Boletín Informativo.

de la S.M.P.C..

Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria - Curso 2009/10 - Nº 11

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ÍNDICE

EDITORIAL 4

EXPERIENCIAS Y PROYECTOS EDUCATIVOS 10

Primer Máster de Formación de Profesorado de Secundaria: 2009-2010 10

El Proyecto Klein 12

Estalmat – Cantabria, repaso a su primer Año de Andadura 15

Emulando a Eratóstenes 20

Un Juego con Probabilidad Uno en Solidaridad 22

MATERIALES Y RECURSOS 25

El Juego de Euclides, una Actividad adaptable a las Aulas de Secundaria 25

Menú de Problemas 27

Novedades Editoriales 30

JORNADAS, TALLERES Y ENCUENTROS 44

Seminario sobre la Competencia Matemática 44

Seminario sobre el Prácticum del Máster de Profesor de Secundaria de Matemáticas 47

XIV JAEM 50

XIII Simposio de la SEIEM 52

Matemáticas en Acción 54

Día Escolar de las Matemáticas 58

CULTURA Y MATEMÁTICAS 61

Ciencia para Conversos 61

Un poco de Teatro Matemático 63

Efemérides Matemáticas 66

Curiosidades 83

OLIMPIADAS Y OTROS CONCURSOS 87

Olimpiada Matemática de Cantabria para Estudiantes de 2O de ESO 87

Olimpiada Matemática Nacional para Estudiantes de 2O de ESO 92

Olimpiada Matemática Española 96

Concurso del Cartel y Concurso de Fotografía Matemática 101

CONVOCATORIAS 104

Convocatorias de la SMPC 104

Otras Convocatorias 109

SOCIEDAD MATEMÁTICA DE PROFESORES DE CANTABRIA (SMPC) 111

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EDITORIAL

Edita: Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) Redacción y Maquetación: María José Fuente Somavilla mj.fuente@yahoo.es Cecilia Valero Revenga cecilia.valero@unican.es Artículos, comunicaciones y correspondencia:

Por correo electrónico: A cualquiera de las dos direcciones anteriores Por correo postal o fax: Cecilia Valero Revenga

Facultad de Ciencias

Avenida Los Castros s/n

39005 Santander Teléfono: 942 20 15 20 Fax: 942 20 14 02

Tirada: 300 ejemplares Imprime: Génesis Composición. Santander Depósito Legal: SA-160-1998 ISSN: 1139-0263

n año más escribimos este editorial con la aspiración de que la información in-cluida tanto en él como en el resto del

Boletín cumpla con el objetivo primordial del mismo: dar a conocer entre los profesores de Matemáticas de la Comunidad Autónoma de Cantabria cuantos eventos relacionados con esa disciplina hayan acontecido a lo largo del presente año, o estén programados para los primeros meses del 2010. La Sociedad Mate-mática de Profesores de Cantabria (SMPC) se constituyó en 1996 y desde entonces viene siendo un punto de encuentro de los profesio-nales de la enseñanza de las Matemáticas en los distintos niveles: Primaria, Secundaria y Universidad. Las diferentes directivas de la Sociedad han tenido siempre presente que uno de los mayo-res logros de la misma sería implicar a la mayor parte del profesorado de Matemáticas, por un lado, en los diversos encuentros, proyectos, etc. que en el ámbito de esa materia se vengan desarrollando y, por otro lado, involucrarlo en el desarrollo de actividades que tienen por prota-gonistas principales a nuestros alumnos. Para lograr este doble objetivo, la SMPC programa y organiza diferentes actividades. Las Jornadas de Enseñanza de las Matemáticas en Canta-bria, proyectadas cada dos años, suponen uno de los grandes retos de la Sociedad; en 2010 se celebrarán las Cuartas Jornadas y desde la SMPC se espera tan magnífica acogida a esta nueva edición como las prodigadas a ediciones anteriores. Los concursos del Cartel y de Foto-grafía Matemática para alumnos de Secundaria y la Olimpiada Matemática para estudiantes de 2O de ESO son otras de las actividades con mayor solera de la SMPC, que además tienen un gran impacto entre los jóvenes. Cada año un buen número de ellos decide poner a prue-ba sus dotes artísticas en los concursos del Cartel y de Fotografía, mientras otros ponen a disposición su ingenio para resolver los pro-blemas propuestos en la Olimpiada. Como novedad, hemos de señalar que durante el curso 2009-2010, un grupo de profesores de la Sociedad Matemática de Profesores de Can-tabria ha comenzado, a iniciativa de Ángela Núñez Castaín, el ambicioso proyecto de ela-borar un libro que recopile y amplíe el trabajo realizado en 2005 por el "Grupo Azar” titulado “Guía Matemática de Cantabria”. Este grupo estaba formado por Elisa Abad Palazuelos,

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Amador Álvarez del Llano, Eduardo García Tuñas, Mª Pilar Marcos Cembreros, Begoña Martínez Barreda y Mª Paz Valle López-Dóriga, y de la colaboración de todos ellos surgió una colección de cinco cuadernos en los que se tratan contenidos matemáticos diseñados para ser utilizados en el aula, teniendo como punto de partida diferentes elementos arquitectónicos de nuestros pueblos y ciudades. El nuevo pro-yecto desea incluir este material junto con otro, de nueva creación, que convierta la obra resul-tante en un texto no sólo de interés para los profesionales de la enseñanza sino también para el público en general. El libro se ha con-cebido con el objetivo de incluir fotos de calidad acompañadas de un texto ameno en el cual se aborden no sólo los aspectos matemáticos más relevantes del motivo arquitectónico en cues-tión, sino también otras facetas relacionadas con la historia, la geografía o la literatura cán-tabras. Además, aquel vocabulario específico de la ciencia matemática que sea aconsejable introducir en el texto podrá ser consultado en el glosario que se quiere añadir al final de la obra. Más información acerca de este proyecto se puede encontrar en la página web de la Socie-dad, que también y tan bien está gestionada por Ángela Núñez:

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/Sociedad/Soci.htm

Queremos aprovechar estas líneas para felici-tar a Ángela por esta nueva iniciativa suya y agradecerle la continua lección que nos ofrece con su trabajo infatigable.

La página web anterior y el Boletín son los cau-ces más importantes que la SMPC tiene para hacer llegar a los profesores de Matemáticas cuantas noticias en el ámbito matemático se vayan produciendo. Con esa intención, ya men-cionada al comienzo, se ha elaborado este undécimo número del Boletín, que contiene, por un lado, la información relativa a las activi-

dades organizadas por la Sociedad y, por otro, colaboraciones de índole diversa como las que recogen conclusiones de encuentros matemáti-cos a nivel nacional, las que reflejan los avan-ces de proyectos puestos en marcha en el ám-bito local u otras, tales como la que nos acerca la vida de matemáticos insignes o la que nos quiere mostrar la cara menos seria de las Ma-temáticas. En esta edición del Boletín, una de las personas participantes es un joven estu-diante de Segundo Curso de la Licenciatura de Matemáticas cuya colaboración es una magní-fica invitación al estudio a través de obras de divulgación científica. Nuestro especial agrade-cimiento a Juan. ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ En los editoriales de los dos números anterio-res del Boletín se comentaron, de forma some-ra, los Reales Decretos mediante los que se establecen las enseñanzas mínimas corres-pondientes a Primaria, a ESO y a Bachillerato. En esta ocasión, el Real Decreto que ocupa nuestro interés, y que analizaremos brevemen-te, es el 1892/2008 del 14 de noviembre, publi-cado en el BOC el 24 de mismo mes, por el que se regula la nueva prueba de acceso a las enseñanzas universitarias.

Tras las disposiciones generales, recogidas en el capítulo I del Decreto, en el capítulo II se establecen las normas que reglamentan la prueba de acceso a las enseñanzas universita-rias de Grado para quienes se encuentren en posesión del título de Bachiller o equivalente.

La finalidad de la prueba de acceso es, como se afirma en el Real Decreto, valorar objetiva-mente la madurez académica de los estudian-tes, así como los conocimientos y capacidades adquiridos en el Bachillerato y su facultad para seguir con éxito las enseñanzas universitarias. Esta valoración, expresada con una calificación numérica, permitirá la ordenación de las solici-tudes de admisión para la adjudicación de pla-zas en los centros universitarios públicos. No hablaremos aquí acerca de las condiciones de organización de la prueba, ni de los requisi-tos para la participación de los estudiantes a la misma, sino que pasaremos a comentar los puntos relacionados con su estructura, que es donde aparecen los cambios más significativos respecto del proceso de acceso anterior.

La nueva prueba va a constar de dos fases, denominadas fase general y fase específica respectivamente.

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Fase general: Su objetivo es valorar la madurez y las destrezas básicas relacionadas con la comprensión de mensajes, el uso del lenguaje para relacionar, sintetizar y expresar ideas, la comprensión básica de una lengua extranjera y los conocimientos o técnicas fundamentales de una materia de modalidad de las cursadas en el bachillerato. Para cubrir esos cuatro perfiles de habilidades, se han de realizar cuatro ejercicios, todos ellos de hora y media de duración y con dos opcio-nes, entre las que el estudiante deberá elegir una. El primer ejercicio está relacionado con las capacidades y contenidos de Lengua Castella-na y Literatura y consistirá en el comentario de un texto no especializado y de carácter divulga-tivo o informativo. El segundo ejercicio valorará las aptitudes y contenidos de una de las materias comunes de segundo de bachillerato que será indicada por el estudiante: Historia de la Filosofía, Historia de España o Ciencias para el mundo contem-poráneo y Filosofía y Ciudadanía. En el tercer ejercicio se valorará la compren-sión oral y lectora y la expresión oral y escrita de una lengua extranjera (alemán, francés, inglés, italiano o portugués, a elegir). Los contenidos de una materia de modalidad elegida por el estudiante serán los valorados en el cuarto ejercicio. Cada uno de los ejercicios señalados anterior-mente se valorará de 0 a 10 puntos. La media aritmética de estas cuatro calificaciones, será la calificación de la fase general. Fase específica: Es de carácter voluntario y tiene por objeto la evaluación de los conoci-mientos y la capacidad de razonamiento en ámbitos disciplinares concretos relacionados con los estudios que se pretenden cursar. Per-mite mejorar la calificación obtenida en la fase general. En esta fase, el estudiante podrá examinarse de las materias de modalidad que desee, distin-tas a la materia elegida para el cuarto ejercicio de la fase general. La duración de cada uno de los ejercicios será también de hora y media. Cada una de las materias de las que se exami-ne el estudiante en la fase específica se califi-cará de 0 a 10 puntos y se considerará supera-da la materia cuando se obtenga una califica-ción igual o superior a 5 puntos.

Un dato más, todas las materias que son, tanto en la fase general como en la específica, sus-ceptibles de elección por parte del estudiante deberán ser indicadas en la solicitud de inscrip-ción en la prueba de acceso. Por otro lado, las condiciones que determinan la superación de la nueva prueba de acceso a la universidad son en todo similares a las que estaban vigentes hasta el curso 2008-2009. Se considerará que un estudiante ha superado la prueba cuando haya obtenido una nota igual o superior a 5 puntos como resultado de la media ponderada del 60% de la nota media del bachi-llerato y el 40% de la calificación de la fase general, siempre que en esta última haya obte-nido como mínimo 4 puntos. Cuando en las enseñanzas universitarias oficia-les el número de solicitudes supere al de pla-zas ofertadas, las universidades públicas utili-zarán para la adjudicación de plazas la nota de admisión que corresponda, calculada atendien-do a la siguiente fórmula: NA = 0,6 · NMB + 0,4 · CFG + a · M1 + b · M2

en la que NA = nota de admisión; NMB = nota media de bachillerato; CFG = calificación de la fase general; M1, M2 = las dos mejores califi-caciones de las materias superadas de la fase específica; a, b = parámetros de ponderación de las materias de la fase específica. La nota de admisión incorporará las calificacio-nes de las materias de la fase específica cuan-do dichas materias estén adscritas a la rama de conocimiento del título al que se quiera ser admitido, en función del anexo I del Real De-creto 1892/2008. Los parámetros de ponderación a y b de las materias de la fase específica serán iguales a 0´1, pero ese valor podrá incrementarse hasta 0´2 por cada Universidad si estima una idonei-dad especial de las materias para los estudios de Grado que en ella se impartan. Los valores de los parámetros deberán hacerse públicos al inicio del curso correspondiente a la prueba. Como hasta ahora, anualmente se celebrarán dos convocatorias de esta prueba de acceso. Los estudiantes podrán presentarse en sucesi-vas convocatorias para mejorar la calificación de la fase general o de cualquiera de las mate-rias de la fase específica. La nueva calificación será considerada siempre que sea superior a la anterior. Para concluir la descripción de las característi-cas más novedosas de la prueba de acceso, añadir que mientras la superación de la fase

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general tendrá validez indefinida, la calificación de las materias de la fase específica tendrá validez para el acceso a la universidad durante los dos cursos académicos siguientes a la su-peración de las mismas. El Real Decreto 1892/2008 recoge, como cabe esperar, otros muchos aspectos relacionados con el acceso a las enseñanzas universitarias, y que no están incluidos en este editorial, como es el acceso que puede efectuarse desde otras titulaciones o por otras vías, tales como el acceso para mayores de 25 años o por criterios de experiencia laboral. Si el lector está intere-sado en estos aspectos deberá consultar el Decreto indicado. ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩ U ∩

En el ámbito de la Educación Primaria y de la Educación Secundaria una de las novedades producidas a lo largo de este 2009 es el hecho de llevarse a cabo por primera vez las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico, previstas en los artículos 21 y 29 de la Ley Orgánica de la Educación. En estos artículos se establece que todos los centros educativos realicen evalua-ciones de diagnóstico de carácter censal al alumnado que finaliza el Segundo Ciclo de Educación Primaria y el Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. Estas eva-luaciones tienen como finalidad obtener datos representativos sobre el grado de adquisición de las competencias básicas del currículo por parte del alumnado. El análisis de los resulta-dos y las conclusiones generadas a partir del mismo posibilitarán desarrollar actuaciones que permitan la mejora del sistema educativo y de los rendimientos y formación del estudiante (planes de mejora, medidas de refuerzo, pro-yectos de innovación, formación del profesora-do, uso de recursos educativos...). Es precisa-mente la circunstancia de poder adoptar deci-siones educativas que permitan su aplicación temprana en los cursos de la propia etapa, por los que los cursos elegidos para la realización de las pruebas sean 4O de Primaria y 2O de ESO. Se espera que el efecto de los resulta-dos, como se recoge en distintos documentos, sea formativo y orientador para los centros, informativo para las familias y para el conjunto de la comunidad educativa, y sin efectos aca-démicos, ni positivos ni negativos para el estu-diante. Las pruebas de evaluación de diagnós-tico son responsabilidad de las Administracio-nes Autonómicas y, en cada caso, son ellas las que deciden en qué momento se realizan y cuáles son las competencias básicas a evaluar. En el caso de la Comunidad de Cantabria, se evalúan, en relación al curso 2008-2009, la competencia en comunicación lingüística (com-

prensión oral y lectora y expresión oral y escri-ta) y la competencia matemática (aspectos relacionados con números, operaciones, medi-das, geometría y tratamiento de la información). Las fechas elegidas para la realización de las dichas pruebas fueron la primera semana de mayo para Cuarto de Primaria y la primera de octubre para Segundo de ESO. Las pruebas sobre la competencia lingüística tienen una duración total de 60 minutos, mien-tras que las que evalúan la competencia mate-mática disponen de 50 minutos. Unas y otras están constituidas por cuestionarios con el so-porte tradicional de “lápiz y papel” en las que el alumno, a partir de un estímulo (texto continuo o discontinuo) que describe una situación-problema de carácter real, deberá responder a ciertas actividades en distintos formatos (pre-guntas de respuesta cerrada, preguntas de respuesta abierta, preguntas que exigen la aplicación de procedimientos...) Aunque, como ya se ha dicho, las Pruebas de Evaluación de Diagnóstico tratan de dar res-puestas sobre el grado de adquisición de las competencias básicas, en algunas Comunida-des Autónomas también se les entregan a los alumnos, profesores, familias y dirección de los centros unos cuestionarios (llamados de con-texto) para que respondan a diversas pregun-tas relacionadas con la situación cultural y so-cioeconómica del alumno, el clima escolar, las actitudes y las expectativas hacia el estudio, la implicación de las familias en la formación de sus hijos,... Cantabria ha sido una de las co-munidades que ha pasado cuestionarios de contexto, vía web, a los estudiantes. Puesto que la respuesta al cuestionario de contexto es voluntaria para el estudiante y éste es menor de edad, su capacidad de decisión sobre si contesta, o no, o si sólo lo hace a una parte está sujeta a la opinión de sus padres o tutores legales, a quienes la Dirección de los centros pide consentimiento para dar respuesta a ese cuestionario. Una vez concluido este Proceso de Evaluación de Diagnóstico en la Comunidad de Cantabria, que ha afectado a más de 9.000 estudiantes, el paso siguiente es la realización de los informes acerca de los resultados, que serán enviados tanto a los centros educativos como a las fami-lias. Finalmente recordar que la LOE indica expresamente que en ningún caso los resulta-dos de estas evaluaciones podrán ser utiliza-dos para el establecimiento de clasificaciones de los centros.

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Todos tenemos la experiencia de recibir en nuestro correo, de vez en cuando, alguna ilus-tración o chiste mostrando una mirada irónica sobre alguna noticia de actualidad, perdiéndose en el entramado la autoría de la gracia. En ese sentido, hace unos días recibimos de un amigo, profesionalmente alejado de la disciplina ma-temática pero aficionado a esa ciencia, y más comprensivo con las maneras de 1969 que con las de 2009, la siguiente viñeta y, sin querer, puso el enlace al otro hecho que queremos comentar a continuación, el Máster de Forma-ción del Profesorado de Secundaria. La viñeta adelanta, sin proponérselo, que la preparación académica del profesor debe incluir, entre otros aspectos, el saber valorar el entorno social de los alumnos y adecuar su práctica docente atendiendo a ése y otros parámetros. Este es uno de los aspectos que se recogen, como se verá, en el mencionado Máster.

Notas del boletín del alumno: 2, 3, 1, 0 -¿Qué notas son éstas?

Efectivamente esa es la otra novedad importan-te que se da este curso 2009-2010, la implan-tación en la Universidad de Cantabria del Mas-ter de Formación del Profesorado de Se-cundaria, concebido para garantizar una for-mación inicial del profesorado que le capacite para afrontar los retos del sistema educativo y adaptar las enseñanzas a las nuevas necesi-dades formativas, tal y como se indica en el artículo 100 de la LOE. Los documentos en los que se regula la estruc-tura del Master de Formación del Profesorado y los elementos básicos de esa estructura, así como las peculiaridades de dicho Máster en la Universidad de Cantabria se detallan en el artí-culo PRIMER MÁSTER DE FORMACIÓN DE PROFESORADO DE SECUNDARIA: 2009-2010 de este Boletín. En el trabajo, su autora, María José González López, además enumera las especialidades en las que se podrá cursar el Máster en esta primera edición en la Univer-sidad de Cantabria y explica el reparto de los 60 créditos ECTS de los que consta el curso

entre los tres módulos en los que está dividido, dos teóricos que se impartirán en la Facultad de Educación de la Universidad de Cantabria y uno práctico que se llevará a cabo en los Insti-tutos de Secundaria. Precisamente, con el objetivo de determinar las pautas que deberían regir el periodo de prácti-cas en el Máster de Formación, se celebró en Madrid, a comienzos de este 2009, más con-cretamente en el mes de febrero, un Seminario sobre el Prácticum del Máster de Profesor de Educación Secundaria en la especialidad de Matemáticas. En la sección Jornadas, Talleres y Encuentros de este Boletín se ofrece, bajo el título SEMINARIO SOBRE EL PRÁCTICUM DEL MÁSTER DE PROFESOR DE SECUN-DARIA EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁ-TICAS un resumen del desarrollo del encuentro y, en particular, la relación de conclusiones a las que se llegó.

En el apartado Curiosidades del boletín anterior nos hicimos eco del rodaje de la película Ágora del director Alejandro Amenábar. En esta oca-sión queremos dedicar unas breves líneas a dicha obra cinematográfica habida cuenta de que en el momento de redactar estas líneas la superproducción lleva exactamente dos sema-nas en las pantallas españolas, tras haber sido profusamente promocionada. Como de cual-quier otra película, uno puede oír comentarios bien distintos acerca de la valoración de Ágora. Unas personas la ven como una obra maestra y otras como una superproducción con más pretensiones que logros. Como aquí no inter-esa la opinión particular de los editores del Boletín, nos atendremos a poner de manifiesto algún que otro hecho objetivo. Uno, no se habla de la sucesión de Fibonacci. ¡Faltaría más! habrá dicho inmediatamente cualquier lector, ocho siglos separan a Hipatia del matemático italiano. Esta circunstancia, al menos, es la que hay que agradecerle a Amenábar, el haber hecho una obra ambientada en una época en la que se conociese la sucesión de Fibonacci. Y ahora sí creemos que el lector sabrá por dónde van los tiros. Es muy probable que hayamos acudido a ver una película o hayamos leído una novela, creada una u otra para disfrute de un público mayoritario, tratando de buscar la origi-nalidad en la difusión de contenidos matemáti-cos y/o científicos y, muchas veces, nos encon-tramos con simples alusiones a temas mani-dos, como ha sucedido en los últimos tiempos con el mencionado anteriormente. Amenábar, en este sentido, ha sido atrevido y ha dado, en general, un buen tratamiento a los contenidos científicos que trata en su film.

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En la dirección web siguiente puede verse un pequeño fragmento de la película, donde se pone de manifiesto la forma en que Hipatia aplaca una discusión entre sus alumnos utili-zando la primera regla de Euclides.

www.youtube.com/watch?v=lrHAL063OBU

Las personas responsables de estas líneas vimos el enlace anterior en la reseña cinemato-gráfica que habitualmente hace para Divulga-mat Alfonso J. Población Sáez, y que en esta ocasión estaba dedicada a Ágora, y a la que se puede acceder en:

http://divulgamat2.ehu.es/index.php?option=com_content&task=view&id=10297&Itemid=46 Merece la pena leerla pues aparte de su opi-nión personal incluye aspectos relacionados con la producción de la película, los asesores científicos de la misma, etc. ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ ∑ ∏ El 21 de octubre, justo cuando damos los últi-mos toques a estos párrafos, se ha celebrado la Asamblea General Anual de la SMPC, uno de cuyos objetivos era la renovación de su Junta Directiva. Tras unas palabras de agrade-cimiento a las personas que han estado a su lado durante los dos últimos años, María José González López dejó la Presidencia de la SMPC. Por este motivo, queremos aprovechar la oportunidad que nos brindan estas páginas para agradecerle la magnífica labor que ha realizado durante este periodo, siempre atenta a cuantos acontecimientos, convocatorias, no-vedades, etc., pudieran ser de interés a los miembros de la Sociedad Matemática, gestio-nando recursos y participando activamente en todas y cada una de las actividades de la SMPC. María José, muchas gracias por tu tiempo y tu trabajo.

María José González López fue sucedida en su cargo por María José Señas Pariente, a la que deseamos mucha suerte en su gestión. En-horabuena. ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ ∆ ⌂ Como ya hicimos en boletines anteriores, que-remos informar que en la redacción de la mayor parte de esta revista hemos optado por el uso genérico del masculino, sin que esto deba in-terpretarse como discriminación alguna. Pen-samos que todos seremos capaces de recono-cer y valorar la presencia y el trabajo femeninos aun sin la agotadora insistencia en el uso de expresiones construidas a tal efecto. ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ ◊ ∞ Estas últimas líneas las dedicaremos a expre-sar nuestro deseo de que los contenidos de este modesto Boletín sean útiles y conseguir que las intenciones declaradas al comienzo del mismo sean una realidad: hacer llegar una amplia información sobre diferentes eventos matemáticos, pasados o futuros, y animar a una parte de nuestros lectores a participar en actividades venideras. Esperamos que una de ellas sea su contribución en la confección de esta revista. Si socios y compañeros deciden colaborar con sus trabajos y experiencias, el próximo Boletín, que será el número 12, se verá mejorado y enriquecido.

Como puede desprenderse de las primeras líneas del editorial, este Boletín tiene como finalidad principal la divulgación de acontecimientos matemáticos de actualidad, junto a la publicación de colaboraciones de socios y no socios de la SMPC. No hay contraprestación económica ni de servicios por su edición, que tampoco incluye publicidad comercial. Por todo ello, entendemos que no se vulneran los derechos de imagen o de autor cuando se utilizan algunos materia-les. Si se conoce, se cita su procedencia y su autor, pero si aún así, alguien considerase quebrantados sus derechos, se ruega nos lo advierta para proceder a la aclaración o rectificación que proceda.

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EXPERIENCIAS Y PROYECTOS EDUCATIVOS

PRIMER MÁSTER DE FORMACIÓN DE PROFESORADO DE SECUNDARIA: 2009-2010

María José González López. Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación. UC

Las sucesivas reformas educativas que hemos vivido desde los años 90 han traído al primer plano de la actualidad la reflexión sobre la for-mación del profesorado. Distintas instituciones han aportado ideas para abordar este complejo problema y han descrito modelos de formación que recogen las actuales necesidades de los profesores. También se ha tratado de vincular la formación del profesor a los resultados sobre el rendimiento de los estudiantes. Algunas pruebas de evaluación externa, como el estudio internacional de evaluación PISA, nos han dado una idea sobre cuál es nuestra posición en relación a los países del entorno y han marcado las pautas sobre lo que se espera que los estudiantes sepan en este contexto. Cabe reseñar la influencia de PISA en los ac-tuales currículos de Primaria y Secundaria; la idea de competencia utilizada en este estudio se reelabora en nuestros currículos y, en el caso de las matemáticas de la Educación Se-cundaria Obligatoria, se utiliza para describir lo que es un estudiante matemáticamente compe-tente: el que produce e interpreta distintos tipos de información utilizando herramientas mate-máticas, el que resuelve problemas relaciona-dos con la vida cotidiana y con el mundo labo-ral, el que pone en práctica procesos de razo-namiento y aplica conocimientos matemáticos a la interpretación de una amplia variedad de situaciones de distinto nivel de complejidad. En definitiva, la sociedad actual necesita estu-diantes que sepan aplicar sus conocimientos matemáticos al entorno y profesores que sepan reestructurar la disciplina matemática en térmi-nos de competencias y utilicen metodologías adecuadas para desarrollar dichas competen-cias en los estudiantes, todo ello en aulas con una gran diversidad cognitiva y cultural. Los modelos de formación identificados en el caso de la formación inicial del profesorado para lograr el propósito anterior se están im-plementando en un marco universitario someti-do también a una profunda reforma. El curso 2010-2011 la universidad española culminará su proceso de adaptación al Espacio Europeo

de Educación Superior. Las antiguas titulacio-nes universitarias se están transformando en un sistema de Grados de 4 años de duración, que se podrán completar con posterior forma-ción de Máster y Doctorado (Real Decreto 1393/2007). Mientras que, hasta ahora, para ser profesor había que ser licenciado, ingeniero o arquitecto y estar en posesión del título pro-fesional de especialización didáctica (CAP, CCP, etc.), en el futuro, el profesor tendrá un título de Grado, “además de la formación peda-gógica y didáctica de nivel de Postgrado” (Artí-culo 94 de la LOE, Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación). Además, al ser la profesión docente una profesión regulada, las administraciones educativas han especificado cuáles son las condiciones que tienen que cumplir los títulos que otorguen dicha forma-ción. Concretamente, la Resolución de 17 de di-ciembre de 2007 (BOE del 21 de diciembre) ha establecido que dicha formación pedagógica y didáctica se obtiene mediante un título de Más-ter, y la Orden ECI/3858/2007, de 27 de di-ciembre (BOE del 29 de diciembre) ha descrito su estructura, indicando que ha de tener una duración de 60 créditos europeos (equivalente a un curso académico) en el que, al menos: - una quinta parte (12 créditos) se debe dedi-

car a la formación didáctica general (apren-dizaje y desarrollo de la personalidad; pro-cesos y contextos educativos; sociedad, fa-milia y educación);

- dos quintas partes (24 créditos) se deben

dedicar a la formación didáctica específica en la especialidad a la que se desea acce-der (complementos para la formación disci-plinar; aprendizaje y enseñanza de las ma-terias correspondientes; innovación docente e iniciación a la investigación educativa);

- algo más de la cuarta parte (16 créditos)

debe ser práctica en la especialización co-rrespondiente.

La misma Orden establece como condiciones

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de acceso al Máster la acreditación del dominio de las competencias relativas a la especializa-ción que se desee cursar y el dominio de una lengua extranjera equivalente al nivel B1 del Marco Común Europeo de Referencia para las Lenguas. No obstante, el actual ministro de Educación, Ángel Gabilondo Pujol, ha anuncia-do en junio de este año 2009 que se van a flexibilizar algunas de las condiciones para realizar el Máster, en particular la exigencia sobre el idioma, que se solicitará al finalizar el Máster y no como condición de acceso. El marco legal nacional que se desarrolla entre 2006 y 2007 se completa con la publicación del Real Decreto 1834/2008, de 8 de noviembre (BOE de 28 de noviembre) que define las con-diciones de formación para el ejercicio de la docencia en la enseñanza secundaria y esta-blece las especialidades de los cuerpos docen-tes correspondientes. En dicho Real Decreto se establece que las enseñanzas conducentes al CAP o equivalentes no podrán impartirse más allá de la finalización del curso 2008-2009. Con ello, se inicia, en la mayoría de las universida-des españolas, un proceso vertiginoso que da lugar, en la primavera de 2009, a los primeros diseños del Máster universitario oficial que habilita para el ejercicio de la profesión de pro-fesor de enseñanza secundaria. La Universidad de Cantabria se sumó desde el principio a esta iniciativa: en septiembre de 2008 se constituyó una comisión mixta con la Consejería de Educación del Gobierno de Can-tabria en la que estaban representados los distintos estamentos implicados en el diseño e implantación del Máster. El diseño propuesto por esta comisión recibió su verificación como título oficial en junio de 2009, y así llegamos al momento actual, 2009-2010, en el que comien-za su andadura en la Facultad de Educación el título oficial de Máster en Formación del Profe-sorado de Educación Secundaria. En este curso, el Máster se podrá cursar en una de las siete especialidades siguientes: Física y Química y Tecnología de Secundaria; Matemáticas; Lenguas Extranjeras; Geografía e Historia y Filosofía; Economía, FOL y Adminis-tración y Gestión; Orientación Educativa; y Formación Profesional sector primario, indus-trial y servicios. La implantación en Cantabria tendrá 15 créditos de formación didáctica gene-ral, 24 créditos de formación didáctica específi-ca en cada una de las especialidades mencio-nadas y 21 créditos prácticos, de los que 6 corresponden al trabajo final de Máster y 15 a las prácticas en los centros educativos (375 horas, de las que aproximadamente 200 serán presenciales). Los créditos de formación didác-

tica específica en la especialidad de Matemáti-cas ha quedado distribuida en cinco asignatu-ras: El desarrollo histórico y reciente de las Ma-

temáticas y el conocimiento escolar. Las Matemáticas en el currículum de secun-

daria. Aprendizaje y enseñanza de las Matemáti-

cas. Proyectos y propuestas de innovación curri-

cular en Matemáticas. La Investigación educativa para la mejora de

la educación y el desarrollo profesional. Esta distribución es común a todas las especia-lidades, con excepción de la especialidad en Orientación Educativa, que tiene algunas singu-laridades propias. La Consejería de Educación del Gobierno de Cantabria ha representado al colectivo de pro-fesorado de Secundaria y a los centros de Se-cundaria en el proceso de diseño del Máster en la Universidad de Cantabria. Ambas institucio-nes han suscrito un Convenio de Colaboración por el que se regula el desarrollo del periodo de prácticas. El Convenio recoge las condiciones por las cuales algunos centros de secundaria serán acreditados como centros de prácticas y algunos profesores de dichos centros tendrán la condición y el reconocimiento como tutores de prácticas. La naturaleza profesional del Máster también ha quedado reflejada en el diseño propuesto, al reconocerse la participación de los profesores de secundaria también como profesorado de los créditos genéricos y específicos. Así, la Universidad de Cantabria ha convocado plazas de profesor asociado para impartir las clases del Máster. En el momento de escribir estas notas, esta-mos en pleno proceso de inscripción de la pri-mera generación de alumnos que cursen este Máster. Esperamos que el diseño realizado se pueda llevar a la práctica con éxito y responda a las necesidades formativas y a las expectati-vas de los futuros profesores. Más información sobre el Máster en Formación del Profesorado de Educación Secundaria pue-de encontrarse en:

www.unican.es/Centros/educacion/master

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EL PROYECTO KLEIN1

Tomás Recio Muñiz. Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación. UC INFORMACIÓN BÁSICA El Proyecto Klein se trata de una iniciativa conjunta IMU/ICMI2 para desarrollar y difundir a nivel mun-dial diversos materiales (libros, folletos, wikis, DVDs, televisión, etc.) dirigidos al profesorado de en-señanza secundaria, en los que se muestre la repercusión, en la matemática elemental, de los avan-ces de esta disciplina a lo largo del siglo XX. Tras la aprobación del Proyecto por los comités ejecutivos de ICMI e IMU en marzo y abril de 20083, respectivamente, se ha procedido a constituir la Comisión que ha de diseñar y gestionar, en el perio-do 2009-2012, dicho Proyecto, formada por ocho personas: cuatro, propuestas por el comité ejecutivo ICMI, y otras cuatro, propuestas por el comité ejecutivo IMU, con un coordinador –el prof. W. Barton, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Auckland, Nueva Zelanda, presidente electo de ICMI– consensuado por ambas partes. La Comisión Klein está constituida en la actualidad por los profesores:

• Michèle Artigue, Universidad de París VII, Francia. • Ferdinando Arzarello, Universidad de Turín, Italia. • Graeme Cohen, Universidad Tecnológica, Sydney, Australia. • William McCallum, Universidad de Arizona, USA. • Tomás Recio, Universidad de Cantabria, España. • Christiane Rousseau, Universidad de Montreal, Canadá. • Hans-Georg Weigand, Universidad de Wurzburg, Alemania.

