BURBANO_-_PROBLEMAS

8/6/2019 BURBANO_-_PROBLEMAS

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cos infer iores par una cuerda inextensible y sin peso apreciable de longi-=: : :d2 r (ver F ig. ). S i suponemos que no exi st e rozamien to en los pun tos:e con tacto; det ermine r l a t ens i6n de di cha cue rda y l as fuerzas que ac-z za n s abre ca da uno de el Ios en l os punt os de conta do, ye an el suelo.

Problema V-27. Problema V-28.

29. A un aro rfgido le i nse rt amos dos a nilla s a la s que a tamos dos:ola s de ma sas M1 = 2 kg Y M2 = 1 kg; unimos l as dos ani ll as can ot ra:uerda de longi tud 1= 1 m (ver F ig .). Conside ramos a l as cue rdas inex-ams ib le s y s in peso y que l as ani ll as pueden des li za rs e por e l a rc s in ro-

: :: amiento. Exi st e un rad io R del a ro para e l cua l e l s is tema de l a f igura"", rmanece en equil ibrio (estatico). Calcular. 1)EI radio del aro que per-- .i te t al s it uacion . 2 ) La t ension de l a cue rda I .

C

Problema V-29. Problema V-3D.

30. Un ca ble hornoqene o de peso P y longitud L, esta suj eto porsus e xtremes a la pa re d c om~ se indic a e n la Fig., en la que el angulo a2S dado. Determinar: 1) La fuerza que ej erce el ca bl e sa bre la pa re d ena punto A 2) La tension del cable en su punto mas bajo O. 3) Laecuac ion de l a fo rma (cu rva) que adop ta e l cab le .

31. Si la re siste nc ia que opone el ai re a l rnovimi ento de una gotat ie lluvia en su seno es proporcional a la vel oc idad con que se mueveR = kv) demost ra r que adqui ere una veloc idad l im it e y cal cu la r su va-JOr (DATOS: k: constante de proporcionalidad, M: masa de le gota yg: aceleraci6n de la gravedad).

32. 1 ) De una goma e la st ic a de long it ud natur al ( si na l argamiento)i o l= 10 em se cuelga una partfcula de masa m = 0,5 kg; s i l a t en sionde est a, a ctuando sab re l a par tfcul a, e s p ropo rc iona l a su a la rgamiento yXl constante de proporcionalidad es k1 = 1 N/cm; determinar la dis tan-cia conta da de sde e l punto de suspension de la goma hasta la posici 6nenque m se encuent ra en equ il ibr ia . 2 ) A la goma del apa rt ado ant eri or,!e unimos otra de 1 02 ~ 20 cm y k2 ~ 2 N/cm y Iecolgamos al s is tema aSIiormado (las dos gomas en se rie ) la misma masa m; lc uru sera a hora ladis tancia pedida en el apartado 1? (Suponemos l as gomas de masa des -p reci ab le Ir en te amy e lvalor de 9 ~ 10 N/kg).

33. 5e coloca una goma elast ica, de masa despreciable, a lrededor del ila esfera homcqenea de radio r, que ti ene una gufa a 10 l argo de su c ir-runfer enci a maxima a ju st andose a e ll a s in p re sion ; l a colgamos de unpun to 0 como se ind ica en l aF ig. S i en e l equi li br io l agoma fo rma con l avertical un angulo e y su tension es proporcional al alargamiento, siendo kfa constante de proporcionalidad, determinar la masa de la Sfera. (Des-preciar los rozamientos entre Ia gufa y la goma).

34. En el centro de un cuadrado rfgido ABCD situado sobre unamesa hori zont al , s e encuent ra una part fcul a que va unida en los vert ic esper cua tro gomas e la st ic es ident ic as , cuya iongi tud natura l (s in e st ir a-mientos) es a = 10 em. Las gomas son t al es que , a l e st ira r, l as t ep sionesque ti ran- de l a par tfcul a son p ropo rc iona ie s a l a long it ud que se a la r-gan, siendo k = 1 N/cm la const an te de p ropo rc iona li dad. Se sue lt a l agoma del pun to C y est ir amos e je rc iendo una fuerza F en la direcci6n de

PROBLEMAS 117

la diagonal AC, como ind icamos en l a F ig ., has ta e l pun to P, quedandoe l s is tema en equi li bri a: s i e l despi azamiento de l a par tf cu lo e s c = 2 em.Determinar el alargamiento total b de las gomas AO y OC y la fuerza F.

Problema V-33.

Problema V34.

35. Determinar la tension de cada cuerda de la Fig. siendo P = 1000 kp, ABCD cuadrado de lade 1 m y 1 m la longitud de cada una delas cuerdas (AO ~BO ~CO~DO).

~17 - - - - - - - -;C1\ 1/

/ /1

Im , II/ /1

I 1/

Problema V-3S. Problema V-36.

36. Una bola de 150 kg de masa, esta e n equilibrio suj eta da par

dos cables OA y 08 a una pared vertical, y s eparada de e ll a por e fectode la fuerza F pe rpendic ular a la pared como se i ndi ca en la Fig. De ter-minar l as t ensiones de los cabl es y l a fue rza F.

B) MOMENTa LINEAL. SEGUNDA Y TERCERA LEYDE NEWTON

37. Calc ular e l momenta l inea l de la Tie rra e n su orbi ta fSlJ'IDdel centro del Sol como sistema fijo [inercial). (Masa de la T~5,98 x 10 24 kg; d is tanc ia p romedio a l Sol : 1 ,496 x 10' krn; periodc ""revoluci6n: 365,26 d).


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118 FUERZA Y MASA. LAS TRES LEYES DE NEWTON. ESTAnCA DE LA PARTiCULA

38. Ca lcula r e lmomenta l inea l de un proyec til que pesa 10 kg y selanza can una velocidad de 100 mis, formando un engulo de 45 can lahor izonta l: 1) En el punta mas el evado de su tr ayeelori a. 2) En el puntaen que al canza de nuevo la hori zontal. 3) A los 10 s del lanzarniento. 4)Cual es la variacion total del momenta l ineal del proyeel il desde su lan-zamiento hasta que alcanza de nuevo la horizontal.

39. Calcular el momenta lineal de un cache que pesa 1 t y quemarcha a una velocidad de 108 km/h. Si frena bruscamente, perandoseen 80 m, Gcuanto vale la fuerza de frenado?

40. Un carnian de 30 t de masa moviendose en una carretera hori-zontal pasa de lavelocidad de 30 km/h a 50 km/h en 2 min. Calcular lafuerza adicional ejercida por el motor supuesta constante en tal intervalede tiempo.

41. La rapidez de un rnovil var ia uni formemente desde 5 ml s hasta9 m/s en 2 s. Si 1a fue rza constante que produce esta var iaci6n va le 20kp, calcular: 1) Velocidad media en dicho intervalo de t iempo. 2) Masade m6vil expresada en kg.

42. EI momenta lineal que posee una particula de masa 20 kg esde 100 N .s , se I e aplica una fuerza constanle de 50 N en sentido can-t ra rio a su movimiento. Determiner: 1) Tiempo que tarda en pararse .2) Tiempo que lardaria una particula de 15 kg, que l iene la misma velo-cidad en llegar al reposo.

43. Sabre una c inta t ranspor tadora cae tri go a razon de 600 kg/mindesde una tol va en re pos e. La ci nta s e mueve con una vel oc iad d e 0,5

ml s (ver F ig. ). Ca lcul ar l a fuerza F sabre la c inla que hace que la veloc i-dad del sistema permanezca constante.

v=cte I

su va = 3i + 4j mis, calcular: 1) Las ecuaciones horarias del movimien-to. 2) E1momento l ineal a los 3 s de iniciado e1movimiento.

