C alcul 2 - MAT UPC · C alcul 2 2. Derivaci o de funcions de v aries variables Dept. de Matem...

Calcul 2

2. Derivacio de funcions de varies variables

Dept. de Matematica Aplicada Iwww.ma1.upc.edu

Universitat Politecnica de Catalunya18 febrer 2013

Copyleft c© 2012Reproduccio permesa sota els termes de la llicencia

de documentacio lliure GNUwww.gnu.org/licenses/fdl.html

1 / 67Calcul en diverses variables

N

http://www.ma1.upc.edu

http://www.gnu.org/licenses/fdl.html

Definicio 1 (Derivades parcials de funcions de 2 variables)

Sigui f una funcio

f : A ⊆ R2 −→ R(x, y) 7→ f(x, y),

(1)

amb A ⊆ R2. Les derivades parcials de f respecte de x i respecte dey en (x0, y0) ∈ A, venen donades, respectivament, pels lımits:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h= limx→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0,

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)

h= limy→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

y − y0,

(2)

quan aquests lımits existeixen i son finits.


N

Figura 1: Les derivades parcials donen lespendents de les tangents en les direccions delseixos.


N

Derivades parcials

Calcul de les derivades parcials

Proposicio 2 (Derivades parcials com derivades de funcionsd’1 variable)

Quan els lımits de la def. 1 existeixen, llavors:

∂f

∂x(x0, y0) =

d

dx[f(x, y0)]x=x0

i∂f

∂y(x0, y0) =

d

dy[f(x0, y)]y=y0

.

(3)

Exemple 1

Derivades parcials de f(x, y) = xey sin x en (x0, y0) =(π

2, 0)

:

∂f

∂x

(π2, 0)

=d

dx[f(x, 0)]x=π

2=

d

dx

[xe0·sin x]

x=π2

=d

dx[x]x=π

2= 1,

∂f

∂y

(π2, 0)

=d

dy

[f(π

2, y)]

y=0=

d

dy

[π2

ey]y=0

=π

2.


N

Funcions derivades parcialsSi estenem la idea de la prop. 2 al calcul de les funcions derivadesparcials de f(x, y), podem calcular

∂f

∂x(x, y) derivant respecte de x, tractant y com si fos una constant.

∂f

∂y(x, y) derivant respecte de y, tractant x com si fos una constant.

Aixı, per la funcio de l’exemple 1

f(x, y) = xey sin x,

tindrıem:

∂f

∂x(x, y) = ey sin x + xyey sin x cosx,

∂f

∂y(x, y) = xey sin x sinx.

Remarquem que aquestes regles de derivacio es poden aplicar quansabem que aquestes derivades parcials existeixen (per exemple, aplicantels criteris de generacio).


N

Derivades parcials

Derivades de funcions de n variables i mcomponents

Vector de derivades parcials

Considerarem la funcio:

f : A ⊆ Rn −→ Rmx = (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)),

essent A un conjunt obert. Sigui x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ A. Suposem

que totes les derivades parcials primeres de totes les funcions de fexisteixen en x0. Denotem per,

∂f

∂xi(x0) =

(∂f1

∂xi(x0), . . . ,

∂fm∂xi

(x0)

)>(4)

el vector de derivades parcials de f en x0 respecte de xi per i =1, 2, . . . , n.


N

Definicio 3 (Matriu jacobiana)

Anomenarem matriu jacobiana de la funcio f en x0 a la matriu m×nque te per columnes els vectors de derivades parcials (4) de f , i. e.,

Df(x0) =

∂f1

∂x1(x0)

∂f1

∂x2(x0) · · · ∂f1

∂xn(x0)

∂f2

∂x1(x0)

∂f2

∂x2(x0) · · · ∂f2

∂xn(x0)

......

. . ....

∂fm∂x1

(x0)∂fm∂x2

(x0) · · · ∂fm∂xn

(x0)

(5)

Exemple 2

Calcul de la matriu jacobiana de f(x, y) = (ex+y + y, y2x, cos(xy2)):

∂f

∂x(x, y) = (ex+y, y2,−y2 sin(xy2))>,

∂f

∂y(x, y) = (ex+y + 1, 2xy,−2xy sin(xy2))>.


N

Amb la quan cosa, la matriu jacobiana resulta,

(x, y) ∈ R2 7→ Df(x, y) =

ex+y ex+y + 1y2 2xy

−y2 sin(xy2) −2xy sin(xy2)

Remarca 1

La idea es que la matriu jacobiana juga el mateix paper geometric quela derivada d’una funcio d’1 variable de cara a aproximar f(x) per unavarietat lineal entorn de x = x0.

Quan treballem amb funcions de n variables amb n > 1, pero, tot escomplica i no sempre que una funcio te derivades parcials en un puntadmet pla tangent (i. e., es “aproximable” per una varietat lineal) enel punt.

Mes encara:

Per funcions d’1 variable: ∃ f ′(x0)⇒ f contınua en x0.

Per funcions de dos variables: si ∃ ∂f∂x

(x0, y0) i ∃ ∂f∂y

(x0, y0), no es cert

necessariament que f sigui contınua en (x0, y0). Veure exemple 3.

Idem per funcions de mes de dues variables.


N

Exemple 3

Sigui la funcio:

f(x, y) =

xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).(6)

Es comprova (exercici) que les seves funcions derivades parcials son:

∂f

∂x(x, y) =

y3 − x2y

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y(x, y) =

x3 − xy2

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Veiem que existeixen∂f

∂x(0, 0),

∂f

∂y(0, 0), tot i que f no es contınua

en (x, y) = (0, 0). Per que?


N

Definicio 4 (Funcions de classe C1)

Sigui f : A ⊆ Rn −→ Rm, A obert. Direm que “f es de classe C1

en A” o “f es C1 en A” i escriurem f ∈ C1(A) sii existeixen totes lesderivades parcials primeres de f en A i a mes son funcions contınuesen A.

Exemple 4

La funcio de l’exemple 2 es de classe C1 en tot R2. Ho denotemescrivint f ∈ C1(R2).

La funcio de l’exemple 3 es C1 en R2 \{(0, 0)} pero no es C1 en (0, 0).Escrivim f ∈ C1(R2 \ {(0, 0)}).

Proposicio 5

f ∈ C1(A) =⇒ f es contınua en A(f ∈ C0(A)).