Como se ha indicado anteriormente, la tarea de la Comisión Klein es la de organizar la producción de los materiales adecuados y no incluye la creación (que será encomendada por la Comisión a especia-listas de renombre internacional) o edición de los mismos (que será negociada con diversos grupos o instituciones con capacidad editorial que garanticen su distribución a gran escala). El presupuesto global de gastos derivados de la actividad de la Comisión Klein está estimado en 200.000 €. OBJETIVO El Proyecto Klein es una iniciativa conjunta de IMU/ICMI para desarrollar una versión actualizada (en la forma y en el fondo) del hito que supuso la publicación, en 1908, del libro de Felix Klein “Matemáti-ca Elemental desde un punto de vista superior”. En efecto, hace cien años, en 1908, el catedrático de la Universidad de Göttingen, prof. F. Klein, pu-blicaba una obra magistral, titulada «Matemática elemental desde un punto de vista superior», con la

1 Página oficial (aunque provisional) del Proyecto: http://www.mathunion.org/index.php?id=805 2 La Unión Matemática Internacional (IMU, ver http://www.mathunion.org) es una organización internacional científica, no gubernamental y sin ánimo de lucro, creada hace 90 años y encuadrada en la ICSU (International Council for Science). La mayoría de los países (desde luego, todos los países desarrollados) tienen un represen-tante ante la IMU. España está representada en IMU a través del Comité Español de Matemáticas (CEMAT, ver http://www.ce-mat.org). La Unión Matemática Internacional, entre otras actividades de pública notoriedad, organi-za cada cuatro años el Congreso Internacional de Matemáticos (el último, en Madrid 2006) y otorga, durante el mismo, las Medallas Fields, equivalentes a los Premios Nobel en Matemáticas (nótese que no existe Nobel en la categoría de Matemáticas). La Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas (ICMI, ver http://www.mathunion.org/icmi) es el órgano de IMU encargado de los temas relacionados con la enseñanza de las Matemáticas en los distintos niveles educativos. Su primer presidente y fundador fue el eminente matemático alemán Felix Klein (1849-1925). ICMI organiza cada cuatro años un congreso internacional de educación mate-mática (ICME), como el celebrado en Sevilla en 1996. En nuestro país la representación ante ICMI se estructura a través de una subcomisión del CEMAT (ver http://www.ce-mat.org/educ/educ.htm) siguiendo el modelo IMU/ICMI. 3 http://mathstore.gla.ac.uk/headocs/doc.php?doc=84Barton_B.pdf

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declarada intención de contribuir a la mejora de la enseñanza de las Matemáticas en Alemania, mos-trando la repercusión, en la consideración de los objetos matemáticos de la enseñanza no universita-ria, de los avances de esta disciplina a lo largo del siglo XIX.

En las imágenes, el eminente matemático alemán Felix Klein y dos versiones de la famosa botella de Klein (modelo descriptivo de una superficie topológica): una en vidrio respondiendo a la representación clásica y una construcción “origami” de los arqui-

tectos de MCR basada en la tecnología CAD. La obra de Klein marcó, en muchos sentidos, un hito. Se pueden mencionar las múltiples traduccio-nes (la más antigua en castellano que conocemos, la emprendida por el precursor del CSIC en 1927, ha sido el primer libro digitalizado por el CINDOC en el Proyecto DML-E, ver http://dmle.cindoc.csic.es/info_gnral.php) y ediciones de la misma –dos recientes: la de la editorial Nivola4, en nuestro país, en el año 2006, o la de la popular editorial Dover, en 2004, en inglés–. Felix Klein trataba de remediar, en su obra, la falta de conexión –«…desde principios del siglo XIX…»– entre la enseñanza de las Matemáticas no universitarias y los resultados de la investigación. Pero han pasado otros cien años desde 1908 y, a lo largo del siglo XX, las Matemáticas han soporta-do una crisis de fundamentos, se han abierto, con el advenimiento de los computadores, a nuevos ámbitos de actividad, han logrado resolver problemas centenarios,… Distintas ramas de las Matemá-ticas, como la Estadística y la Investigación Operativa, han surgido (y otras han desaparecido en la práctica) en este periodo, así como nuevos e inimaginables –hace cien años– ámbitos de aplicación. Por ello, ahora se trata de producir, a lo largo de cuatro años, una serie de materiales de diversa na-turaleza (libros; recursos de Internet: wikis, foros, portales; audiovisuales, etc.) para profesores de secundaria, que ayuden a trasmitir la amplitud y vitalidad que la investigación matemática ha alcan-zado a lo largo del siglo XX, conectándola con el currículo de la enseñanza secundaria. Se persigue, en definitiva, acercar al currículo escolar los múltiples –y en muchos casos, insospechados– ámbitos de presencia de las Matemáticas en la sociedad actual, alcanzados gracias a la investigación des-arrollada durante los últimos cien años y que, por tanto, no pudieron ser reflejados en la obra original de F. Klein. El acuerdo de IMU/ICMI contempla la edición de los distintos materiales en alemán, chino mandarín, español, francés e inglés, al menos. El carácter universal (destinado a todos los profesores de secundaria del mundo) y enciclopédico (abarcando todas las ramas de la Matemática) del objetivo marcado para el Proyecto Klein exigirá recabar múltiples colaboraciones y patrocinios y, también, lograr la implicación de investigadores y docentes de diversas especialidades y niveles educativos. Entre otras acciones está prevista la orga-nización de una serie de “Conferencias Klein”5 que convocarán, en diversos lugares del mundo, a profesores de secundaria para recabar su opinión y sugerencias sobre la marcha del Proyecto que tendrán lugar en este periodo. Una de ellas podría tener lugar en el Centro Internacional de Encuen-tros Matemáticos de Castro Urdiales, Cantabria, en mayo de 2010.

4 Felix Klein: Matemática elemental desde un punto de vista superior. Traducción al español de Jesús Fernán-dez. Editorial Nivola, Madrid (2006). 5 La primera de las cuales ha tenido lugar en Madeira, a primeros de octubre de 2009 (ver http://glocos.org/index.php/dm-md/dm-md2009).

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LLAMADA A LA PARTICIPACIÓN DEL PROFESORADO La primera reunión de la Comisión Klein tuvo lugar a finales del pasado mes de mayo, en Paris6. En ella se aprobaron las líneas maestras del trabajo a desarrollar, incluyendo un borrador del índice de temas a considerar. También se aprobó la difusión de un texto común, difundiendo el Proyecto y con-vocando a la participación en el mismo, que traducimos en los siguientes términos: En el año 2008, IMU e ICMI aprobaron la puesta en marcha de un Proyecto para revisar la obra de Felix Klein "Matemática Elemental desde un punto de vista superior". Se trata de la elaboración de un libro, dirigido a profesores de enseñanza secundaria, que fuese capaz de transmitir la amplitud y vita-lidad que la investigación matemática ha alcanzado a lo largo del siglo XX, conectándola con el currí-culo de la enseñanza secundaria. El equipo internacional que ha de diseñar este Proyecto, la llamada Comisión Klein, se ha reunido recientemente por primera vez. La Comisión aprobó la realización de un libro de cerca de 300 pági-nas, con el objetivo de inspirar a los profesores de secundaria en la tarea de acercar a sus estudian-tes a un panorama más completo sobre el creciente y complejo papel de las Matemáticas en el mun-do de hoy. Ese libro estaría acompañado por diversos recursos audiovisuales y web. La duración estimada del Proyecto es de cuatro años. El libro no pretende ser enciclopédico ni la última palabra en cada campo, pero con independencia de la estructura que finalmente se adopte en cada uno de sus capítulos, el texto tratará de enfatizar las conexiones entre las diversas ramas de las matemáticas y ciertos temas genéricos (como el impacto de los ordenadores). No habrá un capítulo dedicado específicamente a la didáctica de las matemáti-cas, pero su presencia se hará notar implícitamente en muchas ocasiones. La Comisión Klein quiere recabar la participación activa de todos aquellos que trabajan alrede-dor de las Matemáticas, ya sean investigadores o docentes, en este Proyecto que acaba de comenzar. Además de estar abierta a la recepción de comentarios por escrito, la Comisión planea organizar diversas "Conferencias Klein" en diversos lugares del mundo, donde espera recabar suge-rencias y percibir la reacción de los asistentes a las mismas sobre los materiales, en fase de desarro-llo y consulta, que presente. La redacción final del libro correrá a cargo de autores invitados, de pro-bada capacidad narrativa y divulgadora. Por ello invitamos a cualquiera que desee seguir informado sobre el desarrollo del Proyecto y recibir los distintos borradores que se vayan generando, a enviar un correo electrónico a la dirección (provi-sional) <b.barton@auckland.ac.nz>. Un portal web sobre el Proyecto se encuentra en vías de cons-trucción. En este contexto, la Comisión quiere invitar ahora a enviar comentarios sobre la siguiente elección de títulos para los capítulos del libro: • Introducción

• Capítulos temáticos - Aritmética - Lógica - Álgebra y Estructuras - Geometría - Funciones y Análisis - Matemática Discreta y Algorítmica - Matemáticas de la Computación - Probabilidad y Estadística

• Capítulos misceláneos - Intradisciplinariedad (esto es, conexiones internas) - Las matemáticas como disciplina viva en la ciencia y la sociedad -¿Cómo trabajan los matemáticos?

6 Véase en http://www.mathunion.org/index.php?id=819 un breve informe sobre la reunión.

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ESTALMAT – CANTABRIA repaso a su primer año de andadura

María José Señas Pariente y Cecilia Valero Revenga. Estalmat - Cantabria

En el nº 9 del Boletín Informativo de la SMPC se dio cumplida información acerca de los pasos que se estaban llevando a cabo para la puesta en marcha del proyecto ESTALMAT (Estímulo del TALento MATemático) en nuestra comunidad. Tras meses de esfuerzo en ese sentido, en el nº 10 del Boletín pudimos reseñar que el proyecto ESTALMAT-Cantabria ya estaba en marcha. En esa publicación informamos del proceso de selección de los estudiantes, del acto de inauguración oficial y de la pri-mera actividad realizada, un campus matemático, cuyo objetivo era dar la posibilidad de establecer los primeros lazos de amistad entre los participantes en el programa. En el nº actual queremos dar una visión general de lo que ha sido este primer año de desarrollo del Proyecto. Su deseada consoli-dación constituirá una parte del éxito del mismo y conllevará que lo que actualmente es noticia pase a ser un sector de lo cotidiano y, como siempre sucede con lo habitual, las reseñas sobre su desarrollo se espaciarán en el tiempo o se obviarán. LAS SESIONES DE TRABAJO Para cada promoción de estudiantes, el proyec-to ESTALMAT se desarrolla a lo largo de dos cursos académicos. Las sesiones de trabajo se llevan a cabo en la mañana de los sábados con una duración de tres horas y en ellas se reali-zan actividades específicas para la formación matemática que no estén contempladas explíci-tamente en el currículo escolar. A lo largo del curso 2008 - 2009 el calendario de actividades ha estado compuesto por 24 sesiones en las que se han abordado temas diversos, como puede observarse en la relación que se da de los mismos a continuación. Matemáticas en la Historia I y II - María José Señas Pariente. En este tema se trata de con-textualizar las matemáticas en la evolución histórica del hombre usando el mundo del có-mic como soporte de las actividades diseñadas. Dichas actividades tienen como punto de parti-da el texto "Historia de las matemáticas en cómic" de José Carlavila y Gabriel Fernández. Superficies sorprendentes y caminos impo-sibles I y II - Mario Fioravanti. Imaginar que se empieza a andar y después de un rato descu-brir que se ha vuelto al punto de partida, pero cabeza abajo, es la propuesta para iniciar este recorrido por la cinta de Möbius y otras superfi-cies curiosas. Mediante la experimentación con esas superficies se llegará, de forma intuitiva, a algunos de los resultados más conocidos de la topología de las mismas. Intentar recorrer los siete puentes de Königsberg o diseñar caminos para las tuberías de conducción de gas, agua y electricidad, con la condición de no cruzarse, es el pretexto para comenzar el estudio de los primeros resultados sobre teoría de grafos. Se

muestra también que esta teoría resuelve pro-blemas sobre el coloreado de superficies. Se trabajan en el aula los resultados topológicos cuya prueba formal precisa de técnicas ele-mentales de recuento u otros resultados mate-máticos sencillos. Aproximación intuitiva al Teorema del Valor Medio y a la Regla de Barrow - Cecilia Valero Revenga. Simcalc Mathworlds es un software que está indicado, en particular, para el estudio de las matemáticas que intervienen en la mo-delización del movimiento físico (posición, velo-cidad, aceleración) pues permite simular una situación física y acompañarla de descripciones gráficas. La observación de las regularidades que se manifiestan en estas gráficas permite a los alumnos construir significados intuitivos para propiedades que se formalizarán en eta-pas posteriores, tales como las tratadas en esta sesión y que aparecen en el título de la activi-dad. Ajedrez y Matemáticas I y II - María José Fuente Somavilla. Mediante el juego del aje-drez se ponen en práctica procesos propios del trabajo matemático (análisis, razonamiento, simbolización,…). Las actividades propuestas tienen como finalidad adiestrar al estudiante en tales procesos empleando ese marco lúdico que es el ajedrez.

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Mirar y ver: demostraciones visuales - Elena Álvarez Sáiz. La Matemática es una ciencia y una herramienta pero también es un arte y un juego. En este sentido las demostraciones vi-suales pueden aglutinar todas estas interpreta-ciones de la Matemática al presentarse como actividades creativas y de investigación de los alumnos impulsando el espíritu de exploración y búsqueda que proponen los nuevos métodos educativos. Las actividades propuestas se cen-tran en demostraciones geométricas y alge-braicas, dedicando un apartado especial al teorema de Pitágoras. Los objetivos de esta actividad son, entre otros: hacer del razona-miento visual una práctica aceptable y habitual para el aprendizaje, fomentar la exploración y el querer averiguar por sí mismo y estimular la imaginación.

Combinatoria y otras técnicas de recuento -Juan Martín Pindado. Partiendo de ideas o cuestiones tales como la obra literaria más extensa del mundo "100 billones de poemas" o ¿todos los franceses descienden de Carlomag-no? se irán tratando distintos modelos de pro-blemas en los que implícita o explícitamente se pide determinar la cantidad de elementos de una colección dada. Junto a situaciones de recuento en las que de una colección de obje-tos se selecciona una cantidad de ellos y se "agrupan" se mostrarán otras en las que no sea así. Esto tiene como objetivo, por un lado, dis-tinguir los problemas que resuelve la Combina-toria elemental y, por otro, observar que la Combinatoria no soluciona todos los problemas de recuento.

Sistemas de numeración - Teresa Herrero Martínez. Se hace un breve recorrido por algu-nos sistemas de numeración utilizados por civilizaciones antiguas, para finalizar con los sistemas de numeración posicionales utilizados en la actualidad, prestando especial atención al sistema binario que, como todos sabemos, es el sistema de codificación que permite el fun-cionamiento de los ordenadores. Las activida-des propuestas estarán dirigidas a descubrir cómo funcionan los sistemas de numeración, realizar conversiones entre ellos e investigar con distintas bases. Como aplicaciones diverti-das se propondrán algunos juegos y codifica-ción de mensajes.

Poliminós y policubos - Cecilia Valero Re-venga. Nos servimos de la manipulación de estos objetos para, a través de su construcción, observación y composición - descomposición, analizar diferentes propiedades matemáticas. Abordaremos el estudio de simetrías, se trata-rán actividades de clasificación y se realizarán distintas representaciones planas de policubos. La resolución de algunos rompecabezas planos

permitirá ver pruebas sorprendentes colorean-do figuras y se mostrará, además, cómo pro-blemas en términos de policubos pueden resol-verse en un contexto de poliminós.

Visita a la exposición de fotografía "Anda con ojo"- Gema Quintana Portilla. “Pilar Mo-reno ha hecho de la fotografía una herramienta para la divulgación y la enseñanza de las ma-temáticas. Con ella consigue: concienciar de la presencia de la geometría a nuestro alrededor, incluso en los sitios más inesperados, [...]; es-timular la reflexión y la creatividad matemática [...]; suscitar algunas preguntas, ¿por qué algu-nas formas son frecuentes en la naturaleza? ¿por qué los objetos que construye el hombre tienen esas formas y no otras?..." Éstas son palabras de Raúl Ibáñez, presidente de la Co-misión de Divulgación de la RSME, para pre-sentar esta exposición, que describe perfecta-mente los objetivos de esta actividad.

Poliedros y simetría I y II - Francisco Santos Leal. En estas sesiones se habla de poliedros y, en especial, de los poliedros regulares, tam-bién llamados "sólidos platónicos". Estos cinco objetos han fascinado desde antiguo a los ma-temáticos y a los no matemáticos, que incluso les han atribuido características filosóficas y cosmológicas. Además de estudiar cómo cons-truirlos y sus propiedades numéricas, se ponen de relieve sus muchas "simetrías" y, a través del concepto mismo de simetría, se llega a una aproximación al concepto de "grupo", que es como se formaliza en matemáticas esta situa-ción.

Geometría con Cabri - María José González López. Cabri-Géomètre es un software que nos ayuda a manipular objetos geométricos y a estudiar sus propiedades. En esta sesión se comienza haciendo algunos ejercicios elemen-tales para conocer el funcionamiento del pro-grama. Se trabajan dos problemas: la construc-ción con Cabri de una excavadora, como la de la figura, y el fractal de Sierpinski. Estas ideas permitirán construir otras máquinas y otros fractales.

Secuencias de números - Luis Alberto García Camiñas. En esta sesión se habla de las suce-siones, qué son y cómo se construye su térmi-no general. Veremos una sucesión que apare-ce a menudo en la naturaleza, la de Fibonacci. También aprenderemos a sumar términos de una sucesión haciendo uso de la geometría.

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Números sorprendentes: los números metá-licos - Almudena Señas Pariente. Se pretende relacionar las Matemáticas con otras áreas del conocimiento (música, pintura,…) y con situa-ciones reales, aprovechado los números metá-licos. Desde el estudio de las medidas del Par-tenón hasta las medidas antropomórficas de los estudiantes, se abarca una amplia variedad de ejemplos de la presencia de los números metá-licos a nuestro alrededor.

Resolución de problemas I y II - Isabel Gó-mez Velarde y Belén Hallado Arenales. A tra-vés de dinámicas, juegos y acertijos se indican los distintos aspectos que se deben tener en cuenta al enfrentarse a un problema, reforzan-do el proceso para su resolución (comprensión, concepción de un plan, ejecución del plan, revi-sión de lo realizado). Se pretende que el estu-diante se enfrente al mismo en las mejores condiciones, aceptando situaciones imprevistas o poco habituales. Además, se muestran estra-tegias aplicables no sólo a la resolución de problemas matemáticos sino que pueden ser de ayuda para afrontar situaciones cotidianas de una forma más reflexiva.

¿Posible?¿Probable? - Juan Martín Pindado. Un experimento aleatorio es un experimento del que no podemos predecir el resultado, por-que en las mismas condiciones iniciales los resultados son diferentes. Incluso para estos experimentos las Matemáticas ofrecen unas leyes de regularidad que, entendiéndolas y sabiéndolas interpretar, ofrecen mucha infor-mación sobre los resultados. Gracias a ellas sabremos a qué apostar en algunos juegos.

Las matemáticas son lógicas - Carmen Es-peso Ortiz. Se da a conocer la lógica proposi-cional y se inicia el trabajo con ella, los conecti-vos y las tablas lógicas. Se ven aplicaciones sencillas y divertidas y la sesión finaliza tratan-do las paradojas, las falacias y construyendo puzzles lógicos.

Paradoja sentimental: “El corazón tiene razones que la razón no entiende” (Pascal).

¿Cómo afrontar problemas fácilmente com-plicados? - Ana Quintero Uribe. Cada alumno tiene que pensar e intentar solucionar los retos planteados. Podrá utilizar todas las estrategias que considere oportunas para averiguar la edad de Jaime, cómo repartir una herencia de camellos, cuántos nenúfares hay en un estan-que, etc. Aproximación a los órdenes de magnitud. Estimaciones - Almudena Señas Pariente. ¿Cuál sería la probabilidad de encontrar un alienígena? ¿Cuántos pelos tienes en la cabe-za? ¿Cuál sería la altura máxima que podría tener una montaña en la tierra? Los problemas de estimación nos dan una idea de estos y otros interrogantes. La Ciudad y las Matemáticas - María José Señas Pariente. "La ciudad, máxima expresión de una civilización, refleja su forma de entender y organizar la vida. Los problemas que plantea su diseño, ornamentación y funcionamiento muy a menudo encuentran soluciones en las Matemáticas […]". Así se presenta el material preparado por José María Sorando Muzás con ocasión del día escolar de las Matemáticas, celebrado el 12 de mayo. Partiendo de esta idea se realizan actividades relacionadas con población, diseño y calidad de vida en la ciu-dad. EL PAPEL DE LAS FAMILIAS La participación en el proyecto Estalmat de un estudiante exige un fuerte compromiso por parte de su familia. Cada sábado alguno de sus miembros ha de estar disponible para acompa-ñar y recoger al chico o la chica a la Facultad de Ciencias de Santander. En algunos casos esto supone hipotecar la mañana completa del sábado puesto que hay estudiantes que se desplazan 30, 50 y hasta 70 kilómetros para poder participar en el Proyecto. En este sentido hemos de decir que la respues-ta ha sido magnífica. De los 15 alumnos, 10 han asistido al 100% de las sesiones, y los alumnos que han faltado lo han hecho en una o dos ocasiones y siempre han justificado con antelación su inasistencia, hecho éste que la organización agradece plenamente. Esa presencia habitual del padre o la madre y el hecho de que las familias hayan asistido a los actos de inauguración y clausura del curso, así como a alguna reunión mantenida a lo largo del mismo, han propiciado momentos de acer-camiento entre padres, alumnos y profesorado, que han permitido conocer el grado de satis-facción de todos los implicados en el Proyecto.

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Es muy grato poder decir que hasta el momen-to siempre se ha escuchado palabras de entu-siasmo y de gratitud por la labor que se está llevando a cabo, lo que da ánimos para seguir trabajando. LA CLAUSURA DEL CURSO El acto de clausura del curso se celebró el día 30 de mayo a las 12 horas en el Salón de Actos de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria. El evento estuvo presidido por auto-ridades universitarias y representantes de al-gunas de las entidades patrocinadoras del pro-yecto y a él acudieron los alumnos y alumnas acompañados por sus respectivas familias y muchos de los profesores del Proyecto. El nú-cleo del acto fue la conferencia titulada “Astro-nomía y geometría”, impartida por José Ignacio González Serrano, profesor del Departamento de Física Moderna de la Universidad de Canta-bria y miembro del Instituto de Física de Canta-bria (IFCA), Centro Mixto entre la UC y el CSIC. En el año internacional de la Astronomía, el conferenciante mostró los vínculos existentes entre las dos importantes áreas del saber cien-tífico que daban título a la charla. Un paseo por la historia de la Astronomía fue el pretexto para mostrar cómo es posible determinar distancias aproximadas entre cuerpos espaciales con herramientas geométricas muy sencillas, en muchos casos sólo es necesaria la construc-ción de triángulos semejantes y aplicar la pro-porcionalidad entre sus lados. La paralaje, los pársec, etc son términos que se fueron desgra-nando a lo largo de la charla de forma sencilla y didáctica, consiguiendo captar la atención y el interés de todo el público asistente.

El evento concluyó con un aperitivo en la Cafe-tería de la Facultad, que los promotores del Proyecto aprovecharon para despedirse perso-nalmente de cada uno de los estudiantes y de sus familiares hasta el siguiente encuentro, que se produciría en septiembre.

LA RELACIÓN CON OTROS PRO-YECTOS ESTALMAT En el Boletín anterior, en la sección Jornadas, Talleres y Encuentros, hacíamos referencia a la V Reunión Nacional de Estalmat y al I Semina-rio sobre actividades para estimular el talento precoz en Matemáticas que se habían celebra-do en Canarias a mediados de marzo de 2008. En esta ocasión nos ha parecido oportuno in-cluir aquí una breve información acerca del encuentro correspondiente a 2009, mantenido en Madrid los días 13 y 14 de marzo. La Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-rales fue la sede donde se celebró la VI Reu-nión Nacional de Estalmat y el II Seminario sobre actividades para estimular el talento pre-coz en Matemáticas. El acto de inauguración estuvo presidido por el entonces presidente de la Academia, D. Alberto Galindo Tixaire, acom-pañado por representantes de la Fundación Vodafone y del CSIC. A lo largo de los dos días que duró el Semina-rio se presentaron diferentes actividades lleva-das a cabo en distintas sedes donde se desa-rrolla el programa con la intención de ofrecer ideas y colaborar en la preparación de nuevas propuestas para trabajar con los alumnos y las alumnas que participan en el Proyecto. Las ponencias fueron las siguientes:

Fractales - Miguel Reyes (Estalmat - Madrid)

Visualizar la geometría plegando papel - Teresa Otero (Estalmat - Galicia)

Polígonos estrellados - Estrellas - Formas estrelladas - Inmaculada Fernández (Estalmat - Castilla y León)

El salto del caballo y otros - Roberto Martín (Estalmat - Canarias)

La magia de las permutaciones - Antonio Aranda (Estalmat - Andalucía)

Banda de Moebius - Marco Castrillón (Estal-mat - Madrid)

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Los números metálicos - María José Señas (Estalmat - Cantabria)

Juegos de estrategia inusuales - Javier Gó-mez (Estalmat - Cataluña)

En la Reunión Nacional de Estalmat se habló de dos libros que en ese momento estaban a punto de publicarse: Matemáticas para estimu-lar el talento y Matemáticas en la Catedral de Burgos.

~ El primero es el resultado de la labor conjunta de muchos de los profesores que llevan des-arrollando el proyecto Estalmat en diferentes sedes; los coordinadores de la obra son Anto-nio Pérez Jiménez y Mercedes Sánchez Benito, y el texto, editado por la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, recoge diferen-tes actividades elaboradas para el Proyecto. Más información de este libro aparece en la sección “Novedades Editoriales” de este mismo Boletín.

~ El grupo Estalmat de Burgos es el responsa-ble de la segunda de las obras. Matemáticas en la Catedral de Burgos, editado por cajacirculo-obra social, contiene un estudio exhaustivo de los diferentes elementos de la catedral de Bur-gos desde un punto de vista matemático, con el objeto de constituirse en un buen material di-dáctico.

Asimismo, en la Reunión, se acordó expedir un diploma a cada estudiante del Proyecto Estal-mat al finalizar su periodo de participación, con un código de registro en la Real Academia de Ciencias.

La foto oficial del encuentro pone el punto final a este apartado.

EL CURSO 2009 - 2010 El 6 de junio se celebró la prueba de selección de los integrantes de la Segunda Promoción Estalmat - Cantabria (2009 – 2011). A la misma se habían inscrito 110 participantes, de los que se presentaron 92.

La incorporación de esta nueva promoción supone que a partir del curso actual convivan en el Proyecto dos promociones, de Primer Año y Segundo Año. Estos grupos trabajarán en aulas distintas y sólo en ocasiones especiales harán algunas tareas conjuntas, como las reali-zadas durante la Jornada del Campus, o las que efectuarán durante el Concurso de Mate-máticas al Sprint que se celebrará víspera de Navidades. Esperemos que este segundo curso, donde deberemos duplicar esfuerzos, sea igual de grato que el primero, circunstancia que permita a los profesores que intervengan por primera vez en Estalmat - Cantabria a sentirse tan sa-tisfechos como los que sean más veteranos. Más información sobre el Proyecto Estalmat - Cantabria en www.estalmat.unican.es

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EMULANDO A ERATÓSTENES

María Eugenia Hernández Gutiérrez. IES Santa Clara. Santander

El día 26 de marzo del AIA (Año Internacional de la Astronomía) amaneció soleado. Esto, que pudiera parecer un dato irrelevante, para nosotros no lo era. Necesitábamos ese sol de primavera, ese sol y su sombra para nuestro experimento: medir el radio de la Tierra. El día del solsticio de verano de hace 2.249 años en Alejandría también salió el sol. Eratóstenes (ma-temático, astrónomo, poeta, filósofo y bibliotecario de la Biblioteca de Alejandría) intenta comprobar en su ciudad la leyenda impresa en un papiro que relata que en un lugar llamado Siena (hoy Asuán) ese mismo día y a esa misma hora ninguna vara u objeto daba sombra y el Sol se reflejaba en las aguas de un pozo profundo. Impaciente por comprobar lo que ocurriría en su ciudad de trabajo, clavó un palo en la tierra y repitió la experiencia ob-servando, atónito, cómo en esta ciudad la vara sí proyectaba una larga sombra y ningún pozo reflejaba totalmente el Sol. Esto le llevó a la conclusión de que la Tierra no era plana sino esférica y los rayos solares, en ese momento, formaban un ángulo equivalente a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría. Así, dado que la Tierra era esférica, ni corto ni perezoso se dispuso a calcular la longitud de su cir-cunferencia y su radio. Estimó el valor de la longitud de la circunferencia en 250 estadios (40.000 km, bastante exacto para la época y sus recursos).

RECOGIDA DE DATOS Nuestro propósito y el de otros 625 centros validados (es-pañoles y extranjeros) era emular a Eratóstenes utilizando un gnomon (palo vertical) y midiendo su sombra cada 10 minutos desde las 12:00 hasta las 14:00 horas (una hora antes y una hora después del mediodía solar). El dato que queríamos obtener era el ángulo altura del Sol sobre el horizonte en el momento del tránsito por el meridiano -momento en que el Sol alcanza la máxima altu-ra- hallado de la relación entre la altura del gnomon y la longitud de la sombra mínima. RESULTADOS DEL INSTITUTO Los datos obtenidos por nuestro centro, el IES Santa Clara, fueron validados por la Organización del AIA, por lo que desde aquí quiero felicitar a todos los participantes (alum-nos de 2º de ESO) por el interés demostrado, la precisión en las mediciones y su comportamiento ejemplar.

Distancia al paralelo 40º N: 381,0 km Ángulo de inclinación: 48,8º Hora del tránsito: 12:16 UT

Los datos del resto de centros participantes y las fotos de la experiencia se pueden consultar en la página www.astronomia2009.es en el apartado “la medida del radio de la Tierra” dentro de la sección “proyectos de ámbito na-cional”.

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TRATAMIENTO DE LOS DATOS CONJUNTOS

Los datos de los centros validados aparecen en la gráfica adjunta, elaborada por la Organización del AIA. Se representa en el eje de abscisas el ángulo altura del Sol y en el eje de ordenadas la distancia al paralelo 40ºN. La ecuación que mejor define la nube de puntos es la recta de regresión:

8,6247x84,118y El valor de la pendiente (– 118,84) proporcionará la relación kilómetros/grado.

CÁLCULO DEL RADIO DE LA TIERRA

Teniendo en cuenta que la longitud de un meridiano de la Tierra mide 40.000 km, se pueden calcular el radio de la Tierra y la longitud del arco de meridiano a partir de las siguientes expresiones:

km/grado111,11360º

40.000meridianodearcoLongitud

km6.366,22π

40.0002π

meridianodellongitudTierraRadio

En nuestro caso la relación km/grado obtenida es de 118,84. A partir de este dato, el cálculo del radio de la Tierra se realizaría como sigue:

km 6.8092π

grados 360 grado/km 118,84TierraRadio

Esta estimación del valor del radio medio de la Tierra supone un 6,9% de error, error que se ve dis-minuido a tan sólo un 3% cuando los datos tenidos en cuenta en la experiencia son los procedentes de los observadores de España y su entorno geográfico próximo.

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UN JUEGO CON PROBABILIDAD UNO EN SOLIDARIDAD

María José Fuente Somavilla. IES Foramontanos. Cabezón de la Sal

ANTECEDENTES En el origen de la experiencia que aquí se rela-ta hay dos nombres propios, Rafael Ramírez Uclés y José Luis Gutiérrez Muñoz, que conflu-yen en ella porque ambos han hecho de la solidaridad una de sus labores cotidianas. Rafael Ramírez Uclés es profesor del colegio El Carmelo, de Granada, y en 2006 recibió el Pre-mio del VII certamen nacional de “Ciencia en Acción” para docentes y divulgadores científi-cos en la modalidad “Laboratorio de Matemáti-cas”. El trabajo premiado llevaba por título “Psi-coprobabilidad: una aplicación solidaria” y es-taba presentado junto a Víctor Gómez Arellano. Mediante el juego Más por menos, que más adelante se detallará, los profesores Uclés y Arellano querían, por un lado, preparar a sus alumnos ante situaciones futuras de azar e incertidumbre y, por otro, educarlos en la soli-daridad, haciéndoles comprender lo importante que puede resultar la suma de pequeños es-fuerzos individuales en aras a obtener resulta-dos significativos a nivel colectivo. José Luis Gutiérrez Muñoz es profesor titular y director del departamento de Escultura de la Universidad Complutense de Madrid. Durante los últimos cinco años lleva realizando, junto con sus alumnos, campañas de ayuda a niños y niñas de orfanatos de India, Nepal y Ecua-dor. Por esa obra, el profesor Gutiérrez Muñoz recibió el Premio Zigzag a la Labor Social 2007. En 2008 acudió al IES Valle del Saja, de Cabe-zón de la Sal, a presentar esos proyectos soli-darios, invitado por antiguos compañeros pues dicho centro, aunque denominado entonces de forma distinta, había sido el primer destino pro-fesional de José Luis. A raíz de esta visita se gestó entre los estudiantes del centro el com-promiso de colaborar en uno de los proyectos presentados por el profesor Gutiérrez Muñoz, e iniciaron una serie de actividades con las que recaudar fondos para dar educación a un niño nepalí huérfano. Y es en este punto donde hemos hecho con-verger las iniciativas de Rafael Ramírez y José Luis Gutiérrez. Considerando magnífica la de-cisión tomada por los alumnos del IES Valle del Saja, quisimos que nuestros alumnos del IES Foramontanos, también en Cabezón de la Sal,

se sumasen a la empresa solidaria iniciada por sus compañeros. Fue así como el pasado cur-so escolar 2008 - 2009 propusimos a los alum-nos y las alumnas de 3o de ESO de nuestro instituto el juego llamado “Mucho por poco”, cuya descripción, además de formar parte del proyecto de Rafael Ramírez premiado en 2006 en el concurso “Ciencia en Acción”, apareció publicada en el volumen 10, número 1, de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Espa-ñola. DESCRIPCIÓN DEL JUEGO El juego “Mucho por poco” es un juego de apuestas: cada alumno puede apostar por cualquier número natural distinto de cero. Por cada apuesta realizada, el alumno debe contribuir con 10 céntimos. Gana el alumno que consiga jugar al número más pequeño por el que nadie más haya apostado.