51. A una partfcu1a que inicialmente se encuentra en reposo y en elorigen de un sist ema de coordenadas, se Ie apl ica una fue rza F (2, 1,-3) N; despues de 4 s de inic iado el movimienlo l a posic ion viene dadapor r (x, 4, z} m. Dete rmina r l a masa de la pa rt fcula y sus coordenadasx, z,

52. Se deja caer Iibremente un cuerpo de 10 g de masa. Supuestanula la re sis tenc ia de l a ir e, y cuando su ve loc idad es v = 20 mis, se Ieopone una fuerza que de liene su caida a l cabo de 4 s. 1) LCua!debe seresa fuerza? 2) i ,Que espacio habra recorrido hasta el momenta de opo-nerse la fuerza? 3) GQue espacio total habra recorrido hasla el momen-to de detenerse?

53. Una esfer it a es ta ensa rt ada en una cue rda l isa que a su vezestaatada a 1aparte superior A de un aro de radio R, colocado verticalmen-Ie, y a otro punta cualquiera B de e l (ve r f igural. Demost ra r que el t iem-po que tarda la esfera en deslizar desde A hasta B es el mismo cualquie-r a que sea este ultimo punto.

Problema V-47.

1 ',A

Problema V-53.

54. Los cuerpos caen sobre l aTie rra , a tr afdos por e lla , con un mo-vimiento acelerado. Si nos suponemos en e l inte rior de una capsula enforma de esfera metal ica hueca, cayendo hacia la Tierra {verf igura], al

volcar un vasa de agua, esta no caerfa. iPodrfamos pasear cabeza arr ibaa cabeza aba jo, si, pa r propul sion, la capsula sube a gran velocidad y,cesando 1apropulsi6n, s igue subiendo durante cierto t iempo, debido a lavelocidad adquirida?

55. La vida de un hombre comienza a pe ligrar cuando sabre el ac-tuan fuerzas mayores que 8 veces su peso. Determinar la aceleraci6nmaxima que se Iepuede da r a una nave espacial , en la sp roximidades ala superil ic ie terrestre (g~ 9,8 mls') sin que se ponga en pe ligro la vidade los astronautas.

56. Un hilo liene una resislencia a le rupture de 0,5 kp. Colgamosde el un cuerpo de 300 g. Calcular la aceieracion vertical hacia arr ibaque hay que dar al s istema pa ra que e l hi la se rompa .

57. Sabre una mesa horizonta l sin razonamiento se t ienen dos pe -quefios cuerpos de masa M = 20 g, unidos por un hilo liqe ro de longi-tud I ~ 1 m. Si se lira del centro del hila can una fuerza F ~ 1 N, per-pendicular a el, calcular la velocidad relat iva de ambos cuerpos cuandochoquen.

58. Una bala de 2 g de masa larda 10- 3 s en recorrer el canon deun fusil . La fuerza que actua sobre el proyect il mientras se encuentra en

el canon es de F ~ 500 - 2 x 10' t, escrila en el SI.Calcular la velocidadcan que sale la bala de la boca del canon.59. Un ace le r6metro es un aparato consis tent e en un pendulo (es-

ferita que cueIga en e1 e xtrema de un hila muy fino y eI otro extremosujeto a un punto 0) que puede desplazarse sobre un cfrculo graduado(ver Fiq. ), que nos proporc iona e l anqulo que forma e l hila can la ver ti-cal . Si 10colocamos en un vehfculo con elpunto 0 sol idario en un pun-10 de el (el techo, par ejemplo) y nos marca un angulo de 27, delermi-nar la aceleraci6n del vehfculo en los tres casas siguientes: 1) El movi-mien to es en un te rr eno hor izontaL 2} EIvehfculo desciende por unapendienle del 10%. 3) EI vehiculo asciende par una pendiente del10%.

Problema V-43. Problema V44.

44. AI extrema de una cuerda flexible, hornoqenea y de seccionconstante que se encuentra api lada en e1suelo, Ie apl icamos una fuerzavariable capaz de elevarla con velocidad constante v, como se indica enla figura . Calcula r d icha fuerza en func ion de la a ltura de l extr emo de lacuerda sabre el suela.

45. Un globo can todos sus accesorios pesa 200 kg y desciendecon una aceleraci6n 10 veces menor que la de la gravedad. Ca lcula r lamasa de la str e que t iene que lenza rse pa ra que asc ienda con la mismaaceleraci6n.

46. A una particula de masa ml una fuerza Iecomunica una ace-leraci6n a1 = 2 m/52; si se aplica la misma fuerza a otra particula demasa m2, entonces la aceleraci6n producida es a2 = 4 rn/s 2 . Calcular laaceleraci6n que provocarfa la misma fuerza a las dos masas unidas.

47. Sobre un cuerpo actuan las fuerzas indicadas en la figura. SiFJ ~ 2 kp, F 2 ~4 kp Y F 3 ~6 kp y le masa del cuerpo es de 1 kg, calcularla aceleraci6n del cuerpo.

48. AI actuar una fuerza de' 10 N sabre una pa rticula I e produceuna aceleraci6n a1 = 2 m/s2. AI ac tua r ot ra fue rza F2 sobre la mismapa rticula la ecel er ecion que Iep roduce es Q2 = 3 mls'. CaIcula r: 1) EI

valor de F2. 2) La acel er ac ion de la pe rti cul a si F J y F 2 actuan simulta-neamente en la misma direcci6n. 3) Lo mismo que en 2) pero si el an-qulo que forman las fuerzas es 60.

49. Sobre una pa rlfcula de 1kg de masa actuan simultaneamentelas fuerzas: F J = i -3j +6k N, F2~2i +6j-4k Ny F3~-2i -2j + k N.Calcular: 1) La aceleracion de la particula. 2) La fuerza que hay queafiadir para que la particula este en reposo. 3} La fuerza que hay queariadir para que la particula se mueva can una aceleraci6na" = 3i -2j + k mls'.

50. Sabre una masa puntual de 500 g que se mueve en el planoOXY actuan simultaneamente las fuerzas F, ~ 3 i + 5j N Y F2 ~ -i - 3jN. Si la masa se encuentr a inici almente en e l or igen de coordenadas y


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60. Un montacargas posee una velocidad de regimen, tanto en elescenso como en e l descenso, de 4 mis, tardando 1 5 en adquirirla a1zrrancar 0 en de terne rse del todo en la sparadas . Se ca rga un farda dej_'"(J kg y se sabe, ademas, que la caja del montacargas, con todos suseccesorlos, tiene una masa de 1 200 kg. Celculense: 1) Fuerza que ejer-. : : 2 ! ' 1 3 .el fardo sabre el suelo del montacargas durante e1arranque paraascender. 2) fd. , Id. , durante el ascenso a 1avelocidad de regimen. 3)L... Id., en el momento de detenerse 4) Tension de los cables del mon--acargas en e1caso 1. 5) Id. , Id., en el instante en que e1montacargas-...da su descenso vade.

61. Tiramos del ext rema de una cuerda homoqenea, de seccionccostante y de iongitud L, con una fuerzaF mayor que su peso en direc-=at verticaly hacia arriba (verFig.). Hallar lafuerza can que una parte deQ"".gitud , contada a partir del otro extremo, actua sabre leotra.

Problema V-6L Problema V-63.

62. Sobre un ~Iano inclinado 30 con respecto a la horizontal se:::J()ca un objeto para que baje deshzandose. Si no existen rozamientos~ e lobje to y e lp lano, det ermfnese la acel er ec ion de ba jada de este .

63. Determinar el angulo can la horizontal que tenemos que darle.:._n plano inclinado de base fija (b en laFig.) para que un objeto 10 re-.:a-:a sin rozamiento en un tiempo minimo.

