios: f(n) = bknk + · · · + b1n + b0 y

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g(n) = clnl + · · ·+ c1n+ c0, con las bi y las cj reales y bk y cl distintos de 0. Entonces

limn→∞

f(n)

g(n)=

bkck, si k = l,

0, si k < l,±∞, si k > l.

En el ultimo caso el signo es el mismo que el de bk.

Demostracion. En cualquiera de los casos dividimos numerador y denominador por lapotencia maxima de n que aparezca y utilizamos las propiedades de lımite vistas en 3.10. ♦

Para la siguiente proposicion necesitamos recordar el teorema del binomio de Newton (vercurso de Algebra Superior I para la demostracion de este resultado, ası como la interpretacionde los sımbolos).

3.20 Teorema. Teorema del Binomio de Newton. Sean x y y numeros arbitrariosy sea n un numero natural. Entonces

(x+ y)n =

(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1y + · · ·+

(n

k

)xn−kyk + · · ·+

(n

n

)yn.

3.21 Proposicion. Sea r un numero real y sea an = rn.

(a) Si r > 1 entonces an →∞.

(b) Si 0 < |r| < 1 entonces an → 0.

Demostracion. (a) Como r > 1 podemos escribir r = 1 + t con t > 0. Recordemos que(n1

)= 1, ası que, por el Teorema del Binomio de Newton, tenemos que para n ≥ 2,

rn = (1 + t)n = 1 + nt+ . . . ≥ 1 + nt→∞.(b) Esta demostracion se deduce facilmente de 3.11 y de 3.16. ♦

3.22 Proposicion. Sea (an)n una sucesion de reales positivos convergente a a. Enton-ces√an →

√A.

Demostracion. Sea ε > 0. Queremos probar que |√an −√A| < ε. Si A = 0, entonces

|√an −√A| = |√an| =

√an, y este ultimo es menor que ε si |an| < ε2, lo cual es posible

lograr para n suficientemente grande pues an → 0. Si A 6= 0, entonces

|√an −

√A| =

|(√an −√A)(√an +

√A|

|√an +√A|

=|an − A||√an +

√A|≤ |an − A|√

A.

Este ultimo es menor que ε si |an−A| <√Aε, lo cual es posible lograr para n suficientemente

grande puesto que an → A y√Aε > 0. ♦

A continuacion calcularemos algunos lımites utilizando los resultados vistos arriba.

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3.23 Ejemplo. (a) limn→∞

2n

n!= 0 ya que, para n grande,

0 <2n

n!=

2× 2× · · · × 2

1× 2× · · · × n≤ 2× 2

n→ 0.

(b) limn→∞

3n − 2n

3n + 2n= 1, lo cual puede verse facilmente al dividir numerador y denominador

entre 3n y utilizar las proposiciones 3.10 y 3.21.

(c) Si |a| < 1 entonces limn→∞

1 + a2 + · · · + an =1

1− a. Para ver esto basta utilizar la

proposicion 3.21 recordando que 1 + a2 + · · ·+ an =an+1 − 1

a− 1.

(d) limn→∞

n(n+ 1)(n+ 2)

n3= 1 pues

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

n3=

(n+ 1

n

)(n+ 2

n

)(n+ 3

n

)=

(1 +

1

n

)(1 +

2

n

)(1 +

3

n

).

(e) limn→∞

√n− 1

1 +√n+ 2n

= 0. Esto se comprueba facilmente al dividir numerador y denominador

entre n.

(f) limn→∞

1 +1

2+

1

3+ · · · + 1

n=∞. Para probar esto observemos que si sustituimos cada

termino 1k

por 12r

para 2r−1 < k ≤ 2r, entonces la suma decrece, es decir,

1

3+

1

4>

1

4+

1

4=

1

2,

1

5+ · · ·+ 1

8>

1

8+ · · ·+ 1

8=

4

8=

1

2,

1

9+ · · ·+ 1

16>

1

16+ · · ·+ 1

16=

8

16=

1

2,

...

Entonces, es claro que la sucesion tiende a infinito pues sus terminos van creciendo y losterminos en posicion potencia de 2 no estan acotados pues a2k > 1 + k

2. ♦

3.24 Ejercicio. Encontrar n0 tal que si n ≥ n0 entonces∣∣∣ 1

n3 + 1− 0∣∣∣ < 1

1000.

3.25 Ejercicio. Algunas de las siguientes sucesiones (an)n son convergentes y otrasno. En caso de que sean convergentes, calcular los lımites; en caso de que no exista el lımite,explicar por que. En todos los casos, calcular a1, a2 y a3.

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(a) an =2n2 − 1

3− n+ n2.

(b) an =−2n3 + n− 1

2n2 + 1.

(c) an =πn+ (−1)n

2n3 + 3.

(d) an =

√n+ 2−

√n√

n.

(e) an =√n+ 2− 3

√n.

(f) an =1

n2+

2

n2+ · · ·+ n

n2

(g) an =5n − 2n

5n + 2n.

(h) an =n+ (−1)n

n− (−1)n.

(i) an =(n!)2

(2n)!.

(j) an =(−5)n + 4n

5n.

(k) an =

(1− 1

2

)(1− 1

3

)· · ·(

1− 1

n

).

(l) an = n(−1)n .

(m) an =sen(n)

n.

(n)

(1− 2

n

).

3.26 Ejercicio. El siguiente razonamiento es incorrecto. Encontrar el error y explicar

la razon: Como 1n→ 0 cuando n→∞, entonces lim

n→∞

(1 +

1

n

)n= lim

n→∞1n = 1.

3.27 Ejercicio. Probar que si (an) es una sucesion creciente y acotada entonces con-verge al supremo de su rango.

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Una subsucesion de una sucesion (an)n se obtiene eligiendo una cantidad infinita determinos de la sucesion de (an)n (posiblemente todos), es decir, una subsucesion es una listade la forma (an1 , an2 , an3 , . . .) de manera que n1 < n2 < n3, . . .).

3.28 Ejemplo. (a) La subsucesion de terminos pares de una sucesion se obtienetomando n1 = 2, n2 = 4, n3 = 6, etc. (en general, nk = 2k). Por ejemplo, la sucesion determinos pares de la sucesion (1,−1, 1,−1, . . .) es la sucesion constante −1.

(b) Una subsucesion cola se obtiene eliminando una cantidad determinada de los primerosterminos de la sucesion; por ejemplo, la sucesion (1

5, 16, 17, . . .) es cola de la sucesion (an)n

donde an = 1n.

(c) La sucesion definida por bn = 2n es subsucesion de la sucesion definida por an = n(aquı nk = 2k).

La siguiente observacion es clara a partir de la definicion de convergencia.

3.29 Observacion. (a) Si (an)n es una sucesion convergente a a entonces cualquiersubsucesion de (an)n tambien converge a a.

(b) Si una cola de una sucesion converge entonces tambien la sucesion converge. ♦

3.30 Teorema. Teorema de Bolzano Weierstrass (para sucesiones). Toda su-cesion acotada tiene subsucesion convergente.

Demostracion. Daremos solo una idea de la demostracion. Sea (an)n una sucesion acotada;digamos que |an| ≤M para toda n ∈ N. Tenemos dos casos: que el rango R = {an : n ∈ N}sea finito o que sea infinito. Si R es finito, entonces hay un valor que se repite una infinidadde veces; sea a este valor. Entonces la subsucesion constante con valor a es subsucesionde (an)n y es obvio que converge a a. Si R es infinito, partimos el intervalo [−M,M ] a lamitad. Alguno de los dos intervalos contiene una infinidad de elementos de R, es decir, unasubsucesion de (an)n esta contenida en el; ahora partimos ese intervalo a la mitad y repetimosel procedimiento. Ası sucesivamente, vamos logrando que los intervalos se apachurren en unpunto. Ese punto es lımite de alguna subsucesion de (an). ♦

3.31 Corolario. Toda sucesion acotada y monotona (es decir, que los terminos vayancreciendo o que los terminos vayan decreciendo) es convergente. ♦

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4. Funciones

4.1. Conceptos preliminares

Nosotros estamos ya acostumbrados a trabajar funciones; por ejemplo, hablamos delnumero que le toca a un alumno inscrito a una universidad, o al color de pelo de cadapersona, o a la temperatura de un objeto en cada instante, o la funcion “elevar al cuadrado”un numero real, etc. Daremos continuacion una definicion que engloba todas estas.

Una funcion consta de tres cosas: un conjunto A llamado dominio de la funcion, otroconjunto B, llamado codominio de la funcion, y una regla de asignacion que asocia a cadaelemento a de A exactamente un elemento f(a) ∈ B; en este caso, escribimos f : A → B(lease “f de A en B”). Si b = f(a) se dice que b es la imagen de a bajo f o que b es elresultado de aplicar f a a; tambien es costumbre escribir a 7→ f(a).

Para A y B conjuntos, el producto cartesiano de A y B es:

A×B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B},

es decir, A × B (se lee A por B) consta de todas las posibles parejas de elementos de Acon elementos de B, en donde el orden importa y puede haber coincidencia, Por ejemplo,si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}, entonces A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)} quetiene 6 elementos. Si A = B escribimos A × A = A2; por ejemplo, R2 puede representarsegeometricamente como el plano. Si f : A→ B es una funcion, se define la grafica de f comoel subconjunto de A×B siguiente

Graf(f) = {(a, f(a)) ∈ A×B : a ∈ A}.

En matematicas formales la definicion de la funcion es mas bien la de su grafica. Nosotrosharemos la distincion entre los dos conceptos.

4.1 Ejemplo. En los siguientes consideramos dos conjuntos A y B y establecemos unarelacion de A a B. Analizaremos si la relacion dada es una funcion.

(a) Si A y B son ambos el conjunto de personas, la relacion “ser hermano de” no esfuncion por dos razones: Hay personas que no tienen hermanos y hay personas que tienenmas de un hermano.

(b) Sin meternos en complicaciones polıticas, podemos pensar que cada paıs tiene exacta-mente una capital y entonces la relacion en que A es el conjunto de paıses y B es el conjuntode ciudades sı es funcion.

(c) Si A es el conjunto de ciudades de America Latina y B es el conjunto de paıses, sepuede definir la funcion que asocia a cada ciudad el paıs al cual pertenece la ciudad.

(d) Si A = B, la funcion que asigna a cada a ∈ A el mismo a se llama funcion identica

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y se le denota por idA. Entonces idA(a) = a para toda a ∈ A.

(e) Para A el conjunto de alumnos de una universidad determinada y B = N, tenemos lafuncion definida por f(a) = numero de registro de a en la universidad.

(f) Para A = B = R la funcion “elevar al cuadrado” esta definida por f(a) = a2.

Es importante hacer notar que una funcion depende de tres cosas: el dominio, el codominioy la regla de asignacion; ası, por ejemplo, las funciones f : N → Z, g : N → N y h : Z → Zque tienen la misma regla de asignacion x 7→ 2x+ 1 son todas distintas; inclusive, es posibleque una determinada asignacion no defina funcion para ciertos dominios y codominios perosı la defina para otros, como es el caso de la asignacion x 7→ x

2de N en N que no es funcion,

pues hay elementos del dominio que no tienen imagen en el codominio (1, por ejemplo, pues12

no es natural), y, sin embargo, esa misma asignacion sı es funcion de N en Q.

