Buena Guía Electromagnetismo

Guía para la resolución de problemas de

ELECTROMAGNETISMO

Problemas resueltos

Guía para la resolución de problemas de

ELECTROMAGNETISMO

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

Problemas resueltos

José Luis Fernández Fernández Universidad de Vigo, España

Mariano Jesús Pérez-Amor Universidad de Vigo, España

© José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor

Esta edición: © Editorial Reverté, S. A., 2012

ISBN: 978-84-291-3062-1

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com

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Impreso en España - Printed in Spain ISBN: 978-84-291-3062-1

Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U. # 1375

Registro bibliográfico (ISBD)

José Luis Fernández Fernández. Guía para la resolución de problemas de electromagnetismo : problemas resueltos / José Luis Fernán-dez Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor. – Barcelona : Reverté, 2012. XI, 465 p. : il. ; 24 cm. Índice.

1. Electromagnetismo. I. Pérez-Amor, Mariano Jesús, coaut. II. Título. 537

DL B-6557-2012. – ISBN 978-84-291-3062-1

Depósito legal: B-6557-2012

Índice de problemas

PROBLEMAS DE ELECTROSTÁTICAEn el vacíoProblema 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Problema 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Problema 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Problema 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Problema 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Problema 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Problema 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Problema 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

En presencia de dieléctricosProblema 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Problema 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 79Problema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 91Problema 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 99Problema 2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . 105Problema 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . 111Problema 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . .119

Energía electrostáticaProblema 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . 125Problema 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . 134Problema 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . .137Problema 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . .150Problema 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . .153Problema 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Conductores en equilibrioProblema 2.23 . . . . . . . . . . . . . . . . 164

PROBLEMAS DE CORRIENTESELÉCTRICAS ESTACIONARIASProblema 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Problema 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Problema 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Problema 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Problema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Problema 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Problema 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Problema 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

PROBLEMAS DE MAGNETOSTÁTICAEn el vacíoProblema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Problema 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Problema 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

En presencia de materiales magnéticosProblema 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Problema 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Problema 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Problema 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 241Problema 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Problema 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

PROBLEMAS DE ONDASELECTROMAGNÉTICASEn medios dieléctricosProblema 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Problema 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Problema 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

En medios conductoresProblema 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Problema 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Problema 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Problema 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

En presencia de fronterasProblema 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Problema 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Problema 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 292Problema 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 299Problema 6.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 303Problema 6.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 307

PROBLEMAS DE CAMPOSCUASIESTACIONARIOSCampos cuasimagnetostáticosen medios conductoresProblema 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Problema 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

vi ÍNDICE DE PROBLEMAS

Problema 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Problema 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Problema 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Problema 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Problema 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

Inducción electromagnéticaen régimen cuasiestacionarioProblema 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Problema 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Problema 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 374Problema 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . . 383Problema 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . 390Problema 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Campos cuasielectrostáticosProblema 7.14 . . . . . . . . . . . . . . . . 405Problema 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . 417Problema 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Circuitos cuasiestacionariosProblema 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . 439Problema 7.18 . . . . . . . . . . . . . . . . 444Problema 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Energía magnéticaProblema 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Prólogo

La presente obra es fruto de una experiencia de más de 30 años en la docencia delelectromagnetismo en diversas titulaciones de ciencias e ingeniería.

Teniendo en cuenta la gran cantidad de libros de electromagnetismo dispo-nibles, cabe preguntarse si es todavía posible aportar algo a la literatura en estecampo. Por este motivo, en lo que sigue argumentaremos las razones que nos mo-vieron a escribirla.

Un análisis somero de la bibliografía en el área nos ha conducido a clasificarlos libros existentes, atendiendo a su nivel de exposición y contenidos, en cuatrocategorías:

a ) los que, sin abordar propiamente los fundamentos del electromagnetismo,tratan leyes eléctricas y magnéticas limitadas a modelos de circuitos, lo quelos hace adecuados a un curso introductorio de física en grados en cienciase ingeniería,

b ) los que tratan los campos electromagnéticos y sus leyes fundamentales (lasecuaciones de Maxwell) con el formalismo del análisis vectorial, pero conun alcance limitado a los casos más básicos en cuanto a regímenes tempo-rales (estático y estacionario sinusoidal) y medios materiales (lineales e isó-tropos), resultando apropiados para cursos intermedios de las mencionadastitulaciones,

c ) los que utilizan modelos de campos electromagnéticos a nivel de posgra-duado (típicamente dan soporte a estudios de master y doctorado) profun-dizando en las relaciones de los campos con las cargas y corrientes, en laradiación y otros aspectos, utilizando herramientas matemáticas a un nivelsuperior (cuadrivectores, variable compleja, transformadas integrales, etc.)y, finalmente,

d ) libros especializados que tratan campos específicos (v.g. radar, antenas, fi-bras ópticas, etc.) y que asumen que el lector dispone ya de una base en lateoría del electromagnetismo.

Especialmente en los pertenecientes a las categorías a ) y b ) es usual encontrarnumerosos ejemplos y problemas propuestos, siendo la tónica dominante que deun pequeño porcentaje de los mismos se incluya una resolución más o menos ex-tensa, mientras que de una considerable fracción solo se incluya la solución final.

viii PRÓLOGO

En estas categorías de libros encontramos también textos específicos de proble-mas resueltos en los que la parte teórica se reduce al mínimo necesario para esta-blecer la notación e incluir las leyes más importantes; siendo de empleo habitualpara el trabajo autónomo de los estudiantes como complemento a los libros detexto, es indudable su capacidad formativa ya que no se conoce bien una teoríamientras no se aplica a la resolución de problemas concretos.

La presente obra tiene ese carácter de “libro de problemas” y está dirigida aquienes han de trabajar el electromagnetismo al nivel b ) mencionado.

A pesar de su vocación marcadamente formativa, es muy habitual que en loslibros de problemas no se dé la debida importancia ni se expliquen con suficientedetalle los primeros pasos del proceso de resolución, es decir, lo que podríamosdenominar el planteamiento y que incluye la elección del modelo y la propuestade hipótesis simplificadoras. Así, frecuentemente se adoptan, sin mayores expli-caciones, proposiciones esenciales para la resolución y que no son evidentes. Estetipo de planteamientos suele ser fuente de frustración para los estudiantes puestoque les transmite la sensación de que se está resolviendo el problema medianteuna idea feliz o apartada de una lógica de procedimiento. También pueden indu-cir a la creencia errónea de que el esfuerzo debe concentrarse principalmente enlas destrezas matemáticas y en la obtención de la solución de ecuaciones y no fo-menta la práctica de detenerse a pensar críticamente en los aspectos físicos de losproblemas.

En la fase de planteamiento se pasa de una situación más o menos real a unmodelo físico-matemático. Esta es, en nuestra opinión, una de las etapas más de-licadas de la resolución, que no es fácilmente reducible a una mera sucesión depasos programables debido, entre otras cosas, a la diversidad de situaciones conque nos podemos encontrar y a la complejidad de los problemas reales. Ello ha-ce que esta fase sea resuelta de una manera artesanal en la que la intervenciónhumana es imprescindible.

Entendemos que es posible desarrollar aptitudes para el planteamiento de pro-blemas mediante ejemplos seleccionados que aporten al lector unos caminos derazonamiento sistemático y que salven la brecha entre los fundamentos teóricosy la aplicación concreta ya que, como no podría ser de otra manera, es en el en-tendimiento de la teoría en lo que se basa el desarrollo de capacidades para suaplicación. Ésta ha sido la motivación fundamental que nos ha animado a escribirla presente obra. En lo que sigue se explican su estructura y aspectos más destaca-bles.

La obra se ha estructurado en dos partes. La primera parte incluye un compen-dio de la teoría electromagnética en el que se catalogan los diferentes conceptosy proposiciones dentro de alguna de las siguientes clases:

PRÓLOGO ix

i ) definiciones,ii ) leyes físicas o matemáticas que relacionan entre sí los conceptos definidos

en i ) y, finalmente,iii ) hipótesis, tanto en la forma de condiciones previas como de proposiciones

cuyo cumplimiento no está demostrado, que delimitan las condiciones devalidez de las definiciones y leyes referidas en i ) y en ii ).

En nuestro campo de aplicación del conocimiento formal consideramos que,a la hora de postular un modelo, es de suma importancia hacer explícitas todas lashipótesis adoptadas con objeto de, por una parte, verificar la adecuación del mo-delo a la situación real y, por otra, tener constancia de sus límites de aplicabilidad.Por ello, hemos puesto un gran cuidado en acompañar las definiciones y leyes delas correspondientes hipótesis bajo las cuales son válidas. Cabe objetar que, en lamayoría de las ocasiones, este trabajo es poco ventajoso, bien porque las condicio-nes de validez son obvias o bien porque ello hace más farragosas las exposiciones,pero nuestra experiencia nos ha animado a hacerlo de esta manera en la creenciade que el sistematismo seguido en la parte teórica dará pautas al lector a la horade enfrentarse a la resolución de los problemas.

Aunque el carácter de esta parte teórica es el propio de un manual, con pocosejemplos ilustrativos y dando prioridad al sistematismo y a la concisión, hemosdado al tema 7 un tratamiento más extenso, incluyendo la descripción de algunoscasos teóricos de interés (v.g., la definición y tipos de campos cuasiestacionarioso el establecimiento, a partir de las leyes de Maxwell bajo la aproximación cua-siestacionaria, de los modelos de circuitos), pues hemos detectado que son temasraramente detallados en la literatura existente y no es fácil encontrar explicitadaslas hipótesis de validez de los mismos.

Hemos puesto también un gran cuidado en que la notación fuese sistemáticae inequívoca. Por ejemplo, las fuentes de los campos electromagnéticos (cargas ycorrientes) se designan genéricamente con una misma letra (ρ para las cargas y Jpara las corrientes) y es en los subíndices en donde se matiza su grado de concen-tración espacial (volumétrica, superficial, lineal) y su naturaleza (libre, de polari-zación, de magnetización, etc.). Por otra parte, siempre indicamos con el símbolodel acento circunflejo las magnitudes complejas empleadas, tanto vectoriales co-mo escalares.