Observacio: notem que: f 6∈ C0 ⇒ f 6∈ C1.


N

Proposicio 6

Sigui f : A ⊆ Rn −→ Rm, A obert, f ∈ C1(A), x0 ∈ A. Llavors:

limx→x0x∈Rn

‖f(x)− f(x0)−Df(x0) · (x− x0)‖‖x− x0‖

= 0,

on ‖a‖ =√a2

1 + · · ·+ a2k es la norma euclidiana de a = (a1, . . . , ak) ∈

Rk i Df(x0) · (x− x0) es el producte de matriu per vector.

Remarca 2

Interpretacio geometrica: Aixo vol dir que la varietat lineal n-dimensio-nal:

T (x) = f(x0) +Df(x0) · (x− x0)

aproxima a f(x) quan x→ x0 mes rapidament que la distancia ‖x−x0‖tendeix a zero.

T (x) es la varietat (lineal) tangent a f(x) en x = x0.

Es diu que f es diferenciable en x = x0 i que Df(x0) n’es la sevamatriu diferencial.


N

Direm llavors que T (x) es l’aproximacio lineal de f entorn de x = x0i escriurem:

f(x) ≈ f(x0) +Df(x0) · (x− x0),

quan x→ x0.

Exemple 5

Per una funcio de dues variables z = f(x, y), tenim:

f(x, y) ≈ f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0),

que es la parametritzacio del pla tangent a la grafica de z = f(x, y)en (x0, y0).


N

Derivades parcials

Derivades parcials d’ordre superior

Per fixar idees, considerarem una funcio de dues variables com (1).

Si: ∃ ∂f∂x

i ∃ ∂f∂y

en A,

llavors podem preguntar-nos, aquestes funcions admeten, al seu tornderivades parcials i definir aixı les seves derivades parcials segones:

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

);

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

);

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

);

∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

);

Notem que en la definicio de les derivades∂2f

∂x∂yactua 1er la derivada

mes cap a la dreta.


N

Exemple 6

Considerem la funcio de dues variables f(x, y) = x3 + xy + y sinx:

∂f

∂x= 3x2 + y + y cosx =

∂2f

∂x2=∂f

∂x

(∂f

∂x

)= 6x− y sinx

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)= 1 + cosx

∂f

∂y= x+ sinx =

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)= 1 + cosx

∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)= 0

Remarca 3

En principi, les derivades creuades∂2f

∂x∂yson diferents, pero veurem

(proposicio 10) que, per funcions prou “regulars”, coincideixen.


N

Derivades parcials d’ordre superior

Podem estendre la nocio de derivades parcials segones a derivades par-cials d’ordre m qualsevol. Per exemple: si f = f(x, y, z), llavors

∂5f

∂x∂y2∂x∂z=

∂

∂x

(∂

∂y

(∂

∂y

(∂

∂x

(∂f

∂z

)))).

Com abans, notem que 1er actua la derivada mes cap a la dreta.

Definicio 7 (Funcions de classe Ck)

Sigui f : A ⊆ Rn −→ Rm amb A obert.

(i) Direm que f ∈ Ck(A), k ≥ 1, sii f es contınua en A, f admet totes lesderivades parcials d’ordre ≤ k en A i totes aquestes derivades parcialsson contınues en A.

(ii) f ∈ C0(A) (o f ∈ C(A)) sii f es contınua en A.

(iii) f ∈ C∞(A) sii f es Ck(A) en A per tot k ≥ 0.


N

Proposicio 8

C0(A) ⊇ C1(A) ⊇ C2(A) ⊇ · · · ⊇ Ck(A) ⊇ · · · ⊇ C∞(A)

(russian dolls!).

Proposicio 9

Les funcions elementals (polinomis, exponencials trigonometriques) iles seves composicions son funcions C∞ en els seus dominis de definicio.

Exemple 7

La funcio f(x, y) = x3 + xy + y sinx de l’exemple 6 es de classe C∞

en tot R2.

La funcio:

f(x, y) =x sin y + y2ex

x2 + y4 cos2 x,

es C∞ en R2 \ {(0, 0)}.


N

Proposicio 10 (Coincidencia de derivades creuades)

(i) Enunciat classic: si f(x, y) es C2 en A, llavors:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

en A.

(ii) Versio general: Si f : A ⊆ Rn −→ R es Ck(A), llavors totes les sevesderivades parcials creuades d’ordre ≤ k son coincidents si involucrenles mateixes variables el mateix nombre de vegades.

Exemple 8

Si f = f(x, y, z), f ∈ C4, llavors:

∂4f

∂x2∂y∂z=

∂4f

∂x∂y∂x∂z=

∂4f

∂y∂x2∂z= . . . , etc.

Usarem la notacio:∂4f

∂x2∂y∂z, per denotar aquesta derivada 4arta, tot

agrupant les variables repetides.


N

Exercici 1

Calculeu les derivades parcials segones de la funcio:

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Solucio:

Per (x, y) 6= (0, 0) podem aplicar els criteris de generacio i aplicar lesregles de derivacio:

∂f

∂x(x, y) = −y

5 − 4x2 y3 − x4 y

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

En canvi, per (x, y) = (0, 0), no podem aplicar aquestes regles i hemde calcular les derivades aplicant directament la definicio 1:

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(0 + h, 0)− f(0, 0)

h= limh→0

0− 0

h= 0,


N

D’altra banda, es facil veure que, debut a la simetrıa que presentaaquesta funcio:

∂f

∂y(x, y) = −∂f

∂x(y, x), per tot (x, y) ∈ R2. (7)

Amb la qual cosa, les funcions derivades parcials primeres venendonades per:

∂f

∂x(x, y) =

−y

5 − 4x2 y3 − x4 y

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y(x, y) =

−x y

4 + 4x3 y2 − x5

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Es comprova que aquestes funcions son contınues en tot R2. En efecte,per (x, y) 6= (0, 0) es pot aplicar la prop. 9, mentre que per afirmarque son contınues al (0, 0) s’ha de demostrar explıcitament (exercici!)que:

lim(0,0)

∂f

∂x(x, y) = 0 =

∂f

∂x(0, 0)

i llavors l’altre lımit vindria garantit per la condicio de simetria (7).


