Breve introduccin a la obra deBreve introduccin a la obra deA. N. Kolmogorov (19031987)A. N. Kolmogorov (19031987)

Fco. Javier Girn Gonzlez-Torre

(Real Academia de Ciencias y Universidad de Mlaga)

Madrid, 4 de Febrero de 2004

CONTENIDO

Breve resea cientfico-biogrfica

Campos de la Matemtica en los que Kolmogorov realiz aportacionesfundamentales

Contribuciones a la Estadstica Matemtica

Kolmogorov y la educacin matemtica

Breve resea cientfico-biogrfica

Fig. 1. Kolmogorov, a la edad de 5 aos,junto a su ta, Vera Yakovlevna.

Fig. 2. Kolmogorov el da que cumpli80 aos (25 de Abril de 1983).

Naci el 25 de Abril de 1903. En 1920 fue a estudiar matemticas a Mosc bajo la supervisin de Stepanov. En 1922 consigui su primer resultado importante . . . que no existe una tasa de

convergencia a cero, lo ms lenta posible, de los coeficientes de Fourier de unafuncin integrable.

En ese mismo ao, con 19 aos, construy el primer ejemplo de una funcinintegrable cuya serie de Fourier diverge casi por doquier y refin el resultadodesde el casi por doquier a todo punto, lo que le hizo universalmente famoso.

En 1925 escribe un artculo con Jinchin en el que demuestran por vez primera elteorema de las tres series.

Poco ms tarde, como alumno de doctorado de Luzin, public 18 artculos sobreclculo de probabilidades y lgica intuicionista.

En 1931 sent las bases de la teora moderna de los procesos de difusin y losrelacion con la teora de las ecuaciones en derivadas parciales.

En 1931 fue nombrado catedrtico de la Universidad de Mosc. Publica su famosa monografa Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnnung

(1933) escrita en un bosque junto a la ribera de un riachuelo.

En la dcada de los aos 30 del siglo XX, adems de proseguir con su trabajoen la teora de la probabilidad, desarroll la teora de la cohomologa, la teora dela reversibildad estadstica y, en colaboracin con Gelfand, la teora de los ani-llos de funciones continuas sobre espacios topolgicos, entre otras numerosasaportaciones.

De 1938 procede uno de los trabajos ms influyentes de Kolmogorov sobre elsuavizado y la prediccin de procesos estocsticos.

De 1940 es su famoso artculo sobre la turbulencia, tema en el que sigui traba-jando durante un largo perodo.

En 1942 se casa con Anna Dimitrievna Egovora. En 1946 es nombrado director del Laboratorio de Turbulencia del Instituto Aca-

dmico de Geofsica Terica y, en 197072, a la manera del capitn Cook, zarpen una vuelta al mundo en el barco oceanogrfico Dimitri Mendeleyev, comosupervisor cientfico de un estudio sobre la turbulencia ocenica.

En los aos de la posguerra public artculos sobre geologa matemtica, infe-rencia estadstica y procesos de ramificacin y public un libro con Gnedenkoque pronto se convirti en un clsico The Limit Distributons for Sums of Indepen-dent Random Variables. En 1951 public un artculo sobre cadenas de Markov entiempo continuo que gener una cantidad inmensa de literatura sobre el tema.

Desde 1950 en adelante los trabajos cientficos ms importantes de Kolmogorovse centraron alrededor de cuatro ideas fundamentales: probabilidad, dinmica,informacin y complejidad. Su otra actividad importante fue la educacin ma-temtica.

Kolmogorov fue una persona que mostr un gran respeto y admiracin por otrosgrandes matemticos de su poca como Frchet, a quin llamaba su maestro,Doob y Fisher.

Falleci el 20 de Octubre de 1987.