La segunda parte de esta obra es una colección de problemas resueltos. Enella se focaliza la atención del lector en dos aspectos esenciales del proceso deresolución de problemas de electromagnetismo: la utilización de una metodolo-gía de resolución sistemática y el establecimiento de una clara conexión con losfundamentos teóricos. Incluye 73 problemas clasificados en cinco grupos según

x PRÓLOGO

su modelo electromagnético, recorriendo los tipos más representativos de los pro-blemas clásicos de la disciplina. En cada problema se explica con sumo detalle lospasos importantes del planteamiento, qué hipótesis relevantes son de aplicacióny se justifica el modelo electromagnético escogido. También en cada problema seidentifican claramente las expresiones teóricas a aplicar utilizando la misma nu-meración que tienen en el compendio de teoría.

La estructura de cada problema es como sigue:

El tratamiento de cada problema comienza con la fase de planteamiento, quehemos desglosado en dos apartados.

En el primer apartado, “Elección del modelo”, dedicamos un espacio a hacerinventario de las posibles fuentes de los campos y, en función de su dependenciatemporal, establecer a qué modelo electromagnético se ajusta el problema con-creto. Hacemos un análisis teniendo en cuenta qué datos se dan en el enunciadoy cuáles son las magnitudes incógnita y qué ley o conjunto de leyes (que, lógica-mente, pertenecerán al antedicho modelo electromagnético) permiten la resolu-ción del problema.

El segundo apartado, “Búsqueda de posibles simplificaciones”, incluye la re-ducción del número de variables espaciales aplicando razonamientos basados enlas simetrías y en los tamaños relativos (órdenes de magnitud) de las magnitudesque intervienen. También se incluyen en este apartado otros razonamientos quepuedan permitir una simplificación del problema o facilitar su resolución, talescomo la aplicación del principio de superposición.

A continuación de la fase de planteamiento viene la que denominamos “Reso-lución”. Se incluye aquí la escritura de las ecuaciones de los campos, eventualmen-te la de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y la reducción y obtención dela solución del sistema de ecuaciones resultantes. En esta etapa intentamos es-tablecer claramente cuáles son las ecuaciones de partida, pero no insistimos de-masiado en el detalle de los desarrollos matemáticos, dando algunos resultadosintermedios donde pensamos que ello puede facilitar al lector el seguimiento delos cálculos. Además, el empleo exhaustivo de numeración de las expresiones y dela indicación de cuáles se están utilizando en cada paso hace diáfano el proceso.Cuando existen varios caminos posibles de resolución de un problema los indi-camos e, incluso, resolvemos detalladamente algunos problemas por cada uno deesos caminos, lo cual creemos enriquecedor ya que permite al lector su compara-ción.

En una última fase se incluye una “Discusión del resultado” cuando estimamosque aporta ideas o contribuye a desarrollar en el lector herramientas de análisis yhábitos de crítica. Por ejemplo, ocasionalmente se analiza la coherencia dimensio-

PRÓLOGO xi

nal y se verifica si la solución obtenida converge, dando valores extremos a algunosde los parámetros de la solución, a la de casos más simples conocidos.

Como requisitos previos para abordar esta obra con pleno aprovechamiento,es aconsejable que el lector disponga ya de los conocimientos de física del nivela ) mencionado, así como de las herramientas matemáticas propias de un cursobásico de análisis vectorial y de ecuaciones diferenciales.

Quedan fuera del alcance de esta obra los temas que habitualmente se inclu-yen tras el estudio de las ondas en medios semiinfinitos: líneas de transmisión,guías de onda y antenas, así como temas más propios de cursos de física teóricacomo la teoría de la relatividad, el estado sólido, radiación, etc.

En los apéndices se han incluido tablas sobre notaciones, unidades y operado-res matemáticos de uso frecuente. También se incluye una recopilación de todaslas hipótesis empleadas a lo largo de la obra, cada una identificada con una nu-meración que indica la sección de la parte teórica en que fue utilizada por primeravez, seguida del número de orden de aparición dentro de la sección.

Los autores expresan su agradecimiento a los compañeros del Departamentode Física Aplicada de la Universidad de Vigo con los que compartieron la docen-cia del electromagnetismo por sus contribuciones y apoyo para la consecución dela presente obra, especialmente a los profesores José Carlos López Vázquez y Án-gel Manuel Fernández Doval. También agradecen al profesor Virgilio Rodríguez deMiguel sus útiles comentarios sobre la convergencia de las series del Problema 2.8,a D. Jesús del Val García la ejecución de las figuras del Apéndice 4 y a Dña. María J.Villar Alonso la asistencia técnica en la edición del texto. Hacen constar igualmen-te su gratitud al equipo de producción de la Editorial Reverté, S.A. y en particular aD. Julio Bueno y a Mercè Aicart por su exquisito y minucioso trabajo de revisión ymaquetación. Finalmente y de forma especial, agradecen a todos los que han sidosus alumnos a lo largo de estas tres décadas el proporcionarles la razón de ser desu actividad docente así como la oportunidad de realimentarla y el estímulo paramejorarla.

Problemas resueltos

PROBLEMA 2.1

Una carga Q f está repartida uniformemente sobre una media corona circularde radio interior Ri y radio exterior Re. Si el medio que la circunda es el vacío, sepide:

Hallar el campo eléctrico en los puntos del eje de revolución.

Solución

Figura 1

1. Elección del modelo

1.1. Análisis de las fuentes

Por ser el medio el vacío cumple las hipótesis:

H1.5−1 (medio isótropo y lineal) yH1.5−3 (medio homogéneo),

por lo que la permitividad eléctrica ε tiene el mismo valor en todos los puntos delmedio:

2 PROBLEMA 2.1

ε = εo , ∀r del medio [1]

lo cual asegura que no va a existir carga de polarización:

ρp = 0 , ∀t ,∀r del medio [2]

También cumple la hipótesis:

H1.11−1 (medio dieléctrico perfecto),

es decir, su conductividad eléctrica es nula:

σ= 0 , ∀r del medio [3]

lo cual asegura que la distribución de carga libre no va a variar con el tiempo:

∂ ρ f

∂ t= 0 , ∀t ,∀r interior al dominio [4]

1.2. Análisis de las condiciones de contorno

En este problema, por no existir fronteras entre diferentes medios, consideraremosla distribución superficial de carga como interior al dominio, dominio que ocupatodo el espacio. Por ello, las únicas condiciones de contorno aplicables son las deregularidad en el infinito puesto que las fuentes ocupan un dominio finito.

1.3. Identificación del tipo de problema

Como ni las fuentes ρt en el interior del dominio ni las condiciones de contornodependen del tiempo, el problema cumple la hipótesis:

H2.1−3 (problema electrostático).

En este caso, como se conoce el valor de la carga en todos los puntos del espa-cio, podemos abordar la solución del problema mediante la aplicación directa dela ecuación [2-17] o de la [2-18].

El problema se reduce, en ambos casos, al planteamiento directo de una simpleintegral y su consiguiente integración.

2. Búsqueda de posibles simplificaciones

En la resolución de esa integral conviene tener en cuenta las simetrías del proble-ma. En particular, la simetría con respecto al plano z y dado que las proyeccionessobre el eje x de los campos eléctricos debidos a dos elementos diferenciales de

PROBLEMA 2.1 3

carga simétricos con respecto a ese plano se anulan entre sí puesto que tienen elmismo módulo y direcciones contrarias.

3. Resolución

Como la carga libre Q f se reparte uniformemente sobre la superficie de la mediacorona, la densidad superficial de carga ρ f s será:

Q f =�

1

2π�

R2e −R2

i

��ρ f s [5]

Por tanto, teniendo en cuenta el sistema de ejes de coordenadas elegido en laFigura 1, tomamos como elemento diferencial de carga:

d q f =ρ f s r d r dφ [6]

En la misma figura se deduce que el campo eléctrico d E en un punto genéricoP del eje z debido a ese elemento diferencial de carga puede descomponerse, enel plano definido por ese eje z y el vector de posición del elemento diferencial decarga, en sendas componentes según el eje z y paralela al plano x y : d Ez , y d E‖.

3.1. Cálculo de la componente Ez

3.1.1. Mediante la integración directa del campo

Según [2-18], la expresión de la componente d Ez es:

d Ez (0, 0, z ) =d q

4πεo�

z 2+ r 2� cosγ=

ρ f s r d r dφ

4πεo�

z 2+ r 2� z�

z 2+ r 2

Ez (0, 0, z ) =

Re∫Ri

ρ f s r z

4πεo�

z 2+ r 2�3/2

d r

π∫0

dφ =

=ρ f s z

4εo

1�

z 2+R2i

− 1�z 2+R2

e

�[7]

en donde sustituyendo el valor de ρ f s de la ecuación [5]:

Ez (0, 0, z ) =Q f

2πεo

�R2

e −R2i

�⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1�1+

R2i

z 2

− 1�1+

R2e

z 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ [8]

4 PROBLEMA 2.1

3.1.2. Mediante la integración de la expresión del potencial

Teniendo en cuenta la ecuación [2-5] , en el punto genérico P del eje z se tiene:

Ez (0, 0, z )d z =−d V (0, 0, z ) =−�V�x = y = 0, z +d z

�−V�x = y = 0, z

�� ⇒⇒ Ez (0, 0, z ) =−∂ V

�x = y = 0, z

�∂ z

[9]

El potencial en el punto (0, 0, z ) se puede obtener mediante la integración de laecuación [2-17]:

d V =ρ f sπr d r

4πεo

�r 2+ z 2

⇒

V (0, 0, z ) =ρ f s

4εo

Re∫Ri

r�r 2+ z 2

d r =ρ f s

4εo

��R2

e + z 2−�R2i + z 2

�[10]

por lo que el campo será:

Ez (0, 0, z ) =−∂ V

∂ z=ρ f s z

4εo

1�

z 2+R2i

− 1�z 2+R2

e

�[11]

La ventaja de este camino para hallar el valor de Ez estriba en que la integral[7] es, en general, más dificultosa de resolver que la doble operación de integrar la[10] y derivar su resultado para obtener el campo.

