BREVE HISTORIA DE LA DERIVADA

La historia de la Derivada nos muestra la complejidad que tuvo su desarrollo durante veinte

siglos y cómo no fue producto de una o dos personas, sino que se requirió de la participación de

muchos personajes para llegar a su definición actual.

Este proceso inicia desde los griegos al plantearse cuatro problemas fundamentales que al ser

resueltos en los siglos XVI y XVII formalizaron a la función derivada y son: el de velocidad, el

de la recta tangente, el de área bajo una curva y el de máximos y mínimos (Ramírez, 2009).

El problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto de ésta interesó

profundamente a los matemáticos griegos de la antigüedad, quienes concibieron inicialmente la

tangente como una recta que toca a la curva sin cortarla, cuya inspiración provino de sus

observaciones sobre el círculo. A finales del siglo IV a.C., Euclides presentó en los Elementos de

Geometría los resultados relativos a la tangente al círculo, entre los cuales se destaca el siguiente:

“Se dice que una recta es tangente al círculo cuando lo toca y prolongada no lo corta”, idea que

muchos alumnos aún tienen sobre la tangente a cualquier curva (Alarcón, Suescún y de la Torre,

2005).

Había dificultades, sin embargo, para aplicar los métodos euclidianos a otra clase de figuras

geométricas planas conocidas también por los griegos, como, por ejemplo, la espiral de

Arquímedes. Este matemático del siglo III a.C. pudo encontrar la tangente a la curva, al seguir

posiblemente consideraciones de tipo cinemático, que le permitieron determinar la dirección

instantánea del movimiento del punto mediante el cual se genera la curva (Alarcón et al, 2005).

Con el desarrollo de la geometría analítica se clarificó la relación entre las curvas y las

ecuaciones, y el hecho de que toda ecuación en dos variables determinara una curva en el plano

produjo una verdadera explosión de nuevas curvas, con algunas de las cuales resultaba

inadecuado el concepto griego de tangente. Veamos el ejemplo de la parábola cúbica que se

presenta en la Figura 3:

Figura 3. Parábola cúbica.

¿Cómo se determina la tangente en el punto B, donde la curva y el diámetro coinciden, si se

concibe la tangente como una recta que toca, pero no corta, a la curva? Todo ello llevó a que los

matemáticos del siglo XVII, como Descartes, Fermat, Roberval, Barrow y Torriccelli, retomaran

o criticaran los métodos de los antiguos griegos y se dieran a la tarea de desarrollarlos y

aplicarlos para la obtención de la recta tangente a cualquier curva (Alarcón et al, 2005).

Fermat, como una aplicación de su método de máximos y mínimos, determinó en una de sus

obras la tangente a una parábola. Es importante señalar, antes de describir este procedimiento,

que la tangente será conocida si, dado el punto de tangencia, puede determinarse el punto de

intersección de la tangente con el eje de la parábola. Para determinar este punto basta con

encontrar la proyección sobre el eje, del segmento de tangente comprendido entre el punto de

tangencia y el punto de intersección; esta proyección es llamada la subtangente (Alarcón et al,

2005).

Apolonio había resuelto el problema en Las Cónicas, de la manera siguiente: “Si desde un

punto de una parábola se traza de una manera ordenada una recta sobre el diámetro y se toma una

(1)

igual a la que esta última determina en el diámetro en la dirección de este y a partir del vértice, la

recta de unión del punto así obtenido con el que se tomó en la parábola será tangente a ésta”

Se considera la parábola 𝐷𝐵 de eje 𝐷𝐶, como se ilustra en la Figura 4. La idea de Fermat es

aplicar su método de máximos y mínimos para hallar la tangente a la parábola en el punto 𝐵. Sea

𝐵𝐸 la recta buscada, entonces se toma un punto arbitrario 𝑂 sobre 𝐵𝐸 y se traza el segmento 𝐼𝑂

paralelo a la ordenada 𝐵𝐶, donde 𝑃 es el punto de intersección de este segmento con la parábola.

