Guillermo Martínez, 2006

Editor digital: PiolinePub base r1.2

Primera Charla

En la introducción al libro Matemáticas eImaginación, de Kasner y Newman, Borges diceque la matemática, al igual que la música, puedeprescindir del universo. Quiero agradecerles queesta tarde ustedes hayan prescindido del universo—y de la Argentina— para estar aquí y escucharesta charla. Quiero agradecer también al Malba, ymuy especialmente a Soledad Costantini y AnaQuiroga, del Departamento de Literatura, porreincidir en invitarme a hablar de este tema.

El ángulo, el sesgo y lainterpretación. Thomas

Mann y el dodecafonismo.El juego de la

interpretación como unjuego de balance

Bien, Borges y la matemática. Siempre que unoelige un ángulo, un tema, introduce de algún modouna distorsión sobre el fenómeno que se proponeestudiar. Algo bien sabido por los físicos, ¿no escierto? También ocurre cuando uno trata deabordar a un escritor desde un ángulo enparticular: muy pronto uno se encuentra en lasarenas movedizas de la interpretación. En estesentido, conviene tener en cuenta que el juego dela interpretación es un juego de balance en el que

uno puede errar por exceso o por defecto.Digamos, si nos aproximamos a los textos deBorges con un enfoque puramente matemático, muyespecializado, podemos quedar por encima deltexto. Aquí «encima» es en realidad afuera:podríamos encontrar o forzar al texto a decir cosasque el texto no dice, ni tiene ninguna intención dedecir. Un error de erudición. Por otro lado, sidesconocemos en absoluto los elementos dematemática que están presentes reiteradamente enla obra de Borges, podemos quedar por debajo deltexto. Entonces, voy a intentar un ejercicio deequilibrio. Sé que aquí en la sala hay gente quesabe mucha matemática, pero yo voy a hablar paralos que sólo saben contar hasta diez. Es mi desafíopersonal. Todo lo que diga debería poderentenderse con sólo saber contar hasta diez.

Hay una segunda cuestión todavía másdelicada, a la que se refirió Thomas Mann cuandofue obligado a insertar una nota al final de suDoctor Faustus para reconocer la autoría

intelectual de Schönberg en la teoría musical deldodecafonismo. Thomas Mann lo hizo a disgusto,porque consideraba que esa teoría musical sehabía transmutado en algo distinto al ser moldeadaliterariamente por él «en un contexto ideal paraasociarla a un personaje ficticio» (su compositor,Adrián Leverkuhn). De la misma manera, loselementos de matemática que aparecen en la obrade Borges también están moldeados ytransmutados en «algo distinto»: en literatura, ytrataremos de reconocerlos sin separarlos de esecontexto de intenciones literarias.

Por ejemplo, cuando Borges da comienzo a suensayo Avatares de la tortuga y dice: «Hay unconcepto que es el corruptor y el desatinador delos otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperioes la ética; hablo del infinito», la vinculación delinfinito con el Mal, la supremacía en malignidad,burlona pero certera, que establece quita deinmediato al infinito del sereno mundo de lamatemática y pone bajo una luz levemente

amenazadora toda la discusión pulcra en fórmulas,casi técnica, que sigue. Cuando dice acontinuación que la numerosa hidra es unaprefiguración o un emblema de las progresionesgeométricas, se repite el juego de proyectarmonstruosidad y «conveniente horror» sobre unconcepto matemático preciso.

Cuánto sabía Borges dematemática. Precauciones

sobre su biblioteca. Laverdad en matemática y en

literatura

¿Cuánto sabía Borges de matemática? Él dice

en ese mismo ensayo: «cinco, siete años deaprendizaje metafísico, teológico, matemático mecapacitarían (tal vez) para planear decorosamenteuna historia del infinito». La frase es losuficientemente ambigua como para que sea difícildecidir si realmente dedicó esa cantidad de años aestudiar, o es sólo un plan a futuro, pero está claroque Borges sabe por lo menos los temas que estáncontenidos en el libro que él prologa,Matemáticas e Imaginación, y que son bastantes.Es una buena muestra de lo que se puede aprenderen un primer curso de álgebra y análisis en launiversidad. Se tratan allí las paradojas lógicas, lacuestión de las diversas clases de infinito, algunosproblemas básicos de topología, la teoría de lasprobabilidades. En el prólogo a este libro, Borgesrecuerda al pasar que, según Bertrand Russell, lavasta matemática quizá no fuera más que una vastatautología, y deja ver, con esta observación, quetambién estaba al tanto, por lo menos en esa época,de lo que era una discusión crucial en los

fundamentos de la matemática. Una discusión quedividía aguas y daba lugar a agudos debates,centrada en la cuestión de la verdad: lo verdaderoversus lo demostrable.

Digamos que en su trabajo habitual deescudriñar los universos de formas y de númeroslos matemáticos encuentran conexionesrecurrentes, patrones, ciertas relaciones que severifican siempre, y están acostumbrados a creerque estas relaciones, si son verdaderas, lo son poralguna razón, están concertadas de acuerdo a unorden exterior, platónico, que debe descifrarse.Cuando encuentran esa razón profunda —y engeneral oculta— la exhiben en lo que se llama unademostración, una prueba. Hay de esta manera dosmomentos en la matemática, igual que en el arte:un momento que podemos llamar de iluminación,de inspiración, un momento solitario e incluso«elitista» en que el matemático entrevé, en unelusivo mundo platónico, un resultado queconsidera que es verdadero; y un segundo

momento, digamos, democrático, en el que tieneque convencer de esa verdad a su comunidad depares. Exactamente del mismo modo en que elartista tiene fragmentos de una visión y luego, enun momento posterior, debe ejecutarla en laescritura de la obra, en la pintura, en lo que fuere.En ese sentido, los procesos creativos se parecenmucho. ¿Cuál es la diferencia? Que hay protocolosformales de acuerdo con los cuales la verdad queel matemático comunica a sus pares la puededemostrar paso por paso a partir de principios y«reglas de juego» en las que todos los matemáticoscoinciden. En cambio, una demostración de unhecho estético no es tan general. Un hecho estéticosiempre está sujeto a criterios de autoridad, amodas, a suplementos culturales, a la decisiónpersonal y última —muchas veces perfectamentecaprichosa— del gusto.

Ahora bien, los matemáticos pensaron durantesiglos que en sus dominios estos dos conceptos, loverdadero y lo demostrable, eran en el fondo

equivalentes. Que si algo era verdadero siemprese podía exhibir la razón de esa verdad a través delos pasos lógicos de una demostración, de unaprueba. Sin embargo, que lo verdadero no es igualque lo demostrable lo saben desde siempre, porejemplo, los jueces: supongamos que tenemos uncrimen en un cuarto cerrado (o, másmodernamente, en un country cerrado) con sólodos sospechosos posibles. Cualquiera de los dossospechosos sabe toda la verdad sobre el crimen:yo fui o yo no fui. Hay una verdad y ellos laconocen, pero la justicia tiene que acercarse a estaverdad por otros procedimientos indirectos:huellas digitales, colillas, pitutos (risas). Muchasveces la justicia no llega a probar ni laculpabilidad de uno ni la inocencia del otro. Algosimilar ocurre en la arqueología: sólo se tienenverdades provisorias, la verdad última quedafuera del alcance, es la suma incesante de huesosde lo demostrable.

Así, en otros terrenos, la verdad no

necesariamente coincide con lo demostrable.Bertrand Russell fue quizá quien más se afanó enprobar que dentro de la matemática sí se podíanhacer coincidir los dos términos, que lamatemática no era más que «una vasta tautología».De algún modo ése era también el programa deHilbert, un gran intento de los matemáticos paradar garantías de que todo lo que se probaraverdadero, por cualesquiera métodos, se iba apoder demostrar a posteriori de acuerdo con unprotocolo formal que pudiera prescindir de lainteligencia, un algoritmo que pudiera corroborarla verdad de una manera mecánica y que pudieramodelarse en una computadora. Eso hubiera sidoen el fondo reducir la matemática a lo que puedeprobar una computadora.

Finalmente se demostró, y ése fue el resultadodramático de Kurt Gödel en los años 30 —sufamoso teorema de incompletitud— que las cosasno son así, que la matemática se parece más bien ala criminología en este aspecto: hay afirmaciones

que son verdaderas y quedan, sin embargo, fueradel alcance de las teorías formales. O sea, lasteorías formales no pueden ni demostrar laafirmación ni demostrar su negación, ni suculpabilidad ni su inocencia. Lo que quieroseñalar es que Borges vislumbraba el origen deesta discusión (aunque no parece que se hubieraenterado de su desenlace).

Elementos de matemáticaen la obra de Borges

Hay elementos de matemática muy variados alo largo de la obra de Borges. El paso obvionatural, cuando uno se acerca a este tema, esrastrear todas esas huellas matemáticas en sus

textos. Eso ha sido hecho, y muy bien, en varios delos ensayos del libro Borges y la ciencia(Eudeba). Pueden encontrar allí ensayos sobreBorges y la matemática, sobre Borges y lainvestigación científica, sobre el tema de lamemoria, sobre Borges y la física. He dichoalguna vez en broma que mi preferido es «Borgesy la biología». Luego de algunos rodeos, y algodesolado, casi como disculpándose, el autor sedecide a escribir que después de haber leído laobra completa de Borges tiene que decir que nohay ninguna vinculación entre Borges y la biología.¡Ninguna! (risas). El hombre había descubiertocon terror algo en este mundo —la biología— queBorges no había tocado.

Pero sí hay, profusamente, elementos dematemática. Yo voy a abusar un poco de micondición de escritor para tratar de hacer algoligeramente diferente: voy a tratar de vincular loselementos de matemática con elementos de estiloen Borges. Voy a intentar una vinculación no

temática sino estilística. Pero menciono de todosmodos algunos de los textos donde las ideasmatemáticas asoman con más claridad: los cuentosEl disco, El libro de arena, La biblioteca deBabel, La lotería de Babilonia, Del rigor en laciencia, «Examen de la obra de Herbert Quain,Argumentum ornithologicum»; los ensayos Laperpetua carrera de Aquiles y la tortuga junto conAvatares de la tortuga, El idioma analítico deJohn Wilkins, La doctrina de los ciclos, Pascaljunto con La esfera de Pascal, etc. Hay textos queson incluso pequeñas lecciones de matemática.Aun así, aun dentro de esta variedad, creo yo quehay tres temas que son recurrentes. Y esos trestemas aparecen reunidos en el cuento El Aleph, lespropongo que los estudiemos desde allí.

El infinito de Cantor

Los voy a mencionar en orden inverso al queaparecen, el primer elemento es el infinito o losinfinitos. Dice Borges, hacia el final del relato:

Dos observaciones quiero agregar: unasobre la naturaleza del Aleph, otra sobre sunombre. Éste, como es sabido, es el de laprimera letra del alfabeto de la lenguasagrada. Su aplicación al disco de lahistoria no parece casual. Para la Cábalaesa letra significa el En Soph, la ilimitaday pura divinidad. También se dijo que tienela forma de un hombre que señala el cieloy la tierra, para indicar que el mundoinferior es el espejo y el mapa delsuperior. Para la Mengenlehre es elsímbolo de los números transfinitos en losque el todo no es mayor que alguna de las

partes.

La Mengenlehre es la denominación en alemánde la teoría de las cantidades. El símbolo aleph,que los matemáticos simplificamos al dibujarlo, separece a esto:

ℵ

Un brazo que señala al cielo y el otro queseñala a la tierra. El símbolo de los númerostransfinitos, en los que, como dice Borges, el todono es mayor que alguna de las partes. Éste es unode los conceptos de matemática que fascinabarealmente a Borges. Es el quiebre de un postuladoaristotélico según el cual el todo debe ser mayorque cualquiera de las partes, y me gustaría haceruna pequeña explicación de cómo surge esta ideadel infinito en la matemática.

Hasta 1870, la época en que Cantor empiezasus trabajos sobre la teoría de conjuntos, losmatemáticos usaban otro símbolo para el infinito,el 8 acostado: ∞, y pensaban que en realidad había

un único infinito, no se planteaban la posibilidadde que hubiera diferentes variedades de infinito.¿Cómo llega Cantor a su idea de infinito, que es laque suscita esta primera paradoja?

Para entender esto, tenemos que recordar quésignifica contar. Uno puede pensar el proceso decontar de dos maneras: supongamos que en unprimer conjunto tenemos diez personas —que esnuestro número límite— y en un segundo conjuntotenemos diez sillas.

Uno podría decir, muy bien, sé que hay tantaspersonas como sillas, porque aquí cuento diezpersonas y aquí cuento diez sillas, o sea, le asignoal primer conjunto una cantidad entre las queconozco: diez, y a este segundo conjunto unacantidad que conozco: diez, y como 10 = 10concluyo que los dos conjuntos tienen la mismacantidad de elementos. Sin embargo, supongamosque yo estoy jugando con un chico de tres años alas cartas. El chico, como nosotros esta tarde,tampoco sabe contar más allá de diez, pero sabe

que si me da a mí la primera carta, se queda con lasegunda, me da la tercera, se queda con la cuarta,etc, cuando termina de repartir el mazo, aunque nopuede decir qué cantidad de cartas tiene en lasmanos (porque no sabe contar más que hasta diez),sí puede decir algo todavía, sí tiene todavía unelemento de certidumbre, y es que tanto él comoyo tenemos la misma cantidad de cartas. Esto sílo sabe, aunque no sepa cuántas son. En el ejemplode las sillas, podríamos también haber concluidoque hay la misma cantidad de personas que desillas haciendo sentar a cada persona en una silla ycomprobando que se establece unacorrespondencia perfecta en la que no queda sillasin persona ni persona sin silla. Del mismo modo,cuando uno mira un desfile militar, no puede decira golpe de vista cuántos jinetes hay, o cuántoscaballos hay, pero sí sabe algo todavía, sabe quehay tantos militares como caballos (risas).