3.2. Cálculo de la componente Ey mediante la integración directa del campo

Con respecto a la otra componente, E‖, de la Figura 2 se desprende que, teniendoen cuenta que la carga tiene simetría respecto al plano z y , la componente Ex seanula y la componente Ey viene dada por:

Figura 2

PROBLEMA 2.2 5

d Ey (0, 0, z ) = d E‖ (0, 0, z )senφ = d E (0, 0, z )senγsenφ =

=ρ f s r d r dφ

4πεo�

z 2+ r 2� r�

z 2+ r 2senφ [12]

Ey (0, 0, z ) =

Re∫Ri

ρ f s r 2

4πεo�

z 2+ r 2�3/2

d r

π∫0

senφdφ =

=ρ f s

2πεo

ln

Re+�

R2e + z 2

Ri+�

R2i + z 2

+Ri�

R2i + z 2

− Re�R2

e + z 2

�[13]

Ey (0, 0, z ) =Q f

π2εo

�R2

e −R2i

�

lnRe+

�R2

e + z 2

Ri+�

R2i + z 2

+Ri�

R2i + z 2

− Re�R2

e + z 2

�[14]

El cálculo de la componente Ey vía integración de la expresión del potencialresulta muy laborioso puesto que habría que calcular el potencial en puntos fueradel eje z .

PROBLEMA 2.2

Una cáscara esférica metálica, aislada y descargada, tiene en su interior una car-ga puntual de valor Q a una distancia d de su centro. Se pide:

Hallar el valor del potencial en todos los puntos del espacio.

Solución

Figura 1



Existen tres dominios:

Dominio 1: r < a

PROBLEMA 2.17 125

PROBLEMA 2.17

Un condensador de placas planoparalelas de longitud L, ancho b y separaciónentre placas h tiene la región entre éstas llena con una plancha dieléctrica depermitividad eléctrica relativa εr constante. El condensador se carga mientrasestá conectado a una batería que proporciona una diferencia de potencial V0,desconectándose de la misma una vez cargado. A continuación se extrae par-cialmente la plancha dieléctrica hasta que la porción que queda entre las placastenga una longitud xm. Se pide:

a) Calcular la ddp entre las placas del condensador.

b) Calcular la fuerza eléctrica sobre la plancha dieléctrica, tanto para un procesoelemental a carga constante como a potencial constante.

Solución

Figura 1


Dado que el enunciado dice que la permitividad eléctrica del dieléctrico introdu-cido es constante, supondremos que, tanto este medio como el aire, cumplen lashipótesis:


por lo que las permitividades eléctricas de la plancha dieléctrica εm = εoεr y delaire εa = εo , tienen el mismo valor en todos los puntos de cada medio

εa, εm =C t e , ∀r de cada medio [1]

También supondremos que cumplen la hipótesis:


126 PROBLEMA 2.17

es decir, sus conductividades eléctricas respectivas son nulas:

σa =σm = 0 , ∀r de cada medio [2]

El enunciado nada dice acerca de los momentos en los que se realizan las me-diciones de los potenciales, antes y después de sacar parcialmente la placa dieléc-trica. Denominaremos al estado inicial, Figura 1, con subíndice 0 y al genérico conla plancha desplazada, Figura 2, sin subíndice. Supondremos que dichas medicio-nes tienen lugar una vez que el sistema haya alcanzado el estado estacionario. Bajoesta suposición el problema cumple, en cada estado, la hipótesis:


La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electrostá-tico puede obtenerse mediante el cálculo del gradiente de la energía electrostáticaWe tal como se expuso en la Subsección 2.4.4. de la parte teórica.

En nuestro caso esa fuerza puede calcularse mediante las expresiones [2-58] o[2-64], según se escoja un proceso virtual a carga o a potencial constante respecti-vamente. En este problema discutiremos la conveniencia de una u otra elección.

La energía We se puede hallar en función de los campos mediante la expre-sión [2-50]. Las cargas libres se encuentran en la superficie de las placas con unadistribución ρ f s desconocida y, además, existirá una distribución de carga de po-larización superficial ρp s también desconocida, por lo que no es posible obtenerel campo E mediante la integración directa de la ecuación [2-15]. No obstante, setrata de un problema electrostático muy similar a otros resueltos anteriormente(véase, p. ej., el Problema 2.14), que está totalmente determinado mediante los po-tenciales de las placas del condensador y cuya solución se puede hallar mediantela integración de la ecuación de Laplace [2-32] para V (r). Conocido este potencial,el campo se hallaría a través de la ecuación [2-5].


El enunciado nada indica acerca de las relaciones entre las dimensiones del con-densador. Cuando la distancia entre placas, h, no es pequeña respecto a las dimen-siones L y b de las mismas, las líneas del campo eléctrico tendrán una distribucióndel tipo representado en la Figura 1.a ). En ese caso, la integración de la ecuaciónde Laplace no es sencilla, siendo uno de los caminos más recurridos el de la utili-zación de métodos numéricos.

Las condiciones de frontera que deben verificar los campos son las [2-7] y[2-8.a ] que, en el caso de la frontera entre los dieléctricos y la placa superior, Figu-ra 2, quedan:

PROBLEMA 2.17 127

Daz =ρ f s a [3]

Dmz =ρ f s m [4]

Eax = Emx = 0 [5]

donde el primer subíndice de cada campo, a o m , indica el medio y el segundosubíndice (z o x ) indica la componente del campo. Además, ρ f s a es la densidadsuperficial de carga libre en la zona de la placa superior en contacto con el aire yρ f s m la correspondiente al contacto con la plancha. Por otra parte, las condicionesen la frontera entre los dieléctricos serán:

Dax =Dmx [6]

Eaz = Emz [7]

Para el estado inicial se obtendría un conjunto de ecuaciones similar. Las condi-ciones [5] y [6] se verifican si se cumple que el campo eléctrico es, en todos lospuntos del espacio entre las placas del condensador, perpendicular a dichas pla-cas, es decir:

E (r) = Ez (x , z )az [8]

tal como se muestra en la Figura 2.Aunque, tal como se ve en la Figura 1.a ), este no es el caso, la resolución exacta

de la ecuación de Laplace demostraría que la aproximación propuesta es acepta-ble en todo el volumen entre placas excepto en una zona periférica de anchurasimilar a la distancia h entre las mismas (zona en la que se manifiestan los deno-minados efectos de borde). Si imponemos a la aproximación [8] que el potencialresultante satisfaga la ecuación de Laplace, resulta que E es uniforme en todo elespacio entre las placas ya que,

∇E (r) = 0 ⇒ ∂ Ez (x , z )∂ z

= 0 ⇒ E (r) = Ez (x )az [9]

y, al ser la caída de potencial entre placas VP independiente de x ,

VP =

placa inferior∫placa superior

E (r) ·d r= hEz (x ) �= f (x ) ⇒

⇒ E (r) = Ez az , con Ez =C t e [10]

Para que sea aceptable la aproximación [10], es necesario que se verifique elresto de las condiciones de frontera: efectivamente, [10] garantiza que la condición

128 PROBLEMA 2.17

[7] se cumple y el cumplimiento de [3] y [4] nos permitirá obtener las densidadessuperficiales de carga.

Para obtener una solución analítica aproximada del problema supondremos:

h� L,b [11]

Entonces, el volumen donde son apreciables los efectos de borde es pequeño y nose comete un gran error si se desprecian dichos efectos, lo cual es lo mismo quesuponer que el campo E es perpendicular a las placas y constante en módulo entodo el volumen entre las mismas y nulo fuera de ese dominio, tal como se repre-senta en la Figura 1.b ) y en la Figura 2. Entonces, a partir de ahora, prescindiremosdel subíndice z en las expresiones de los campos E y D y de los subíndices a y men las de los campos E:

Emz 0 = E0 =C t e , Eaz = Emz = E =C t e [12]

Dmz 0 =Dm0, Dmz =Dm

Daz 0 =Da0, Daz =Da [13]

3. Resolución

3.1. Apartado a)

De acuerdo con lo anterior, la aplicación de [4], [10], [12] y [2-21] y al caso repre-sentado en la Figura 1.b ), conduce a:

V0 = E0h ⇒ E0 =V0

h=

Dm0

εm=ρ f s m0

εm[14]

habiéndose utilizado el subíndice m para indicar que se trata de un punto interiora la plancha dieléctrica y el subíndice 0 para indicar que corresponde al estadoinicial. De [14] se deduce:

Q0 =

∫placa superior

ρ f s m0d s =ρ f s m0b L = εmb L

hV0 [15]

Figura 2

PROBLEMA 2.17 129

y la capacidad del condensador será:

C0 =Q0

V0= εm

b L

h[16]

Cuando se desconecta la batería, esta carga libre Q0 sobre las placas del con-densador se mantiene, incluso después de desplazada la plancha dieléctrica la dis-tancia xm, Figura 2.

Lo que ya no se puede asegurar es que dicha carga se distribuya uniformemen-te sobre toda la superficie de la armadura del condensador. De [3], [4], [10], [12],[13] y [2-21] se obtiene:

ρ f s a =Da = εaE = εaVP

h[17.a ]

ρ f s m =Dm = εmE = εmVP

h[17.b ]

Por estar el condensador aislado, la carga libre en la placa superior no ha va-riado:

Q0 =

∫placa superior

ρ f s d s =Qa+Qm =ρ f s a (L−xm)b +ρ f s mxmb =

= [εa (L−xm)+εmxm]b VP

h[18]

De [16] y [18] se tiene:

VP =εr L

L+(εr −1)xmV0 [19]

y de [10] y [12]:

E =VP

h[20]

viniendo VP dado por [19].