Figura 4. Tangente a la parábola.

El procedimiento seguido por Fermat es el siguiente: De la desigualdad 𝐼𝑂 > 𝐼𝑃 y de la

propiedad característica de la parábola, que se expresa mediante la proporción siguiente:

𝐷𝐶: 𝐷𝐼 = 𝐶𝐵2: 𝐼𝑃2

se obtiene

𝐷𝐶: 𝐷𝐼 > 𝐶𝐵2: 𝐼𝑂2.

Como los triángulos 𝐸𝐼𝑂 y 𝐸𝐶𝐵 son semejantes, se tiene:

𝐶𝐵2: 𝐼𝑂2 = 𝐸𝐶2: 𝐸𝐼2

y, por lo tanto,

𝐷𝐶: 𝐷𝐼 > 𝐸𝐶2: 𝐸𝐼2

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(2)

Al hacer 𝐸𝐶 = 𝑎 (𝑎 es la incógnita), 𝐷𝐶 = 𝑑 (𝑑 es conocida, pues el punto 𝐵 está dado) y

𝐼𝐶 = 𝑒 en (1), se tiene:

𝑑: (𝑑 − 𝑒) > 𝑎2: (𝑎 − 𝑒)2

De donde se obtiene:

𝑎2𝑑 + 𝑒2𝑑 − 2𝑎𝑒𝑑 > 𝑎2𝑑 − 𝑎2𝑒

Ahora, Fermat sustituye en (3) la desigualdad por la adigualdad3 y obtiene:

𝑎2𝑑 + 𝑒2𝑑 − 2𝑎𝑒𝑑 ~ 𝑎2𝑑 − 𝑎2𝑒

Después, continúa con las etapas 5-8 de su regla de máximos y mínimos de la manera siguiente:

Etapa 5: Elimina los términos comunes de (4) y obtiene:

𝑒2𝑑 − 2𝑎𝑒𝑑 ~ − 𝑎2𝑒

Etapa 6: Divide todos los términos de (5) por 𝑒, y tiene:

𝑒𝑑 − 2𝑎𝑑 ~ − 𝑎2

Etapa 7: En la adigualdad (6) ignora el término 𝑒𝑑, que es el único que aún contiene 𝑒, por lo

tanto obtiene:

−2𝑎𝑑 ~ − 𝑎2

Reemplaza la adigualdad (7) por la igualdad

−2𝑎𝑑 = −𝑎2

Etapa 8: Finalmente, resuelve la ecuación para 𝑎 y obtiene 𝑎 = 2𝑑, es decir, 𝐸𝐶 = 2𝐷𝐶, tal

como lo había establecido Apolonio.

Nótese que Fermat no llamó a 𝑒 infinitamente pequeño, o que desaparece, o un límite; él no

explicó por qué pudo primero dividir por 𝑒 (al tratarlo diferente de cero) y después quitarlo

(como si fuera cero) (Grabiner, 1983).

Canul, Dolores y Martínez (2011) mencionan que en 1670, Isaac Barrow siguió un camino

parecido al de Fermat y utilizó explícitamente los infinitesimales en la resolución del problema

de las tangentes. En su obra Lecciones de geometría aparece un procedimiento que considera una

curva definida implícitamente por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, un arco infinitamente pequeño 𝑀𝑁 (ver Figura 5)

de coordenadas 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥 + 𝑒, 𝑦 + 𝑎) en la cual 𝑒 y 𝑎 son incrementos infinitesimales de 𝑥

y de 𝑦, respectivamente, de modo que se cumpliera: 𝑓(𝑥 + 𝑒, 𝑦 + 𝑎) = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Finalmente, al considerar como iguales el arco infinitamente pequeño y el segmento 𝑀𝑁,

aplica la semejanza de triángulos 𝑇𝑄𝑀 y el triángulo característico 𝑀𝑅𝑁, con lo que se obtiene

la pendiente 𝑚 de la tangente en 𝑀 a partir de la expresión 𝑦

𝑠=

𝑎

𝑒, de la cual 𝑚 =

𝑎

𝑒. Como 𝑒 y 𝑎

son en realidad los diferenciales de 𝑥 y de 𝑦, respectivamente, su cociente es igual a una nueva

función que en lenguaje moderno puede escribirse como la expresión 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑥).

