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Abstract—En el presente documento se detallaran los pasos

para la modelación y simulación de un convertidor Buck,

actividad correspondiente a una de las tareas del módulo

integración I de ingeniería en Mecatrónica, se buscará comparar

simulaciones propias con las simulaciones de paquetes

comerciales como lo es PSIM.

I. INTRODUCCION

L introducirse en el mundo del control y simulación de

sistemas siempre se interactúa con programas y paquetes

de simulación comerciales, a veces sin pensar todos los

procesos que hay detrás de los resultados finales, en esta

ocasión se hará la simulación de un convertidor Buck, sistema

que es una fuente conmutada DC-DC que reduce la tensión de

salida con respecto la tensión de la fuente de alimentación,

manteniendo la tensión de salida constante, frente a las

variaciones de tensión, el convertidor presentado a

continuación posee más almacenadores de energía que el Buck

converter tradicional, ya que tiene representado en sus

componentes la inductancia de la red (L0) y también además

de la carga resistiva, posee un filtro formado por una bobina

que eliminaría el rizado de corriente y un condensador que

eliminaría el rizado de tensión producido por el switch.

Fig. 1 Esquema del convertidor Buck a simular.

TABLA I

PARÁMETROS DEL CONVERTIDOR BUCK

L0 5 mH

C1 2000 uF

L1 10 mH

R1 100 Ohm

C2 1 uF

R2 10 Ohm

L2 1 mH

C3 10 uF

R3 1 Ohm

S1 10KHz-d50%

Va 220 V 50 Hz

II. MODELO Y ECUACIONES DINÁMICAS

En primer lugar se realizará el proceso de escribir las

ecuaciones que describen al sistema de convertidor Buck, las

cuales se obtienen con las leyes de Kirchhoff de nodos y

mallas.

Para el análisis se consideraran los efectos que produce la

posición del Switch en el circuito, con lo cual se tienen dos

posibles esquemas a analizar, un esquema con el interruptor

cerrado y otro con el switch abierto.

Obteniendo las ecuaciones, se podrá formar un sistema de

ecuaciones diferenciales, que de ser resuelto describirá las

variables de estado y su evolución en el tiempo ante la acción

de la fuente y del switch, variables que en este caso

corresponden a las corrientes en los inductores y voltajes en

los capacitores.

Para el caso de la posición S=1, correspondiente al switch

cerrado se tiene el siguiente esquema:

Fig. 2 Topologia del convertidor Buck con S1=1.

Se presenta el siguiente análisis que arroja las siguientes

ecuaciones describiendo el nodo y las mallas que se muestran

en la figura 2:

Tareas Taller de integración I –Convertidor Buck

José Quintanilla Acevedo1, Nicolás Vicencio Mora

2

Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca, Curicó 1jquintanilla12@alumnos.utalca.cl 2nvicencio12@alumnos.utalca.cl

Ingeniería en Mecatrónica

Chile

A

2

Para la malla 1:

( )

Para el nodo 1:

( )

Para la malla 2:

En donde se aplica la regla correspondiente a corrientes en un

nodo, para poder describir la corriente que se conduce por el

resistor , la cual se puede escribir como: la corriente que

alimenta al nodo del resistor (o bien la corriente que circula

por ), menos la cantidad de corriente que circulará por los

otros dos condensadores de la izquierda y , ya que son

éstos los que definirán la corriente que circulará por la línea

en donde se ubican, debido a la conexión en serie que se

presentan, quedando para la malla 2:

( )

(

( )

( )

)

Para la malla 3:

Para esta malla y para la número 4, se usará la misma relación

de la corriente que circula por la resistencia , ya que con la

caída de voltaje producida en esta resistencia, se puede

deducir el voltaje en los extremos de las 2 piernas restantes, ya

que se presenta una conexión en paralelo entre estas tres

piernas de la derecha del circuito, quedando:

(

( )

( )

)

Para la malla 4:

( )

[

( )

] (

( )

( )

)

Como se presenta la particularidad de que para describir el

voltaje en el inductor se necesita la expresión de la

corriente que circula por él, este voltaje se debe escribir como

una doble derivada sobre la variable que es en definitiva la

que en el análisis, definirá la corriente de esta particular

conexión en serie entre un inductor, un capacitor y un resistor.