N

De la mateixa manera es calculen les derivades parcials segones. Comabans, per (x, y) 6= (0, 0) es poden aplicar les regles de derivacio,mentre que per (x, y) = (0, 0) hem d’aplicar la definicio 1 a les funcionsderivades parcials primeres. Aixo es:

∂2f

∂x2(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂x(0 + h, 0)− ∂f

∂x(0, 0)

h= lim

(0,0)

0− 0

h= 0

∂2f

∂y∂x(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂x(0, 0 + h)− ∂f

∂x(0, 0)

h= lim

(0,0)

−h5/h4 − 0

h= −1

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂y(0 + h, 0)− ∂f

∂y(0, 0)

∂h= lim

(0,0)

h5/h4 − 0

h= 1

∂2f

∂y2(0, 0) = lim

h→0

∂f

∂y(0, 0 + h)− ∂f

∂y(0, 0)

h= lim

(0,0)

0− 0

h= 0.

Amb la qual cosa, les funcions derivades parcials segones son:


N

∂2f

∂x2(x, y) =

4xy3 3y2 − x2

(x2 + y2)3, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y∂x(x, y) =

x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6

(x2 + y2)3, (x, y) 6= (0, 0)

−1, (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂x∂y(x, y) =

x6 + 9x4y2 − 9x2y4 − y6

(x2 + y2)3, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y2(x, y) =

−4x3y

3x2 − y2

(x2 + y2)3, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)Notem que:

Totes les derivades parcials segones son contınues per tot (x, y) 6=(0, 0), pero cap d’elles es contınua a l’origen, ja que cap dels lımits:

lim(0,0)

∂2f

∂x2(x, y), lim

(0,0)

∂2f

∂y∂x(x, y), lim

(0,0)

∂2f

∂x∂y(x, y), lim

(0,0)

∂2f

∂y2(x, y)

existeix; com es comprova, per exemple, per lımits direccionals.


N

Per tant f ∈ C2(R2 \ {(0, 0)}).

En consequencia, com que les derivades parcials segones no soncontınues en (x, y) = (0, 0), no es pot aplicar la proposicio 10 enaquest punt i, per tant, no tenim garantida la igualtat de les derivadesparcials creuades a l’origen. De fet, tal com hem calculat dalt, resulta:

∂2f

∂y∂x(0, 0) = −1 6= ∂2f

∂x∂y(0, 0) = 1. �


N

Derivades parcials

La regla de la cadenaCas d’1 variable:

Si f , g son derivables, llavors:

d

dx[(g ◦ f)] (x) = g′(f(x))f ′(x).

Exemple 9

Si f(x) = x2 y g(x) = exp(x) = ex; tenim:

f ′(x) = 2x, g′(x) = exp(x) = ex,

d’on:d

dx[(g ◦ f)] (x) = g′(f(x))f ′(x) = exp(x2) · 2x = 2xex

2

.

Resultat que podrıem haver obtingut directament:

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = exp(x2) = ex2 ⇒ (g ◦ f)′(x) = 2xex

2

.


N

Per al cas de funcions de varies variables C1 podem generalitzar aquestaexpressio al calcul de les matrius de derivades parcials de la composiciode funcions substituint el producte de nombre pel de matrius.

Teorema 11 (Regla de la cadena)

Siguin les funcions

f : A ⊆ Rn −→ Rmx = (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)),

A obert, f ∈ C1(A), i

g : B ⊆ Rm −→ Rku = (u1, . . . , um) 7→ g(u) = (g1(u), . . . , gk(u)),

B obert, g ∈ C1(B). Sigui x0 ∈ A t. q. f(x0) ∈ B. Llavors:

D(g ◦ f)(x0)︸︷︷︸matriu k × n

= Dg(f(x0))︸︷︷︸matriu k ×m

· Df(x0)︸︷︷︸matriu m× n


N

Exemple 10

Siguin les funcions:

f(x, y) = (cos y + x2, ex+y, x− y),

g(u, v) = (eu2

, u− sin v).

Si definim,h(u, v) = (f ◦ g)(u, v).

Calculeu, usant la regla de la cadena, Dh(0, 0).

Dh(0, 0) = D(f ◦ g)(0, 0)

= Df(g(0, 0)) ·Dg(0, 0) =g(0,0)=(1,0)

Df(1, 0) ·Dg(0, 0).

Df(x, y) =

2x − sin yex+y ex+y

1 −1

, Dg(u, v) =

(2ueu

2

01 − cos v

)

Dh(0, 0) =

2 0e e1 −1

(

0 01 −1

)=

0 0e −e−1 1

. (8)


N

On, recordem, que si h(u, v) = (h1(u, v), h2(u, v), h3(u, v)), llavors:

Dh(0, 0) =

∂h1

∂u(0, 0)

∂h1

∂v(0, 0)

∂h2

∂u(0, 0)

∂h2

∂v(0, 0)

∂h3

∂u(0, 0)

∂h3

∂v(0, 0)

. (9)

Exercici 2

Trobeu una formula explıcita per a h(u, v).

Solucio

h(u, v) =(

cos(u− sin v) + e2u2

, eeu2+u−sin v, eu

2 − u+ sin v). �

...i ara podrıem calcular directament les derivades parcials de h = f ◦gal punt (0, 0):


N

∂h1

∂u(0, 0) =

d

du

(cosu+ e2u2

)∣∣∣∣∣u=0

=(− sinu+ 2ue2u2

)∣∣∣∣∣u=0

= 0,

∂h1

∂v(0, 0) =

d

dv(cos(− sin v) + 1)

∣∣∣∣∣v=0

= sin(− sin v) cos v

∣∣∣∣∣v=0

= 0,

∂h2

∂u(0, 0) =

d

du

(eeu

2+u)∣∣∣∣∣u=0

=(

2ueu2

+ 1)

eeu2+u

∣∣∣∣∣u=0

= e,

∂h2

∂v(0, 0) =

d

dv

(e1−sin v

)∣∣∣∣∣v=0

= −e1−sin v cos v∣∣v=0

= −e,

∂h3

∂u(0, 0) =

d

du

(eu

2 − u)∣∣∣∣∣u=0

=(

2ueu2 − 1

)∣∣∣∣∣u=0

= −1,

∂h3

∂v(0, 0) =

d

dv(1 + sin v)

∣∣∣∣∣v=0

= cos v

∣∣∣∣∣v=0

= 1.


N

aleshores, la corresponent matriu de derivades parcials es, d’acordamb (9):

Dh(0, 0) =

0 0e −e−1 1

la qual (obviament!) coincideix amb (8). Notem, pero, que aixo esprecisament el que tractem d’evitar amb la regla de la cadena...

