CONAMET/SAM 2006

CARACTERIZACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE BURBUJAS EN CELDAS DE FLOTACIÓN DE MINERALES

G. Vallebuona, A. Casali y F. Rodríguez Departamento de Ingeniería de Minas, Universidad de Chile.

e-mail: gvallebu@ing.uchile.cl

RESUMEN En este trabajo se define y diseña un sistema de medición de la distribución de tamaño de burbujas en una celda de flotación. El equipamiento del sistema consiste en un dispositivo de toma de muestras, un visualizador de burbujas, una cámara de video y equipos auxiliares. Su operación requiere el desarrollo de un software de procesamiento vía análisis de imágenes, que incluya una definición del tamaño de burbuja y un procedimiento de conteo y de transformación de una distribución de tamaños en número a una distribución en superficie. Dado que la velocidad de filmación de la cámara de video es de 30 cuadros por segundo y que el procedimiento de muestreo de burbujas condiciona la duración total de cada video a 800 cuadros, por calidad de la imagen, y que la velocidad de ascenso de burbujas es más lenta que la toma de cuadros, es necesario realizar el estudio de un protocolo de muestreo de cuadros que garantice tanto la representatividad de la información como el evitar que una misma burbuja se mida y cuente más de una vez. También es necesario establecer el período de filmación útil para la caracterización, descartando de una manera sistémica tanto los cuadros iniciales, por falta de equilibrio, como los cuadros finales, por falta de nitidez en la imagen, en otras palabras, determinar el inicio y fin del video útil. Esto último genera el número total de cuadros disponibles, lo que asociado con el número promedio de burbujas por cuadro, el número mínimo de burbujas a medir para garantizar representatividad y la velocidad ascensional de burbujas, permite establecer cada cuantos cuadros realizar la caracterización. Palabras Claves: flotación, tamaño de burbujas, muestreo

1. INTRODUCCIÓN El proceso de flotación de minerales constituye el principal método de concentración de minerales actualmente en uso. La gran mayoría de los minerales de interés económico pueden y son beneficiados con esta tecnología. En el caso de la industria del cobre, por ejemplo, se utiliza flotación para concentrar todos los minerales sulfurados de cobre, principal fuente de este metal. En Chile se emplea este proceso en las principales faenas productoras de cobre y molibdeno y en el beneficio de otras especi s minerales (de oro, plata, etc.).

e

En la flotación existen actualmente dos tecnologías complementarias: la flotación en celdas agitadas mecánicamente y la flotación en celdas columnares, destinando la primera de ellas esencialmente a la recuperación de los minerales de interés y la segunda a la limpieza de concentrados. Por lo tanto, dados los tonelajes involucrados, la mayor parte del proceso se realiza con celdas agitadas mecánicamente.

La concentración por flotación es el resultado de la interacción de muchas variables, que involucran factores químicos, operacionales y mecánicos. Entre estos últimos están la velocidad de rotación del agitador, el flujo de aire y el diseño de la celda, que, aunque aislados no afectan el rendimiento del proceso, crean [1] las condiciones hidrodinámicas (régimen de flujos, mezclamiento, suspensión de sólidos, dispersión del gas, interacción burbuja – partícula) que gobiernan dicho rendimiento. Especial atención se ha puesto en el último tiempo a la dispersión de gas, la que se considera un factor clave en el proceso.