Decimos que una funcion f : A → B es inyectiva si no hay dos elementos distintos deA que tengan la misma imagen, es decir,

Si a1, a2 ∈ A son tales que f(a1) = f(a2) entonces a1 = a2,

o, equivalentemente,

Si a1, a2 ∈ A son distintos entonces f(a1) 6= f(a2).

Un esquema que nos ilustra que una funcion no es inyectiva es el siguiente.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

A B

......................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................

......................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ......................

••

En 4.1 (b) es una funcion inyectiva porque no hay dos paıses que tengan la mismacapital; tambien (d) y (e) son inyectivas, pero (c) no lo es porque, por ejemplo, a Moreliay a Guadalajara les corresponde la misma imagen. Tampoco (f) es inyectiva porque, porejemplo, f(−1) = (−1)2 = 12 = f(1).

La imagen de una funcion f : A→ B es

Im(f) = {f(a) : a ∈ A}.

Decimos que f es suprayectiva si todos los elementos de B son imagen de elementos de A,es decir, si B = Im(f), o, de otra manera, si para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b.

En los ejemplos de 4.1 tenemos que (b) no es suprayectiva ya que hay ciudades que no soncapital de ningun paıs; (c) y (d) son suprayectivas; (e) no lo es porque hay naturales que noson numero de registro de ningun alumno y (f) tampoco porque, por ejemplo, −3 /∈ Im(f).

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Es importante notar que la inyectividad o suprayectividad dependen del dominio y codo-minio de las funciones; por ejemplo, vimos que la funcion x 7→ x2 no es inyectiva si el dominioy el codominio son R, pero se vuelve inyectiva y suprayectiva si se restringen el dominio y elcodominio a R+, el conjunto de reales positivos. Ası mismo la funcion de f : R→ R definidapor f(x) = 2x+1 sı es suprayectiva porque dado y ∈ R, se tiene que y es imagen de y−1

2, pero

la funcion g : Z→ Z con la misma regla de correspondencia que f (es decir g(x) = 2x + 1)no es suprayectiva en vista de que los numeros pares no son imagen de ningun entero.

Una funcion f : A → B es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. De los ejemplos de4.1, solo es biyectiva la funcion identica. La funcion elevar al cuadrado tambien es biyectivacuando ambos, el dominio y el codominio, son R+ y la funcion x 7→ 2x+1 cuando el dominioy codominio son ambos R.

Sabemos que la grafica de una funcion de A en B es un subconjunto de A×B; esto es deespecial importancia cuando A y B son subconjuntos de R. En este caso, se localiza A sobreel eje x, y B sobre el eje y y la grafica se puede dibujar como una “curva” en el plano. Esta“curva” no necesariamente es una lınea continua (tal vez ni siquiera consta de pedazos delıneas) pero sı satisface una condicion importante: cada recta vertical que pasa por cualquierpunto del dominio (que se ubica en el eje x) intersecta a la “curva” en exactamente un punto.Por ejemplo, las siguientes no pueden ser graficas de funciones:

4.2 Ejemplo. En los siguientes, definimos funciones f : R → R. Los dibujos de susgraficas aparecen abajo.

(a) Para c cualquier real, la funcion constante con valor c, es decir, para toda x, x 7→ c.

(b) La funcion idR : x 7→ x.

(c) La funcion parte entera, es decir, f(x) = bxc, el mayor entero menor o igual que x(por ejemplo, f(10.32) = 10, f(1) = 1, f(−2.5) = −3, f(π) = 3, f(−1

4) = −1).

(d) La funcion valor absoluto, es decir, f(x) = |x|.(e) La funcion elevar al cuadrado, es decir, f(x) = x2.

(f) La funcion f definida por

f(x) =

{1, si x ∈ Q,0, si x /∈ Q,

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(g) La funcion definida f : R \ {0} → R definida por f(x) = 1x.

(h) La funcion definida por x 7→ 2x.

(i) La funcion elevar al cubo, es decir, f(x) = x3.

La siguiente observacion nos dice como se ven las graficas de funciones inyectivas osuprayectivas.

4.3 Observacion. Sea f : A→ B con A,B ⊂ R. Entonces

(a) f es inyectiva si, y solo si, cualquier recta horizontal a la altura de elementos de Bintersecta Graf(f) en a lo mas un punto.

(b) f es suprayectiva si, y solo si, cualquier recta horizontal que pasa por puntos delcodominio (que se ubica en el eje y) intersecta Graf(f) en por lo menos un punto.

(c) f es biyectiva si, y solo si, cualquier recta horizontal que pasa por puntos del codominiointersecta Graf(f) en exactamente un punto.

4.4 Ejercicio. ¿Cuales de las funciones definidas en 4.2 son inyectivas y cuales sonsuprayectivas.

Si f : A → B y g : B → C son funciones, su composicion g ◦ f (lease “f seguida deg”) es la funcion de A en C definida por (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Notese que, por comodidad,escribimos f a la derecha de g a pesar de que f se aplica primero que g. El esquema es:

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Esta es una especie de “operacion” entre funciones que resulta no ser conmutativa auncuando los dominios y codominios sean el mismo (en otro caso, es posible que ni siquieraeste definida la composicion); por ejemplo, si f : R → R y g : R → R son las funcionesdefinidas por f(x) = x2 y g(x) = 2x+ 1, entonces (g ◦ f)(x) = g(x2) = 2x2 + 1, mientras que(f◦g)(x) = f(2x+1) = 4x2+4x+1; hasta aquı hemos visto que f◦g y g◦f estan definidas porun polinomio distinto, sin embargo todavıa no hemos probado que son funciones distintas;para ello debemos ver que alguna de las tres condiciones que las determinan (dominio,codominio y regla de aplicacion) es distinta; como f ◦ g y g ◦ f tienen mismo dominio ycodominio hay que probar que la regla de aplicacion da distinto resultado en algun elemento;veamos que el numero 1 nos sirve como ejemplo: (g ◦ f)(1) = 3 pero (f ◦ g)(1) = 9; con estoya podemos concluir que g ◦ f 6= f ◦ g.

Como dijimos arriba, la composicion de funciones es una especie de operacion. No esoperacion pues no siempre se pueden operar funciones porque dependen de que el codominiode la primera que se aplica sea el dominio de la segunda (o que al menos sea subconjuntode ese dominio). Sin embargo, de la misma manera que hablamos de la no conmutatividad,podemos hacernos mas preguntas que sabemos que otras operaciones satisfacen. Empecemospor ver que se da la asociatividad, es decir, si f : A → B, g : B → C y h : C → D sonfunciones, entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) pues ambas son funciones de A en C y si a ∈ Aentonces

((h ◦ g) ◦ f)(a) = h(g(f(a))) = (h ◦ (g ◦ f))(a).

De costumbre omitimos los parentesis y escribimos h ◦ g ◦ f .

Ahora veamos que idA funciona como neutro por la derecha para todas las funciones condominio A: Si f : A → B, entonces es claro que f ◦ idA = f (pues ambas funciones tienenpor dominio A, por codominio B y, al aplicarlas a los elementos a ∈ A la imagen es f(a).De la misma manera, la funcion que trabaja como neutro por la izquierda de las funcionescon codominio B es idB (aquı se tiene idB ◦ f = f para f : A→ B).

Si f : A→ B y g : B → A, decimos que f y g son inversas si f ◦ g = idB y g ◦ f = idA.Las funciones que tienen inversa son las funciones biyectivas.

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4.5 Nota. Como la funcion inversa cambia y por x, entonces la grafica de una funciony la de su inversa son simetricas con respecto a la recta con ecuacion y = x.

4.6 Ejemplo. Determinar la funcion inversa de las siguientes funciones:

(a) idA : A→ A.

(b) f : R→ R dada por x 7→ x+ 5.

(c) f : R+ → R+ definida por f(x) = x2.

(d) f : Z→ Z tal que x 7→ −x.

(e) f : R→ R definida por f(x) = 2x+ 3.

(f) f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} definida por 1 7→ 2, 2 7→ 1, 3 7→ 3.

Solucion. (a) idA : A→ A, es decir, la funcion identica es su propia inversa.

(b) g : R→ R dada por x 7→ x− 5.

(c) g : R+ → R+ definida por f(x) =√x.

(d) g : Z→ Z tal que x 7→ −x (es decir, g = f).

(e) g : R→ R definida por g(x) = x−32

.

(f) g = f . ♦

Sea c ∈ R. La funcion de R → R definida por x 7→ x + c se llama traslacion por c; sic 6= 0 la funcion x 7→ cx es una homotecia por c. Sus graficas son las siguientes:

Para A y B subconjuntos de R y f : A→ B, decimos que

f es creciente si (a1 ≤ a2 ⇒ f(a1) ≤ f(a2));

f es estrictamente creciente si (a1 < a2 ⇒ f(a1) < f(a2));

f es decreciente si (a1 ≤ a2 ⇒ f(a1) ≥ f(a2));

f es estrictamente creciente si (a1 < a2 ⇒ f(a1) > f(a2)).

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En todos los casos recien definidos, se dice que la funcion es monotona. Por ejemplo,las traslaciones son estrictamente crecientes, las homotecias son estrictamente crecientessi c > 0 y estrictamente decrecientes si c < 0. La funcion parte entera es creciente; unafuncion constante es tanto creciente como decreciente. Las funciones elevar al cuadrado yvalor absoluto no son ni crecientes ni decrecientes (a menos que se modifique el dominio, porejemplo, a los reales positivos o a los reales negativos). La funcion definida en 4.2(f) no esni creciente ni decreciente.

4.7 Ejercicio. Determinar los dominios en los que las funciones definidas en 4.2 sonmonotonas y determinar que tipo de monotonıa es en cada caso.

4.8 Ejercicio. Probar que si f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente,entonces es inyectiva. ¿Es cierto que tambien debe ser suprayectiva?

4.9 Ejemplo. Sea f : R→ R la funcion cuya grafica aparecea la derecha. ¿Como es la grafica de g ◦ f para cada una de lassiguientes funciones g : R→ R?:

(a) g : x 7→ x+ 1.

(b) g : x 7→ 2x.

(c) g : x 7→ −x.

(d) g : x 7→ 2.

Solucion. (a) (g ◦ f)(x) = f(x) + 1, ası que la grafica de g esta desplazada una unidadhacia arriba.

(b) (g ◦ f)(x) = 2f(x), ası que la grafica de g duplica la altura en cada x.

(c) (g ◦ f)(x) = −f(x), de manera que la grafica de f se refleja con respecto al eje x.

(d) (g ◦ f)(x) = 2, ası que la grafica de g no tienen nada que ver con la de f .

En la figura se muestran las graficas de g obtenidas. ♦

4.10 Ejercicio. Sea f : R → R. ¿Como se compara la grafica de f con la grafica de

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f ◦ g para cada una de las siguientes funciones g : R→ R?:

(a) g : x 7→ x+ 1.

(b) g : x 7→ 2x.

(c) g : x 7→ −x.

(d) g : x 7→ 2.

4.11 Ejercicio. Sea X = {x ∈ R : 0 ≤ x < 2} y sean f, g : X → R definidas porf(x) = 3x+ 2 y g(x) = 5x2 − 7x+ 2. ¿Es cierto que Im(f) = Im(g)?

4.12 Ejercicio. Sea f : X → R una funcion y sea g la funcion definida por g(x) =|f(x)|. Escribir g como composicion de f con alguna otra funcion.

4.13 Ejercicio. Sea f : X → R una funcion tal que f(x) ≥ 0 para toda x ∈ X y seag la funcion definida por g(x) =

√f(x). Escribir g como composicion de f con alguna otra

funcion.