Campos de la Matemtica en los que Kolmogorovrealiz aportaciones fundamentales

Teora de las series trigonomtricas Teora de la medida Teora de los conjuntos Teora de la integracin Lgica constructiva (intuicionismo) Topologa Teora de la aproximacin Teora de la probabilidad Teora de los procesos estocsticos Teora de la informacin

La estadstica matemtica Sistemas dinmicos Teora de autmatas Teora de algoritmos Lingstica matemtica Teora de la turbulencia Mecnica celeste Teora de las ecuaciones diferenciales Al 13er problema de Hilbert Balstica Aplicaciones de las matemticas a problemas de la Biologa, Geologa, y a la

cristalizacin de metales

Contribuciones a la Estadstica Matemtica

La estadstica no paramtrica: Los tests de Kolmogorov (1933) y de Kolmogorov-Smirnov (1939).

Importante extensin del teorema de Glivenko-Cantelli.Si Dn(x) = sup |Fn(x) F (x)|, donde Fn(x) es la distribucin emprica y F (x)es continua, entonces

limn

Pr(

nDn < ) = Q() =

k=(1)k exp(2k22) si > 0.

A la distribucin lmite Q(), que no depende de F , se la conoce con elnombre de distribucin de Kolmogorov-Smirnov (1939).

El concepto de suficiencia parcial, o K-suficiencia, relacionada con la suficienciaparcial en presencia de parmetros marginales de la suficiencia bayesiana (1942).

Suavizado y prediccin de series temporales estacionarias (1938). Trabajos relacionados con los de Norbert Wiener sobre el mismo tema y

aproximadamente de la misma poca, de modo independiente pero comple-mentario, mantenidos en secreto debido a su importancia militar, aunque alparecer no hay duda de que Kolmogorov fue el primero.

Este trabajo supuso una revolucin y tuvo una influencia inmensa al esta-blecer un nexo entre los probabilistas y los estadsticos, e inici una nuevarama de la ingeniera y de la economa.

El paso del estudio de los procesos estacionarios a los campos estocsticosy de estos al estudio de la turbulencia era el paso natural, que condujo aKolmogorov a uno de sus descubrimientos ms importantes en 1940.

Teora de los estimadores insesgados (1950).Utiliza el teorema de Rao-Blackwell (1945-47) para calcular un estimador inses-

gado de la proporcin =

(c

)

de los valores que estn por debajo de un valor c en una poblacin normal deparmetros y desconocidos.

Kolmogorov y la educacin matemtica

Durante la etapa en la que Kolmogorov se dedic a la complejidad, a partir de ladcada de los 50, se interes de forma muy activa en los problemas de educacinmatemtica, sobre todo en la creacin de escuelas para nios superdotados, enespecial en la patrocinada por la Universidad del Estado de Mosc.

El poner en marcha este programa se debi al gran prestigio de que goz Kolmo-gorov entre la clase poltica, a pesar de no haber participado nunca en lla.

En esa escuela, en la que Kolmogorov imparta 24 horas semanales de clasedurante muchos aos, adems de elaborar planes de estudio, escribir libros,enseaba literatura, poesa, arte y msica, organizaba excursiones y marchas.Su idea era ampliar y abrir nuevos horizontes que moldearan la personalidad delos nios, sin importarle que ms adelante fuesen matemticos. Lo que realmentele importaba era que en su futura profesin, cualquiera que fuese, mantuvieranuna gran amplitud de miras y tuvieran una curiosidad ilimitada.

As dej sentados los cimientos para que otros continuasen con su labor.

Fig. 3. Kolmogorov enseando en suescuela, 1968.

Fig. 4. Kolmogorov dirigindose a losnios.

Fig. 5. Kolmogorov dando clase en laescuela-guardera de matemticas.

Eplogo

Alexandrov, con motivo del 50 cumpleaos de Kolmogorov, comenta lo siguiente:

Kolmogorov pertenece a ese reducido grupo de matemticospara los que cualquier publicacin en cualquier rea conduce a unarevisin completa de la misma. Es difcil en esta poca (1953) en-contrar un matemtico que se interese en tantos campos de espe-cializacin, y que haya tenido tanta influencia en el desarrollo delas matemticas . . . baste decir que Hardy lo tom por un especia-lista en series trigonomtricas y von Harman por un especialista enmecnica.