En las celdas de flotación la dispersión del gas en finas burbujas puede ser expresada por diversos indicadores: tamaño de burbuja (dB), fracción de volumen retenido de gas (εg), velocidad superficial de gas (Jg) y el flujo de superficie de burbujas por unidad de área (Sb). De las variables mencionadas, Jg corresponde al flujo volumétrico de gas inyectado a la celda por unidad de área transversal, y es por lo tanto una variable con la cual se puede actuar sobre el proceso. Las demás variables, en particular para las celdas con agitación mecánica, son el resultado tanto del flujo de gas, así como del tipo y velocidad del agitador y de las condiciones de la flotación (en particular del tipo y dosis de espumantes). La capacidad de transporte de partículas flotables dependerá, fundamentalmente, de la superficie de gas disponible, que depende tanto la cantidad de gas como la distribución de tamaños de burbujas. Un término que incorpora tanto la velocidad superficial de gas como el tamaño de burbujas, representado por el tamaño característico d32, es el

flujo de superficie de burbujas por unidad de área (Sb), el cual se define como [2]:

32

6dJ

S gb = (1)

donde d32 es el diámetro medio Sauter de burbujas definido como:

∑

∑=

=

=

== ni

ii

ni

ii

x

xd

1

2

1

3

32 (2)

donde: xi = diámetro equivalente esférico de burbuja n = tamaño de muestra. Los factores físicos que pueden afectar la dispersión de la fase gaseosa en la celda de flotación son la velocidad del agitador, el tipo de agitador, y el flujo de gas, como también el diseño del reactor. Una muy importante contribución al estudio de este aspecto es la contenida en las investigaciones hechas por Gorain et al. [3, 4] en celdas mecánicas convencionales. Según estos autores, los diámetros de burbujas producidos por el agitador no son lo único que altera la dispersión del gas. Son igualmente importantes la fracción de volumen retenido de gas, y la forma de la distribución de tamaño de burbujas, ya que juntos determinan cuánta superficie de burbujas está disponible para que las partículas sean flotadas. Afirman también que la magnitud del valor de la fracción de volumen retenido de gas, indica cuan satisfactoria es la capacidad del medio generador de burbujas, de dispersar el gas en pequeñas burbujas (tienen una baja velocidad de ascenso, y por lo tanto, un gran tiempo de residencia).

De todas las variables de la dispersión del gas, es el tamaño de burbuja, y más precisamente, la distribución de tamaño de burbujas en la celda, la variable más relevante. Esto porque un mismo tamaño característico (dB) puede corresponder a distintas distribuciones de tamaño, que causarán distintos efectos en la flotación, por ejemplo por distintas proporciones de burbujas gruesas y finas.

B

La disponibilidad de nuevos procedimientos e instrumentos de medición permite avanzar en esta línea. En este trabajo se define y diseña un sistema de medición de la distribución de tamaño de burbujas generadas en una celda de flotación agitada mecánicamente, para lo cual se realiza el estudio de un protocolo de muestreo de los cuadros de filmación de burbujas que garantice la representatividad de la información y evite que una misma burbuja se mida y cuente más de una vez. También se establece el período de filmación

útil para la caracterización, lo que genera el número total de cuadros disponibles para el análisis. 2. ESTADO DEL ARTE La medición directa del tamaño de burbujas en celdas agitadas mecánicamente, tratando pulpas de mineral, es muy difícil de realizar. Varios grupos de investigación han realizado mediciones de tamaños de burbuja por medición directa, mediante el analizador UCT [5, 6] y mediante muestreo y análisis de imágenes [7-10], estimación a partir de mediciones de la fracción de volumen retenido y análisis de flujos [11, 12], o a partir de mediciones de flujo de gas y de modelos para el flujo de superficie de burbujas por unidad de área [13].

Entre los métodos disponibles destacan aquellos que emplean muestreo y técnicas de visualización y análisis de imágenes, siendo su base el desarrollado por Chen et al [9]. En efecto, los trabajos de Grau y Heiskanen [14, 15] proponen un nuevo instrumento de medición denominado HUT, basado en el sugerido por Chen et al., que incorpora también algunas de las características prácticas del analizador UCT. Se compara[14] mediciones experimentales realizadas con el instrumento de medición HUT con aquellas obtenidas con el UCT, encontrándose discrepancias entre ambos métodos, en particular los tamaños medios de burbujas medidos con el HUT fueron claramente mayores que los obtenidos con el UCT, en todo el rango de condiciones operacionales probadas. Los autores analizan las posibles fuentes de esas discrepancias, proponiendo medidas para su corrección. En su segundo trabajo [15], Grau y Heiskanen estudian, usando el HUT, el efecto de condiciones operacionales tales como la velocidad del agitador y el flujo de aire sobre las propiedades de la dispersión de gas. Los autores concluyen que el flujo de superficie de burbujas por unidad de área producido en celdas de flotación agitadas mecánicamente podría estar limitado a un intervalo estrecho, con un límite superior bastante bajo [15].