3.2. Apartado b)

3.2.1. Mediante la derivada de la energía eléctrica total a carga constante

En la posición de la plancha dieléctrica correspondiente a la Figura 2, la energíadel condensador en este caso será, de [12], [19], [20], [2-21] y [2-50]:

130 PROBLEMA 2.17

We =

∫sistema

1

2εE 2d v =

1

2εo E 2b h (L−xm)+

1

2εoεr E 2b hxm =

=1

2εo

b

h[L+(εr −1)xm]V 2

P =1

2εo

b

h

ε2r L2V 2

0

L+(εr −1)xm[21]

Otra forma de calcular We es mediante [2-49.a]:

We =1

2C V 2

P [22]

siendo C la capacidad del condensador, que se deduce de [18]:

C =Q0

VP= [εa (L−xm)+εmxm]

b

h= εo [L+(εr −1)xm]

b

h[23]

La fuerza a la que está sometida la plancha dieléctrica se obtendrá mediante:

F =− ∂We

∂ xm

��Q

=1

2εoε

2r (εr −1)

b

hV 2

0

L2

[L+(εr −1)xm]2=

=1

2εo (εr −1)

b

hV 2

P [24]

siendo el sentido de F el del movimiento de la plancha para valores de xm crecien-tes, es decir, el de la Figura 2. Por tanto, la fuerza eléctrica F tiende a introducir eldieléctrico en la región entre placas.

Otra forma de obtener F es utilizando [2-58], [22] y [23]:

F =− ∂We

∂ xm

��Q

=− ∂�

12

C V 2P

�∂ xm

��Q

=− ∂�

12

Q20

C

�∂ xm

��Q

=

=−Q20

2

∂

∂ xm

�1

C

�=−Q2

0

2

(εr −1)

εo [L+(εr −1)xm]2h

b[25]

que, teniendo en cuenta [16] o [18], coincide con [24].

3.2.2. Mediante el cálculo directo de la variación de energía eléctrica total a carga3.2.2. constante

En la Figura 3 se representan dos posiciones infinitamente próximas de la planchadieléctrica: en el estado 1 la plancha está introducida una distancia xm y en elestado 2 una xm+d xm.

PROBLEMA 2.17 131

Figura 3

La energía de todo el sistema en el estado 1 será la integral de la densidad de laenergía electrostática, we . De [2-50], [2-21] y [12]:

We1 =

∫sistema

we1 (r)d v =

=

∫aire

1

2εo E 2d v +

∫plancha

1

2εmE 2d v =

1

2εo E 2b h (L−xm)+

1

2εm E 2b hxm =

=1

2εob hE 2 [L+(εr −1)xm] [26]

y la energía en el estado 2 será:

We2 =We1+δWe =

=

∫sistema

we2 (r)d v =

∫aire

1

2εo (E +d E )2 d v +

∫plancha

1

2εm (E +d E )2 d v =

=1

2εo (E +d E )2 b h [L+(εr −1)xm+(εr −1)d xm] =

=1

2εo

�E 2+2E d E

�b h [L+(εr −1)xm+(εr −1)d xm] [27]

donde en el último paso se ha despreciado el infinitésimo proporcional a d E 2 porser de orden superior.

132 PROBLEMA 2.17

La variación de energía, por tanto, será:

δWe =1

2εob h

�E 2 (εr −1)d xm+2E d E [L+(εr −1)xm]+2E d E (εr −1)d xm

�[28]

expresión en la que es despreciable el último sumando frente a los otros dos (portratarse de un infinitésimo de orden superior) y en la que habrá que hallar d E , yaque éste depende de xm y de d xm.

Como el proceso es a carga constante y teniendo en cuenta que en la superficiede las armaduras del condensador ρ f s viene dado por [17],

Q0 =Qa+Qm =Qa+dQa+Qm+dQm [29]

Qa+dQa = εa (E +d E ) (L−xm−d xm)b [30.a ]

Qm+dQm = εm (E +d E ) (xm+d xm)b [30.b ]

de donde:

εo E [L+(εr −1)xm] = εo E [L+(εr −1)xm]+εo E (εr −1)d xm+

+εo d E [L+(εr −1)xm]+εo d E (εr −1)d xm [31]

de donde, despreciando el último sumando, fácilmente se deduce:

d E =−E(εr −1)d xm

L+(εr −1)xm[32]

Sustituyendo este valor de d E en la expresión [28] de δWe se obtiene:

δWe =−1

2εob hE 2 (εr −1)d xm [33]

La fuerza pedida se obtendrá, finalmente:

F = −∂We

∂ xm

��Q

=−δWe

d xm=

1

2εo (εr −1)

b

hV 2

P [34]

3.2.3. Mediante la derivada de la energía eléctrica total a potencial constante

Calcularemos la fuerza de manera análoga a como se ha hecho en el Punto 3.2.1,pero empleando [2-64] en lugar de [2-58].

La expresión de la energía es, como en el caso anterior, la [22]. Sustituyendo enella el valor de la capacidad dado por [23], resulta:

PROBLEMA 2.17 133

We (x ) =1

2C V 2

P =1

2εo

b

h[L+(εr −1)xm]V 2

P [35]

y la fuerza será:

F =∂We

∂ xm

��V

=1

2εo (εr −1)

b

hV 2

P [36]

3.2.4. Mediante el cálculo directo de la variación de energía eléctrica total3.2.4. a potencial constante

Siguiendo el proceso llevado a cabo en el Punto 3.2.2 pero, en este caso, a potencialconstante tenemos que:

* El estado 1 será igual que en el Punto 3.2.2,* En el estado 2, teniendo en cuenta [20]:

VP2 = VP1 ⇒ d VP = 0 ⇒ d E = 0 [37]

y de [37], [2-21] y [2-51] se puede escribir:

we2 (r)−we1 (r) =1

2E 2 [ε2 (r)−ε1 (r)] [38]

de donde queda claro que la densidad de energía electrostática permanece inva-riable en el desplazamiento virtual excepto en el elemento diferencial de volumend v en que la permitividad ε ha variado al ser invadido el aire por la plancha die-léctrica. Por tanto, podemos escribir:

δWe = (we2−we1) b h d xm =1

2εo (εr −1) E 2b h d xm [39]

La fuerza, entonces, será:

F =∂We

∂ xm

��V

=δWe

d xm=

1

2εo (εr −1) E 2b h =

1

2εo (εr −1)

b

hV 2

P [40]

4. Discusión del resultado

Como se ha demostrado, los cuatro métodos expuestos en los Puntos 3.2.1 a 3.2.4dan el mismo valor de la fuerza F , resultado lógico puesto que F es la superposi-ción de fuerzas de Coulomb y éstas sólo dependen de la configuración de las car-gas en el estado en el que se calcula F y no de cómo se hace evolucionar el sistemapara calcularla.

Aunque a la vista de la expresión [24] la fuerza depende de xm, esto solo es asísi el condensador se mantiene aislado. En la misma expresión [24] se demuestra

134 PROBLEMA 2.18

que, si se expresa en función del potencial actual VP, la fuerza es independiente dexm. Por tanto, si se mantuviese el potencial entre placas constante, observaríamosque para extraer el dieléctrico haría falta una fuerza constante. De todas formas,debemos tener en cuenta una limitación del modelo empleado para resolver elproblema, consistente, según se expuso en el Apartado 2, en que hemos desprecia-do los efectos de borde. Por ello, no es de esperar que la expresión de la fuerza obte-nida siga siendo válida cuando el elemento de volumen en el que hay variación deenergía al efectuar un desplazamiento virtual está contenido en las zonas dondetienen lugar los efectos de borde. Concretamente, esos casos son cuando el die-léctrico está totalmente introducido (lógicamente la fuerza es cero, en desacuerdototal con la expresión [24]) y cuando está a punto de ser totalmente extraído (encuyo caso la fuerza adquiere un valor no nulo pero es más complicada de evaluar).

Comparando los cuatro métodos de resolución, parece claro que, para la geo-metría de este problema, resulta más sencillo el cálculo mediante un proceso vir-tual a potencial constante. En general, cuando el campo eléctrico es paralelo a lafrontera que se desplaza, suele resultar más sencillo el método de los desplaza-mientos virtuales a potencial constante.

PROBLEMA 2.18

En la figura se muestra un condensador de placas planoparalelas rectangulares,idénticas, de dimensiones a × b y cuyo dieléctrico es el aire. La armadura in-ferior está fija sobre un plano horizontal (plano X Y ), mientras que la superiortiene posibilidad de trasladarse tanto en la dirección OX como en la OY , mante-niéndose constante la distancia entre placas h (siendo h� a ,b ) y la ddp Vo entreellas. Se pide:

Calcular, para una posición�x , y

�dada de la armadura superior y suponiendo

que está en reposo, la componente paralela al plano X Y de la fuerza sobre dichaarmadura.

Solución


Como la armadura que puede desplazarse está en reposo y como en todo instantela ddp entre armaduras es constante, el problema cumple la hipótesis:


150 PROBLEMA 2.20

PROBLEMA 2.20

El sistema de la figura representa un voltímetro electrostático que consiste enun disco dieléctrico de radio R1 al que está unido el electrodo A, constituidopor dos sectores opuestos de ángulo θo y radio externo R2. El conjunto puederotar alrededor de su eje de revolución. El otro electrodo, B, rodea al anterior sintocarlo y consiste en una caja cilíndrica de altura interior h a la que se le hanvaciado dos sectores del mismo ángulo θo así como dos discos de radio R1 enlos centros de sus tapas. El plano del electrodo A equidista de los planos de lastapas de B y el medio que rodea a ambos electrodos es el aire.