Un alumno del instituto apostando por su número.

La esencia del juego es, en palabras de Rafael Ramírez y colaboradores, que los alumnos se preparen para futuras experiencias de azar e incertidumbre, motivando una reflexión de lo

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que para cada uno de ellos supone la probabi-lidad, de sus creencias y expectativas ante una determinada toma de decisión. Pero al tratarse de un juego de apuestas, el profesor introduce una serie de condiciones que, por un lado, eli-minan las posibles consecuencias negativas que pueden producirse de cualquier juego de estas características y que, por otro, convierten al juego en un objeto solidario. Las condiciones son básicamente dos: una, limitar el número de apuestas por estudiante; y otra, que la recau-dación se destine a una acción de ayuda. Cuando un mismo juego, como puede ser “Mu-cho por poco” u otros de propiedades similares, se efectúa entre un mismo colectivo una serie de veces o entre colectivos distintos pero cono-cedores, por ejemplo, de los resultados de en-sayos anteriores, se puede poner en marcha una cadena de condicionantes de tipo psicoló-gico que conlleven, con alguna certeza, modifi-caciones en los resultados previstos. Como consecuencia del análisis de los resulta-dos en sucesivas ediciones del juego “Mucho por poco” y de otros en los que la psicología de los participantes y la probabilidad se confun-den, Rafael Ramírez introdujo el término psico-probabilidad, que definió como comportamiento de los jugadores al enfrentarse, en repetidas ocasiones, a una misma situación probabilística de la que cada vez obtienen más información mediante, por ejemplo, análisis previos de pro-babilidad, estrategias ganadoras, decisiones de los demás jugadores y resultados de las ante-riores repeticiones. Un estudio realizado bajo estas consideraciones permitió al grupo de trabajo de Rafael Ramírez poder deducir, en un grado alto de aciertos, cuál iba a ser el número ganador, hecho éste que usaron como elemen-to motivador en la propuesta del propio juego en situaciones posteriores.

ADAPTACIÓN A NUESTRO CENTRO A la hora de poner en marcha el juego en el IES Foramontanos tuvimos en cuenta cada una de las reflexiones realizadas por Rafael Ramí-rez. En nuestro caso, las condiciones del juego fueron ligeramente distintas a las fijadas en el juego original y fueron las siguientes:

- Ningún alumno podía apostar por más de 20 números (el equivalente a arriesgar 2 €).

- La mitad del dinero recaudado era para la campaña promovida en el IES Valle del Saja con motivo de la visita de José Luis Gutiérrez a dicho centro educativo. Con la otra mitad se compraría el premio para el alumno ganador, consistente en material escolar.

Las peculiaridades del juego que se mantuvie-ron intactas fueron tanto su propósito solidario como su esencia, que no es otra que poner a nuestros estudiantes ante situaciones de ries-go, en las que la inseguridad ante una toma de decisiones los conduce hasta la reflexión acer-ca del significado de probabilidad. No sería conveniente ni aconsejable descartar alguno de esos rasgos del juego, incuestionables ambos por su gran poder formativo. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS A finales del curso, y una vez concluido el jue-go, se mostraron gráficamente las frecuencias con las que habían aparecido los números apostados. Total de apuestas: 71

Número ganador: 2

Números más apostados: 1 (con 4 apuestas), 13 (con 6 apuestas) y 14 (con 4 apuestas)

Números del 1 al 40 no apostados: 16, 24, 26, 31, 33, 35 y 36

Otros números mayores de 40 apostados: 47, 49, 55, 71, 77, 100, 111, 113 y 222 ¿Los alumnos que apuestan por el 1 lo hacen arbitrariamente o, por el contrario, piensan que ninguno de sus compañeros apostará por dicho número porque ellos a su vez tengan la creen-cia de que el resto jugará por el menor de los números permitidos? ¿Por qué sólo un alumno apostó por el 2? ¿Sería porque los apostantes pensaron que los demás apostarían por él? ¿Los que apuestan al 13 lo hacen porque, al ser un número “gafe”, nadie jugará por él? ¿Por qué nadie apuesta por el 16? ¿Quien apuesta por el 222 lo hace porque encuentra bella su grafía? Estas preguntas quieren reflejar la componente psicológica que puede entrar a formar parte de la decisión de un jugador en el momento de realizar las apuestas. Como dice Ramírez en su artículo, cuando en las experiencias mate-máticas aparecen factores humanos, un con-curso se convierte en algo más que unos sim-ples cálculos. Para avanzar en el análisis de aspectos tales como la posibilidad de un cambio en el compor-tamiento de nuestros estudiantes ante el mismo juego tras conocer los resultados arriba refleja-dos, tenemos la pretensión de seguir realizan-do el juego en cursos sucesivos. El estudio permitirá así mismo contrastar nuestras conclu-siones con las obtenidas por Rafael Ramírez.

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Frecuencias de las apuestas de los primeros 40 números naturales de nuestro juego solidario. DESTINO DE LA RECAUDACIÓN Con la mitad del dinero recaudado en el juego compramos material escolar (un juego de cua-derno, regla y bolígrafo) al participante gana-dor. La otra mitad del dinero fue donada, como es-taba previsto, al IES Valle del Saja, para cola-borar en la recaudación de fondos para la beca de estudios de Sudip Magar, un niño huérfano nepalí que vive en Bal Mandir, un gran orfanato del centro de Katmandú, la capital de Nepal. Sudij tiene 12 años y fue elegido por los alum-nos del IES Valle del Saja como receptor de dicha beca por ser ejemplo de interés en los estudios y por tener una habilidad especial para el dibujo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ramírez Uclés, R.; Gómez Arellano, V.; Sa-

lazar Valdivia, I. y Calderón Escobar, V. (2006). “Psicoprobabilidad: una aplicación so-lidaria”. Ciencia en Acción 7. Madrid.

- Grupo LaX (2005). Taller de psicoprobabili-

dad. Actas del XII Jornadas para el aprendi-zaje y la enseñanza de las matemáticas. Al-bacete.

- Ramírez Uclés, R. y Ramírez Uclés, I (2005).

Aprender psicoprobabilidad jugando. Libro de

actas del IX Congreso de Metodología de las Ciencias del Comportamiento. Granada.

- Ramírez Uclés, R. (2003). “Matemáticas para

la solidaridad”. La Gaceta de la Real Socie-dad Matemática Española, 6, 3, 545-549.

Sudij Magar y sus amigos del orfanato Bal Mandir, en Katmandú (Nepal).

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MATERIALES Y RECURSOS

EL JUEGO DE EUCLIDES una actividad adaptable a las aulas de Secundaria

María José Fuente Somavilla y Cecilia Valero Revenga

Es probable que el lector conozca la página http://www.cut-the-knot.org, cuyo título es Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (Copyright © 1996-2009 Alexander Bogomolny). En ella se abordan temas relaciona-dos con la Aritmética, el Álgebra, la Geometría, la Lógica,… y muchos están acompañados de escenas Java que permiten visualizar algunos de los resultados que se estudian. En el bloque de Aritmética aparece el “juego de Euclides”, que tiene como objetivo ayudar a entender el concepto de máximo común divisor y el algoritmo de Euclides. Al tratarse de un software de acceso libre, nos hemos permitido hablar de él en estas páginas y suge-rir una posible adaptación para las aulas de tercero y/o cuarto de la E.S.O.

Presentación del juego de Euclides

La escena inicialmente permite visualizar un tablero con dos números. En ese momento el usuario puede introducir, mediante el control de edición y pulsando Enter, la diferencia positiva de esos dos números, o señalar la opción “Please start” si desea que sea el ordenador quien comience a mover, realizando la misma operación. A partir de ahí, el usuario y el orde-nador se alternarán, introduciendo la diferencia positiva de cualquier par de enteros aparecidos ya en la pantalla. El jugador perdedor será el que no tenga la posibilidad de generar ningún valor nuevo.

La imagen ilustra el caso en que el tablero ha dado como valores iniciales el 30 y el 32. Se ha pedido al ordenador comenzar el juego y ha generado el 2; a continuación, el usuario ha dado el 28 y, posteriormente, el ordenador ha introducido el número 4. Es claro que en este punto la partida todavía no ha terminado. Si el lector fuese el encargado de introducir el si-guiente valor, ¿por cuál se decantaría? ¿Podrá determinar cuántos valores pueden generarse aún? ¿Será el lector, tomando el papel de ju-gador, quien gane la partida?

¿El juego de Euclides tiene una estrategia ganadora?

1.- La diferencia de dos números cualesquiera es múltiplo del máximo común divisor de los mismos. Por tanto, los números generados a lo largo del juego siempre serán divisibles por el m.c.d.{A, B}, si denotamos por A y B los valores dados al comienzo de la escena. 2.- Pero, es más, la secuencia aparecida en el desarrollo completo del juego coincide exacta-mente con los múltiplos del m.c.d.{A, B} que son menores o iguales que el mayor entre A y B. De los dos resultados enunciados anteriormen-te, el segundo es menos inmediato que el pri-mero; por esa razón, el siguiente apartado se dedicará a probar tal propiedad. Una vez conocido dicho resultado, lo que sí es fácil deducir es que el juego es de carácter determinista. La cantidad de múltiplos del m.c.d.{A, B} que son menores o iguales que el mayor entre A y B, es la que dispone quién es el ganador una vez que se ha iniciado el juego. Si el usuario de la escena está enterado de las propiedades anteriores, y desea ser el ganador del juego, sabrá determinar cuándo ha de ser él quien dé el primer paso o, por el contrario, cuándo ha de ser el ordenador. Así, en el ejemplo del inicio, m.c.d.{30, 32} = 2 y la cantidad de múltiplos de 2 menores o igua-les a 32 son 16. Por tanto, el número de valo-res generados entre el jugador y el ordenador es par, circunstancia que obliga al jugador, para convertirse en vencedor, a establecer que sea el ordenador el que empiece a jugar.

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Las matemáticas que hay detrás del juego de Euclides

Vamos a probar que: partiendo de dos números A y B, con A > B, y siguiendo las reglas del juego, se obtienen exactamente todos los múl-tiplos del m.c.d.{A, B} que son menores o igua-les a A. Supongamos que M es el menor entero apare-cido a lo largo del desarrollo completo del jue-go.

M es divisor común a A y a B

En caso contrario, y supuesto que, por ejem-plo, M no es divisor de A, podría escribirse A = c·M+r con 0 < r < M. Pero si fuese así, y puesto que a partir de A y M podemos llegar a r en, a lo sumo, c operaciones (A-M, A-2M, A-3M,…), o bien r está entre la lista de núme-ros generados, contradiciendo la minimalidad de M, o bien el juego no ha acabado, negan-do las condiciones admitidas.

Los números aparecidos en el juego son múltiplos de M y del m.c.d.{A, B}

Esta propiedad se deduce tras observar que cada uno de los valores hallados puede re-presentarse como k·A+l·B con k, l Z y apli-car que tanto M como m.c.d.{A, B} son diviso-res comunes a A y B.

M = m.c.d.{A, B}

Del punto anterior se deduce que M es múlti-plo de m.c.d.{A, B}. De la definición de m.c.d. y del primero de los puntos, se obtiene que M es divisor de m.c.d.{A, B}. De ambas propie-dades se deriva la igualdad enunciada.

De todo lo dicho, se puede concluir que los números aparecidos en el juego son:

m.c.d.{A, B} · i con i = 1, 2, …, B} m.c.d.{A,

A

Uso didáctico del juego de Euclides

Son muchos los artículos relacionados con la Didáctica de las Matemáticas que analizan las bondades de los juegos en el desarrollo del pensamiento matemático. En este sentido, parece interesante, además de posible, utilizar como recurso didáctico tanto el juego que aquí se presenta como otros que se pueden encon-trar en la dirección electrónica indicada al inicio de esta sección. A continuación se señalan, de forma muy somera, algunos de los aspectos que pueden ser tratados o reforzados concre-tamente con el juego de Euclides.

Se entiende que un primer contacto con el jue-go de Euclides por parte del estudiante ha de ser de forma libre, dándole la oportunidad de ir

descubriendo las relaciones que se pueden establecer por mera observación de los valores generados en cada juego. El objetivo será, como siempre, encontrar la manera de salir vencedor en cada uno de los enfrentamientos con la máquina, es decir, buscar una estrategia ganadora.

La estructuración de los diferentes resultados parciales, con ayuda quizás de una breve guía diseñada por el profesor, puede conducir al estudiante a la propiedad fundamental del m.c.d. de dos números, que en cursos avanza-dos suele constituir precisamente la definición de dicho concepto: el máximo común divisor de dos números A y B es el menor entero positivo que se puede expresar de la forma k·A+l·B con k, l Z . En el nivel de Secundaria, donde no es posible dar una demostración formal del enunciado anterior, se debería fortalecer la veracidad del mismo usando otros juegos o ejercicios en los que aparezca tal resultado como fondo. Ése es el caso de algunos problemas clásicos sobre pesas o vasijas. Puesto que algunas propiedades que se ponen de manifiesto en el análisis de este juego son las utilizadas en el algoritmo de Euclides, pue-de ser explotada esta circunstancia para abor-dar dicho algoritmo, mucho más eficaz para el cálculo del máximo común divisor de dos nú-meros que la factorización en primos, aunque este último método sea, prácticamente en ex-clusiva, el empleado en Secundaria.

Dejando de lado los contenidos matemáticos involucrados en el juego de Euclides, éste pue-de servir, además, para realizar un estudio comparativo con otros posibles juegos, donde la estrategia ganadora resida, por ejemplo, en encontrar una propiedad invariante o en los que la resolución sea más cómoda si se usa una representación o una terminología adecuada, basándose entonces en una búsqueda de pa-trones.

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MENÚ DE PROBLEMAS1

Luis Alberto García Camiñas. IES Miguel Herrero Pereda. Torrelavega

1En el número anterior de este Boletín explicábamos el cambio sufrido por esta sección. Inicialmente los proble-mas planteados tenían entre sus objetivos invitar a todo el profesorado de Matemáticas a difundir y utilizar los problemas editados con sus alumnos, animándoles a resolverlos y a enviarlos a la Redacción del Boletín para la publicación de las soluciones que se considerasen más interesantes. El hecho de que en ediciones precedentes del Boletín no se hubieran recibido soluciones a dichos problemas, nos llevó a reconsiderar la sección, dando a conocer ejercicios que puedan haber sido utilizados en otros contextos y concursos. En todo caso, se conserva intacta otra de las finalidades que la sección tenía en sus comienzos, facilitar materiales y situaciones que propi-cien el desarrollo de habilidades y estrategias de resolución de problemas.

En esta ocasión los enunciados publicados han sido propuestos en el concurso ‘Tenemos un juego’ que el Departamento de Matemáticas del IES Miguel Herrero Pereda, de Torrelavega, ha llevado a cabo en ese centro. Felicitamos a dicho Departamento por la iniciativa y le agradecemos el trabajo realizado para la publicación del material en este Boletín, en particular al autor del mismo.

ALGUNAS CONSIDERACIONES Todos sabemos que el aprendizaje de las ma-temáticas requiere esfuerzo ya que es preciso mantener una atención intensa, comprender razonamientos difíciles o realizar tareas com-plejas. Para que este sacrificio se convierta en algo con sentido sería deseable que se realiza-se en un clima relajado y en el que los que aprenden y los que enseñan disfruten. ¿Cómo podemos, los docentes, conseguir un ambiente en el que aprender matemáticas sea una aven-tura placentera? El Departamento de Matemáticas del IES Mi-guel Herrero pensamos que si conseguíamos hacer nuestra asignatura más interesante, di-vertida, e incluso lúdica, tendríamos algo gana-do. ¿Y cómo podíamos conseguirlo? La exten-sión del currículo y la limitación de tiempo para su desarrollo, así como la configuración de las clases, no dejan mucho margen para realizar actividades de esta naturaleza dentro de las aulas, por ello pensamos en algo fuera de las mismas.

EL CONCURSO Decidimos organizar para el curso 2008-2009 un concurso matemático que denominamos “Tenemos un juego”. El objetivo del concurso era acercar a los alumnos a las matemáticas desde un prisma distinto. Se pretendía hacer ver de una manera amena y divertida, a través de los problemas que se propondrían, que hay juegos, adivinanzas o historias curiosas que se apoyan para su resolución en diferentes resul-tados o procedimientos de carácter matemáti-co, fomentando el valor lúdico de la ciencia matemática.

Los problemas que los participantes (alumnos y alumnas de Primero y Segundo de Educación Secundaria Obligatoria) tenían que resolver eran de lógica y de carácter numérico, proble-mas que en nada se parecen a los que se hacen en clase. La selección de los mismos contiene algunos enunciados bastante conoci-dos por aquellos que ya tienen cierto gusto por la resolución de problemas o ejercicios sor-prendentes o curiosos pero, puesto que esta circunstancia no está demasiado generalizada entre los estudiantes a los que iba dirigido el concurso, hemos empleado tales enunciados por entender que ellos eran suficientemente atractivos para la mayoría.

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Cada diez días se propuso una hoja con dos de estos problemas y dimos unos días para resol-verlos. En un lugar del hall de entrada coloca-mos una cajita que contenía los enunciados y una urna cerrada para depositar las papeletas con los problemas resueltos, cada una con su nombre y curso.

La participación de los alumnos en esta primera edición ha sido bastante aceptable aunque esperamos que en la segunda edición de “Te-nemos un juego” aumente el número de parti-cipantes. Los premios han sido lo bastante suculentos como para que cualquiera lo intente, aunque nuestro mayor deseo es que la contri-bución de los alumnos y alumnas esté cada vez más ligada a las matemáticas y menos a los premios, aunque éstos deban mantenerse, como elemento incuestionable que es de todo concurso que se precie. Queremos mostrar nuestro agradecimiento a:

todos los alumnos y alumnas de 1o y 2o de la ESO por el interés y la participación que han mostrado en el proceso del concurso;

a los miembros del aula de interculturalidad de Torrelavega, quienes tradujeron al chino todas las pruebas, facilitando que todo el alumnado del centro pudiera participar;

a los miembros de la Asociación de Madres y Padres “Miguel Herrero Pereda” por la finan-ciación para los premios;

a los profesores que participaron en la elabo-ración y corrección de las pruebas;

y a todos aquellos que, de una u otra mane-ra, motivaron a los alumnos para que partici-paran.

LAS PRUEBAS Las pruebas se realizaron a lo largo del primer trimestre y fueron un total de cuatro. A conti-nuación ofrecemos los ejercicios que compu-sieron cada una de ellas en esta primera edi-ción de “Tenemos un juego”. Prueba 1: 1. Cuentan que Newton estaba hablando con un amigo, al que no veía desde hacía tiempo, cuando éste le propuso que calculara las eda-des de sus tres hijos. “El producto de las tres edades - le dijo - es 36 y la suma de las edades es el número de la casa de enfrente”. Newton se asomó a la ventana y respondió: “Me falta un dato”. A lo que el amigo respondió: “El ma-yor se llama como yo”. Calcula las edades de los tres hijos. 2. Rellena las siguientes cuadrículas con núme-ros del 1 al 9, teniendo en cuenta que los nú-meros colocados dentro del cuadro han de sumar lo mismo en vertical, en horizontal y en diagonal.

Prueba 2: 1. Un pueblo tiene 768 habitantes. A las 8 horas de la mañana, tres personas del pueblo se enteran de una noticia. Cada persona, en media hora, comunica la noticia a otras tres personas. ¿Cuánto tiempo tardará todo el pue-blo en saber la noticia? 2. La primera conversación telefónica de la historia tuvo lugar entre Bell y su ayudante Watson. ¿Sabrías en qué año ocurrió si…?

El lugar de las unidades es un seis.

Tiene dieciocho centenas.

El número que indica las decenas es mayor que el de las unidades, pero menor que el de las centenas.

Prueba 3: 1. Dos amigos están en una conversación, el uno le dice al otro:

Hace dos días mi hijo tenía 6 años pero el año

que viene tendrá 9.

¿Es posible? Escribe tu razonamiento.

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2. La figura siguiente está formada utilizando doce palillos iguales. Se trata de formar siete cuadrados moviendo solamente dos palillos. Dibuja tu respuesta.

Prueba 4: 1. Tres amigos hacen un fondo común de 30 euros poniendo 10 euros cada uno. Al final de la jornada les sobran 5 euros por lo que cogen un euro cada uno dejando dos en el fondo co-mún. Uno de ellos hace cuentas y dice:

Cada uno ha pagado 9 euros así que hemos

gastado 9 x 3 = 27 euros que con los 2 del

fondo hacen 29. ¿Dónde está el euro que falta? 2. Expresa el número 20 empleando cuatro nueves y dos operaciones. LOS ENUNCIADOS EN RESERVA Ante la posibilidad de que pudiera producirse un empate entre los estudiantes participantes en el concurso, se estimó oportuno tener pre-visto algún enunciado con el que lograr distin-guir a todos los jugadores (término permitido si pensamos en el título del concurso). La lista de esos problemas, digamos en reserva, es la que se ofrece a continuación, aunque en esta oca-sión no fueron precisos. 1. Los caracoles azules de Borneo caminan hacia delante 3 metros por el día y hacia atrás 2 metros por las noches. Un caracol se encuen-tra hoy al amanecer a 30 metros de una col. ¿Cuántos días tardará en llegar el caracol a la col? 2. Pon un número del 1 al 8 en cada casilla de la siguiente cuadrícula sin que se toquen en ningún sentido, ni lateral ni diagonal, con su antecesor o sucesor.

LOS PREMIOS En la primera edición de este concurso mate-mático, siete fueron los alumnos premiados, que fueron obsequiados con cheques-regalos, camisetas y llaveros.

Relación de premios que se otorgaron a los alumnos y alumnas que obtuvieron las mayores puntuaciones en “Tenemos un juego” del IES Miguel Herrero Pereda.

LAS FOTOGRAFÍAS

Algunos de los profesores que proyectaron el concurso matemático “Tenemos un juego” junto a los ganadores

del mismo.

Ganadores de la primera edición del concurso “Tenemos un juego”.

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NOVEDADES EDITORIALES

Esta sección ofrece reseñas de libros, materiales y recursos seleccionados de cuantos se han publicado o elabo-rado a lo largo del año 2009. La relación ha sido confeccionada pensando en el interés general de los lectores del Boletín, pero quizás, en opinión de alguien, hayamos dejado de lado alguna obra que mereciera la pena su aparición en esta lista. Por ello, y puesto que la sección está abierta a la participación de las editoriales y de los profesores que pueden enviarnos sus propuestas, invitamos a cuantos estén interesados, a que nos hagan llegar sus sugerencias a la dirección de correo electrónico de las personas responsables del Boletín. En todo caso, esperamos que el esfuerzo que conlleva la selección de todo este material se vea recompensado porque resulte ser atractivo y útil a la mayoría de cuantos lean estas páginas.

Revista sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Número 61. Junio 2009. Federación Española de Sociedades de Pro-fesores de Matemáticas (FESPM). Madrid. ISSN 1130-488X.

www.revistasuma.es

SUMA es una revista de didáctica de las ma-temáticas de periodicidad cuatrimestral (se publica en febrero, junio y noviembre) cuyo objetivo es tratar sobre aquellos aspectos rela-cionados con su enseñanza y aprendizaje, destinada al profesorado que trabaja en educa-ción infantil, primaria, secundaria y universita-ria. SUMA se edita en Torrent (Valencia) y la tirada actual es de 6.700 ejemplares. La revista consta de dos partes diferenciadas, artículos y secciones. En los artículos encontramos cual-quier tema relacionado con la didáctica de las matemáticas tanto a nivel divulgativo como formativo. Se publican temas sobre actividades en el aula, historia de las matemáticas, desa-rrollo analítico,... Cualquier persona puede es-cribir un artículo mientras éste cumpla con las normas establecidas y tenga el rigor que carac-teriza nuestra ciencia. Por otra parte, las sec-ciones son espacios con una continuidad en conjunto pero independiente en cada número. También se publican acontecimientos o even-tos organizados por las Sociedades Matemáti-cas o por la Federación para que esa informa-ción llegue de manera efectiva a todos aquellos que están suscritos o bien reciben la revista por pertenecer a alguna sociedad española adscri-ta a la FESPM, como la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC).

El índice del último número publicado de la

revista , el no 61, es el siguiente. Editorial.

La recta tangente: notas históricas y activida-des para el aula.

Criptografía y matemáticas.

Barro y matemáticas: 9 sucesiones y una escala.

Identificación de los errores en los contrastes de hipótesis de los alumnos de Bachillerato.

JUEGOS: Henry Perigal.

EL CLIP: Una recta, un rombo y la aparición del mono.

MATEMÁSTIC: La potencia de las TIC para el cálculo simbólico.

ARTE CON OJOS MATEMÁTICOS: Piero della Francesca y el engaño de los ojos. I El espacio.

EN LAS CIUDADES INVISIBLES X.

BIBLIOTECA: Mi biblioteca particular. Esca-parate 1: 32–2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática. Escaparate 2: Conversaciones matemáticas con Maria Antònia Canals. Escaparate 3: Las matemáti-cas de los no matemáticos.

HISTORIAS: Protoálgebra en Babilonia (1a entrega).

LITERATURA Y MATEMÁTICAS: Matemáti-cas en lo improbable 2a parte. Algunos ma-temáticos, un Caballero ludópata y el Demo-nio de Laplace.

HACE: Luca Pacioli y la Divina Proporción.

MUSYMÁTICAS: Las matemáticas de Jo-hann Sebastian Bach.

CINEMATECA: Escenas.

EL HILO DE ARIADNA: La corona de las lunas.

Análisis y desarrollo de la competencia ma-temática. Seminario federal.

Seminario sobre el Prácticum del Máster de Profesor de Secundaria en la especialidad de Matemáticas.

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Cómo superar las matemáticas de secunda-ria. Los 100 errores, despistes y olvidos que puedes evitar. Jorge Calandra Reula. Edi-ciones Tantín. ISBN: 978-84-96920-35-4. 167 páginas.

Esta obra pone en la práctica el conocido dicho "aprende de tus errores". Aplicado a los proce-sos de enseñanza-aprendizaje, este libro muestra una perspectiva nueva que abarca todos los cursos de la Enseñanza Secundaria. Se incluyen los cuatro años de ESO y los dos siguientes de Bachillerato. El autor, a lo largo de sus años de experiencia, ha analizado una serie de errores, despistes y olvidos que el alumnado comete sistemáticamente. Junto con su análisis, se dan las pautas para su elimina-ción. Es cierto, a la vista de unos cuantos miles de exámenes corregidos, que las calificaciones de los alumnos mejorarían notablemente si se erradicaran una serie de problemas habituales. Siendo conscientes de la importancia que tiene la práctica, se inserta una muestra con cien ejercicios resueltos con los que los lectores podrán comprobar si tienen superado cada problema típico.

Se añade a la obra una interesante colección de anexos. En este apartado, se recopilan to-das y cada una de las fórmulas que los estu-diantes necesitan para desarrollar los seis años de matemáticas a los que van a enfrentarse en el instituto.

Las matemáticas son como una catedral inaca-bada cuya construcción comenzó hace más de 3000 años. La colección “La matemática en sus personajes”, de la editorial Nivola, tiene como objetivo presentar, de una forma clara y al alcance de todos, cómo ha evolucionado esta ciencia hasta nuestros días. El lector será un viajero en el tiempo. Conocerá a los perso-najes que a lo largo de la historia han ido colo-cando las piedras que han proporcionado al edificio de las matemáticas el aspecto que hoy tiene. Pero conocerá no sólo a los constructo-res y a su producto acabado, sino también los materiales y andamios utilizados para ir levan-tando esta gran obra, las dificultades encontra-das y el ingenio utilizado para vencerlas. Disfru-tará así plenamente de la belleza de las mate-máticas, consideradas por tantos la reina de las ciencias.

Los títulos publicados de esta magnífica colec-ción son los siguientes.

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41. Norbert Wiener. Un matemático entre ingenieros. José María Almira. ISBN: 978-84-92493-49-4. 320 páginas.

42. Cauchy. Hijo rebelde de la revolución. Antonio José Durán. ISBN: 978-84-92493-50-0. 192 páginas.

Geometría con el hexágono y el octógono (2ª edición). Inmaculada Fernández y Encar-nación Reyes. PROYECTO SUR de Edicio-nes. ISBN: 84-8254-370-3. 152 páginas.

Los tópicos que componen los capítulos de este libro son tratados y aplicados paralelamen-te al estudio de las propiedades geométricas del hexágono y del octógono. Entre las razones para elegir estos polígonos se encuentran las siguientes: - La literatura matemática sobre estos polígonos es más escasa que la de otros. - Ofrecen diversas posibilidades de construc-ciones, disecciones, aplicaciones y recubri-mientos a partir de ellos. - Las proporciones entre diagonales, lados y radios de cada uno de estos polígonos ponen de manifiesto ponen de manifiesto la existencia e importancia de los números irracionales. - La fácil construcción de ambos polígonos regulares utilizando regla y compás. Las Matemáticas en el Cine. Alfonso Jesús Población Sáez. PROYECTO SUR de Edicio-nes. ISBN: 84-8254-367-9. 318 páginas.

Con motivo de la celebración del Año Mundial de las Matemáticas, el Comité Local de Valla-dolid consideró interesante organizar un ciclo de películas en las que las matemáticas juga-ran un papel importante en sus argumentos. Este libro recoge de forma comentada la mayor parte del material recopilado para ese ciclo y material de producciones más recientes, lle-vando a cabo un somero análisis acerca del tratamiento que el cine ha dispensado a las matemáticas. Escuela de ajedrez para jóvenes. Una guía completa para el principiante (libro+CD). Robert M. Snyder. Editorial PAIDOTRIBO. ISBN: 978-84-8019-886-9. 258 páginas.

Robert Snyder, maestro nacional de ajedrez y profesor de prestigio, introduce al joven princi-piante en este inmortal juego. Snyder enseña los principios básicos y después amplía los conocimientos del alumno, dándole instruccio-nes claras sobre cómo elegir y utilizar las estra-tegias ganadoras en la apertura, el medio juego y el final. En veinte lecciones de dificultad pro-gresiva, con más de 275 diagramas, Escuela de ajedrez para jóvenes trata: las reglas bási-cas; jaque, mate y enroque; sistemas de aper-

tura, incluyendo la Apertura Española, la De-fensa Siciliana, la Defensa Nimzo-India y la Defensa de Dama; estrategia básica de los finales; tácticas, como por ejemplo la pieza indefensa, el doble y la clavada;…¡y mucho más! Apín capón zapún amanicano (1134). Para entender: el número y sus representaciones (4ª edición). Pere Roig y Jordi Font. EUMO-OCTAEDRO. ISBN: 978-84-8063-245-3. 76 páginas.

Andrés creía que conocía los números, de hecho creía que lo controlaba todo... hasta que, después de entrar en contacto con una extraña secta, para salvar el pellejo tiene que ampliar su conocimiento sobre los números y distinguir entre lo accesorio (símbolos y palabras) y lo esencial... Nigromantes y castañas serán el puente entre dos culturas aritméticas. Este libro se completa con una guía didáctica y una pro-puesta de actividades. Leonardo Torres Quevedo. Francisco A. González Redondo. Colección Protagonis-tas de la Aeronáutica. Publicaciones AENA. ISBN: 978-84-92499-16-8. 160 páginas.

Leonardo Torres Quevedo ocupa un lugar in-discutible en la Historia Universal de la Ciencia y de la Técnica. Su contribución a esta ciencia ha sido poco difundida hasta ahora y, además, ha sido una historia plagada de incomprensión, tesón, y multitud de anécdotas que convierte su biografía casi en un arquetipo de muchas otras historias de insignes hombres de ciencia e in-ventores de todo el planeta. Patenta el trans-bordador (1887), un revolucionario sistema de funicular aéreo que, construido en el monte Ulía de San Sebastián (1907) y aún hoy funcio-nando en Niágara (Cánada), se convertirá en el primer teleférico para pasajeros del mundo. Concibe sus máquinas algébricas (1893), má-quinas de calcular analógicas que resuelven ecuaciones polinómicas. Detecta la necesidad de localizarse y “navegar” por las ciudades proponiendo sus indicadores coordinados (1896), precedente del GPS. Inventa el primer aparato de mando a distancia, el telekino (1902), reconocido como “hito” histórico en 2007 por el Institute of Electric and Electronic Engineers de los EE.UU. Y, muy especialmen-te, con su obra teórica cumbre, los Ensayos sobre Automática (1914), sus ajedrecistas (1914, 1922) y su aritmómetro electromecánico (1920), el primer ordenador en sentido actual de la historia, se adelanta en varias décadas a los pioneros de la Informática del siglo XX. Pero además, sus diseños de sistemas de dirigibles establecerán los fundamentos durante

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años de la aerostación internacional, hasta el punto de continuar vigentes hoy día, ya que los que se construyen en la actualidad incorporan soluciones que él ya había adelantado a princi-pios del pasado siglo. 50 cosas que hay que saber sobre matemá-ticas. Tony Crilly. Editorial ARIEL. ISBN: 978-84-344-8112-1. 216 páginas.