Es trivial, sí, lo reconozco, pero a veces de lastrivialidades surgen las grandes ideas. Aquí está el

pase de prestidigitador de los matemáticos.Fíjense qué es lo que hace Cantor, en el fondo esalgo muy simple, pero extraordinario. Lo que élencuentra es un concepto que en el contexto finitoresulta equivalente a «tener la misma cantidad deelementos». Él dice: «en el contexto finito, losconjuntos A y B tienen la misma cantidad deelementos si y sólo si puedo establecer unacorrespondencia perfecta uno a uno entre ellos».Esta afirmación es muy sencilla de probar. ¿Peroqué ocurre cuando saltamos al infinito? Uno de losdos conceptos equivalentes, «cantidad deelementos», deja de tener sentido. ¿Qué significacantidad de elementos de un conjunto infinitocuando uno no puede terminar de contar? Esa parteya no la puedo usar, pero sí puedo usar todavía lasegunda parte. La segunda parte sobrevive, todavíapodemos establecer, para conjuntos infinitos,correspondencias perfectas uno a uno comohicimos entre las personas y las sillas.

Pero entonces empiezan a ocurrir cosas

extrañas. Porque hay una manera obvia deestablecer una correspondencia perfecta uno a unoentre todos los números naturales, los números queusamos para contar, y los números pares. Al 1 leasignamos el 2, al 2 le asignamos el 4, al 3 el 6,etc. Y aquí, forzados por la definición de Cantor,tenemos que decir que hay «tantos» númerosnaturales como números pares. Sin embargo, lospares son una «mitad» de los naturales, en elsentido de que los naturales los obtenemos al unirlos pares con los impares. Entonces, hayefectivamente una parte, los pares, que es tangrande como el todo. Hay una parte que equivaleal todo. Éste es el tipo de paradoja quemaravillaba a Borges: en el infinito matemático, eltodo no es necesariamente mayor que cualquierade las partes. Hay partes propias que son tangrandes como el todo. Hay partes que sonequivalentes al todo.

Objetos recursivos

Uno podría abstraer esta propiedad curiosa delinfinito y pensar en otros objetos, en otrassituaciones, en las que una parte del objeto guardala información del todo. Los llamaremos objetosrecursivos. Así, el Aleph de Borges, la pequeñaesfera que guarda todas la imágenes del universo,sería un objeto ficcional recursivo. Cuando Borgesdice que la aplicación del nombre Aleph a estaesfera no es casual y llama la atención deinmediato sobre la vinculación con esta propiedadde los infinitos, está insertando su idea dentro deun ambiente propicio, de la manera que él mismoenseña en su ensayo El arte narrativo y la magiacuando analiza el problema de la difícilverosimilitud del centauro. La rodea de un marcoque la vuelve plausible: así como en el infinito unaparte equivale al todo, puede concebirse que hayauna parte del universo que guarde la información

del todo.Hay otros objetos recursivos con los que

Borges juega en su obra. Por ejemplo, los mapascrecientes en Del rigor en la ciencia, donde elmapa de una sola provincia ocupaba toda unaciudad, y en cuyos pedazos abandonados en losdesiertos habitaban animales y mendigos.También, desde el punto de vista de la biología, elser humano sería un objeto recursivo. Basta unacélula del ser humano para fabricar un clon. Losmosaicos son claramente objetos recursivos, lafigura de las primeras baldosas se propaga al todo.

Pensemos ahora en objetos que tengan lapropiedad opuesta. ¿Cuáles serían los objetosantirecursivos, por llamarlos de alguna manera?Objetos en los cuales ninguna parte reemplaza altodo. Objetos en los que cada parte es esencial.Podríamos decir: los conjuntos finitos. Yo diría, unrompecabezas razonable. En un rompecabezasrazonable uno no debería poder facilitarse lascosas repitiendo diseños. También, el ser humano,

desde el punto de vista existencial. Hay una frasemuy intimidante que no es de Sartre sino de Hegely que dice: «el hombre no es más que la serie desus actos». No importa cuán impecable haya sidola conducta de un hombre durante cada día detodos los años de su vida, siempre está a tiempode cometer un último acto que contradiga, quearruine, que destruya todo lo que ha sido hasta esemomento. O al revés, para tomar el giro que le dioThomas Mann en El elegido, basado en Vida deSan Gregorio: no importa cuán incestuoso opecador haya sido un hombre{ durante toda suvida, siempre puede expiar sus culpas yconvertirse en Papa.

El infinito y el Libro deArena

Lo que dije hasta aquí sobre el infinito bastaríapara aclarar este pequeño fragmento. Me voy aextender un poco más para explicar algo que estárelacionado con La biblioteca de Babel y El librode arena. Recién acabamos de ver que hay«tantos» números naturales como pares. ¿Queocurrirá cuando consideramos los númerosfraccionarios? Los números fraccionarios son muyimportantes en el pensamiento de Borges. ¿Porqué? Recordemos que los números fraccionarios,que también se llaman quebrados, o númerosracionales, son los que se obtienen al dividirnúmeros enteros; los podemos pensar como paresde enteros: un número entero en el numerador y unnúmero entero (distinto de cero) en eldenominador.

3/4, 5/4, 7/6, 7/16, …¿Cuál es la propiedad que tienen estos

números, la propiedad que usa Borges en susrelatos? Entre dos números fraccionarioscualesquiera siempre hay uno en el medio. Entre

0 y 1 está 1/2, entre 0 y 1/2 está 1/4, entre 0 y 1/4,está 1/8 etc. Digamos, siempre se puede dividirpor 2.

De modo que cuando yo quiero saltar del 0 alprimer número fraccionario, nunca puedoencontrar ese primer número en el orden usual,porque siempre hay uno en el medio. Ésta esexactamente la propiedad que toma prestadaBorges en El libro de arena. Recordarán que hayun momento en este cuento en que a Borges(personaje) lo desafían a abrir por la primera hojael Libro de Arena:

Me dijo que su libro se llamaba elLibro de Arena porque ni el libro ni laarena tienen principio ni fin.

Me pidió que buscara la primera hoja.Apoyé la mano izquierda sobre la portaday abrí con el dedo pulgar casi pegado alíndice. Todo fue inútil: siempre seinterponían varias hojas entre la portada y

la mano. Era como si brotaran del libro.

La tapa del Libro de Arena sería el cero, lacontratapa sería el uno, las páginascorresponderían entonces a los númerosfraccionarios entre cero y uno. En los númerosfraccionarios uno no puede encontrar el primernúmero después de 0 ni el último antes de 1.Siempre hay números que se interponen. Unoestaría tentado a conjeturar que el infinito de losnúmeros fraccionarios es más apretado, másdenso, más nutrido.

La segunda sorpresa que nos deparan losinfinitos es que esto no es así, es decir, hay«tantos» números racionales como númerosnaturales. ¿Cómo podemos ver esto?

Como las fracciones son pares de enteros,numerador/denominador, todas las fracciones(positivas) están representadas en este cuadro:

Anoto en la primera fila todas las fraccionesque tienen numerador 1, en la segunda fila todaslas que tienen numerador 2, en la tercera fila todaslas que tienen numerador 3, etc. Evidentemente alescribirlas de este modo hay algunas que serepiten, por ejemplo, 3/3 es lo mismo que 2/2 oque 1/1. O sea, algunas fracciones quedananotadas repetidas veces, pero eso no importa.Quien puede más, puede menos: si puedo contar

con repeticiones puedo contar sin repeticiones. Loque me interesa es que todos los númerosfraccionarios positivos aparecen en algúnmomento aquí. Me quedan la mitad de losnegativos. Pero si sé contar los positivos es fácilcontar los negativos. Los matemáticos me van aperdonar algunos deslices, que no hable con todala precisión debida.

Lo que quiero hacerles notar, de lo que quieroconvencerlos, es que en este cuadro infinito quearmé, de infinitas filas, de infinitas columnas, estántodas las fracciones positivas.

Para mostrar que hay «tantos» númerosfraccionarios como números naturales, bastaríaentonces poder asignar un número natural a cadaelemento de este cuadro de manera que alprogresar en la enumeración nos aseguremos deque no quedarán elementos sin numerar. ¿Cómohacer esto? Es claro que no conviene empezar elrecorrido tratando de agotar, por ejemplo, laprimera fila, porque nunca pasaría a la segunda. El

recorrido tiene que alternar elementos de lasdistintas filas para asegurar que se vaya cubriendotodo el cuadro. El método de enumerar fraccionestambién lo descubrió Cantor, se lo conoce como elrecorrido diagonal de Cantor.

Es decir:A la fracción 1/1 le asigno el número 1.A la fracción 1/2 le asigno el número 2.

A la fracción 2/1 le asigno el número 3.A la fracción 1/2 le asigno el número 4.A la fracción 2/2 la salteo porque ya la conté

(1/1 = 2/2).A la fracción 3/1 le asigno el número 5.A la fracción 3/2 le asigno el número 6, etc.El recorrido avanza por diagonales cada vez

más largas y barre de esa manera todas las filas ytodas las columnas. A medida que avanzo measeguro de que voy numerando a todos losnúmeros fraccionarios y paso por encima,simplemente salteo, a las fracciones que se repiteny que ya numeré, como 3/3, o 2/4. ¿Qué sedemuestra con esto? Que a pesar de que el infinitode los números fraccionarios parece más apretado,hay «tantos» números fraccionarios como númerosnaturales. Más aún, con esta enumeración se lepuede dar un orden consecutivo a los númerosfraccionarios, un orden, por supuesto, distinto delque tienen en la recta, pero que permite explicar laenumeración de páginas en el Libro de Arena. Esto

es algo que posiblemente Borges no supiera. Lanumeración de páginas que a Borges en el cuentole parece misteriosa y a la que le atribuye unarazón también misteriosa, en principio no tieneningún misterio. No hay contradicción entre elhecho de que entre dos hojas del Libro de Arenasiempre hay otra intercalada con el hecho de quecada hoja pueda tener un número: el mismohabilidoso imprentero que pudo coser las infinitaspáginas del Libro de Arena pudo tambiénperfectamente numerarlas tal como lo estamoshaciendo nosotros.

El infinito y la Bibliotecade Babel

A los matemáticos y también a Borges, lesgusta exprimir las ideas, repetirlas, sacarles todoel partido posible. Ahora que tengo este cuadro nome resisto a usarlo una vez más para otro temarecurrente en Borges que es el tema de loslenguajes, tal como está presente, por ejemplo, enLa biblioteca de Babel.

Pensemos un momento en la idea de Labiblioteca de Babel, una biblioteca de libros nonecesariamente inteligibles, una bibliotecaabsoluta cuya ley fundamental es: «basta que unlibro sea posible para que exista». Borges fija unalfabeto de veinticinco símbolos; pero nosotros,para darnos todavía más libertad, pensaremos enlibros escritos en todos los idiomas posibles yharemos una sola lista, un alfabeto universal,reuniendo todos los signos de todos los alfabetosexistentes. Empezamos con los veinticincosímbolos ortográficos que menciona Borges (y deeste modo nos aseguramos de que todos los librosde la Biblioteca de Babel estén también en

nuestros anaqueles). Proseguimos con losveintisiete símbolos del alfabeto castellano.Agregamos como nuevos símbolos las cincovocales acentuadas. Seguimos, por ejemplo, conlos símbolos del cirílico, después agregamos la ödel alemán y los demás símbolos diferentes quetenga cada idioma. Así, el alfabeto básico vacreciendo y creciendo. Para darnos un margenhacia el futuro podemos suponer directamente quelos símbolos de nuestro alfabeto son los númerosnaturales, de esa manera nos queda espaciosiempre disponible para poder adicionar nuevosalfabetos, nuevos símbolos como la @, o símbolosde lenguajes extraterrestres que nos lleguen enalgún momento. Los números del 1 al 25corresponden a los símbolos ortográficos de loslibros de la Biblioteca de Babel, el número 26 esla A, el número 27 es la B, el número 526 seráquizá un idiograma chino, etc.

Recuerdan ustedes que en La biblioteca deBabel Borges acota el número de páginas que

puede tener cada libro: cuatrocientas diez páginas.Lo que nosotros nos preguntarnos ahora es de quétipo será el infinito de todos los libros distintos decualquier número de páginas que puedenescribirse con este alfabeto universal si admitimospalabras de cualquier longitud.

Usando este mismo cuadro puede probarse queeste conjunto de libros también es enumerable. Laidea es, por supuesto, disponer en la primera filalos libros de una sola página, en la segunda fila loslibros de dos páginas, en la tercera fila los librosde tres páginas, etc. Y luego hacer la enumeraciónde acuerdo al recorrido diagonal de Cantor. Comotodos los libros de la Biblioteca de Babel estántambién incluidos en nuestros anaqueles, podemosconcluir que el conjunto de libros de la Bibliotecade Babel es enumerable. ¿Por qué tieneimportancia esto para la comprensión del cuentode Borges?

En una nota al final del cuento, Borges escribeque una amiga le observó que toda la construcción

de la biblioteca de Babel era superflua o excesiva(él usa la palabra inútil), porque en realidad todoslos libros de la Biblioteca de Babel cabrían en unsolo volumen. En un solo libro de infinitas páginasinfinitamente delgadas, «un vademecum sedoso enel que cada hoja se desdoblaría en otras». Laforma de hilvanar los distintos libros uno detrásdel otro en este único volumen no sería más queeste recorrido diagonal de Cantor.