Un aporte muy importante lo constituye el trabajo de Gomez et al. [10], en el que, utilizando el instrumento de medición presentado por Chen et al. [9], en una versión modificada para su utilización a escala industrial, miden y analizan distribuciones de tamaños de burbujas en máquinas de flotación de diferentes plantas concentradoras. Además de la descripción del equipo y su operación, se presenta también algunos ejemplos de cómo la información obtenida ha sido usada para establecer el efecto de modificaciones de equipamiento y prácticas operacionales en el rendimiento de la flotación. Los resultados obtenidos permiten apreciar el

efecto del flujo de aire y el efecto del diseño del agitador sobre el tamaño de burbujas representado por los tamaños característicos d32 y d10 (tamaño medio de la distribución en número). Los autores concluyen [10] destacando que el tamaño de burbuja afecta cada aspecto del proceso de flotación y que las mejoras en el proceso estarán asociadas a cuán efectivamente se dispersa el gas y se controla el tamaño de burbujas. Los autores de este trabajo afirman [7, 8] que dado que la flotación es un fenómeno superficial, la distribución de tamaño de burbujas sería mejor representada con una distribución en superficie en lugar de una en número, además si se conoce la distribución completa, no es necesario el uso de sólo tamaños característicos de la distribución. Los autores de este trabajo han realizado en trabajos previos [7, 8] un extenso programa de pruebas en dos celdas batch de laboratorio, ambas con aire inducido, utilizando muestras de mineral sulfurado de cobre de Codelco – Chile, División Andina. En el trabajo experimental fue posible medir la distribución de tamaño de burbujas usando muestreadores basados en el diseño de Chen et al. [9]. Los tamaños fueron agrupados en clases y se contó el número de burbujas por clases. Se determinó la distribución de tamaños en número (fi0) y se calculó la distribución de tamaño en superficie (fi2). 3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

El equipamiento del sistema consiste en un dispositivo de toma de muestras, un visualizador de burbujas, una cámara de video y equipos auxiliares. El sistema de muestreo permite que las burbujas asciendan por un tubo hasta la cámara de visualización, que posee una zona de agua clara donde es posible filmarlas en video para un posterior análisis de las imágenes. La cámara de visualización tiene en su interior agua con una concentración de espumante, expresada en g/l, igual a la que existe dentro de la celda de flotación. En la Figura 1 se observa un esquema general del muestreador y visualizador del sistema de medición, donde se señala los componentes más importantes del sistema y su posición en la celda. Las burbujas ingresan a la cámara de visualización subiendo por el tubo de ascenso desde la celda de flotación. Este tubo es construido a partir de una pipeta de 10 ml, su largo es de 17,5 cm y su diámetro interno es 8 mm. Tras su ascenso las burbujas son iluminadas y filmadas en el momento en que pasan por la cámara de visualización. La cámara de visualización se encuentra conectada a una bomba peristáltica a través de 2 mangueras.