4.2. Continuidad

Intuitivamente, decimos que una funcion f : X → R es continua (para X ⊂ R) si mandapuntos cercanos de X en puntos cercanos de R. Es claro que con una definicion ası no esposible trabajar pues no se tiene una idea precisa de que significa “cercanos”. Es por esto quedebe darse una definicion mas formal que puede no entenderse al principio por ser tecnicapero que ilustraremos con ejemplos.

4.14 Ejemplo. La funcion f : R → R tal que x 7→ 2x es continua. Para probarlodebemos dar un punto cualquiera x0 en el dominio y tambien fijar un ε < 0. El dibujo escomo sigue:

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Observamos del dibujo que nos sirve cualquier valor de δ menor que ε2. Probemos que,

efectivamente, si |x− x0| < ε2, entonces |f(x)− f(x0)| < ε:

|f(x)− f(x0)| = |2x− 2x0| = 2|x− x0| < 2 · ε2

= ε,

como querıamos probar.

4.15 Ejemplo. La funcion f : R → R tal que x 7→ bxc no es continua en ningunx0 ∈ Z. Para probarlo, tomemos, por ejemplo, x0 = 2; basta que tomemos ε = 1

2. En este

caso el dibujo es:

Es claro que ninguna δ funciona pues, por muy chica que se tome, siempre habra valoresde x cercanos a 2 cuya parte entera sea 1, es decir, el punto (x, f(x)) queda fuera de la franjade radio ε marcada.

4.16 Nota. En ocasiones se cae en el error de decir que, intuitivamente, una funcion escontinua cuando puede dibujarse su grafica sin levantar el lapiz del papel. Es cierto que si sipuede dibujarse ası, entonces es continua, sin embargo, lo contrario es falso como lo muestrala funcion definida por:

f(x) =

{x, si x ∈ Q,0, si x /∈ Q,

que es continua en 0 (basta tomar δ = ε, como en la funcion identica), aunque no puededibujarse sin levantar el lapiz.

4.17 Ejercicio. Dibujar la grafica de la funcion de la nota anterior.

4.18 Proposicion. La siguientes funciones son continuas.

(a) Cualquier funcion constante.

(b) La funcion identica.

(c) Si f y g son funciones de un subconjunto X de R en R continuas en x0 ∈ X, entoncestambien lo es f + g.

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Demostracion. (a) Dado cualquier x0 ∈ R y cualquier ε > 0, toda δ > 0 sirve, porejemplo, puede tomarse δ = 19 pues siempre |f(x)− f(x0)| = 0 < ε.

(b) Dado cualquier x0 ∈ R y cualquier ε > 0, basta tomar δ = ε:

|f(x)− f(x0)| = |x− x0| < δ = ε.

(c) Sea ε > 0. Usando que f es continua en x0, tomemos δ1 > 0 tal que para |x−x0| < δ1se tenga que |f(x) − f(x0| < ε

2. Analogamente, usando que g es continua en x0, tomemos

δ2 > 0 tal que para |x − x0| < δ2 se tenga que |g(x) − g(x0| < ε2. Sea δ = min{δ1, δ2}.

Entonces si |x− x0| < δ, tendremos

|(f + g)(x)− (f + g)(x0)| = |f(x) + g(x)− f(x0)− g(x0)|≤ |f(x)− f(x0)|+ |g(x)− g(x0)|<

ε

2+ε

2= ε. ♦

Tambien es posible probar que el producto de funciones continuas es continua con un metodosimilar al de 4.17; sin embargo, es mas facil hacerlo usando sucesiones. Necesitamos un lema.

4.19 Lema. Sean X ⊂ R, x0 ∈ X y f : X → R, funcion. Entonces f es continua enx0 si, y solo si, para toda sucesion (an)n de elementos de X que converja a x0 se tiene que lasucesion de imagenes (f(an))n converge a f(x0).

Demostracion. (⇒) Sea (an)n sucesion de elementos de X que converge a x0 y sea ε > 0.Usando que f es continua en x0 tomemos δ > 0 tal que si |x−x0| < δ entonces |f(x)−f(x0)| <ε. Por otro lado, usando la convergencia de (an)n a x0, sea n0 ∈ N tal que para toda n ≥ n0

se tenga que |an − x0| < δ. Entonces tambien para n ≥ n0 se tiene que |f(an) − f(x0| < ε,como querıamos.

(⇐) Procedemos por reduccion al absurdo: Supongamos que f no es continua en x0. Esoquiere decir que existe una ε > 0 para la cual ninguna δ > 0 sirve; en particular, si paran ∈ N se toma δ = 1

n, se tiene que existe un elemento an ∈ X tal que |an − x0| < 1

npero

|f(an) − f(x0)| ≥ ε, pero eso contradice el que la sucesion (f(an))n converja a f(x0) comodeberıa ser, segun la hipotesis. ♦

Demostremos mas propiedades de la continuidad.

4.20 Proposicion. (a) Si f y g son funciones de un subconjunto X de R en R continuasen x0 ∈ X, entonces tambien lo es fg.

(b) Si f : X → R es continua en x0 ∈ X, B = Im(f) y g : B :→ R es continua en f(x0),entonces la composicion g ◦ f : X → R es continua en x0.

(c) Sea f : R \ {0} → R definida por f(x) = 1x. Entonces f es continua.

(d) Sea f : R\ → R definida por f(x) = |x|. Entonces f es continua.

(e) La funcion f : [0,∞)→ R definida por f(x) =√x es continua.

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Demostracion. (a) Usamos 4.19. Tomemos una sucesion (an)n sucesion de elementos deX que converja a x0. Como f es continua en x0, por el mismo lema se tiene que la sucesionde imagenes (f(an))n converge a f(x0); tambien, la continuidad de g en x0 nos dice que(g(an))n converge a g(x0). Pero entonces, por 3.10, (f(an)g(an))n converge a f(x0)g(x0) yotra vez , por el recıproco en 4.19 tenemos que fg es continua en x0.

(b), (c), (d) y (e) se demuestran en forma analoga. ♦

4.21 Corolario. (a) Toda funcion polinomial, es decir, funcion de R en R definidapor una expresion de la forma f(x) = cnx

n + cn−1xn−1 + · · · + c1x + c0, donde las ci son

constantes, es continua.

(b) Si f : X → R es continua en x0 y f(x) 6= 0 para toda x ∈ X, entonces la funcion 1f

(definida por(

1f

)(x) = 1

f(x)) es continua en x0.

(c) El cociente de funciones continuas es una funcion continua (en su dominio de defini-cion, es decir, donde el denominador no se anula).

(d) Si f : X → R es continua en x0, entonces la funcion |f | (definida por |f |(x) = |f(x)|)es continua en x0.

(e) Si f : X → R es continua en x0 y f(x) ≥ 0 para toda x ∈ X entonces la funcion√f

(definida por√f(x) =

√f(x)) es continua en x0.

Demostracion. (a) Notemos primero que si k es un natural, entonces el producto de kfunciones continuas es una funcion continua y tambien la suma de k funciones continuas escontinua (esto es por induccion, pues ya sabemos que es cierto para k = 2). Ahora, unafuncion f : R → R definida por f(x) = cxn para cierta constante c ∈ R y un natural n esel producto de la funcion constante con valor c y el producto de la funcion identica consigomisma n veces. Una funcion polinomial es la suma de funciones como las que acabamos dedescribir.

(b) La funcion 1f

es la composicion de f con la funcion g definida por x 7→ 1x, es decir,

1f

= g ◦ f .

(c) El cociente fg

es el producto de f con 1g.

La validez de (d) y (e) se deduce de la proposicion anterior y del ejercicio 4.12. ♦

4.22 Ejemplo. Son continuas las siguientes funciones:

(a) f : R→ R dada por

f(x) =2x+ 1

x4 + πx3 + 1.

(b) f : R→ R dada por

f(x) =√|(x− 7)3|+ 6.

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4.23 Ejercicio. Probar directamente de la definicion de continuidad que la funcionelevar al cuadrado es continua en x0 = 2.

4.24 Ejercicio. Probar que si f : R→ R es continua en x0 y f(x) 6= 0, entonces existeδ > 0 tal que f(x) 6= 0 para x ∈ (x− δ, x+ δ); mas aun, si f(x0) > 0 entonces f(x) > 0.

4.3. Funciones trigonometricas

Sabemos que el cırculo unitario, es decir, el cırculo con centro en el origen O y radio 1 es

S = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 = 1},

y que la longitud de la circunferencia de S es 2π. Para x ∈ R, localizamos el punto de Sen el que, girando en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, la longitud desde elpunto (1, 0) ∈ S sea x. A las coordenadas de ese punto les cuales llamamos cos(x) (cosenode x) y sen(x) (seno de x), respectivamente, como se muestra en la figura.

Notese que x puede estar en cualquier punto del cırculo e, incluso, puede ser mayor a 2π(darıa mas de una vuelta) o negativo (se medirıa en sentido de las manecillas del reloj). Sinembargo, cuando es menor a π

2, se forma un triangulo rectangulo, el angulo que se forma con

la horizontal es x y el sen(x) es el resultado de dividir cateto opuesto entre hipotenusa, ycos(x) es el resultado del dividir cateto adyanente entre hipotenusa.

De esta manera, tenemos definidas las funciones sen : R→ R y cos : R→ R.

Notemos que la imagen de estas funciones es [−1, 1]. Tambien definimos la funcion

tangente para x ∈ R \{

2k + 1

2π : k ∈ Z

}como tan(x) =

sen(x)

cos(x). Las graficas son las

siguientes.

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4.25 Nota. Estas funciones son continuas en su dominio de definicion. No probaremosesto pero es intuitivamente claro de la definicion pues a valores cercanos de x les correspondenimagenes cercanas.

Se definen las otras funciones trigonometricas siguientes:

cotangente: cotan(x) =1

tan(x),

secante: sec(x) =1

cos(x)y

cosecante: cosec(x) =1

sen(x).

4.26 Ejercicio. Determinar los dominios de definicion de las funciones cotangente,secante y cosecante.

Hemos observado que las funciones seno, coseno y tangente tienen un periodo de repe-

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ticion; por esta razon se llaman periodicas; en general, una funcion es periodica si existep > 0 tal que para toda x, se tiene que f(x+ p) = f(x). Al menor p para el cual ocurre estose le llama periodo de la funcion. Por ejemplo, las funciones seno y coseno tienen periodo2π y la funcion tangente tiene periodo π.

4.27 Ejercicio. Determinar el periodo de las funciones cotangente, secante y cosecante,y, con base en las graficas de las funciones seno y coseno, hacer un bosquejo de sus graficas.

4.4. Lımites de funciones

Sean X ⊂ R, f : X → R una funcion y x0 ∈ X. Decimos que

limx→x0

f(x) = L,

si para toda ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ entonces |f(x)− L| < ε.

Ası, f es continua en x0 si, y solo si,

limx→x0

f(x) = f(x0).

4.28 Nota. Al tomar el lımite cuando x → x0 de f(x) se entiende que es posible quef no este definida en x0. Por esta razon, se toman siempre valores de x distintos de x0 perocercanos a x0 y este es el sentido de pedir que x cumpla 0 < |x − x0| < δ. En la expresionde lımite desplegada aquı arriba, podrıamos enfatizar esto poniendo x → x0, x 6= x0. Parasimplificar la expresion, no lo haremos.