Derivada d’una funcio composta com derivada d’una “substitu-cio de variables”

Idea: podem mirar-nos la derivada d’una funcio composta com la deri-vacio de la substitucio de les variables d’una funcio per funcions d’unesnoves varibles, quan es deriva respecte d’aquestes noves variables.

Exemple 11

Siguin les funcions: f = f(x, y, z) y g = (g1(u, v), g2(u, v), g3(u, v)).Considerem la funcio composta:

h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f(g(u, v)) = f(g1(u, v), g2(u, v), g3(u, v)).


N

Veiem que, la composicio de funcions consisteix en substituir, a lafuncio f , les seves varibles x, y, z per les funcions components de lafuncio g:

x = g1(u, v), y = g2(u, v), z = g3(u, v).

Abusant de la notacio, sovint s’escriu:

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

i aplicarıem la regla de la cadena, tot fent:

∂h

∂u(u, v) =

∂f

∂x(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂x

∂u(u, v)

+∂f

∂y(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂y

∂u(u, v)

+∂f

∂z(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂z

∂u(u, v),

(10)


N

∂h

∂v(u, v) =

∂f

∂x(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂x

∂v(u, v)

+∂f

∂y(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂y

∂v(u, v)

+∂f

∂z(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

∂z

∂v(u, v).

(11)

Per ex., si: f(x, y, z) = x2 +y2−z i g(u, v) = (u2v, v2, e−uv); llavors:

h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f(g(u, v)) = u4v2 + v4 − e−uv.

D’altra banda, si les components de g les escrivim com:

x(u, v) = u2v, y(u, v) = v2, z(u, v) = e−uv,


N

podem fer servir la regla de la cadena com a (10) i (11) per obtenir lesderivades de h = f ◦ g. Aixı:

∂h

∂u(u, v) = 2x(u, v)

∂x

∂u(u, v) + 2y(u, v)

∂y

∂u(u, v)− 1 · ∂z

∂u(u, v)

= 4u3v2 + ve−uv,

∂h

∂v(u, v) = 2x(u, v)

∂x

∂v(u, v) + 2y(u, v)

∂y

∂v(u, v)− 1 · ∂z

∂v(u, v)

= 2u4v + 4v3 + ue−uv.


N

Derivades parcials

Teorema del valor mig (TVM)

Teorema 12 (TVM per a funcions d’1 variable)

Sigui f : [a, b] −→ R una funcio contınua en [a, b] i derivable en (a, b),llavors existeix un punt ξ ∈ (a, b) tal que

f(b)− f(a) = f ′(ξ)(b− a). (12)

La formula (12) es coneix com fomula dels increments finits.

Remarca 4 (Interpretacio geometrica)

Existeix un punt intermig, ξ, de l’interval (a, b) de manera que la tan-gent a la grafica de la funcio y = f(x) pel punt Ξ = (ξ, f(ξ)) esparl.lela al segment que uneix els punts A = (a, f(a)) i B = (b, f(b)).Veure figura 2.

Enunciarem el TVM per varies variables en el cas especial n = 2. Laseva extensio per n > 1 qualsevol es immediata (Teorema 14).


N

Interpretacio geometrica del teorema 12

D

Ξ

C

A

B

a bx

y

ξ

Figura 2: La tangent a la grafica de la funcio y = f(x) a l’interval I = [a, b] pel punt

Ξ = (ξ, f(ξ)) (segment CD) es paral.lela a la corda AB que uneix els seus extrems.


N

Teorema 13 (TVM per a funcions de dues variables)

Sigui la funcio:

f : A ⊆ R2 −→ R(x, y) 7→ z = f(x, y)

amb A obert i f ∈ C1(A); i siguin (x0, y0), (x1, y1) dos punts d’A demanera que el segment,

(x0, y0), (x1, y1) := {((1− t)x0 + tx1, (1− t)y0 + ty1), 0 ≤ t ≤ 1}

que els uneix estigui totalment contingut en A (veure figura 3). Llavorsexisteix un punt (x∗, y∗) d’aquest segment tal que:

f(x1, y1)− f(x0, y0) =∂f

∂x(x∗, y∗)(x1 − x0) +

∂f

∂y(x∗, y∗)(y1 − y0).

(13)La formula (13) es coneix com formula dels increments finits perdues variables.


N

Interpretacio

La diferencia entre els valors de lafuncio en dos punts distints:

f(x1, y1)− f(x0, y0),

ve controlada per la diferencia entreles coordenades dels punts,

(x1 − x0) i (y1 − y0),

multiplicada per factors correctorsque resulten ser les derivades parci-als en un punt intermig (x∗, y∗).

A

(x1, y1)

(x0, y0)

(x0, y0)

(x1, y1)

Figura 3: El segment que uneix els punts(x0, y0) i (x1, y1) esta totalment inclos alconjut A, mentre que part del segment queuneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) esta foradel conjunt.

El teorema 14 que donem a continuacio generalitza el teorema 13 perfuncions reals de n variables, amb n > 1 qualsevol. Posteriorment esdiscuteix l’aplicacio del TVM al control en la propagacio d’errors ales formules.


N

Teorema 14 (Teorema del valor mig per funcions de n variables)

Sigui f : A ⊆ Rn −→ R, amb A obert, una funcio de classe C1.Siguin x0 = (x0

1, . . . , x0n), x1 = (x1

1, . . . , x1n) ∈ A dos punts pels quals

x0, x1 ⊂ A. Llavors ∃ x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) ∈ x0, x1, t. q.:

f(x1)− f(x0) =

n∑

i=1

∂f

∂xi(x∗)(x1

i − x0i ). (14)

L’equacio (14) es coneix com formula dels increments finits perfuncions de n variables.

Aplicacio: acotacio dels errors de propagacio a les formules

Sovint hem de calcular una certa magnitud, z, la qual depen d’altresn quantitats mesurades experimentalment: x1, . . . , xn; a partir d’unaformula donada per una funcio coneguda, f , i. e.:

z = f(x1, . . . , xn).

Siguin x1, . . . , xn els valors exactes de x1, . . . , xn mentre que denotemx1±εx1

, . . . , xn±εxn els valors mesurats (x1, . . . , xn), juntament ambles corresponents fites dels errors, (εx1

> 0, . . . , εxn > 0).