Suponiendo que se aplica una diferencia de potencial constante Vo entre am-bos electrodos y que, en una primera aproximación, se pueden despreciar losefectos de borde, se pide:

Calcular, para la posición mostrada en la figura, el par de fuerzas a que estásometido el electrodo A, indicando claramente su sentido.

Solución

Figura 1


Puesto que el enunciado nos pide calcular unas fuerzas de origen electrostático,supondremos que se cumple la hipótesis:


Para calcular las fuerzas y los pares de fuerzas se puede utilizar el método de losdesplazamiento virtuales, método que está relacionado con la energía electrostáti-ca y cuya teoría se expuso en la Subsección 2.4.4. Allí se obtuvieron las expresiones

PROBLEMA 2.20 151

de las acciones mecánicas para desplazamientos virtuales en los casos de carga ypotencial constantes, por lo que se debe intentar discernir cuál de los dos cami-nos es el más apropiado en este caso. Para ello calcularemos primero la energía ydespués razonaremos la conveniencia de emplear uno u otro camino.

La energía We se puede hallar en función de los campos mediante la expresión[2-50]:

We =1

2

∫V

E ·Dd v =1

2

∫V

εo E 2d v [1]

puesto que el dieléctrico es el aire.


Al despreciar los efectos de borde, puede considerarse que el campo eléctrico esnulo en todo el espacio excepto en los cuatro volúmenes cilíndricos de base lossectores de ángulo θ y radio limitado por R1 < r < R2, correspondientes al sola-pe entre los electrodos A y B, y de altura h/2. En estos volúmenes el campo E esuniforme y perpendicular al electrodo A, Figura 1.

3. Resolución

3.1. Método 1

De la expresión [2-6] se obtiene:

VA −VB =Vo =

B∫A

E ·d r=Eh

2⇒ E =

2Vo

h=C t e [2]

Aunque el campo que nace en el electrodo A tiene sentidos opuestos a unoy otro lado de esa placa metálica, como la expresión de la energía depende delmódulo del campo y no de su sentido, la densidad de energía es uniforme en todoel volumen donde existe campo y, a la vista de la mencionada figura, se podráescribir:

We =1

2εo

�2Vo

h

�2∫V

d v =1

2εo

�2Vo

h

�2R2∫R1

4

�rθd r

h

2

�=

=2εoV 2

o

�R2

2 −R21

�h

θ [3]

152 PROBLEMA 2.20

Para calcular el par mecánico pedido, podemos aplicar las expresiones [2-60] o[2-65] pero, dada la forma de la expresión [3], es más directo el aplicar la [2-65]:

τ=∂We

∂ θ

��V

[4]

El par pedido será, consecuentemente:

τ=2εo

�R2

2 −R21

�h

V 2o [5]

3.2. Método 2

Al resultado obtenido en la expresión [3] se puede llegar obteniendo la energía delcondensador mediante la capacitancia del sistema utilizando la expresión [2-49.a ].En efecto, el sistema es equivalente a cuatro capacitores en paralelo, los corres-pondientes a los cuatro volúmenes antedichos en los que el campo no es nulo.Teniendo en cuenta que el área de la sección recta de cada uno de ellos es

S =

�R2

2 −R21

�θ

2[6]

la capacidad total será:

C = 4Sεo

h/2= 4

�R2

2 −R21

�θεo

h[7]

y la energía:

We =1

2C V 2 =

1

24

�R2

2 −R21

�θεo

hV 2

o [8]

que coincide, lógicamente, con la obtenida anteriormente en [3].A partir de aquí el cálculo del par mecánico seguiría los pasos dados en el mé-

todo 1.

PROBLEMA 2.21 153

PROBLEMA 2.21

Se tienen dos placas metálicas delgadas muy extensas, conectadas ambas a tie-rra y situadas paralelamente a una distancia 3L entre sí. En el espacio que que-da entre ellas y equidistante de las placas hay una plancha dieléctrica, tambiénmuy extensa, de espesor L y permitividad ε2. Los espacios que quedan entre laplancha y las placas están rellenos de sendos líquidos de permitividades respec-tivas ε1 y ε3. La entrecara de los dieléctricos 1 y 2 se ha rociado con una distribu-ción uniforme de carga que, debido a su delgadez, se puede considerar superfi-cial y de valor ρ f s 12. Se pide:

a) Calcular los campos eléctricos en todos los puntos de la región entre placas.

b) Calcular la fuerza eléctrica por unidad de área que actúa sobre la planchadieléctrica.

Solución

Figura 1



Para modelar el problema supondremos que todas las placas son doblemente in-finitas. Los planos conductores aíslan una región del espacio en la que existen tresdominios que son los de interés en este problema:

Dominio 1: 0< x < LDominio 2: L < x < 2LDominio 3: 2L < x < 3L

154 PROBLEMA 2.21

Dado que el enunciado nada dice acerca de la naturaleza de los dieléctricosque rellenan el espacio entre las dos placas metálicas, supondremos que esos me-dios materiales cumplen las hipótesis:


por lo que las permitividades eléctricas ε1, ε2 y ε3 tienen el mismo valor en todoslos puntos de cada medio

εi =C t e , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 [1]

También supondremos que cumple la hipótesis:


es decir, sus conductividades eléctricas son nulas:

σi = 0 , ∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 [2]

lo cual asegura que la distribución de carga libre interior a cada dominio no va avariar con el tiempo:

∂ ρ f i

∂ t= 0 , ∀t ,∀r interior al dominio i , siendo i = 1, 2, 3 [3]

El enunciado permite suponer, también, que:

∂ εi

∂ t= 0, ∀t , siendo i = 1, 2, 3 [4]

Teniendo en cuenta las expresiones de la teoría [1-18], [1-24] y [1-49] y la ante-rior expresión [1] se deduce que existe proporcionalidad entre ρp v y ρ f v :

ρp v i =−�

1− εo

εi

�ρ f v i , ∀t ,∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 [5]

y también:

ρt v i =εo

εiρ f v i , ∀t ,∀r del medio i , siendo i = 1, 2, 3 [6]

De [3], [4] y [6] se deduce que:

∂ ρt i

∂ t= 0 , ∀t ,∀r interior al dominio i , siendo i = 1, 2, 3 [7]

PROBLEMA 2.21 155

independientemente del valor que tomen las densidades superficiales ρ f s y ρp s

de carga en las fronteras (tanto en las placas metálicas como en las fronteras die-léctricas) y de que el potencial a que están sometidas las placas metálicas sea o nofunción del tiempo.

1.2. Análisis de las condiciones de contorno

Las condiciones de contorno corresponden a la distribución de potencial en losplanos metálicos y en las fronteras dieléctricas x = L y x = 2L.

El análisis de los fenómenos que suceden dentro de los materiales conductoresse efectuará en el capítulo que trata de la conducción estacionaria. En este caso,sucede que:

a) la distribución de carga total en el interior de los tres dieléctricos no dependedel tiempo, ecuación [7],

b) tampoco depende del tiempo la carga libre superficial ρ f s 12, yc) los potenciales de referencia a los que están conectadas ambas placas no

dependen del tiempo,

por lo que se puede suponer que todas las distribuciones de carga inducida seránindependientes del tiempo y que no existen corrientes en los conductores. Por tan-to, el potencial en todo el volumen de cada conductor es uniforme e independientedel tiempo. Concretamente, el valor de ese potencial en ambas placas metálicas esnulo.

Lo dicho en el párrafo anterior permite asegurar también que los potencialesen las fronteras x = L y x = 2L tampoco dependerán del tiempo.

Por todo ello, las condiciones de contorno del problema no dependerán deltiempo.

1.3. Identificación del tipo de problema

Según acabamos de ver, en los dominios 1, 2 y 3 ni las fuentes ρt en el interior dedichos dominios ni las condiciones de contorno dependen del tiempo.

Por todo ello, el problema cumple la hipótesis:


Los campos eléctricos pedidos se pueden resolver, dada la gran simetría delproblema, aplicando directamente la ley de Gauss [2-2].

La fuerza sobre un elemento, dieléctrico o conductor, en un campo electros-tático puede calcularse mediante el método de los desplazamientos virtuales tal

156 PROBLEMA 2.21

como se expuso en la Subsección 2.4.4. Esa fuerza puede calcularse mediante ex-presiones correspondientes a procesos virtuales a carga o a potencial constante,elección que efectuaremos posteriomente.


Debido a la simetría de traslación en las direcciones y , z tanto de las fuentes (car-gas totales en el interior de los dominios) como de las condiciones de contorno,puede asegurarse que el potencial en todos los dominios va a ser independientede las coordenadas y , z :

Vi (r) =Vi (x ) , i = 1, 2, 3 [8]

y de [8] y [2-5], el campo eléctrico en los tres dominios debe ser de la forma:

Ei (r) = Ei (x )ax , i = 1, 2, 3 [9]

De [9] y [2-21]:

Di (r) =Di (x )ax , i = 1, 2, 3 [10]

3. Resolución

3.1. Apartado a)

La forma del campo Di (r) dada por [10] posibilita el aplicar directamente la ley deGauss, ecuación [2-2] ∫

Si

Di ·d s=Q f i , i = 1, 2, 3 [11]

sin más que escoger convenientemente las superficies gaussianas de manera quese pueda aprovechar la simetría en D. Por ello se escogerán cilíndricas o prismáti-cas con las generatrices perpendiculares a las placas metálicas, unas enteramenteen un mismo dieléctrico, superficies S1, S2 y S3, tal como se muestra en la Figu-ra 1, y otras con las bases a ambos lados de las fronteras, superficies S12 y S23. Laaplicación de la ley de Gauss a cada una de ellas conduce a:∫

Si

D ·d s= [Di (x2)−Di (x1)] ΔS = 0⇒

⇒Di (x2) =Di (x1) , i = 1, 2, 3 [12]

siendo x2 y x1 las coordenadas de las bases de la superficie Si .