Esta nota al pie que cierra el cuento es elgermen de la idea que da después como resultadoEl libro de arena. Ésta es una forma de concebirmuy matemática. El primer ejemplo, La bibliotecade Babel, es laborioso, profuso, por supuesto tieneotra riqueza y tiene otros significados, no estoydiciendo que se reduzca a esto. Pero Borgesencuentra al final una idea más simple: que sepueden reunir todos los libros en un únicovolumen, con una cantidad infinita de páginas. Éldice: un libro tal que cada página sea divisible. Esel preanuncio del cuento El libro de arena. Quiero

llamar la atención sobre este modo de reflexionarsobre sus propios textos para abstraer una ideaesencial que repetirá o desdoblará en otros sitios.Es el primer ejemplo de un procedimiento general,una operación que recuerda los modosmatemáticos y que estudiaremos con másdetenimiento luego.

La esfera con centro entodas partes y

circunferencia en ninguna

Examinemos ahora el segundo elemento dematemática en El aleph. Aparece en el momento enque Borges está por describir el Aleph, y dice:«cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que

mi temerosa memoria apenas abarca».Algo más digo aquí sobre el símbolo aleph.

Me parece particularmente acertada la figura de unhombre con un brazo que toca la tierra y otro brazoque apunta al cielo, porque de algún modo laoperación de contar es el intento humano deacceder a lo infinito. Es decir, el ser humano nopuede, en su vida finita —en su «vidita», comodiría Bioy Casares—, contar efectivamente todoslos números, pero tiene una manera de generarlos,una manera de concebir y acceder a un número tangrande como sea necesario. A partir deldescubrimiento de la escritura decimal, a partir delos diez dígitos, puede alcanzar números tangrandes como quiera. Aun limitado a su situaciónterrestre, todavía puede extender su brazo al cielo.Ése es el intento y la dificultad de contar. Algosimilar escribe Borges: «¿cómo transmitir a losotros el infinito Aleph, que mi temerosa memoriaapenas abarca? Los místicos, en análogo trance,prodigan los emblemas: para significar la

divinidad un persa habla de un pájaro que de algúnmodo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, deuna esfera cuyo centro está en todas partes y lacircunferencia en ninguna». Un poco más abajodice: «por lo demás, el problema central esirresoluble. La enumeración siquiera parcial de unconjunto infinito». Es decir, lo que él acomete esla descripción del Aleph, que es infinito. Y no lopuede agotar en la escritura, porque la escritura essecuencial, el lenguaje es «sucesivo», es elproblema al que nos referíamos recién. Entoncestiene que dar una idea, una muestra, una lista deimágenes suficientemente convincente. Es lacélebre enumeración de imágenes que viene acontinuación y a la que nos referiremos luego.

Pero en realidad la segunda idea en la que mequiero detener ahora es esta esfera que aparecetambién en La esfera de Pascal. Una esfera cuyocentro está en todas partes y la circunferencia enninguna. Borges advierte aquí: «No en vanorememoro esas inconcebibles analogías». Es una

analogía muy precisa que añade verosimilitud a laesferita que quiere describir. Para entender estaidea geométrica, que en principio parece un juegode palabras, pensemos primero en el plano, en vezde esferas pensemos en círculos. La idea sería lasiguiente: todos los puntos del plano sonabarcables por círculos crecientes cuyo centro noimporta realmente donde esté, el centro puedeestar en cualquier parte.

Hago centro en cualquier punto, no importa elpunto, y considero círculos cada vez más grandes.A medida que aumento el radio esos círculos vanocupando toda la superficie del plano. En elensayo La esfera de Pascal, cuando quiereprecisar un poco más esta imagen, Borges escribe;«Calogero y Mondolfo razonan que intuyó unaesfera infinita, o infinitamente creciente, y que laspalabras que acabo de transmitir tienen un sentidodinámico». O sea, podemos concebir y reemplazaral plano por un círculo que crece y crece, porquetodos los puntos del plano son abarcables por ese

círculo. Ahora, en ese círculo que se expandeindefinidamente, la circunferencia se perderá en elinfinito. No podemos delimitar ningunacircunferencia. Ésta, creo yo, es la idea a la que serefiere. Haciendo un salto al infinito puedepensarse que todo el plano es un círculo con centroen cualquier punto y circunferencia en ningunaparte.

El mismo tipo de construcción vale si unopiensa en el espacio tridimensional. Es decir, unaesfera pensada como un globo que creceinfinitamente y va ocupando todos los puntos. Endefinitiva, el universo puede concebirse como unaesfera infinitamente expandida. Ésta es, dicho seade paso, la concepción actual del universo en lafísica contemporánea: una esferita de magnitudinfinitesimal y masa infinitamente concentrada queen algún momento, en el Big Bang, se expandió entodas direcciones. ¿Por qué es interesante esta«inconcebible analogía»? Porque el Aleph es unaesferita. Si uno logra ver a todo el universo

también como una gran esfera, es mucho másplausible la idea de que todas las imágenes deluniverso puedan reproducirse en la esferita al piede la escalera. Simplemente por contracción unopuede trasvasar todo el universo a la esferapequeña. Éste es, por supuesto, sólo uno de lossentidos con que Borges utiliza esta analogía: elsentido al que prestamos particular atención ennuestro modo matemático con el que vemos «todoa lo grillo esta mañana». Pero, como dije antes, lamatemática se desliza en los textos de Borgesdentro de un contexto de referencias filosóficas yliterarias: la idea del universo como esfera estávinculada a toda una tradición de misticismo,religiosa, cabalística, en fin, estas otrasconnotaciones están explicadas con más detalle enLa esfera de Pascal.

La paradoja de Russell

La tercera idea es lo que yo llamaría la«paradoja de la magnificación» (técnicamente, eslo que se llama en lógica autorreferencia, pero lapalabra «autorreferencia» tiene un significadodistinto en literatura y no quisiera mezclarlos).Esta paradoja aparece en el momento de laenumeración, en que Borges se decide a dar ladescripción parcial de las imágenes en el Aleph.Pero también ocurre en otras ficciones, cuandoBorges construye mundos que son muy vastos,abarcatorios y que terminan por incluirlo a élmismo —o a los lectores— en su ámbito. En ElAleph esto puede verse aquí: «Vi la circulación demi oscura sangre, vi el engranaje del amor y lamodificación de la muerte. Vi el Aleph, desdetodos los puntos. Vi en el Aleph la tierra y en latierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra. Vimi cara y mis vísceras, vi tu cara y sentí vértigo y

lloré».La postulación de objetos muy vastos, la

magnificación, da lugar a curiosas paradojas yBorges debía conocer perfectamente la másfamosa, debida a Bertrand Russell, que hizotambalear la teoría de conjuntos y que fue una delas fisuras más importantes en los fundamentos dela matemática. La paradoja de Russell dice que nose puede postular la existencia de un conjunto quecontenga a todos los conjuntos, es decir, que nopuede postularse un Aleph de conjuntos. Esto sepuede explicar rápidamente de este modo:observemos que los conjuntos más usuales en losque podemos pensar no son elementos de símismos. Por ejemplo, el conjunto de todos losnúmeros naturales no es ninguno de los númerosnaturales. El conjunto de todos los árboles no esun árbol. Pero pensemos ahora por un momento enel conjunto de todos los conceptos. El conjunto detodos los conceptos sí es en sí mismo un concepto.O sea que, aunque un poco más rara, cabe la

posibilidad de que un conjunto sea elemento de símismo. Si yo postulo el conjunto de todos losconjuntos, ése, por ser en sí mismo un conjunto,tendría que ser elemento de sí mismo.

En definitiva, hay conjuntos que son elementosde sí mismos, y otros que no. Consideremos ahorael conjunto de todos los conjuntos que no sonelementos de sí mismos.

X = {A tal que A es un conjunto y A no está en A}En X estará el conjunto de los números

naturales, el conjunto de todos los árboles, elconjunto de las personas de esta sala, etc.Entonces nos preguntamos: ¿será X elemento de X?La respuesta debería ser sí o no. Ahora bien, si Xfuera elemento de sí mismo tiene que verificar lapropiedad dentro de la llave. O sea, que si Xpertenece a X, X no está en X. Pero esto esabsurdo. ¿Será entonces que X no es elemento desí mismo? Pero si X no es elemento de sí mismo,verifica la propiedad dentro de la llave, por lotanto tiene que estar en X, es decir, si X no es

elemento de X, X tiene que pertenecer a X. Otravez absurdo. Tenemos aquí un conjunto que está enuna tierra de nadie, un conjunto que no es ni no eselemento de sí mismo.

Ésta es la paradoja que encontró Russell,cuando era joven, y le envió una carta a GottlobFrege, uno de los próceres de la lógica, que estabapor entregar a prensa el último volumen de su grantratado sobre los fundamentos de la matemática,basado justamente en la teoría de conjuntos. Fregeagradeció la comunicación al final de su tratadocon las siguientes patéticas palabras: «Uncientífico difícilmente pueda encontrarse en unasituación más indeseable que ver desaparecer susfundamentos justo cuando su trabajo ha terminado.Fui puesto en esta posición por una carta de Mr.Bertrand Russell cuando mi obra estaba por ir aimprenta». Con estas pocas líneas Russell no sólodio por tierra el trabajo de diez o quince años deFrege, sino que provocó una de las crisis másprofundas en los fundamentos de la matemática.

Para popularizar esta paradoja, Russell pensóen el barbero de un pueblo que únicamente afeita alos hombres que no se afeitan a sí mismos. Enprincipio la existencia de un hombre con estahonesta profesión parece razonable: el barbero deun pueblo, diría uno, es precisamente el hombreque afeita a todos los hombres que no se afeitan así mismos. Ahora bien, ¿el barbero debe afeitarsea sí mismo, o no debe afeitarse a sí mismo? Si seafeita a sí mismo, deja de estar en la clase de loshombres a los que puede afeitar. O sea, no puedeafeitarse a sí mismo. Pero, por otro lado, si no seafeita a sí mismo queda dentro de la clase de loshombres que no se afeitan a sí mismos y, por lotanto, se tiene que afeitar. El barbero está atrapadoen un limbo lógico en que su barba crece ¡y nopuede ni afeitarse ni no afeitarse a sí mismo!(risas).

Hay una variación también atribuida a Russelly que la usa Borges elípticamente en La bibliotecade Babel. Al principio del cuento La biblioteca de

Babel, el bibliotecario está a la búsqueda delcatálogo de todos los catálogos. Les propongo quepiensen para la semana próxima en la formulaciónde la paradoja en términos de catálogos. Porque¿qué son en el fondo los catálogos? Son libros quetienen como texto títulos de otros libros. Haycatálogos que se incluyen a sí mismos entre sustítulos y otros que no. De esa manera uno puedellegar a la misma paradoja.

¿Por qué Borges interesa alos matemáticos?

Estos tres elementos que acabamos deexaminar aparecen una y otra vez en la obra deBorges moldeados en formas literarias de diversas

maneras. En el ensayo El cartesianismo comoretórica (o ¿por qué Borges interesa a loscientíficos?), del libro Borges y la Ciencia, laautora, Lucila Pagliai, se pregunta por qué lostextos de Borges son tan caros a los investigadorescientíficos, a los físicos, a los matemáticos. Laconclusión a la que llega es que hay en Borges unamatriz esencialmente ensayística, sobre todo en laobra madura. Y por supuesto, todo el texto trata defundamentar esto. Es un ensayo agudo, creo que esuna parte de la verdad. Borges es un escritor queprocede desde una idea: «en el principio era laidea», y concibe sus ficciones como encarnacioneso avatares de una concepción abstracta. Haytambién fragmentos de argumentación lógica enmuchos de los relatos. Este tipo de matrizensayística a la que ella se refiere es,indudablemente, uno de los elementos que marcancierta similitud con el pensamiento científico. Enun pequeño artículo que escribí sobre el mismotema, El cuento como sistema lógico, apunto a los

elementos de estilo que tienen afinidad con laestética matemática. Leo de allí la tesis principal.

Dije antes que hay una multitud derastros matemáticos en la obra de Borges.Esto es cierto, pero aun si no hubieraninguno, aun en los textos que nada tienenque ver con la matemática, hay algo, unelemento de estilo en la escritura, que esparticularmente grato a la estéticamatemática. Creo que la clave de eseelemento está expresada, inadvertidamente,en este pasaje extraordinario de Historiade la Eternidad: “No quiero despedirmedel platonismo (que parece glacial) sincomunicar esta observación, con esperanzade que la prosigan y justifiquen: logenérico puede ser más intenso que loconcreto. Casos ilustrativos no faltan. Dechico, veraneando en el norte de laprovincia, la llanura redonda y los

hombres que mateaban en la cocina meinteresaron, pero mi felicidad fue terriblecuando supe que ese redondel era ‘pampa’y esos varones ‘gauchos’‘. Lo genérico…prima sobre los rasgos individuales”.

Cuando Borges escribe, típicamente acumulaejemplos, analogías, historias afines, variacionesde lo que se propone contar. De esta manera, laficción principal que desarrolla es a la vezparticular y genérica, y sus textos resuenan como siel ejemplo particular llevara en sí y aludierapermanentemente a una forma universal. Delmismo modo proceden los matemáticos. Cuandoestudian un ejemplo, un caso particular, loexaminan con la esperanza de descubrir en él unrasgo más intenso, y general, que puedan abstraeren un teorema. Borges, les gusta creer a losmatemáticos, escribe exactamente como lo haríanellos si los pusieran a la prueba: con un orgullosoplatonismo, como si existiera un cielo de ficciones

perfectas y una noción de verdad para la literatura.Esto resume, de algún modo, lo que yo pienso

sobre la articulación del pensamiento matemáticoen el estilo de Borges. Por ahora es muy poco másde lo que los matemáticos llaman un claim, algoque se afirma por anticipado pero que debeprobarse en algún momento. En la próxima charlaintentaré fundamentar esta afirmación y leeréalgunos de los textos no matemáticos de Borgesbajo esta luz. Les agradezco que hayan estadoaquí, hasta la semana próxima.