¿Quién inventó el número cero? ¿Por qué hay 60 segundos en un minuto? ¿Cómo es de grande el infinito? ¿Dónde se cruzan las líneas paralelas? ¿Es cierto que el aleteo de una ma-riposa puede causar una tormenta en la otra punta del mundo? En 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas, el profesor Tony Crilly explica 50 conceptos matemáticos -antiguos, modernos, cotidianos y esotéricos- que nos permitirán entender y dar forma al mundo que nos rodea. Empezando por el nú-mero cero, 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas introduce los orígenes de las matemáticas, desde las fracciones egipcias hasta los números romanos, define el casi místico significado de pi y de los números pri-mos, de los números de Fibonacci y de los rectángulos áureos, explica todo aquello que no enseñan en el colegio, lo que se puede lle-gar a hacer con el cálculo, la estadística y el álgebra, y la verdadera utilidad de los números imaginarios, ilumina sobre las grandes ideas de la relatividad, la teoría del caos, los fracta-les, la genética y el ciberespacio, desvela el razonamiento oculto que hay detrás del sudo-ku, la lotería, los juegos de azar y el interés compuesto, y explora los últimos descubri-mientos, entre ellos la resolución del último teorema de Fermat y la pregunta del millón sobre la teoría de Rieman. Mejora tu vida con el secreto del 80/20. Ri-chard Koch. VIAMAGNA ediciones. ISBN: 978-84-92688-28-9. 256 páginas.

Es posible relajarse, disfrutar de la vida, dar prioridad a los seres queridos, expresarse al máximo y además conseguir que los sueños se hagan realidad. Richard Koch afirma que la felicidad fluye al hacer menos, no al esforzarse más. Quizá esto no sea una sorpresa para algunas personas. Pero es que también asegu-ra que podemos conseguir logros y alcanzar el éxito haciendo menos esfuerzos. Después de todo, al final tenemos una comida gratis, y el sabor es increíble. Esta afirmación está basada en la revolucionaria investigación que el autor llevó a cabo sobre el «principio del 80/20» (am-pliamente comprobado). Aunque no está claro el porqué, casi siempre es cierto que la gran mayoría de los resultados surgen de una pe-queña minoría de motivos o esfuerzos, es de-

cir, que el 80% de los resultados proviene de apenas un 20% de las causas. Por ejemplo, el 80% de las ventas normalmente se debe a un 20% de clientes, enviamos más del 80% de los correos electrónicos a menos de un 20% de las personas que tenemos en nuestra agenda de contactos y menos de un 20% de los motoristas causan más de un 80% de los accidentes. Me-jora tu vida con el secreto del 80/20 nos mues-tra cómo podemos aplicar estos conceptos de “menos es más” y “más con menos” a nuestro mejor 20% para conseguir éxito, dinero, rela-ciones con otras personas y una vida buena. 2012. Brian D´Amato. VIAMAGNA ediciones. ISBN: 978-84-92688-64-7. 736 páginas.

Según los cálculos realizados por los ordena-dores especializados en Astrofísica, sabemos que exactamente el 21 de diciembre de 2012 Venus desaparecerá por el horizonte en el oes-te, al tiempo que las Pléyades se alzarán por el este. Para los mayas, esto marca el final del ciclo temporal de Venus. El planeta y la Huma-nidad entrarán en una nueva era. Los descu-brimientos más recientes también son inquie-tantes. La Tierra gira cada vez más lentamente sobre sí misma. Si hoy su rotación es de 24 horas, hace 400 millones de años era de 22, mientras que su frecuencia de resonancia se ha acelerado significativamente en los últimos años. Nuestro sol terminará su revolución com-pleta en torno al centro de la galaxia en los últimos meses de 2012 (esta órbita tarda 26.000 años en completarse). Según la Teoría del Punto Cero, en ese momento la Tierra em-pezará a girar en sentido contrario, invirtiendo los campos magnéticos, como ya ha ocurrido otras veces en el pasado geológico del planeta. Jed eLanda, descendiente de los mayas, tiene una mente prodigiosa para las matemáticas y pasa la mayor parte de su tiempo jugando al GO contra su ordenador, mientras vive de los beneficios que le dan sus negocios en la red. ¿Cuál es el secreto de su éxito? El juego de Adivinación Maya utilizado antiguamente para predecir acontecimientos del futuro. Pero el fin del mundo se acerca. Comienza la cuenta atrás. Jed deberá averiguar por qué los mayas predijeron el fin de los tiempos en esa fecha e iniciar la búsqueda de la clave que le ayude a evitar el Armagedón. ¿Podrá un hombre salvar al planeta? El salto del tigre. Las matemáticas de la vida cotidiana. John D. Barrow. Colección Dra-kontos. CRÍTICA. ISBN: 978-84-9892-016-1. 338 páginas.

"Las matemáticas -nos dice el profesor Barrow, director del Millennium Mathematics Project de la Universidad de Cambridge- nos dicen cosas

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sobre el mundo que no se pueden aprender de ningún otro modo". Nos lo demuestra con este libro, gozoso y divertido, en el que responde a un centenar de preguntas esenciales para nuestro conocimiento de la vida que van del caos al infinito y pasan por "todo lo que hay en medio": la teoría de juegos, la contabilidad "creativa", las apuestas deportivas, los divor-cios, las obras de Shakespeare, el salto del tigre o las bicicletas con ruedas cuadradas. "Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas, es sólo porque no se da cuenta de lo complicada que es la vida".

John von Neumann Numerati: lo saben todo de ti. Stephen Ba-ker. SEIX BARRAL. ISBN: 978-84-3223-195-7. 240 páginas.

Nos están vigilando. Una llamada con el móvil, un pago con tarjeta de crédito, un clic en Inter-net… y cada uno de nuestros pasos queda registrado en monumentales bases de datos. Toda esta información resulta insignificante por separado, pero agrupada revela incluso nues-tros secretos más inconfesables. ¿Quién ex-amina estos datos y con qué propósito? La respuesta es tan sorprendente como descon-certante. Una nueva mafia matemática, los Numerati, trabaja sin tregua para empresas, gobiernos y partidos políticos. Su meta es ana-lizar nuestros actos para averiguar nuestros hábitos: qué compramos, a quién votamos, e incluso a quién amamos. Los resultados son funestos: manipulan nuestra conducta, nuestra privacidad se evapora. Stephen Baker, reputa-do experto mundial en esta revolución tecnoló-gica, muestra por primera vez cómo un desco-nocido y potente objetivo, la modelación mate-mática de la humanidad, está transformando nuestras vidas, y nos enseña cómo podemos sacar provecho de este nuevo mundo.

El artista y el matemático. Amir D. Aczel. GEDISA editorial. ISBN: 978-84-9784-326-3. 208 páginas.

Este libro presenta una historia singular que vincula a algunos de los protagonistas y algu-nas de las ideas más trascendentes de la cultu-ra occidental del siglo XX: Pablo Picasso, Claude Lévi-Strauss, Simone Weil, el estructu-ralismo y la matemática de conjuntos,… todos unidos por una persona que no existió. “Nicolas Bourbaki” fue el nombre que un grupo de ma-temáticos usó para reescribir los libros de texto de su tiempo y para desarrollar -a partir de la teoría de conjuntos- una serie de innovadoras propuestas teóricas que muy pronto tuvieron repercusiones importantes en los campos de la sociología, el arte y la filosofía. Los primeros textos matemáticos de Nicolas Bourbaki se publicaron en la década de 1930, y muchos otros les siguieron durante casi cincuenta años. Junto con el trabajo que realizó este grupo, pueden ser considerados como un producto o como una de las causas principales de una gran revolución que ocurrió en las primeras décadas del siglo pasado y que cambió com-pletamente la cultura occidental. Las matemáti-cas puras, el área de trabajo de Bourbaki, pa-recían alejadas del mundo real, sin embargo han sido muchas las ocasiones en que los hallazgos importantes en este campo han re-percutido rápidamente en otras áreas de la ciencia, en las artes o en la cultura popular. El lector tiene ante sí una historia que expone las bases del trabajo de Bourbaki sin exigir cono-cimientos matemáticos demasiado profundos; en gran parte es la historia de los miembros del grupo original, pero también es la historia de algunos de los episodios más importantes del siglo XX (la Guerra Civil Española o la Segunda Guerra Mundial) y de algunas de las corrientes artísticas y filosóficas más relevantes de los últimos tiempos.

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La proporción: arte y matemáticas. Joaquín Giménez (coordinador). Serie: Didáctica de las matemáticas. Colección: Biblioteca de Uno, 266. Editorial Graó. ISBN: 978-84-7827-777-3. 162 páginas.

En un momento en que todos los currículos modernos hablan de conectar la matemática a la realidad cotidiana y otras competencias, es bueno reflexionar sobre lo específico de las relaciones entre la competencia artístico-cultural y la matemática. Si bien este libro apor-ta más reflexiones sobre la pintura, no se deja de lado la arquitectura, el diseño, los mapas, el uso de las TIC, la escultura y la música. Se respira a Pitágoras, Barents, Durero, Leonardo da Vinci y Ghyka, pero también a Rafael, Bote-ro, Dalí, Oldemburg, Borrás, Van der Lan, Le Corbusier y muchos otros artistas. Se decide hablar de proporciones desde lo geométrico y numérico porque es un tema recurrente y fe-cundo en esta conexión entre lo artístico-cultural y lo matemático, que ha apasionado a toda la humanidad. Matemáticas para estimular el talento. Acti-vidades del Proyecto ESTALMAT. Antonio Pérez y Mercedes Sánchez (coordinadores). Sociedad Andaluza de Educación Matemáti-ca THALES. ISBN: 978-84-935760-2-8. 232 páginas.

En 1998 el profesor D. Miguel de Guzmán, con el apoyo de la Real Academia de Ciencias, puso en marcha el proyecto ESTALMAT, EStí-mulo del TALento MATemático, en la Comuni-dad de Madrid. Diez años después, el proyecto se ha extendido por toda la geografía española y ahora ve la luz, por primera vez, una publica-ción donde se desarrollan algunas de las acti-vidades matemáticas diseñadas por profesores de las diferentes sedes de ESTALMAT. La idea que ha guiado a los autores del libro en la ela-boración de este trabajo ha sido proponer, y poner a disposición de todos aquellos que quie-ran estimular el talento matemático de los más jóvenes, algunas de las actividades desarrolla-das en ESTALMAT. Los autores, como grupo, las han compartido y disfrutado. Con ellas han aprendido y comprendido que es la riqueza del enfoque lo que hace atractivo el conocimiento matemático a aquellos que muestran un talento precoz. En este primer volumen se presentan una selección de temas que se han desarrolla-do a lo largo del primer año del proyecto: Gra-fos, Números, Geometría, Juegos de estrate-gia, Visualización, Criptología, Fractales y Azar. Todos se presentan bajo un aspecto lúdico sin abandonar la precisa reflexión matemática, adecuando rigor y juego a los estudiantes a

quienes están dirigidos. El principal objetivo de las actividades presentadas es crear condicio-nes para desarrollar la creatividad matemática, desterrar la indiferencia a la novedad, capacitar a nuestros jóvenes para afrontar pensamientos complejos y fomentar en ellos el esfuerzo inno-vador que nuestro desarrollo científico necesita. Las actividades nos invitan a descubrir resulta-dos relevantes de las matemáticas sin eludir algunas de sus dificultades, nos informan y equipan con el método y las estrategias mate-máticas, e incluso nos introducen en exóticos jardines que algunos creían reservadas selvas para expertos cazadores. El libro está escrito con la esperanza, virtud tan irracional como bella, de que en él halléis luz para enseñar matemáticas. 25 Olimpiadas Matemáticas “Thales”. Situa-ciones problemáticas. Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES. ISBN: 978-84-935760-4-2. 176 páginas.

Este libro es fruto del trabajo desinteresado de compañeros que a lo largo de los 25 años de la Olimpiada Matemática Thales han propuesto situaciones problemáticas para que los alum-nos, de 8o de EGB en las primeras ediciones y con posterioridad los alumnos de 2o de ESO, resolvieran y aportaran soluciones ingeniosas, no imaginadas por los profesionales de la en-señanza. Los problemas que se recogen en el libro son los propuestos en las fases provincia-les y regionales, y son reflejo de la evolución y acontecimientos acaecidos a lo largo de este tiempo. Pero, en todo momento, se ha sido fiel a los objetivos de la Olimpiada, que son, entre otros, mejorar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y apoyar e impulsar la innova-ción en la forma de hacer matemáticas desarro-llando capacidades de intuición, razonamiento, imaginación, deducción, etc.

Publicaciones de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

Pueden consultarse las obras publicadas en la página web del Servicio de Publicaciones de la FESPM: http://perso.wanadoo.es/csap/html

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La editorial CCS presenta la colección Ciudad de las Ciencias, una colección de libros de metodología didáctica para la enseñanza-aprendizaje de las ciencias y de materiales pensados para la adquisición, el descubrimien-to y la construcción de los conceptos científi-cos.

Serie EDUCADORES:

1. La numeración y las cuatro operaciones ma-temáticas.

2. La secuenciación de contenidos matemáti-cos I.

3. Hablando de inventos…

4. La naturaleza del conocimiento.

5. El número de dos cifras.

6. Cómo enseñar matemáticas para aprender mejor.

7. Procesos y técnicas de trabajo en Ciencias Físicas.

8. La fotografía en el conocimiento del medio geográfico.

9. Números en color.

10. 1.475 ítems de Física y Química.

11. Aprendiendo Física básica en el laboratorio.

12. Aprendiendo Ciencias de la Naturaleza en la cocina.

13. Enseñar Historia del Arte.

Serie ALUMNOS:

1. Numerator.

2. Un pez chiquitín llamado Benjamín.

3. Las nubes del país de la fantasía virtual.

4. La tortuga Botarruga.

5. El hipopótamo gracioso y fuerte.

6. Los animales que se escaparon del circo.

7. Tomatina del monte.

8. La caja de los números 1.

9. La caja de los números 2.

10. Si te quieren, serás lo que eres.

11. Vamos a aprender… números.

12. Vamos a aprender… letras.

13. Vamos a aprender… formas.

Serie INGENIO:

1. Problemas de ingenio para Primaria. Mi-quel Capó Dolz. Editorial CCS. ISBN: 978-84-9842-301-3. 108 páginas.

¿Estudias Educación Primaria y piensas que las matemáticas son difíciles y aburridas? Su-mérgete en las páginas de este libro y podrás comprobar que no es así. Te esperan en él un

montón de retos que obligarán a pensar hasta conseguir resolverlos y te ayudarán a desarro-llar tu pensamiento lógico y matemático. Te enfrentarás a puzzles geométricos, problemas con palillos y monedas, algún solitario, dibujos escondidos, figuras de trazo continuo, alguna ilusión óptica, sucesiones numéricas, balanzas y pesos, problemas numéricos, relojes, alguna paradoja, números perfectos, deficientes, abundantes y unos cuantos problemas de pen-samiento lateral. ¡Ánimo y a resolver!

2. Problemas de ingenio para Primer Ciclo de Secundaria. Miquel Capó Dolz. Editorial CCS. ISBN: 978-84-9842-302-0. 140 páginas.

¿Te has preguntado en cuántos trozos puedes llegar a partir una pizza utilizando solamente cuatro cortes rectos? ¿Te gustan los sudokus? ¿Te gusta montar puzzles? ¿Es mejor una oferta 3x2 u otra en la que te ofrecen la segun-da unidad a mitad de precio? ¿Sabes qué es una espiral áurea? ¿Por qué los corredores que van por pistas diferentes en una carrera de atletismo salen desde posiciones diferentes? ¿Qué tienen que ver con las matemáticas cua-tro cabras atadas? ¿Y un camello que carga plátanos? ¿Te gustan los problemas de lógica? ¿Sabes qué son los pentaminós? ¿Y los poli-cubos? ¿Y los tetrahexes? ¿Qué significa cua-drar un rectángulo? ¿Quieres montar un cuboc-taedro? Si te gustan las matemáticas o quieres descubrir cómo puedes aprender algo, a la vez que te diviertes, intenta resolver estos proble-mas. En este libro encontrarás todo tipo de cuestiones relacionadas con esta bella ciencia que en muchas ocasiones ha tenido mala pren-sa. ¡Las matemáticas se pueden entender!

3. Problemas de ingenio para Bachillerato. Miquel Capó Dolz. Editorial CCS. ISBN: 978-84-9842-303-7. 188 páginas.

¿Crees que es fácil cruzar un río con una bar-ca? ¿Los egipcios multiplicaban como lo hace-mos nosotros? ¿Se parecían sus fracciones a las nuestras? ¿Qué son los números de Schro-der? ¿Son los primos “sexys” los de zumosol? ¿Qué son los primos de Mersenne? ¿Cuando miras una puesta de sol, sabes calcular a qué distancia se pone? ¿Qué tienen que ver las abejas con los números de Fibonacci? ¿Qué son las circunferencias de Torricelli? ¿Cómo se reparten los escaños en función del número de votos obtenidos por cada partido? ¿Sabías que en el libro El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha hay matemáticas? ¿Sabías que hay un algoritmo que nos ayuda a calcular el día y el mes en el que cae el domingo de Pascua? ¿Los rusos multiplicaban como nosotros? ¿De cuántas formas podemos cortar una pizza en tres trozos iguales? ¿Qué relación hay entre matemáticas y criptografía? ¿Sabías que el

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símbolo del euro está estrictamente estudiado? ¿Eres capaz de descubrir la lógica de la suce-sión 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1? Si las matemáticas te gustan y quieres retarte a ti mismo este libro te proporcionará horas de diversión. Además de entretenerte y poner en movimiento tus neu-ronas aprenderás conceptos matemáticos que, seguramente, no conocías. Lo interesante de resolver un problema consiste en la satisfac-ción personal de haberlo conseguido, sin nece-sidad de obtener ninguna otra recompensa. ¡Anímate a conseguir esta satisfacción!

Everest acaba de publicar una colección de cuatro cuadernos de Matemáticas para cada curso de Primaria. En estos cuadernos se en-cuentran propuestas de actividades y una parte teórica, que ayudarán al alumno a comprender los contenidos más significativos del curso. Todas las actividades ya se han puesto en práctica en el aula y los resultados han sido

muy positivos. El alumno podrá realizar las actividades en su totalidad, ayudándose de los contenidos que clarifican las dudas. Las pági-nas de autoevaluación sirven para valorar lo que el alumno ha aprendido.

Los nuevos libros de texto y cuadernos de re-fuerzo y ampliación de la editorial Almadraba tienen como eje central de sus objetivos educa-tivos la adquisición de las competencias bási-cas. Los libros de texto hacen especial hinca-pié en la presencia de las matemáticas en la vida cotidiana, así como sus vínculos con otras disciplinas y, en general, su importancia en la sociedad, la cultura y el conocimiento. En cada unidad práctica programada se encuentran los siguientes elementos a modo de recursos di-dácticos: un texto de lectura, cuya función esencial es contribuir a un mayor dominio de la lectura por parte de los alumnos, una propues-ta específica y señalizada de actividades TIC (tecnologías de la información y la comunica-ción), un vocabulario de inglés, que contiene las palabras o expresiones más relevantes de cada unidad didáctica, y una propuesta de actividades. Por su parte, los cuadernos de refuerzo y ampliación se pueden utilizar duran-te el curso escolar, como complemento del libro de texto, o a lo largo de las vacaciones de ve-rano, para repasar. La conjunción de todos estos elementos es una muestra evidente del carácter absolutamente renovador de los libros y materiales didácticos de la editorial Almadra-ba, y de su adecuación y respuesta didáctica a la nueva ley educativa.

Los materiales de Anaya para las matemáticas se relacionan a continuación. El libro del alum-no potencia, de forma especial, las claves de la competencia matemática, facilitando así la apli-cación de los procesos matemáticos a situacio-nes cotidianas y el conocimiento de procesos de pensamiento, con el objetivo de generar aprendizajes y razonar. El CD-ROM del alum-no es una herramienta que permite trabajar, de modo diferente del propuesto en el libro del alumno, algunos de los contenidos del curso. Constituye un elemento eficaz para fomentar el trabajo autónomo, afianzar el uso de las nue-vas tecnologías y consolidar el interés por aprender a aprender. Anaya ofrece, para cada curso, un amplio conjunto de materiales y re-

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cursos para el profesorado: una propuesta didáctica en tres volúmenes, un CD-ROM de evaluación y un CD-ROM de recursos didác-ticos, la programación del curso, recursos fotocopiables para el tratamiento de la di-versidad y pruebas fotocopiables para pre-parar las pruebas de diagnóstico.

McGraw-Hill presenta su nuevo proyecto edito-rial, un proyecto educativo que responde per-fectamente a las necesidades planteadas por el profesorado. Con los elementos que componen este proyecto se pretende contribuir a una for-mación integral del alumno, ser la base de su futuro, logrando así el reto de alcanzar el perfil profesional que la sociedad actual demanda. El proyecto se compone de los materiales para el alumno (el libro, sencillo a la vez que prácti-co, riguroso, claro y directo; y el CD, concebido como elemento imprescindible para el trabajo del alumno), la carpeta de recursos elabora-da para el profesorado (la guía didáctica, el CD, el solucionario y las fichas de trabajo para la atención a la diversidad) y un centro de enseñanza online.

Todas las actividades de los nuevos libros de texto del alumno de la editorial Vicens Vives están orientadas a la consecución de las com-petencias básicas.

En cada tema de la guía didáctica se especifi-can y detallan las competencias básicas que se trabajan en las actividades del alumno.

La libreta de competencias básicas del alumno está organizada por temas, cada uno de los cuales está subdividido en apartados, Cada apartado consta de un pequeño resumen de los contenidos tratados en el libro de texto y de una serie de actividades relacionadas con ellos. Todas las actividades de la libreta se han orientado a la consecución de las competen-cias básicas establecidas en el currículo. Las actividades están pensadas para ser realizadas a partir de los resúmenes de la propia libreta, los conocimientos de los alumnos y de informa-ción que puedan obtener en enciclopedias, diccionarios, libros, Internet… Las competen-cias básicas trabajadas en las actividades se hallan indicadas.

Los libros del alumno de ESO del proyecto editorial de Casals: - se organizan en cinco bloques temáticos:

números y operaciones, geometría y medida, álgebra, funciones, estadística y probabilidad,

- incluyen apartados y actividades dirigidos a la adquisición de las competencias básicas,

- relacionan los conceptos y procedimientos matemáticos con ejemplos resueltos,

- presentan un abundante banco de activida-des de aprendizaje y de consolación de co-nocimientos,

- incorporan las tecnologías de la información, la comunicación y el cálculo.

Las propuestas didácticas contienen la pro-gramación de aula y el solucionario del libro del alumno.

El objetivo de los cuadernos “Refuerzos y Recuperación” es facilitar al alumno el apren-dizaje de los contenidos más importantes del programa de matemáticas de cada curso. En cada unidad se encuentran breves explicacio-nes teóricas, actividades para practicar, pro-blemas y autoevaluación cuyas soluciones aparecen en la separata adjunta al cuaderno.

Ejercicios y problemas de Bachillerato, 4 cuadernos prácticos de repaso de la editorial Casals.

Con el proyecto más que uno para ESO, Edel-vives quiere dar respuesta a la actual realidad social y cultural, regulada por la LOE, y cons-ciente de nuevas necesidades en la comunidad educativa. El interés de Edelvives por garanti-zar la calidad de las enseñanzas, atender a la diversidad, permitir la adquisición de las com-petencias básicas y contribuir a formar mejores personas y mejores ciudadano les ha animado a concebir un nuevo proyecto editorial para dar servicio a todas las personas implicadas en esta etapa educativa. Desde su ideario de

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compromiso e innovación, tras escuchar a los profesores y estar presentes en las aulas re-ales, Edelvives ha apostado por ofrecer una amplia variedad de materiales en distintos so-portes que faciliten el aprendizaje autónomo y eficaz de los alumnos y ayuden al profesor en su labor diaria. Entre los materiales que Edelvi-ves presenta hay: libros, lectura activa, cua-dernos para vacaciones, cuadernos de es-trategias y cuadernos de ejercicios y pro-blemas (para el alumno) y propuesta didácti-ca, recursos fotocopiables y CD de recursos mutilmedia (para el profesor).

Mira Editores dispone de unos cuadernos de trabajo de ESO y de Bachillerato que son el fruto de la labor de un equipo docente que ha trabajado en coordinación desde hace muchos cursos y que garantiza que este material esté ampliamente contrastado en el aula. Estos cuadernos nacen con el objetivo de que el alumnado se acerque a las matemáticas a tra-vés de los problemas y comprenda, por medio de la manipulación práctica de los conceptos, las cuestiones más importantes de las mimas. Bien como libro de texto, como material de refuerzo o como cuaderno de repaso, estos cuadernos son de gran ayuda para desarrollar las capacidades matemáticas del alumnado.

Mira Editores ha estructurado cada curso de ESO y cada curso de Bachillerato (de las mo-dalidades Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Ciencias Sociales) en tres cuadernos, uno por trimestre lectivo. Cada cuaderno de ESO tiene una media de 68 páginas e incluye, para cada concepto tratado, una introducción teórica, ejemplos, problemas resueltos y pro-blemas propuestos con sus soluciones finales. Cada cuaderno de Bachillerato tiene 96 pági-nas e incluye, en cada capítulo, los resultados teóricos fundamentales y los problemas pro-puestos que están graduados en orden de difi-cultad creciente para que cualquier estudiante alcance una comprensión adecuada y completa

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de los temas tratados. Además, y con el fin de facilitar el trabajo, tras cada uno de los ejerci-cios se ha dejado el espacio en blanco suficien-te para que estudiantes de tipo medio puedan realizarlos en el mismo cuaderno.

Estadística elemental con Excel 2000. Víctor Arenzana Hernández y Santiago Arenzana Romeo. ISBN: 84-8465-138-X. 135 páginas.

La hoja de cálculo Excel es un software que se encuentra disponible en la mayor parte de los ordenadores actuales y es una aplicación in-formática de una potencia extraordinaria debi-da, fundamentalmente, a que puede manejar una gran cantidad de datos, a que posee un gran número de fórmulas predefinidas, deno-minadas funciones, a su sencillez en la defini-ción y manejo de fórmulas definidas por el usuario y a su capacidad de recalcular todas las fórmulas cuando se modifica alguno de los datos. Estas propiedades convierten a la hoja de cálculo Excel en una herramienta de enorme utilidad en el tratamiento de los problemas es-tadísticos, ya que hace posible eliminar los tediosos procedimientos manuales con datos agrupados, permite suprimir el manejo de ta-blas estadísticas, pues las tiene incorporadas como funciones Excel y, como facilita en ex-tremo los trabajos mecánicos, permite dedicar nuestra atención a los conceptos estadísticos, manejándolos y estudiando la variación de ciertos parámetros cuando se modifican los datos. En el primer capítulo del libro se hace una sucinta aproximación al manejo de la hoja referente a la introducción de datos y al manejo de fórmulas en ella. En el segundo capítulo se estudian las variables estadísticas unidimen-sionales con el agrupamiento automático de datos en tablas de frecuencia con Excel, así como las medidas de centralización y disper-sión y el resumen estadístico Excel. En el ter-cer capítulo se estudian la correlación y la re-gresión y se emplean las facilidades que permi-te la hoja para el cálculo de las mismas y para mostrar ejemplos curiosos. En el cuarto y quin-to capítulos se exponen las distribuciones bi-nomial y normal y las distribuciones de mues-treo y el cálculo de intervalos de confianza.

La editorial Editex presenta los siguientes ma-teriales y recursos para profesores y alumnos.

Libros de texto: Todos los libros de texto de matemáticas siguen el currículo oficial estable-cido en la LOE. Cada unidad didáctica contiene una gran variedad de ejemplos y actividades resueltas e incluye la sección Informática ma-temática para trabajar las matemáticas con el ordenador. Todos los libros llevan incluido un CD para el alumno con la herramienta “Ma-temáticas de Microsoft”. Mediante este pro-grama, el alumno puede ampliar, profundizar y desarrollar su razonamiento matemático, a través del manejo de hojas de cálculo, la repre-sentación de funciones, la resolución de ecua-ciones, la comprensión de fórmulas, la visuali-zación de gráficas en 2D y 3D,… Al mismo tiempo que se consolida su aprendizaje, tam-bién se favorece la utilización de las nuevas tecnologías. Por otro lado, todos los libros de texto van forrados con el objetivo de mantener los libros en buen estado y ahorrar gastos y molestias a los padres.

Cuadernos de trabajo: Los cuadernos de re-fuerzo de matemáticas nacen con el objetivo de convertirse en una herramienta de apoyo y de refuerzo de los contenidos y competencias básicas de la asignatura. Son adecuados para ayudar al alumno/a durante el curso y también como consolidación y recordatorio durante las vacaciones. Incluyen introducciones teórico-prácticas para cada concepto tratado y una media de 350 actividades por cuaderno con sus soluciones finales.

Guías didácticas: El material para el profesor incluye proyecto curricular, programación de aula, solucionario y generador de pruebas de evaluación (aplicación que permite crear exámenes y preguntas con diferentes niveles de dificultad de distintas unidades).

Recursos web: Editex ha habilitado en su web www.editex.es la Zona para Profesores donde el profesor registrado puede descargar los re-cursos de su libro en cualquier lugar y a cual-quier hora, además de solicitar el libro en for-mato e-book de manera gratuita.

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Colección Vidas Geniales de la Ciencia: Esta colección es la forma más atractiva de acercar-se a la ciencia y de conocer a los grandes que han cambiado la historia de la humanidad. Se trata de una colección en la que, en clave de humor, algunos de los personajes más brillan-tes de la ciencia nos relatan, en primera perso-na, su vida y sus descubrimientos llenos de anécdotas curiosas y divertidas. Estos libros tienen un trasfondo formativo ligado al currícu-lum de las diferentes asignaturas de la ESO, incluida las matemáticas. Los títulos ya publi-cados de la colección son los siguientes:

Arquímedes y sus máquinas de guerra. ISBN: 978-84-9771-374-0.

Leonardo y la mano que dibuja el futuro. ISBN: 978-84-9771-372-6.

Edison, cómo inventar de todo y más... ISBN: 978-84-9771-373-3.

Einstein y las máquinas del tiempo. ISBN: 978-84-9771-371-9.

Lavoisier y el misterio del quinto elemento. ISBN: 978-84-9771-377-1.

Mendel y la invasión de los OGM. ISBN: 978-84-9771-376-4.

El autor de estos libros es el escritor y dibujante Luca Novelli.

Otros títulos en preparación son: Volta, Mada-me Curie, Hipócrates… y muchos más.

Materiales de Matemáticas para Bachillera-to: Los materiales de Santillana forman parte de un proyecto basado en el conocimiento de la realidad de las aulas, en el que se combina la vocación escolar con la actualización didáctica y conceptual. Entre sus características, desta-can las siguientes:

- Conceptos claros, sencillos y rigurosos. La teoría necesaria, sin demasiada exten-sión, y una inmensa cantidad de ejercicios resueltos y propuestos.

- Elementos de motivación, como la sección Literatura y Matemáticas con la que se abre cada unidad.

- Tratamiento de los conocimientos previos. En cada unidad aparece el repaso de todo lo que hay que saber.

- Gran cantidad de ejemplos. La sección Hazlo así presenta los procedimientos que hay que seguir para resolver los problemas y ejercicios clave. Los ejercicios resueltos del final de la unidad están agrupados por con-ceptos y epígrafes y explican cómo se re-suelven los problemas tipo.

- Una gran cantidad de actividades. Hasta 150 actividades propuestas por tema.

- Presencia de las pruebas de selectividad en los textos de 2o: un 60% de las activida-des aparecieron en pruebas reales. El texto del alumno y el material del profesorado in-cluyen numerosas pruebas resueltas.

Cuadernos de Matemáticas: Santillana dispo-ne de 15 cuadernos de 1o y 2o de ESO, en ca-da uno de los cuales se aborda un contenido matemático muy concreto que el profesor pue-de ajustar con toda flexibilidad a su programa-ción, ya que gran número de ejercicios y pro-blemas refuerzan los contenidos de la misma y ayudan a la adquisición de hábitos de orden y

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presentación relacionados con las dificultades y errores más frecuentes de los alumnos. Cada cuaderno contiene las soluciones de todos los ejercicios propuestos, con la información sufi-ciente para que el alumno sea capaz de auto-corregirse. Al final de cada cuaderno hay una doble página denominada Comprueba lo que sabes, con ejercicios y problemas que abarcan todos los contenidos trabajados en el cuaderno. Cada actividad o grupo de actividades de esta doble página está relacionada con los criterios de evaluación correspondientes y sirve al alumno para el autocontrol del propio aprendi-zaje.