Figura 1.- Componentes del sistema de muestreo y su implementación en la celda de flotación.

cámara

luz

visualizador

muestreador

Máquina de flotación

cámara

luz

visualizador

muestreador

Máquina de flotación

Entrada de agua desde bomba

Salida de aire hacia bomba Patrón

Cámara de visualización

Tubo de ascenso de burbujas

La manguera ubicada en la parte superior se utiliza para llenar el visualizador con la mezcla de agua espumante, mientras que la manguera lateral permite extraer el aire acumulado después del ingreso de las burbujas, con el fin de que no disminuya el nivel de agua en el visualizador. El visualizador está construido de vidrio, con paredes planas para evitar distorsiones, de 5,2 cm de ancho, 7,2 cm de alto y 3,5 cm de profundidad. El patrón es un cuadrado de 15 mm tallado en el vidrio y sirve de referencia para determinar el tamaño de cada burbuja en el visualizador. Del video se capturan las imágenes (30 cuadros/s) para concretar la medición (ver Figura 2). Este video es útil sólo por un cierto tiempo, ya que tras el ascenso de burbujas cargadas, estas desplazan al agua en la superficie y el mineral se desprende tras alcanzar la interfase, enturbiando el visualizador. Tras procesar las imágenes con un software desarrollado para este fin [16], se determina los tamaños de las burbujas, los que se deben corregir por la diferencia de presiones entre la celda (punto de muestreo) y la cámara de visualización (punto de filmación), suponiendo burbujas esféricas y comportamiento de gas ideal. Ambas presiones se pueden determinar con las ecuaciones (3) y (4).

Figura 2.- Imagen mostrando burbujas.

( ) 01 PA

gmhgP

celda

espumagceldapulpacelda ++−= ερ (3)

donde: Pcelda = presión hidrostática (punto de muestreo). ρpulpa = densidad de pulpa en la celda. g = aceleración de gravedad.

hcelda = distancia entre punto de muestreo en la celda e interfase pulpa-espuma (7 cm).

εg = fracción de volumen de gas en la celda. mespuma = masa de espuma en el muestreo. Acelda = área transversal de la celda. P0 = presión atmosférica.

( ) vacíovisgvisaguavis PhgP +−= ερ 1 (4) donde: Pvis = presión hidrostática (punto de filmación

visualizador). ρagua = densidad del agua. hvis = distancia entre el punto de filmación y

la superficie del agua en la cámara de visualización (3,5 cm).

εg vis = fracción de volumen retenido de gas en la cámara de visualización.

Pvacío = presión de vacío en el visualizador, por balance de presiones hidrostáticas en el medidor y en la pulpa.

Una vez que se han calculado las presiones en la celda y en la cámara de visualización, se puede calcular el factor de corrección para el tamaño de burbuja. Para tal efecto se considera la ley de los gases ideales, obteniéndose la siguiente relación:

(5) visbvisceldabcelda VPVP = donde: Vb celda = volumen de burbuja en el punto de

muestreo. Vb vis = volumen de burbuja en la cámara de

visualización. Asumiendo esfericidad para las burbujas, se puede llegar a la siguiente expresión para la corrección del tamaño de burbuja por presión hidrostática:

*3

1

dPPdcelda

visB ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (6)

donde d* es el tamaño de burbuja en el punto de filmación. El factor de corrección resulta de 0,995.

Con los tamaños corregidos, se agrupa por clases de tamaño y se cuenta las burbujas por clase. Se determina entonces la correspondiente distribución de tamaños en número (fi0, fracción retenida en el tamaño i). Dada la naturaleza superficial del fenómeno de la flotación, se procede a determinar, a partir de la distribución en número, la distribución en superficie de burbujas (fi2) según:

∑

=0

20

2

2ii

iii fx

fxf (7)