N

De manera que:

x1 ∈ [x1 − εx1 , x1 + εx1 ], . . . , xn ∈ [xn − εxn , xn + εxn ]. (15)

Sigui R el rectange n-dimensional format pel producte d’aquests inter-vals, i. e.:

R := [x1 − εx1 , x1 + εx1 ]× · · · × [xn − εxn , xn + εxn ] ⊂ Rn.

Per ultim, suposem que la funcio f es C1 en algun obert de R ⊆ Rn,amb R ⊂ R i que les derivades parcials primeres de f estan acotadesa R, i. e., que existeixen n quatitats positives M1, . . . ,Mn t. q.:

∣∣∣∣∂f

∂x1(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ ≤M1, . . . ,

∣∣∣∣∂f

∂xn(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ ≤Mn, (16)

per tot x = (x1, . . . , xn) ∈ R.

Remarca 5

En particular notem que, de (15), es segueix que el segment x, x ⊂ R.


N

Sota aquestes condicions, el teorema 14 ens assegura que existeix unpunt x∗ = (x∗1, . . . , x

∗n) ∈ x, x, t. q.:

f(x1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn) =

n∑

i=1

∂f

∂xi(x∗1, . . . , x

∗n)(xi− xi). (17)

Remarca 6

Com que x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) ∈ x, x de la Remarca 5 es dedueix que

tambe x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) ∈ R, amb la qual cosa, de (16), resulten les

acotacions:∣∣∣∣ ∂f∂xi (x∗1, . . . , x∗n)

∣∣∣∣ ≤Mi, per i = 1, 2, . . . , n.

De (15) es dedueixen les desigualtats:

|xi − xi| ≤ εxi , per i = 1, 2, . . . , n.

A continuacio, prenent valor absolut en (17) i tenint en compte lesobservacions a la Remarca 6, hom obte per l’error en z, εz:


N

εz := |f(x1, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)|

=

∣∣∣∣∣n∑

i=1

∂f

∂xi(x∗1, . . . , x

∗n)(xi − xi)

∣∣∣∣∣ ≤n∑

i=1

∣∣∣∣∂f

∂xi(x∗1, . . . , x

∗n)

∣∣∣∣ |xi − xi|

≤n∑

i=1

Miεxi = M1εx1 + · · ·+Mnεxn . (18)

Exercici 3

El perıode d’oscil.lacio d’un pendol es T (`, g) = 2π√`/g, on ` es la

seva longitud i g es l’acceleracio de la gravetat. Per simplificar elscalculs, aproximeu π per 3. Si

R = {(`, g) ∈ R2 : 0.64 ≤ ` ≤ 0.81, 9 ≤ g ≤ 10},

vegeu que∣∣∂T∂`

∣∣ ≤ 54 ,∣∣∣∂T∂g

∣∣∣ ≤ 110 , en R. Useu aquestes acotacions i el

teorema del valor mig per a funcions de dues variables per deduir que|T (0.8, 10)− 1.6| ≤ 0.3. (Indicacio: calculeu T (0.64, 9)).


N

Solucio:

∂T

∂`=

3√`g⇒∣∣∣∣∂T

∂`

∣∣∣∣ ≤3√

0.64× 9=

1

0.8=

10

8=

5

4, en R,

∂T

∂g= −3

√`

(√g)3 ⇒

∣∣∣∣∂T

∂g

∣∣∣∣ ≤ 3

√0.81

(√9)3 =

0.9

9=

1

10, en R.

D’altra banda, tenim que:

T (0.64, 9) = 6

√0.64

9=

6× 0.8

3= 2× 0.8 = 1.6

i com que, clarament, el segment (0.64, 9), (0.8, 10) esta inclos al rec-tangle R, podem aplicar el TVM per dues varibles o, directament, laformula (18) —amb les acotacions de les derivades parcials calculadesa dalt—, per obtenir:

|T (0.8, 10)− 1.6| = |T (0.8, 10)− T (0.64, 9)| ≤ 5

4× |0.8− 0.64|

+1

10×|10−9| = 5

4×0.16+

1

10= 5×0.04+0.1 = 0.3 �


N

Derivades parcials

Formula de Taylor

Teorema 15 (Formula de Taylor per funcions de dues variables)

Sigui la funcio:

f : A ⊆ R2 −→ R(x, y) 7→ z = f(x, y)

amb A obert, de classe Ck en A i sigui (x0, y0) ∈ A. Llavors, si(x, y) ∈ A es t. q. (x0, y0), (x, y) ⊂ A:

f(x, y) = Pk(x, y) +Rk(x, y),

on:

Pk(x, y) es el polinomi de Taylor de grau k de f entorn de (x0, y0).Usualment es representa com un polinomi en (x− x0) i (y − y0).


N

Rk(x, y) es el reste (o residu o romanent) del desenvolupament, i veri-fica:

lim(x0,y0)

Rk(x, y)[√(x− x0)2 + (y − y0)2

]k = 0.

Concretament:

(a) Per k = 1 tenim l’aproximacio lineal:

P1(x, y) = f(x0, y0)+∂f

∂x(x0, y0)(x−x0)+

∂f

∂y(x0, y0)·(y−y0). (19)

(b) Per k = 2 tenim l’aproximacio quadratica:

P2(x, y) = P1(x, y) +1

2

[∂2f

∂x2(x0, y0) · (x− x0)

2

+ 2∂2f

∂x∂y(x0, y0) · (x− x0)(y − y0) +

∂2f

∂y2(x0, y0) · (y − y0)

2

](20)

(c) Per k > 1 tindrem, en general:

Pk(x, y) = Pk−1(x, y)+1

k!

k∑j=0

(kj

)∂kf

∂xk−j∂yj(x0, y0)·(x−x0)

k−j(y−y0)j

on:(kj

)= k!

(k−j)!j! son els coeficients binomials “k sobre “j”.


N

Exemple 12

Calculeu el desenvolupament de Taylor fins als termes d’ordre 2 (inclo-sos) de la funcio

f(x, y) = ex+y cos(y),

al voltant del punt (x0, y0) =(0, π2

).