Pensar en Matemáticas: Los objetivos priorita-rios de los cuadernos de Vacaciones Santillana Pensar en Matemáticas, para alumnos y alum-nas de 1o y 2o de ESO, son: mantener el hábito de estudio y trabajo de los alumnos, y propor-cionar escenarios para el desarrollo del razo-namiento y la creatividad. Estos cuadernos abordan el área de Matemáticas desde una orientación de taller, donde se vinculan conte-nidos curriculares y prácticas de elaboración y creación personal. Este proyecto está orienta-do, por lo tanto, al repaso, al refuerzo, al desa-rrollo de la creatividad y el razonamiento, y a la aplicación creativa de los aprendizajes en el área de Matemáticas. Pensar en Matemáticas parte de los textos que son pequeñas historias, acertijos lógicos o numéricos, cómics, etc., en los que se plantean situaciones problemáticas. Sobre ellos los niños y niñas deberán seguir la secuencia de trabajo y resolver el problema. El objetivo central de este material es el desarrollo de las capacidades de razonamiento (numéri-co, geométrico, espacial,…)

Malditas matemáticas. Alicia en el País de los Números (15ª edición). Carlo Frabetti. Alfaguara Juvenil. ISBN: 978-84-204-6495-4. 136 páginas. Alicia detesta las matemáticas y piensa que no sirven para nada... hasta que un día un extraño personaje, que resulta ser Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Ma-ravillas, la lleva a conocer el País de los Núme-ros. Allí, y tras correr las más increíbles peripe-cias, comprenderá que las matemáticas no sólo son útiles sino también divertidas.

El señor del Cero (32ª edición). María Isabel Molina. Alfaguara Juvenil. ISBN: 978-84-204-6493-0. 160 páginas. Corre el siglo X y, en la Península, el Califato de Córdoba irradia un gran esplendor cultural. En este escenario, José, un joven mozárabe que posee una sor-prendente capacidad para el cálculo, se ve obligado a abandonar su tierra ante el recelo que despierta su habilidad entre sus ignorantes vecinos. Un hermoso canto a la amistad, sin barreras de religión ni ideológicas.

El proyecto ÁNFORA de Oxford Educación proporciona al profesorado de la ESO una op-ción práctica, rigurosa y didáctica para la ense-ñanza de las Matemáticas. Todos los recursos y materiales que conforman el proyecto tienen como objetivo desarrollar la competencia ma-temática de los alumnos mediante: ~ Una ex-posición de contenidos didáctica y estructura-da, que parte de los conocimientos previos del alumno. ~ Gran cantidad de actividades. ~ Uso de estrategias para la resolución de problemas. ~ Aviso y corrección de los errores más fre-cuentes. ~ Uso de las nuevas tecnologías.

Partiendo de estas premisas comunes el profe-sor puede elegir entre dos metodologías dife-rentes:

- Serie COTA con una metodología inductiva y cuyas claves son la reflexión del propio alumno y la evaluación final de cada unidad así como las actividades innovadores (de in-vestigación, manipulación, trabajo en gru-po...)

- Serie TRAMA con un metodología deductiva que proporciona una gran variedad y canti-dad de actividades tanto aplicación para cada contenido como de repaso de varias unida-des. Además, establece un sistema de eva-luación inicial, continua y fina de cada uni-dad.

El proyecto se compone de: libro del alumno (para el alumno) y libro del profesor que in-cluye justificación metodológica, programación de la unidad, esquema de contenidos de cada unidad y explotación didáctica de cada página del libro del alumno, carpeta de recursos (fo-tocopiables de refuerzo, ampliación, pruebas de evaluación, evaluación de competencias, etc..), colección de CD-ROM de recursos donde destacan el generador de evaluaciones y las presentaciones (PowerPoint) y los ele-mentos animados (Flash) sobre los contenidos fundamentales de cada curso (para el aula y el profesor).

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Oxford Educación completa su oferta para el área de Matemáticas mediante otros materiales que cubren diferentes objetivos, los cuales disponen de su versión solucionada para el profesor: cuadernos Oxford de ejercicios para reforzar diferentes conceptos matemáticos (números, geometría, etc.) y que conforman un perfecto complemento a cualquier libro de tex-to, cuadernos “Aprueba tus exámenes” es-

pecíficamente indicados para repasar los con-tenidos mínimos del curso y preparar los exá-menes de recuperación de junio y septiembre, cuadernos “Demuestra tu competencia ma-temática” para preparar la Prueba de la eva-luación de diagnóstico y cuadernos de Re-fuerzo elaborados expresamente para la mate-ria optativa de Refuerzo de Primer Ciclo de Secundaria.

Entre el material complementario de matemáticas de SM destacamos: Pruebas de diagnóstico (para superar con éxito las pruebas de diagnóstico basadas en la evaluación por competencias), Matemá-ticas básicas (conocimientos previos necesarios para la ESO y útiles para atender graves desfases curriculares), Resolución de problemas (estrategias matemáticas de resolución de problemas), Re-fuerzo de matemáticas (contenidos básicos de cada curso de la ESO), Matemáticas para la vida (para trabajar las competencias básicas con problemas matemáticos de nuestro entorno cotidiano), Investigaciones matemáticas (contenidos de tipo histórico y cultural, curiosidades y pasatiempos matemáticos). Por otro lado, el Calendario Matemático es una publicación de SM con las actividades que les proporciona la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana "Al-Khwarizmi". El calendario pretende proporcionar al profesorado un instrumento para motivar a los estudiantes a resolver problemas matemáticos, plantear retos a sus capacidades, presentar curiosi-dades, proponer que indaguen sobre la historia de las matemáticas, suscitar inquietudes por las rela-ciones numéricas y las formas geométricas y relacionar las matemáticas con otras manifestaciones culturales. Los problemas se pueden aprovechar para complementar, profundizar o reforzar la pro-gramación de la materia.

Mes de enero del Calendario Matemático 2009-2010.

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JORNADAS, TALLERES Y ENCUENTROS

SEMINARIO SOBRE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

CÓRDOBA, NOVIEMBRE 2008

Mario Fioravanti Villanueva. Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación. UC Claudia Lázaro del Pozo. IES Valle de Camargo. Muriedas

Convocado por la Federación Española de Socie-dades de Profesores de Matemáticas (FESPM), y organizado por la Universidad de Córdoba y la So-ciedad Andaluza de Educación Matemática THA-LES, se realizó en Córdoba, del 27 al 30 de no-viembre de 2008, el Seminario Federal sobre análi-sis y desarrollo de la competencia matemática. El encuentro tuvo como objetivo principal la redac-ción de un documento que recogiera la opinión de los miembros de la FESPM sobre diferentes aspec-tos de la competencia matemática. El interés indudable por el tema, y su actualidad, se debe a que la competencia matemática es una de las ocho “competencias básicas que los alumnos y las alumnas deberán haber adquirido al final de la ESO”, según el REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria (BOE del 5 de enero de 2007). El seminario contó con cuarenta participantes, en representación de las distintas Sociedades que forman la Federación, y estuvo coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz, secretario de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES, y Francisco Martín Casalderrey, secretario general de la FESPM. Como miembros de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria asistieron Mario Fioravanti Villanueva y Claudia Lázaro del Pozo. El programa consistió en dos conferencias, cuatro sesiones de trabajo y una puesta en común de las conclusiones de cada uno de los cuatro grupos constituidos. Antes del comienzo del seminario se utilizó la plataforma Moodle para la distribución de documentos y para el contacto previo entre los miembros de cada grupo. La primera de las conferencias estuvo a cargo de Luis Rico Romero, de la Universidad de Granada, y se tituló "Definir la educación a través de las competencias". La segunda conferencia la ofreció Jesús María Goñi Zabala, de la Universidad del País Vasco, quien habló sobre "La competencia matemática y sus conexiones". La exposición de Luis Rico se sintetiza en estos tres párrafos del resumen redactado por él mismo:

“Las reformas curriculares en curso plantean nuevas expectativas sobre el aprendizaje de los esco-lares, superan el marco instrumental de las matemáticas escolares basado en objetivos y se abren a un marco funcional orientado al desarrollo de competencias.

¿A cuáles necesidades da respuesta el modelo de competencias? ¿Qué modificaciones implica para el currículo de matemáticas? ¿Cómo, cuándo y para qué evaluar la competencia matemática?

En este trabajo proponemos una reflexión sobre prioridades en el desarrollo de la competencia matemática en un nuevo marco curricular, útil para el profesorado de manera que le ayude a en-contrar respuesta a los interrogantes y retos que se plantean”.

La conferencia concluyó con un análisis DAFO de la educación basada en competencias. Muchas de las ideas expresadas en la conferencia forman parte del texto [1].

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Jesús M. Goñi inició su presentación analizando diferentes definiciones de competencia matemá-tica. Comparando la definición de la Unión Europea y del proyecto PISA [2], observó que tienen dos puntos fundamentales en común: el énfasis en la aplicación de las matemáticas y la importan-cia de las situaciones o contextos a los que las matemáticas deben aplicarse. De otras definicio-nes destaca el uso (aplicación), el conocimiento matemático y el contexto de relevancia social. Según Perrenoud: Las competencias no son en sí mismas conocimientos, habilidades o actitudes, aunque movilizan, integran, orquestan tales recursos.

Luego, Goñi presentó la evolución de la relevancia de los cuatro ámbitos: personal-familiar, social, profesional y académico, a lo largo de las etapas de la educación obligatoria y el bachillerato, y cómo esto influye en el currículo. Finalmente, ilustró la situación actual usando ejemplos de ejerci-cios tomados de pruebas de Selectividad y pruebas PISA. El lector puede consultar también el li-bro [3].

Para las sesiones de trabajo, los participantes se dividieron en cuatro grupos que debatieron sobre los siguientes temas:

1. Qué es y qué no es la competencia matemática.

2. Cómo medir si los alumnos son o no competentes.

3. Desarrollo de la competencia matemática. Tareas nuevas. Reciclaje de viejas actividades.

4. Competencia matemática y las otras competencias. Conexiones.

En la última reunión general hablaron los coordinadores del Seminario, el director del Instituto Supe-rior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado, del Ministerio de Educación, Antonio Pérez Sanz, y los coordinadores de los grupos de trabajo, para la puesta en común de las conclusiones de los cuatro grupos.

A continuación, se hace una síntesis de las cuestiones más importantes que se reflejan en las con-clusiones del Seminario. Para más detalles, consultar el artículo [4]. Asimismo, se pueden consultar las conclusiones en la web de la federación [5]. Con respecto a la descripción de la competencia matemática, se entiende que la definición del pro-yecto PISA [2] es más operativa que la del Real Decreto porque admite una gama más amplia de contextos, porque se basa en objetivos más que en contenidos, porque explica con cierto detalle las distintas subcompetencias y porque considera tres tipos de procesos cognitivos: reproducción, re-flexión y conexión.

“La definición de PISA es más sencilla y clara, redactada en términos de objetivos: indica acciones con verbos en infinitivo como identificar, comprender, alcanzar, utilizar, participar,... Esto permite identificar las subcompetencias que faciliten el diseño de las actividades y la evaluación del desarro-llo de las competencias. Como no alude a contenidos, permite la mejor selección del currículo y tam-poco alude a contextos concretos, dejando a los docentes la decisión del peso que a los distintos contextos se le dé en función de las características de los alumnos”. [4, pág. 127] Sin embargo, no es conveniente tomar los ítems de las pruebas PISA u otras pruebas de diagnóstico como modelo para el diseño de tareas de aprendizaje y evaluación. En opinión de los participantes, la planificación de una tarea debe tomar en cuenta los siguientes factores [4, pág. 129]:

Objetivos de la etapa. Objetivos específicos que persigue. Competencias a cuyo desarrollo contribuye. Contexto en el que se propone. Metodología y organización del aula. Recursos que se utilizan y que adquieren gran relevancia. Criterios de evaluación de la tarea. Contenidos previos necesarios para el desarrollo de la tarea. Contenidos que va a tratar. Temporalización y secuenciación. El entorno escolar.

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Al mismo tiempo se destacaron, entre otras, las siguientes sugerencias metodológicas:

Utilizar contextos variados, “evitando las tareas en las que el contexto aparece de modo anecdóti-co”.

Trabajar distintos contenidos y competencias simultáneamente.

Emplear diversos recursos y materiales.

Estimular la discusión y proponer tareas abiertas, con múltiples estrategias de resolución posibles.

Favorecer el desarrollo de la competencia de comunicación de resultados matemáticos mediante el diálogo del profesor y los alumnos, y de los alumnos entre sí.

En lo que respecta a la evaluación del desarrollo de las competencias, parece apropiado realizarla a medio y largo plazo. Para ello, sería conveniente, en lo posible, contar con indicadores específicos. La evaluación en el aula no debe limitarse a pruebas escritas, pues éstas no evalúan todas las sub-competencias. Los métodos de evaluación están directamente relacionados con los distintos tipos de tareas; determinadas tareas favorecen el desarrollo de ciertas subcompetencias, a la vez que facilitan su evaluación. De todos modos, “cualquier evaluación tiene que retroalimentar el proceso de ense-ñanza-aprendizaje”. [4] Así como el área de matemáticas debe contribuir al desarrollo de todas las competencias básicas –además de la competencia matemática–, los especialistas de otras áreas deberían analizar las for-mas posibles de contribuir al desarrollo de la competencia matemática. “La educación matemática contribuye al desarrollo del resto de las competencias básicas a lo largo de la educación obligatoria. En especial, consideramos que la contribución al desarrollo de la competencia digital debe comenzar ya en la Educación Infantil”. [4, pág. 130]

Foto del encuentro realizada por Iolanda Guevara. Página web de SUMA: www.revistasuma.es

[1] Rico Romero, Luis; Lupiáñez Gómez, José. Competencias matemáticas desde una perspectiva curricular. Alianza, Madrid, 2008.

[2] OECD: Programme for International Student Assessment (PISA), español. www.oecd.org/document/25/0,3343,en_32252351_32235731_39733465_1_1_1_1,00.html

[3] Goñi Zabala, Jesús M. El desarrollo de la competencia matemática. Graó, Barcelona, 2008.

[4] Análisis y desarrollo de la competencia matemática. Seminario federal. Revista Suma, 61, junio 2009, pp. 125-130.

[5] FESPM: Análisis y desarrollo de la competencia matemática (Conclusiones). www.fespm.es/documentacion/formacionprofesores/Seminario%20de%20competencias%20conclusiones.pdf

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SEMINARIO SOBRE EL PRÁCTICUM DEL MÁSTER DE PROFESOR DE SECUNDARIA EN LA ESPECIALIDAD

DE MATEMÁTICAS

MADRID, FEBRERO 2009

Los días 26 y 27 de febrero de 2009 se celebró en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid (UCM) un seminario sobre el Prácticum del Máster de Profesor de Educación Secundaria en la espe-cialidad de Matemáticas. Dicho Seminario estuvo organizado por la Comisión de Educación del Comité Español de Matemáticas (CEMAT)1 y contó con la cooperación de la Cátedra UCM Miguel de Guzmán.

A continuación se indican de manera breve los objetivos, el programa y los aspectos más relevantes del desarro-llo del Seminario y se da un resumen de las conclusiones del mismo. La información aquí mostrada se ha obteni-do del Informe Final del Seminario que aparece en www.ce-mat.org/educ/icmies/icmies.html y que fue elaborado por la Comisión de Educación del CEMAT.

OBJETIVOS, ASISTENTES Y PROGRAMA

Al Seminario asistieron, por invitación, 50 profesores de las Sociedades e Instituciones que constitu-yen la Comisión de Educación. En él también participaron profesores y estudiantes de postgrado de Universidades así como de centros de distintos niveles educativos de la Comunidad Autónoma de Madrid.

La finalidad para la que fue concebido el Seminario era múltiple:

1. Delimitar las funciones del Prácticum en la titulación Máster de Profesor de Secundaria en la es-pecialidad de matemáticas.

2. Delimitar los agentes que intervienen en la puesta en funcionamiento del Prácticum, sus condi-ciones administrativas y de coordinación, con especial consideración al caso de los profesores de matemáticas de secundaria.

3. Presentar experiencias de buenas prácticas relativas a la formación inicial de profesores de ma-temáticas de secundaria en el aula.

4. Ofrecer una reflexión conjunta y colegiada sobre el Prácticum, útil para las universidades y para las comunidades autónomas responsables de su puesta en marcha.

Una sesión inaugural, una conferencia y tres mesas redondas constituyeron el programa del Semina-rio, del que a continuación se ofrece un breve resumen. DESARROLLO DEL PROGRAMA Sesión inaugural

La sesión inaugural estuvo presidida por D. Felipe Pétriz, Director General de Universidades del Mi-nisterio de Ciencia e Innovación, D. Antonio Pérez, Director del Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado del Ministerio de Educación, Política Social y Deportes, D. Car-los Andradas, Vicerrector de Ordenación Académica de la Universidad Complutense de Madrid, D. Juan Tejada, Decano de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, Dª Olga Gil, presidenta del Comité Español de Matemáticas y D. Luis Rico, presidente de la Comisión de Educación del CEMAT. En esta sesión se destacó la importancia del nuevo Máster para Profesor de Educación Secundaria, se subrayó la necesidad de una especialidad de Matemáticas y resaltó el carácter esencial del Prácticum para la titulación. La organización del Seminario expresó el compro-miso de CEMAT con la formación inicial del profesorado de matemáticas de secundaria, mostró el interés crítico de la Comisión de Educación por la nueva titulación y transmitió su apoyo a la necesa-ria puesta en marcha de este plan de formación. Se entendía pues que el Seminario constituía un espacio para la reflexión estratégica sobre el nuevo plan, con la contribución de expertos de distintas procedencias con interés en aportar ideas y favore-cer la toma de decisiones en el momento de su inicio, con atención rigurosa a criterios de calidad y mediante optimización de los conocimientos y recursos disponibles.

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Conferencia La conferencia inicial, El Prácticum y las competencias profesionales del profesor de matemáticas de secundaria, fue impartida por D. Antonio Pérez Sanz, Director del Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado (ISFTIC). En esta conferencia se destacaron las aportaciones que desde el Prácticum se hacen al desarrollo de las competencias profesionales establecidas para esta titulación.

Mesas redondas En cada una de las mesas redondas intervinieron los distintos ponentes durante un tiempo de hora y media. Cada mesa fue seguida de un amplio debate con participación de ponentes y asistentes.

Los coordinadores y ponentes participantes en cada una de las mesas redondas, así como os balan-ces correspondientes a las mismas pueden verse con todo detalle en los documentos publicados en la web www.ce-mat.org/educ/icmies/icmies.html, indicada al comienzo de este artículo. Aquí sólo aparecen los títulos de las diferentes mesas y las cuestiones en que se centraron los debates, con el objeto de dar una idea acerca de lo tratado en cada una de ellas.

La primera mesa redonda versó sobre La práctica en la formación inicial del profesor de matemá-ticas y el debate se centró en las cuestiones:

1. ¿Cuáles son las funciones generales a las que atiende el Prácticum?, ¿cuáles no deben ser?

2. ¿Cómo contribuye el Prácticum al logro de las competencias profesionales establecidas por ORDEN ECI/3858/2007?

3. ¿Qué tipo de conocimiento profesional se promueve para el profesor de matemáticas durante el periodo de prácticas?, ¿qué tensiones surgen entre el conocimiento teórico y el práctico?

4. ¿Cuáles actitudes y creencias del profesor de matemáticas se detectan durante las prácticas?, ¿cómo evolucionan?, ¿qué oportunidades ofrece el Prácticum para las actitudes, valores y creencias?

La segunda mesa se centró en La organización y gestión del Prácticum. El debate en esta segun-da mesa se centró en las siguientes cuestiones:

1. La prioridad para organizar el Prácticum, ¿debe estar en la selección de centros o de tutores?

2. ¿Qué actividades debe realizar el estudiante para profesor durante el periodo de prácticas?

3. ¿Qué modelos de prácticas son los que favorecen la relación con la teoría?

4. ¿Cuáles características requiere un profesor tutor de prácticas?

5. ¿Cómo organizar la coordinación entre los participantes en el Prácticum?

La tercera mesa se dedicó al tema Experiencias de buenas prácticas en la organización del Prác-ticum. El contenido de las intervenciones versó sobre experiencias relativas al Prácticum en cursos tipo CAP, asignaturas de licenciaturas, tutorías y otros, destacando en todas ellas puntos e ideas que sirvan como referentes para poner en marcha el Prácticum del futuro master de profesor de secunda-ria. CONCLUSIONES

Los tres últimos apartados del Informe Final del Seminario, son Balance Global, Recomendaciones y Conclusiones. Sólo del último de ellos se hace eco en estas páginas.

La Comisión de Educación de CEMAT, como resultado del trabajo realizado en el Seminario, formuló las siguientes conclusiones.

1. El Prácticum es una parte esencial en el Máster que se va a poner en marcha a partir del próximo curso académico. Supone la necesaria conexión entre el conocimiento teórico y la práctica. Ésta suscita, a su vez interrogantes que llevarán de nuevo a la reflexión teórica.

2. Los distintos módulos teóricos, el trabajo de fin de Máster y el Prácticum deben planificarse con una visión de conjunto que permita la interrelación entre ellos y la secuencia temporal más ade-cuada para el Prácticum.

3. Los profesores al cargo del Prácticum y los tutores de los centros de Secundaria en que se reali-cen las prácticas deben colaborar estrechamente tanto en el diseño de las actividades que se van a desarrollar como en el seguimiento y acompañamiento de los estudiantes del Máster.

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4. La regulación y organización del Prácticum debe ser objeto de convenio entre Administraciones Públicas y Universidades, con reconocimiento del trabajo de los profesores tutores y coordinación con el trabajo de los otros módulos. Este necesario reconocimiento del trabajo de los tutores por parte de las universidades y, por parte de las autoridades educativas debe ser efectivo a la hora de valorar la tarea que se les va a encomendar.

5. El decreto que regula el Máster hace referencia a la formación y selección de tutores y centros de prácticas. Las administraciones educativas y las universidades deben colaborar también en este aspecto para facilitar que los tutores y los centros elegidos tengan las características adecuadas para que haya coherencia entre lo que se imparta en los módulos teóricos y las prácticas que rea-licen los estudiantes.

6. Las tasas del Máster se ajustarán a precios públicos, dado que se trata de un título oficial y obli-gatorio para ejercer la docencia en la Enseñanza Secundaria privada, concertada y pública.

7. Se apoya la existencia de la especialidad de Matemáticas en el Máster y se entiende que esta especialidad debe ser requisito para la oposición de Profesor de Matemáticas, porque no es co-herente que se requiera un Máster de Formación de Profesores para acceder a la oposición de Profesor de Matemáticas y que se establezca en dicho Máster la especialidad de Matemáticas, pero no se requiera la misma, específicamente, para la oposición en Matemáticas.

8. Las fechas de convocatoria de oposiciones los plazos establecidos para su inscripción y el calen-dario del Máster deberán coordinarse de manera que hagan posible que los alumnos que lo cur-sen puedan, al finalizar éste, presentarse a la oposición convocada ese mismo año.

9. El criterio de selección para acceder a la especialidad de Matemáticas del Máster dependerá de las universidades que lo impartan con el visto bueno de ANECA y las Comunidades Autónomas. En el debate surgido durante el seminario se informó del escaso número de créditos de formación específica en Matemáticas que algunas universidades estaban proponiendo para poder acceder a la especialidad de Matemáticas del Máster. Las universidades deberán en todo caso requerir un nivel de conocimientos y de competencias matemáticas adecuado paraa los estudiantes admiti-dos en el Máster.

10. Las experiencias previas de cursos tipo CAP o equivalentes tienen aspectos muy valiosos que habrá que tener en cuenta a la hora de diseñar el Prácticum del nuevo Máster, pero también son indicadores de los riesgos que pueden correr el Máster y el Prácticum y que lleven a la devalua-ción de éstos por un número excesivo de estudiantes, poca exigencia para obtener el título o un escaso reconocimiento de la tarea de los tutores que lleve a que éstos puedan limitarse a un cumplimiento de mínimos que no garantice la necesaria formación práctica de los estudiantes.

11. Las sesiones y debates del seminario dejaron claro que el diseño propuesto para la formación inicial de los profesores en forma de Máster es una opción válida y aceptable, dentro de los mo-delos de formación existentes.

12. Uno de los aspectos valorados positivamente se centra en que la iniciación a la profesión de pro-fesor de matemáticas se sostiene en competencias profesionales establecidas para la titulación. Las prácticas deben contribuir al desarrollo de esas competencias y al conocimiento de los cen-tros.

13. En este sentido, estas conclusiones quieren poner de manifiesto que la formación inicial de los profesores de secundaria requiere necesariamente la existencia de un buen Prácticum que debe de estar bien gestionado y apoyado con recursos suficientes.

14. El trabajo conjunto de especialistas en el campo de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáti-cas con profesores de Matemáticas, tanto universitarios como de Secundaria, en el diseño y or-ganización del futuro Máster y en concreto el Prácticum será un elemento clave para que se cum-plan de modo efectivo los objetivos que se pretenden.

1 El Comité Español de Matemáticas (CEMAT) coordina las actividades españolas de ámbito internacional relacionadas con la Unión Matemática Internacional (IMU), canaliza las iniciativas de la IMU dentro del Estado es-pañol y asesora al Ministerio de Educación y Ciencia sobre las recomenda-ciones de la IMU relacionadas con la educación y la investigación en Mate-máticas.

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XIV JAEM

GIRONA, JULIO 2009

María José Señas Pariente. IES Javier Orbe Cano. Los Corrales de Buelna

Entre el 1 y el 4 de julio tuvo lugar en Girona la decimocuarta edición de las Jornadas para el Apren-dizaje y la Enseñanza de las Matemáticas (JAEM), evento ya de tradicional celebración al inicio de las vacaciones de verano de los años impares, dirigido a los profesionales de la enseñanza de las Matemáticas y que tiene como objetivo potenciar el intercambio de experiencias, la renovación meto-dológica y la reflexión sobre su labor en el aula. La XIV edición de las JAEM de Girona estuvo centrada en las competencias matemáticas en todos los niveles educativos (infantil, primaria, secundaria y universitaria) más que en los contenidos mate-máticos. Los siete grupos temáticos en los que se englobaron las actividades de las Jornadas fueron: - Planteamiento y resolución de problemas.

- Pensamiento y razonamiento matemático.

- Simbolismo, formalización y demostración en matemáticas.

- Comunicar en, con y sobre las matemáticas.

- Modelización y representación en matemáticas.

- Herramientas, materiales y otros recursos de apoyo para trabajar matemáticas.

- Conexiones y contextos. Entre los ponentes encontramos a algunos conocidos del profesorado cántabro: Pablo Flores y su humor en las Matemáticas; Teresa Valdecantos que abandonó por un rato a sus mujeres matemáti-cas y disertó sobre distintas “herramientas” útiles en clase de Matemáticas; Inmaculada Fernández y sus trabajos sobre arcos; Michele Emmer (profesor de la Universidad de Roma) impartió en italiano la conferencia de clausura “De Escher a la Arquitectura Virtual”; y una larga lista de profesores de Ma-temáticas que compartieron con todos su experiencia y sus experiencias en los más variados temas. Desde luego siempre es difícil destacar algo especial cuando existen tantas y tan buenas aportacio-nes, así que intentaremos citar alguna de cada bloque y hacer referencia a algunas de las presenta-das por la “delegación cántabra” (compuesta, según la organización, por 11 representantes). Entre las diversas presentaciones de software educativo, tuvimos la ocasión de trabajar con la nue-

va versión de Tutor-Mates dirigido, entre otros, por María José González (MATESCO, UC). Tutor-Mates es un software que integra herramientas de cálculo científico y geométrico e incorpora la gestión educativa de dichas herramientas en lecciones del currículo de matemáticas. Muy completo y atractivo (a pesar del calor que pudimos pasar en aquel aula sin aire acondicionado; por cierto, Lalo, gracias por el ventilador).

Asistimos a la experiencia presentada por Ángela Núñez (IES Alberto Pico) sobre el teatro en clase

de Matemáticas y las Matemáticas en el teatro. La imaginación de los “guionistas-matemáticos” y el esfuerzo que supuso realizarlo a juzgar por las imágenes y sus comentarios, merecen unas líneas en nuestro Boletín.

Conocimos una nueva faceta de Tomás Recio (MATESCO, UC) ejerciendo como traductor simultá-

neo para Markus Hohenwarter en la presentación del Instituto de GeoGebra de Cantabria. Si al-guien no conoce aún el programa GeoGebra que no deje pasar más tiempo: es sencillo, muy gráfi-co e intuitivo y permite relacionar Geometría y Álgebra.

Asistimos también a un taller de Matemáticas para niños: en un colegio de Madrid han llevado a

cabo un plan de trabajo de problemas de Matemáticas con niños de 4 y 5 años, relacionándolo a su vez con la lectura de libros infantiles. Sorprendentes algunas de las actividades y divertidas las res-puestas de los niños. Un dato: los profesores contextualizaban el problema y lo planteaban como un problema real de una persona o personaje conocido por los niños, lo que daba una mayor moti-vación a “los trabajadores”.

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¿Habéis olvidado la integración por partes? Haced una prueba con el método TIC-TAC-TUC que, trabajando por separado la función a derivar y la función a integrar, y multiplicando después si-guiendo un determinado orden, permite que obtengamos la primitiva sin pasar por la fórmula tradi-cional de la integración por partes.

En un aspecto más teórico pudimos ver estudios sobre la relación de las Matemáticas que se ense-

ñan en clase y las Matemáticas que se emplean en diferentes trabajos; o estudios sobre experien-cias llevadas a cabo en España, Argentina o México sobre investigación en la enseñanza de las Matemáticas; o las competencias en el contexto de Bolonia; o la enseñanza de las Matemáticas en inglés (foro moderado por Claudia Lázaro, IES Valle de Camargo); etc.

Con el objetivo de “premiar la labor docente y los valores humanos: la entrega desinteresada, el amor, el espíritu tolerante, la buena disposición... hacia sus alumnos, compañeros, amigos y, en ge-neral, hacia la enseñanza de la Matemática. Es decir, el magisterio en sentido amplio” se hizo entrega del premio Gonzalo Sánchez Vázquez. El galardón recayó, a propuesta de la Sociedad Canaria “Isa-ac Newton” de Profesores de Matemáticas, y apoyado por un numerosísimo grupo de profesores de Matemáticas de todas las Comunidades Autónomas e incluso de allende los mares, en el profesor Luis Balbuena. Quien le conoce y conoce su obra no necesita más explicación. Si alguno de vosotros no tiene el placer de conocer la trayectoria vital y laboral de Luis Balbuena, os invitamos a que, al menos, leáis algunos de sus trabajos para poder disfrutar de la su faceta como magnífico divulgador. Pero no todo iba a ser trabajo… Fiesta de bienvenida con cena popular en el Casco Antiguo y actua-ción de Castellets, visita guiada a la ciudad de Girona, paseo en barco por la Costa Brava, concierto de la orquesta Fireluche, programa para acompañantes, copa de cava de despedida amenizada con música en directo,… Y una nueva cita para el verano del 2011, aquí al lado, en Gijón. ¡Animaros!

Las imágenes mostradas son algunas de las fotos tomadas por los asistentes a las XIV JAEM. Todas ellas, y muchas más, pueden verse en la página web de las Jornadas: www.xivjaem.org

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XIII SIMPOSIO de la SEIEM

SANTANDER, SEPTIEMBRE 2009 Tras el paréntesis estival, con sus cursos de verano y periodos de descanso, dio comienzo el curso académico 2009-2010, que este año fue a la par con la celebración del XIII Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM) desarrollado en Santander los días 10, 11 y 12 de septiem-bre de 2009 con sede en la Facultad de Cien-cias de la Universidad de Cantabria. El XIII SEIEM congregó a unos 130 participantes de toda la geografía española y de algunos países de hablan hispana, lo que supone, en opinión del Comité Científico y del Comité Organizador, un rotundo éxito de convocatoria.

El acto de inauguración del Simposio fue presi-dido por Ernesto Anabitarte Cano, decano de la Facultad de Ciencias, que estuvo acompañado, entre otros, por el vicerrector de Extensión Uni-versitaria de la Universidad de Cantabria, Eduardo Casas Rentaría, por Lorenzo J. Blan-co Nieto, presidente de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática y por María José González López en calidad de coordinadora local del evento. Las sesiones de trabajo arrancaron con el Se-minario I, titulado Análisis de Libros de Texto, pero, previo al inicio de dicho seminario, Car-men Azcárate Giménez ofreció a los presentes un regalo, tal y como ella lo expresó, fue el anuncio de la incorporación de la Revista En-señanza de las Ciencias al "Social Sciences Citation Index of the ISI Web of Knowledge". Tras esta magnífica noticia, se sucedieron las tres ponencias del seminario:

Investigación histórica de conceptos en los libros de matemáticas.

El análisis de manuales y la identificación de problemas de investigación en Didáctica de las Matemáticas.

Creación de un modelo de valoración de textos matemáticos y aplicaciones.

En la primera de las ponencias, Alexander Maz, de la Universidad de Córdoba, expuso los pre-supuestos metodológicos del análisis concep-tual y de contenido y presentó un minucioso

ejemplo sobre la manera de utilizar dicho análi-sis en relación al concepto de número en tres libros españoles de los siglos XVIII y XIX. El estudio incluía también una tabla comparativa de catorce textos de autores españoles de aquellos siglos. Bernardo Gómez, de la Universidad de Valen-cia, mostró cómo utilizar el análisis textual y el epistemológico para estudiar el problema de la ambigüedad del signo radical en sus dos ver-tientes, como problema matemático y como problema didáctico. La tercera de las ponencias, a cargo de Tomás Ortega, de la Universidad de Valladolid, y de Consuelo Monterrubio, de la Universidad de Salamanca, versó sobre un modelo de valora-ción de textos matemáticos compuesto de va-rios indicadores que pueda ser de utilidad para el profesor a la hora de elegir un libro de texto. En palabras de Modesto Sierra, profesor de la Universidad de Salamanca y coordinador del seminario, a lo largo del mismo se presentaron tres maneras diferentes pero complementarias de mirar los libros de texto.

El Seminario II llevaba por título Aportaciones de la Investigación en Educación Matemática a la Formación de Profesores y estuvo coordina-do por María Victoria Sánchez, de la Universi-dad de Sevilla. Los trabajos que integraron este seminario fueron:

Inmigración y Diversidad: Implicaciones para la formación de profesores de mate-máticas.

Aportaciones de la Teoría Antropológica de lo Didáctico a la Formación de Profesorado de Matemáticas de Secundaria.