Segunda Charla

Buenas tardes, muchas gracias por persistir enesta segunda charla. Quisiera empezar con unabreve recapitulación de lo que vimos la clasepasada, e iré aportando algunas evidencias mássobre lo que dijimos. Quiero llamarles la atenciónsobre este libro, Textos recobrados de Borges, dela época 1931 a 1955 (Emecé). Es parte de untrabajo de recuperación de todos sus textos, hayensayos realmente notables y se ve también decuerpo entero al Borges polemista. Habíamoshablado en el principio del principio sobre laeducación matemática de Borges. En este libro hayun artículo que se llama La cuarta dimensión. Esun artículo bastante técnico, que permite apreciarque Borges leía con profundidad textos dematemática, en particular de geometría. Tiene algoque ver con la cuestión que habíamos dejadopendiente al final de la clase anterior, la cuestión

de lo genérico, lo concreto, la formación deconceptos, el platonismo, etc. Dice en unmomento: «la superficie, el punto y la línea sonideales geométricos pero así mismo lo es elvolumen, y así mismo lo puede ser elhipervolumen de cuatro dimensiones. No habrá enel universo material un solo triánguloabsolutamente equilátero pero lo podemos intuir.No habrá un solo hipercono pero alguna vez lointuiremos». Dice luego: «Esa promesa nos la dael libro de Hinton, Una nueva era delpensamiento». Y a continuación agrega sobre estelibro: «Lo he comprado, lo he comenzado a leer,lo he prestado». Esto último confirma algo de loque intentaba decir, la cantidad de libros dematemática en una biblioteca no indica nada sobrela educación matemática de su dueño porque loslibros de matemática son fáciles de empezar ydifíciles de terminar. Digamos, que se prestanfácilmente en el medio (risas).

Borges prosigue: «Queda un hecho innegable,

rehusar la cuarta dimensión es limitar el mundo,afirmarla es enriquecerlo. Mediante la terceradimensión, la dimensión de altura, un puntoencarcelado en un círculo puede huir sin tocar lacircunferencia».

En efecto, el punto «escapa» hacia arriba. Ydice a continuación —en lo que ya se percibecomo el germen de un posible cuento—, latransición de la que ya habíamos hablado de unproblema abstracto a una ficción, el pasaje a laencarnación literaria de una idea matemática:«Mediante la cuarta dimensión, la no imaginable,un hombre encarcelado en un calabozo podría salirsin atravesar el techo, el piso o los muros».

Hablamos también la clase pasada del infinito,mostramos que en el infinito hay partes queequivalen al todo, y abstrayendo esta propiedad,definimos lo que llamamos objetos recursivos.Quiero decir que algunas personas me trajeronmuy buenos ejemplos de objetos recursivos yantirecursivos. Un número periódico sería un

objeto recursivo: basta conocer el período paraconocer todo el número. En cambio, un númerocomo π sería un objeto antirecursivo porque nopuede anticiparse cómo es el resto del número pormás que se conozca una parte tan larga como sequiera. Otro ejemplo de objeto antirecursivo es lalista de números que corresponde a las sucesivasbolas de una ruleta en el casino, hay una definicióndel azar que se basa en esta idea. Ésos seríanejemplos matemáticos. También me han observadoque los idiomas son objetos recursivos.Efectivamente, la piedra con jeroglíficos de laciudad de Rosetta bastó para reconstruir el egipcioantiguo. Otro ejemplo de objeto antirecursivo: uncuento, un cuento que sea suficientemente rigurosono admite que se le saque ninguna parte. También,cualquier habitación con un espejo se convierte enun objeto recursivo. O bien, una pintura como LasMeninas, de Velázquez, o La condición humana,de Magritte, en las que una parte del cuadro es ellienzo donde se reproduce el todo.

Bien, después comenté en algún momento quelos matemáticos hasta 1870 pensaban que había unsolo infinito al que designaban con el símbolo ∞, yluego vino Cantor y mostró que hay un primerinfinito que es el de los números naturales, al quedesignó con el símbolo ℵ0. Probamos que esteprimer infinito de los naturales es también el tipode infinito de los números fraccionarios y elinfinito de todos los libros imaginables. Y yo nodije más nada. Lo que faltó decir, que lo digoahora, es que en realidad el infinito de losnaturales es el más ralo posible. Hay toda unacadena de infinitos cada vez más nutridos a partirde éste. Los números reales tienen un infinitoestrictamente mayor. Y se pueden construir,mediante la operación de agregar todas las partesde un conjunto dado, infinitos cada vez mejoralimentados, cada vez más populosos. Hay todauna torre de infinitos, una jerarquía interminablede diferentes clases de infinito.

También comentamos que el conjunto de los

números fraccionarios entre 0 y 1 era el Libro deArena. El 0 es la tapa, el 1 la contratapa y en elmedio están todas las páginas. Dijimos que nohabía ninguna contradicción entre el hecho de queno pudiera abrirse el libro en una primera página yel hecho de que todas las páginas estuvierannumeradas. Mostramos, con el recorrido diagonalde Cantor, que si hay un imprentero losuficientemente hábil como para coser todas laspáginas del Libro de Arena, también las puedeenumerar.

Hablamos luego de la esfera de Alanus deInsulis, con centro en todas partes y lacircunferencia en ninguna. Me han observadosobre esta esfera que técnicamente Borges habríadebido escribir quizá: «con centro en todas partesy la superficie en ninguna», ya que la nocióncorrespondiente a la de circunferencia para elcírculo es la de superficie para la esfera. Yo creoque la frase perdería algo de su poder inmediatode evocación y quiero recordar aquí lo que

dijimos sobre el trasvasamiento de la matemáticaen términos literarios: Borges, creo yo, arrastra eneste punto el ejemplo del círculo y de aquíproviene la «imprecisión». Pero podemos tambiénpensar que la circunferencia de una esfera es lalínea del Ecuador, que de algún modo ciñe y dalímite a la esfera en el caso finito.

Luego fuimos a la tercera paradoja: el barberoque afeita a todos los hombres que no se afeitan así mismos. Yo les hice notar que hay una variantecon los catálogos de una biblioteca. En efecto, haycatálogos que deben mencionarse a sí mismos enla lista de sus títulos. Por ejemplo, si el catálogode los libros en español está escrito en español,debe incluirse a sí mismo. Uno puede pensar en elcatálogo de todos los libros que no se mencionen así mismos. Y de esa manera llegamos al mismoabsurdo: este libro hipotético no podría nimencionarse ni no mencionarse a sí mismo. Esdecir, no existe el catálogo de todos los posiblescatálogos. Borges conocía muy bien esta variante

de la paradoja porque la desliza en La bibliotecade Babel: «… he peregrinado en busca de un libro,acaso del catálogo de catálogos».

En realidad también la esfera con centro entodas partes y circunferencia en ninguna reapareceen La biblioteca de Babel. Sólo que Borgesdecide aquí reemplazar la esfera por hexágonos.Le atribuye a las salas una forma hexagonal, creoyo, porque el hexágono es un polígono cuya formaevoca ya suficientemente a la circunferencia. Seríamuy incómodo, chocaría con la realidad concretacomo la conocemos pensar en estantes que seancurvos si los libros son rectangulares. Borgescontempla por un momento esta posibilidad, que laatribuye a una visión mística: «Los místicospretenden que el éxtasis les revela una cántaracircular con un gran libro circular de lomocontinuo, que da toda la vuelta de las paredes…ese libro cíclico es Dios». Entonces una figuracercana a la circularidad que encuentra Borges esel hexágono, y dice, con esta pequeña variante:

«La biblioteca es una esfera cuyo centro cabal escualquier hexágono, cuya circunferencia esinaccesible».

Lo genérico versus loconcreto. La escritura del

Dios y Funes el memorioso.La estrategia de lo

universal

Así llegamos, finalmente, a la discusión de logenérico versus lo concreto, que es el primerelemento de estilo que me interesa examinar.Veamos en otros cuentos cómo reaparece estamisma idea. Uno es La escritura del Dios. En La

escritura del Dios, ustedes recuerdan, hay unsacerdote encerrado en una cueva que una vez pordía puede ver las manchas de un tigre. Su Diosescribió una palabra sagrada en algún lugar deluniverso y él conjetura que esa palabra puede estarcifrada en las manchas movedizas del tigre. «Nodiré las fatigas de mi labor» dice en un momento.«Más de una vez grité a la bóveda que eraimposible descifrar ese texto. Gradualmente elenigma concreto que me atareaba me inquietómenos que el enigma genérico de una sentenciaescrita por un Dios. ¿Qué tipo de sentencia (mepregunté) construirá una mente absoluta?». Vemosaquí otra vez la articulación de una situaciónconcreta con un problema abstracto.

Hablamos de los ejemplos afines con los que aBorges le gusta rodear sus ficciones. Es unprocedimiento recurrente, incluso en El aleph. Éldice en un momento que el de la calle Garay seríaun falso aleph, y enumera otras versiones posibles,incluyendo una columna de piedra en una mezquita,

que encerraría en sí el rumor de todo el universo.También, en Funes el memorioso: «Irineo empezópor enumerar, en latín y español, los casos dememoria prodigiosa registrados por la Naturalishistoria: Ciro, rey de los persas, que sabía llamarpor su nombre a todos los soldados de susejércitos; Mitrídates Eupator, que administraba lajusticia en los 22 idiomas de su imperio;Simónides, inventor de la mnemotecnia», etc. Esto,debo decir, no sólo es un procedimiento de tipo«matemático» que acumula ejemplos para entenderqué es lo esencial o qué es lo general, sinotambién una estrategia, que describe muy bienPiglia en su ensayo ¿Existe la novela argentina?:

¿Qué pasa cuándo uno escribe en unalengua marginal? Sobre estas cuestionesreflexiona Gombrowicz en su Diario y lacultura argentina le sirve de laboratoriopara experimentar sus hipótesis.

En este punto, Borges y Gombrowicz

se acercan. Basta pensar en uno de lostextos fundamentales de la poéticaborgeana: El escritor argentino y latradición. ¿Qué quiere decir la tradiciónargentina? Borges parte de esa pregunta yel ensayo es un manifiesto que acompaña laconstrucción ficcional de El Aleph, surelato sobre la escritura nacional. ¿Cómollegar a ser universal en este suburbio delmundo? ¿Cómo zafarse del nacionalismosin dejar de ser ‘argentino’ (o ‘polaco’)?¿Hay que ser ‘polaca’ (o ‘argentino’) oresignarse a ser un ‘europeo exiliado’(como Gombrowicz en Buenos Aires)?

Digamos que los ejemplos que prodiga Borgesno son cualesquiera, son ejemplos siempreprestigiosos de alguna tradición universal, estánelegidos dentro de esta estrategia de inserción desus textos en lo universal. De algún modo, siempreestá ese complejo que acompaña a Borges: se

resigna a escribir sobre los suburbios porteños ysobre compadritos, pero se preocupa pordemostrar, a veces con ironía (llama, por ejemplo,a su Irineo Funes un «Zarathustra cimarrón yvernáculo»), que su «destino sudamericano» es unavatar legítimo de cualquier universalidad. En laelección de ejemplos juega siempre este elementode cosmopolitismo.

Lo genérico y lo concretoen la formación de

conceptos

El tema de lo abstracto y lo concreto tenía unparticular interés teórico para Borges, y loconvirtió en tema también de sus cuentos. En un

momento de Funes el memorioso se dice:

Una circunferencia en un pizarrón, untriángulo rectángulo, un rombo, son formasque podemos intuir plenamente; lo mismole pasaba a Irineo con las aborrascadascrines de un potro, con una punta de ganadoen una cuchilla, con el fuego cambiante y lainnumerable ceniza, con las muchas carasde un muerto en un largo velorio. No sécuántas estrellas veía en el cielo.

Este mismo pasaje lo cita Oliver Sacks en suensayo Los gemelos (dentro de su extraordinariolibro El hombre que confundió a su mujer con unsombrero, Anagrama), cuando reflexiona sobre lainteligencia y la memoria. Ese ensayo, y enrealidad todo el libro, aportan un costadoimprevisto, neurofisiológico, a esta discusiónfilosófica. Para Funes, nos dice Borges, loconcreto y lo abstracto son lo mismo. Lo concreto

no llega a consolidarse, a despojarse, a decantarseen lo abstracto. Todo es un mismo plano. Por esopuede concebir un sistema de numeración que tieneveinte mil símbolos. Se dice sobre este proyecto:

Locke, en el siglo XVIII, postuló (yreprobó) un idioma imposible en el quecada pájaro y cada rama tuviera un nombrepropio; Funes proyectó alguna vez unidioma análogo, pero lo desechó porparecerle demasiado general, demasiadoambiguo. En efecto, Funes no sólorecordaba cada hoja de cada árbol, decada monte, sino cada una de las veces quela había percibido o imaginado. (…) Losdos proyectos que he indicado (unvocabulario infinito para la serie natural delos números, un inútil catálogo mental detodas las imágenes del recuerdo) soninsensatos, pero revelan cierta balbucientegrandeza. Nos dejan vislumbrar o inferir el

vertiginoso mundo de Funes. Éste, no loolvidemos, era casi incapaz de ideasgenerales, platónicas. No sólo le costabacomprender que el símbolo genético‘perro’ abarcara tantos individuos disparesde diversos tamaños y de diversas formas;le molestaba que el perro de las tres ycatorce (visto de perfil) tuviera el mismonombre que el perro de las tres y cuarto(visto de frente). Su propia cara en elespejo, sus propias manos, lo sorprendíancada vez.