4.29 Ejemplo. Hallar lımite de f cuando x→ x0 para los siguientes casos:

(a) f : R→ R definida por f(x) = x3 − 2x+ 7 y x0 = 0.

(b) f : R+ → R definida por f(x) =

√x+ 1

xy x0 = 3.

Solucion. (a) Como f es polinomial, es continua, ası que

limx→0

(x3 − 2x+ 7) = 03 − 2 · 0 + 7 = 7.

(b) Tambien aquı la funcion es continua y entonces

limx→3

√x+ 1

x. =

√3 + 1

3=

2

3. ♦

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4.30 Ejemplo. Sea f : R \ {2} definida por

f(x) =

{x2, si x < 24, si x > 2

¿Es posible definir f(2) de manera que sea una funcion continua en todo R?

Solucion. Sı. basta definir f(2) = 4.

La definicion que acabamos no ofrece mayor cambio a lo que ya hemos trabajado pues,como vimos en los ejemplos anteriores, en funciones continuas, para encontrar

limx→x0

f(x),

basta aplicar la funcion a x0. En mas interesante cuando alguno de los valores x0 o L sesustituye por ∞ o −∞, pues eso nos permitira graficar muchas funciones. Tenemos todaslas combinaciones posibles (son 6):

limx→x0

f(x) =∞, si dado M ∈ R existe δ > 0 tal que si |x− x0| < δ entonces f(x) > M .

limx→x0

f(x) = −∞, si dado M ∈ R existe δ > 0 tal que si |x− x0| < δ entonces f(x) < M .

limx→∞

f(x) =∞, si dado M ∈ R existe N tal que si x > N entonces f(x) > M .

limx→−∞

f(x) =∞, si dado M ∈ R existe N tal que si x < N entonces f(x) > M .

4.31 Ejercicio. Proponer definicion para limx→∞

f(x) = −∞ y para limx→−∞

f(x) = −∞.

4.32 Ejemplo. Sea f : R \ {2,−2} → R definida por

f(x) =x− 2

x2 − 4.

Esta funcion es continua. ¿Que tanto es posible extender f a una funcion continua? (Es decir,¿que tanto se puede agrandar el dominio de tal forma que la funcion siga siendo continua?)Hacer la grafica de la funcion.

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Solucion. Notamos que, para todos los valores, salvo 2 y −2 la funcion esta definida por

f(x) =1

x+ 2

pues x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Esta funcion sı es posible definirla en 2 de forma que seacontinua: f(2) = 1

2+2= 1

4. Ahora, cuando x→ −2 y x < −2 (decimos que x tiende a 2 por

la izquierda), se tiene que f(x)→ −∞. Escribimos

limx→−2−

f(x) = −∞.

Analogamente, cuando x→ −2 y x > −2 (decimos que x tiende a -2 por la derecha) setiene que f(x)→∞. Escribimos

limx→−2+

f(x) =∞.El resto es claro pues solo debe recorrerse 2 unidades hacia la izquierda la grafica de lafuncion g definida por g(x) = 1

xque ya sabemos graficar. De hecho, podemos observar que

limx→∞

f(x) = 0 = limx→−∞

f(x) = 0.

Hemos observado que en ocasiones la grafica de la funcion se acerca a una recta al hacertender x a un valor en el que no esta definida la funcion. Rectas ası se llaman asıntotas dela grafica. en el ejemplo anterior tenemos que las rectas con ecuaciones x = −2 y y = 0 sonasıntotas de la grafica.

Decimos que una funcion f : X → R es funcion acotada, si el conjunto imagen Im(f)es acotado (recordemos que esto quiere decir que existe un real M tal que |Imf(x)| ≤M o,equivalentemente, que existen dos reales R y S tales que Imf(x) ⊂ [R, S]).

4.33 Ejemplo. (a) La funcion sen : R→ R es acotada pues Im(sen) ⊂ [−1, 1].

(b) Si f : (−π, π) → R es la funcion parte entera entonces f es acotada pues para todox ∈ (−π, π) se tiene que −4 ≤ f(x) ≤ 3.

(c) Si f : (0, 5]→ R esta definida por f(x) = 1x

entonces f no es acotada pues

limx→0

1

x=∞.

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(d) Si f : [1, 5] → R esta definida por f(x) = 1x

entonces f es acotada pues para todax ∈ [1, 5] se tiene que |Imf(x)| ≤ 1

2.

4.34 Teorema. Si a ≤ b son reales y f : [a, b]→ R es continua, entonces f es acotada.

Demostracion. Supongamos que es falso. Entonces, para cualquier natural existe un ele-mento xn ∈ [a, b] tal que |f(xn)| ≥ n. La sucesion (xn) podrıa no ser convergente pero, por3.30, tiene subsucesion (xnk

)k convergente. Sea x0 el lımite de esa subsucesion. Entonces

xnk−→k→∞

x0

pero|f(xnk

)|−→k→∞

∞,

lo cual es una contradiccion puesto que f es continua en x0. ♦

4.35 Nota. De los ejemplos de 4.33 observamos que hay funciones continuas que sonacotadas aunque el conjunto dominio no es acotado 4.33(a); hay funciones acotadas que noson continuas 4.33(b), y hay funciones continuas que no son acotadas aunque el conjuntodominio lo sea 4.33(c). Ası, tenemos que el recıproco del teorema anterior es falso, auneliminando condiciones.

4.36 Proposicion. Si f : [a, b] es continua entonces existen c, d ∈ [a, b] tales que paratoda x ∈ [a, b] se tiene que f(c) ≤ f(x) ≤ f(d).

Demostracion. Daremos solo una idea de la prueba. Encontraremos solo d (c se encuentrade manera analoga). Por 4.33 y el axioma del supremo 3.5, la imagen de la funcion tienesupremo s. Por 3.7, para cada n ∈ N se tiene que s − 1

nno es cota superior, ası que existe

xn ∈ [a, b] tal que s − 1n≤ f(xn) ≤ s. La sucesion (xn)n esta acotada y entonces, por 3.30,

tiene subsucesion convergente. El punto de convergencia es d. ♦

En 4.36 los valores f(c) y f(d) son mınimo y maximo, respectivamente, de f o, masexplıcitamente, maximo y mınimo absolutos. Decimos que f alcanza su mınimo en cy su maximo en d. Es claro que es posible que c y d no sean unicos, es decir, puede habermuchos valores en [a, b] en donde la funcion alcance su mınimo (o su maximo).

El siguiente teorema establece que si una funcion continua toma dos valores f(a) y f(b)y esta definida en todo el intervalo de a a b, entonces toma todos los valores intermedios;intuitivamente nos dice que no hay saltos de la grafica dentro de cualquier intervalo en elque la funcion este definida (y sea continua).

4.37 Teorema. Teorema del Valor Intermedio. Sea f : X → R funcion continuay sean a, b ∈ R tales que [a, b] ⊂ X. Si r ∈ [f(a), f(b)] (o r ∈ [f(b), f(a)], en caso quef(a) > f(b)), entonces existe x ∈ [a, b]. al que f(x) = r.

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Demostracion. Daremos solo idea de la demostracion. Trasladando la funcion si es nece-sario podemos suponer, sin perdida de generalidad, que r = 0, que f(a) < 0 y que f(b) > 0.Tomemos el punto medio x1 de a y b; si f(x1) = 0, entonces ya acabamos; si no, nos fijamosen su signo y en el extremo a o b que tenga signo contrario; sin perdida de generalidad,supongamos que f(x1) < 0. Ahora tomamos el punto medio x2 de [x1, b] y repetimos el pro-cedimiento. Si ninguno de los xn construidos cumple con que f(xn) = 0, vamos encontrandointervalos cada vez mas chicos de manera que al final quede solo un punto x0 y debe tenerseque f(x0) = 0 porque x0 es lımite de dos sucesiones, una con valores de positivos de lafuncion y otra con valores negativos. ♦

4.38 Corolario. Todo polinomio f(x) de grado impar con coeficientes en R tiene raızreal, es decir, existe x0 ∈ R tal que f(x0) = 0.

Demostracion. Por 4.37 bastara demostrar que existen a, b ∈ R tales que f(a) < 0 yf(b) > 0, pero esto es claro porque si f(x) = c2n+1x

2n+1 + c2nx2n + · · · c1x1 + c0 entonces

limx→∞

f(x) y limx→−∞

f(x)

tienen distinto signo (el signo del primero es igual al signo de c2n+1). ♦

De la misma manera se puede usar 4.37 para aproximar raıces.

4.39 Ejemplo. El polinomio f(x) = x3 + 4x− 7 tiene una raız entre 1 y 2.

Solucion. Efectivamente, pues f(1) y f(2) tienen distinto signo: f(1) = 13 +4 ·1−7 = −2y f(2) = 23 + 4 · 2− 7 = 9. ♦

4.40 Ejercicio. Hacer las graficas de las funciones cotangente, secante y cosecante.Explicar el razonamiento.

58

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4.41 Ejemplo. Hacer la grafica de las funcion f definida por

f(x) =x3 − 2

x2 + x− 2.

Solucion. Como el denominador es igual a (x + 2)(x − 1), el dominio de la funcion esR \ {−2, 1}. La funcion es continua en todo su dominio de definicion.

Analicemos primero los cruces con el eje x, es decir, para que x se tiene que f(x) = 0.Esto ocurre si, y solo si, x3 − 2 = 0, es decir, en x = 3

√2.

Analicemos ahora que pasa para valores de x cercanos a −2 por la derecha y por laizquierda:

limx→−2−

x3 − 2

x2 + x− 2= −∞,

pues si x ∼ −2 y x < 2, entonces el numerador x3− 2 se parece a −10 < 0 y el denominadorse parece a 0 y es positivo pues x+ 2 < 0 y x− 1 < 0.

Analogamente,

limx→−2+

x3 − 2

x2 + x− 2=∞,

pues si x ∼ −2 y x > 2, entonces el numerador x3− 2 se parece a −10 < 0 y el denominadorse parece a 0 y es negativo pues x+ 2 > 0 y x− 1 < 0.

Ahora analicemos que pasa para valores de x cercanos a 1 por la derecha y por la izquierda:

limx→1−

x3 − 2

x2 + x− 2=∞,

pues si x ∼ 1 y x < 1, entonces el numerador x3 − 2 se parece a −1 < 0 y el denominadorse parece a 0 y es negativo pues x+ 2 > 0 y x− 1 < 0.

Analogamente,

limx→1+

x3 − 2

x2 + x− 2= −∞,

pues si x ∼ 1 y x > 1, entonces el numerador x3 − 2 se parece a −1 < 0 y el denominadorse parece a 0 y es positivo pues x+ 2 > 0 y x− 1 > 0.

Tenemos que analizar tambien que ocurre cuando x→ −∞ y cuando x→∞:

limx→−∞

x3 − 2

x2 + x− 2= −∞,

pues el numerador es negativo y el denominador es positivo.

Analogamente,

limx→∞

x3 − 2

x2 + x− 2=∞,

59

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pues ambos, numerador y denominador son positivos.

Podemos tambien calcular algunos valores de la funcion:

f(0) =−2

2 · (−1)= 1, f(2) =

6

4 · 1= 1.5, f(−1) =

−3

1 · (−2)= 1.5, f

(−5

2

)=−125

8− 2

−1

2· −7

2

∼ −9.

4.42 Ejercicio. Dibujar la grafica de f si f(x) =x2 − 2x+ 1

x− 1.

4.43 Ejercicio. Dibujar la grafica de f si f(x) =x3 + x

x2 − 4x+ 3.