Vulnerabilidade e agência: um contributo para la construçao da identidade profissio-nal do futuro professor de matemática.

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En opinión de María Victoria Sánchez, las tres ponencias evidenciaron cómo problemas que surgen en la práctica profesional de los profe-sores de diferentes niveles y contextos son retomados como objetos de investigación en el subcampo de la formación de profesores. Así, Marta Civil, de la Universidad de Arizona, en la primera de las exposiciones, identifica toda una problemática relacionada con la equi-dad en las clases de Matemáticas, asumiéndo-la como objeto de estudio y que tiene como punto de arranque su experiencia en el trabajo con estudiantes para profesor y su participación en proyectos desarrollados en ambientes multi-culturales. Con riesgo de caer en la simplificación, diga-mos que en la segunda ponencia, Marianna Bosch, de la Univesitat Ramon Llull, y Joseph Gascón, de la Universitat Autònoma, ambas en Barcelona, identifican en la práctica docente restricciones específicas de la disciplina mate-mática junto con otras que afectan la forma de organizar el estudio de una disciplina en el centro, sociedad o siguiendo los principios y valores de una determinada civilización. En la tercera de las intervenciones, Hélia Oli-veira, de la Universidad de Lisboa, se aborda el problema de la formación de los profesores, incorporando en su estudio lo que denomina constructo de la identidad profesional, que co-mienza a generarse desde el momento en que las decisiones sobre la elección de la profesión y la formación inicial comienzan a tomar forma.

Si las mañanas de los dos primeros días del simposio estuvieron dedicadas prácticamente en su totalidad a los dos seminarios menciona-dos, las tardes del jueves 10 y del viernes 11 y la mañana del sábado 12 se llenaron con la exposición de diferentes comunicaciones y las puestas en común de los distintos grupos de Investigación. Las comunicaciones se agruparon en torno a ocho centros de interés de carácter diverso: alumnos, recopilaciones, estudios transversa-

les, procesos, formación de profesores, pen-samiento numérico, resolución de problemas y libros de texto.

Dando sólo una mínima muestra de la amplía variedad de las comunicaciones presentadas, y sin que ello suponga predilección alguna frente al resto, digamos, por ejemplo, que las corres-pondientes al bloque de alumnos mostraron dos experiencias singulares. En un caso se hacía un análisis de los conceptos, estrategias y errores en las operaciones de suma y resta en alumnos síndrome de Down y en el otro se presentaban algunas actividades para trabajar en matemáticas con niños especialmente dota-dos. La primera fue responsabilidad de las pro-fesoras Alicia Bruno y Aurelia Noda, de la Uni-versidad de la Laguna, y la segunda estuvo a cargo de Pamela Reyes-Santander, cuyo traba-jo era en colaboración con el profesor Kart, de la Universidad de Augsburg. El programa estrictamente académico del sim-posio se completaba con la presentación, a cargo de Olga Gil, del Comité Español de Ma-temáticas (CEMAT) y la Asamblea anual de la Sociedad Española de Investigación en Educa-ción Matemática, en el que se acordó, entre otros asuntos, que el XIV Simposio de la SEI-EM se celebre en Lérida, en fechas aún por determinar. El buen tiempo de esos días permitió disfrutar asimismo de los actos sociales programados, como la recepción en el Ayuntamiento de San-tander o el paseo en barca por la bahía.

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MATEMÁTICAS EN ACCIÓN

Durante el curso 2008/2009 se ha celebrado, en la Facultad de Ciencias, la quinta edición del ciclo de talleres divulgativos conocido como Matemáticas en Acción. Dicho ciclo ha sido organizado, como en ediciones anteriores, por el Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación (MATESCO) de la Universidad de Cantabria (UC), y como viene siendo habitual, la acogida, tanto por parte de estudiantes como por parte de profesionales, ha sido magnífica. El objetivo principal de esta serie de talleres es, como ya se ha apuntado en boletines anterio-res, mostrar la utilización de las Matemáticas en las diversas esferas del saber científico y técnico. Un vistazo a la relación de títulos que han configurado esta quinta edición de Mate-máticas en acción, y que figura más abajo, da idea de la variedad de los temas tratados. También puede observarse que los ponentes, entre los que se encuentran algunos miembros de la UC, provienen de diferentes Universida-des de la geografía española. La teoría de la codificación de la información ha sido un tema recurrente en estas jornadas, mostrando, por un lado, los problemas que plantea la codificación desde el punto de vista de la seguridad y, por otro, su utilidad en los sistemas digitales de comunicaciones actuales. En el taller titulado De cómo Alicia y Benito mantienen secretas sus conversaciones, impartido por Daniel Sadornil, del Departamen-to de MATESCO de la UC, se expusieron los hitos históricos más importantes que han con-tribuido al desarrollo de la criptografía, inclu-yendo los diferentes tipos de cifrados y los mé-todos mediante los que se trata de proteger el mensaje de posibles ataques. También se abordaron temas afines, como las votaciones electrónicas, juegos de cartas por Internet y la firma electrónica.

Imagen presentada en De cómo Alicia y Benito mantienen secretas sus conversaciones.

Constantino Pérez, del Departamento de Inge-niería de Comunicaciones de la UC, en la char-la Matemáticas y Televisión Digital, describió algunos de los códigos empleados en la recu-peración de la información digital que se ve sometida a múltiples “agresiones” durante su transmisión. Los principios matemáticos en los que se fundamentan los códigos de protección contra errores mostraron en qué medida las matemáticas hacen posible, por ejemplo, la telefonía móvil y la televisión digital. Diferentes disciplinas artísticas han sido el hilo conductor o la base de algunos talleres del ciclo 2008/2009. Irene Polo del Departamento de MATESCO de la UC, ponente de la confe-rencia Modelos de superficies en las mate-máticas y en el arte, expuso la evolución ex-perimentada por la construcción de objetos geométricos, cuyo origen es consecuencia de la necesidad de visualizar nuevas superficies matemáticas descubiertas a mitad del siglo XIX. Las colecciones de modelos de la compa-ñía alemana Schilling, la superficie de Clesbch, los trabajos de Cayetano Ramírez y obras de otros artistas contemporáneos fueron objeto de análisis a lo largo del taller.

La profesora Irene Polo durante su exposición. El profesor Francisco Javier Girón, del Depar-tamento de Estadística e Investigación Operati-va de la Universidad de Málaga, en su ponen-cia, titulada Literatura y Estadística: proble-mas de autoría, acercó al público lo que es el trabajo de la estilometría, disciplina que se ha desarrollado como una herramienta adecuada para tratar diversos problemas de autoría litera-ria. La herramienta principal de la estilometría es el análisis estadístico de características cuantificables propias de un autor y no contro-lables de forma consciente. El estudio de la autoría de Tirant lo Blanc o de los artículos federalistas fueron algunos de los ejemplos abordados en este taller.

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El profesor Francisco Javier Girón en un momento de su ponencia Literatura y Estadística: problemas de autoría.

En la conferencia De la caja a la red, Capi Corrales, del Departamento de Álgebra de la Universidad Complutense de Madrid, hizo una reflexión sobre la evolución seguida por el con-cepto matemático de espacio. Los concpetos acuñados en las distintas etapas, desde la caja del siglo XVII (Fermat, Newton) hasta la red de redes actual (Hausdorff, Grothendieck) se ilus-traron con algunos cuadros pintados en los mismos períodos en que estos conceptos fue-ron desarrollados. En Matemáticas, ¡se abre el telón!, Marta Macho-Stadler, del Departamento de Matemá-ticas de la Universidad del País Vasco, ofreció una interesante visón de cómo pueden combi-narse teatro y matemáticas para producir resul-tados deliciosos, según sus palabras. El reco-rrido efectuado por las distintas obras estuvo organizado según el protagonista fuese un personaje matemático, la estructura de la obra fuese puramente matemática o las matemáti-cas surgiesen en algún momento de la trama. Ejemplos, entre otros, de cada uno de estos bloques fueron respectivamente: Fermat’s last tango, Théâtre booléen, La leçon.

La profesora Marta Macho durante el desarrollo del taller Matemáticas, ¡se abre el telón!

Diagramas de conceptos formales: del álge-bra a la minería de datos pasando por la intuición visual fue el título de la conferencia impartida por José Luis Balcázar, profesor del Departamento de Llenguatges i Sistemes In-formàtics de la Universidad Politécnica de Ca-taluña y del Departamento de MATESCO de la Universidad de Cantabria. En esta amena char-la el profesor Balcázar mostró dos de los enfo-ques más difundidos que la noción de implica-ción tiene en la lógica elemental, el Análisis de Conceptos Formales y la Minería de Reglas de Asociación. Además de una breve introducción de a los mismos, diagramas visuales usando el software libre Galicia formaron parte del mate-rial usado para exponer la potencia que los enfoques citados tienen para explicar ciertos hechos. La exposición incluyó además una breve descripción de los problemas abiertos relacionados actualmente bajo investigación.

El profesor José Luis Balcázar en un momento de su expo-sición Diagramas de conceptos formales: del álgebra a la

minería de datos pasando por la intuición visual. Otros talleres del ciclo fueron:

- Paseo matemático por la vida cotidiana, por Fernando Corbalán, coordinador del Programa 'Matemática Vital'.

- Geometría computacional: introducción y apli-caciones, impartida por Manuel Abellanas, del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid.

- Matemáticas en la Ingeniería. Juan José Are-nas, Departamento de Ingeniería Estructural y Mecánica de la UC.

- La teoría de juegos, una herramienta matemá-tica para las ciencias sociales, a cargo de Igna-cio García Jurado del Departamento de Esta-dística e Investigación Operativa de la Univer-sidad de Santiago de Compostela.

- Leonardo Torres Quevedo y las máquinas de calcular, por Francisco González de Posada del Departamento de Física e Instalaciones de la Universidad Politécnica de Madrid.

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- Geografía, Matemáticas y SIGs, ofrecida por Pedro Requés del Departamento de Geografía, Urbanismo y Ordenación del Territorio de la UC.

Imagen presentada en Geografía, Matemáticas y SIGs, el taller que impartió el profesor de la UC Pedro Requés.

La última jornada de Matemáticas en Acción 2008 estuvo a cargo de uno de sus principales responsables de su dirección y organización. Luis Alberto Fernández, del Departamento de MATESCO de la UC, impartió el taller titulado Todo está bajo control, donde revisó la impor-tancia que la teoría del control ha ejercido en el avance de la ciencia y la ingeniería a partir del siglo XX. Los diferentes periodos que caben distinguirse en la teoría de control: preindus-trial, clásico, de control óptimo; fueron funda-mentados desde el punto de vista histórico e ilustrados con respectivos ejemplos. La clepsi-dra o los sistemas de apertura y cierre de los templo para el periodo preindustrial, el estudio del comportamiento de los diferentes péndulos en el periodo industrial fueron algunos de los ejemplos mostrados. La complejidad del control del Apolo XI, la creación de sistemas robóticos o el fallo de la nave Ariane 501 fueron algunas de las manifestaciones que ilustraron la era del control óptimo. También se trataron con espe-cial atención los sistemas de control del auto-móvil y se dio una relación de aplicaciones a otras áreas científicas tales como la Medicina, la Biología, la Economía o la Química.

Imágenes presentadas en la charla Todo está bajo control de Alberto Fernández, profesor del Departamento de

MATESCO de la UC.

Si el lector está interesado en conocer con más detalle el contenido de cualquiera de los talle-res, en la página web del Departamento de MATESCO, www.matesco.unican.es, podrá en-contrar el material que cada autor utilizó en su exposición y que tan gentilmente pone a dispo-sición de quien quiera estudiarlo. Como en boletines anteriores, en el actual que-remos recoger la relación de objetivos genera-les propuestos para cada ciclo de Matemáticas en Acción, y que curso tras curso, como se deduce de la aceptación por parte del público asistente, se ven ampliamente cubiertos. • Difundir el papel esencial desempeñado por

las Matemáticas en campos muy variados del conocimiento científico y técnico.

• Mostrar la aplicación de las Matemáticas a

problemas reales y enseñar cómo se constru-yen modelos matemáticos para estudiar un problema real.

• Completar la visión de las Matemáticas ofre-

cidas en las enseñanzas regladas con una visión interdisciplinar.

• Servir como punto de encuentro de personas

provenientes de diferentes ámbitos que utili-zan las Matemáticas como base o herramien-ta fundamental en su trabajo o estudio.

Para aquellos lectores que aún no conocen con todo detalle las condiciones para el seguimien-to del ciclo Matemáticas en Acción, cabe indi-car que está especialmente dirigido a alumnos de la propia Universidad de Cantabria y a pro-fesores de Educación Secundaria. La entrada es libre y gratuita, por lo que no es necesaria matrícula previa alguna. En cada sesión se efectúa un control de firmas entre aquellas personas que están interesadas en recibir certificación de asistencia. Los alumnos de la Universidad de Cantabria que asistan, al menos, a 6 talleres reciben la correspondiente certificación que les permite obtener un crédito de libre elección por curso de corta duración. Si la asistencia es, al menos a 12 talleres, la certificación les permite obtener dos créditos del mismo tipo. De igual modo, los profesores de Educación Secundaria que asistan, al me-nos, a 6 talleres recibirán la correspondiente certificación que les permitirá obtener un crédi-to de formación; quienes asistan al menos a 12 talleres podrán obtener dos de esos créditos.

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Sesiones

del ciclo de talleres divulgativos

Matemáticas en Acción 2009

Curso 2009/2010

1. Día: 14/10/09. Matemáticas: ¿Ciencia básica o camino al futuro? Enrique Zuazua Iriondo,

BCAM (Basque Center for Applied Mathematics). 2. Día: 28/10/09. Desde el punto al hipercubo. Homenaje a Juan de Herrera. Rafael Pérez Gó-

mez, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Granada. 3. Día: 11/11/09. El misterio de la Tierra Paralela. Neila E. Campos González, Departamento de

Matemática Aplicada y CC.CC., UC. 4. Día: 25/11/09. Algunas aplicaciones de las Bases de Groebner. Eugenio Roanes Lozano, De-

partamento de Álgebra, Universidad Complutense de Madrid. 5. Día: 02/12/09. Matemáticas en una baraja de cartas. Pedro Alegría Ezquerra, Departamento

de Matemáticas, Universidad del País Vasco. 6. Día: 16/12/09. Cómo detectar planetas derivando. Manuel Pérez Cagigal, Departamento de

Física Aplicada, UC. 7. Día: 13/01/10. El logaritmo de la economía geométrica. Faustino Prieto Mendoza, Departa-

mento de Economía, UC. 8. Día: 17/02/10. Prehistoria de la Teoría de Nudos. José María Montesinos Amilibia, Departa-

mento de Geometría y Topología, Universidad Complutense de Madrid. 9. Día: 03/03/10. Soluciones gráficas de problemas matemáticos. Milagros Canga Villegas. De-

partamento de Ingeniería Geográfica y Técnicas de Expresión Gráfica. UC. 10. Día: 17/03/10. Simulación numérica de procesos industriales. Alfredo Bermúdez de Castro,

Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Santiago de Compostela. 11. Día: 14/04/10. M = Uc-2. Las matemáticas y el mundo físico. Julio Güémez Ledesma, Departa-

mento de Física Aplicada, UC. 12. Día: 28/04/10. Máximos y mínimos sin cálculo diferencial. Joaquín Hernández Gómez, Depar-

tamento de Análisis Matemático, Universidad Complutense de Madrid. 13. Día: 12/05/10. La ecuación de Schrödinger: una ecuación diferencial que revolucionó la Física.

María Teresa Barriuso Pérez, Departamento de Física Moderna, UC. 14. Día: 26/05/10. La optimización: matemáticas para mejorar. Cecilia Pola Méndez, Departamen-

to de MATESCO, UC.

Todos los talleres se desarrollan en el Salón de Actos de la Facultad de Ciencias, los miércoles de 18:00 a 19:30 horas.

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DÍA ESCOLAR DE LAS MATEMÁTICAS

Pon un poliedro en tu centro fue el tema con el que se inició, en el año 2000, la celebración del Día Escolar de las Matemáticas, que tuvo como punto de partida la declaración, por parte de la UNESCO, del año 2000 como Año Mundial de las Matemáticas. Desde entonces, la Federa-ción Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) convoca la celebración del Día Escolar de las Matemáticas con el obje-tivo de realizar en los centros educativos activi-dades matemáticas que impliquen, junto a pro-fesionales de la enseñanza de las Matemáti-cas, a profesionales de la enseñanza de otras disciplinas: Música, Arte, Literatura,… La fecha elegida por la FESPM para la realización de estas actividades es la del 12 de mayo, por ser la del nacimiento del profesor Puig Adam, acontecido en el año 1900. Según se informa en la nota de prensa publica-da desde la FESPM a principios de mayo del presente curso, el Día Escolar de las Matemáti-cas se celebra en un gran número de centros educativos de toda España, con actividades relacionadas con el tema propuesto para cada ocasión. Cada centro selecciona una serie de actividades a realizar, que pueden haber sido diseñadas por el propio centro o bien elegidas entre las propuestas por la Federación en el cuaderno de actividades que cada año, desde 2002, edita su Servicio de Publicaciones. La FESPM se encarga de difundirlo por todo el territorio nacional con la finalidad de que los centros dispongan de un documento inicial para, si lo estiman oportuno, desarrollar a partir de él trabajos concretos. En dicho cuaderno, las actividades se estructuran por contenidos y en cada una se indica el nivel educativo al que va dirigida. Se estima que en 2008 participaron en estas tareas unos 100.000 estudiantes, principalmente de Educación Secundaria Obli-gatoria y Bachillerato. Además de la publicación mencionada, desde el año 2006 la FESPM organiza, en colabora-ción con la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid, una videoconferencia que se retransmite online por Internet. En el presente curso la videoconferen-

cia se impartió el día 8 de mayo con el propósi-to de que cada centro pudiera emitir la confe-rencia en diferido a la hora más conveniente, para no tener que organizar las actividades en función de la hora de la conferencia en directo. En la edición de 2009 del Día Escolar de las Matemáticas el tema elegido fue Ciudad y Matemáticas y tanto la labor de confeccionar el cuaderno de actividades como la de impartir la conferencia fue encomendada a José María Sorando Muzás.

Los trabajos propuestos en el cuaderno elabo-rado por el profesor Sorando están divididos en los siguientes bloques:

Ciudad y Población

Geometría de la ciudad

Paseo matemático por la ciudad

Calidad de vida en la ciudad

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De cada uno de ellos se ha seleccionado un breve párrafo que reproducimos a continuación. Las imágenes que acompañan estos párrafos y obtenidas a través de la página web del autor:

http://www.catedu.es/matematicas_mundo

sugieren en cierta medida el tipo de actividad que José María Sorando propone en relación al tema: estudio de funciones, distancias míni-mas, caminos posibles o imposibles, equidis-tancia, mosaicos, curvas y superficies.

Ciudad y Poblaciónn En 2008 por primera vez en la historia, la po-blación urbana se iguala a la población rural y en los años próximos la población mundial acabará siendo urbana en su mayoría. […] Una consecuencia de esta situación es que si hoy existen 19 megaciudades, de más de 10 millo-nes de habitantes, en 2050 serán 27.

Geometría de la ciudad ” Ciudad romana. […] De forma más o menos rectangular, estaban orientadas por sus dos ejes de simetría, […] En la intersección de esos dos ejes, estaba el Foro […]. Ciudad medieval. […] Pero en ese aparente desorden había una estructura […] formando barrios que agrupaban a la gente por oficio, religión o procedencia.

Cesaraugusta Toledo Ciudad moderna. […] regulariza y ensancha calles creciendo según tres tipos de diseños geométricos: radioconcéntrico, ortogonal o lineal.

~ La ciudad radiocéntrica se caracteriza por estar centrada en una plaza, rodeada de calles en círculos concéntricos. Del centro salen ave-nidas que las unen […] en Arizona (EE.UU.) la ciudad de Sun City presenta una urbanización radioconcéntrica totalmente circular. ~ En la ciudad ortogonal sus calles forman una cua-drícula regular: siguen dos direcciones perpen-diculares y en cada dirección son paralelas a distancia constante. ~ El modelo de ciudad lineal es la urbanización a lo largo de una vía de comunicación (carretera, río, etc.). Se trata-ba […] de minimizar la suma de trayectos de todos los puntos entre sí; también, desconges-tionar las ciudades y lograr su contacto con la naturaleza.

Léixample (Barcelona), Ciudad Lineal Arturo Soria (Madrid), y Sun City (Arizona)

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Paseo matemático por la ciudadd Demos un paseo por las calles de la ciudad. Encontraremos la presencia matemática en multitud de aspectos desde los más solemnes a los más sencillos y cotidianos.

Los apartados Callejero matemático, Vamos de tiendas, Mobiliario Urbano, Casas, Monumen-tos, Jardines y Nueva arquitectura son los que aparecen en esta sección y con ellos la posibi-lidad de abordar desde problemas de porcenta-jes hasta problemas de diseños geométricos. Un acercamiento a curvas y superficies tam-bién es con ello factible.

Calidad de vida en la ciudadd […] El diseño y la organización de la ciudad influyen en nuestra calidad de vida y en eso las Matemáticas tienen mucho que aportar. Hay que conocer la realidad con estadísticas, índi-ces o porcentajes. Y a partir de ahí, encontrar soluciones imaginativas aplicando la Geome-

tría, la Programación Lineal, la Optimización, y siempre la lógica. Para ampliar la información aquí aportada, recomendamos acudir a la página:

www.catedu.es/matematicas_mundo/CIUDAD/CIUDAD.htm,

donde el profesor Sorando presenta una ver-sión ampliada del trabajo publicado por la FESPM. En esa web podrá encontrarse una magnífica recopilación de todos los temas ma-temáticos que pueden explotarse en relación a la ciudad. En www.catedu.es/matematicas_mundo, ade-más de poder acceder a la dirección mencio-nada más arriba (enlace La ciudad y las mate-máticas), podemos encontrar enlaces que lle-van a materiales en los que se expone la pre-sencia de las Matemáticas en otros ámbitos de la vida cotidiana: Música, Cine, Humor,… en palabras del autor, con un fin educativo y cultu-ral. El interés mostrado en esas palabras ha acompañado al autor a lo largo de toda su vida profesional. José María Sorando Muzás es catedrático de Matemáticas en el IES Elaios de Zaragoza y entre sus múltiples actividades destacamos aquí su participación activa en los comienzos de la Informática Educativa en nuestro país, es socio fundador de la Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas “Pedro Sánchez Ciruelo”, ha realizado diferentes exposiciones relacionadas con las Matemáticas y, en la ac-tualidad, está a cargo de la sección CineMA-TEca de la revista SUMA. La ponencia Matemáticas por todos los cami-nos, que el profesor Sorando presentó en la XIV edición de las JAEM, celebradas en Girona en julio del presente año, ofrece una magnífica reflexión sobre su pensamiento acerca de la educación matemática.

Anunciamos que el tema elegido con motivo del Día Escolar de las Matemáticas 2010 es:

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CULTURA Y MATEMÁTICAS

CIENCIA PARA CONVERSOS

Juan González Criado del Rey Estudiante de la Licenciatura de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UC

Hace algunos años que me alimento de revis-tas, libros y documentales de divulgación cientí-fica y, a medida que me he ido topando con calles cortadas a la hora de aprender algo más, ha ido creciendo mi interés por la ciencia y, en particular, por las matemáticas. Quiero compartir una de las obras de las que más he disfrutado. Un libro que me recomendó hace un tiempo un amigo de mi padre y sin el que probablemente no estaría dedicándome al estudio de las mates.

Penrose, Roger

La Nueva Mente del

Emperador

García Sanz, Javier

(traductor)

1ª edición

Barcelona

DeBOLS!LLO

2008

693 páginas

ISBN: 978-84-8346-117-4

La Nueva Mente del Emperador, del conocido físico y matemático Roger Penrose, constituye una profunda discusión sobre los aspectos fundamentales de la hipótesis de la Inteligencia Artificial fuerte. Para aquellos que no estén familiarizados con las posturas sobre la inteli-gencia artificial, la IA fuerte postula que en cuestión de dos o tres siglos seremos capaces de producir máquinas pensantes en el sentido más literal de la palabra, a través de una sofis-ticación suficiente de los algoritmos y de las máquinas físicas, y del estudio detallado del funcionamiento de la mente humana. Para los

defensores de esta corriente, la capacidad de un ente para ser autoconsciente reside en los algoritmos con los que trabaja, no dependiendo esta habilidad directamente del medio físico en el que se ejecutan las órdenes. Aunque el lector no esté especialmente intere-sado en la discusión actual sobre la inteligencia artificial, encontrará durante el desarrollo de la obra constantes inmersiones en temas de físi-ca, matemáticas y filosofía, que van desde el acercamiento al conjunto de Mandelbrot y as-pectos de la teoría de números, hasta una ex-plicación asombrosamente inteligible de los puntos más relevantes de la relatividad y la teoría cuántica, y sus implicaciones; todo ello salpicado de divertidos ejemplos que le ayuda-rán a hacer suyas muchas ideas que hasta el momento pudieran haberle resultado un verda-dero criptograma. Resulta interesante, por ejemplo, la explicación que hace Penrose del famoso experimento de la doble rendija, un hecho que una vez entendido es, cuanto me-nos, desconcertante.

Imágenes secuenciadas del experimento de la doble rendija.

www.youtube.com/watch?v=elQYG5brROY

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Es más, aunque la lectura de los temas de física y matemáticas pretendan pasar por apo-yos a la argumentación de la crítica a los de-fensores de la IA fuerte, ésta es la parte princi-pal de la obra, hasta el punto de que podemos, sin miedo, calificarla de obra de divulgación científica. Si el lector es, como yo, una de esas personas hambrientas de artículos divulgativos de las novedades en el mundo de la física con-temporánea, pero que al no tener una base sólida se desespera esforzándose por enten-der, es posible que encuentre, como yo lo hice, uno de sus artículos favoritos en esta obra. Eso sí, como todas las obras de divulgación científi-ca, debe pensarse en el libro de Penrose como una introducción, un “abrir boca” en una serie de temas en los que, si está interesado, deberá estudiar con una mayor profundidad y con su formalización correspondiente, no vaya a ser que terminemos todos pensando que realmente vivimos entre cuerdas de cáñamo y membra-nas de chicle.

Tengo que confesar que me sorprendió particu-larmente la sección dedicada al conjunto de Mandelbrot, incluso me atrevería a decir que fue un gran empujón que me llevó tiempo des-pués a cambiar los libros de historia por las matemáticas en la universidad. Para un estu-diante de Bachillerato de Humanidades puede ser peligroso descubrir ese mundo de Tor Bled Nam que describe Penrose cuyas ilustraciones revelan un universo caótico en el que parece subyacer un orden basado en la auto-similitud.

Es verdad que disfruto de la historia, y que siempre me había considerado un poco “talibán pro-humanidades”, pero ahora sé que Benoît Mandelbrot acertó al venerar esa matemática visual tan criticada por sus colegas más con-servadores. A mí me sedujo en su momento y sentí la necesidad de saber algo más. Hoy, como estudiante de Matemáticas, puedo permitirme acercarme un poquito a ese mundo, no sin antes haber leído y releído el capítulo una y otra vez. Es uno de esos textos que uno va leyendo varias veces a lo largo de los años y

en cada lectura entiende algo más, terminando con ese pequeño sentimiento de satisfacción. Además de temas sobre matemáticas se puede aprender mucho sobre física, donde Penrose me impresiona como divulgador, permitiendo que el lector entienda los conceptos más fácil-mente, a mi juicio, que en otros títulos como La Teoría del Todo, del mismísimo Hawking – también recomendable para principiantes, por cierto – que aunque no coincide exactamente en su temática con el libro de Penrose, en éste también se trata la relación de la flecha del tiempo con el aumento de la entropía, algo que se expone de forma más extendida y clara en La Nueva Mente del Emperador. Por supuesto que aún no logro comprender muchas de las cuestiones que se introducen en la obra y, posiblemente, me llevará tiempo hacerlo, así que el entretenimiento está asegu-rado para un largo periodo. Si el lector está interesado en este tipo de “lite-ratura” puede saciar su apetito con otras obras como El Universo Vecino, de Marcus Chown, ¿Qué sabemos del universo?, por Juan Pérez Mercader, Las Carencias de la Realidad, de Ramón Lapiedra y, para los más jóvenes, Stephen Hawking para principiantes, un pe-queño libro de Joseph McEvoy y Oscar Zárate que mezcla texto con viñetas de cómic hacien-do la lectura mucho más amena.

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UN POCO DE TEATRO MATEMÁTICO

María Belén Muñoz Fernández. IES Manuel Gutiérrez Aragón. Viérnoles El pasado curso en nuestro instituto, en 2o de ESO, y desde el área de Matemáticas, se abordó el Plan Lector mediante la lectura del libro El asesinato del profesor de matemáticas.

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Jordi Sierra i Fabra

Editorial Anaya

176 páginas

ISBN: 84-207-1286-8

Objetivos:

– Mejorar la fluidez lectora

– Mejorar la compresión lectora

– Inculcar el gusto por la lectura

– Mejorar la capacidad de resumen y síntesis

– Ampliar el vocabulario

– Mejorar la expresión oral

– Perder el miedo a hablar en público Metodología:

El desconocimiento del tiempo que la lectura de El asesinato del profesor de matemáticas nos iba a llevar, motivó el que se tomara la decisión de que un día a la semana se destinase el pri-mer periodo de la clase a la lectura de un capí-tulo del libro. El hecho de que en el aula se dispusiera de un único volumen del texto, nos obligó a organizar la lectura de manera que hubiese una alternancia en las personas que la realizaban en voz alta, mientras el resto de estudiantes la escuchaban. Parte de la trama del libro se desarrolla en tor-no a una serie de problemas o juegos matemá-ticos que precisan de ser resueltos para poder seguir con el hilo argumental y llegar a desen-trañar el enigma final. En clase, el planteamien-to de un problema de los aparecidos en el texto se hacía con cierto adelanto. Con el objetivo de dar a los estudiantes un tiempo de margen para la resolución de los enigmas parciales, fuera de la hora de clase, la semana antes a su lectura se proponía el problema a resolver. Los chicos y chicas buscaban la solución durante ese pe-

riodo y, a la semana siguiente, cuando el juego matemático aparecía en la lectura, ya se dispo-nía del resultado y podía proseguirse con la misma sin prácticamente pausa alguna. La circunstancia de disponer de un solo volumen, que en principio puede suponer un handicap, se convirtió así en ventaja puesto que cada alumno debía resolver las cuestiones plantea-das sin estar sometido a la tentación de mirar la solución.

La metodología hasta aquí expuesta fue modi-ficada al llegar al capítulo doce. De este capítu-lo se extrajeron ciertos diálogos con el fin de que tres alumnos se estudiaran sus guiones y pudieran representar una pequeña obra de teatro. Incluso esa fase de improvisación que tanto éxito da a algunas obras de farándula, estuvo presente en el desarrollo del trabajo de nuestros estudiantes, aconteció cuando, sin repaso previo, realizaron en la pizarra las ope-raciones que venían propuestas en dicho capí-tulo. Sirvió por tanto como actividad inicial para recordar lo aprendido en 1o de ESO así como elemento motivador para introducir el tema de ecuaciones, puesto que para dar la solución a uno de los problemas fueron incorporados en los diálogos los pasos de resolución de una ecuación de primer grado. Actividades:

– Lo primero que hacíamos en nuestra sesión de lectura es que uno de los alumnos debía hacer un resumen al resto de la clase de lo que habíamos leído hasta el momento. Cuando terminaba, los demás podían corre-gir, si estaba equivocado en algún detalle, o añadir algún dato más.

– Al final de la lectura otro alumno hacía un resumen del capítulo leído.

– Según íbamos leyendo se iban anotando en la pizarra aquellas palabras que les podían resultar desconocidas para que las buscaran en el diccionario; algunas de ellas fueron: ca-tarsis, vehemencia y farfullar.

Criterios de calificación:

Antes de la lectura del libro se ponían en co-mún las diferentes soluciones de los problemas planteados y se calificó positivamente tanto que la solución fuese correcta como la capacidad de reflexión y el proceso llevado a cabo para la resolución. Todo ello formaba parte del trabajo en clase, un 10 % de la nota de la evaluación.

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Experiencias en el aula: De todos es sabido que hay alumnos que siempre quieren ser partícipes de las activida-des propuestas y otros que tratan de pasar desapercibidos. Por esta razón, a la hora de llevar a cabo ésta y cualquiera otra actividad, hemos de procurar, como hicimos en esta oca-sión, dar la oportunidad de que todos los chicos y chicas del aula colaboren en la lectura sema-nal. En este sentido lo que hicimos fue comen-zar cada semana por una fila de estudiantes.

La introducción de la obra de teatro supuso una mayor motivación a la que ya de por sí tenía la lectura del libro y la resolución de los enigmas. Los alumnos con tendencias absentistas no querían perdérselo y, curiosamente, fueron los alumnos con peor rendimiento académico los que quisieron ser los actores de la obra de teatro, con lo que se consiguió asentar en ellos las bases de resolución de ecuaciones y que realizaran con gusto unas operaciones que de otra manera no hubieran hecho.