Y finalmente dice:

Había aprendido sin esfuerzo el inglés,el francés, el portugués, el latín. Sospecho,sin embargo, que no era muy capaz depensar. Pensar es olvidar diferencias, esgeneralizar, abstraer. En el abarrotadomundo de Funes no había sino detalles,

casi inmediatos.

Esta idea, la de que «pensar es olvidardiferencias, es generalizar, abstraer», puedevincularse con un texto que se encontró entre lospapeles póstumos de Nietzsche sobre la formaciónde la lógica en el cerebro humano, justamente,como un indicio del triunfo de la bestialidad, o dela parte instintiva, la parte que reaccionarápidamente e iguala cosas que son en principiodiferentes. En las épocas primitivas el hombre quesobrevivía era el que podía admitir que el loboque lo iba a atacar visto a las tres y cuarto defrente era más o menos lo mismo que el lobo quelo iba a atacar a las tres y dieciséis visto de perfil,¿no es cierto? Y quizá el Funes de aquella épocamoría en el intento de establecer las sutilesdiferencias. Lo que quiero decir es que podríahaber un principio dialéctico en la igualaciónformal, que está en el origen de la lógica. Que laidentidad formal, y la lógica, quizá se originen de

su exacto opuesto.

Lo genérico y lo concretoen la escritura

Sobre la cuestión de lo genérico y lo concreto,hay también consecuencias interesantes en cuantoal estilo, que se recogen en este número delsuplemento cultural de Clarín dedicado a CarlosMastronardi (Clarín, 15/02/2003). En un momento,Mastronardi anota sobre Borges: «Siente y sufrecomo pocos esta dramática aporía del escritor, unidioma genérico o vago para una realidadminuciosa, diferenciada, singular».

El tema de lo genérico versus lo concreto esuno de los temas cruciales para cualquier escritor.

Es un tema, digamos, de todos los días. Unacuestión de difíciles equilibrios: con cuántodetalle describir un personaje, hasta dóndedelimitarlo, hasta dónde dejar que la imaginacióndel lector lo complete. Borges tenía su propiaidea, uno puede oponer, por ejemplo, Borges conSaer en este sentido, o Borges con la preocupaciónde Nabokov por los preciosos detalles. Borgesprefería asentar pocos detalles, diría yo, y dejarque el lector armara las figuras por sí mismo. Hayun artículo, en realidad es la reseña de una novelade Norah Lange (45 días y treinta marineros),donde Borges dice:

El problema central de la novela es lacausalidad. Si faltan pormenorescircunstanciales, todo parece irreal; siabundan (como en las novelas de Bove oen el Huckleberry Finn de Mark Twain),recelamos de esa documentada verdad y desus detalles fehacientes. La solución es

ésta: Inventar pormenores tan verosímilesque parezcan inevitables, o tan dramáticosque el lector los prefiera a la discusión.

Más de una vez Borges dijo sobre sus propioscuentos que prefería situarlos en épocasrelativamente lejanas, de modo que los detallesfueran difíciles de comprobar, y el lector pudieracreerlos más o menos a ciegas, lo cual sigue esemismo propósito: lograr la suspensión de la duda.En otra de sus anotaciones Mastronardi dice:

En la narrativa, observa Borges, noconviene dar todos los hechospsicológicos. Los censos minuciosos másbien conspiran contra la impresión derealidad que buscamos. Según Borges, losensato es identificarse con la intimidad delos personajes para mostrarlos despuésmediante algunos signos o trazos decisivos.Entiende que las oportunas omisiones los

presentan más vívidos y concretos ante losojos del lector.

La operación deabstracción

Bien, quiero dar ahora un primer ejemplosobre la afirmación que dejamos en suspenso laclase anterior, sobre el método con el que Borgesrastrea los temas de sus cuentos, acumulaejemplos, los compara, abstrae la forma general ysuministra finalmente, como una variante más, supropia ficción. Seguiremos en esto un ensayo quese llama Laberintos (también en Textosrecobrados).

Voy a leer entresacando algunas partes. Dice

así:

El concepto de laberinto —el de unacasa cuyo descarado propósito esconfundir y desesperar a los huéspedes—es harto más extraño que la efectivaedificación o la ley de esos incoherentespalacios. El nombre, sin embargo,proviene de una antigua voz griega quesignifica los túneles de las minas, lo queparece indicar que hubo laberintos antesque la idea de laberinto. Dédalo, en suma,se habría limitado a la repetición de unefecto ya obtenido por el azar. Por lodemás basta una dosis tímida de alcohol —o de distracción— para que cualquieredificio provisto de escaleras y corredoresresulte un laberinto (…) El reciente librode Thomas Ingram (…) es quizá la primeramonografía consagrada a ese tema. [En unapéndice] trata de fijar ‘los inmutables y

genuinos principios que el arquitecto-jardinero debe observar en todo laberinto’.Esos principios se reducen a uno: laeconomía. Si el espacio es vasto, el dibujodebe ser simple; si es reducido los rodeosson menos intolerables.

Y a continuación agrega, citando a Ingram:

Con dos millas cuadradas de terreno ydoscientas bifurcaciones, curvas y ángulosrectos, el último chapucero es capaz de unbuen laberinto. El ideal es el laberintopsicológico, el fundado, digamos, en lacreciente divergencia de dos caminos queel explorador o la víctima suponeparalelos.

Fíjense cómo Borges hace girar y moldea yestira la idea de laberinto. Parte de la definición

más rudimentaria, de la etimología, peroinmediatamente observa que la idea de laberintono necesariamente depende del edificio, de laconstrucción en sí, sino, a veces, del estadopsicológico de la persona. A continuaciónincorpora un requisito estético: un laberinto nopuede ser un galimatías. Esto, de nuevo, encuentrauna analogía con la exploración de las ideasmatemáticas. Los matemáticos no apruebancualquier teorema, no les da lo mismo cualquierresultado. Siempre tienen en cuenta ciertasconsideraciones estéticas. Una buena solución enmatemática no es cualquier solución, tiene quetener cierta belleza, tiene que regularse de acuerdocon ciertos criterios de economía, de dosificaciónde herramientas, etc. En matemática se suele decir:no se puede matar a un mosquito con una bazooka.Ésta es la misma idea que la de las millascuadradas de terreno con doscientas bifurcaciones.

Ahora, en un nuevo nivel de abstracción.Borges dice: «El laberinto ideal sería un camino

recto y despejado de una longitud de cien pasosdonde se produjera el extravío por alguna razónpsicológica». La intención, como vemos, es llegara la máxima simplicidad, pero sin perder loesencial de la noción de laberinto: el extravío.«No lo conoceremos en esta tierra» —dice—«pero cuanto más se aproxime nuestro dibujo a esearquetipo clásico y menos a un mero caosarbitrario de líneas rotas, mejor. Un laberinto debeser un sofisma, no un galimatías».Reencontraremos otra vez esta idea, vinculada a laparadoja de Aquiles y la tortuga, al final delcuento La muerte y la brújula.

A continuación, se repasan en el artículoalgunos de los laberintos más famosos, incluido elde Creta. Finalmente, dice Borges: «Del primerapéndice de la obra copiamos una breve leyendaarábiga traducida al inglés por Sir Richard Burton.Se titula Historia de los dos reyes y los doslaberintos».

Aquí se verifica acabadamente la tesis de

Lucila Pagliai sobre la matriz ensayística de laobra de Borges. Borges, dentro de este ensayo,delimita las ideas principales, encuentra lageneralización que le interesa y escribe, como sifuera todavía prolongación del ensayo, uno de suspropios cuentos. Porque Historia de los dos reyesy los dos laberintos es en realidad un cuento suyo.Lo leo:

Cuentan los hombres dignos de fe (peroAlá sabe más) que en los primeros díashubo un rey de las islas de Babilonia quecongregó a sus arquitectos y magos y lesmandó construir un laberinto tan complejoy sutil que los varones más prudentes no seaventuraban a entrar, y los que entraban seperdían. Esa obra era un escándalo, porquela confusión y la maravilla son operacionespropias de Dios y no de los hombres. Conel andar del tiempo lo vino a visitar un reyde los árabes, y el rey de Babilonia (para

hacer burla de la simplicidad de suhuésped) lo hizo penetrar en el laberinto,donde vagó afrentado y desesperado losdías y las noches. Al final imploró elsocorro divino y dio con la puerta. Suslabios no profirieron queja ninguna pero ledijo al rey de Babilonia que él en Arabiatenía un laberinto mejor, y que si Dios eraservido se lo daría a conocer algún día.Luego regresó a Arabia, juntó sus capitanesy sus alcaides y estragó los reinos deBabilonia, con tan venturosa fortuna quederribó sus castillos, rompió sus gentes ehizo cautivo al mismo rey. Lo amarróencima de un camello veloz y la llevó aldesierto. Cabalgaron tres días y le dijo:«En Babilonia me quisiste perder en unlaberinto con muchas escaleras, puertas ymuros. Ahora el Poderoso ha tenido a bienque te muestre el mío, donde no hayescaleras que subir ni puertas que forzar ni

fatigosas galerías que recorrer ni murosque te veden el paso». Luego desató lasligaduras y lo abandonó en mitad deldesierto donde pereció de hambre y sed.La gloria sea con Aquél que no muere.

Yo creo que acabamos de presenciar una típicaoperación matemática: la abstracción absoluta delconcepto de laberinto y la demostración de que unlaberinto también puede ser un desierto. Estaoperación de abstracción es uno de losprocedimientos recurrentes de tipo matemático enla obra de Borges.

Doy un segundo ejemplo, en otro artículo delmismo libro que se llama Diálogos del asceta y elrey. Exactamente el mismo tipo de procedimiento:

Un rey es una plenitud, un asceta esnada o quiere ser nada. A la gente le gustaimaginar el diálogo de esos dos arquetipos.He aquí unos ejemplos derivados de

fuentes orientales y occidentales.

Borges empieza a mencionar distintosejemplos, como el de Diógenes.

El sexto incluye otra versión de nadieignorada cuyos protagonistas sonAlejandro y Diógenes el cínico. Llegóaquel a Corinto para dirigir la guerracontra los persas y fueron todos a mirarlo ya agasajarlo. Diógenes no se movió de suarrabal y ahí Alejandro lo encontró unamañana tomando el sol. «Pídeme lo quequieras», dijo Alejandro. Y el otro desdeel suelo le pidió que no le hiciera sombra.

Luego comenta una novela llamada Preguntasde Milinda, en donde el rey finalmente setransmuta en el asceta, toma los hábitos del asceta.Déjenme leer solamente este párrafo:

Al vestir el hábito del asceta el rey enesta tercera versión parece confundirse conél, y nos recuerda a aquel otro rey de laepopeya sánscrita que deja su palacio ypide limosna por las calles y de quien sonestas vertiginosas palabras: «Desde ahorano tengo reino o mi reino es ilimitado.Desde ahora no me pertenece mi cuerpo ome pertenece toda la tierra».

Aquí yo encuentro un hilo conductor, un rastroque lleva a La escritura del Dios. Si ustedesrecuerdan el final del cuento La escritura delDios, ésa es la resolución del sacerdote cuando lees revelado el nombre de Dios, cuando finalmentelogra leer la palabra. Decide no pronunciar lafórmula que lo liberaría y quedarse acostado en lacueva porque lo tiene todo y no tiene nada, y todoes lo mismo para él en ese momento:

Quien ha entrevisto el universo, quien

ha entrevisto los ardientes designios deluniverso, no puede pensar en un hombre, ensus triviales dichas o desventuras, aunqueese hombre sea él. Ese hombre ha sido él yahora no le importa. Qué le importa lasuerte de aquel otro, qué le importa lanación de aquel otro, si él, ahora es nadie.Por eso no pronuncio la fórmula, por esodejo que me olviden los días, acostado enla oscuridad.

El ensayo prosigue enumerando ejemplossimilares, modulaciones de la misma idea. Y dice:

En las historias que he referido unasceta y un rey simbolizan la nada y laplenitud, cero y el infinito. Símbolos másextremos de ese contraste serían un dios yun muerto y su fusión más económica undios que muere. Adonis herido por eljabalí de la diosa lunar, Osiris arrojado

por Seth a las aguas del Nilo, éstos sonejemplos famosos de esa fusión. No menospatético es éste que narra el fin modesto deun dios.

Y aquí, nuevamente, inserta su propia historia,esta vez sobre la muerte de Odín.

Borges cierra el ensayo con una frase quepodría sintetizar por sí sola su interés casicientífico en las abstracciones.

Fuera de su virtud que puede ser mayoro menor, los textos anteriores, diseminadosen el tiempo y el espacio, sugieren laposibilidad de una morfología (para usar lapalabra de Goethe) o ciencia de las formasfundamentales de la literatura. Alguna vezhe conjeturado en estas columnas que todaslas metáforas son variantes de un reducidonúmero de arquetipos; acaso estaproposición también es aplicable a las

fábulas.