Quedando finalmente:

( )

[ ]

(

( )

( )

)

Ahora para el circuito con el S1=0 se presenta la siguiente

conexión equivalente:

Fig. 3 Topologia del convertidor Buck con S1=0.

Donde se puede realizar el siguiente análisis:

Para la malla 1:

( )

Para el nodo 1:

( )

Para la malla 2:

( )

(

( )

( )

)

Para la malla 3:

(

( )

( )

)

Para la malla 4:

( )

[

( )

] (

( )

( )

)

Quedando finalmente:

( )

[ ]

(

( )

( )

)

Se puede observar que estas ecuaciones solo difieren de 2

expresiones, las cuales dependen de la posición del switch, por

lo cual se puede crear una relación ente éstas.

Ahora consolidando las ecuaciones de ambos modelos, las

cuales describen el comportamiento del convertidor buck, que

además dependen de , quedan:

( )

( )

( )

(

( )

( )

)

(

( )

( )

)

3

( )

[ ]

(

( )

( )

)

III. ALGORITMOS DE INTEGRACIÓN

Existen poderosos algoritmos para la resolución de ecuaciones

diferenciales ordinarias u ODEs, siendo la base del campo de

simulación digital de sistemas continuos

El concepto básico de la simulación digital es que, para

simular sistemas continuos en un computador (mundo digital),

la variable independiente (en general el tiempo) debe ser

discretizada de modo que las ecuaciones diferenciales se

transformen en ecuaciones en diferencias (mundo discreto).

Como todas las variables son función de la variable

independiente, sólo son calculadas en valores discretos de la

variable independiente.

• Si la simulación opera con incrementos constantes de

tiempo ∆t, esos instantes pueden calcularse de la forma:

T (en cada iteracion)= t inicial+k·∆t,

siendo k=0,1,2,3,4,5…,(tmax-to)/∆t.

Así la simulación comenzará en el tiempo inicial y terminará

en el tiempo máximo dado.

Existen muchos algoritmos que aproximan las soluciones

requeridas, Están los métodos implícitos e explícitos estos

últimos, donde el valor de los puntos siguientes vienen dados

por:

( )

Siendo este tipo de método el que será utilizado para esta

actividad.

Dentro de los métodos explicitos existen varios algoritmos,

como por ejemplo los siguientes:

•Aproximación de orden 0 (Euler)

• Aproximación de orden 1(Adams-Bashforth)

• Polinomios de extrapolación

• Métodos de Runge-Kutta

Para aproximar la solución a las ecuaciones se usara el método

explícito de Euler, es el algoritmo integrador de EDOs más

simple, por ende el más rápido de implementar en código de

Matlab o lenguaje C.

El método de Euler consiste en reemplazar una derivada por

una aproximación discreta:

( ) ( ) ( )

Válida para un paso h pequeño.

Desde ahí nace la solución de un problema de valor inicial que

se presentan como del tipo del tipo:

{ ( ) ( ( )) [ ]

( )

Si se reemplaza quedaría:

( ) ( )

( ( ))

Y para los efectos se solución lo buscado seria:

( ) ( ) ( ( ))

Si se comienza con la condición inicial ( ) el primer

valor solución buscado seria:

( ) ( ( ))

Esto último define una aproximación para ( ).

Una vez calculada esta aproximación, se puede utilizar para

obtener la aproximación y2 correspondiente a ( ).

( )

Y si se repite este proceso se pueden obtener aproximaciones

para ( ).

Quedando el algoritmo para un tiempo discreto equiespaciado:

Como se tiene más de una ecuación solo bastará evaluar de

forma simultánea a cada ecuación por separado, teniendo en

cuenta que se debe tener tantas condiciones iniciales como

incógnitas para que el algoritmo funcione, ya que al tratarse de

un sistema algunos “estados” dependen de otros.

IV. ACONDICIONAMIENTO DE ECUACIONES

Si se aprecian las ecuaciones dinámicas expresadas en el

análisis, se destaca una derivada de segundo orden, la cual

para efectos de solución analítica son muy difíciles de resolver

y más aun numéricamente, pero ventajosamente se sabe que

una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un

sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, por

lo cual el problema es posible de eliminar, aumentando el

número de ecuaciones.