PROBLEMA 2.21 157

Teniendo en cuenta [12] y [2-21] resulta:

Ei (x2) = Ei (x1) [13]

es decir, el campo eléctrico es uniforme dentro de cada dominio.Por otra parte, en la superficie S12 que abarca dos dieléctricos se tendrá:∫

S12

D ·d s= (D2−D1) ΔS =ρ f s 12ΔS⇒

⇒D2−D1 =ρ f s 12 [14]


ρ f s 12 = ε2E2−ε1E1 [15]

y en la superficie S23: ∫S23

D ·d s= (D3−D2) ΔS = 0 ⇒D3 =D2 [16]


ε3E3 = ε2E2 [17]

Por otra parte, la aplicación de la ecuación [2-6] a un segmento rectilíneo per-pendicular a las placas y con sus extremos en ellas, línea A BC D de la Figura 1, yconsiderando [13] permite escribir:∫

A BC D

E ·d r= 0= E1L+E2L+E3L ⇒ E1+E2+E3 = 0 [18]

De las ecuaciones [15], [17] y [18] se deducen fácilmente las expresiones de losdistintos campos E1, E2 y E3:

E1 =− ε2+ε3

ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1ρ f s 12 [19]

E2 =ε3

ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1ρ f s 12 [20]

E3 =ε2

ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1ρ f s 12 [21]

158 PROBLEMA 2.21

3.2. Apartado b)

Para el cálculo de la fuerza por unidad de área que actúa sobre la plancha dieléctri-ca, y teniendo en cuenta que se trata de un sólido rodeado de líquidos dieléctricos,utilizaremos, como se justificó en la Subsección 2.4.4, el método de los desplaza-mientos virtuales, desplazando el sólido (y, por tanto, las fronteras 1-2 y 2-3) unadistancia d x y evaluando la variación de energía electrostática entre los estadosinicial y final.

Figura 2

La densidad de energía electrostática en cada estado ha de calcularse emplean-do el valor de los campos en dicho estado y los valores de las permitividades eléc-tricas también en dicho estado, valores que, como se ha dicho en la Subsec-ción 2.4.4, por tratarse de un sólido lineal, homogéneo e isótropo en contactocon líquidos dieléctricos descargados y también lineales, homogéneos e isótropos,pueden considerarse constantes en cada medio con el desplazamiento virtual.

Para facilitar el cálculo de la variación de energía, interesa escoger unas con-diciones para el desplazamiento virtual en las que la densidad de energía se man-tenga invariable en todo el espacio excepto en el volumen barrido por las fronterasen el desplazamiento virtual. De esta manera, el incremento de energía entre losestados inicial (i) y final (f) se reduce al habido en dicho volumen y, en cada es-tado, la energía correspondiente a ese volumen, por ser de espesor infinitesimal,se puede calcular simplemente multiplicando la densidad de energía por dichovolumen. Para que este cálculo sea válido es necesario que exista un volumen sufi-cientemente extenso de cada líquido en la región exterior a las placas (por ejemplo,disponiendo las placas en una cubeta) de modo que, al realizar el desplazamien-to virtual, la diferencia de volumen del líquido barrido por la frontera móvil entreplacas sea suministrada (o absorbida) por la región del líquido más alejada de lasplacas, en la que el campo eléctrico de borde ha caído a valores despreciables y,

PROBLEMA 2.22 159

con él, la energía asociada al volumen de líquido travasado a la región barrida entreplacas.

En nuestro caso, la condición antedicha se verifica si se supone el desplaza-miento virtual a carga constante, ya que, en ese proceso, el vector D, en cada me-dio, no varía con el desplazamiento virtual. Entonces, aplicando [2-56] al volumenbarrido por una sección de áreaΔS, Figura 2:

ΔF d x =− (Wef−Wei) =−δWe [22]

siendoΔF la fuerza eléctrica sobre la porción de la plancha de áreaΔS y su sentidoel mismo que el del desplazamiento d x , es decir, del medio 2 hacia el 3. El incre-mento de energía será, de [2-51] y teniendo en cuenta que existe volumen barridoa ambos lados de la plancha dieléctrica:

δWe = (we1f−we2i) ΔS d x +(we2f−we3i) ΔS d x [23]

De [23] y [2-51]:

δWe =1

2

�D2

1f

ε1− D2

2i

ε2

�ΔS d x +

1

2

�D2

2f

ε2− D2

3i

ε3

�ΔS d x =

=1

2

�D2

1

ε1− D2

3

ε3

�ΔS d x [24]

Despejando la fuerza de la expresión [22] y utilizando la [24] se obtiene la expre-sión de la fuerza por unidad de área:

ΔF

ΔS=− 1

ΔS

δWe

d x=−1

2

�D2

1

ε1− D2

3

ε3

�=

1

2ρ2

f s 12

ε3ε22 −ε1 (ε2+ε3)2

Σ2[25]

siendo:

Σ = ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1 [26]

PROBLEMA 2.22

Una esfera conductora de radio a , inmersa en un líquido dieléctrico de permi-tividad ε que ocupa todo el espacio exterior a la esfera, está conectada a unafuente de fem Vo y a una distancia D de su centro (D > a ) hay una carga librepuntual de valor Q. Se pide:

Calcular el valor de la fuerza que actúa sobre la carga Q.

PROBLEMA 7.11 383

PROBLEMA 7.11

En el espacio vacío se tiene una línea conductora rectilínea indefinida recorridapor una corriente I (t ) y una espira cuadrada conductora de lado a , resistenciaR y autoinductancia L, tal como se indica en la Figura 1. La espira se mueveperpendicularmente a la línea con una velocidad constante v, siendo ambas, entodo momento, coplanarias. Se pide:

Hallar la ecuación diferencial que liga la intensidad I (t ) con la i (t ) que circulapor la espira cuadrada.

Figura 1

Solución


En el presente problema se plantea calcular cuál será la relación entre la corrientei (t ) que circula por la espira y la corriente I (t ) que circula por la línea. Esta rela-ción deberá buscarse en las leyes del electromagnetismo que encajen con los datosdados en el enunciado.

En el caso más general debe tomarse el modelo ondulatorio, modelo que co-rresponde al conjunto de ecuaciones de Maxwell [1-4]-[1-7] y bajo el cual los con-ductores soportarán unas ciertas distribuciones de cargas y corrientes, pudiendocomportarse como sistemas radiantes o antenas. Dado que en el alcance impuestoa esta obra expresado en su Prólogo se ha excluido esa parte del electromagnetis-mo, haremos la suposición de que el sistema trabaja en régimen cuasiestacionario,en el que ya no tienen cabida los conceptos de radiación ni de antena.

Por tanto se asumirá la hipótesis:

H7.1−1 (aproximación cuasiestacionaria).

384 PROBLEMA 7.11

En el marco cuasiestacionario el comportamiento de la espira puede descri-birse mediante la teoría de circuitos aplicando el modelo expuesto en el Aparta-do 7.5.2.3 de la Parte Teórica con las matizaciones que se exponen a continuación.En primer lugar, en este caso no son aplicables las hipótesis:

H7.5−5 (generador ideal�σg =∞�

de fem sinusoidal de amplitud εgo)H7.5−6 (capacitor ideal de capacidad C )

por no existir generadores ni capacitores en la espira.En segundo lugar, aunque adoptaremos la hipótesis:

H7.5−9 (la frecuencia es suficientemente baja como para poder suponer que ladensidad de corriente J f v se distribuye uniformemente en toda la sección delconductor)

que es la definición de régimen de baja frecuencia, si fuese necesario se podríaconsiderar el comportamiento en alta frecuencia: en ese caso habría que tener encuenta que R y L serán funciones de la frecuencia tal como se expone en el Aparta-do 7.5.2.4 y, para una variación temporal arbitraria de las magnitudes electromag-néticas, la asignación de un único valor de R y L dejaría de tener sentido.

En tercer lugar y finalmente, es necesario tener en cuenta que, por existir mo-vimiento relativo entre la espira y la línea, no se verifica la hipótesis:

H7.5−4 (el conjunto es rígido y estacionario en el medio que lo rodea).

Si los campos producidos por la línea fuesen despreciables, podría resolverse elproblema en un referencial ligado a la espira respecto al cual todas las fuentes decampos electromagnéticos, cargas y corrientes, estarían en reposo ya que el vacíono aporta fuentes al campo. Como no es este el caso, será necesario considerarconjuntamente los campos creados por dos sistemas de fuentes, la línea y la es-pira, en movimiento relativo. Como el sistema más complejo es la espira y como,además, los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en el refe-rencial espira, es lógico plantear las ecuaciones de circuito en el referencial espiraconsiderando exclusivamente las cargas y corrientes por ella soportadas (modeloexpuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica) y ampliar este modelo introdu-ciendo los términos asociados con los campos producidos por la línea.

Por otra parte, y por motivos de limitación del alcance de esta obra, asumire-mos la hipótesis:

H5.1−1 (todas las velocidades que intervienen son mucho menores que la velo-cidad de la luz en el vacío)

PROBLEMA 7.11 385

que garantiza que, para calcular los campos producidos por la línea en el referen-cial espira (que denotaremos con el subíndice “l” y el superíndice prima), es apli-cable la transformación galileana, Sección 5.2 de la Parte Teórica, a dichos campostal como se ven desde el referencial línea (que denotaremos con el subíndice “l”),cuya obtención es fácil.