Per trobar P2(x, y), hem de calcular les derivades parcials,

∂f

∂x(x, y) = ex+y cos(y),

∂f

∂y(x, y) = ex+y(cos(y)− sin(y)),

∂2f

∂x2(x, y) = ex+y cos(y),

∂2f

∂x∂y(x, y) = ex+y(cos(y)− sin(y)),

∂2f

∂y2(x, y) = −2ex+y sin(y)

i la funcio, al punt (x, y) =(0, π2

):

f(0, π2 ) = 0,∂f

∂x(0, π2 ) = 0,

∂f

∂x(0, π2 ) = −e

π2

∂2f

∂x2(0, π2 ) = 0,

∂2f

∂x∂y(0, π2 ) = −e

π2 ,

∂2f

∂y2(0, π2 ) = −2e

π2 .


N

El desenvolupament buscat resulta finalment:

f(x, y) = −eπ2 (y− π

2 )− eπ2 x(y− π

2 )− eπ2 (y− π

2 )2 +R2(x, y), (21)

on hem aplicat (19), (20) i hem afegit el reste R2(x, y).

Tanmateix podem calcular el desenvolupament de Taylor “per gene-racio”, combinant (per sumes, productes, quocients, composicions,...)els desenvolupaments de funcions elementals. Aixı:

ex+y cos(y) = eπ2 exey−

π2 cos(y − π

2 + π2 ) = −e

π2 exey−

π2 sin(y − π

2 )

= −eπ2

(1 + x+ x2

2! + . . .)×(1 + (y − π

2 ) + 12! (y − π

2 )2 + . . .)

×((y − π

2 )− 13! (y − π

2 )3 + . . .)

= −eπ2

((y − π

2 ) + x(y − π2 ) + (y − π

2 )2 + . . .)

= −eπ2 (y − π

2 )− eπ2 x(y − π

2 )− eπ2 (y − π

2 )2 +R2(x, y),

desenvolupament que coincideix (21). Nota: observem que treballemamb els desenvolupaments formalment com si fossin polinomis i, alfinal, tallem a l’ordre desitjat afegint el reste.


N

Teorema 16

Formula de Taylor per funcions de n variables Sigui la funcio:

f : A ⊆ Rn −→ Rx = (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = f(x1, . . . , xn)

(22)

amb A obert, f ∈ Ck(A) (k ≥ 1) i sigui: x0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ A.

Llavors:f(x) = Pk(x) +Rk(x),

on

Pk(x) es el polinomi de Taylor de grau k de f entorn de x0.

Rk(x) es el reste (o residu o romanent) d’ordre k, verificant:

limx→x0x∈Rn

Rk(x)

‖x− xo‖k= 0.


N

Concretament:

(a) Per k = 1, tenim l’aproximacio lineal:

P1(x1, . . . , xn) = f(x01, . . . , x0n)+

n∑i=1

∂f

∂xi(x01, . . . , x

0n)·(xi−x0i ), (23)

(b) Per k = 2, tenim l’aproximacio quadratica:

P2(x1, . . . , xn) = P1(x01, . . . , x0n)

+1

2!

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(x01, . . . , x

0n) · (xi − x0i )(xj − x0j ). (24)

(c) Finalment, per k > 1 tindrem, en general:

Pk(x1, . . . , xn) = Pk−1(x01, . . . , x0n)

+1

k!

n∑i1,i2,...,ik=1

∂kf

∂xi1 · · · ∂xik(x01, . . . , x

0n)·(xi1−x

0i1) · · · (xik−x

0ik ).


N

Definicio 17 (Vector gradient)

Sigui f una funcio de n variables com (22) i de classe C1. Aleshoresdefinim el seu vector gradient en un punt x0 = (x0

1, . . . , x0n) ∈ Rn,

gradf(x0), com el vector que conte les seves derivades parcials de 1er.

ordre en x0, i. e.:

gradf(x0) =

(∂f

∂x1(x0), . . . ,

∂f

∂xn(x0)

)>. (25)

Remarca 7

Notem que, amb aquesta definicio, l’aproximacio lineal (23) del teore-ma 16 es pot expressar com:

P1(x) = f(x0) + 〈gradf(x0), x− x0〉 , (26)

essent, per u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn,

〈u, v〉 =

n∑

i=1

uivi = u1v1 + · · ·+ unvn

i on escrivim: x− x0 = (x1 − x01, . . . , xn − x0

n)>.


N

Definicio 18 (Matriu Hessiana)

Sigui f una funcio de n variables com (22) i de classe C2. Aleshoresdefinim la seva matriu hessiana en un punt x0 = (x0

1, . . . , x0n) ∈ Rn,

Hessf (x0), com la matriu que conte les seves derivades parcials segonesen x0, i. e.:

Hessf (x0) =

(∂2f

∂xi∂xj(x0)

)

1≤i≤n1≤j≤n

=

∂2f

∂x21

(x0)∂2f

∂x1∂x2(x0) · · · ∂2f

∂x1∂xn(x0)

∂2f

∂x1∂x2(x0)

∂2f

∂x22

(x0) · · · ∂2f

∂x2∂xn(x0)

......

. . ....

∂2f

∂x1∂xn(x0)

∂2f

∂x2∂xn(x0) · · · ∂2f

∂x2n

(x0)

.


N

Remarca 8

Notem que, amb la definicio 18, l’aproximacio quadratica (24) del te-orema 16 es pot expressar com:

P2(x) = P1(x) +1

2〈x− x0,Hessf (x0) · (x− x0)〉

= P1(x) +1

2(x− x0)> ·Hessf (x0) · (x− x0).

(27)


N

Derivades parcials

Canvis de variables (1)Motivacio: coordenades polars

θ

X

Y

r

(x, y) = P (r, θ)

Figura 4: Es tracta d’assignar, mitjacant una funcio, P , a cada (r, θ), un punt del pla (x, y) iviceversa. Parlem doncs del canvi de varibles de coordenades polars a coordenades cartesianes i,recıprocament, P−1, de coordenades cartesianes a coordenades polars


N

Si definim el conjuts oberts de A,B ⊂ R2 com:

A := (0,+∞)× (−π, π), (28)

B := R2 \ {(x, y) ∈ R2 : y = 0, x ≤ 0}, (29)

llavors es comprova (exercici!) que la funcio:

P : A −→ B(r, θ) 7→ (x, y) = P (r, θ) := (r cos θ, r sin θ).

(30)

(1) Es de classe C∞, i. e.: P ∈ C∞(A).