Para ordenar las ecuaciones, y así acomodarse a la sintaxis del

algoritmo a utilizar se redefinirán las siguientes variables:

( )

( )

4

( )

( )

[ ]

Reordenando estas ecuaciones, solo en función de estados y

entradas:

( )

[ (

) ]

( )

[

( (

) )]

Cabe decir que acomoda aún más siendo que esta forma de

escribir las variables, es la acostumbrada para describir

variables de estado en sistemas por lo cual es aún más

familiar.

Tambien se debe despejar cada variable derivada, y deben

quedar solo en función de variables de estado no derivadas,

entradas y perturbaciones como lo son el switch y el voltaje de

la fuente, esto se consigue relacionando algebraicamente el

conjunto de ecuaciones del sistema de ecuaciones final, que

tendrá 6 ecuaciones.

A continuacion se presentara la simulacion en un paquete

comercial para circuitos para luego abordar el problema de

integracion por medio de codigo.

V. SIMULACIÓN EN PSIM

PSIM es una herramienta de simulación de circuitos

desarrollada por la empresa Powersim. Este software está

especialmente diseñado para simulaciones de electrónica de

potencia, control de motores y sistemas dinámicos, en este

caso se simulará el convertidor Buck propuesto.

Para estos efectos y como la interfaz del simulador es intuitiva

solo resta disponer de los componentes del circuito y dar valor

a los parámetros expuestos en la tabla 1.

Uno de los aspectos relevantes y que merece ser mencionada

de la simulación es la utilización de un transistor bipolar de

puerta aislada (IGBT), que generalmente se aplica como

interruptor controlado en circuitos de electrónica de potencia y

en especial para conmutaciones de alta frecuencia, para

simularlo se usara el siguiente arreglo para que actúe de forma

casi ideal.

Fig. 4 Esquema del control del switch S1.

Este arreglo tiene como controlador una fuente de voltaje de

onda cuadrada a la cual le será asignada una frecuencia y un

ciclo de trabajo, seguido de esto y antes del switch se

encuentra un controlador de encendido y apagado del switch.

Teniendo ésto claro se deben explicitar las variables que se

desean simular por lo cual habrá que insertar voltímetros y

medidores de corriente en los condensadores y en los

inductores respectivamente, ya que son estas las variables a las

cuales se pretende buscar solución numérica.

Con lo cual se tendrá lo siguiente en la ventana de simulación:

Fig. 5 Implementacion del Buck en PSIM.

Con esto se procede a la simulación, a la cual se le debe dar un

tiempo de duración y también indicar las variables a mostrar

en los gráficos, los cuales deben ser etiquetados en los

voltímetros y amperímetros.

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Fig. 6 Respuesta de las variables en PSIM.

Se observa que la corriente del inductor L0 tiene valores

transitorios hasta el tiempo de 0.01 s que es el tiempo de un

semi-ciclo positivo de la fuente de alimentación de 50 Hz,

para luego reducir bastante su valor al igual que las corrientes

restantes como la de los inductores L1 y L2 que rondan en

valores cercanos o menores de 1 A.

Cosa distinta ocurre con los voltajes ya que el voltaje del

condensador C1 eleva bastante su tensión sobrepasando los

340 V, mientras que los voltajes de los capacitores C2 y C3

rondan en los 170 V siendo VC2 un poco más rizado u

ondulatorio que el voltaje VC3 debidos a los efectos del

interruptor. Para efectos de exactitud de soluciones, se

discutirá en lo sucesivo del documento, pero estos son los

resultados de los cuales habría que comparar con la simulación

con las ecuaciones escritas anteriormente.

VI. SIMULACIÓN EN MATLAB

Para simular el convertidor en MATLAB se debe tener en

mente todos los pasos a realizar previamente, primera vista lo

que se debe hacer es resolver el sistema de ecuaciones

diferenciales que se encontraron en el análisis de la dinámica

del circuito, e intentar mostrar los resultados en un lapso de

tiempo.

Pero este sistema a simular tiene varias particularidades, como

lo son que posee una fuente de voltaje alterno, con una

frecuencia de 50 Hz y también que el circuito tiene un diodo

en la fuente que actúa como rectificador de media onda, y que

a la vez, al estar polarizado en inversa actúa como un circuito

abierto, por ultimo lo más importante es el comportamiento

del switch ya que se debe simular la frecuencia de éste.