64. Un bloque de masa Ml que se encuentra sabre una mesa hori-::=:;::aI, sin rozamiento, se une mediante una cuerda horizontal que pasaxr una polea de masa despreciable, colocada en elborde de lamesa, a.s: b!oque suspendido de masa M 2 . 1) Leua! es la aceleraclcn del siste--.z? 2) LCuanto vale la tensi6n de Ia cuerda?

65. En el sistema representado en la Fig. M, ~ 200 kg y_ = 500 kg, despreciamos los rozamientos en el plano y en las poleas:..z consideramos de masa despreciable. Calcular la aceleracion de los':'IDqUesy la tension de las cuerdas.

66. En elextremo superior de un plano inclinado 30 sobre la hori-. : : : : :r: :alhay una polea (que supondremos de masa despreciable) par cuya~ta pasa un cordon; uno de los dos ramales de este cordon caee rccalmente y sosti ene a tado a un extr ema un peso de 220 g; el otro. :r :.on se mantiene paralelo alplano inclinado y tiene atado a un extre--r-c una masa m que desliza sin rozamiento. Sise deja en l ibertad elsis-E::".a.. el primer cuerpo cae verticalmente, recorriendo 1 m en 2 s. Se~ 1) Calcular elvalor de m. 2}Calcular e1valor de latension en los~ tamales. 3) Si en vez de caer, sube verticalmente recorriendo el-cscnc espacio en el mismo tiempo, ccomo varfan los resul tados de los=as apartados anteriores?

67. Ca lcula r la acele rac i6n con que ha de subir un a tl eta de masapor un tabl6n de masa M2 apoyado sabre un plano inclinado un an-

PROBLEMAS 119

gule o, para que el tabl6n permanezca inmovil (ver figural. Entre el ta-blon y el plano inclinado no existe rozamiento. iQue espacio recorrio elatleta, si su velocidad inicial era va , hasta el momenta en que se pa re?


68. Enel sis tema representado en la Fig., labarra de masa M .l estaobligada a moverse, sin rozamiento apreciable, en direccion vertical y suextrema inferior toca al prisma lisa (el rozamiento entre los planes decontacto es despreciable) de masa M2 . Determinar las aceleraciones dela barra y del prisma.


69. La Fig. nos representa una se rie de bloques todos igua le s demasa total M, se encuentran sobre un plano horizontal l isa, y que com-pletan una longitud L. Se les aplica una fuerza horizontal constante F ylos bloques, partiendo del reposo, comienzan a caer. Si el rozemientoentre los bloques y el plano es despreciable; determinar la velocidad delos bloques que quedan sobre e l pl ano cuando han caido la mi tad deelias.

70. Par la ga rganta de una polea de masa despreciabl e, que gir asin rozamiento alrededor de su eje horizontal, pasa un hilode masa des-preciable, cuyos extremos sostienen dos pesos, P l y P2 ' I} En una pr i-mera expe rienc ia los dos rama les de l hilo son ver ti ca le s, val iendoPI = 539 gp y P 2 = 441 gp. Desprec iando la masa de la polea, calcu-lar : a) La aceleraci6n del sis tema. b) EIespacio recorrido al cabo de lostres primeros segundos. c) La velocidad adquirida al cabo de esos 3 s.2) En una segunda experiencia elramal que sostiene el peso P 2 es para-lela a lal inea de maxima pendiente de un plano inclinado, 30 sabre lahorizontal, por el que se desliza P2 sin rozamiento. Calcular los valoresque deben tener PI y P2 (cuya suma se mantiene igual que en la expe-riencia anterior, es decir, 980 gp) para que la ve locidad del sist ema alcabo de los tres primeros segundos sea la misma que en la experienciaanterior. Calcular la tension del hila durante el movimiento. 3) En estasegunda experiencia se carta el hila en elinstante en que han transcurri-do los 3 s de iniciarse espontaneemente el movimiento. Calcular 1aposi-cion y Iavelocidad de P 2 a1 cabo de 1,2 s de haberse roto elhilo.

71. Las masas que penden de los extr emos de l cordon ( supuestoinextensible y sin peso) de una maquina de Atwood son 505 9 Y495 g.Calcular lavelocidad con que desciende 1amasa mayor, el haber efec-tuado un recorrido de 1 m (suponemos la polea sin peso).

72. Dos masas igual es, cada una de 1 kg, penden de los extremosde un hilo inextensible y sinpeso que pasa pa r una polea de masa des-preciable. iQue diferencia de altura debe haber entre las dos masas paraque una sobrecarga de 20 9 co locada sobre la mas el evada de lugar aque al cabo de 2 sambas esten a lamisma altura? Stlas masas continu-an movtendose, cque diferencia de altura habra entre elias al cabo de4 s?

73. En los sis temas representados en la f igura los pesos de los ca-bles y poleas son despreciables. P , ~ F ~ J O kp Y P 2 ~ 8 kp. Detemu-nar las aceleraciones de ambos sistemas.


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Problema V-77. Problema V-S5.

cue rpo de masa M, en func ion del t iempo. EI cuerpo posee inicialmentuna velocidad va hacia la derecha. Determinar: 1) El impulso de dichafuerza en el intervalo At. 2 ) E lvalor med ia de F(t) durante el intervalotl.t. 3) La velocidad final del objeto de masa M, si es F(t) l a (mica fue rzaque ectua s abr e el.


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F(t)

Fo

o


92. Una particula de masa m = 1 kg se mueve en el eje OXde for-rna que en e1instante t = 0, es X o " "1 m y Vo= 2 mis, acercandose aO. La pa rt fcula e s repe lida por 0 con una fue rza dada por F = mx (ver? ig. ), s iendo x = Op, y P 1aposici6n en cualquier instante t de su tra-;'ectoria. Determinar: 1) Eltiempo que tarda en pasar por el origen deespacios 0 y lavelocidad en ese momento. 2) Elimpulso sobre lapart i-culaentre los instantes en que x = 0 y xp = -1 m.

93. En una mesa lisa, una masa M esta en repose a distancia [ /4: 'e un clava C a1que esta a tada mediante una cuerda de longi tud ( ,como se muestra en la f igura. Se Ieimprime a M una velocidad V oen di-:2CCi6n perpendi cul ar a 1a q ue f orma incialmente con el cl ava. 1) Calcu-

.ar e1 impulso que la cue rda e je rce sob re M al tensarse. 2) Calcular 1a-selocided de M despues de tensarse la cuerda.

t oProblema V-93. Problema V-94.

C) MAGNITUDES DINAMICAS ANGULARES

94. Dos bloques de masas 2 y 1 kg, unidos entre sf y a un punta f ij o~ describen un movimiento circular con velocidad angular constante de_- rad/s , en un plano horizontal s in rozamiento, como se indica en la Fig.:-ansiderando a las cuerdas inextensibles y sin peso; calcular las tensiones~ cada una de e lla s.

95. En un plano vertical damos vueltas a una cuerda de 1 m de.:ugi tud en cuyo extrema tenernos atado un cuba con agua. i .Que mini-:=a velocidad ttene que tener el cubo para que el agua no se viertaccando esta el cuba can la boca hac ia e l suelo?

96. La TVE coment6 que e lp iloto de un etormula I qu iso proba re.. motor de su bolide en ingravidez, para conseguirlo 1 0 introdujo en el.z-ar tor de un reactor de transporte. Supongamos que vuela a 970 kmlh

z. una alt itud de unos 10 km, en cuyo lugar g:: :;9,8 mil; para conse-~ su propos ito e1avi6n e jecuta un area de ci rcunferenc ia ver ti ca l ta lcrzno se indica en le Fig. i.Cuanto debe valer la variacion del 'angula con_ zempo (I) rp a la que el piloto del avian debe inclinar la direcci6n:2. vuelo pa ra conseguir en el int er io r de l avi6n y en un entorno de la=--~ide Ia condici6n de ingravidez?