donde xi corresponde al tamaño medio de burbujas en la clase i. Como resultado del análisis bibliográfico realizado, se decide, en una primera etapa, considerar dos tipos de visualizadores para el muestreo de burbujas, uno vertical (basado en el diseño original de Chen et al. [9]) y otro inclinado (basado en el diseño de Gomez et al., [10]), los que se muestran en la Figura 3. Para las pruebas de flotación se utiliza una celda de laboratorio (Labtech-ESSA, 5 litros, aire inducido, discontinua) y mineral de sulfuros de cobre proveniente de la División Andina de CODELCO-Chile. El mineral tiene una ley de Cobre de 1,14 %, el que se encuentra en un 95% como calcopirita y en un 4% como calcosina. Las pruebas se realizan en condiciones estándar, con los reactivos empleados en faena: colector Aero® promoter 3894 (33,05 g/t), espumante Aerofroth® 70 (42,35 g/t) y cal como regulador para un pH de 10,5. Se trabaja con un porcentaje de sólidos en peso de 31,4% y acondicionamiento de 5 min. En las pruebas se mide la distribución de tamaño de burbujas para distintas condiciones de operación (flujo de aire y agitación). Se realiza pruebas preliminares de flotación de laboratorio con ambos visualizadores, para comparar las diferencias entre ambos y poder elegir el más apropiado, basando esta decisión en la estabilización del diámetro promedio de burbujas por cuadro. Como se aprecia en la Figura

4 se obtiene mejores resultados en estabilidad, con el visualizador inclinado, por lo que se opta por esta variante para el todo el trabajo experimental. 4. PROTOCOLO DE MUESTREO La velocidad de filmación de la cámara de video es de 30 cuadros por segundo y el procedimiento de muestreo de burbujas condiciona la duración total de cada video, por calidad de la imagen después de estos cuadros debido al desprendimiento de partículas que ensucian la imagen, tal como ya se indicó. En el estudio esto limita el video útil a un máximo de 800 cuadros. En segundo lugar se debe descartar de una manera sistémica los cuadros iniciales, por falta de equilibrio, que, como se aprecia en la Figura 5, en este caso abarca los primeros 120 cuadros. Ambos límites generan el número total de cuadros disponibles.

(a) vertical

(b) inclinado

Figura 3.- Cámaras de visualización (a) vertical y (b) inclinada

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 120 240 360 480 600 720

Nº Cuadro

d b [m

m]

(b) inclinado Figura 4. Estabilización del diámetro medio con visualizador: (a) vertical y (b) inclinado.

(a) vertical

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 480 600 720 840

Nº Cuadro

d b [m

m]

120 240 360

Figura 5. Intervalo de video útil para

caracterización. Sin embargo, como la velocidad de ascenso de burbujas es más lenta que la toma de cuadros, es necesario realizar el estudio de un protocolo de muestreo de cuadros que garantice tanto la representatividad de la información como el evitar que una misma burbuja se mida y cuente más de una vez. A través de una inspección cuadro a cuadro de los videos se determina que para evitar medir más de una vez la misma burbuja, el análisis debe realizarse como máximo a 1 de cada 6 cuadros, es decir, a 5 cuadros/s. Tomando en cuenta el número promedio de burbujas por cuadro, el número mínimo de burbujas a medir para garantizar representatividad y la velocidad ascensional de burbujas, se busca establecer fundamentada y confiablemente, cada cuantos cuadros realizar la caracterización. Para el procesamiento de las imágenes, dado que por cada video se tiene aproximadamente 680 cuadros utilizables (eliminando los 120 cuadros iniciales del transiente y los posteriores al cuadro 800 donde se pierde la visibilidad), se procedió a determinar un protocolo de muestreo que permita determinar la cantidad mínima de imágenes que constituyan una muestra representativa. Para establecer la frecuencia de muestreo más apropiada y al no existir una metodología específica, se utiliza dos metodologías que presentan analogías con el tema en estudio. Estas son el teorema de muestreo de señales de Shannon [17] y la teoría de muestreo de Pierre Gy [18]. 4.1. Muestreo de señales Para muestrear una señal completa es importante que la señal muestreada conserve toda la información relevante de la señal original. En la Figura 6 se muestra una señal y los puntos donde se realiza el muestreo, determinados por la frecuencia de muestreo, que se define como:

t1fs Δ

=

donde fs es la frecuencia de muestreo de la señal.