(2) P estableix una biyeccio entre els oberts A i B de R2. Aixo es: P esinjectiva i

P (A) = {(x, y) ∈ R2 : ∃ (r, θ) ∈ A amb P (r, θ) = (x, y)} =: B,

(i. e., la imatge d’A per la funcio P es el conjunt B).


N

(3) La seva inversa, P−1

P−1 : B −→ A(x, y) 7→ (r, θ) = P−1(x, y)

:=

(√x2 + y2, 2 arctan

y

x+√x2 + y2

),

es C∞, i. e.: P−1 ∈ C∞(B).

Aleshores P estableix un canvi de varibles C∞ (de coordenades polarsa cartesianes) entre els oberts A i B. Veure figura 5.

Generalitzacio: canvis de variables Ck

La definicio 19 que donem tot seguit es una generalitzacio d’aquestesidees. Aixı, un canvi de variables Ck entre dos oberts A,B ⊆ Rn esuna bjeccio f : A −→ B de classe Ck en A, k ≥ 1, amb inversaf−1 : B −→ A de classe Ck en B. De vegades es diu que f estableixun difeomorfisme Ck (k ≥ 1) entre A i B:

f es un canvi de variables Ck entre A i B ⇐⇒ f ∈ Diffk(A,B) .


N

Y

X

θ

π

r

−π

P

(r, θ) (x, y) = P (r, θ)

A

B

Figura 5: La funcio P donada per (30) es una bijeccio C∞ entre els oberts A,B ⊆ R2 definits

per (28) i (29); amb inversa, P−1, tambe de classe C∞.


N

Derivades parcials

Canvis de variables (2)

Definicio 19 (Canvis de Variables)

Donats dos oberts A,B ⊆ Rn, direm que f es un canvi de variablesCk entre A i B sii:

(i) f : A ⊆ Rn −→ Rn es Ck en A, k ≥ 1.

(ii) f es injectiva i

f(A) := {x ∈ Rn : ∃ x ∈ A amb y = f(x)} = B,

(i. e. B es la imatge d’A per la funcio f).

(iii) f−1 : B ⊆ Rn −→ Rn es Ck en B.

Interpretacio:

La definicio 19 simplement diu que la transformacio f “deforma” demanera suau el domini A en el domini B (veure figura 5).


N

Remarca 9

Observem que si f es un canvi de variables, llavors els determinant deles matrius jacobianes de f i de f−1 son no nuls. En efecte, a partirde la identitat (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x, x ∈ A; derivant per laregla de la cadena, s’obte:

Df−1(f(x)) ·Df(x) = In =⇒ detDf−1(f(x)) detDf(x) = 1

i si posem y = f(x), llavors es clar que:

detDf(y) 6= 0 i detDf(x) 6= 0.

En general no es facil determinar si f es un canvi de variables entre undomini arbitrari A i la seva imatge, ja que pot ser complicat demostrartant la injectivitat de f com caracteritzar la imatge d’A per f . L’uniccas “senzill” es per transformacions afins de la forma

f(x) = a+Mx,

on a ∈ Rn, M ∈ Mn(R). Aleshores, si detM 6= 0 la transformacio fes invertible i la seva inversa ve donada per:

f−1(y) = M−1(y − a).


N

En el cas general, tenim un resultat de caracter local: el teorema de lafuncio inversa, que ens permet, sota certes condicions, establir quan fes localment injectiva (i. e., en un entorn d’un punt donat) i per tantdefineix un canvi de coordenades entre un entorn del punt i la sevaimatge.

Teorema 20 (Teorema de la funcio inversa)

Sigui la funcio:

f : A ⊆ Rn −→ Rnx 7→ y = f(x),

A obert, f ∈ Ck(A), k ≥ 1, x0 ∈ A. Si detDf(x0) 6= 0, llavors∃ r > 0 t. q.:

(a) f : Dr(x0) ⊂ Rn −→ Rn es injectiva.

(b) Si B = f(Dr(x0)), llavors ∃ f−1 : B ⊂ Rn −→ Rn, inversa local de f ,verificant:

(b.1) f−1 ∈ Ck(B).

(b.2) (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x,∀ x ∈ Dr(x0).

(b.3) Df−1(f(x)) = (Df(x))−1, ∀ x ∈ Dr(x0).


N

Remarca 10

Notem que (b.3) es dedueix de (b.2) derivant per la regla de la cadena.

Remarca 11

El valor de r > 0 del teorema 20 pel qual f es injectiva en Dr(x0) potser petit. D’altra banda, el teorema no ens diu com calcular f−1, nomesjustifica l’existencia d’inversa local. L’unic punt del qual disposeminformacio precisa es del punt imatge de x0, y0 = f(x0):

f−1(x0) = y0, Df−1(y0) = (Df(x0))−1.

En particular, si denotem per M = Df(x0), llavors l’aproximacio linealde f−1 en un entorn de y0 queda:

f−1(y) ≈ f−1(y0) +Df−1(y0)(y − y0) = x0 +M−1(y − y0). (31)


N

Exemple 13

Si f(x, y) = (sinx+cos y, cosx− sin y), discutiu l’existencia d’inversalocal de f , t. q.: f−1(

√2, 0) = (π4 ,

π4 ).

f−1(√

2, 0) = (π4 ,π4 )⇔ f(π4 ,

π4 ) = (

√2, 0)

i llavors, si volem provar l’exisrtencia d’inversa en un entorn de (u, v) =

(√

2, 0), haurem d’aplicar el Teorema a la funcio f en (x, y) = (π4 ,π4 ).

f ∈ C∞(R2) (directament, aplicant els criteris de generacio).

D’altra banda:

detDf(π4, π4

) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂x

(π4, π4

)∂f1∂y

(π4, π4

)

∂f2∂x

(π4, π4

)∂f2∂y

(π4, π4

)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣cos π

4− sin π

4

− sin π4− cos π

4

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣√2

2−√2

2

−√2

2−√2

2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1

2− 1

2= −1 6= 0.


N

A mes f(π4 ,π4 ) = (

√2, 0). Aleshores, pel teorema 20 ∃ f−1, inversa

local de f entorn de (√

2, 0). De manera mes precisa, ∃ r > 0 t. q.:

(a) f : Dr(π4, π4

) −→ R2 es injectiva.