Estructuración lógica enlos cuentos de Borges

Hasta aquí, hemos examinado una primeraoperación de tipo matemático, que es la que hemosllamado generalización o abstracción. La segunda,a la que me quiero referir hoy, es la que yollamaría la estructuración lógica de los relatos.Entonces, sobre esto, también dejemos hablarprimero a Borges para comprobar que su teoríacoincidía con su práctica, lo cual no tiene por quéser siempre cierto. Borges estaba absolutamenteinteresado en las cuestiones de estructura, tenía elconvencimiento de que había leyes íntimas en los

relatos, incluso en los géneros. A ese punto mequiero referir. Por ejemplo, en otro de los ensayosde Textos recobrados que se llama Leyes de lanarración policial trata de abstraer cuáles son lasleyes fundamentales de cualquier narraciónpolicial. No lo voy a leer todo pero dice: «Losmandamientos de la narración policial son tal vezlos que siguen». Y enumera una lista:

1. Un límite discrecional de sus personajes. Lainfracción temeraria de esa ley tiene la culpade la confusión y el hastío de todos los filmespoliciales…

2. Declaración de todos los términos delproblema. Si la memoria no me engaña (o sufalta), la variada infracción de esta segundaley es el defecto preferido de Conan Doyle.Se trata a veces de unas leves partículas decenizas recogidas a espaldas del lector por elprivilegiado Holmes, y sólo derivables de uncigarro procedente de Burma que en una sola

tienda se despacha, que sirve a un solocliente, etc.

3. Avara economía de los medios.4. Primacía del cómo sobre el quién.5. El pudor de la muerte. Homero pudo

transmitir que una espada tronchó la mano deHipsenor y que la mano ensangrentada cayópor tierra y que la muerte color sangre y elsevero destino se apoderaron de sus ojos;pero esas pompas de la muerte no caben en lanarración policial cuyas musas glaciales sonla higiene, la falacia y el orden.

6. Necesidad y maravilla de la solución.

Este último requerimiento es algo muyparecido a lo que uno pide en matemática, que elteorema se derive de las premisas,inevitablemente, pero que aun así haya ciertoefecto (the punch line, se llama a veces a laconclusión inesperada de un teorema). Es decir,que el resultado, la tesis, no sea totalmente

previsible de acuerdo con los datos iniciales, sinoque maraville, desconcierte y revele algonovedoso, original, diferente a lo que sesospechaba hasta entonces.

Hay otro ensayo de Borges que es quizá máspreciso en cuanto a los mecanismos de la creación,y deja, creo yo, muy claramente determinada suidea. Ese ensayo se llama La génesis de «Elcuervo» de Poe. Borges recuerda que en abril de1846, el Graham Magazine de Filadelfia publicóun artículo a dos columnas de su corresponsal Mr.Poe titulado La filosofía de la composición. EdgarAllan Poe en ese artículo procuraba explicar lamorfología de su ya glorioso poema El cuervo.

Empieza por alegar los motivosfonéticos que le indicaron el estribillomelancólico nevar more, nunca más. Diceluego su necesidad de justificar de unmodo verosímil el uso periódico de esapalabra. ¿Cómo reconciliar esa monotonía,

ese «regreso eterno» con el ejercicio de larazón? Un ser irracional, capaz de articularel precioso adverbio, era la soluciónevidente. Un papagayo fue el primercandidato, pero inmediatamente un cuervolo suplantó, más decoroso y lóbrego. Suplumaje aconsejó después la instalación deun busto de mármol, por el contraste de esacandidez y aquella negrura. Ese busto erade Minerva, de Palas: por la eufonía griegadel nombre y para condecir con los librosy con el ánimo estudioso del narrador. Asíde todo lo demás… No traslado la finareconstrucción ensayada por Poe; me bastarecordar unos eslabones. […]

Inútil agregar que ese largo procesoretrospectivo ha merecido la incredulidadde los críticos, cuando no su burla o suescándalo. ¡Del interlocutor de las musas,del poeta amanuense de un dios oscuro,pasar al mero devanador de razones! La

lucidez en el lugar de la inspiración, lainteligencia comprensible y no el genio.¡Qué desencanto para las contemporáneosde Hugo y aun para los de Bretón y Dalí!No faltó quien rehusara a tomar en seriolas declaraciones de Poe… Otros, hartocrédulos, temieron que el misterio centralde la creación poética hubiera sidoprofanado por Poe y recusaron el artículoentero. Se adivinará que no comparto esasopiniones… Yo —ingenuamente acaso—creo en las explicaciones de Poe.Descontada alguna posible ráfaga decharlatanería pienso que el proceso mentaladucido por él ha de corresponder, más omenos, al proceso verdadero de lacreación. Yo estoy seguro de que asíprocede la inteligencia: porarrepentimientos, por obstáculos, poreliminaciones. La complejidad de lasoperaciones descritas no me incomoda;

sospecho que la efectiva elaboración tieneque haber sido aún más compleja, y muchomás caótica y vacilante…

Lo anterior no quiere decir que elarcano de la creación poética —de esacreación poética— haya sido revelado porPoe. En los eslabones examinados, laconclusión que el escritor deriva de cadapremisa es, desde luego, lógica pero no laúnica necesaria.

Aquí hay un punto clave, y posiblemente enesta pequeña oración Borges haya llegado lo máslejos, desanimadoramente no muy lejos, en lo quepuede avanzarse cuando se quiere decir algo sobreel proceso general de la creación. Y de nuevo, enesta discusión sobre la «divina y alada» intuicióny los prosaicos pasos de tortuga lógicos aprovechopara contradecir un mito sobre la matemática: elproceso que describe Borges es exactamente iguala lo que ocurre en la creación matemática.

Pensemos en el matemático que tiene que probarpor primera vez un teorema, no en el matemáticoque sigue línea por línea la demostración de unteorema ya probado (que sería algo así como ellector con respecto a la obra ya terminada), sinoen el matemático que se propone demostrar unresultado y no sabe ni siquiera si esa demostraciónverdaderamente existe. Esa persona se maneja enun mundo a tientas, y tiene que ir probando yequivocándose, refinando sus hipótesis, volviendoal principio para intentar otro camino. Tiene,también, todas las infinitas posibilidades a sualcance y a cada paso. Y así, cada ensayo serálógico, pero de ningún modo el único posible. Escomo el jugador de ajedrez. Cada una de lajugadas del jugador de ajedrez para cercar a surival corresponde a la lógica del juego peroninguna está determinada de antemano. Éste es elpaso crítico en la elaboración artística, matemáticay en cualquier tarea de la imaginación. Es decir, yono creo que haya nada peculiar en la creación

literaria en cuanto a la dualidadimaginación/intuición, lógica/razón. Vuelvo ahoraa lo que dice Borges:

En los eslabones examinados, laconclusión que el escritor deriva de cadapremisa es, desde luego, lógica; pero no esla única necesaria. Verbigracia, de lanecesidad de un ser irracional capaz dearticular un adverbio, Poe derivó uncuervo, luego de pasar por un papagayo; lomismo pudo haber derivado un lunático,resolución que hubiera transformado elpoema. Formulo esa objeción entre mil.Cada eslabón es válido, pero entre eslabóny eslabón queda su partícula de tiniebla ode inspiración incoercible.

Exactamente lo mismo ocurre en matemática,entre eslabón y eslabón tiene que estar lainteligencia y la inventiva humana que decide que

ése y no otro es el camino adecuado. Borgesagrega: «Lo diré de otro modo, Poe declara losdiversos momentos del proceso poético pero entrecada uno y el subsiguiente queda infinitesimal elde la invención».

Bien, entonces sobre la base de estas ideas deBorges me gustaría referirme a un artículo que yoescribí en el que comparo al cuento con un sistemalógico haciendo una leve modificación sobre unaidea de Piglia. Digamos, hay una idea que enuncióPiglia de una manera muy elocuente y muy hermosaen un artículo que se llama Tesis sobre el cuento(ver Crítica y ficción, de editorial Fausto). Elgermen de esa idea, en realidad, se deberíatambién a Borges, según me señaló LeopoldoBrizuela: en efecto, en el prólogo al libro Losnombres de la muerte, de María Esther Vázquez,Borges escribe: «Ya que el lector de nuestrotiempo es también un crítico, un hombre queconoce, y prevé, los artificios literarios, el cuentodeberá constar de dos argumentos; uno, falso, que

vagamente se indica, y otro, el auténtico, que semantendrá secreto hasta el fin».

Es la idea que luego elabora Piglia: la de quetodo cuento es la articulación de dos historias, unaque se cuenta sobre la superficie y otrasubterránea, secreta, que el escritor hace emergerde a poco durante el transcurso del cuento y sólotermina de revelar por completo en el final.

En mi pequeña variación El cuento comosistema lógico lo que yo observo es que parece untanto excesivo, al analizar ejemplos concretos decuentos, pedir que sean realmente dos historias,muchas veces no hay ni siquiera una historia en loscuentos (risas). Y propongo sustituir esa idea untanto exigente por el esquema un poco más general,más laxo, de pensar en dos lógicas distintas. Digoque en general los cuentos empiezan en el estadodel sentido común, la lógica inicial de alguna«normalidad», y que hay otro orden lógico ocultoque sólo conoce al principio el narrador y quetiene que ver con aquello que quiere contar al

final, con la dirección última hacia donde sedirige. El arte de prestidigitación del narrador eslograr transmutar la lógica inicial poco a poco enesta segunda lógica ficcional. Así, por ejemplo, unelemento que se introduce como un detalledeslizado al azar o intercambiable en la primeralógica puede ser absolutamente necesario para elsegundo orden lógico. Bien. Ése es un poco elsentido del artículo.

La muerte y la brújula

Entonces lo que yo quiero proponerles esseguir uno de los cuentos de Borges, La muerte yla brújula, prestando atención a esa transmutaciónde las lógicas. Esto, por supuesto, no es algoparticular o privativo de los cuentos de Borges.

Esto se relaciona con la estructura del relatotradicional, pero Borges era particularmenteconciente de estos niveles, sus cuentos en generalestán concebidos y estructurados de esta forma.Leo entonces el primer párrafo:

De los muchos problemas queejercitaron la temeraria perspicacia deLönnrot, ninguno tan extraño —tanrigurosamente extraño, diremos— como laperiódica serie de hechos de sangre queculminaron en la quinta de Tristele-Roy,entre el interminable olor de loseucaliptos. Es verdad que Erik Lönnrot nologró impedir el último crimen, pero esindiscutible que lo previó. Tampocoadivinó la identidad del infausto asesino deYarmolinsky, pero sí la secreta morfologíade la malvada serie y la participación deRed Scharlach, cuyo segundo apodo esScharlach el Dandy.

Una observación aquí: fíjense que Borgesescribe «la periódica serie de hechos de sangre»porque quiere atenerse en este relato a lo que élmismo ha dicho sobre el género policial, es decir,trata de jugar con todas las cartas sobre la mesa.Entonces usa lo que en principio parece uneufemismo, «hechos de sangre», para evitar lapalabra «crímenes». Aquí todos sabemos cómotermina el cuento: no desencanto a nadie si digoque no todos son crímenes. Decir «crímenes»desde ese narrador omnisciente induciría al lectora una idea equivocada, y las dos lógicas no debencontradecirse sino solaparse.

Vamos ahora al segundo párrafo:

El primer crimen ocurrió en el Hôtel duNord —ese alto prisma que domina elestuario cuyas aguas tienen el color deldesierto.

En principio lo que uno registra como dato

importante es que el primer crimen ocurrió en unhotel. Aquí se ve el tema de lo contingente y lonecesario en los detalles. En la lógica inicial de lanarración, el Hôtel du Nord, del que se da unadescripción, es solamente un hotel, el nombre deun hotel. Pero el detalle importante es lo que alprincipio parece intercambiable, o aleatorio, lapalabra «Nord», porque representa el puntocardinal del norte. O sea, el nombre del hotel, queen principio uno lee y pasa por alto sin darleninguna particular atención, va a cobrar luegoimportancia en la historia. Lo mismo cuando dice:

A esa torre (…) arribó el día tres dediciembre el delegado de Podólsk alTercer Congreso Talmúdico, doctorMarcelo Yarmolinsky.

Uno lee «tres de diciembre» como un díacualquiera. Tres, cinco, ¿qué importa? Uno noregistra demasiado las fechas, los números, sobre

todo si uno es matemático, todos los números soniguales (risas). Supone que el autor también fijó lafecha con cierta arbitrariedad. Pero después sítiene importancia que sea el tres.

Observen que Borges ya ha mencionado enestos dos primeros párrafos todos los elementoscruciales del cuento. Aparecen el investigador, elcriminal, el nombre del que será la primeravíctima, etc. Ha dispuesto sus piezas como alcomienzo de una partida de ajedrez. Se ve aquíotra vez su intención de «declarar todos lostérminos del problema».

A continuación, entonces, el primer crimen.Aparece muerto Yarmolinsky, un estudioso desectas judías, en su cuarto de hotel. Se reúnenTreviranus, que es el detective «oficial», eldetective del orden prosaico de lo real, y Lönnrot,que sería el detective de Borges, el detective delorden ficcional.

—No hay que buscarle tres pies al gato

—decía Treviranus, blandiendo unimperioso cigarro—. Todos sabemos queel Tetrarca de Galilea posee los mejoreszafiros del mundo. Alguien, para robarlos,habrá penetrado aquí por error.Yarmolinsky se ha levantado; el ladrón hatenido que matarlo. ¿Qué le parece?

—Posible, pero no interesante —respondió Lönnrot—. Usted replicará quela realidad no tiene la menor obligación deser interesante. Yo le replicaré que larealidad puede prescindir de esaobligación, pero no las hipótesis. En la queusted ha improvisado, intervienecopiosamente el azar. He aquí un rabinomuerto; yo preferiría una explicaciónpuramente rabínica, no los imaginariospercances de un ladrón.