Punto muestreo

Tiempo

Señal

Señal muestreada

Punto muestreo

Tiempo

Señal

Señal muestreada

Inicio Δt

Figura 6. Muestreo de señales El teorema de muestreo de señales de Shannon [17] indica que para representar adecuadamente una señal, las muestras deben tomarse con una frecuencia tal que se cumpla la siguiente relación:

maxs f2f ≥ (9)

donde fmax corresponde a la frecuencia máxima. Con el procesamiento de un video completo en el intervalo ya definido, desde el cuadro 120 en adelante, se grafica la evolución del tamaño medio de burbujas por cuadro. La Figura 6 muestra un acercamiento de la señal, lo que permite determinar su frecuencia máxima como se indica.

m

m]

[b

Nº Cuadro

d

fmax

Figura 6. Frecuencia máxima de la señal.

Utilizando la ecuación (9) y la frecuencia máxima se obtiene la frecuencia de muestreo. En la Tabla I se presenta los valores obtenidos con el teorema de Shannon para este caso, en que como mínimo debe considerarse 1 de cada 12 cuadros.

Tabla I. Valores por muestreo de señales.

fmax 1,30 [Hz]

fs 2,61 [Hz] Muestras cada 0,38 [s]

Muestras cada 12 Cuadros 4.2. Muestreo de sistemas particulados Un lote es un conjunto de material particulado cuya composición quiere estimarse mediante caracterización de una muestra, la que no es cualquier parte del lote, pues su extracción debe respetar las reglas que la teoría de muestreo de Pierre Gy [18] establece y ser equiprobabilística.

(8)

Un aspecto importante dentro de la teoría de muestreo son los errores, en particular el error fundamental (FE) que corresponde al mínimo error de muestreo que se tendría si se seleccionara cada fragmento o partícula aleatoriamente, una a la vez, pues el lote es intrínsecamente heterogéneo. La ecuación 10 corresponde a la varianza del error fundamental determinada por Pierre Gy para un muestreo representativo con el fin de caracterizar la granulometría del lote original.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 33

iiLS

2FE dgd2

f1f

M1

M1S

donde:

2FES : varianza del error fundamental.

ML y MS : masas lote y muestra respectivamente. f : factor de forma. ρ : densidad. fi : % de partículas del lote de la clase i. i : clase granulométrica de interés. di : tamaño medio de la clase granulométrica i. g : factor de granulometría. d : tamaño medio de los fragmentos. Un correcto protocolo de muestreo para análisis granulométrico es aquel donde la varianza del error fundamental es menor a 0,02 (2%). En el caso de material particulado la varianza del error fundamental se puede controlar por medio de la masa de la muestra o el tamaño de los fragmentos. Si se considera a todas las burbujas como partículas a caracterizar granulométricamente, es posible aplicar el teorema de muestreo de Pierre Gy [18] para determinar el número de burbujas que constituyen una muestra representativa. La ecuación (10) puede reordenarse para representar burbujas en lugar de partículas, considerando que: • La teoría de muestreo señala que g d3 tiende a

cero cuando ML es mayor que 10MS, lo que ocurre en este caso y por lo cual se desprecia.

• Los parámetros ML (masa del lote) y MS (masa de la muestra) pueden reescribirse de la siguiente forma:

donde: ρb : densidad de una burbuja. Nb : número total de burbujas en el lote. nb : número de burbujas en la muestra. db : diámetro medio de burbujas en la clase

granulométrica de interés. • El factor de forma (f) para esferas es igual a

π/6 y se asume burbujas esféricas. Reemplazando en ecuación (10) y simplificando:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

f1

N1

n1S

ibb

2Fe

(11)

Tal como se señaló anteriormente, para un muestreo aceptable, la varianza del error fundamental no debe exceder un 2%, por lo que es este valor el que se utiliza para los cálculos. El valor de fi para distribuciones de burbuja en superficie es del orden del 1% [19].