Figura 5. El método de Barrow.

De acuerdo con Edwards (1979), Barrow introduce la idea de que la tangente es la posición

límite de líneas secantes cuando 𝑒 y 𝑎 se aproximan a cero, como consecuencia de los métodos

descritos anteriormente, y también el concepto de triángulo característico, que posteriormente

utilizó Leibniz en sus estudios.

Por ejemplo, si se tiene una curva definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 0.1 y se busca la pendiente de la

recta tangente en el punto 𝐴(0.4, 𝑓(0.4)), se considera otro punto cercano 𝐵 con coordenadas

(0.4 + 𝑎, 𝑓(0.4 + 𝑎)), donde 𝑎 es un valor muy pequeño. En la figura 6 se observa la semejanza

entre los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐷𝐴𝐸.

Como la pendiente de la recta tangente en 𝐴 esta dada por 𝑚 =𝑏

𝑎, se tiene que:

𝑚 =𝑓(0.4 + 𝑎) − 𝑓(0.4)

𝑎

Si se considera 𝑎 = 0.001, entonces:

𝑚 =0.2608 − 0.26

0.001= 0.8

Figura 6. Semejanza entre los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐷𝐴𝐸.

El desarrollo de estos métodos para trazar tangentes a curvas abrió el camino para la

invención del cálculo por parte de Newton y Leibniz en el último tercio del siglo XVII.

Isaac Newton

Newton realiza una presentación del Cálculo en el libro Methodus fluxionum et serierum

infinitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736, en el cual considera

cantidades variables que van fluyendo con el tiempo, a las que llama fluentes. Después se

introducen las razones de cambio instantáneas de las fluentes, a las que llama fluxiones, que son

las derivadas respecto al tiempo de las fluentes. Newton representaba a las primeras por letras

𝑥, 𝑦, 𝑧, … y a las segundas por letras punteadas 𝑥,̇ 𝑦,̇ �̇� ….

Los incrementos de las fluentes 𝑥, 𝑦, 𝑧, … los representa por medio de las correspondientes

fluxiones en la forma 𝑥𝑜,̇ 𝑦𝑜,̇ 𝑧�̇�, … y los llama momentos, donde 𝑜 es entendido como un

incremento infinitesimal de tiempo. Newton desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos

problemas como determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y superficies,

curvaturas, longitudes de arcos, centros de gravedad, entre otros, a dos problemas fundamentales

que pueden formularse tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:

Problema 1: Determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado

según un camino dado. De otro modo: dada la relación entre las cantidades fluentes, determinar

la relación de las fluxiones.

Problema 2: Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un tiempo

dado. Matemáticamente: determinar la relación entre las fluentes dada la relación entre las

fluxiones.

Hay que notar que Newton no piensa en términos de funciones con el significado actual de

ese término, sino que imagina curvas o superficies descritas por las variables, o sea, considera

relaciones entre las fluentes del tipo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) = 0, donde 𝑓 es una expresión analítica finita o

infinita. Por tanto, el primer problema planteado puede verse como un problema de derivación

implícita: supuesta conocida la expresión analítica que satisfacen las fluentes 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, … ) = 0,

obtener la expresión analítica 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥,̇ 𝑦,̇ �̇� … ) = 0 que satisfacen las fluxiones (Suárez,

2008).