Esta conversación es muy importante. Laexplicación de Treviranus se ajusta al caos de la

realidad, a la aleatoriedad de la realidad, elcrimen tiene un factor accidental. Lo que lereprocha Lönnrot es un desajuste estético, que nosea «literario». Él preferiría una hipótesis que lediera sentido a ese caos. Aquí está, en el fondo,subyacente, la discusión entre realidad y ficción.Digo esto porque Borges imagina una solución enque los dos términos aparecen. O sea, tanto eldetective de la realidad como el detectiveficcional Lönnrot tienen una parte de razón. Es muyinteresante el tipo de resolución que da Borges, sibien no es totalmente novedosa, tengo que decir.Hay una novela de Agatha Christie, una escritora ala que muchos desprecian pero muchos más leen aescondidas, que tiene una idea muy similar.Después volveremos a esto.

Treviranus contesta:

—No me interesan las explicacionesrabínicas; me interesa la captura delhombre que apuñaló a este desconocido.

—No tan desconocido —corrigióLónnrot.

Y comenta cuáles son las obras que seencuentran de Yarmolinsky, toda una serie de obrassobre la cábala, la secta de los Hasidim, etc.Libros sobre el judaísmo. De nuevo es un elementoque parece intercambiable, podría haber o nolibros en la habitación. Pero como narrador ¿quées lo que necesita Borges? Necesita darles a suslectores una pequeña lección del ABC de lacábala, para el desarrollo posterior de la historia.Entonces aquí los libros que encuentra tienen esadoble función. O sea, ¿cómo se las arregla Borgespara dar la lección sin caer en el didactismo? Lasolución es: imaginar que su detective es tambiénignorante en estos temas. Entonces mientras sudetective se retrae para leer sobre la cábala y lahistoria de estas sectas judías, el lector tambiénadquiere la información que necesita para seguiradelante. En definitiva, aquí hay un recurso

técnico. Pero, de nuevo, gran parte de la maestríade un escritor es convertir en esencial lo que es unrecurso técnico, integrarlo naturalmente a lahistoria. En el ensayo del que les hablé, El cuentocomo sistema lógico, yo comparo al escritor conun ilusionista que usa una de las manos para hacerel truco y la otra para disimularlo. Y digo luegoque entre los escritores, el verdadero artistadebería ser un mago como René Lavand, que,como ustedes saben, tiene una sola mano.

Tenemos entonces que Lönnrot, como dijimos,se dedica a estudiar los libros que encuentra y nosda las nociones fundamentales que se requierensobre la cábala. Junto al muerto, recordemos,había un papel con la frase: «La primera letra delNombre ha sido articulada».

Dentro de la lección se nos dice que uno de loslibros habla de «las virtudes y terrores delTetragrámaton, que es el inefable Nombre deDios»: otro, de «la tesis de que Dios tiene unnombre secreto, en el cual está compendiado

(como en la esfera de cristal que los persasatribuyen a Alejandro de Macedonia) su novenoatributo, la eternidad —es decir, el conocimientoinmediato de todas las cosas que serán, que son yque han sido en el universo».

Esta misma idea, que el nombre de Dios, unacierta combinación de letras, puede ser una puertade acceso al conocimiento absoluto, reaparece enLa escritura del Dios.

Bien, a continuación hay otra digresión en lanarración que también tiene un sentido. Aparece unartículo periodístico sobre el asesinato y Borgesinserta este curioso párrafo:

Uno de esos tenderos que handescubierto que cualquier hombre seresigna a comprar cualquier libro, publicóuna edición popular de la Historia de lasecta de los Hasidim.

¿Cuál es el sentido de este desvío en la

historia que se está narrando en primer plano? Enprincipio se lee como una derivación de las tantasposibles sobre la repercusión que tuvo elasesinato. En realidad, esto es para solucionar unproblema técnico de verosimilitud que va asobrevenir luego. El problema es que el hombreque está detrás de la serie, el hombre que estáconcibiendo la serie como una trampa para atraera Lönnrot es Scharlach. Y Scharlach es un criminalde los suburbios. Este personaje le presenta aBorges varias dificultades, creo que para sugeriralgún refinamiento le atribuye ese segundo apodo,«el Dandy»; pero, de todos modos, ¿cómo lograrque un malevo de los suburbios sea de prontoversado en la secta de los Hasidim? Por eso sepublica una edición popular. Ese cabo que parecesuelto se recoge hacia el final.

Lo que quiero es que ustedes noten cómoBorges va armando la segunda estructura lógicadel relato. Desde el final, mirando hacia atrás,muchos de los detalles se explicarán de otra

manera. Pero esta segunda forma convive desde elprincipio, agazapada, disimulada en el ordenlógico secuencial con que se desarrolla la trama.

Con el segundo crimen aparecen los elementosde regularidad de la serie. «El segundo crimenocurrió la noche del tres de enero». Reapareceentonces el número tres y sabemos que ya no esuna casualidad. La segunda víctima, un matón denombre Azevedo, tiene «el rostro enmascarado desangre»; «una puñalada profunda le había rajado elpecho. En la pared, sobre los rombos amarillos yrojos, había unas palabras en tiza». Las palabras,por supuesto, eran: «La segunda letra del Nombreha sido articulada».

Así, con el segundo crimen, aparece el detallede los rombos. Detalle que parece circunstancialcon respecto al número tres pero que será esencialcon respecto al número cuatro, que es el verdaderonúmero de la serie. Los rombos están prefigurandola solución final.

Después dice:

El tercer crimen ocurrió la noche deltres de febrero. Poco antes de la una, elteléfono resonó en la oficina delcomisario…

De nuevo, reaparece el número tres. La policíarecibe un llamado de un tal Ginzberg o Ginsburg,«dispuesto a comunicar, por una remuneraciónrazonable, los hechos de los dos sacrificios deAzevedo y de Yarmolinsky».

La palabra «sacrificio» aquí aparece deslizadacomo una de las variaciones posibles de lapalabra «muerte».

Sin embargo, como se ve después hacia el finalde la historia, la palabra «sacrificio» es esencialen lo que se narra. Hay entonces una terceramuerte (aunque después nos enteraremos de que enrealidad esta es una muerte fraguada). La«víctima» es un hombre que va entre dosarlequines enmascarados. Se dice:

Dos veces tropezó; dos veces losujetaron los arlequines. Rumbo a ladársena inmediata, de agua rectangular, lostres subieron al cupé y desaparecieron. Yaen el estribo del cupé, el último arlequíngarabateó una figura obscena y unasentencia en una de las pizarras de larecova.

La sentencia era «La última de las letras delNombre ha sido articulada». La última. O sea queen principio parecería que la serie de crímenes sedetiene ahí: tres crímenes, el día tres.

El detective de la realidad, Treviranus,desconfía.

—¿Y si la historia de esta noche fueraun simulacro?

Borges, como se ve, juega limpio hasta el

final: la historia es un simulacro y el detective delo real lo descubre.

Pero uno, el lector, ya está atrapado en lalógica ficcional, ya sabe que algo más va a ocurrir.Justamente, la segunda lógica de la ficción yacontaminó el relato. Y uno ¿qué presiente? Comoen cualquier relato policial clásico presiente quees Lönnrot el que dará la explicación definitiva yque el detective de lo real siempre será más torpe.Borges juega con esa relación de superioridadlargamente construida en miles de relatospoliciales. Entonces aquí Lönnrot desliza el primerdetalle que puede servir al lector para reconstruirtoda la historia: el detalle sobre el comienzo deldía hebreo.

El día hebreo empieza al anochecer ydura hasta el siguiente anochecer.

Esto le da una lógica distinta al tema del tresen las fechas de las muertes: el tres se transforma

en cuatro si está cerca de la noche.

El otro ensayó con ironía.—¿Ese dato es el más valioso que

usted ha recogido esa noche?—No. Más valiosa es una palabra que

dijo Ginzherg.

Esa palabra es «sacrificio». ¿Qué ocurredespués? En la continuación de la trama,Treviranus recibe una carta con la primerasolución, la solución «falsa» de la serie.

«La carta profetizaba que el 3 de marzo nohabría un cuarto crimen, pues la pinturería delOeste, la taberna de la Rue de Toulon y el Hôtel duNord eran ‘los vértices perfectos de un triánguloequilátero y místico’». Así, la primera «solución»del enigma es el triángulo equilátero.

Erik Lönnrot las estudió. Los tres

lugares, en efecto, eran equidistantes.Simetría en el tiempo (3 de diciembre, 3 deenero, 3 de febrero): simetría en elespacio, también… Sintió, de pronto, queestaba por descifrar el misterio. Uncompás y una brújula completaron esabrusca intuición. Sonrió, pronunció lapalabra Tetragrámatron (de adquisiciónreciente) y llamó por teléfono al comisario.Le dijo:

—Gracias por ese triángulo equiláteroque usted anoche me mandó. Me hapermitido resolver el problema. Mañanaviernes los criminales estarán en la cárcel,podemos estar muy tranquilos.

—Entonces ¿no planean un cuartocrimen?

—Precisamente porque planean uncuarto crimen, podemos estar muytranquilos.

Bien. Y por supuesto la solución verdadera esla que tiene que ver con el nombre de Dios enhebreo, JHVH(o YHVH), que tiene cuatro letras. Yen realidad la figura a completar indicará el lugardonde Scharlach emboscará a Lönnrot. Es decir, loque hace Lönnrot es completar a partir deltriángulo la figura del rombo para determinar uncuarto punto, sin saber que en ese punto lo estáesperando Scharlach para asesinarlo. El enigma esuna trampa, un laberinto (Borges lo dice de estaforma). Norte, Este, Oeste son los tres puntos en laciudad que le sirven para fijar con la brújula y elcompás el cuarto punto en el sur, donde lo esperasu propia muerte. Porque Scharlach tiene unacuenta pendiente con Lönnrot, esto es algo que loslectores no saben, es parte de lo que revelaScharlach en la explicación final. Leo esemonólogo, cuando se encuentra en Triste-le-Royfrente a frente con Lönnrot:

En esas noches yo juré por el dios que

ve con dos caras y por todos los dioses dela fiebre y de los espejos tejer un laberintoen torno del hombre que había encarceladoa mi hermano. Lo he tejido y es firme: losmateriales son un heresiólogo muerto, unabrújula, una secta del siglo XVIII, unapalabra griega, un punal, los rombos de unapinturería.

El primer término de la serie me fuedado por el azar. Yo había tramado conalgunos colegas —entre ellos, DanielAzevedo— el robo de los zafiros delTetrarcca. Azevedo nos traicionó: seemborrachó con el dinero que le habíamosadelantado y acometió la empresa el díaantes. En el enorme hotel se perdió; hacialas dos de la mañana irrumpió en eldormitorio de Yarmolinsky. Éste acosadopor el insomnio, se había puesto a escribir.Verosímilmente, redactaba unas notas o unartículo sobre el Nombre de Dios; había

escrito ya las palabras: La primera letradel Nombre ha sido articulada. Azevedo leintimó silencio; Yarmolinsky alargó lamano hacia el timbre que despertaría todaslas fuerzas del hotel; Azevedo le dio unasola puñalada en el pecho. Fue casi unmovimiento reflejo; medio siglo deviolencia le había enseñado que lo másfácil y seguro es matar…

El primer crimen se inscribe dentro de lo real,es un accidente, tal y como lo había previstoTreviranus. Y aquí aparece el deslizamiento, latransición a la lógica ficcional:

A los diez días yo supe por la YidischeZaitunng que usted buscaba en los escritosde Yarmolinsky la clave de la muerte deYarmolinsky. Leí la Historia de la secta delos Hasidim: supe que el miedo reverentede pronunciar el Nombre de Dios había

originado la doctrina de que ese Nombrees todopoderoso y recóndito. Supe quealgunos Hasidim, en busca de ese Nombresecreto, habían llegado a cometersacrificios humanos… Comprendí queusted conjeturaba que los Hasidim habíansacrificado al rabino; me dediqué ajustificar esa conjetura.

Es decir, un golpe de azar, el crimenimpremeditado de Yarmolinsky, le dainesperadamente a Scharlach la posibilidad deatraer a Lönnrot a una trampa. Entonces, a partir deese momento, sobre esa primera muerte que ledepara el azar, Scharlach arma su serie teniendo encuenta qué es lo que el detective quiere encontrar.

Ésta es la modulación interesante del relato ala que me refería y que ya está en una de lasprimeras novelas de Agatha Christie: Asesinato enel campo de golf. Es una novela en la que AgathaChristie libra una pequeña batalla contra Conan

Doyle y contrapone la figura de su detectivepsicológico Hércules Poirot con un detectivefrancés, Giraud, que remeda los métodos deSherlock Holmes. Inventa a un detective que actúay procede como Sherlock Holmes, que husmea, sepone en cuatro patas para revisar colillas y huellasen el césped, todo ese tipo de cosas. Digamos, loridiculiza a Sherlock Holmes. Y justamente, elrasgo de astucia en esa novela es que el criminalva dejando pequeños rastros para que losencuentre esta clase de detective. El criminal seamolda al detective. El criminal penetra la teoría ylos dos planos se confunden. Aquí ocurreexactamente lo mismo, por eso digo que en esterelato conviven los dos planos: el plano de lo realy el plano de lo ficcional. Porque el criminalintroduce en la realidad los elementos gratos a labúsqueda del detective. Convierte lo que esficcional e «interesante» en teoría para Lönnrot encrímenes reales.

Bien, y aquí digo otra vez algo que provocó

algún sobresalto el año pasado cuando di porprimera vez las charlas: a mí no me termina deconvencer el diálogo final del cuento. El finaldice:

Lönnrot consideró por última vez elproblema de las muertes simétricas yperiódicas.