Una vez conocidos los campos debidos a la línea medidos en el referencial es-pira, su efecto sobre la corriente i (t ) puede tratarse de la misma forma que loscampos producidos por la propia espira ya que lo único relevante es el valor de loscampos y no qué fuentes los han creado. En consecuencia, la modificación a apli-car consiste en tomar como campo eléctrico E(r) en la expresión [7-113] la sumade los debidos a la espira Ee (r, t ) y a la línea E′l (r, t ):

E(r, t ) = Ee (r, t )+E′l (r, t ) [1]

lo que nos indica que a la hora de calcular la circulación de [7-113] aparecerán dostérminos, correspondientes a cada uno de los campos, en la expresión de la femε (t ) de la ecuación [7-138]:

ε (t ) =

∮Γ

�Ee (r, t )+E′l (r, t )

·d r=

∮Γ

Ee (r, t ) ·d r

︸︷︷︸εL

+

∮Γ

E′l (r, t ) ·d︸︷︷︸

r

εl

[2]

La primera integral es la contribución a la fem sobre la espira debida a los cam-pos por ella generados y corresponde a la fórmula [7-135] del modelo expuesto enel Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica, de donde se puede escribir:

εL (t ) =−Ld i (t )

d t[3]

en donde los valores positivos de la fem corresponden al sentido de i (t ), es decir,dextrógiro.

La segunda integral es justamente el término adicional no contemplado en elmodelo. Para calcularla obtendremos la expresión del campo E′l (r, t ). Aplicando latransformación galileana [5-18]:

E′l (r, t ) = El (r, t )+v∧Bl (r, t ) [4]

Los campos El (r, t ) y Bl (r, t ) son los siguientes:

a) Campo El (r, t ).

Atendiendo a [7-16], este campo consta de dos términos:

El (r, t ) =−∇Vl (r, t )− ∂ Al (r, t )∂ t

[5]

386 PROBLEMA 7.11

El primer sumando es el gradiente del potencial escalar Vl (r, t ) que, según[7-1], queda completamente determinado por la distribución de cargas entodo el espacio. El enunciado del problema no da datos suficientes para ob-tener este término del campo pero, por tratarse de un gradiente, su circula-ción es nula y no contribuirá a la fem en la espira cuadrada, por lo que suvalor no influye en i (t ).

El segundo sumando, la derivada temporal del potencial vector Al (r, t ), esel campo de inducción, que tendrá, en general, una circulación no nula so-bre la espira que denominaremos εI (t ), y tenderá a producir corrientes en elmaterial conductor del que está formada la misma. Según [7-2], Al (r, t ) que-da completamente determinado por la distribución de corrientes en todo elespacio, las cuales están, a su vez, completamente definidas al ser datos lageometría de la línea e I (t ).

b) Campo Bl (r, t ).

En principio, la componente de la fuerza de Lorentz que depende del cam-po magnético, expresión [1-1], es irrelevante a la hora de determinar i (t ) yaque las causas de las corrientes en circuitos son las fem, ya sean provenien-tes de campos electromotores de generadores externos o resultantes de loscampos eléctricos generados por las cargas y corrientes del propio sistema aanalizar. Sin embargo, en muchos casos es más fácil calcular la mencionadafem externa εI (t ) a partir del campo magnético Bl (r, t ) creado por la líneamediante la expresión [5-23] en lugar de a partir de Al (r, t ), que exigiría cal-cular la integral sobre las corrientes [7-2] y que, además, en el caso particularque nos ocupa, es una integral divergente.


Las simplificaciones pertinentes ya se han introducido en el modelo expuesto an-teriormente.

3. Resolución

3.1. Basándose en la circulación de los campos eléctricos

Según la expresión [7-138], teniendo en cuenta que en el circuito formado por laespira no existen generadores ni capacitores, resulta:

0= Ri (t )−ε (t ) [6]

PROBLEMA 7.11 387

donde ε (t ) viene dado por [2]. La contribución εl en dicha expresion puede escri-birse, teniendo en cuenta [4] y [5]:

εl (t ) =−∮Γ

∂ Al (r, t )∂ t

·d r

︸︷︷︸εI

+

∮Γ

v∧Bl (r, t ) ·d r

︸︷︷︸εM

[7]

donde εI es la contribución a la fem sobre la espira, supuesta en reposo respecto ala línea, debida exclusivamente a la corriente I (t ) que circula por ésta. Su cálculolo plantearemos a partir del campo Bl (r, t ) por los motivos expuestos en el puntob) del apartado anterior. Análogamente a como se operó en [7-129]:

εI =−∮Γ

∂ Al (r, t )∂ t

·d r=

⎡⎢⎢⎣− ∂∂ t

∫S

∇∧Al (r, t ) ·d s

⎤⎥⎥⎦v=0

=

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣− ∂∂ t

∫S

Bl (r, t ) ·d s

︸︷︷︸ΦI

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦v=0

=−∫S

∂ Bl (r, t )∂ t

· [8]

donde ΦI es el flujo abrazado por la espira debido a la corriente I (t ) que circulapor la línea.

Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, exis-ten dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsec-ción 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En estecaso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de induc-ción son claramente no despreciables.

Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de Bl (r, t )en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con laexcepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálcu-lo del campo magnético de una línea indefinida puede obtenerse muy fácilmenteaplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoria circular con-céntrica con la línea:

Bl (x , t ) =μo I (t )

2πx[9]

siendo su dirección azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derechaen función de I (t ), estando representados ambos por los signos x en la Figura 1.

388 PROBLEMA 7.11

De [8] y [9]:

εI =−μo

2π

d I (t )d t

r+a∫r

a d x

x=−aμo

2π

d I (t )d t

lnr +a

r[10]

habiéndose escogido d s en el mismo sentido que Bl (hacia dentro del papel) porlo que εI será positiva en sentido dextrógiro.

De [7] y [9], y tomando para la fem sentido dextrógiro:

εM = [v Bl (r )−v Bl (r +a )]a =μo I (t )

2πv a

�1

r− 1

r +a

�[11]

Finalmente, de [2], [3], [7],[10] y [11]:

ε (t ) =aμo

2π

�−%

lnr +a

r

& d I (t )d t

+v a

r (r +a )I (t )

�− L

d i (t )d t

[12]

La ecuación diferencial pedida se deduce de [6] y [12] que, escribiendo ya ladependencia explícita:

r (t ) = r (0)+v t [13]

quedaría:

aμo

2π

'−�

lnr (t )+x

r (t )

�d I (t )

d t+

v a

r (t ) [r (t )+a ]I (t )

(− L

d i (t )d t−Ri (t ) = 0 [14]

3.2. Basándose en la derivada total del flujo magnético

Un método alternativo de resolución del problema consistiría en, una vez adopta-do el modelo cuasiestacionario e identificado el carácter de circuito de la espira,ecuación [6], calcular la fem total en la misma mediante la expresión:

ε (t ) =−dΦ (t )d t

[5-22]

siguiendo el procedimiento indicado en la Sección 5.4 de la Parte Teórica.Dado que los parámetros R y L deben entenderse siempre como medidos en

el referencial espira, es lógico escoger como referencial uno ligado a ella.El campo total B (r, t ) que contribuye al flujo es:

B(r, t ) =Be (r, t )+B′l (r, t ) [15]

PROBLEMA 7.11 389

donde B′l (r, t ) es el campo magnético debido a la línea medido en el referencialespira, que puede calcularse aplicando la transformación galileana [5-19]:

B′l (r, t ) =Bl (r, t ) [16]

habiéndose ya calculado Bl (r, t ) en el punto anterior, expresión [9].El flujo Φ (r, t ) será la suma de los debidos a los campos Be (r, t ) y B′l (r, t ):

ΦL (t ) =

∫S

Be (r, t ) ·d s=Li (t ) [17]

Φl (r, t ) =

∫S

B′l (r, t ) ·d s=

r+a∫r

μo I (t )2πx

a d x =μo I (t )

2πa ln

r +a

r=

=M (r ) I (t ) [18]

donde, con objeto de simplificar la notación, se ha utilizado el símbolo M paraexpresar el coeficiente de inducción mutua dado por [7-27] en la Parte Teórica envez del L i I que estaría más acorde con la nomenclatura allí dada. De [18]:

M (r ) =Φl (r, t )

I (t )=μo

2πa ln

r +a

r[19]

Por tanto, la fem será:

ε (t ) =−dΦL (t )d t︸︷︷︸εL

−dΦl (r, t )d t︸︷︷︸εl

=−d [Li (t )]d t

− d [M (r ) I (t )]d t

=

=−Ld i (t )

d t︸︷︷︸εL

−M (r )d I (t )

d t︸︷︷︸εI

−I (t )d M (r )

d r

d r

d t︸︷︷︸εM

=

=−Ld i (t )

d t− μo

2πa

�%ln

r +a

r

& d I (t )d t− I (t )

a

r (r +a )v

�[20]

que coincide con la expresión [12]. Se han indicado mediante llaves inferiores lasdistintas contribuciones a la fem siguiendo la misma nomenclatura que en el Pun-to 3.1.

El resto de los cálculos serían idénticos a los realizados en el mencionado Pun-to 3.1.

390 PROBLEMA 7.12

PROBLEMA 7.12

Se tiene una línea conductora cilíndrica infinitamente larga, recorrida por unacorriente I (t ) y dispuesta horizontalmente, Figura 1. Por debajo de ella se dispo-ne una espira cuadrada de lado a construida con un alambre delgado de con-ductividadσ, densidad másica ρm y sección recta S de manera que su plano seavertical, contenga al eje del cilindro y su lado más próximo sea paralelo a dichoeje y esté a una distancia ro de él. En el instante t = to se abandona la espira a laacción de la gravedad. Despreciando la autoinductancia del circuito, se pide:

Obtener la ecuación diferencial del movimiento de la espira.

Figura 1

Solución


Cabe hacer aquí las mismas consideraciones que las que se han hecho en la elec-ción del modelo del Problema 7.11. Como allí, admitiremos la hipótesis:

H7.1−1 (aproximación cuasiestacionaria)

y el carácter de circuito de la espira con las matizaciones allí expuestas. No obs-tante, existe una diferencia entre ambos problemas: en el presente, la espira estásujeta a una aceleración, mientras que en el otro la velocidad era constante. Te-niendo en cuenta que se plantearán las ecuaciones del electromagnetismo desdeun referencial inercial, no será posible en este caso escoger un referencial ligado

PROBLEMA 7.12 391

a la espira, por lo que, por razones obvias, se escogerá uno ligado a la línea. Desdeese referencial, las cargas soportadas por la espira estarán sujetas a la aceleracióndel propio movimiento de la espira, lo que supone que, en general, serán fuentesde radiación. No entra en el alcance de esta obra el discutir las condiciones enlas que dichos efectos serían despreciables, de modo que, para poder admitir elmodelo cuasiestacionario, nos limitaremos simplemente a suponer que lo son. Endefinitiva, se despreciarán todos los efectos de radiación, tanto provenientes delas cargas y corrientes soportadas por los conductores como del movimiento dearrastre de la espira.