Para este problema, Newton introdujo un algoritmo que sistematizaba los cálculos

necesarios. Por ejemplo, sea la curva de ecuación:

𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦3 = 0

Al sustituir 𝑥 e 𝑦 por 𝑥 + �̇�𝑜 e 𝑦 + �̇�𝑜 respectivamente, tenemos:

(𝑥3 + 3�̇�𝑜𝑥2 + 3�̇�2𝑜2𝑥 + �̇�3𝑜3) − 𝑎(𝑥2 + 2�̇�𝑜𝑥 + �̇�2𝑜2) + 𝑎(𝑥𝑦 + �̇�𝑜𝑦 + �̇�𝑜𝑥 + �̇��̇�𝑜2)

− (𝑦3 + 3�̇�𝑜𝑦2 + 3�̇�2𝑜2𝑦 + �̇�3𝑜3) = 0

Teniendo en cuenta ahora que 𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦3 = 0, dividiendo por 𝑜 y despreciando

los demás términos que contengan 𝑜, resulta:

3�̇�𝑥2 − 2𝑎�̇�𝑥 + 𝑎�̇�𝑦 + 𝑎�̇�𝑥 − 3�̇�𝑦2 = 0

Esta es la relación que satisfacen las fluxiones. A partir de ella puede obtenerse la tangente a

la curva 𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥𝑦 − 𝑦3 = 0 en cualquier punto (𝑥, 𝑦) de la misma, que viene dada por:

�̇�

�̇�=

3𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎𝑦

3𝑦2 − 𝑎𝑥

Newton aplica los resultados sobre fluentes y fluxiones a la resolución de multitud de

problemas.

Gottfried Leibniz

Por su parte Leibniz se dedicó intensamente al estudio de la matemática superior guiado por

el matemático y físico Christian Huygens. En las matemáticas de Leibniz son importantes los

estudios sobre sucesiones numéricas y sus sucesiones de diferencias consecutivas asociadas

(Suárez, 2008).

Dada una sucesión de números:

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛, …

Se puede formar la sucesión de sus diferencias primeras:

𝑏1 = 𝑎1, 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑎1, 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑎2, … , 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1, …

Leibniz se había dado cuenta de la relación:

𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ + 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛,

lo que indica que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que el proceso de

formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión inicial, es decir, que se

trata de operaciones inversas una de la otra. Esta sencilla idea, cuando se lleva al campo de la

geometría, conduce al concepto central del cálculo de Leibniz que es el de “diferencial”, el cual

tuvo para él diferentes significados en distintas épocas.

Leibniz consideraba una curva como un polígono de infinitos lados de longitud infinitesimal.

Con tal curva se asocia una sucesión de abscisas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … y una sucesión de ordenadas

𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … donde los puntos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) están todos ellos en la curva y son algo así como los

“vértices” de la poligonal de infinitos lados que forma la curva. La diferencia entre dos valores

sucesivos de 𝑥 es llamada la diferencial de 𝑥 y se representa por 𝑑𝑥 , significado análogo tiene

𝑑𝑦 (Suárez, 2008).

El diferencial 𝑑𝑥 es una cantidad fija, no nula, infinitamente pequeña en comparación con 𝑥;

de hecho es una cantidad infinitesimal. El lado del polígono que constituye la curva es

representado por 𝑑𝑠. Resulta así el triángulo característico de Leibniz que es el mismo que ya

había sido considerado por Barrow (Figura 8).

Figura 8. Triángulo característico de Leibniz.

El triángulo característico tiene lados infinitesimales 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑠 y se verifica la relación

(𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2. El lado 𝑑𝑠 sobre la curva o polígono se hace coincidir con la tangente a

la curva en el punto (𝑥, 𝑦). La pendiente de dicha tangente viene dada por 𝑑𝑦

𝑑𝑥, que es un cociente

de diferenciales al que Leibniz llamó cociente diferencial. Nunca consideró la derivada como un

límite (Suárez, 2008).

Referencias bibliográficas:

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Canul, E., Dolores, C., Martínez-Sierra, G. (2011). De la concepción global a la concepción

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Edwards C. H. Jr. (1979). The historical development of calculus. New York: Springer-Verlag

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http://revistas.pedagogica.edu.co/index.php/TED/article/viewFile/261/252

Suárez, M. (2008). Orígenes del cálculo diferencial e integral. Historia del análisis matemático.

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