La obra de teatro: LUC: ¿Dónde está la calle? ADELA: Cerca. Yo la conozco. Mi prima vive al lado. NICO: ¿No podemos coger un taxi? LUC: ¿Tienes dinero? NICO: ¿Yo? ¡Sí, hombre! LUC: Pues entonces… ADELA: Tomaremos el tranvía de San Fernando. NICO: ¿Qué tranvía es ése? Y además, aquí no hay tranvías. ADELA: El tranvía de San Fernando es el que va un rato a pie y otro andando. NICO: ¡Ja, qué graciosa! LUC: ¿De dónde has sacado eso? ADELA: Mi abuelo. Es un pozo de frases, dichos y refranes. Me encanta escucharle. LUC: Qué suerte tienes. Mi abuelo paterno murió siendo yo un crío, y el padre de mi madre vive en el otro extremo de España, así que… unos días en verano y poco más. ADELA: A mí me encantan mis abuelos. NICO: Y a mí los míos, sobre todo el materno. Como fue músico en su juventud, cuenta cada batallita que es para mearse. ADELA: Fino. NICO: Usted perdone. LUC: Eh. ¿Creéis que todos los problemas y las pistas serán tan sencillos como hasta ahora? NICO: ¿Sencillos? LUC: Para lo burros que somos nosotros en mates, haber resuelto ya tres problemas es mucho, así que deben ser sencillos. ADELA: Tranquilo, que ya habrá alguna jugarreta. LUC: Bueno, ¿y si dejamos de hablar y corremos un poco? Porque a este paso no llegamos. ADELA: Ahí está la calle Tunos número 2. NICO: Pues…me… nos… mal… Mira la hoja, ¿dice algo más?

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ADELA: No dice nada. Sólo “Id a ese lugar”. LUC: ¿Dónde dejarías tú un sobre? NICO: No puede haberlo dejado dentro del piso. Miremos en el buzón. ADELA: Mira, ése es el de Felipe Romero y hay algo que asoma. LUC: ¡Sobre número 4, tachán! NICO: Vámonos, rápido. LUC: Mira, allí en esa esquina hay una pared que puede servirnos de pizarra. Venga Adela, lee lo que dice el papel. ADELA:

NICO: ¿Qué clase de pista es ésta? ADELA: Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, hombre. Pan comido. LUC: Leamos el enunciado del problema despacio por si hay alguna trampa. ADELA: Venga, vamos. ¿Quién tiene la tiza? NICO Y LUC: ¡Tú! ADELA: Primero planteamos la ecuación; la incógnita X son los años que tendrán que transcurrir:

70 + X = 3 · (20 + X) NICO: Ahora quitemos el paréntesis, resolviendo las operaciones: 70 + X = 60 + 3X LUC: Ahora dejemos los términos con X en un miembro y el resto en el otro miembro:

X – 3X = 60 – 70 ADELA: Operemos: – 2X = –10 NICO: Tenemos que despejar la X. ¿Qué está haciendo el – 2 a la X? LUC: Le está multiplicando, así que pasará al otro miembro dividiendo: X = –10 / – 2 NICO: X = 5. ¡5 años! ADELA: Cuando el padre tenga 75, el hijo tendrá 25, exacto. NICO Y LUC: Ahora la pista. ADELA: Haced la operaciones vosotros y yo iré corrigiendo por si tenéis algún error. NICO: Dame. (Hacen la operación) ADELA: Pues tenemos otro numerito que ya me diréis en qué esquina hay que buscarlo.

Problema 4:

Un hombre tiene 70 años y su hijo 20. ¿Cuántos años habrán de transcurrir para que el padre

triplique en edad al hijo?

Pista para dar con el siguiente sobre:

Buscad en la esquina el [(37.624.806 – 19.592.905) x 2 + 9.594.198] / 200 – 226.289

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EFEMÉRIDES MATEMÁTICAS

Amador Álvarez del Llano. IES La Marina. Santa Cruz de Bezana

Hace mil años o más… Porphyry Malchus nació en Tiro, al sur del actual Líbano, en el año 233. Su familia era de origen sirio. Desde muy joven mostró un gran afán de conocimientos y, por ello, fue enviado a Atenas para estudiar con Longinus. Al parecer fue éste quien le dio el sobrenombre de Porp-hyry (púrpura) en homenaje a la famosa púrpu-ra real que se elaboraba en su ciudad natal. Longinus tenía fama de ser una “biblioteca humana y un museo andante” y sus enseñanzas ponían especial énfasis en la aten-ción crítica al detalle, la clari-dad de estilo y la erudición. Estas características dejaron una huella indeleble en el espíritu de su discípulo. El año 263 Porphyry abandona Atenas y se dirige a Roma, ingresando en el círculo de filó-sofos neoplatónicos que encabezaba Plotinus. Durante cinco años estudia sus doctrinas advir-tiendo ciertas carencias y debilidades tanto en sus argumentaciones como en su estructura. Este hecho, y los consiguientes desacuerdos y disputas con otros miembros del círculo neopla-tónico, pudieron ser el motivo por el que aban-donó Roma y se estableció en Sicilia. En la isla escribe una obra de introducción al neoplato-nismo, que titula “Ayudas para el estudio de los inteligibles”, e “Isagoge o Introducción a las Categorías de Aristóteles”. Esta última, además de renovar el interés por el estudio de la obra aristotélica e incorporar sus ideas lógicas al neoplatonismo, se convertirá en un texto fun-damental para posteriores desarrollos de esta disciplina en la época medieval. En su retiro insular, Porphyry, que era un notorio defensor de la cultura pagana frente al cristianismo

emergente, encontró tiempo para rebatir su doctrina en una extensa obra que tituló “Adver-sus Cristianos”. Al igual que ya lo habían hecho anteriormente los pitagóricos, defendió el vege-tarianismo por razones éticas y espirituales y, en torno a este tema, escribió dos obras: “De Abstinentia” y “De Non Necandis ad Epulandum Animantibus”, en las que arremetía contra el sacrificio de animales para alimento de los humanos. Hacia el año 282 regresa a Roma, donde se dedica a la enseñanza de la filosofía. Entre sus discípulos estaba Lamblicus, que más adelante sería su rival filosófico, y una viuda llamada Marcela con la que contraería matrimonio. Por esta época ya había fallecido su maestro Ploti-nus e inició la revisión y edición de sus obras que publicará hacia el año 301. Pocos más datos fehacientes se conocen de su vida y hasta la fecha de su defunción, que se suele situar en el año 309, no resulta totalmen-te fiable. Los intereses de Porphyry abarcaron temas muy diversos; además de las obras anterior-mente citadas, escribió sobre astrología, reli-gión y teoría de la música. También dedicó una parte importante de su obra a la historia de la filosofía. En ella aparecen las biografías de los más importantes filósofos de la antigüedad y de su tiempo, incluida la de su maestro Plotinus. Fue precisamente su biografía de Pitágoras, y el comentario a los Elementos de Euclides, en el que se basó posteriormente Pappus para escribir el suyo, los trabajos que le han propor-cionado un modesto lugar en la historia de las matemáticas.

Abu'l-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus nació el año 950 en Egipto en el seno de una familia ilustrada. Su padre fue un importante historiador árabe. Su vida profesional y científica estuvo estrechamente ligada a la dinastía fatimida, rival de los califas abasidas, que reinó en la primera mitad del siglo X en el norte de África y Sicilia. El año 969 conquistó el valle del Nilo y estableció El Cairo como capital de su imperio. Cuando al-Aziz accede el año 975 al califato, ibn Yunus inicia sus obser-vaciones astronómicas bajo su protección. El trabajo de los astrónomos cortesanos, como ibn Yunus, tenía una relevancia especial en el mundo musulmán, ya que la religión islámica requería establecer con precisión los periodos de oración a lo largo del año. Esto implicaba un conocimiento detallado de las posiciones de la Luna y el Sol. Otro aspecto igualmente importante de su trabajo era la determina-ción de los meses en el calendario musulmán, que depende en mayor medida de la observación de la luna creciente que de la duración del mes lunar, lo que requiere un conocimiento exacto de la distan-cia entre estos dos cuerpos celestes para poder predecir la visibilidad de la luna.

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No eran ciertamente la realización de observaciones y la elaboración de tablas astronómicas y trigo-nométricas, que habrían de fundamentar su fama en la posteridad, las únicas tareas que ibn Yunus desarrollaba en la corte califal. Otro de sus cometidos principales era el estudio y práctica de la astro-logía judiciaria. Esta última faceta le ganó el favor de al-Hakim, sucesor de al-Aziz tras su fallecimien-to el año 996, e incluso le permitió mejorar la protección califal que venía disfrutando. El nuevo califa era un entusiasta de la astrología, hasta el punto de llenar su palacio de El Cairo con los instrumentos astronómicos más avanzados de la época. Parece que, al menos en una ocasión, ibn Yunus utilizó este valioso instrumental para observar Venus desde la privilegiada posición que ofrecían las terrazas del palacio de al-Hakim. El nuevo califa era un personaje excéntrico y un tanto sanguinario. Se dice que durante el asedio a la ciudad de al-Fustat, ordenó el sacrificio de todos los perros porque le molestaban sus ladridos. Esta insana excentricidad alcanzó también, al parecer, a otras especies tanto del reino animal como del vegetal, ya que llegó a prohibir el consumo de algunos pescados y de ciertas verduras. Ibn Yunus no le iba a la zaga a su soberano en lo tocante a la excentricidad, aunque, en su caso, ésta no pasaba de ser la típica del sabio distraído y ausente, ataviado con un vestuario tan desaliñado y harapiento, que ofrecía un aspecto verdaderamente cómico. La obra más importante de ibn Yunus fue el libro de astronomía, dedicado al califa al-Hakim, que tituló “al-Zij al-Hakimi al-kabir”. En él recoge sus propias observaciones y las de sus predecesores y describe 40 conjunciones planetarias y 30 eclipses lunares que, más adelante, serían utilizados por Simon Newcomb en su teoría lunar. Utilizando los conocimientos actuales, se ha podido comprobar que las descripciones de ibn Yunus tienen un grado de precisión inusual para la época. Desde un punto de vista matemático, la obra incluye un elevado número de tablas con diferentes finalidades: para la confección de los calendarios musulmán, copto, sirio y persa, para la conversión entre ellos, para la determinación de la Pascua, para el cálculo del ángulo horario y del azimut solar a partir de la altitud del Sol, etc. En todas ellas alcanzó un alto grado de exactitud, lo que parece indicar que pudo haber utilizado procedimientos de interpolación no lineal. Igualmente es destacable el alto nivel de sofisticación que alcanza su tratamiento de la trigonometría esférica. Al parecer, el año 1009, ibn Yunus predijo la fecha de su propia muerte cuando aún gozaba de buena salud. Se retiró de todas sus actividades y se encerró en su casa paterna de al-Fustat, donde se man-tuvo recitando el Corán hasta que se produjo su fallecimiento en el día que había señalado.

Hace trescientos años Giordano Riccati fue el quinto hijo del cono-cido matemático y polígrafo italiano Jacopo Riccati. Nació en Catellfranco Veneto el 25 de febrero de 1709. Su formación científica inicial estuvo guiada por su progenitor, al igual que la de sus hermanos Vincenzo (1707-1775) y Francesco (1718-1791) que fueron notables matemáticos, destacando el primero de ellos por sus investigaciones físico-matemáticas. Los intere-ses científicos y culturales de Giordano fueron muy variados desde su temprana juven-tud. Prueba de ello es que, durante su estancia en la Universidad de Padua, además de prose-guir sus estudios matemáticos con Ramiro Rampinelli, asistió a las lecciones de hidráulica de Poleni, de literatura, filosofía y teología de Lazzarini y Serry, y de diseño de Natale Mel-chiorri. Aunque realizó algunas investigaciones mate-máticas sobre cuestiones relacionadas con los logaritmos de números negativos, el problema isoperimétrico y las ecuaciones algebraicas,

Giordano Riccati fue esencialmente un mate-mático aplicado. Su concepción de las matemá-ticas aparece unida al estudio y la investigación de otros campos del conocimiento. Esta idea, por otra parte, estaba muy extendida en la cul-tura científica del setecientos, y tiene su origen en el programa de matematización de la cien-cia, iniciado por Galileo y continuado por New-ton y otros, de expresar los principios físicos fundamentales mediante enunciados matemáti-cos cuantitativos y deducir de ellos, a partir del razonamiento matemático, nuevos resultados físicos. Su investigación en el campo de la física ma-temática se centró en la mecánica vibratoria y sus resultados se plasmaron en “Delle Corde ovvero Fibre Elastiche Schediasmi Fisico-Matematici”, publicada en Bolonia en 1767. En ella abordó el estudio de la vibración de la cuerda elástica, asunto que suscitaba profun-dos problemas que atrajeron la atención de los mayores matemáticos del setecientos como

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Euler y D’Alambert. Cabe señalar también su importante trabajo de revisión y organización de las obras de su padre y de su hermano Vin-cenzo. Otro centro de interés de sus investigaciones, derivado del estudio físico-matemático de la acústica, fue el de la teoría de la música. La teoría musical riccatiana se basa esencialmen-te en el método experimental. Desde su punto de vista, la armonía está regida por leyes obje-tivas precisas que permiten analizar la música con métodos científicos. Una tercera faceta de la actividad científica y

cultural de Giordano Riccati fue la teoría de la arquitectura donde aporta un valioso estudio sobre la aplicación arquitectónica de la media proporcional armónica. Su aportación en este campo traspasó el ámbito teórico y se plasmó en atrevidos diseños de iglesias y teatros en los que se prestaba una especial atención a las cuestiones geométricas y acústicas. Giordano Riccati fue una figura científica y cul-tural de importancia en la segunda mitad del siglo XVIII. Mantuvo una asidua corresponden-cia con algunos de los intelectuales más brillan-tes del setecientos. Falleció en Treviso el año 1790.

Hace doscientos años Joseph Liouville nació el 24 de marzo de 1809 en la localidad francesa de Saint-Omer. Su padre era un capitán veterano del ejército de Bonaparte que se retiró a vivir con su familia a la ciudad de Toul tras la derrota del empe-rador. Liouville realizó sus primeros estudios en la escuela de Toul; más adelante, se traslada a París para estudiar Matemáticas en el Collège St Louis e ingresa el año 1825 en la École Po-lytechnique, donde asiste a las lecciones de Análisis y Mecánica que impartía Ampère y a los cursos de Arago. En 1827 obtiene la gra-duación y entra en la Escuela de Caminos, que abandona en 1830 sin llegar a diplomarse a causa de sus problemas de salud y, también, y esto parece que fue determinante, a que para esas fechas ya había tomado la decisión de orientar su carrera hacia el mundo académico en lugar de dedicarse a la ingeniería. En 1831 inicia su labor docente impartiendo clases en diferentes escuelas privadas y en la Escuela Central. En un largo proceso por con-solidar una posición sólida en el mundo aca-démico, hallamos a Liouville en el año 1837 pugnando con Duhamel por una cátedra vacan-te en la École Polytechnique, que finalmente gana éste. Ese mismo año es nombrado profe-sor sustituto de Biot en el Collège de France y, un año más tarde, obtiene el nombramiento de profesor de Análisis y Mecánica en la École Polytechnique. En 1839 es elegido miembro de la sección de Astronomía de la Academia de Ciencias, pese a la enconada oposición de Libri y, al año siguiente, es designado para cubrir la vacante dejada por Poisson en el Bureau des Longitudes.

La carrera académica de Liouville no fue un camino de rosas; cuando fallece Lacroix en 1843, presenta su candidatura a su cátedra en el Collège de France, lo que le vuelve a enfren-tar con Libri que, a la postre, le gana la plaza. El desquite se demoró unos años; durante la revolución de 1848, Libri huye de Francia para evitar la prisión a la que había sido sentenciado por el hurto de valiosos libros y manuscritos. Su cátedra se declara vacante en 1850 y, nueva-mente, Liouville compite por el puesto, en este caso nada menos que frente a Cauchy. Tras una decisión muy ajustada, obtiene finalmente la plaza. Por esta época de su vida se decía que dedicaba los inviernos a realizar las tareas docentes y administrativas propias de un profe-sor con una carga horaria semanal cercana a las 40 horas y que, en consecuencia, reservaba los veranos para dedicarse a la investigación matemática y a la redacción de artículos y tra-bajos en su casa familiar de Toul. El año 1848 entró en la agitada vida política parisina de la mano de su amigo Arago, pre-sentándose como candidato por el partido re-publicano moderado a la Asamblea Constitu-yente. Los vientos favorables a su partido le otorgaron el acta de diputado. Un año más tarde, sin embargo, había cambiado considera-blemente la situación política y no pudo lograr la reelección. Esta derrota le llenó de amargura y parece que provocó un profundo cambio en su carácter, tornándolo irritable y resentido incluso con sus amigos de siempre. Su paso por la política disminuyó considerablemente su producción matemática, pero en 1850 retorna a la investigación, a pesar de sus problemas de salud, y lo hace con energías renovadas, hasta el punto de que los años 1856 y 1857 son con-siderados como los más productivos de su carrera.

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La obra de Liouville abarca un amplio rango de temas que van desde la física matemática y la astronomía a las matemáticas puras. En sus trabajos iniciales sobre electromagnetismo inició un nuevo tema matemático que se deno-mina en la actualidad cálculo fraccional. Entre 1832 y 1833 aborda, junto a Abel y Ostrograds-ki, el problema general de la naturaleza de las clases de funciones que se obtienen por inte-gración de otras clases: racionales, algebrai-cas, trascendentes, etc. Sus resultados inicia-les sobre la integración de funciones algebrai-cas en términos finitos fueron obtenidos de forma independiente a los de Abel, pero más adelante incluyó algunas ideas de éste en sus propios trabajos. Uno de los problemas de mayor importancia en la física matemática es la búsqueda de solucio-nes de ciertas ecuaciones diferenciales de se-gundo orden con condiciones de contorno refe-ridas a los extremos de un intervalo o en una superficie. Entre 1829 y 1837 Liouville y Sturm investigaron las ecuaciones diferenciales linea-les de segundo orden, examinando las propie-dades de sus valores propios, el comporta-miento de las funciones propias y el desarrollo en serie de funciones arbitrarias en términos de las funciones propias. Esta investigación dio como resultado la teoría de Sturm-Liouville de gran importancia para la resolución de ecua-ciones integrales. La teoría de las funciones elípticas, tras el im-pulso inicial de Euler, y posteriormente de Gauss, fue desarrollada en lo fundamental a lo largo del siglo XIX por diferentes matemáticos. Entre ellos, cabe destacar a Jacobi, Abel y Liouville. Este último probó que las funciones abelianas son trascendentes. Otro tanto suce-dió con el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja en el que jugaron un pa-pel fundamental las memorias de Cauchy y algunos trabajos de Abel, así como los resulta-dos obtenidos por Laurent y Liouville en los años 40, que culminaron su periodo de forma-ción. Liouville aplicó la teoría de Cauchy a la teoría de funciones elípticas y, entre los teore-mas que obtuvo, cabe destacar el que afirma que si una función analítica está acotada en valor absoluto en todo el plano complejo, en-tonces la función es constante. Gauss abrió una nueva etapa en la geometría diferencial con sus investigaciones de 1828 sobre la geo-metría intrínseca de las superficies, es decir, sobre propiedades que son invariantes al do-blamiento. Liouville abordó el estudio de las transformaciones conformes en 1844 y obtuvo resultados fundamentales para la mecánica estadística y para la teoría de la medida. Otra

aportación importante de Liouville fue la de-mostración de la existencia de números tras-cendentes en 1844. Investigando las aproxima-ciones con racionales, obtuvo el primer ejemplo de una clase infinita de números trascendentes, los números de Liouville, utilizando para su generación las fracciones continuas. En 1851 publicó un artículo en el que prescindía de és-tas y daba como ejemplo la llamada constante de Liouville: 0,1100010000000000000000010000... en la que los unos ocupan las posiciones deci-males n! y los ceros el resto de posiciones. Los números de Liouville están incluidos en la clase más amplia de números trascendentes. La demostración de la trascendencia de un núme-ro determinado representa un arduo problema; el propio Liouville sólo alcanzó a probar en su artículo de 1844 que ni e ni e2 podían ser raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Hubieron de pasar casi 30 años para que Hermite probase la trascendencia de e en 1873 y, nueve años más tarde, Lindemann demostró la de pi, acabando de esta forma con la plaga de los “cuadradores del círculo” al mostrar la imposibilidad de la construcción ge-ométrica del antiguo problema griego. Liouville tuvo un papel muy importante en su país como editor de publicaciones matemáti-cas. La aparición de las revistas matemáticas fue una característica del siglo XIX. Anterior-mente se habían publicado revistas y periódi-cos de carácter científico, pero no específica-mente matemático. Ocho años después de la creación de L’Ecole Polytechnique (1794), apa-reció el “Journal de L’Ecole Polytechnique”, dedicado fundamentalmente a las matemáticas puras. En 1810, el oficial de artillería y compe-tente matemático Joseph-Díaz Gergonne inició la publicación de “Annales de Mathématiques Pures et Appliquées”. En 1826 el matemático alemán August Leopold Crelle fundó en Berlín el “Journal für die reine und angewandte Mat-hematik”, conocido popularmente como “Jour-nal de Crelle”, que había de alcanzar un extra-ordinario prestigio al ver en él la luz importantes trabajos y artículos de Niels Henrik Abel, Georg Cantor y Ferdinand Eisenstein, entre otros grandes matemáticos. Cuando falleció Crelle se hizo cargo de su edición, entre los años 1856 y 1880, Carl Wilhelm Borchardt, por ello fue co-nocido en ese periodo como el “Journal de Borchardt”. Liouville, que había publicado algunos de sus trabajos en el “Journal de Crelle”, era conscien-te de la diferencia de calidad entre las revistas matemáticas francesas y la publicación alema-na; por ello, el año 1836 fundó una revista con similares objetivos y hasta con el mismo título

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que la alemana: “Journal de Mathematiques Pures et Appliqées”. Al igual que sucediera con ésta, será conocida popularmente como “Jour-nal de Liouville”. La nueva publicación jugará un papel fundamental en la difusión de la ma-temática francesa del siglo XIX. También ha de consignarse a Liouville el mérito de haber advertido la importancia de los traba-jos de Galois y haberlos dado a conocer. Al parecer, Galois confió sus trabajos a su amigo O. Chevallier antes del duelo fatal y, aunque llegó a publicarse su carta, sus ideas pasaron desapercibidas. Parece que un hermano de Galois llevó sus manuscritos a Liouville en 1842 e insistió en que los leyera. Un año des-pués, Liouville comunicaba a la Academia de París la importancia de los resultados de Galois y se comprometía a publicarlos incorporando sus propios comentarios. En 1846 comenzó a publicarlos en el “Journal de Liouville”, pero tan sólo añadió alguna anotación para completar o rectificar los fallos o deficiencias que presenta-ban algunas demostraciones de Galois. Ade-más, Liouville introdujo las ideas de Galois en sus cursos, seguidos, entre otros, por Bertrand, Hermite y Serret, que publicaría más adelante una monografía sobre la teoría de Galois, Liouville falleció en París el 8 de septiembre de 1882. Hermann Günther Grassmann nació el 15 de abril de 1809 en la localidad prusiana de Stettin, actualmente perteneciente a Polonia. Era el tercero de doce hermanos. Su padre era profesor de matemáticas y física en el instituto de la ciudad y autor de va-rios textos escolares de esas materias; además había realizado notables investigaciones sobre cris-talografía. Uno de sus her-manos también fue mate-mático y colaboraría con él en varios trabajos. A pesar del ambiente familiar, Grassmann no mostró durante la secundaria ninguna inclina-ción destacable hacia las ciencias en general y hacia las matemáticas en particular, hasta el punto que cuando se trasladó a Berlín en 1827 para realizar estudios universitarios junto a su hermano mayor, se matriculó en cursos de teología, lenguas clásicas, filosofía y literatura y no parece que recibiera ninguna educación formal de matemáticas o de física. En el otoño de 1830 regresa a Stettin tras fina-lizar su formación universitaria. Seguramente

influenciado por su padre, decide prepara opo-siciones a profesor de instituto, a la vez que realiza investigaciones matemáticas por su cuenta. Al año siguiente se traslada a Berlín para realizar los exámenes, pero los resultados no fueron muy satisfactorios, ya que fue habili-tado para impartir enseñanza únicamente en los niveles elementales de la secundaria. En 1832 obtuvo una plaza de profesor ayudante en el Instituto de Stettin. Grassmann se tomaba muy en serio su labor docente y dedicaba un buen número de horas a la preparación de sus clases, que había de compatibilizar con sus investigaciones matemáticas y la preparación de oposiciones a profesor de niveles superiores de secundaria. En 1840 volvió a Berlín para hacer las pruebas que le habilitaran para impartir enseñanzas de matemáticas, física, química y mineralogía en todos los niveles de la secundaria. Como parte de esas pruebas remitió al tribunal examinador un ensayo sobre la teoría de las mareas, basa-do en la Méchanique analytique de Lagrange y la Méchanique céleste de Laplace. Para su exposición aplicó métodos vectoriales, que había comenzado a desarrollar en 1832 y per-mitían un tratamiento original y simplificado del tema. El ensayo de 200 páginas constituye el primer testimonio escrito en la historia de las matemáticas de lo que hoy denominamos álge-bra lineal. Introducía un análisis basado en los vectores y sus operaciones y fundamentos de la teoría de funciones vectoriales. Los miem-bros del tribunal, sin embargo, no fueron capa-ces de vislumbrar la novedad e importancia del trabajo de Grassmann. De vuelta a Stettin, continuó compatibilizando sus tareas docentes con la investigación ma-temática. En la primavera de 1842 comienza a escribir la que habría de ser su obra maestra y más revolucionaria “Die lineale Ausdehnungs-lehre, ein neuer Zweig der Mathematik” (Teoría de la extensión lineal, una nueva rama de la matemática). Finalizó el manuscrito en el otoño del año siguiente y lo publicó en 1844. Desarro-lla en esta obra un álgebra en la que los símbo-los representan entidades geométricas: puntos, rectas y planos, que pueden ser manipulados siguiendo ciertas reglas. Aunque no llega a definir formalmente espacio vectorial, esta no-ción está implícita en la obra. Partiendo de una colección de unidades, definía el espacio lineal libre que generaban sus combinaciones linea-les, la suma y la multiplicación por números reales y desarrollaba el concepto de indepen-dencia lineal. Introdujo los conceptos de sub-espacio, dimensión, suma e intersección de subespacios y proyección de elementos, de

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forma similar a como se hace en la actualidad. Demostró que la dimensión permanece inva-riante con los cambios de base y probó el teo-rema conocido más adelante con el nombre de Steinitz. Formuló también, entre otros importan-tes resultados, la identidad:

dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U ∩ W) Obtuvo la fórmula para el cambio de coordena-das al cambiar de bases y definió las transfor-maciones elementales de las bases probando que cada cambio de bases es un producto de transformaciones elementales. La obra presen-taba también un cálculo geométrico muy eficaz basado en el producto exterior que Grassmann había definido a partir del desarrollo de una idea de su padre. Esta continuación del álgebra lineal es lo que hoy se denomina álgebra exte-rior. El Ausdehnungslehre resultó un texto excesi-vamente vanguardista y no pudo ser apreciado en todo su valor cuando apareció. De hecho, Grassmann lo remitió a Möbius como tesis doctoral pero éste se sintió incapaz de valorarlo y se lo envió a Ernst Kummer que lo rechazó sin haberlo leído con la atención requerida. Se han apuntado dos razones principales para este rechazo que condenó al olvido durante un buen número de años a una obra que, a la postre, iba a ser revolucionaria para el futuro desarrollo de las matemáticas. Una, Grass-mann era un modesto profesor de secundaria y, por lo tanto, carecía del carisma académico que a otros investigadores, como Hamilton, les había permitido atraer la atención de la comu-nidad matemática hacia sus innovadoras pro-puestas. Otra, el tratamiento formal y abstracto que Grassmann confiere a su obra, más propio de un matemático de la siguiente centuria, re-sultaba muy difícil de asimilar a sus contempo-ráneos, que echaban en falta referencias intui-tivas a las que pudieran asir su significado. El mismo año de la publicación de Ausdeh-nungslehre, la Sociedad Jablonowski de Leip-zig convocó un premio para la solución a un problema formulado por Leibniz en 1679. Grassmann concurrió al certamen con el ensa-yo “Die Geometrische Analyse geknüpft und die von Leibniz Characteristik” y obtuvo el premio, aunque también en este caso su trabajo pasó desapercibido. En mayo de 1847, consciente de que su producción matemática innovadora merecía una posición académica de mayor nivel que la enseñanza en escuelas secunda-rias, solicita al ministro prusiano de educación una plaza universitaria. Éste solicitó consejo a Kummer, que conocía el ensayo premiado por haber formado parte del jurado; el eminente

matemático se despachó afirmando que la obra “contiene un buen material expresado de forma inadecuada”. El informe resultó demoledor para las aspiraciones de Grassmann, que continuó impartiendo clases en la escuela Friedrich Wil-helm hasta que, al fallecer su padre en marzo de 1852, fue designado para cubrir su vacante en el Instituto Stettin, nombramiento que llevó aparejado el reconocimiento pleno del título de profesor de secundaria. El 12 de abril de 1849 contrajo matrimonio con Therese Knappe, hija de un terrateniente. El matrimonio tuvo once hijos de los que tan sólo siete sobrevivieron. Cabe señalar, como dato anecdótico, que uno de ellos, Hermann Ernst Grassmann, recibió el doctorado por la Univer-sidad de Halle-Wittenberg y fue profesor de matemáticas en la Universidad de Giessen, y otros dos, Justus y Max, fueron profesores del Instituto Stettin. Pese al escaso reconocimiento de sus colegas, Grassmann estaba convencido de que sus métodos tenían un amplio campo de aplicacio-nes y que la comunidad científica los tomaría en cuenta cuando los conociese. Entre los años 1844 y 1862 publica un amplio número de tra-bajos con esta finalidad. Entre ellos, se inclu-yen aplicaciones a la física, como su “Nueva teoría del Electromagnetismo” (1845), su “Teo-ría sobre la mezcla de colores y las leyes de los colores” (1853), que contradecían las ideas de Helmholtz al respecto y, que finalmente, han prevalecido, y otros trabajos sobre cristalogra-fía y mecánica. Escribió varios artículos sobre las aplicaciones al estudio de curvas algebrai-cas y superficies y, en 1861, expuso la primera formulación axiomática de la aritmética usando el principio de inducción, ampliamente citada por Peano en sus trabajos a partir de 1890. Pocos matemáticos de ese periodo llegaron a valorar su obra a excepción de Hamilton, Cau-chy, Saint-Venant, Bellavitis y Cremona. A par-tir de 1865 se inicia un lento reconocimiento por parte de sus contemporáneos: Hankel, Clebsch, Schlegel, Klein, Noth, Sylvester, Clif-ford y Gibbs. El primero de ellos fue el único que valoró en su justa medida la importancia de las ideas de Grassmann en vida de éste, dán-dolas a conocer en su obra “Theorie der com-plexen Zahlensysteme” (1867). Gibbs y Clifford descubrieron su obra el año 1877, año de su fallecimiento. En 1878 Clifford publicó un traba-jo en el que unía las teorías de Grassmann y la de los cuaterniones de Hamilton dando origen a las llamadas álgebras de Clifford, de importan-tes aplicaciones en la teoría de las formas cua-dráticas y en la mecánica cuántica relativista.