—En su laberinto sobran tres líneas —dijo por fin—. Yo sé de un laberinto griegoque es una línea única, recta. En esa línease han perdido tantos filósofos que bienpuede perderse un mero detective.Scharlach, cuando en otro avatar usted medé caza, finja (o cometa) un crimen en A,luego un segundo crimen en B, a 8kilómetros de A, luego un tercer crimen enC, a 4 kilómetros de A y de 13, a mitad decamino entre los dos. Aguárdeme despuésen D, a 2 kilómetros de A y de C, de nuevoa mitad de camino. Máteme en D, como

ahora va a matarme en Triste-le-Roy.

Esta variación, este doble final, no meconvence ni desde el punto de vista literario nidesde el punto de vista matemático. Desde el puntode vista literario porque me parece que se pierdealgo del dramatismo del final con esta explicacióndemasiado sofisticada. Para mí, este refinamientoteórico queda fuera de la atmósfera y del ritmo dela acción. Pero, sobre todo, creo que aquí no severifica lo que Proust hubiera llamado la regla delos tres adjetivos. Aparentemente en una época sepuso de moda en París proferir en señal deadmiración tres adjetivos, pero eso requiere, porsupuesto, una cierta gradación, el tercer adjetivotiene que superar a los otros dos. A mí me pareceque la trampa geométrica que plantea comoalternativa Borges en este remate no es tan nítida,no es tan clara como la imagen gráfica del rombocon los cuatro puntos cardinales. Voy a explicarpor qué. Repito aquí el dibujo que corresponde a

la explicación de Lönnrot que acabamos de leer, esel mismo dibujo que Borges traza a un costado desu manuscrito en el original.

Recuerden que la serie tiene que ser como unatrampa que lleve necesariamente al investigador alcuarto punto. Borges dice:

Finja (o cometa) un crimen en A, luegoun segundo crimen en B, a 8 kilómetros deA, luego un tercer crimen en C, a 4kilómetros de A y B.

O sea, en una línea recta imaginaria nuestrodetective va primero a este punto A, despuéscamina hasta B, después retrocede hasta C. Ése esel recorrido de acuerdo al orden en que secometen los crímenes. Dice ahora Lönnrot:

Aguárdeme después en D, a doskilómetros de A y de C, de nuevo a mitad

de camino. Máteme en D, como ahora va amatarme en Triste-le-Roy.

De esta manera, D sería el cuarto puntoimaginario, el recorrido sería A, B, C, D. Porsupuesto que esto tiene que ver con una de lasideas favoritas de Borges que es la paradoja deAquiles y la tortuga. Por eso menciona: «unlaberinto griego que es una línea única, recta». Esuna idea con mucho prestigio pero no es efectivapara este propósito. De acuerdo a los tres datosiniciales: los puntos A, B y C, ¿por qué Lönnrottendría que ir a D y no a D' por ejemplo, o a D''?

Lo que trato de decir es que el punto D quemenciona Lönnrot no está unívocamente,lógicamente determinado por los tres puntosanteriores. O sea, ¿qué es lo que hace preferenciala este punto en principio? Nada. Hay aquí pordebajo un tema más profundo que estudióWittgenstein y que tiene que ver con las serieslógicas en general. Digamos, que hay que tener un

poco de cuidado con el tema de la unicidad de lassoluciones. A Borges le parece, porque tienepresente la paradoja de Aquiles y la tortuga, que elpunto D como cuarto punto en esta línea es tanobvio, tan fatal, tan inevitable, como el punto suruna vez que nos han dado los otros tres puntoscardinales. Pero D no es tan claro: recorro 8kilómetros para llegar a B, después retrocedo 4para llegar a C. Podría ser que el movimientofuera avanzar 8 retroceder 4, avanzar 8 retroceder4. O avanzar 8, retroceder 4, avanzar 2 retroceder1, etc.; o cualquier otra posibilidad que a ustedesse les ocurra. Hay muchas continuacionesigualmente «lógicas». Entonces me parece que esteagregado le hace perder nitidez al final, que yatenía lo suficiente: Lönnrot llega al cuarto punto,se explica el sentido de la serie, y lo matan.

Bien, yo quería leer un cuento más en estemismo sentido, volver a El Aleph, mirándolodesde este punto de vista de la «construcción»,pero me parece que ya se nos acabó el tiempo. De

todas maneras lo que pensaba decir sobre «ElAleph» está en un artículo que apareció en Clarínen el centenario del nacimiento de Borges. Sellama Un regreso a ‘El Aleph’“ y lo pueden vertambién on line en la páginawww.guillermomartinez.8m.net, donde estánreunidos todos mis artículos. Apareció también enla revista literaria del Malba,www.elhilodeariadna.com.ar. Pasemos entonces alas preguntas.

Preguntas

Auditorio 1: Sobre la serie de puntos, la quepropone Borges quizá no es la única posible, perosí parece la más inmediata, es la que correspondea: 1, 1/2, 1/4.

Guillermo Martínez: Bueno, quizá le parece lamás inmediata porque la plantea él.

Auditorio 1: Es la que se le ocurriría a unomás naturalmente antes de buscar otra.

G.M.: Lo que traté de explicar es que esodepende de cómo lea uno los puntos. Pensemos enuna situación real en la que aparece una personamuerta en A. Lo único que podemos saber enprincipio es que aparece una persona muerta eneste punto. Después aparece una segunda personamuerta en este punto B, después aparece otra eneste punto C. Eso es lo que se sabe.

Auditorio 1: B es 1, C es 1/2. Entonces ir a D'sería ir de 1 a 1/2 a 3/4, que no parece tan

atractivo.G.M.: Pero depende de cómo «lea» la serie.

Las series, como usted sabe, pueden ser muydiferentes entre sí. La serie puede ser, como diríaLenin, un paso adelante dos pasos atrás. ¿Por quéno? Un paso adelante medio paso atrás, un pasoadelante medio paso atrás. No hay ninguna razónprivilegiada en principio.

Auditorio 1: No. no. Estoy de acuerdo pero esmás rebuscado.

G.M.: No sé. A mí la idea de que voy de A a By después empiezo a volver a A y nunca retomoeste movimiento de avance no me parece tanevidente. O sea, avanzo, retrocedo y despuéssiempre retrocedo, tampoco me parece tanevidente. Obviamente todo es evidente una vez queuno da la suficiente cantidad de explicaciones. Loque quiero decir es que no hay unicidad clara. Enla primera serie, la de los puntos cardinales, todala construcción del relato determina la unicidaddel cuarto punto. La unicidad está construida con

los elementos del rombo, de los puntos cardinales,etc. Si no, tampoco el punto al sur sería unasolución tan obvia.

Auditorio 1: Sí, sí. Está bien. Yo me refería ala salida que a un lector…

G.M.: A un lector de Borges también puedeparecerle evidente, estoy de acuerdo. Pero a unlector matemático…

Auditorio 1: Le gusta más complicado.G.M.: No. Un lector de Borges posiblemente

tenga también muy presente el tema de la paradojade Aquiles y la tortuga, etc., entoncesinmediatamente lee eso. Borges evidentemente nopensaba en otra cosa, no pensó en otra posibilidad.

Auditorio 2: Un final complejo, muyintelectualizado y muy largo. Muy diferente deotras muertes en otros cuentos de Borges, eso escierto. Pero el hecho de que acá la víctima sea elmismo detective ¿no sería congruente con esefinal? A mí el final me sonó largo, me sonódiscursivo, pero me pareció lógico porque el

detective es el asesinado. La víctima es justamentequien está buscando al asesino.

G.M.: Totalmente, comparto eso: está muy biendentro del cuento que el detective muera, que elúltimo crimen sea el del detective. Lo que estoydiciendo es que yo como lector hubiera preferidoque omitiera esta segunda explicación. Me pareceque lo lleva a una discusión matemática con unmatón de suburbio. Incluso el lenguaje que utilizaScharlach es extraño, habla casi como Borges. Apesar de que Borges es consciente de la diferenciade educación porque, justamente, hace todo esedespliegue inicial, edita una edición popular de lahistoria de la secta exclusivamente para Scharlach,etc. Por un lado tiene en cuenta que Scharlach esun matón de un suburbio. Y sin embargo, cuandollega el momento de hablar, Scharlach secontamina de un tono, creo yo, demasiadointelectual.

Auditorio 2: Claro, pero la discusiónintelectual muestra que este Scharlach no era un

malevo cualquiera. Las dos caras de Jano, todo loque describe antes sobre el jardín, etc. Para nohacerlo muy largo, tendría cierta lógica este finalcon todo lo anterior que viene en el relato.

G.M.: Por supuesto: siempre voy a estar enminoría con esto que estoy diciendo, de eso soytotalmente consciente. Borges tiene un ensayosobre los clásicos en donde trata de definir qué esun clásico, y dice que clásico es aquel libro oautor que los pueblos o naciones han decidido leercon previo fervor y una misteriosa lealtad. Conprevio fervor y una misteriosa lealtad. Yo creo queBorges ha logrado exactamente eso: que se lo leacon una devoción que impide muchas veces laposibilidad de pensar que podía dejar cabossueltos o que algunas cosas eran apenas chistesprivados. O sea, se lo lee a Borges como loscabalistas leen la Biblia, creyendo que todas lasrelaciones están allí, y que si no las vemos esporque no hemos pensado lo suficiente, o notenemos la fe suficiente, que nada sobra, que nada

falta, que todo puede ser interpretado, que todotiene una razón de ser. Yo no creo que eso sea así,pero sí creo que Borges tiene algo prodigioso, quees con lo que yo quería terminar si hubiera tenidotiempo, y es que logra que su literatura dé estailusión. Digamos: si la literatura fuera un objetorecursivo, Borges podría aspirar a ser la parte queequivale al todo. Y en efecto, mucha gente creeque leyendo a Borges lee toda la literatura. Haygente que dice incluso con orgullo, un orgullo conel que creen demostrar su exigencia intelectual:«yo solamente leo a Borges», como si hubieranprobado el plato más delicado y ya no pudieranalimentarse de otro modo. Pero, después desonreírnos un poco de estas personas, tenemos quereconocer que Borges logra lo que Piglia llama elmicrocosmos de la literatura. Tiene operacionesde síntesis extraordinarias. Y lo consigue, piensoyo, de esta manera que intenté explicar: suministraejemplos esenciales, críticos, y uno tiene lasensación de que sus historias generan todas las

variantes posibles o son síntesis de todas lasvariantes posibles. Éste es el inmenso logroliterario de Borges. Y aún así, ¡pienso que en estedibujo el punto D no es tan claro! (risas yaplausos finales).

Obras citadas

AA.VV.: Borges y la Ciencia, Buenos Aires,Colección CEA, Eudeba, 1999.Borges, Jorge Luis: Obras Completas,Buenos Aires, Emecé, 1974.Borges, Jorge Luis:Prólogos con un prólogode prólogos, Madrid, Alianza, 1995.Borges, Jorge Luis: Textos recobrados 1931-1955, Buenos Aires, Emecé, 2001.Eves, Howard: An Introduction to theHistory of Mathematics, Filadelfia, SaundersCollege Publishing, 1983.Kasner, Edward y Newman, James:Matemáticas e imaginación, Buenos Aires,Hyspamérica, Jorge Luis Borges, BibliotecaPersonal.Piglia, Ricardo: Crítica y ficción, BuenosAires, Fausto, 1993.

Sacks, Oliver:. El hombre que confundió asu mujer con un sombrero, Barcelona,Anagrama, 2003.

GUILLERMO MARTÍNEZ (Bahía Blanca, 1962).Se radicó en Buenos Aires en 1985, donde sedoctoró en Ciencias Matemáticas. Posteriormenteresidió dos años en Oxford, Gran Bretaña, con unabeca de postdoctorado del CONICET. En 1982obtuvo el Primer Premio del Certamen Nacionalde Cuentos Roberto Arlt con el libro La jungla sinbestias (inédito). En 1989 obtuvo el Premio delFondo Nacional de las Artes con el libro decuentos Infierno Grande (Planeta). Su primera

novela, Acerca de Roderer (Planeta, 1992), tuvogran recibimiento de la crítica y fue traducida avarios idiomas. Publicó después La mujer delmaestro (novela, Planeta 1998).

En 2003 apareció el libro de ensayos Borges y lamatemática (Seix Barral) y obtuvo el PremioPlaneta Argentina con Crímenes imperceptibles,novela que fue traducida a 35 idiomas y ha sidollevada al cine por el director Álex de la Iglesia,con el título Los crímenes de Oxford y un castingque incluye a John Hurt y Elijah Wood.

En 2005 publicó un libro de artículos y polémicassobre literatura: La fórmula de la inmortalidad(Seix Barral). En 2007 apareció su última novela,La muerte lenta de Luciana B., contratada hasta elmomento para traducciones a veinte idiomas, yvotada por la crítica en España entre los diezmejores libros de 2007.

En 2009 publicó en Seix Barral el ensayo Gödel(para todos), en colaboración con Gustavo

Piñeiro.

Participó del Internacional Writing Program de laUniversidad de Iowa y obtuvo becas del BanffCentre for the Arts y de las fundacionesMacDowell y Civitella Ranieri. Colaboraregularmente con artículos y reseñas en La Nacióny otros medios. Fue jurado de los principalespremios literarios: Alfaguara, Planeta, Emecé, LaNación-Sudamericana, Fondo Nacional de lasArtes.

Uno de sus cuentos ha sido publicadorecientemente en el New Yorker. Es uno de losescritores argentinos más traducidos en el mundo.