Todos estos aspectos mencionados, deben acompañar a la

simulación mientras se resuelve el sistema de ecuaciones

diferenciales con el algoritmo presentado, como todos estos

puntos varían en el tiempo, deben cambiar también en los

tiempos de simulación discreta.

Las funciones estarán disponibles en el apéndice.

Cabe decir también que el switch se puede modelar con un

modelo promedio, en donde esa señal binaria se reemplaza por

un valor continuo controlable entre 0 y 1, fenómeno que

correspondería en la realidad a controlar el ciclo de trabajo de

la señal moduladora, eliminando el rizado simulado.

Para abordar estas particularidades se deben crear funciones

de MATLAB que en cada iteración del algoritmo de

integración devuelvan un valor particular para el tiempo

representado en cada iteración.

Fig. 7 procedimiento para encontrar solución al sistema.

El resultado de la simulación en matlab, presenta mucha

similitud con el resultado del software PSIM, solo restaría

analizar en detalle cada valor en puntos particulares para ver

las diferencias que tienen las dos formas de simulación, pero a

primera vista los resultados no están tan alejados de la

realidad.

ESTABILIDAD DEL ALGORITMO

Un método es estable si produce soluciones acotadas cuando

la solución exacta es acotada y es inestable cuando produce

una solución no acotada cuando la solución exacta es acotada.

Hay varias definiciones de estabilidad, informalmente, se dice

que un método es inestable si los errores en las

aproximaciones crecen en forma exponencial a medida que el

cálculo avanza.

Para ver el rango de validez del método propuesto se probarán

valores del tamaño del paso de tiempo, ya que por la

definición del algoritmo este valor de paso define cuanto se

aleja de la función real ya que es una aproximación por medio

de una tangente. El hecho de que la estabilidad del método

dependa del valor de h, hace que el método sea

“condicionalmente estable”.

La simulación, al igual que en PSIM se realiza para un tiempo

de 0.02 segundos, por lo cual los pasos serán definidos tal

como lo dice el algoritmo presentado en el diagrama de flujo,

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de la forma:

[( ) ( )]

Donde el tiempo inicial será 0 segundos.

Resultados:

Para un paso de :

Fig. 8 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/1000 .

En este primer intento se observa que un paso de esta

magnitud, hace que la simulación exprese valores muy

elevados hacia el final del tiempo simulado, lo cual expresa de

forma enérgica que el paso dado no es suficiente para obtener

resultados, al menos en los rangos esperados, ya que se conoce

que las variables de estado simuladas no son tan inestables en

el tiempo.

Para un paso de 0.02/2000:

Fig. 9 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/2000 .

En este valor de paso se prueba la alta dependencia del de

paso, de los valores de las variables entregados, se aprecia que

empieza a haber una similitud con la respuesta entregada con

el software PSIM, con la sola salvedad de que la variable

X4(VC2), realiza una oscilación excesiva en comparación con

PSIM.

Para un paso de 0.02/3000:

Fig. 10 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/3000 .

Acá se observa una muy cercana aproximación a los

resultados de PSIM, con la reducción del paso se logra un

mejor resultado sin aumentar tanto el número de pasos, con

respecto al primer valor de paso, en donde los resultados no

correspondían ni en lo más mínimo al resultado real.

Para un paso de 0.02/500000:

Este número de paso aplicado solo fue hecho para comprobar

que el aumento de numero de pasos o la reducción del tamaño

del paso en demasía, no variará en mucho el resultado más

bien, solo hilará un poco más fino en los valores exactos, sin

afectar de gran manera en la estabilidad del sistema.

Fig. 11 Respuesta de las variables con euler paso 0.02/500000 .

VII. COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Para comparar los resultados se debieron importar los

resultados de PSIM hacia el ambiente de trabajo de

MATLAB, esto se hizo aprovechando la opción de guardar

como texto con extensión .txt, en forma de columnas para

cada valor en el tiempo de las variables simuladas en PSIM,

7

para así poder leerlo en MATLAB. Lo que permitiría poder

comparar gráficas montando una encima de la otra y calcular

el error cuadrático medio. Cabe mencionar que PSIM también

posee un selector de tiempo de paso, por lo cual la

comparación será hecha con los algoritmos al mismo paso de

tiempo.