Por otra parte, asumiremos la hipótesis:

H5.1−1 (todas las velocidades que intervienen son mucho menores que la velo-cidad de la luz en el vacío)

que garantiza que es aplicable la transformación galileana, Sección 5.2 de la ParteTeórica, y la expresión [5-25] que permite calcular la fem en la espira a partir de loscampos vistos desde el referencial ligado a la línea.

Abordaremos ahora la identificación de la cadena de causas-efectos que deter-minarán el comportamiento del sistema, Figura 2.

La corriente I (t ) de la línea produce un campo magnético Bl (r, t ) que contri-buye al flujo total Φ (r, t ) abrazado por la espira. La parte de Φ (r, t ) debida a Bl (r, t )variará en el tiempo debido a la variación de la corriente I (t ) y debido también, porno ser uniforme el campo Bl (r, t ), al movimiento relativo de la espira respecto a lalínea. Por otra parte, la corriente de la espira i (t ) produce a su vez un campo mag-nético BL (r, t ) que también contribuye al flujo Φ (r, t ). La variación temporal deΦ (r, t ) produce una fuerza electromotriz ε (t ) en la espira que está relacionada conla corriente i (t ) a través del modelo de circuito correspondiente. La conjunción deesta corriente con el campo magnético exterior Bl (r, t ) producirá una fuerza me-cánica que se superpondrá a la de la gravedad. Esa fuerza resultante y la masa de laespira nos permitirán plantear la ecuación de la dinámica del movimiento pedida.

Figura 2

392 PROBLEMA 7.12

Es de destacar que en la expresión de la fuerza magnética entre dos circuitos fili-formes, [4-51], debe excluirse del campo magnético que aparece en dicha fórmulala contribución BL (r, t ) debida al propio circuito, tal como se detalla en la Subsec-ción 4.3.4 de la Parte Teórica. Por ello, para calcular la fuerza sobre la espira, debeconsiderarse solamente el campo de la línea Bl (r, t ).


Aunque ya se han realizado varias simplificaciones en el apartado anterior, todavíano se ha utilizado la información dada en el enunciado relativa a poder despreciarla autoinductancia de la espira. Esta hipótesis implica despreciar el bucle de reali-mentación de la Figura 2 que une el campo propio de la espira BL (r, t ) con el flujoΦ (r, t ), de modo que para el cálculo de este último y de la fem en la espira solo seconsiderará el campo de la línea Bl (r, t ).

3. Resolución

Lo primero que haremos es calcular la expresión del campo Bl (r, t ) en todo el es-pacio y particularizarlo posteriormente a la región de la espira.

Para el cálculo del campo Bl (r, t ), aún dentro del marco cuasiestacionario, exis-ten dos posibles modelos a utilizar: el cuasielectrostático, descrito en la Subsec-ción 7.1.1 de la Parte Teórica, y el cuasimagnetostático, descrito en la 7.1.2. En estecaso debe descartarse el modelo cuasielectrostático ya que los efectos de induc-ción son claramente no despreciables.

Una vez adoptado el modelo cuasimagnetostático, las expresiones de Bl (r, t )en función de sus fuentes son idénticas a las del modelo magnetostático con laexcepción de que ahora las fuentes y los campos dependen del tiempo. El cálculodel campo magnético producido por una línea indefinida puede obtenerse muyfácilmente aplicando la ley de Ampère [7-15] integrándola sobre una trayectoriacircular C ′ concéntrica con la línea, Figura 1:

Bl�ρ, t

�=μo I (t )

2πρ[1]

siendo su dirección azimutal y su sentido el dado por la regla de la mano derechaen función de I (t ).

La expresión general de la fem inducida se obtiene de [5-25] particularizándolaa este caso:

ε (t ) =−∫Σ

∂ Bl (r, t )∂ t

·d s +

∮C

u (t )∧Bl (r, t ) ·d r [2]

PROBLEMA 7.12 393

Figura 3

en donde:

u (t ) =d r (t )

d tax [3]

y el segundo sumando representa la aportación a esa fem del movimiento relativoentre la línea y la espira. Teniendo en cuenta [1] y la Figura 3 podemos escribir,tomando como sentido positivo de la fem el sentido dextrógiro:

−∫Σ

∂ Bl

∂ t·d s=−

r+a∫r

∂

∂ t

�μo I

2πρ

�a dρ =−μo a

2π

d I

d tln

r +a

r[4]

∮C

(u∧Bl) ·d r=

∫N P

d r

d tBl (r ) d l −

∫QM

d r

d tBl (r +a ) d l =

= ad r

d t

�μo I

2πr− μo I

2π (r +a )

�=

d r

d t

μo I

2π

a 2

r (r +a )[5]

De [2], [4] y [5] se llega a:

ε=μoa

2π

�I

d r

d t

a

r (r +a )− d I

d tln

r +a

r

�[6]

Por su parte, teniendo en cuenta el tratamiento de circuitos cuasiestaciona-rios expuesto en el Apartado 7.5.2.3 de la Parte Teórica, puede dibujarse el circuitoequivalente mostrado en la Figura 4 en el que ε (t ) es la fem sobre la espira calcu-lada en [6] y R es su resistencia.

394 PROBLEMA 7.12

Figura 4

La ecuación de circuito a aplicar se deduce de [7-138] eliminando los términosde la fem del generador y de la capacidad ya que en la espira no hay ni generadoresni capacitores:

ε (t ) =Ri (t ) [7]

La resistencia R de la espira es la suma de las de sus cuatro lados, que se dedu-cen de [7-125]:

R = 4a

σS[8]

De [6]-[8]:

i (t ) =ε (t )

R=μoσS

8π

�I

d r

d t

a

r (r +a )− d I

d tln

r +a

r

�[9]

La fuerza sobre la espira debida a la conjunción de esa corriente y el campo Bl

viene dada por [4-51]:

F (t ) = i (t )

∮C

d r∧Bl (r, t ) =

= i

∫M N

d r∧Bl+ i

∫N P

d r∧Bl+ i

∫PQ

d r∧Bl+ i

∫QM

d r∧Bl =

= FM N +FN P +FPQ +FQM [10]

Todas estas fuerzas, teniendo en cuenta los sentidos de Bl y de d r, tienden a abrirla espira, Figura 5. Debido a la simetría, las contribuciones a las fuerzas FM N yFPQ tienen el mismo módulo para cada valor de ρ, por lo que no contribuyen almovimiento de la espira. La resultante, por tanto, es:

PROBLEMA 7.12 395

i(t)

FNP

N P

M Q

Bl

FPQ

FMN

z

ax

FQM

Figura 5

F (t ) =−i (t )ax

a∫0

Bl (r, t )d l + i (t )ax

a∫0

Bl (r +a , t )d l =

=−i (t )aμo I (t )

2π

a

r (r +a )ax [11]

y de [11] y [9]:

F (t ) =−%μoa

4π

&2 σSI

r (r +a )

�I

d r

d t

a

r (r +a )− d I

d tln

r +a

r

�ax = F ax [12]

N P

M Q

z

ax

F

r(t)

mgax

Figura 6

La ley dinámica, teniendo en cuenta la Figura 6, será:

∑Fx = F +m g =m

d 2r

d t 2[13]

y, finalmente, la ecuación diferencial del movimiento de la espira pedida será, de[12] y [13]:

396 PROBLEMA 7.13

m g −%μoa

4π

&2 σSI

r (r +a )

�I

d r

d t

a

r (r +a )− d I

d tln

r +a

r

�=m

d 2r

d t 2[14]

donde la masa de la espira se calcula como:

m = 4Saρm [15]

La ecuación diferencial [14] puede escribirse en forma más compacta como:

d 2r

d t 2+

G I 2 (t )a

r 2 (r +a )2d r

d t− G I (t )

r (r +a )d I (t )

d tln

r +a

r− g = 0 [16]

donde se han agrupado algunas de las magnitudes constantes en un único pará-metro G :

G =%μo

8π

&2 aσ

ρm[17]

4. Discusión del resultado

La ecuación diferencial [16] corresponde a lo que pide el enunciado del problema.Se trata de una ecuación no lineal de segundo orden.

Para conocer la ecuación r (t ) del movimiento de la espira habría que inte-grar dicha ecuación diferencial, para lo que se utilizarían las condiciones inicia-les r (to) = ro y (d r /d t ) (to) = 0, dadas en el enunciado (la segunda condición estádada implícitamente cuando se dice que en t = to la espira es abandonada a laacción de la gravedad, por lo que debe entenderse que parte del reposo).

PROBLEMA 7.13

Se arrollan N vueltas de hilo conductor a lo largo de un contorno plano y cerradoarbitrario que encierra un área S. La bobina así formada tiene una resistencia R

y un coeficiente de autoinducción L, estando el conjunto inmerso en un campomagnético externo uniforme, perpendicular a dicho plano y de módulo Be (t ) =Bo cosωt . En esas condiciones se hace girar dicha bobina alrededor de un ejecontenido en su plano con una velocidad angular igual a la frecuencia angularω del campo Be (t ), verificándose que en t = 0 el vector superficie S de la bobinatiene la misma dirección y sentido que Be en ese instante. Si se conectan losterminales de la bobina a las armaduras de un condensador de capacidad C

mediante cables de un material conductor perfecto, se pide:

La expresión de la corriente que atraviesa la bobina en función del tiempo unavez alcanzado el régimen estacionario.

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