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Bsqueda Informada Heursticas

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Bsqueda informada: heurstica

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Ejemplo de heurstica para el problema del viajante de comercio

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Clasificacin de heursticas

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Ventajas de las heursticas

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Aplicando heursticas

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Algoritmo de bsqueda de Greedy

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Bsqueda de Greedy: ejemplo

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Grafo del ejemplo de la bsqueda de Greedy

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Evaluacin de la bsqueda de Greedy

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Minimizar el costo de ruta total La bsqueda avara minimiza el costo estimado hasta la meta h(n) l poda fuertemente el costo de bsqueda l ni ptima ni completa la bsqueda de costo uniforme minimiza el costo hasta ese momento, g(n) l ptima y completa l podra ser muy ineficiente f(n) = g(n) + h(n) = costo estimado de la solucin ms barata pasando por (n)

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Minimizar el costo de ruta total Observaciones l Supongamos que tenemos un nodo n a una profundidad d en el rbol de bsqueda y que adivinamos que ese nodo se halla a una distancia h(n) de la meta ms cercana a l. l La meta estara entonces a la profundidad d + h(n) en el espacio de problema l En lugar de elegir para la expansin el nodo de mnimo h(n) (distancia esperada hacia la meta), elegimos el nodo de MIN { d + h(n) } l La profundidad se mide con la funcin de costo de la ruta g(n) l Quedando MIN { g(n) + h(n) }

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Algoritmo de bsqueda A *

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Optimalidad de A* Definir f* - el costo de la solucin ptima para la ruta l A* expande todos los nodos con f(n) < f* l A* podra expandir algunos de los nodos a la derecha del contorno de la meta, para los cuales f(n) = f*, antes de seleccionar el estado meta. La primera solucin encontrada debe ser la ptima, dado que los nodos de todos los contornos subsiguientes tendrn un costo f ms alto y con ello un costo g ms alto (todos los estados meta tienen h(n) = 0)

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(2) 2 (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) 1 (7) goal 3 (1) 4 1 Buscando una solucin subptima Las etiquetas de los nodos son su valor heurstico h = k y los nmeros entre parntesis son el orden de prioridad para expandir. El valor k de un nodo significa que esperamos que est a k pasos de la meta. El mtodo siempre expande nodos con una mnima distancia esperada al nodo meta, as que el subrbol de la derecha nunca tiene turno para expandir. (Es una cola que privilegia a la ruta izquierda, primero en profundidad) Conclusin: no tratamos de encontrar un nodo meta que est a una menor profundidad. Las etiquetas de los nodos son su valor heurstico h = k y los nmeros entre parntesis son el orden de prioridad para expandir. El valor k de un nodo significa que esperamos que est a k pasos de la meta. El mtodo siempre expande nodos con una mnima distancia esperada al nodo meta, as que el subrbol de la derecha nunca tiene turno para expandir. (Es una cola que privilegia a la ruta izquierda, primero en profundidad) Conclusin: no tratamos de encontrar un nodo meta que est a una menor profundidad.

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(2) 1+2 (3) 2+1 (4) 3+1 (5) 4+1 5+1 goal 0+3 (1) 1+4 (6) 2+1 (7) Buscar la Solucin Optima Tratamiento para el diagnstico previo: Las etiquetas de los nodos son aqu profundidad + valor heurstico. Nmeros entre parntesis son orden de expansin. Para A* no hay diferencia real entre (5) y (6) No se puede garantir que se pueda encontrar la solucin ptima. l Por ejemplo, qu pasa si (5) fuese el nodo meta? l Problema: con pesimismo se ha etiquetado al primer nodo de la rama derecha como 4 (hemos sobreestimado su distancia a la meta) Es imperiosa una heurstica optimista. Tratamiento para el diagnstico previo: Las etiquetas de los nodos son aqu profundidad + valor heurstico. Nmeros entre parntesis son orden de expansin. Para A* no hay diferencia real entre (5) y (6) No se puede garantir que se pueda encontrar la solucin ptima. l Por ejemplo, qu pasa si (5) fuese el nodo meta? l Problema: con pesimismo se ha etiquetado al primer nodo de la rama derecha como 4 (hemos sobreestimado su distancia a la meta) Es imperiosa una heurstica optimista. 3+0 (8)

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(2) 1+2 (3) 2+1 3+1 4+1 5+1 goal 0+3 (1) 1+2 (4) 2+1 (5) Buscar la Solucin Optima Admisibilidad l h - la funcin heurstica - es optimista si para todo n, l h(n) < hp (coste real de llegar al nodo meta) l con eso no se sobreestima al costo. l Una heurstica optimista (que infravalora el coste) se llama admisible Casos especiales l h(n) = hp(n) (la heurstica perfecta) l h(n) = 0 ?...(bsqueda ciega) Admisibilidad l h - la funcin heurstica - es optimista si para todo n, l h(n) < hp (coste real de llegar al nodo meta) l con eso no se sobreestima al costo. l Una heurstica optimista (que infravalora el coste) se llama admisible Casos especiales l h(n) = hp(n) (la heurstica perfecta) l h(n) = 0 ?...(bsqueda ciega) 3+0 (6)

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Forma til de ver la optimalidad de A* Lema A* expande nodos en el orden de valores crecientes de f Esto implica decir que as como Primero en Amplitud va agregando niveles o capas, A* va agregando contornos iso-f siempre crecientes (un contorno fi tiene todos los nodos con f = fi), incluyendo al nodo de inicio en direccin al nodo meta.

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Contornos concntricos iso-f 380

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A* aplicado a la bsqueda en Rumania

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Optimalidad de A*: demostracin * ------------------------ * n * G1 *G2 Sea una meta subptima G2 que est en la cola de espera Sea n un nodo sin expandir en el camino ms corto hacia una meta ptima G1 A* nunca va a elegir G2 para su expansin

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Optimalidad de A* Teorema: Sea hp(n) el costo real desde n hasta la meta. Si h(n) < hp(n) para todo nodo n, entonces A* siempre va a encontrar un nodo meta ptimo. Prueba: Sea s el nodo meta de mnimo costo. Sea (tentativamente) que A* seleccione un nodo meta subptimo s, donde g(s) < g(s)ec.a Sea n un nodo sin expandir en la ruta desde el nodo inicio y el nodo meta ptimo s. Notar que ese nodo sin expandir necesariamente existe, de acuerdo con la suposicin previa (en el otro caso, s ya habra sido elegido como el nodo meta).

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Optimalidad de A* Puesto que n no ha sido elegido para su expansin en su ruta hacia s, se sigue que: f(n) = g(n) + h(n) > f(s') = g(s') + h(s') = g(s') Dado que h es admisible, g(n) + hp(n) > g(n) + h(n) = f(n), y entonces g(n) + hp(n) > f(s') = g(s') lo cual implica que g(s) > g(s') Esto contradice la suposicin previa (ec. a), la que indica que s es una meta subptima..

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Resumen del algoritmo A* Una heurstica admisible nunca sobreestima el costo de llegar a la meta un estimado de costo optimista en la solucin de un problema es menor -ms barato- que el real. Si h es admisible, f(n) nunca sobreestima el costo real de la mejor solucin pasando por n La bsqueda A* - con f(n) y con h admisible es: l completa y ptima l ejemplo: h DLR es admisible

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Bsqueda A * : ejemplo

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Evaluacin de la bsqueda A *

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Heursticos admisibles: ejemplos

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Heursticos dominantes