Fig. 12 ajuste de paso de PSIM .

Para poder leer los valores, en primer lugar el archivo de texto

debe ser transformado a un archivo de planilla de Excel para

luego leerlo en matlab como una matriz de valores con el

comando num = xlsread('archivo.xls').

A continuación se presentan ambas graficas superpuestas,

simulación en MATLAB y PSIM, se observa una gran

concordancia entre las curvas, menos en las que representan a

los condensadores C2 y C3.

Fig. 13 Respuesta de las variables comparadas PSIM-MATLAB .

Para poder calcular el error cuadrático medio, se recurrió a su

enunciado el cual nos arroja el promedio de los errores al

cuadrado del estimador, que en este caso es la simulación en

MATLAB por el método de Euler, y donde se tomarán como

valores verdaderos el resultado en PSIM, se calcula de la

siguiente forma:

∑( )

Donde es un vector de n predicciones e es el vector con

los valores verdaderos.

Los resultados de error para las 6 variables dan los siguientes

resultados. TABLA II

ERROR CUADRÁTICO MEDIO PARA CADA VARIABLE

Error X1 0.8295

Error X2 0.1881

Error X3 0.0102

Error X4 89.6916

Error X5 85.38

Error X6 0.0260

Los resultados de los errores coinciden con las diferencias que

se pueden apreciar gráficamente, se presentan valores muy

bajos para las variables excepto para X4 y X5,

correspondientes a los valores de los voltajes de C2 y C3, este

error se puede explicar ya que desde el comienzo del tiempo

de simulación las gráficas están separadas, al contrario de las

demás que se encuentran casi superpuestas.

También se debe considerar que con el interruptor produce

una especie de oscilación en la respuesta de las variables

mencionadas, por lo que se hace más difícil que entre una

simulación y otra calcen en su variación en el tiempo, A todo

esto se debe sumar que el algoritmo de Euler siempre produce

errores para curvas con muchos relieves, cosa que sucede en

este caso.

Se hizo una prueba con el método de Euler con un paso mucho

mayor que el de PSIM, con lo cual se puedo obtener una

simulación más cercana al valor de PSIM, la cual arroja la

siguiente grafica en la zona de conflicto de variables X4 y X5.

Fig. 14 Respuesta de las variables comparadas con mayor paso Euler.

Se puede apleciar que mejorando el paso, se mejora

demasiado la sumulación, quedando las graficas cuestionadas

casi montadas una ensima de la otra, lo que costo eso si,

demasiado tiempo.

VIII. CONCLUSIÓN

La implementación de un algoritmo integrador, da a conocer

todo el trabajo que hay detrás de una simulación de un

sistema, en este caso se utilizó el algoritmo más simple para

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solucionar sistemas de EDOs, el cual si bien aproxima los

resultados de una forma cercana a la realidad, deja bastante

que desear al momento de compararse con algoritmos más

sofisticados como lo son los métodos multipaso runge-kutta, o

los propios algoritmos internos de los paquetes simuladores,

ya que para acercarse a la precisión de las respuestas se

necesita una cantidad enorme de puntos a considerar en las

iteraciones, Aunque mirando el lado positivo del método es de

muy fácil implementación y una buena opción resolver

sistemas simples y con respuestas no tan bruscas, ya que como

se vio en el análisis de los errores las curvas con más

oscilaciones les son más difíciles de aproximar a un algoritmo

tipo Euler.

Por último la experiencia ganada en este trabajo fue mucha ya

que costó mucho encontrar las ecuaciones y relacionarlas para

que se formara un sistema de ecuaciones discretizable, fue de

gran satisfacción ver que la respuesta simulada manualmente

se correspondiera a la respuesta de un gran simulador como lo

es PSIM.

IX. REFERENCIAS

Carrasco, H. (2004). Control difuso de conversores Buck y

Boost. Universidad de Magallanes.

cruz, D. a. (2009). Resolvedores EDOs. Matematica superior

aplicada.

Muñoz, J. (2014). Sistemas Dinámicos. Curicó: Universidad

de Talca.