(10) A partir de un análisis preliminar de los cuadros, se determina que en promedio existen 64 burbujas por cuadro, lo que considerando los 680 cuadros disponibles (800 menos los 120 iniciales) da un valor de 43.500 burbujas para Nb. Por lo tanto, despejando el tamaño de la muestra nb de la ecuación (11), se obtiene que nb debe ser de 4.400 burbujas, lo que implica a 64 burbujas por cuadro, muestrear cada 10 cuadros. 4.3. Frecuencia de muestreo de imágenes Para comparar los resultados alcanzados con ambas teorías de muestreo, se presenta la Tabla II, donde es posible apreciar que la teoría de muestreo de sistemas particulados entrega un resultado más conservador que la teoría de muestreo de señales, respetando en ambos casos el límite que evita el conteo doble de burbujas. Por este motivo se decide utilizar la frecuencia de muestreo entregada por Pierre Gy, vale decir, uno cada diez cuadros. Tabla II. Frecuencias de muestreo

Concepto Frec. de muestreo Mínima por repetición > 1 cada 6 cuadros Muestreo de particulados 1 cada 10 cuadros Muestreo de señales 1 cada 12 cuadros

5. EVALUACIÓN POST MUESTREO Para evaluar si la frecuencia de muestreo determinada entrega resultados adecuados, se procedió a determinar experimentalmente si se cumple la hipótesis con respecto a que el método permitiría obtener una varianza del error fundamental de 0,02 como máximo.

3bbbL d

6NM π

ρ= 3bbbS d

6nM π

ρ= Con los resultados experimentales de 10 pruebas de flotación, se calcula el número de burbujas presente en el video (Nb), el número de burbujas presente en la muestra (nb) y se determina la distribución del tamaño de burbujas en superficie; para cada una de las pruebas. Estos resultados, junto con el valor de la varianza del error fundamental, determinado mediante la ecuación (11), se muestran en la Tabla III.

Tabla III. Varianza del error fundamental. Prueba fi2 [%] nb Nb SFE

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

1,06 0,51 0,45 1,09 0,50 1,69 0,70 0,82 0,39 0,35

2.032 2.349 2.715 2.355 2.910 2.484 3.178 2.804 2.898 3.747

20.055 23.184 26.796 23.243 28.720 24.516 36.981 25.730 20.331 36.981

0,04 0,07 0,07 0,03 0,06 0,02 0,04 0,04 0,08 0,07

Como se observa en Tabla III, la hipótesis de la varianza del error fundamental se cumple sólo para una de las pruebas. Las demás pruebas presentan SFE

2 mayores que lo esperado, debido principalmente a que en la mayoría de las pruebas fi2 es inferior al 1% utilizado para el cálculo original (SFE

2 se acerca a 0,02 cuando fi2 aumenta, ver Tabla III). Otra razón es que el número total de burbujas (Nb) es, en todos los casos, menor que el considerado preliminarmente. El número máximo, correspondiente a las pruebas 7 y 10, es del orden de 37.000 burbujas, frente a las 43.500 consideradas inicialmente. Es posible apreciar que el número de burbujas muestreada (nb) es del orden de 3.000 burbujas, con un promedio de 45 burbujas por cuadro (68 cuadros), distinto a las 64 burbujas por cuadro consideradas inicialmente. Las observaciones anteriores motivan a recalcular la frecuencia de muestreo a partir de los datos reales, para determinar cómo debería realizarse el muestreo en estudios posteriores. Resulta entonces más apropiado considerar el valor promedio de fi2 (del orden del 0,76%). En este caso y considerando 37.000 como el nuevo valor del número total de burbujas y 55 burbujas por cuadro (37.000 burbujas en 680 cuadros), se obtiene una nueva y más apropiada frecuencia de muestreo de un cuadro cada 7 cuadros obtenidos. 6. CONCLUSIONES Fue posible medir la distribución de tamaño de burbujas en una celda de flotación. El visualizador inclinado presentó ventajas sobre el vertical, en estabilización del db promedio de burbujas/ cuadro. Se estableció el período de filmación útil para la caracterización, descartando tanto los cuadros iniciales (< 120) por falta de equilibrio, como los cuadros finales (> 800) por falta de nitidez. Se diseño e implementó un protocolo de muestreo de cuadros que garantiza la representatividad de la información (burbujas medidas y contadas sólo una vez). Para ello se estableció la frecuencia de muestreo más apropiada utilizando dos metodologías: la teoría de muestreo de Pierre Gy (adaptada a burbujas) y el teorema de muestreo de