97. Supuesta la Tierra esferlca y sin ning(in relieve, calcular Ia velo-

:=ri3rlde un proyectil disparado horizontalmente en las proximidades de.a .ssperficie terrestre, para que se coloque en orbital},es decir, de vuel-'2S. en tome a la Tierra. (Se sup one nula la resistencia de aire'< 0= 6 370 km).98. De un hi la de langitud 50 cm vamas suspendienda pesos cada

: :::mayares, observando que e l hi lo se rompe a l colgar un peso de 1~ Atamos al extr emo de l h ila un peso de 50 g , sujet anda e lo tro extr e-;:0 hacemos girar al s is tema en un plano vertical. Calcular el minima~ro de vueltas par segundo necesarias para que se rompa el hilo ycecermlnar la posicion en que se rompere.

PROBLEMAS 121

X

Problema V-96. Problema V-1OI.

99. EI piloto de un avian se lanza en picado a la veloeidad de400 km/h y termina su descenso descnbiendo, a aquel la velocidad, unareo de circunferencia situado en el plano vertical. 2.Cualsera el rnlnimoradio de esa circunferencia para que laaceleraci6n en elpunto mas bajono exceda de 7 g? i .Cua l sera entonces el peso apa ren te de l avi ado r enelpunta mas baja de la trayectoria?

100. Calculese el anqulo de inclinacion con la horizontal con quetiene que colocar un piloto su avi6n para virar harizontalmente can unradio de 1 km a una veloeidad de 360 km/h.

101. Un pendulo simple consiste en una pequefta bola (una partl -

cula) suspendida de un hila inextensible y sin peso apreciable. En la si-tuacion de 1aFig. se corta la cuerda horizontal; determinar la razon entrela tensi6n Ta de la cuerda del pendulo ante s de cor ta rl a y l a tensi6n Tdde la misma inmediatamente despues de su corte .

102. EIobjeto muy pequeno de la Fig., gira con veloeidad angularcons tan te , y no resba la por la par te int er ior de un cono de semianqulop, encontrandose a una distancia R de l e je de gi ro, y el rozamienta esdespreciable. Determinar elvalor que debe tener la frecuencia del movi-miento circular para que esto ocurra.

103. Hacemos girar a un cuerpo de 5 kg de masa atado a unacuerda de 1 de langitud can una frecuencia de 1 Hz. Calculer la distan-cia desde el punta fi jo a lp lano hori zontal en e lque se mueve e l cuerpocan movimiento circular y la tensi6n T de la cuerda.

104. Una partfeula atada a una euerda de 50 em de longitud giracomo un pendulo conico como muestra la f igura. Calcular el nurnerode vueltas par segundo que tiene que dar para que p ::: ;60

\

\

Problema V-102. Problema V-I04.

105. Una partfcula de masa m, ensartada en un alambre rlgido parel que puede deslizar sin rozamiento, se hace girar alrededor del eje OYcon velocidad angular constants w como se indica en la Fig. Determinarla forma que debe tener el alambre [y = f(x) 1 para que la partieula des-criba circunferencias alrededor del eje OY.

106. Se suelta sin velocidad inicial , un pequefic objeto de masa m,en e lborde de un cuenca semici rcula r de radio R, como se muest ra enla Fig. En un determinado instante se encuentra en P, fannando can lahorizontal un angulo

2 t3 y e = t2 _ 3 t. Determiner eim6dulo de la fuerza resul tante que actua sabre Ia particula cuando hatranscurrido 1 s.


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A) PESO. CENTRO DE GRAVEDAD

1. 1) Calcular el peso en kp de un hombre de 70 kg de masa, que~ encuent ra a una al tura en la que la intens idad de la gravedad es-:; dyn/ g. 2) GCual es e1 v al or de la intensi dad del campo gr avitatorio

::;a:a que e1individuc pese 65 kp?2 . 1 )GCu imto pesarf a un hombre de 70kg en un p lane ta de masa

-edto 10 veces menores que la masa y el radio de 1a T ierra? 2) iYen:t:::: planeta de radio 10 veces menor y masa 100 veces menor que los:E]a TIerra?

3. iA que altura sabre el nivel del mar hebrfa que subir un cuerpo2m que supeso fue ra l ami tad que a ese n ivel ? (R o= 6 37 0 km).

4. iA que altura habra que subir sabre la superficie terrestre parag d isminuya en 2 mls '? (Radio de l a Tier ra Ro = 6 370 km; go =

: = .Bm/s').5. Si la mas a de la Luna es 1/81 la masa de la Tierr a y su radio

~ del de este. iCuai es e1 pe so de un hombre de 70 kg en la superficieczar?

6. Determinar la masa y l a dens idad med ia de l aTie rr a. Rad io t e--esre = 6 370 km; G = 6,67 x 10- 11 N 'm'/ki; go = 9,8 N/kg.

7. La mas a de l S ol e s 3 24 440 ve ce s mayor que la de la Tie rra y su-eco 108 veces mayor que el terrestre . Leual ser ia la altura alcanzada

un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba desde la su-- ie solar, a una velocldad de 720 km/h? LCuantas veces es mayor

_ p es o de un cue rpo en e lSo l que en l aTie rr a? (g o= 9,8 N/kg).8. LEnque punto se equilibran las atracciones que ejercen la Tierra

z . Luna sob re un cue rpo? Dis tanc ia ent re los cen tros de los dos a s-!":'S = 384 400 km. La ma sa de la Tierra es 81 veces mayor que l ade l a.....=..

9. Demostrar que el CG de una superficie triangular y homcqeneai2: encuent ra en e l bancent ro (punto donde se cor tan l as med ianas) .

10. LComo podrfamos det ermi ner l a posicion del CG de la superfi-:2 aomogenea de un cuadrilatero basandonos en el resultado del ejerci-

anterior?11. 1) Determinar laposici6n del centro de masas formado por tres

-':05 mater ia le s A , B , C , de l a mis rna masa, s it uados en l inea r ec ta ,seodo AB ~ 1,y BC = 1, . 2 ) Tre s bol as de 8 , 2 y 2 kg ester, en l inea-eca y separados sus centros unos de otros 1 m y colocadas en elordenacado. Determinar le posicion del centro de rnasas del sistema. 3) Envertices sucesivos A, B, C y D de un cuadrado de l ado 10 em hay 10 -

~das rnasa de 1, 2 , 3 y 4 g respectivamente. Detenninar fa posicioncentro de masas.12. En cada uno de los ver ti ce s de un cubo de a ri st a I cstan localt-

B:aS las masas expresadas en la figura. Determinar las coordenadas del. :z : : : : : rode masas.

z

Problema VI12. Problema VI-14.

13. Tres rnasas puntuales de 2, 3 y 4 kg se encuent ran en A (1,:. 2), B (-2, 1, 0) y C (3, 2, 4) referidos a un sistema de ejes cartesia-

-cs y medidas estas coordenadas en metros. Calcular e 1 vector de posi-.:xlO del centro de masas.

14. Calcular laposici6n del centro de gravedad de lasuperf ic ie pla-2. representada en la figura.

15. Determinar la posicion de! CM de Iasuperficie plana y homoqe--ea de la figure.

16. Tenemos un alambre hornoqeneo con el que hemos construido. :: objeto de la forma de la f igura. (Vari llade longi tud L y radio del aro

PROBLEMAS 135

PROBLEMAS

igual a R). Hallar la relaci6n que debe exist ir entre R y L para que elcentro de gravedad del s is tema sea G.

Problema VIIS. Problema VI-16.

17. Hallar la leyque relaciona lasalturas Lj y Lz y los radios R 1 YRzde loscilindros macizos y hornoqeneos de laf igura,para que elcentro degravedad del sistema sea G (centro comun de lascaras de contacto).

y

z

Problema VI17. Problema VI22.