4.5. Inversas de funciones

4.44 Observacion. Si f : X → Y es una funcion biyectiva, definimos f−1 : Y → X,la funcion inversa de f , por f−1(y) = x si f(x) = y. Esta definicion es correcta (es decir,efectivamente f−1 es funcion) pues el que f sea suprayectiva implica la existencia de x y, elque sea inyectiva implica que ese x es unico para cada y.

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4.45 Nota. Hemos observado que el que una funcion sea inyectiva o suprayectivadepende del dominio y del codominio. Por ejemplo, podemos decir que la funcion seno esbiyectiva si restringimos el dominio al intervalo [−π

2, π2] y el codominio el intervalo [−1, 1].

4.46 Observacion. Dado un punto en el plano, (a, b) ∈ R2, el punto (b, a) es el reflejadode (a, b) a traves de la recta con ecuacion x = y. Por esta razon, si f : X → Y es biyectivapara X, Y ⊂ R, la grafica de f−1 se obtiene reflejando la grafica de f a traves esa recta.

Definimos entonces las funciones siguientes, que son inversas de las funciones seno, cosenoy tangente, respectivamente:

La funcion arco seno, arcsen : [−1, 1]→ [−π2, π2] es la inversa de la funcion seno.

La funcion arco coseno, arccos : [−1, 1]→ [0, π] es la inversa de la funcion coseno.

La funcion arco tangente, arctan : R→ (−π2, π2) es la inversa de la funcion tangente.

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Desde luego la funcion inversa depende del dominio escogido, por ejemplo, otra inversade la funcion seno estarıa definida para [π

2, 3π

2].

4.47 Ejercicio. Graficar la funcion cotangente y tambien una inversa de ella.

4.48 Ejercicio. Graficar la funcion secante y tambien una inversa de ella.

4.49 Ejercicio. Graficar la funcion cosecante y tambien una inversa de ella.

Decimos que f : R→ R es funcion par si f(x) = f(−x) para toda x ∈ R. Por ejemplo,las funciones x 7→ x2, x 7→ |x|, x 7→ 3x4 − x2 y x 7→ cos(x) son funciones pares.

4.50 Observacion. Si f : R → R es funcion par, entonces Graf(f) es simetrica conrespecto al eje de las y.

Decimos que f : R→ R es funcion impar si f(x) = −f(−x) para toda x ∈ R.

4.51 Ejercicio. Decir que caracteriza a las graficas de las funciones impares y darcuatro ejemplos (que a lo mas dos sean polinomiales).

4.52 Ejercicio. Se lleno una botella con un flujo constante de agua. La grafica describeel comportamiento de la algura h del agua en la botella dependiendo del tiempo t. ¿Cual delas opciones puede haber sido la forma de la botella?

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5. Derivadas

Si a y b son reales con a < b, x0 ∈ (a, b) y f : R → R es una funcion, decimos que f esderivable en x0 si existe el siguiente lımite:

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

En este caso ese lımite es la derivada de f en x0 y se denota por f ′(x0). Geometricamentetenemos que f ′(x0) es la pendiente de la recta que mas se parece a la curva dada por lagrafica de f alrededor del punto (x0, f(x0)). A esa recta se le llama tangente a f en x0.

5.1 Proposicion. (a) Si f es constante entonces f es derivable en todo x0 y f ′(x0) = 0.

(b) Si f es la funcion identica, f(x) = x, entonces f es derivable en todo x0 y f ′(x0) = 1.

(c) Si f y g son funciones derivables en x0 entonces tambien lo es la funcion suma h,definida por h(x) = f(x) + g(x), y h′(x0) = f ′(x0) + g′(x0).

Demostracion. Hagamos solo (c), como muestra (las otras dos son inmediatas de la defi-nicion de derivada):

limx→x0

h(x)− h(x0)

x− x0= lim

x→x0

(f(x) + g(x))− (f(x0) + g(x0))

x− x0

= limx→x0

(f(x)− f(x0)

x− x0+g(x)− g(x0)

x− x0

)= f ′(x0) + g′(x0). ♦

Antes de continuar con derivadas de funciones que se obtienen a partir de otras, veamosel siguiente lema.

5.2 Lema. Si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0.

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Demostracion. Tenemos que

limx→x0

|f(x)− f(x0)| = limx→x0

∣∣∣∣f(x)− f(x0)

x− x0

∣∣∣∣ |x− x0| = f ′(x0) · 0 = 0. ♦

5.3 Proposicion. (a) Formula producto para derivadas. Si f y g son funcionesderivables en x0, entonces tambien lo es la funcion producto h, definida por h(x) = f(x)g(x),y h′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g

′(x0).

(b) Si f es funcion derivable en x0 y c es una constante, entonces tambien lo es la funcionh = cf , definida por h(x) = cf(x), y h′(x0) = cf ′(x0).

(c) Si f : R \ {0} esta definida por f(x) = 1x, entonces f es derivable en todo x0 y

f ′(x0) =−1

x20.

Demostracion. (a) Aquı usaremos, ademas de la definicion de derivada, el lema anterior:

limx→x0

h(x)− h(x0)

x− x0= lim

x→x0

f(x)g(x)− f(x0)g(x0)

x− x0

= limx→x0

f(x)g(x)− f(x)g(x0) + f(x)g(x0)− f(x0)g(x0)

x− x0

= limx→x0

f(x)(g(x)− g(x0)) + (f(x)− f(x0))g(x0)

x− x0

= limx→x0

f(x)g(x)− g(x0)

x− x0+ lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0g(x0)

= f(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0).

(b) Esto se deduce directamente de que la derivada de una constante es 0 y de la formulaproducto demostrada en el inciso anterior.

(c)

limx→x0

1

x− 1

x0x− x0

= limx→x0

x0 − xxx0x− x0

= limx→x0

1

xx0

x0 − xx− x0

=−1

x20.

5.4 Proposicion. Regla de la cadena. Si f es una funcion derivable en x0 y g esuna funcion derivable en f(x0), entonces la funcion composicion h = g ◦ f es derivable en x0y

h′(x0) = g′(f(x0))f′(x0).

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Demostracion.

h′(x0) = limx→x0

(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(x0)

x− x0

= limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0

= limx→x0

g(f(x))− g(f(x0))

x− x0f(x)− f(x0)

f(x)− f(x0)

= limf(x)→f(x0)

g(f(x))− g(f(x0))

f(x)− f(x0)limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= g′(f(x0))f

′(x0). ♦

5.5 Corolario. Formula cociente para derivadas. Si f y g son funciones derivablesen x0 y g(x0) 6= 0 entonces tambien lo es la funcion cociente h, definida por h(x) = f(x)

g(x), y

h′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g

′(x0)

g(x0)2.

Demostracion. Esto se deduce aplicando la regla de la cadena 5.4 y usando (a) y (c) de5.3. ♦

5.6 Corolario. Si n ∈ Z y fn(x) = xn entonces f ′n(x) = nxn−1.

Demostracion. Para n = 0 el resultado es claro porque x0 = 1, es decir, f0 es constante.

Si n es natural procedemos por induccion. Para n = 1 el resultado es claro pues se tratade la funcion identica que ya sabemos que tiene por derivada a 1 y 1x0 = 1.

Ahora tomemos n > 1 y supongamos, por hipotesis de induccion, que el resultado escierto para n− 1, es decir, f ′n−1 = (n− 1)xn−2. Derivemos fn usando la formula producto:

f ′n(x) = xn = xn−1x = (n− 1)xn−2x+ xn−1 · 1 = nxn−1,

como querıamos probar.

Por ultimo consideremos n < 0 y sea m = −n > 0. Entonces xn = 1xm

y, ahora podemosusar la formula para el cociente de derivadas vista arriba, puesto que m ∈ N y el caso de laderivada de xm cuando m ∈ N ya lo acabamos de ver. Tenemos:

f ′n(x) =0 · xm − 1 ·mxm−1

x2m= −mx−m−1 = nxn−1. ♦

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5.7 Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones:

(a) f(x) = x7 − πx4 + 2x−√

2.

(b) f(x) = (8x2 − 1)3.

(c) f(x) = −2x4+3xπx

.

(d) f(x) = 2(4x+3)7

.

(e) f(x) =(

24x+3

)7.

Solucion.

(a) f ′(x) = 7x6 − 4πx3 + 2.

(b) f ′(x) = 3(8x2 − 1)216x.

(c) f ′(x) =(−8x3 + 3)(πx)− π(−2x4 + 3x)

π2x2.

(d) f ′(x) =0− 2 · 7(4x+ 3)6 · 4

(4x+ 3)14.

(e) f ′(x) = 7

(2

4x+ 3

)6 −8

(4x+ 3)2. ♦

5.8 Observacion. La derivada nos dice cual es la razon de cambio de la funcion conrespecto al cambio de la variable, es decir, si la derivada de f en x0 es m entonces para xcercano a x0 a una distancia d se tiene que la distancia de f(x) a f(x0) es aproximadamentemd (tomando en cuenta el signo). Por ejemplo, el que la derivada de una funcion f en x0 sea2 significa que, junto a x0, la funcion va creciendo al doble de lo que se mueve la variable x,y si la derivada en x0 fuera −1 esto nos dirıa que la funcion va decreciendo al mismo ritmoque la variable.

5.9 Ejemplo. Comparar el valor de la funcion dada por f(x) = x2 en 10 y en 11.

Solucion. Sabemos que f ′(x) = 2x. Entonces f ′(10) = 2 · 10, lo cual dice que si incremen-tamos, por ejemplo, x0 = 10 en 1, la diferencia de la funcion en 10 con el valor en 11 creceaproximadamente en 2 · 10:

f(11)− f(10) ∼ 2 · 10(11− 10),

lo cual es claro, en efecto, pues dice

112 − 102 = 121− 100 = 21 ∼ 20 = 2 · 10(11− 10). ♦

El ejemplo anterior nos sugiere que al tener un valor de x cercano a x0 (llamado dife-rencial de x en x0) obtenemos valores cercanos de la funcion (diferencial de la funcion).

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Tenemos ası otra notacion mas descriptiva de la derivada de una funcion como cociente dediferenciales:

f ′(x) =df(x)

dx=df

dx(x),

la cual nos dice que la razon de la diferencia en f(x) entre la diferencia en x esta dada,localmente, por la funcion derivada. Esta notacion, a pesar de ser mas larga, tiene variasventajas: la primera es que enfatiza el papel de x (en ocasiones hay funciones de variasvariables), la segunda es que nos permite usar notacion mas clara con funciones compuestas

(por ejemplo,dsen(x2)

dx); la tercera es que tiene implıcita la idea de derivada como razon de

cambio.

Hemos visto que cuando la funcion es derivable en un punto x0, entonces f ′(x0) es unnumero y, para valores de x cercanos a x0 se tiene que

f(x)− f(x0)

x− x0∼ f ′(x0),

de donde, despejando,f(x) ∼ f(x0) + f ′(x0)(x− x0),

y la expresion de la derecha es lineal, es decir, la funcion l definida por

l(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

tiene por grafica la recta que pasa por (x0, f(x0)) y que tiene por pendiente f ′(x0). Todoesto nos esta expresando que, cerca de x0, la funcion f se parece a la recta dada por l, a lacual llamamos tangente a la curva Graf(f) en (x0, f(x0). Entonces, la idea de derivar unafuncion f es aproximarla, localmente, por una funcion sencilla (o sea, una funcion lineal).