señales de Shannon, escogiéndose la primera de ellas por ser más conservadora. Finalmente, se evaluó a posteriori si la frecuencia de muestreo determinada entregaba resultados adecuados, concluyendo que, como producto de apreciaciones preliminares inadecuadas, el protocolo inicial subestimó la frecuencia de muestreo, siendo necesario reformularlo a una frecuencia de muestreo de uno cada 7 cuadros. AGRADECIMIENTOS A CONICYT de Chile, por el financiamiento del Proyecto FONDECYT Nº 1050939. REFERENCIAS

1. Finch, J., Xiao, J., Hardie, C. y Gomez, C.,

Min. Eng., V.13, Nº4, 2000, pp. 365-372. 2. Finch, J., y Dobby, G., Column Flotation, Ed.

Pergamon Press, Oxford, 1990, pp. 22-24. 3. Gorain, B.K., Franzidis, J.P. y Manlapig, E.V.,

Min. Eng., Vol. 8, Nº6, 1995, pp. 615-635. 4. Gorain, B.K., Franzidis, J.P. y Manlapig, E.V.,

Min. Eng., Vol. 9, Nº6, 1996, pp. 639-654. 5. Yianatos, J., Bergh, L, Condori, P. et al., Min.

Eng., V. 14, N°9, 2001, pp.1033-1046. 6. Tucker, J.P., Deglon, D.A., Franzidis, J.P.,

Harris, M.C. y O’connor, C.T., Min. Eng., Vol. 7, Nº5/6, 1994, pp. 667-680.

7. Vallebuona, G., Casali, A. y Kracht. W., Rev. de Metalurgia, V. 41, Nº 4, 2005, pp. 243-250.

8. Kracht, W., Vallebuona, G. y Casali. A., Min. Eng., 18(11), 2005, pp. 1067-1076.

9. Chen, F., Gomez, C. y Finch, J., Min. Eng., Vol. 14, Nº4, 2001, pp. 427-432.

10. Gomez, C., Hernandez-Aguilar, J., McSorley, G., Voigt, P. y Finch, J., 5th Int. Conference Copper 2003, Stgo., Dic., 2003, pp. 225-240.

11. Banisi, S. y Finch, J.A., Min. Eng., Vol. 7, Nº12, 1994, pp. 1555-1559.

12. Xu, M. y Finch, J.A., Mineral y Metallurgical Processing, Vol. 5, Nº1, 1988, pp. 43-44.

13. Vallebuona, G., Suazo, C. y Casali, A., 5th International Conference Copper 2003, Santiago, Dic., 2003, pp. 211-224.

14. Grau, R. y Heiskanen, K., Min. Eng., Vol. 15, Nº7, 2003, pp. 507-513.

15. Grau, R. y Heiskanen, K., Min. Eng., Vol. 16, Nº11, 2003, pp. 1081-1089.

16. Rodriguez, F., Memoria de Ingeniería Civil de Minas, Universidad de Chile, 2006.

17. Middleton, R. y Goodwin, G., Digital control and estimation. A unified approach, Prentice Hall, 1990.

18. Pitard, F., Pierre Gy`s sampling theory and sampling practice, CRC Press 2nd Ed., 1993.

19. Kracht, W., Tesis de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Mención Metalurgia Extractiva, Universidad de Chile, 2004.