18. CaJcular la posicion del ce ntro de ma sa de un area de circunfe-rencia de amplitud 2a y radio R.

19. Calcular la posici6n del centro de masa de un sector circulardeamplitud 2a y radio R. Hacer apl icaci6n del resui tado para ca1cular lapos ic i6n del cent ro de masa para un sernicfrculo.

20. Calcular la posicion del centro de gravedad de una semiesferade radio R.

21. Deterrnina r l a pos ic i6n de l cen tro de g ravedad de un cono 0pirarnide rectos y homoqeneos.

22. Un recipiente de forma cilfndrica de 30 em de a lt ura y que pesaen vaclo 0,2 kg (ver Fig.) se Ilena totalmente con 1 kgde liquido; en es-tas condiciones el centro de gravedad esta situado en el centro del cilin-dro. A medida que vaciamos el recipiente el centro de gravedad se des-plaza hacia a ba jo y una ve z va do se e ncue ntra de nuevo en l a mita d.iCual e s l a a lt ur a del lfquido pa ra l a que e l c entro de graveda d se e n-cuentra en elpunto mas bajo?

B) ROZAMIENTO ESTATICO Y DINAMICO

23. Un cue rpo de 10 kg de masa est a apoyado en una superf ic iehorizontal. El valor de la fuerza maxima de rozamiento estattco es de18 N, y la fuerza de rozamiento dinarnico es de 15 N. Le apl icarnos unafuerza horizontal inicialmente nula y que aumenta can el t iempo a raz6nconstante de 1 N/s. Determinar: 1) La fuerza de rozamiento sabre elbloque a los 10 s de comenza r a actua r. 2) Momen ta en que e l cue rpo

comienza a moverse. 3) Aceleraci6n del cuerpo inmediatamente des-pues de iniciado el movimiento. 4) La aceleraci6n del cuerpo 4 s des-pues de iniciado el rnovimiento.

24. Ca1cular la fuerza necesaria para arrastrar, con velocidad cons-tante por elsuelo horizontal, un bloque de 100 kg, sisu coeficiente dina-mica de rozamiento es 0,25.

25. Queremos arrastrar par el suelo horizontal un bloque de100 kg can mov imiento uni fo rme; para e ll a Ie a tamos una cue rda y ti-


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PESO. ROZAMIENTO. OSCILACIONES

ramos de ella formando un angulo de 30" con elsuelo. Calcular la fuer-z a n e ce s ar ia . El coeficiente dinamico de ro za mie nto e ntre el s ue lo y elbloque vale 0,3.

26. Un bloque de masa M, se encuentr a sobre una mesa hori zon-

tal, se u ne m edia nte u na c ue rd a h orizon ta l q ue pasa po r u na p ole a lig e-ra colocada en el borde de la mesa, a un bloque suspendido de masaMz. D e te rm in ar e l c oe fi ci en te dinarnico d e ro za mie nto e ntre el b lo que yla m esa cuanda el sistem a se m ueve con m ovim iento uniform e.

27 . Sobre un table ro de made ra hor izonta l colocamos un cue rpotarnbien de madera. Vamos inclinando el tablero y cuando forma un an-gulo de 20" con la horizontal, e l cuerpo se desliza con movimienlo uni-forme. Calcul ar e l coe fici enl e dinamico de rozamienlo de la made racontra la madera.

28 . En e l ext remo supe rior de un plano incllnado 'P sobre la hori-zontal, hay una polea l igera por cuya garganta pasa un cord6n; uno delos ramales de ese cord6n se mantiene paralelo aI plano inclinado y tie-ne atada a 5U extrema una masa M que sube con movimiento uniformea 10 largo del plano. Si el cceficienle dinamico de rozamienlo entre elcuerpo y el plano es I', determinar la masa del cuerpo que colqado delotro extremo del cord6n cae verticalmenle a esa velocidad constante, yhace subir por el plano a lde masa M.

29. Se quie re subi r un cue rpo por un plano inclinado un angulo de30". 8 ceficienle dinamico de rozamienlo entre Ia superficie del planoy elm6vil es 0,3. 8 eso del cuerpo es 10 kg. Calcu1ar: 1)Fuerza para-lela aI plano necesaria para subirlo con movimienlo uniforme. 2) Fuerzah o ri zo n ta l n e ce sa ri a para s ub irlo c on m ov im ie nt o u nif or me .

30. Calcu1ar la fuerza F necesaria para subir un cuerpo por un pIa-no inclinado (figural. con movimienlo uniforme en funci6n de a, {J,M y# s iendo M la masa de l cue rpo Y I' el coeflciente dinamico de rozamien-10 entre elcuerpo y elplano.

31. Sobre un plano inc linado un angulo 'P, se tiene un cuerpo demasa. M j que esta unido, mediante una cuerda que pasa por una poleal ige ra , con otro cuerpo de masa M, apoyado en un plano de angulo 'P,(ver Fig.). Calcular el coeficienle de rozamienlo dinamico entre los cuer-pos y los pianos (supueslo el mismo) si el s is tema 50 mueve con movi-mi en t o u n if o rme .

Problema VI-30 Problema V1-31.

32. Calcular la fuerza mfnima posible que tiene que hacer unhombre a rr aslr ando un cue rpo de 100 kg de masa por un ter reno hor i-z on ta l s i e l c oe fi ci en te dinamico de rozamiento entre el cuerpo y el te-

rreno es 0,5.33. Un cuerpo de 10 kg 50 encuentra sobre una superficie horizon-

tal; si el cceficiente de rozamiento estatico entre ambos es 0,3 y eldina-mico es 0,2, calcular: 1) Valor de la fuerza de rozamienlo si acluamossobre el cue rpo con una fue rza hor izonta l de 1 kp. 2) Va lor de l a fuerzaminima para la que 50 inicia el movimiento. 3) Valor de la fuerza mfni-rn a c ap az d e m an te ne r a l cu erp o c on m ov im ie nto re ctilfn eo y uniforme.4) Valor de la fuerza de rozamienlo siacluarnos sobre elcuerpo con unafuerza horizontal de 5 kp.

34. Un cami6n transporta un cuerpo sobre su plataforma; siel coe-f lciente de rozamiento estat ico entre el cuerpo y la plataforma de Irans-porte es 0,3. Delerminar la aceleraci6n que puede darse aI cami6n sinque el bloque deslize sobre su plataforma.

35. Ca lcula r l a fue rza hor izonta l minima con que hay que apreta run bloque de 1 kg contr a la pared ve rt ica l pa ra que este no 50 caiga. 8cceficienle estatico de rozameinlo entre pared y bloque vale 0,5.

36. Un bloque de 100 kg 50 encuentra sobre un plano inclinado45; siel cceficienle estat ico de rozamiento entre elbloque y elplano es0,3, calcular: 1) Fuerza minima paralela aI plano incllnado capaz de

mantener aI bloque en repose. 2) Fuerza minima horizontal capazmantener aI bloque en reposo.

37. Un cuerpo de masa M 50 encuenlra en repose sobre unincllnado un angulo 'P respecto de la horizontal. Si el cceficienlede rozamienlo entre el cuerpo y el plano es 1'. Calcu1ar: 1) Lam in im a p ar aJ el a al p la no n ec es ar ia p ar a q ue e l c ue rp o c om ie nc epor el plano. 2) La fuerza minima paralela aI plano necesariael cuerpo comience a moverse hacia abajo sobre elplano. 3) Lam Inim a horizontal para que el cuerpo com ience a ascender JX)r el

no. 4) La fuerza minima horizontal para que eI cuerpo comience acender por el plano.