En 5.6 calculamos la derivada de la funcion dada por f(x) = xn para n ∈ Z. El mismoresultado tambien es cierto para potencias racionales. Para poder probarlo recordemos quepara n natural la funcion f(x) = n

√x es la inversa (en dominio apropiado) de la funcion

“elevar a la n”. El resultado siguiente nos dice como calcular la derivada de funciones inversas.El resultado es una consecuencia de la regla de la cadena

5.10 Proposicion. Si f es derivable en x0 e inyectiva en un intervalo (a, b) alrededorde x0, entonces la funcion inversa f−1 es derivable en y0 = f(x0) y

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0).

Demostracion. Tenemos que f−1 ◦ f es la funcion identica, es decir, (f−1 ◦ f)(x) = x.Aplicamos la regla de la cadena a esta expresion (recordando que la derivada de la funcionidentica es 1):

(f−1)′(f(x0))f′(x0) = 1. ♦

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5.11 Ejercicio. Hacer un dibujo que interprete 5.10, es decir, relacionar la recta tan-gente a Graf(f) en (x0, f(x0)) con la en recta tangente a Graf(f−1) en (f(x0), x0).

5.12 Corolario. Si n ∈ Q y fn(x) = xn entonces f ′n(x) = nxn−1.

Demostracion. Ya sabemos que esto es cierto para cuando n es natural. Empecemos porconsiderar el caso n = 1

mcon n ∈ N. Sea g(x) = xm. Para f(x) = x

1m tenemos que g = f−1

o, equivalentemente, f = g−1. Por 5.10,

f ′(x) =1

g′(f(x))=

1

mf(x)m−1=

1

m(x

1m

)m−1 =1

1n

(xn)1n−1

=n

x1−n= nxn−1.

Ahora nos falta el caso en que f(x) = xn con n = km

si k ∈ Z y m ∈ N. Esto lo resolvemosusando la regla de la cadena y el resultado anterior:

f ′(x) = k(x

1m

)k−1 1

mx

1m−1 =

k

mx

k−1m

+ 1m−1 =

k

mx

km . ♦

5.13 Corolario. Si f : (0,∞)→ R esta dada por f(x) =√x, entonces f es derivable

y f ′(x) = 12√x. ♦

En el ejemplo 5.9 comparamos los valores de 112 y 102 usando la derivada. Desde luego,fue solo una ilustracion pues no es difıcil calcular 112. Sin embargo es posible aplicar la mismaidea para calcular aproximaciones de valores de una funcion cuando no es facil, conociendolos valores en puntos cercanos. Vemos esto en el siguiente ejemplo.

5.14 Ejemplo. Encontrar un valor aproximado de√

9.18 usando diferenciales.

Solucion. Tenemos qued√x

dx=

1

2√x

. Tomemos x0 = 9. Entonces

√9.18 ∼

√9 +

1

2√

9(9.18− 9),

de donde √9.18 ∼ 3 +

0.18

6= 3.03.

(Nota: Podemos usar una calculadora para obtener√

9.18 = 3.02985 . . ..) ♦

Para poder calcular las derivadas de las funciones trigonometricas y de sus inversasnecesitamos algunas formulas trigonometircas que veremos a continuacion.

5.15 Proposicion. Si x, y ∈ R entonces

(a) cos2x+ cos2x = 1.

(b) cos(x+ y) = cos(x)cos(y)− sen(x)sen(y).

(c) sen(x+ y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y).

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Demostracion. (a) Es claro pues, por definicion, los puntos en la circunferencia de radio1 son de la forma (cos(x), sen(x)).

(b) Sean 0 < b ≤ a < π2

y a− b < π2.

Observemos que los triangulos AOC y BOP son iguales. Entonces los vectores CA y PBtienen la misma longitud; pero

CA = (cos(a)− cos(a− b), sen(a)− sen(a− b)) y

PB = (cos(b)− 1, sen(b).

ası que ||CA|| = ||PB|| dice que√(cos(a)− cos(a− b))2 + (sen(a)− sen(a− b))2 =

√(cos(b)− 1)2 + sen2(b)

Desarrollando y usando (a) obtenemos

cos(a)cos(a− b) + sen(a)sen(a− b) = cos(b);

ahora hacemos un cambio de variable: a = x y b = x+y para obtener la formula deseada. Noes difıcil probar que la formula vale para cualesquiera valores de x y y, usando la periodicidadde la funcion coseno. Se dejan los detalles al lector.

(c) Ahora usamos que sen(x) = cos(x − π2), que coseno es una funcion par, seno es una

funcion impar y que cos(x− π) = −cos(x):

sen(x+ y) = cos(x+ y − π

2)

= cos(x)cos(y − π

2)− sen(x)sen(y − π

2)

= cos(x)cos(y − π

2)− sen(x)cos(y − π)

= cos(x)sen(y) + sen(x)cos(y). ♦

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5.16 Proposicion. (a)d cos

dx(0) = 0.

(b)d sen

dx(0) = 1.

Demostracion. (a) Tenemos que

d cos

dx(0) = lim

x→0

cos(x)− 1

x.

Para ver que este lımite es 0, observemos la siguiente figura:

Tenemos que0 ≤ ||PX|| ≤ |x|0 ≤

√(1− cos(x))2 + sen2(x) ≤ |x|

0 ≤ 1− 2cos(x) + cos2(x) + sen2(x) ≤ x2

0 ≤ 1− cos(x) ≤ x2

2

0 ≤∣∣∣∣1− cos(x)

x

∣∣∣∣ ≤ |x|2

Como ambos extremos tienden a 0 cuando x tiende a 0, tambien lo hace1− cos(x)

x.

(b) Aquıd sen

dx(0) = lim

x→0

sen(x)

x.

Como queremos hacer tender x a 0, sin perdida de generalidad podemos suponer que |x| < π2.

Ahora consideremos la siguiente figura:

70

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Observamos que|sen(x)| ≤ |x| ≤ |tan(x)|

1 ≤ |x||sen(x)|

≤ |tan(x)||sen(x)|

1 ≤ |x||sen(x)|

≤ 1

|cos(x)|1 ≥ |sen(x)|

|x|≥ |cos(x)|

Cuando |x| → 0 se tiene que ambos extremos de la desigualdad tienden a 1, ası que tambien|sen(x)||x| → 1. ♦

Para obtener las formulas de las derivadas del seno y del coseno conviene tener una nuevaexpresion (equivalente) para la derivada. Es el contenido de la siguiente observacion.

5.17 Observacion. Sea f una funcion derivable en x0. Entonces, tomando h = x−x0tenemos

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

5.18 Proposicion. (a)d sen(x)

dx= cos(x).

(b)d cos(x)

dx= −sen(x).

71

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Demostracion. (a) Usamos 5.15 y 5.16:

limh→0

sen(x0 + h)− sen(x0)

h= lim

h→0

sen(x0)cos(h) + cos(x0)sen(h)− sen(x0)

h

= sen(x0) limh→0

cos(h)− 1

h− lim

h→0

sen(h)

h

= sen(x0)d cos

dx(0)− cos(x0)

d sen

dx(0)

= sen(x0) · 0− cos(x0) · 1= −cos(x0).

(b) Ahora usamos que cos(x) = sen(x+ π2) y la regla de la cadena:

d cos(x)

dx=d sen(x+ π

2)

dx= cos

(x+

π

2

)· 1 = sen(x+ π) = −sen(x). ♦

5.19 Corolario. (a)d tan(x)

dx= sec2(x).

(b)d cotan(x)

dx= −cosec2(x).

(c)d sec(x)

dx= sec(x)tan(x).

(d)d cosec(x)

dx= −cosec(x)cotan(x).

Demostracion. Probaremos solo (a) usando la formula del cociente de derivadas y deja-remos como ejercicio las demas.

d tan(x)

dx=d sen(x)cos(x)

dx

==cos2(x) + sen2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x)= sec2(x). ♦

5.20 Ejercicio. Probar los incisos (b), (c) y (d) de la proposicion anterior.

Las derivadas de las funciones trigonometricas inversas se deducen facilmente a partir de5.10.

5.21 Proposicion. (a)d arcsen(x)

dx=

1√1− x2

para x ∈ (−1, 1).

(b)d arccos(x)

dx=

−1√1− x2

para x ∈ (−1, 1).

72

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(c)d arctan(x)

dx=

1

1 + x2para x ∈ R.

(d)d arccotan(x)

dx=−1

1 + x2para x ∈ R.

(e)d arcsec(x)

dx=

1

|x|√x2 − 1

para x ∈ R \ [−1, 1].

(f)d arccosec(x)

dx=

−1

|x|√x2 − 1

para x ∈ R \ [−1, 1].

Demostracion. Probaremos (a) Las demas se dejan como ejercicio. Sea y0 = sen(x0).

d arcsen(y)

dy(y0) =

1d sen(x)dx

(x0)

=1

cos(x0)=

1

cos(arcsen(y0)

=1√

cos2(arcsen(y0)

=1√

1− sen2(arcsen(y0)

=1√

1− y20. ♦

5.22 Ejercicio. Probar los incisos (b), (c), (d), (e) y (f) de la proposicion anterior.

Sea X ⊂ R y sea f : X → R. Decimos que el punto (x0, f(x0)) de la grafica de f esmaximo local de f si existe δ > 0 tal que (x0−δ, x0+δ) ⊂ X y para todo x en ese intervalose tiene que f(x) ≤ f(x0). Definimos mınimo local de manera similar.

5.23 Lema. Si f es continua en un intervalo (a, b), derivable en x0 ∈ (a, b) y en x0 hayun maximo o mınimo local, entonces f ′(x0) = 0.

Demostracion. Hagamos la prueba suponiendo que en x0 hay maximo local y tomemosδ > 0 como en la definicion de maximo local (aquı arriba). Para h suficientemente pequena(de manera que x+ h ∈ (x0 − δ, xo + δ)), se tiene que en la expresion de la derivada

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h,

el numerador es negativo (por ser f(x0 +h) ≤ f(x0)) sin importar como sea h, pero al tomarh < 0 o h > 0 el denominador cambia de signo y entonces la unica posibilidad del lımite es

73

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que sea 0. ♦

A los puntos donde la derivada se hace 0 se les llama puntos crıticos.

5.24 Observacion. (a) El recıproco del lema anterior es falso; por ejemplo, la funciondada por f(x) = x3 tiene derivada 0 en x0 = 0 y, sin embargo, (0, 0) no es maximo ni mınimolocal.

(b) Es posible que la funcion no sea derivable en un mınimo o maximo local. Por ejemplo,la funcion “valor absoluto” tiene mınimo local en 0.

(c) El maximo absoluto (o mınimo absoluto) de una funcion continua definida en unintervalo [a, b] puede estar en alguno de los dos extremos (por ejemplo, la funcion dada porf(x) = x2 definida en [−1, 0] tiene su maximo absoluto en −1 y su mınimo absoluto en 0).

(d) Todo maximo absoluto es maximo local pero una funcion puede tener varios maximoso mınimos locales en donde el valor de la funcion sea diferente como se ve en la graficadibujada en la demostracion del teorema de Rolle a continuacion.

5.25 Teorema. Teorema de Rolle. Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivableen (a, b). Si f(a) = f(b) entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0.