(b) Si B = f(Dr(π4, π4

)), llavors:

∃ f−1 : B −→ R2

(u, v) 7→ (x, y) = f−1(u, v),

verificant:

(b.1) f−1 ∈ C∞(B),(b.2) f−1(f(x, y)) = (x, y), ∀ (x, y) ∈ Dr(

π4, π4). En particular:

f−1(√2, 0) = f−1(f(π

4, π4)) = (π

4, π4).

(b.3) Df−1(f(x, y)) = (Df(x, y))−1, ∀ (x, y) ∈ Dr(π4, π4). En particular:

Df−1(√2, 0) = Df−1(f(π

4, π4)) = (Df(π

4, π4))−1

=

√2

2−√22

−√2

2−√22

−1

=

√22

−√2

2

−√22

−√2

2

.


N

L’aproximacio lineal de f−1 en un entorn de (√

2, 0) s’obte aplicant laformula (31) de la Remarca 11 i resulta:

f−1(u, v) ≈

π4

π4

+

√2

2 −√

22

−√

22 −

√2

2

u−

√2

v − 0

=

π4 +

√2

2

(u−

√2

2

)−√

22 v

π4 −

√2

2

(u−

√2

2

)−√

22 v

=

π4 − 1

2 +√

22 u−

√2

2 v

π4 + 1

2 −√

22 u−

√2

2 v

.


N

Exemple 14 (Aplicacio practica del teorema de la funcio inversa:sistemes d’equacions no lineals)

Suposarem, per simplificar, n = 2, pero les mateixes idees s’apliquenen el cas n dimensional en general.Suposem que tenim dues equacions NL en (x, y) de la forma:

f1(x, y) = u0

f2(x, y) = v0

}(32)

on (u0, v0) son valors donats. Suposem que coneixem una soluciodel sistema (32) donada per (x, y) = (x0, y0). Ens preguntem si, enmodificar el valors de (u0, v0) i considerar el sistema

f1(x, y) = u∗f2(x, y) = v∗

}(33)

amb (u∗, v∗) propers a (u0, v0), podem afirmar que el nou sistema tesolucio unica, propera a (x0, y0). El Teorema 20 ens diu que si f1 i f2

son funcions almenys C1 i el determinant jacobia de f := (f1, f2),


N

det

(∂(f1, f2)

∂(x, y)(x0, y0)

)=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f1

∂x(x0, y0)

∂f1

∂y(x0, y0)

∂f2

∂x(x0, y0)

∂f2

∂y(x0, y0)

∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0,

aleshores, per (u∗, v∗) suficientment propers a (u0, v0), les equaci-ons (33) admeten una solicio unica, (x∗, y∗), propera a (x0, y0). Veurefigura 6. A mes, tenim l’aproximacio lineal

(x∗y∗

)≈(x0

y0

)+

(∂(f1, f2)

∂(x, y)(x0, y0)

)−1(u∗ − u0

v∗ − v0

).

Remarca 12 (Notacio)

Si f = (f1, f2, . . . , fm) : A ⊆ Rn −→ Rm amb A obert es derivable ix0 = (x0

1, x02, . . . , x

0n) ∈ A, denotem la matriu jacobiana (5) de f en

x0 per:

Df(x0) =∂(f1, f2, . . . , fm)

∂(x1, x2, . . . , xn)(x0

1, x02, . . . , x

0n).


N

Dr(x0, y0)

B = f(Dr(x0, y0))

f

f−1

(x∗, y∗) = f−1(u∗, v∗)

(u0, v0) = f(x0, y0)

r

(x0, y0) (u∗, v∗)

Figura 6: f |Dr(x0,y0) extableix una bijeccio entre la bola de radi Dr(x0, y0) i la seva imatge

B = f(Dr(x0, y0)). Per tant, si (u∗, v∗) es suficientment proper a (u0, v0) com per (u∗, v∗) ∈B, llavors (x∗, y∗) = f−1(u∗, v∗) es la solucio (unica) del sistema (33).


N

Exercici 4

El sistema d’equacions en (x, y) donat per:

x4 + y4 = 2x2 − y2 = 0

}

te per solucio (x, y) = (1, 1). Si considerem ara les equacions:

x4 + y4 = ux2 − y2 = v

}(34)

comproveu que si els valors de (u, v) son suficientment propers a (2, 0),llavors el sistema (34) tindra una solucio unica, (x, y), propera a (1, 1).Doneu l’aproximacio lineal d’aquesta solucio per (u, v) = (1.8, 0.1) icompareu-la amb la solucio exacta.


N

Solucio:

Definim les funcions:

f1(x, y) := x4 + y4

f2(x, y) := x2 − y2

Es clar que f := (f1, f2) : R2 −→ R2 es una funcio de classe C2 entot R2. D’altra banda:

det

[∂(f1, f2)

∂(x, y)(1, 1)

]=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f1

∂x(1, 1)

∂f1

∂y(1, 1)

∂f2

∂x(1, 1)

∂f2

∂y(1, 1)

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣4 42 −2

∣∣∣∣

= −8− 8 = −16 6= 0

Per tant, aplicant el Teorema 20, per (u, v) suficientment propers a(2, 0), ∃ una unica solucio, (x∗, y∗), propera a (1, 1).


N

La seva aproximacio lineal ve donada per:

(x∗y∗

)≈

(11

)+

(∂(f1, f2)

∂(x, y)(1, 1)

)−1(u− 2v − 0

)

=

(11

)+

(4 42 −2

)−1(u− 2v − 0

)

=

(11

)− 1

16

(−2 −4−2 4

)(u− 2v − 0

)

=

1 + 1

8 (u− 2) + 14v

1 + 18 (u− 2)− 1

4v

, (35)

on hem aplicat la formula (31) que apareix a la remarca 11. Per ultim,pels valors de (u, v) de l’enunciat, (u, v) = (1.8, 0.1), l’aproximaciolineal de la solucio segons (35) resulta:

x∗ ≈ 1, y∗ ≈ 0.95.


N

Mentre que es calcula facilment que la solucio exacta buscada delsistema (34) amb (u, v) = (1.8, 0.1) ve donada per:

x∗ =

√v +√

2u− v2

2= 0.998681513834526 . . . ,

y∗ =

√−v +

√2u− v2

2= 0.947293389650124 . . .


N

C alcul 2 - MAT UPC · C alcul 2 2. Derivaci o de funcions de v aries variables Dept. de Matem...

Documents

Transcript of C alcul 2 - MAT UPC · C alcul 2 2. Derivaci o de funcions de v aries variables Dept. de Matem...