38. AIp lano sobre e lque 50 articula la guia deldota de un dispositive que permile variar su incllnaci6n Yhorizontal como 50 mueslra en la figura. Los coeficientes deestat ico y dinamico del cube con elbrazo AB son 1'01 = 5/4 ycon el brazo BC 1'., = 5.f3/12 y 1', = 1313. 1) ParaY> 0, calcular el valor del angulo a, pa ra que la s fuerzasmiento estatico rnaximas del cubo con ambos brazos sean2) Con a =a" calcular la maxima incJinaci6n Y oque se puedeque el cube empiece a deslizar. 3) S ie l cubo desli za , Gcua tes 01del angulo a, para el que el rozamienlo total es maximo?a = a " l cua t es el angulo y necesario para que el cube cescie .. .. .velocidad constante?

Problema V1-38.

39. Entre que valores puede estar M, para que el sis tema degura este en equil ibrio. Datos: M, = 100 kg; I'. = 0,25; 'P =30", la sle as t ie ne n m as a y rozamientos desprec iab les.

40. En Ia figura 50 tiene M, = 1 0 kg y M, = 20 kg. 8esta tico de rozamienlo ent re M, y M, y ent re M, y el plano inclinadol_e lmismo e igual a 0,20. Calcu1arel maximo valor del angulo 'Pble con el repose del sistema.

41. En la f igura se tiene : M,=20kg, M,=lOkg, 'P=37",do I'., = 0,25 el coeficiente de rozamiento estatico entre1'" = 0,20 el correspondiente entre M, y el plano horizontal.maximo valor que puede tomar F sin sacar aI sistema del repose.

42 . Colocamos una cuerda f lexibl ede 1 m de longitud s ob r emesa de tal forma que pa rt e de ell acuelga por un extr emo (ve rel coeficienle estatico de rozamienlo enlre lamesa y lacuerda escular 1; 1maxima longitud de cuerda que puede colgar sin que

43. Un bloque de 100 kg de peso 50 arrastra por unarizontal por la acci6n de una fuerza tambien horizontal de 100 kp .coeficienle dinartuco de rozamiento entre el bloque y Ia superficie0,25, calcu1ar Ia aceleraci6n que adquiere, su velocidad aI cabo1 min y elespacio recorrido en tal t iempo.

Problema V1-40.

44. Un coche parle del reposo y alcanza una velocidad144 km/h; suponiendo constanle la fuerza que 50 opone aIe igua l a 1 kp por cada 100 kg, ca lcula r e l t iempo que tarda ental veJocidad si Ia fuerza ejercida por el molor es de 0,08 veces eIdel coche.


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Problema VI-42. Problema VI-54.

45 . Un automovil que se mueve po r una car re te ra hori zont al a l av e I o c i d a dde 72 km/h frena un instante determinado, dejando las ruedasi r n 6 v i 1 e s .Si elcoeficiente de rozamiento entre las ruedas del coche y laor re te raes 0,4, determinese el espacio recorrido por el autornovil hasta"" sedetiene.

46. Calcular la aceleracion a de un bloque de masa M que se.,-astra p ar u na s up erficie h orizo ntal p or la accion de una fuerza F quebma unomgulo'" con la dlreccidn del movimiento (con la horizontal) ,iendo# elcoeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie.

47 . Unbloque de h ie rro de 7 kg de peso e s arra strado sobre uname s ahorizontalde madera por la acc ion de un peso de 2 kg que c ue lgawrt icaImentee una cuerda unida al b loque de h ie rro y que pasa poran a poIealigera. EI coeficiente de rozamiento entre el hierro y la mesa 0 ,1 5 .Hallarla aceleracion del bloque y l a t en si6n de l a cue rda.

4 8. U n co nv oy m in ero esta com puesto de n vagonetas cargadas"",distintacarga y totalizando masas M" M" M3 , ... , Mo ' Las ruedas e s-lin aga rrot adas ,de modo que no pueden g ir ar, y cuando e l s is tema seDJeVed es li za n a 1 0 l ar go d el c ar rH ; e l c oe fi ci en te dinamico de rozamien -

tDen t r ela s r uedas y los carni es e s 1- ' . 1) Determinar la fuerza cap a z deI I l O ' J e I 'e l s is tema c an mov im i en t o unitorrne y h al la r l a e xp re si 6n generald e ~tensionde los enganches para cualquier vaqon. 2 ) S i t ir amos conIN fue rzadada, T " mayor que la anteriormente caiculada, determinar~acel eraci6ne l s i st ema y la exp re sion genera l de l a t ension de los en-,m , e spara cua!quier vaqon,

Problema IV-48.

4 9. I re scuerpos de masa M ~ 5 kg estan unidos e ntre si por dosm e r d a sque pueden soportar una tension maxima T ~20 N. Los cuer-ID s e en cu en tr an s ab re u na s up er fi ci e h or iz on ta l y lo s c oef icie nt es d eaamientoson: 1 - ', ~0,3, 1 - '2 ~0,2, 1 - '3 ~0,1. 1) Si aplicamos al cuerpoIllsunafuena F que aumen tamos l en tamente, i .que cue rda se rompe y"'"que fuerzaminima ocurrire? 2) i .eua l e s l a r espues ta s i s e apl ic a FI l cue tpOuno?

SO .Sobre un plano inclinado 30" c on respec to a la horiz ontal sem I o c auncuerpo de 100 9 de masa cuyo coeficien te dinamico de roza-

lienlooonel plano es 0,4, calcular: 1) La fue rza que p rovoca e l des li -arnienlo. 2) La aceleraci6n del cuerpo. 3) La velocidad a los 5 s de ini-c i I doelmovimiento. 4) EI espacio recorrido en tal t iempo.

5 1 .Tenemosun plano inclinado 40" sobre la horizontal cuya longi-ut es J m. En la parte mas alt a abandonamos un obj eto prismati coJ I I i Iquebaj edesl iz andose . 1 ) Dibuj ense en un d iagrama c1a ramenteIx Iasla sfuenas que actUan sobre el bloque que se desliza . 2) Sabiendo"" elooeficienlede rozamiento es 0,5, i nd iquese s i des li za re . 3 ) Su-

puestoeldeslizamiento, calculese para e l bloque la eceleracion de baja-d B, ~Hempoque invertira e n la misma y l a v el oc idad con que lIe ga aI fi-"" delplanoinclinado.

52. Colocamos una moneda sob re una reg ia y l evant amos est a u lt i-m a!JlI(luaimente. Cuando el angulo de indinacion e s 25" la mone daCI l I I l i enzaa des li za r, observando que reco rre l a regi a (8 0 em) en 1,4 s.c . I cu I a rloscoeficientes estat ico y dinarnico de rozamiento entre la mo-I I I day Ia regia.

53. Un c oche que pesa 1 500 kg de seie nde una pendie nte del 5%.. q ue f un do ne e l motor, E I co nj uo to d e las r es ist en cias p asiv as que se

cponen I movimiento viene dado por la formula R ~ 0,6rJ en el 51 ,

PROBLEMAS 137

siendo u la velocidad. Demostrar que alcanza una veloeidad l imite y cal-c uJ ar s u v al or .

54. En el sistema represe ntado en la figura los cuerpos M, y M, es-tan unidos por una cuerda C, y lo s c oe fi cie nt es d e r oz am ie nt o e nt re es-

tos y e l p lano inc linado son fil Y 112' Determinar la condicion que tiene

que cumpli r e l angulo de l pla no i nc lina do pa ra que los dos baje n conu na a ce le ra ci6n ay calcular esta.