Demostracion. Si f es constante, entonces el resultado es claro: todo x0 tiene derivada 0.Supongamos entonces que f no es constante. Por 4.36 f alcanza su maximo y su mınimo en[a, b]. Ademas, como f(a) = f(b) y la funcion no es constante, entonces existe x0 ∈ (a, b) endonde hay un maximo o mınimo local. Por el lema anterior se tiene el resultado. ♦

5.26 Corolario. Teorema del valor medio. Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] yderivable en (a, b). Entonces existe x0 ∈ (a, b) tal que

f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a,

es decir, la recta tangente a la grafica en x0 es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a))y (b, f(b)).

Demostracion. Modificaremos la funcion f de manera que la nueva funcion g tenga el-mismo valor en a y en b y aplicaremos el teorema de Rolle a esta nueva funcion.

74

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Definamos

g(x) = f(x)− f(b)− f(a)

b− a(x− a).

Como f es derivable en (a, b) y continua en [a, b], tambien lo es g. Observemos que g(a) =f(a) = g(b), ası que g cumple las hipotesis del teorema de Rolle y entonces existe x0 ∈ (a, b)tal que g′(x0) = 0. Pero

g′(x) = f ′(x0)−f(b)− f(a)

b− a,

y de aquı ya es claro el resultado. ♦

5.27 Corolario. Si f es derivable en (a, b) y f ′(x) = 0 para toda x ∈ (a, b) entonces fes constante en (a, b).

Demostracion. Supongamos que no. Entonces existen c < d tales que f(c) 6= f(d). Usando

el teorema del valor medio encontramos un elemento x0 ∈ (c, d) tal que f ′(x0) = f(d)−f(c)d−c 6= 0,

y esto es una contradiccion. ♦

5.28 Ejercicio. Probar que si f es derivable en (a, b) y f es creciente (resp. decreciente)entonces f ′(x) ≥ 0 (resp. f ′(x) ≤ 0) para toda x ∈ (a, b).

Dada una funcion derivable f , hemos construido la funcion derivada. Tiene entoncessentido preguntarse si esta nueva fucnion es derivable. En ese caso, su derivada es la segundaderivada de f y se denota por f ′′ o f (2), que tambien se denota por d2f

dx2. Ası sucesivamente

podemos construir derivadas de orden superior: f ′′′ = f (3) = d3fdx3, . . ..

5.29 Observacion. En caso de existir, la segunda derivada nos ofrece informacionsobre la funcion misma: Por 5.28, f ′′(x0) > 0 nos dice que f ′ es creciente en un intervaloalrededor de x0. Esto nos dice que f es concava hacia arriba alrededor de x0. Si, por elcontrario, f ′′(x0) < 0 entonces f ′ es decreciente en un intervalo alrededor de x0 y estosignifica que f es concava hacia abajo alrededor de x0. Un punto de inflexion es aquelen que la derivada cambia de concavidad (y, por lo tanto, la segunda derivada es 0).

75

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5.30 Corolario. Sea f : (a, b)→ R derivable en x0 con f ′(x0) = 0 y supongamos quef ′ es derivable en x0. Si

(a) Si f ′′(x0) > 0, entonces en x0 hay un mınimo local de f .

(b) Si f ′′(x0) < 0, entonces en x0 hay un maximo local de f . ♦

5.31 Ejemplo. Dibujar la grafica de la funcion f : R→ R dada por f(x) = 13x3 +x2 +

x+ 2.

Solucion. Intersecciones con los ejes: f(0) = 2 y no es facil encontrar x tal que f(x) = 0,pero obsevamos que f(−3) = −9 + 9− 3 + 2 = −1 < 0 y que f(−2) = −8

3+ 4− 2 + 2 > 0,

ası que, por el teorema del valor intermedio, cruza el eje x en algun punto entre −3 y −2.

Calculemos los lımites importantes: limx→∞

f(x) =∞ y limx→−∞

f(x) = −∞.

Ahora busquemos puntos crıticos: f ′(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, ası que la derivadase anula exactamente en x0 = −1. Veamos ahora que tipo de punto es: f ′′(x) = 2x + 2,ası que f ′′(−1) = 0 y entonces tenemos que en −1 hay un punto de inflexion y este es(−1, f(−1)) = (−1, 5

3).

El dibujo es el siguiente:

5.32 Ejemplo. Dibujar la grafica de la funcion definida por f(x) = x(x−1)2 .

Solucion. El dominio es R \ {1}.Intersecciones con los ejes f(x) = 0 si, y solo si, x = 0.

Los lımites importantes: limx→∞

f(x) = 0 = limx→−∞

f(x).

limx→1−

f(x) =∞ = limx→1+

f(x) pues ambos, numerador y denominador, son positivos.

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Puntos crıticos:

f ′(x) =(x− 1)2 − 2x(x− 1)

(x− 1)4=x− 1− 2x

(x− 1)3=−x− 1

(x− 1)3,

ası que la derivada se anula exactamente en x0 = −1. Veamos ahora que tipo de punto es:

f ′′(x) =−(x− 1)3 − 3(−x− 1)(x− 1)2

(x− 1)6=−(x− 1)− 3(−x− 1)

(x− 1)4=

2x+ 4

(x− 1)4.

Entonces f ′′(−1) > 0 y en −1 hay un mınimo local y el punto es (−1, f(−1)) = (−1, −14

).

El dibujo es el siguiente:

5.33 Ejemplo. Dibujar la grafica de la funcion definida por f(x) = x2−2x+2x−1 .

Solucion. El dominio es R \ {1}.Intersecciones con los ejes: f(x) = 0 nunca ocurre pues el numerador es (x− 1)2 + 1. Por

otro lado f(0) = 2−1 = −2. Observemos que podemos reescribir la definicion de f como

f(x) = x− 1 +1

x− 1.

Los lımites importantes:

limx→∞

f(x) =∞, limx→−∞

f(x) = −∞, limx→1−

f(x) = −∞ y limx→1+

f(x) =∞.

Puntos crıticos:

f ′(x) =(2x− 2)(x− 1)− (x2 − 2x+ 2)

(x− 1)2

=2x2 − 4x+ 2− x2 + 2x− 2

(x− 1)2

=x2 − 2x

(x− 1)2,

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ası que la derivada se anula exactamente en x1 = 0 y x2 = 2 y tenemos que f(0) = −2 yf(2) = 2. Ahora calculemos la segunda derivada:

f ′′(x) =(2x− 2)(x− 1)2 − (x2 − 2x)2(x− 1)

(x− 1)4

=2(x− 1)3 − 2x(x− 2)(x− 1)

(x− 1)4

=2

x− 1− 2x(x− 2)

(x− 1)3,

y entonces f ′′(0) = −2 < 0 por lo que en (0,−2) hay maximo local, y f ′′(2) = 2 > 0 por loque en (2, 2) hay mınimo local.

Ahora observemos algo interesante: Cuando x → ∞ y cuando x → −∞ resulta quef ′(x) → 1. Esto significa que para |x| grande la grafica de f se parece a una recta conpendiente 1, es decir, una recta con ecuacion de la forma y = x+ b. Para encontrar el valorde b, observemos que este es casi la distancia de f(x) a la recta con ecuacion y = x para xgrande, ası que consideramos

f(x)− x = x− 1 +1

x− 1− x→ −1

cuando x → ∞ y tambien cuando x → −∞ y entonces tenemos que la recta con ecuaciony = x− 1 es asıntota y la grafica se parece a ella para |x| grande.

El dibujo es el siguiente:

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De acuerdo a lo que observamos en el ejemplo anterior tenemos el siguiente resultado:

5.34 Proposicion. Sea f : (a,∞)→ R una funcion derivable. Si

limx→∞

f ′(x) = m y limx→∞

f(x)−mx = b,

entonces la recta con ecuacion y = mx+ b es asıntota de la grafica de f . ♦

5.35 Ejercicio. Calcular la funcion derivada de la funcion f en los siguientes casos:

(a) f(x) = 8x2 − 2√x3 + 1 (e) f(x) = sec(x)x2

(b) f(x) = 3√x4 + 2 (f) f(x) = arccos(x)

(c) f(x) = tan(x5 − 1) (g) f(x) = tan5(x)− 1

(d) f(x) = sen4(2x) (h) f(x) =3x4 + 2√

x

5.36 Ejercicio. Dar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en x = 1 sif(x) = x3 + 3x2 + 1.

5.37 Ejercicio. Encontrar la ecuacion de la recta tangente al cırculo {(x, y) : x2+y2 =

1} en(−1

2,√32

).

5.38 Ejercicio. Demostrar que para todo x > 0 se tiene que cos(x) > 1 − x2

2. (Suge-

rencia: Escribir x = x2

+ x2).

5.39 Ejercicio. Probar que la funcion f dada por

f(x) =

x+ 1, si x ∈ [0, 1]

−x2 + 3, si x ∈ (1, 3]

es continua en x = 1 pero no es derivable en x = 1.

5.40 Ejercicio. Probar que la funcion f dada por

f(x) =

−x2 + 4x− 2, si x ∈ [1, 2]

−1

2x2 + 2x, si x ∈ (2, 3]

es derivable en todo el intervalo (1, 3) pero que su derivada no es derivable en x = 2.

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5.41 Ejercicio. Usando el concepto de diferencial encontrar un valor aproximado de3

√0.991.1

.

5.42 Ejercicio. Usando el concepto de diferencial encontrar un valor aproximado dearctan(1.05).

5.43 Ejercicio. Encontrar el maximo y mınimo absolutos de la funcion f dada porf(x) = x3 − 6x2 + 9x+ 1 en [0, 6].

5.44 Ejercicio. Dibujar las graficas de las siguientes funciones, determinando dominio,continuidad, paridad, asıntotas, maximos y mınimos locales, puntos de inflexion y concavi-dad.

(a) f(x) =x

x2 − 6x− 16(d) f(x) = x+ sen(x)

(b) f(x) =2x2 + x

x− 1(e) f(x) = x2 + |2x+ 2|

(c) f(x) =√x2 + 3x+ 2 (f) f(x) = x− [x]

5.45 Ejercicio. Probar que si f y g son dos funciones de (a, b) en R tales que f ′ = g′

entonces existe k ∈ R tal que f(x) = g(x) + k.

5.1. Aplicaciones

Como hemos ya dicho varias veces, la derivada de una funcion nos representa la razon decambio de la funcion con respecto al cambio de la variable. Un ejemplo importante es el develocidad y de aceleracion como veremos en el siguiente ejemplo.

5.46 Ejemplo. Imaginemos que un vehıculo cualquiera se mueve una cierta distancia dy consideremos a esta como una funcion del tiempo. En un periodo (0, t), la velocidad pro-medio, v(t), se define como la distancia recorrida entre el tiempo que se uso para recorrerla,es decir,

v(t) =d(t)

t=d(t)− d(0)

t− 0.

La velocidad instantanea en un determinado momento (lo que marcarıa el velocımetro del

80

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automovil en ese momento) es la derivada de la distancia: v(t0) = d′(t0). La aceleracion, aen el tiempo t0, a(t0), nos dice como esta cambiando la velocidad en ese momento. Tenemosentonces que

a(t) = v′(t) = d′′(t).

Por ejemplo, una velocidad constante proporciona una aceleracion 0.

5.47 Ejemplo. Un globo de 5 cm de radio se infla de tal manera que el radio aumenta2 cm por segundo.

(a) ¿Cual es el volumen inicialmente?

(b) ¿Cual es el volumen en un segundo?

(c) ¿En que razon (con respecto al tiempo) aumenta el volumen en el primer segundo?

(d) ¿Cual es el volumen en dos segundos?