55. Sobre un t able ro de madera hori zontal se coloc an dos c uerposA y B de masas M, y M2 Ycuyos coeficientes de rozamiento con la ma-dera son 1', Y 1- ' , .Vamos levantando el tablero poco a poc o, de formaqu e I{ J crece com o se indica en la figura. Si c on sid er am os ig ua le s lo s c o-eficientes de rozamiento estatico y dinarnico, calcular: 1) La condicionneeesar ia par a que e l cue rpo A se mueva antes que el B. 2 ) La condi -c ion necesari a par a que los cue rpos des li cen, a l a vez , j un to s. 3) Si secumple l a segunda condi cion , i .que valor debe t ener ' " para que e l s is te -ma AB desliee con movimiento uniforme? 4) i.eu"l sera el valor de laaceleraci6 n del m ovim iento cuando se incline el plano con un angulo !p'.

mayor que e l '" del apa rt ado ant eri or ?56. 1) Por la pendiente de una montana nevada que forma un a n -

gulo '" ~ 30" c on la horizontal, s e des li za un hombre sob re su t ri neo. S iel co eficien te d e ro za mien to en tre e l trin eo y la niev e es p . = 0,4, deter-minar el movimiento del hombre sobre el tr ineo para que este Ultimo

deslice con movimient uniforme. 2) i .eomo vari an los r esul tados de l

apa rt ado ant er io r s i e l < lngu lode l a pendi en te e s IS"? La masa del hom-bre es M, ~ 80 kg y la del trineo M, ~ 40 kg.

57. En el extreme superior de un plano inclinado 30" sobre la hori-zon ta l hay una pol ea (que supond remos de masa y rozamien lo despre-c iabl es ), por euya gargan ta pasa un cord6n . Uno de los rama le s del cor-don sos ti ene un peso de 10 kg, el otro se mantiene pa ra lel o a l pla no in-c1inado y tiene atado en su extremo un cuerpo que pesa 10 kg: e lcoe fi ci en te de rozamien to ent re e l cue rpo y el plano es 0,5. Calcular:1) La aceleraci6n del s is tema. 2) La lensi6n de l a cue rda.

58. En e l s is tema rep re sent ado en l a f igura l as masas de los cab le sy pol ea s son desprec iabl es . S i e l coe fi ci ent e de rozamiento ent re l a su-perflcie inclinada y el cuerpo M, es 1': 1) Determinar las condiciones demovimiento en uno u otro sentido. 2) En el caso en que el sistema semueva can aceleraci6n, calcular e s t a .


59. Sobre un pla no inc linado c uyo angulo e s 30" se tiene un pesode 500 g que esta unido por una cuerda que pasa por una polea (sinine rc ia n i rozamiento) can otro cuerpo de 200 9 en un plano de 6(JD (ver

Fig.). EI coe fi ci en te de rozamiento en ambos pi anos e s de 0,2. Caleular:1) Aceleracion de l con junto. 2 ) Tension de l a eue rda. 3) Espacio reco-rrido por cada peso en 1 s y velocidad adquirida.


60. Un hombre que pesa 70 kg s e lanza encima de una bascula porun p lano inc li nado un angu lo de 60". Sab iendo que e l coe fi ci en te de ro -zamienlo dinarnico entre la bascula y el plano es 0,3, ca lcula r: 1) Laace le racion de ba jada . 2 ) Lo que marca l a bascu la .


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138 PESO. ROZAMIENTO. OSCILACIONES

61. Un bloque de forma de paralepipedo de masa 2M se seccionae n dos mita de s a 10 la rgo de la diagonal de una de la s c ara s y de se cc i6ntriangula r de c ate tos bye (ver Fi g.). 1) Si no hay rozamiento e nt re lasdos mi tade s ni c on e l s ue lo, c alc ular la fuerza horizonta l que hay queap li ca r a l de ar ri ba p ar a que e l c onj unt o s e mueva s in r esbal ar una rni-

ta d sobre la otra , l a a ce lerac i6n del c onj unt o y l a fue rz a que eje rc e unamit ad sobre ot ra . Lo mismo si l a fue rz a se a plica aI de aba jo y d ir ig idahac ia la izquierda . 2 ) S i hay un rozamiento de coeficien te estetico PI en-

t re l as d o s m it ad es p er c n o e n e l s ue lo , c al cu la r l a f ue rz a maxima y mini-ma que se puede aplicar, para que una mitad no resbale sobre la otra.3 ) Los mismo s i hay un rozamiento de coe fi ci en te e st at ico 1'2 con e l sue -1 0 pero no ent re l as dos mit ades .

62. Sabre un plano inclinado, que se mueve con una aceleraci 6n

a> 0, c omo indic a la figura , se encue ntra un obje to prismat ico. Hall ar:1) A partir de que va lor de l angulo de l pla no e l c ue rpo no sube por l a li-nea de maxima pendiente si no existe rozamiento. 2) A partir de quevalor del angulo del plano el cuerpo no baja por la linea de maximapendi en te s i no exi st e rozamiento. 3 ) C6mo se mod ifi can estos r esul ta -dos si el coeficienle de rozamiento es u,

c


63. En el sistema representado en la figura el cable C es de masadespreciable. E1coeficiente de rozamiento entre M, y el plano es 1', yen-tre M, y M2 es 1 '2 ' Considerense iguales los coeficientes estat ico y dina-mico. 1) Determinar la fueza minima que apJicada a M, 10 sa ca delequilibrio. 2) Si c on una fuerza dada F producimos a M, una acelera-c i6n a , cal cu la r e st a. 3 ) Cal cu la r l a t en si6n de l a cue rda .

64. En el sistema represe ntado en la fi gura la s ma sas del c able y del a pol ea son desprec iabl es . S i e l coe fi ci en te de rozamiento ent re e l p lanoy el cuerpo M, eSI '" Yent re M, y M2 eSI 'z (consideramos iguales el co-e fi ci en te e st at ico y d inamico) : 1 )De te rminar l a F min ima apl ic ada a M,capa z de sac ar al si stema del equilibrio. 2) Calc ular l a ac ele ra ci6n dels is tema para una fuerza mayor que la min ima.

65. Una me sa de longitud 21 e sta c ubi erta por un mantel que e nra -sa con e lla en e l borde i zquie rdo (ve r Fig.). S obre ambos y en e l c entrode la me sa hay un va so que present a c on el mant el un coe fic iente de ro-zamiento d inarni co 1 ', Y con l a mesa 1 '2 ' Cal cu la r l a min ima veloc idadcon que se debe desplazar el mantel para que el vaso no caiga al suelo.

21

Problema VI-64. Problema VI-6S.

66. Sobre un cuerpo de masa M , se encuentra otro de masa M2,como se ind ica en l a f igura. S i sobre M , actuamos con una fue rza F y elcoef ic ien te de rozamien to en tr e l as supe r fi ci es e s u, c al cu la r: 1 ) La con-d id6n qu e t ien e que cump li r F para que no exist a movimiento. 2) Lac ondi ci6n pa ra que el cuerpo de masa M2 no desl ice por e l de ma sa M,y todo el s is tema se mueva can movimiento uniformemente acelerado,cal cu lando est a ace le raci6n . 3 ) La condicion para que el cuerpo demasa M2 deslic e sobre e l de ma sa M" cal cu lando l as ace le raciones deambos.

67. Los bloques de l problema ante ri or tie nen a hora masa s M,;;10 kg y Mz; 2 kg, sus coe fic iente s de rozami ento entre ell os y con la

superficie horizontal son 1',; 0,40 Y I'd 0,25, la fuerza F varia del.forma F; 0,4t Neon t en segundos. Calcular la dis tancia existente entre l a p osici6n inic ial de ambos y e l p unt o e n que M2 se para.

37

c :Problema VI-66. Problema VI-68.

68. E1 carret6n de la figura es acelerado hacia la derecha a 2 m/~r especto de l sue lo . Los bloques , de masas m,; 5 kg y mz; 10 kg, t ie -nen un coe fi ci en te de rozamiento con e l car re t6n de 0,2. Calcular la ace-leracion de los bloques respecto del suelo.