(e) ¿En que razon (con respecto al tiempo) aumenta el volumen cuando el radio es de10 cm?

(f) ¿Que tipo de grafica es la del volumen con respecto al tiempo y en que razon aumentael volumen con respecto al tiempo?

Solucion. Llamemos v al volumen, r al radio y t al tiempo. Tenemos que v es una funciondel radio con v(r) = 4

3πr3 y que el radio es una funcion del tiempo con r(t) = 2t+5. Entonces

podemos poner al volumen como funcion del tiempo por v(t) = 43π(2t+ 5)3.

(a) v(0) = 43π53 = 523cm3

(b) v(1) = 43π73 = 1437cm3

(c)dv

dt(t) = 4π(2t+ 5)22, ası que

dv

dt(1) = 4π(2 · 1 + 5)22 = 1232cm3seg.

(d) v(2) = 43π93 = 3053 cm3

(e) v(r(t)) = 43πr(t)3, ası que v′(r(t)) = 4π(r(t))2 · r′(t) = 4π(10)2 · 2 = 2513 cm3/seg.

(f) La grafica es de tipo cubico y, por tanto, la razon de aumento de volumen con respectoal tiempo es cada vez mayor (aumenta en forma cuadratica). ♦

5.48 Ejemplo. Probar que de todos los rectangulos que tienen el mismo perımetro, elcuadrado es el que tiene la mayor area.

Solucion. Llamemos x y y a los lados del rectangulo. Entonces el perımetro es P = 2(x+y)y el area A es xy. El perımetro es una constante, de manera que podemos poner a una delas variables, digamos y, en terminos de la otra: y = P−2x

2. En consecuencia, el area es una

funcion de x: A(x) = xP−2x2

= Px−2x22

. Queremos encontrar el valor maximo de A. Tenemosque A′(x) = P−4x

2y esto es 0 si, y solo si, x = P

4. Como ademas A′′(x) = −2 < 0, tenemos que

en x hay maximo. Se trata de una parabola, ası que este valor nos proporciona el maximoabsoluto. En este caso y = P

4y se trata de un cuadrado. ♦

5.49 Nota. En el ejercicio anterior se probo, realmente, que el maximo producto de

81

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dos numeros cuya suma es una constante se da cuando los numeros son iguales; en otraspalabras,

A(A− x) ≤(A

2

)2

,

o, equivalentemente, sustituyendo A por x+y, tenemos la forma conocida como desigualdadde la media geometrica y la media aritmetica: Si x, y ≥ 0 entonces

√xy ≤ x+ y

2.

5.50 Ejemplo. Encontrar las longitudes de los lados del triangulo que tiene base 2,area 4 y perımetro mınimo.

Solucion. Analicemos la situacion en el plano coordenado para trabajar con geometrıaanalıtica: Pongamos la base con extremos (−1, 0) y (1, 0). Puesto que el area vale 4, la alturasobre esa base mide 4, es decir, el otro vertice tiene coordenadas (x, 4). El perımetro de esetriangulo es una funcion de x:

P (x) = 2 +√

(x+ 1)2 + 42 +√

(x− 1)2 + 42.

De aquı que

P ′(x) =2(x+ 1)

2√

(x+ 1)2 + 42+

2(x− 1)

2√

(x− 1)2 + 42.

Queremos ver cuando este valor es 0. Sacamos denominador comun y el numerador debe ser0, esto es,

(x+ 1)√

(x− 1)2 + 42 = −(x− 1)√

(x+ 1)2 + 42.

Al elevar al cuadrado tenemos:

(x+ 1)2(x− 1)2 + 16(x+ 1)2 = (x− 1)2(x+ 1)2 + 16(x− 1)2.

de donde(x+ 1)2 = (x− 1)2;

y esto ocurre si, y solo si, |x+ 1| = |x− 1|, lo cual solo es posible para x0 = 0. Notemos queeste es el caso del triangulo isosceles. Para deducir si es maximo o mınimo, de costumbreconsideramos la segunda derivada, pero en este caso es mucho mas facil estudiar el problemaque estamos tratando en la siguiente figura.

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Observamos que cuando x→∞ o x→ −∞ el perımetro del triangulo tiende a∞, ası queel valor de x0 = 0 que encontramos nos proporciona el mınimo absoluto para el perımetro. ♦

5.51 Ejemplo. Encontrar el punto sobre la recta con ecuacion y = −2x+ 3 que tienemenor distancia al punto (4, 1).

Solucion. Un punto generico de la recta es (x,−2x + 3) y su distancia a (4, 1) es unafuncion de x:

D(x) =√

(x− 4)2 + (−2x+ 3− 1)2 =√

(x− 4)2 + (−2x+ 2)2.

Queremos determinar cuando la derivada es 0, ası que basta considerar el numerador de laderivada que es, precisamente, la derivada de lo que va dentro del radical:

2(x− 4) + 2(−2x+ 2)(−2) = 0⇔ x− 4 + 4x− 4 = 0⇔ x =8

5.

El punto buscado es (8

5,−2 · 8

5+ 3

)=

(8

5,−1

5

).

Otra vez, observamos que al hacer tender x a −∞ o a ∞ la distancia tiende a infinito,ası que el punto encontrado da la menor distancia posible. ♦

En el problema anterior, observamos que para obtener cuando la derivada es 0 nos bastocon el numerador; de hecho, el numerador es la derivada de la misma funcion, sin el radical.Esto, de hecho, ya lo sabıamos de otra manera y lo enunciamos en la siguiente proposicion.

5.52 Proposicion. Sea f : (a, b) → R derivable. Si para toda x ∈ (a, b) se tiene quef(x) ≥ 0, entonces un punto x0 da un mınimo local (resp. maximo local) de la funcion gdefinida por g(x) =

√f(x) si, y solo si, es mınimo local (resp. maximo local) de f .

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Demostracion. De acuerdo con 2.27(c) sabemos para numeros no negativos es equivalenteque a ≤ b a que a2 ≤ b2. Entonces en x0 hay mınimo local de f si, y solo si, existe δ > 0 talque para x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), f(x0) ≤ f(x), lo cual es equivalente a que g(x0) = f(x0)

2 ≤f(x)2 = g(x), puesto que todos estos valores son no negativos. ♦

5.53 Ejemplo. Una escalera de 7 m esta recargada en la pared y se va deslizando demanera que la base de la escalera se separa de la pared a razon de 4 m/seg.

(a) Determinar en que momento llega la escalera al piso.

(b) Calcular la altura del punto mas alto de la escalera en t = 14, 12, 1, 3

2.

(c) Encontrar la razon en que varıa la altura con respecto al tiempo en cada uno de losvalores anteriores.

(d) Dibujar la grafica de la funcion que representa la distancia del punto mas alto de laescalera al piso con respecto al tiempo.

Solucion. Llamemos h(t) a la distancia del punto mas alto de la escalera al piso en eltiempo t y sea b(t) la distancia de la base de la escalera a la pared en el tiempo t. Tenemosque b(0) = 0, h(b(0)) = 7, b(t) = 4t y

h(t) =√

72 − b(t)2 =√

72 − (4t)2 =√

49− 16t2.

(a) La escalera llega al suelo cuando h(t) = 0, es decir cuando t =√

4916

= 74

= 1.75.

(b) Tenemos h(0) = 7, h(14

)=√

48 ∼ 6.9, h(12

)=√

45 ∼ 6.7, h(1) ∼ 5.7 y h(32

)∼

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√13 = 3.6.

(c)

h′(t) =−(49− 16(t)2)16(t)√

49− 16(t)2,

h′(14

)=−(49− 16

(14

)2)16(14

)√49− 16

(14

)2 =−48 · 4√

48= −4 ·

√48 ∼ −27.7,

h′(12

)=−(49− 16

(12

)2)16(12

)√49− 16

(12

)2 =−45 · 8√

45= −8

√45 ∼ −54,

h′(1) =−(49− 16(1)2)16(1)√

49− 16(1)2=−33 · 16√

33= −16 ·

√33 ∼ −92,

h′(32

)=−(49− 16

(32

)2)16(32

)√49− 16

(32

)2 =−13 · 24√

13= −24

√13 ∼ −87.

Observamos que la derivada va decreciendo hasta antes de 1, lo que nos dice que ahı la funciones concava hacia abajo. Sin embargo, en vista de que −92 < −87 (es decir, la derivada crecio)deducimos que entre 1 y 3

2hay un punto de inflexion. La grafica es mas o menos como sigue:

5.54 Ejemplo. Sean a y b dos reales positivos. En el plano cartesiano sean O el origeny I = (1, 0). Para 0 ≤ x ≤ 1 sea L(x) la union del segmento de recta que va de A = (0, a)a X = (x, 0) con el segmento que va de X = (x, 0) a B = (1, b). Probar que la longitud deL(x) es mınima cuando los angulos ∠OXA y ∠BXI son iguales.

Solucion. Tenemos la siguiente figura:

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La funcion de la que debemos encontrar el mınimo es l(x), la longitud de L(x). Tenemosque

l(x) =√a2 + x2 +

√b2 + (1− x)2,

l′(x) =2x

2√a2 + x2

− 2(1− x)

2√b2 + (1− x)2

,

entonces

l′(x) = 0 ⇔ x√a2 + x2

=1− x√

b2 + (1− x)2

⇔√a2 + x2

x=

√b2 + (1− x)2

1− x

⇔ a2 + x2

x2=b2 + (1− x)2

(1− x)2

⇔ a2

x2+x2

x2=

b2

(1− x)2+

(1− x)2

(1− x)2

⇔ a2

x2=

b2

(1− x)2

⇔ a

x=

b

1− x.

Hemos probado, entonces, que las tangentes de los angulos ∠OXA y ∠BXI son iguales yası, tambien los angulos son iguales.

Para probar que es mınimo, basta observar que al hacer tender x a ∞ o a −∞ se tieneque l(x)→∞. ♦

5.55 Ejercicio. Una pieza circular de papel con 4 cm de radio se quiere doblar paraque forme un cono. ¿Cual debe ser la altura del cono si se quiere que el volumen sea el

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mayor posible? (Nota. Recordar que el volumen de un cono con base de radio r y altura hes πr2h/3.)

5.56 Ejercicio. Encontrar cuales son las longitudes de los lados de un rectangulo conarea maxima si tiene dos vertices en el eje x y otros dos vertices en la parabola con ecuaciony = 9− x2.

5.57 Ejercicio. A un pedazo de carton cuadrado con lado 12 cm se le cortan cuadradi-tos en las esquinas para doblarlo y con el formar una caja sin tapa. ¿De que longitud debenser los lados de los cuadraditos de manera que el volumen sea maximo?

5.58 Ejercicio. En un cırculo de radio 1 se construye un triangulo rectangulo con basesobre un diametro y catetos con longitudes a y b, como se muestra en la figura. ¿Cual es lamaxima posible suma de a y b?

5.59 Ejercicio. Probar de dos maneras distintas que para toda x positiva se tiene que

x+1

x≥ 2.

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Referencias y lecturas complementarias

Arizmendi H., Carrillo A. y Lara M., Calculo, Addison-Wesley Iberoamericana.

Courant R. y John F., Introduccion al Calculo y al Analisis Matematico, Limusa, 1988.

Fulks W., Calculo Avanzado, Limusa, 1967.

Lang S., Calculo I, Fondo Educativo Interamericano, 1976.

Piskunov N., Calculo Diferencial e Integral, Montaner y Simon, 1973.

Spivak M., Calculus, Editorial Reverte, S. A.

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