69. Un c ue rpo muy pe queno c omienz a a desliz ar por un pl ano in-

c1inado un angulo rp con la horizontal. E1coeficiente de rozamiento de-pende del camino recorr ido segun l a ecuac i6n 1'; kx , donde k es unaconst an te . De te rminar: 1 )E1camino recor ri do has ta que se para . 2 ) L avelocidad maxima alcanzada.


70. Se lanza un cuerpo de masa m por un plano horizontal en unmedio resistente. E1coeficiente dinarnico de r oz ami ent o c on el pl ano es0,01 y la ve loci da d inicia l 2 m/s. S i el roz amie nto con e l medio quod.caracterizado por la expresion F; -kmv, con k; 0,01 (51), determi-nar: 1) EI tiempo que el cuerpo tarda en pararse. 2) La distancia querecorre hasta ese momenta.

71. Un cuerpo de 116 g de masa gira a1rededor del eje de un conode angulo rp; 30", con una veloc idad angular de 6 rpm, c omo se indioca en la figura, en la que 1 = 1 m. Si no existe rozamiento, calcular:1) Tensi6n de la cuerda. 2) La veloc idad angul ar necesari a par a que Iareacci6n del plano sea nula.

72. En el interior de una esfera hueca de radio R, que gira conuna veloc idad const an te de v ( rev/ s), s e hal la una ani ll a muy pequenacomo se ind ica en la f igura; si el coeficiente de rozameinto estatico en-tre ella y la esfera es I' y e l angulo 9 es t ambien conoc ido, det ermina rlos valores maximo y rnlnimo de v par a que l a anilla no se mueva res-pec to de l a e sf er a.

73. Una plata forma gira a Irede dor de un e je a ra z6n de una we lt.por segundo. Colocamos sobre ella un objeto prismatico, s iendo el coefi-c ient e e st at ico de rozamiento ent re l a p la ta forma y e l cue rpo 0,8. Calcu-lar la distancia maxima al eje de giro para la cual el cuerpo gira con Iap la ta fo rma y no es l anzado al exterior.

74. Calc ular la ve loci da d minima que tie ne que tene r e l motorlstaque traba ja e n e l t ubo de la rnue rte (a parato de a tra cc ion de feria querepre sentamos en la figural, para que no se c aiga . Diarnetro de l tube:10m. Coe fi ci en te e st at ico de rozameinto en l as ruedas de l a motoc ic1e tay la pared: 0,5.


10/10

y


75. Un motor is ta toma una curva a 108 km/h . 5abiendo que e l co-efidenteestatico d e r oz am ie nt o e nt re l os neumaticos y l a c ar re te ra e s0 ,3 ,calcular: 1)Radio minima de la curva que pudiera tamar sin peral-fa ry sinder rapa r. 2) Peralte necesar io pa ra que no de rr ape en una cur-vade100m de radio.

76. Un esquimal se ent re ti ene colocando pequenos obje tos sabre"superf icie de un igl6. 5uponiendo que la seccion longitudinal de di-rh a super fi ci e puede e sc ri bi rs e como una parabola de la forma

y=-kx' r especto a los e je s ind icados en la f igura y que e l coe fi ci ent ed erozamiento estatico es ;.t~1 e ua ! es la distancia vertical h maxima res-pectode l apar te super ior a los que la puede coloea r de modo que es -los nodeslicen?

77. Unpeque fio obje to descansa apoyado en el borde ver ti ca l y en,Isuelohorizontal de un cuenca cil indrico de radio 1 m como se indicaen la figura. En t; a se Ie comunica un impu lso ta l que Ie comunicaunavelocidad u. en la direccion tangente al borde. 5i los coeficientes derozamientontre elobjeto, el borde y el suelo son iguales a I ', calcular elnimercdevueltas que da el objeto hasta que se para.

C) DlNAMICA DE LAS OSCILACIONES

78. En e l ext rema de un resor te colgamos diver sos pesos y rnedi-m a s1 3longitud del mismo (ver f igural , obteniendose los siguientes va-!o re s :

I)Representargrruicamente estos valores y escribir la formula que rela-donalospesos can las longitudes del resorte . 2) Escribir la formula querelacionaos pesos can las deformaciones del resorte (Ley de Hooke).3)Aver iguarla longitud de l re sor te cuando colgamos un peso de 12 g .4 1iQuepeso tendremos colgado del resorte cuando su deformacion seade 15mm?

Problema VI-77. Problema IV-78.

79. Un punta material de 40 9 de masa realize un movimiento ar-mOnicaimple, en elextrema de un muelle, de periodo T; 0,32 s. Ca l-cularelvalor de la ampli tud y la constante de recuperacion del resorte ,sabiendoque el valor maximo de la fuerza responsable del movimientov a l e JON .

80. Un cuerpo cuya masa es de 10 0 g posee un movimiento arrno-n i c osimplea 1 0 largo de una linea recta AB de 10 cm de longitud, con

PROBLEMAS 139

x

un per iodo de 2 s. Ca lcula r: 1) La ve loc idad y acele racion en e lpuntamedio de la recta AB. 2) La velocidad y acele racion en el extr ema B.3) La fuerza recupe radora en e lpunta B.

81. En la Figurase representa 12 1posicion en funcion del tiempo deun cuerpo de masa m =. 0,5 kg , q ue r eal iz a una oscilacion arm6nica entome a t a ri gen de coor de nada s. 1 ) E sc ri be l a ecuacion de la velocidadde m en funci6n del t iempo y representala gri lf icamente. 2) Explica quef uer za debe es ta r ac tu ando sobr e m par a pr oduc ir le e st e movimi ent o:

lcomo depende de l t iempo? lV de lapos ic ion de m?

Problema VI-81.

82. Colgamos de dos muelles ideales y verticales dos masas iguales

y de va lor 10 g, l a cons tan te de los mue ll es e s de 1 00 N /m . Separamosde su posicion de equilibrio al primero 10 em y al segundo 20 cm. De -terminer a pa rt ir de l i nst ant e en qu e l as s ol tamos en el mi smo momen to,

l as e cu ac io ne s d e l a f ue rz a qu e acnia sabre las dos masas en cua lquierinstante [F; F(t )] , y el tiempo que tardan en pasar ambos par la posi-cion de equilibria.

83. A un muelle helicoidal se Ie cuelga un cuerpo de 10 kg y sealarga 2 cm. Despues se Ie anaden otros 10 kg y se Ie da un tiron haciaabajo, de modo que el si stema comi enza a oscilar can una ampl itud de

3 cm. Se desea saber: 1) La frecuencia del movimiento. 2) La veloci-dad , la acele rac ion y la fuerza recupe radora a los2 s de habe r empeza-do a oscilar.

84. Sabiendo que los cue rpos caen sobre la t ier ra con movimientouniformemente acelerado (considerando pequenas variaciones de altu-ra ), de termina r la ind icaci6n de una ba lanza de resor te (graduada en lasuperficie de la Tierra) que dejamos caer desde un globo. l levando pen-diente un cuerpo de 10 kg.

85. Un mue lle ideal de constant e k; 500 N/m se encuentra col-gada del techc d e l a ca bi na d e un a sc en so r, qu e pos ee una ve loc id ad de

regimen, t anto en el ascenso como en el descenso de 4 mis, tardando1 5 en adqui ri rl a para arrancar 0 e n de ten er se d el t odo en l as pa ra da s.AI mulle I ecolgamos un cuerpo de 10 kg de masa. Calcul ar : 1) EI a la r-gamiento del muelle durante el arranque para ascender, contado desdela posici6n de equilibria. 2) Id. id. en el momenta de detenerse. 3) Id.ld. e n el momen ta en que i ni ci a e l de sc en so .

86. Sobre un plano inclinado liso que forma un angulo

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