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En 1898 se publica “Universal Algebra” de A. N. Whitehead, que contiene la primera exposi-ción sistemática de la teoría de la extensión y del álgebra exterior en lengua inglesa. Ya en el siglo XX, el gran geómetra francés Elie Cartan (1869-1951) hizo del álgebra exterior de Grassmann el instrumento básico de la teoría de variedades diferenciables, consolidando su posición de privilegio en la matemática actual y multiplicando sus aplicaciones en el análisis, la geometría y la física-matemática. Contrariado por la falta de reconocimiento a sus méritos matemáticos, Grassmann comenzó a estudiar sánscrito en 1849 e inició investiga-ciones de lingüística histórica, a la vez que redactaba libros de gramática alemana y reco-pilaba catálogos de canciones populares. En 1862 retornó a las matemáticas y, tratando de conseguir el reconocimiento de su teoría de la extensión, publicó una segunda edición de la Ausdehnungslehre con la exposición definitiva de su álgebra lineal. La acogida de esta segun-da reedición no fue más favorable que la prime-ra y, lleno de frustración, volvió a la investiga-ción lingüística que, a la postre, le habría de proporcionar más satisfacciones y honores. En los primeros años del 70 publicó su diccionario y traducción del Ayurveda, que aún se sigue reeditando en la actualidad y formuló la llamada ley de Grassmann relativa a los fonemas de las lenguas indoeuropeas. También escribió un diccionario sobre el Rig-Veda. Sus aportacio-nes filológicas le fueron reconocidas en vida nombrándole miembro de la American Oriental Society y otorgándole el título de doctor honoris causa por la Universidad de Tubinga. El 26 de septiembre de 1877, debido a una cardiopatía, abandonaba un mundo que empe-zaba a reconocer la brillantez e importancia de sus creaciones matemáticas. Benjamin Peirce nació el 4 de abril de 1809 en Salem, Massachusetts. Su padre era legis-lador del estado y bibliotecario del colegio Har-vard, en él ingresará su hijo el año 1825 gra-duándose cuatro años más tarde. A partir del año 1831, en que recibe el nombramiento de tutor de Harvard, desarrollará toda su carrera en ese centro. En 1833 es nombrado profesor de matemáticas y filosofía natural, desempe-ñando este puesto hasta que el año 1842 toma posesión de la cátedra de Matemáticas y As-tronomía en la que permanecerá hasta su falle-cimiento, el 6 de octubre de 1880. El año 1833 se casa con Sarah Hunt Mills, hija de un senador. El matrimonio tuvo cuatro hijos; todos ellos desarrollaron brillantes carreras,

pero el más famoso fue Charles Sanders Peir-ce, un auténtico polígrafo que destacó en las más variadas disciplinas: filosofía, lógica, ma-temática, química, historia y otras muchas acti-vidades. Entre 1835 y 1846, coinci-diendo con los primeros años de su carrera, publicó diferentes libros de texto que, aunque presentaban de forma original y elegante los contenidos matemáticos, tenían un nivel demasiado alto para el alumnado al que iban dirigidos. De forma análoga, sus exposiciones en el aula, únicamente eran seguidas por los estudiantes más aventajados. Tras la creación de la Lawrence Scientific School en Harvard el año 1847, Peirce pasó a impartir un curso de matemáticas de postgrado. El curso diseñado por Peirce era realmente ambicioso e incluía el estudio de obras de La-croix, Cauchy, Monge, Biot, Hamilton, Laplace, Poisson, Gauss, Le Verrier, Bessel, etc. Pese a su no muy exitoso papel como profesor, Peirce tuvo una intervención fundamental en el diseño de currículo científico de Harvard. Las investigaciones de Peirce abarcaron un amplio rango de temas, desde la mecánica celeste a la geodesia en matemática aplicada, hasta la teoría de números y al álgebra asocia-tiva lineal en matemática pura. Hizo aportacio-nes a la filosofía de las matemáticas y revisó y comentó la traducción de los cuatro primeros volúmenes del Tratado de mecánica celeste de Laplace que había realizado Bowdith, en la que él había colaborado siendo estudiante en Har-vard. De los cuatro volúmenes, solamente tres se publicaron en vida de Bowdith, el cuarto fue completado y editado por Peirce. En teoría de números, demostró que no existe ningún número perfecto impar que tenga me-nos de cuatro factores primos distintos. Bajo la influencia de Hamilton, desarrolló la investiga-ción que le ha sido más reconocida, sobre ál-gebra asociativa lineal. En 1870 escribió un trabajo en el que clasificaba todas las álgebras asociativas de dimensión inferior a siete, haciendo uso, por primera vez en la historia, de los términos idempotente y nilpotente, que aún siguen en vigor en la actualidad, para estable-cer los fundamentos de la teoría general del álgebra asociativa lineal. Presentó, también, las tablas de multiplicación de unas 150 nuevas álgebras. La historia de su publicación es bas-

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tante curiosa ya que, inicialmente, Peirce pre-sentó sus resultados ante la Academia Nacio-nal de Ciencias, de la que había sido miembro fundador, el año 1867. De su intervención se hicieron 100 copias litográficas tres años más tarde, que repartió a matemáticos y colegas profesionales de todo el mundo. Once años después, su hijo Charles S. Peirce publicó en American journal of mathematics, recién funda-da por J.J. Sylvester, un largo artículo que re-cogía el contenido de la copia litográfica, al que añadió unas notas adicionales de su puño y letra. Al año siguiente se publicó como libro. Han de reseñarse, también, sus contribuciones a la determinación de la órbita de Neptuno, descubierto en el año 1846, y al cálculo de las perturbaciones que este planeta producía en la órbita de Urano y en las de otros planetas. En este punto, mantuvo posturas contrarias a las predicciones de Le Verrier y Adams respecto a la órbita de Neptuno y sobre las posiciones en que las perturbaciones situaban a Urano. Por el año 1852 utilizó métodos estadísticos en la teoría de errores con el fin de poder descartar observaciones erróneas, llegando a ser reque-rido en una vista judicial, como testigo experto, para aplicar su metodología. Aunque nunca llegó a considerarse a sí mismo un filósofo de la ciencia, en sus escritos vertió abundantes ideas sobre su concepción de las matemáticas. Es famosa su definición de esta disciplina: “la matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”. Su concep-ción sobre la importancia y papel de las mate-máticas en el conocimiento queda patente en la

siguiente afirmación: “... (la matemática) es la llave maestra que abre todas las puertas del conocimiento y sin ella ningún descubrimiento –descubrimiento que merezca tal nombre, que sea una ley y no un hecho aislado– se ha hecho o puede hacerse”. Peirce mantuvo una posición similar a la de Boole en lo que concierne a las relaciones de la matemática con la lógica. Para ambos, las ma-temáticas pueden utilizarse para analizar la lógica y no a la inversa. Esta relación entre ambas disciplinas es opuesta a la concepción logicista que mantuvo Frege respecto a la arit-mética y Bertrand Russell con relación a todas las matemáticas. Sin duda uno de los mayores méritos de Ben-jamin Peirce fue el servicio que hizo a su país, impulsando de forma firme y decidida el pro-greso matemático, que habría de situarlo en el primer tercio de la siguiente centuria en una posición de liderazgo. Cabe destacar en este punto su contribución a la creación de organis-mos e instituciones científicas como la Ameri-can Association for the Advancement of Scien-ce, fundada en 1847, el mismo año en que participa en la comisión que organiza la Institu-ción Smithsonian, o la creación de la National Academy of Sciences en el año 1863. Como recompensa por los sobresalientes servicios a la matemática americana recibió numerosos nombramientos honoríficos, entre ellos, fue elegido miembro de la American Philosophical Society (1842), de la Royal Astronomical Socie-ty (1850), y de la Royal Society (1852).

Hace un siglo...

Hermann Minkowski nació el día 22 de junio de 1864 en Alexotas, ciudad lituana perteneciente en aquella época al Imperio Ruso. Sus padres eran comerciantes alemanes y, siendo Hermann niño, retornaron a Königsberg. Minkowski cursó la secundaria en el instituto de esta ciudad y allí dio las primeras muestras de su sobresaliente talento matemático, que fueron apreciadas por Heinrich We-ber. Al parecer, era capaz de leer las obras de Dedekind, Dirichlet y Gauss en esta etapa. En abril de 1880 ingresa en la Universidad de Königsberg y compatibilizará los estudios en este cen-tro con tres semestres que cursa en la Universidad de Berlín. Conoce y entabla amistad con Hilbert, a la sazón también estudiante, y en 1884, con Hurwitz, recién nombrado profesor de la Universidad de Königsberg. Recibe el doctorado por esta universidad en 1885 presentando una tesis sobre formas cuadráticas, asunto en el que se había interesado desde los primeros cursos y con el que había con-currido el año 1833 al Grand Prix, convocado por la Academia de París, para la solución del problema del número de representaciones de un entero como suma de cinco cuadrados. El 2 de abril de 1883 la Academia concedió el premio ex aequo a Minkowski y a Smith. En 1887 comienza a enseñar en la Universidad de Bonn. En 1894 retorna a la Universidad de Königsberg donde permanece dos años hasta su traslado al politécnico de Zurich, donde reencuentra a su viejo amigo Hurwitz y tiene como alumno a Einstein en alguno de los cursos que imparte. En 1902 acepta la cátedra creada en la Uni-versidad Göttinga especialmente para él por su amigo Hilbert. En este puesto permanecerá hasta su fallecimiento el 12 de enero de 1909 a causa de una peritonitis.

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Inicialmente los intereses de Minkowski se si-tuaron en la matemática pura. Sus primeras investigaciones se centraron en las formas cuadráticas y las fracciones continuas. En este campo su contribución más original fue la lla-mada geometría de números iniciada en 1890. Desarrolló aplicaciones de la geometría de números a la teoría de las aproximaciones dio-fánticas y a los números algebraicos, así como al estudio de cuerpos convexos y a problemas de empaquetamiento.

Una vez estable-cido en Göttinga, bajo la influencia de su amigo Hil-bert y otros cole-gas, comienza a interesarse por las aplicaciones ma-temáticas a la física. A partir de su participación en un seminario sobre la teoría del

electrón, celebrado en 1905, comienza a estu-diar los últimos avances en la teoría de la elec-trodinámica y desarrolla una nueva concepción de espacio-tiempo continuo de cuatro dimen-siones, que habrá de constituir el fundamento matemático de la teoría de la relatividad. Entre 1907 y 1909 reescribe la teoría electrodinámica en el nuevo marco de su espacio cuatridimen-sional. Este trabajo se plasmó en dos obras fundamentales: “Raum und Zeit” (1907) y “Zwei Abhand lungen über die Grundgleichungen der Elektrodynamik” (1909). En un artículo de 1908, reformula la teoría de la relatividad restringida propuesta por Einstein en

1905, introduciendo la geometría no euclídea de cuatro dimensiones de su espacio-tiempo. La aportación de Minkowski en este campo trasciende el ámbito matemático y adquiere un profundo significado filosófico en el que partici-paron también Hilbert, Felix Klein y Hermann Weyl, al sostener que la física teórica es un subdominio de la matemática aplicada a la física que, a su vez, es una subdisciplina de las matemáticas puras. Línea de pensamiento de la que también participaba Poincaré al afirmar que la matemática-física puede aportar nuevos principios físicos. Esta corriente filosófica, por otra parte, entronca con el programa de mate-matización de la ciencia iniciado por Galileo, señalando que el universo está diseñado ma-temáticamente y obedece a las leyes y princi-pios que la matemática va descubriendo. La filosofía de Einstein, al menos en los mo-mentos iniciales de su carrera era, por el con-trario, considerar a las matemáticas como una mera herramienta al servicio de la intuición física. Sin embargo, cuando desarrolla su teoría general de la relatividad utiliza el espacio-tiempo continuo de Minkowski como marco para el trabajo matemático. En sus últimos años llegó a considerar las matemáticas como una auténtica fuente de creación científica. Aunque es conocida la estrecha amistad que mantuvo con Hilbert, no lo es tanto que fuera Minkowski quien le sugirió, como tema para su famosa conferencia de París del año 1900, que propusiera un listado de los problemas que los matemáticos pendientes de resolver. De mane-ra premonitoria afirmaba en la carta que le en-vió: “con esto, puedes estar seguro de que probablemente los asistentes hablarán de tu conferencia durante décadas”.

Stephen Kleene nació el 5 de enero de 1909 en Hartford, Connecti-cut. Entre 1930 y 1935 fue estudiante graduado e investigador asistente en la Universidad de Princeton, realizando su tesis, titulada “Una teoría de Enteros Positivos en Lógica Formal”, bajo la supervisión de Alonzo Church. Tuvo ocasión de asistir a alguno de los cursos que impartió Kurt Gödel, como profesor visitante en el Instituto para Estudios Avanzados. Posteriormente desarrolló su carrera en el departamento de Matemáti-cas de la Universidad de Wisconsin-Madison, con algunas interrupcio-nes, como el periodo de 1939 a 1940 que pasó en el Instituto para Estu-dios Avanzados de Princeton o el paréntesis de la Segunda Guerra Mundial. Su campo de investigación principal fue la teoría de algoritmos y la teo-ría de funciones recursivas, dominio que desarrolló con Church, Gödel, Turing y otros. Su trabajo en la teoría de recursión le ayudó a establecer los fundamentos de la ciencia computacional y la teoría de autómatas. También hizo importantes contribuciones al intuicionismo matemático, fundado por Brouwer. Las obras más conocidas de este lógico y matemático americano son: “Introduction to Metamathematics” (1952) y “Mathematical Logia” (1967).

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Stanislaw Marcin Ulam nació el 3 de abril de 1909 en la ciudad polaca de Lemberg (ac-tualmente Lvov, Ucrania) y murió el 13 de mayo de 1984 en Santa Fe. Interesado desde sus primeros años por la astronomía, la física y las matemáticas, ingresó en el Instituto Politécnico de Lvov, donde tuvo como profesores a Kuratowski y Banach, con quien realiza investigaciones sobre problemas de teoría de la medida. En 1935 es invitado por von Neumann al Instituto de Estudios Avanza-dos de Princeton y a partir de ahí desarrolla su carrera profesional en Estados Unidos. Tras su paso por Harvard y la Universidad de Wiscon-sin se nacionaliza americano en 1943 y von Neumann le invita a trabajar en el proyecto de fabricación de la bomba de hidrógeno que se desarrollaba en el laboratorio de Los Álamos. Permaneció en este puesto hasta el 1965 en que fue nombrado catedrático de Matemáticas de la Universidad de Colorado. Durante su estancia en Los Álamos resolvió, en colabora-

ción con el físico Edward Teller, el problema de cómo iniciar el proceso de fusión de la bomba de hidrógeno. Sugirió que para provocar la comprensión necesaria que ocasionara la ex-plosión podría utilizarse una bomba de fisión. Finalmente, se impuso un proceso de dos eta-pas: radiación e implosión, conocido como configuración Teller-Ulam, que resultaría fun-damental para el desarrollo de los proyectiles termonucleares. En este periodo desarrolló, también, el “método de Monte Carlo” como procedimiento para resolver problemas mate-máticos mediante el muestreo estadístico con números aleatorios. En la actualidad, este mé-todo se utiliza con profusión implementado en el software matemático. Entre sus obras cabe destacar “A collection of mathematical problems” (1960), “Sets numbers and universes” (1974) y “Las Aventuras de un matemáti-co” (1976).

Gerhard Gentzen nació el 24 de noviembre de 1909 en Greifswald, Alemania. Comenzó sus estu-dios universitarios el año 1928 en Greifswald para, posteriormente, pasar por diferentes universidades alemanas: Göttinga, Munich y Berlín. Volvió a Göttinga para hacer con Weyl su tesis doctoral sobre los fundamentos de las matemáticas y siguió cursos impartidos por Bernays, Carathéodory, Courant, Hilbert, Kneser, Landau. En 1933 recibió el doctorado por la Universidad de Göttinga y al año siguien-te pasó a ser asistente de Hilbert.

Los trabajos de Gentzen se centraron en la lógica y los fundamentos de las matemáticas. Investigó sobre los métodos axiomáticos y, siguiendo una idea de Weyl sobre la clasificación de las matemáticas en niveles, introdujo la noción de consecuencia lógica que permite hacer uso de una lógica más próxima al razonamiento matemático que los sistemas formalistas de Frege, Russell o Hilbert. Trabajó en la búsqueda de pruebas de consistencia para los sistemas matemáticos y, en un artículo publicado en Mathematische Zeitschrift en 1935, presentó una prueba de consistencia para la teoría ele-mental de números. Puede decirse con justicia que fueron suyas las aporta-ciones más brillantes al programa formalista iniciado por Hilbert.

El estallido de la Segunda Guerra Mundial impuso el cese de sus actividades y fue trasladado a la Universidad de Praga como contribución a la guerra. El 5 de mayo de 1945 se produjo una revuelta ciudadana contra la ocupación alemana, los profesores de la Universidad Germana, entre ellos Gent-zen, fueron arrestados y entregados al ejército ruso que les recluyó en un campo de concentración. Gentzen no pudo sobrevivir a la malnutrición y las pésimas condiciones del internamiento y falleció el 4 de agosto de 1945. Florence Nightingale David nació en Iving-ton (Inglaterra) el 23 de agosto de 1909. Sus padres le pusieron el nombre en honor a su amiga Florence Nightingale, fallecida un año antes del nacimiento de David. En 1931 se graduó como actuaria de seguros en el colegio femenino Bedford. Tras ser rechazada como actuaria por una compañía londinense de segu-ros, por el hecho de ser mujer, recurrió a Karl Pearson que le buscó un puesto de investiga-dora asistente en el Colegio Universitario de

Londres. En 1935, al retirarse Pearson, pasa a ser profesora asistente y, en 1938, se doctora bajo la dirección de Neyman. Tras el parén-tesis de la Segunda Guerra Mundial, vuelve al Colegio Universitario de Londres y, en 1962, obtiene el nombramiento

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de profesora de estadística, desempeñando el puesto hasta el año 1967. A partir del año 1948 comenzó a impartir regu-larmente cursos de verano de Berkeley y, el año 1961, adquirió una vivienda en Kensington, localidad cercana a Berkeley. Probablemente, este hecho influyó para que aceptara la cátedra de Bioestadística de la Universidad de Califor-nia Riverside el año 1967. Allí se mantuvo has-ta que se retiró el año 1977, convirtiéndose en profesora emérita e investigadora asociada de bioestadística. A consecuencia de un cáncer, falleció el 23 de julio de 1993 en su casa de Kensington. A lo largo de su vida profesional recibió diferen-tes galardones, tanto por su trayectoria profe-sional como por sus méritos científicos. En el primer caso, se reconocieron sus esfuerzos para franquear a las mujeres el acceso a la investigación científica, su dilatada y fructífera carrera docente, así como los servicios presta-dos a la sociedad en su desempeño profesio-nal. En lo que se refiere al ámbito científico, han tenido un amplio reconocimiento sus inves-tigaciones sobre combinatoria, sobre métodos estadísticos y sus aplicaciones y, también, sus aportaciones a la historia de la disciplina. Claude Chevalley nació el 11 de febrero de 1909 en Johannesburgo, Sudáfrica. Realizó sus estudios universitarios en la Escuela Nor-mal Superior de París donde tuvo como profe-sor a Emile Picard. Tras su graduación el año 1929, continúa estudios en Alemania con Artin y posteriormente con Hasse en la Universidad de Marburgo. Se doctora por la Universidad de París en 1933, presentando la tesis titulada: “Sobre la teoría de cuerpos de clases en los cuerpos finitos y en los cuerpos locales”. En 1934 participa en la fundación de Bourbaki siendo el miembro más joven de este grupo matemático. Cuatro años más tarde viaja a Estados Unidos para trabajar en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. El inicio de la guerra le sorprende en este país y permane-ce allí hasta el año 1957 en que vuelve a Francia para cubrir una plaza de profesor en la Universidad de París VII. Permanece-rá en esta ciudad hasta su fallecimiento el día 28 de junio de 1984. Chevalley ha hecho con-tribuciones muy importan-tes en diferentes áreas de

las matemáticas. Como prueba de esta afirma-ción, valgan las siguientes pinceladas sobre algunos de los notables resultados que obtuvo en sus investigaciones. En sus artículos de 1936 y 1941 introdujo conceptos fundamenta-les para el desarrollo de la teoría de cuerpos de clases y la geometría algebraica. Sus investi-gaciones de 1943, desarrollando ideas de Krull, sentaron las bases de la teoría de anillos loca-les. En 1954 formuló el teorema que lleva su nombre y estudio sus aplicaciones a los cuer-pos cerrados cuasi-algebraicos que, al año siguiente, extendería a los grupos algebraicos. A su nombre van unidos también las llamadas descomposiciones de Chevalley y el tipo de Chevalley de grupos algebraicos semi-simples. Fundamentales han sido también sus contribu-ciones a la teoría algebraica de espinores, que constituye uno de los recursos fundamentales de la física teórica actual. Cabe señalar, por último, que algunos de sus textos se han convertido en auténticos clásicos de la literatura matemática. Entre estos, cabe destacar su “Teoría de Grupos de Lie”, publica-da en tres volúmenes, que fueron apareciendo los años 1946, 1951 y 1955 respectivamente. Anatoly Ivanovich Malcev nació el 27 de

noviembre de 1909 en una población próxima a Moscú. El año 1927 ingresó en la universi-dad de esta ciudad para estudiar matemáticas. Tras graduarse, comien-za a trabajar como pro-fesor de secundaria. El año 1932 ingresa en el

Instituto Pedagógico de Ivanovo, donde perma-necerá hasta el año 1960. Durante este periodo compatibilizará sus deberes docentes con sus investigaciones matemáticas en el campo de la lógica y teoría de modelos que realizará, en un principio, bajo la supervisión de Kolmogorov. En 1939 inicia los cursos de doctorado en el Instituto Steklov de la Academia de Ciencias de la URSS y, dos años más tarde, recibirá el títu-lo de doctor con la lectura de la tesis titulada: “Structure of isomorphic representable infinite algebras and groups”. En 1960 obtiene la cátedra de matemáticas del Instituto de Novosibirsk y la dirección del De-partamento de Álgebra y Lógica de la Universi-dad de esta ciudad. Dos años más tarde funda la sección siberiana del Instituto de Matemáti-cas de la Academia de Ciencias y dirige los mundialmente famosos seminarios de Algebra i Logika. Ese mismo año funda y edita la revista

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de igual título. También funda, y es su primer presidente, la Sociedad Matemática Siberiana. La obra de Malcev en las áreas de la Lógica matemática y del Álgebra se caracteriza por la abundancia de nuevas ideas y por presentar una doble faceta, ya que a la vez que resuelve algunos problemas clásicos, abre nuevas vías para futuras investigaciones. Hizo aportaciones notables a la teoría de grupos demostrando importantes resultados sobre grupos lineales solubles y sobre representaciones por matrices de grupos infinitos. Entre estos resultados, cabe destacar el teorema local sobre clases de grupos representables por matrices de un or-den dado y el teorema sobre grupos lineales finitamente generados. Investigó los grupos de Lie y las álgebras topo-lógicas, obteniendo resultados que suponen una síntesis del Álgebra y la Lógica matemáti-ca. En 1955 introdujo las denominadas álge-bras de Malcev, que son una generalización natural de las álgebras de Lie. A principios de los 60 trabajó en problemas de decibilidad de las teorías elementales de varias estructuras algebraicas, probando la indecibilidad, entre otras, de la teoría elemental de grupos finitos. También probó que la teoría de las clases de álgebras localmente libres es decidible. Malcev falleció a los 57 años de edad, durante el desarrollo de la Conferencia Topológica de Novosibirsk que él mismo había organizado. Saunders Mac Lane nació en Taftville, loca-lidad de Connecticut, el 4 de agosto de 1909. Tras su graduación en Yale, obtiene una beca en la Universidad de Chicago. Uno de sus profesores, Eliakim Moore, le sugiere que se traslade a Göttinga para hacer el doctora-do. En la ciudad alemana tendrá ocasión de asistir a los cursos de lógica y matemáticas impartidos por Paul Bernays, Emmy Noether y Hermann Weyl. La llegada de los nazis al poder en 1933 precipita la finalización de su tesis, supervisada por Barnays, que presentará el 13 de julio de ese mismo año con el título “Prue-bas abreviadas en el Cálculo Lógico”. De vuelta a Estados Unidos, trabaja en las Universidades de Yale, Harvard, Cornell y Chicago. Por esta época, escribió en colaboración con A. Birkhoff el famoso texto “A survey in modern algebra” que publicaron en 1941. Con la entrada de su

país en la guerra, pasa a dirigir, entre los años 1944 y 1945, el Applied Mathematics Groups at Columbia, uno de los grupos matemáticos más numerosos implicados en el esfuerzo bélico. En 1947 vuelve a la Universidad de Chicago, donde desarrollará el resto de su carrera. Diri-gió el Departamento de Matemáticas entre los años 1952 y 1958 y, tras retirarse el año 1982, pasó a ser profesor emérito. En 2002 se trasla-da a San Francisco donde fallece, tras una larga enfermedad, el 14 de abril de 2005. Las investigaciones de Mac Lane se centraron inicialmente en la lógica matemática pasando posteriormente al álgebra. Realizó contribucio-nes notables a la teoría de cuerpos, a la teoría de la valoración (valuation theory) y a sus ex-tensiones a anillos polinomiales, pero su princi-pal logro, en colaboración con Eilenberg, fue la creación de la teoría de categorías en 1945. A lo largo de su vida profesional Mac Lane desempeñó los cargos de presidente de la American Mathematical Society y, también, de la Mathematical Association of America. En su etapa de presidente de esta última institución, a principios de los años 50, dedicó considerables esfuerzos a la mejora y actualización de la en-señanza de las matemáticas y, en especial, a la formación del profesorado de la materia. Criticó el desfase de los programas matemáticos de enseñanza secundaria vigentes en aquellos momentos y propuso la secuencia: intuición, ensayo-error, especulación, conjetura y demos-tración, como la ruta más adecuada para la enseñanza de las matemáticas en esa etapa. También desempeñó importantes cargos en organismos matemáticos internacionales; entre 1952 y 1954 fue vicepresidente de la Interna-tional Commission on Mathematical Instruction (ICMI) y miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) en el periodo 1955 a 1958. Deane Montgomery nació el 2 de septiem-bre de 1909 en Weaver, Minnesota. El año 1933 se doctoró por la Uni-versidad de Iowa con una tesis sobre la topo-logía de conjuntos de puntos. El curso 1933-1934 trabajó en la Uni-versidad de Harvard como miembro de un grupo de estudio inte-grado, entre otros, por Norman Steenrod y Garrett Birkhoff, y al si-guiente curso se traslada a Princeton. Por esa

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época sus intereses se centraban en ciertos aspectos de la teoría de conjuntos, en concre-to, conjuntos de Borel, conjuntos analíticos y proyectivos, etc. En 1935 ingresa, como profe-sor asistente, en el Smith College y permane-cerá en este centro hasta 1941. Tras el parén-tesis de la guerra, vuelve al Smith College que abandonará definitivamente el año 1946 para trasladarse a Yale. En 1948 vuelve al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton como miembro permanente y, tres años más tarde, será nombrado profesor. Deane permanecerá en este centro hasta su retiro en el año 1980. Tras una larga enfermedad, falleció el 15 de marzo de 1992 en Chapel Hill, Carolina del Norte. Sus investigaciones se desarrollaron funda-mentalmente en el campo de la topología alge-braica y la topología geométrica e hizo notables aportaciones a la teoría de grupos de transfor-maciones. Sobre este tema publicó una serie

de artículos en colaboración con Leo Zippin. Se interesó también por la solución del quinto pro-blema de Hilbert. Este problema había sido investigado por matemáticos tan notables como Chevalley, Pontryagin y von Neumann, entre otros. Montgomery resolvió el problema en el caso tridimensional en 1948 y, cuatro años más tarde, para el caso de dimensión finita. Esta condición fue eliminada por Yamabe, que fue asistente de Montgomery a partir de 1952. Entre sus publicaciones más notables cabe señalar la monografía “Topological transforma-tion groups”, escrita en colaboración con Leo Zippin, que se convirtió en un referente del tema. Montgomery fue vicepresidente de la American Mathematical Society en el periodo 1952-53 y presidente entre 1961 y 1962. También presidió la Unión Matemática Internacional entre los años 1974 y 1978.

Nombres que labios castellanos pronuncian sin esfuerzo...

España fue ajena durante la mayor parte del siglo XVII a la revolución científica que se desarrollaba en Europa capitaneada por Galileo, Descartes, Newton, Leibniz, etc. Ello, a pesar de ser un imperio de primer orden, o quizá por eso, ya que, por una parte, se confirió una orientación excesivamente utilitarista a la actividad científica encaminada a satisfacer las grandes necesidades de la administra-ción de tan vasto imperio y, por otro lado, nuestro papel hegemónico en la defensa de la ortodoxia contrarreformista, condujo al aislamiento intelectual y al rechazo de las nuevas ideas. Este aislamien-to fue especialmente significativo en las cuatro décadas centrales de la centuria. La edición en 1687 de la “Carta filosófica, médico-chymica” del valenciano Juan de Cabriada, en la que se lee:

“Que lastimosa y aún vergonzosa cosa que, como si fuéramos indios, hayamos de ser los últimos en recibir las noticias y luces públicas que ya están esparcidas por Europa. Y así mismo, que hombres a

quienes tocaba saber esto se ofendan con la advertencia y se enconen con el desengaño”.

pone de manifiesto el lastimoso panorama científico español y marca el inicio del movimiento de los novatores, que tenía como principal objetivo incorporar España al grupo de naciones más adelanta-das del continente, en las que había prendido y se desarrollaba vigorosa la nueva ciencia. En el setecientos, con el advenimiento de la dinastía borbónica y los vientos favorables de la Ilustra-ción, el progreso de la ciencia en nuestro país experimenta un notable impulso, especialmente duran-te el reinado de Carlos III, que nos situará en un nivel que, sin llegar a ser equiparable al de los paí-ses europeos punteros, podía considerarse muy satisfactorio. El desarrollo científico español durante el siglo XVIII tiene algunas características específicas que se pondrán claramente de manifiesto en las biografías de Sangenís y Torres y Chaix Isniel. Ancladas como estaban las universidades españolas en la escolástica, las únicas organizaciones capaces de canalizar la regeneración científica y tecnológica fueron el Ejército y la Compañía de Jesús. La inge-niería militar había cobrado una importancia decisiva, ya desde el XVII, en la suerte de las campañas militares, ya que se decidían más por la conquista o defensa de plazas fuertes que por el resultado de batallas abiertas. Por ello, la monarquía española, obligada a mantener sus derechos patrimoniales sobre extensos territorios, tanto en Europa como en América, necesitaba disponer de los centros e instituciones capaces de dar una formación científica y técnica de vanguardia al estamento militar. Atendiendo a estas necesidades, y siguiendo el modelo francés, Felipe V funda diversos centros en-tre los que cabe destacar la Real Sociedad de Medicina de Sevilla (1700), la Real Academia de Cien-cias y Artes de Barcelona (1704), la Academia de Guardiamarinas de Cádiz (1717), la Real Escuela Militar de Matemáticas de Barcelona (1720) y el Seminario de Nobles de Madrid (1726).

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A mediados de la centuria, el periodo de paz y dinamización cultural que tuvo lugar durante el reinado de Fernando VI (1746-1759) dio un nuevo impulso a la creación de establecimientos científicos como el Observatorio Astronómico de la Marina de Cádiz (1753), los Colegios de Cirugía de Cádiz (1748) y de Barcelona (1760), el Colegio de Artillería de Segovia (1762), las Academias de Artillería de Barce-lona (1750), de Ingenieros de Cádiz (1750) y de Guardias de Corps de Madrid (1750), todos vincula-dos al aparato militar del estado. Al finalizar su reinado, la mayor parte de la actividad científica en nuestro país estaba en manos de los cuerpos militares, consolidando lo que se conoce como proceso de militarización de la ciencia española durante el siglo XVIII. Con Carlos III este proceso alcanzó sus cotas más altas tras la expulsión de los jesuitas y su reemplazo en las instituciones docentes por mili-tares. Antonio Sangenís y Torres

La Real Academia de Matemáticas fue el prin-cipal centro técnico y científico de nuestro país durante el siglo XVIII para la formación de pro-fesionales por su mérito y capacidad. Se po-tenció en ella el estudio de las matemáticas como instrumento esencial para resolver los problemas constructivos, debido al deplorable estado en que se hallaba la enseñanza de esta ciencia en la universidad. Antonio Sangenís y Torres fue precisamente uno de sus alumnos más notable. Había nacido el 12 de julio de 1767 en Albelda (Huesca). Su padre era Barón de Blancafort y Carlos III concedió a sus tres hijos la charretera de subtenientes de infantería en reconocimiento de los servicios prestados por el Barón a la Corona. Antonio Sangenís y Torres, tras cursar estudios de matemáticas y fortificación, obtuvo el Real Despacho de Ayu-dante de Ingenieros en 1790. Entre 1792 y 1793 fue destinado a las tareas de revisión y reparación de los pequeños fuertes y baterías de la costa cantábrica. En sep-tiembre de 1794 as-cendió a ingeniero extraordinario y fue destinado a los ejérci-tos de operaciones en la guerra contra la República Francesa. La Real Escuela Militar de Matemáticas de Barcelona se clausuró definitivamente el año 1803 con el fin de establecer dos ramas para la formación de los ingenieros: la militar, con la Academia de Ingenieros del Ejército, y la espe-cífica civil, con la Escuela de Ingenieros de Caminos. La Real Academia de Ingenieros se ubicó en Alcalá de Henares y allí fue destinado como profesor el entonces capitán Antonio Sangenís y Torres en octubre de 1804. El plan de estudios de la Academia, como se ha dicho, incluía una sólida formación matemá-tica; basta leer la relación de materias que se estudiaban a lo largo de los tres cursos en que

estaba configurado. En el primero, por ejemplo, se cursaban las asignaturas de Álgebra, Cálcu-lo diferencial e integral, Dinámica e Hidrodiná-mica; en el tercero, Perspectiva, Trigonometría esférica, Geografía y nociones de Astronomía y Topografía. Inicialmente, los libros de matemáticas utiliza-dos en la Academia se basaban en el Curso Militar de Matemáticas del capitán e ingeniero don Pedro Padilla y Arcos, editado entre 1754 y 1756. Señalar que además fue autor de uno de los libros pioneros en la introducción del cálculo infinitesimal en nuestro país, Cálculo Diferen-cial e Integral o método de las fluxiones, publi-cado el año 1753, es decir, cinco años después de las Observaciones astronómicas y physicas de Jorge Juan y Antonio de Ulloa. La obra de Padilla había quedado anticuada e incompleta y se constituyó una comisión para elaborar un nuevo plan de estudios, aprobado el 22 de julio de 1807. Inmediatamente, se for-maron dos comisiones para redactar los 20 tratados contemplados en el plan. Sangenís, entonces comandante, quedó al frente de la comisión encargada de redactar los cursos de matemáticas puras y mixtas junto con el capi-tán Francisco Bustamante, el teniente Luis Landáburu y el subteniente José Román. For-maban parte de dichos cursos, entre otros, los siguientes tratados: Aritmética y Geometría (T. I), Álgebra y operaciones prácticas (T. II), Cos-mografía (T. III), Geometría y ecuaciones supe-riores (T. VI), Cálculos diferencial e integral (T. VII), Estática y dinámica (T. VIII), Hidráulica e Hidrodinámica (T. IX) y Geodesia (T. XX). Cuando en mayo de 1808 se produce la inva-sión de las tropas napoleónicas, aún continua-ba la elaboración de los tratados. En esa fecha Sangenís había publicado las siguientes obras: “Tratado analítico de las secciones cónicas”, “Cantidades radicales y otras teorías del Álge-bra” y “Empujes de tierras y de arcos”. No fue ésta la única producción matemática y técnica del ilustre aragonés, en 1789 había publicado en Madrid su “Exercicio público de matemáticas que en los Reales Estudios de San Isidro de

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esta Corte tendrá D.....” y dejó los manuscritos: “Elementos del arte militar antiguo y moderno”, “Nociones elementales para calcular bien los materiales necesarios y el costo de los edifi-cios. Diccionario arquitectónico con figuras”. “Tratado teórico y práctico de fortificación de campaña” y “Reflexiones y observaciones ne-cesarias para la más completa inteligencia del tratado de Aritmética universal que se enseña en la Real Escuela Militar de Matemáticas de Zamora”. En 1872 se reeditó en Segovia su “Curso de Topografía y Elementos de Geode-sia”. Tras los sucesos del 2 de Mayo, se produce el 24 la llamada Fuga de los Zapadores, episodio que supuso la dispersión del profesorado y alumnado de la Academia por diferentes plazas españolas para hacer frente a los franceses. En la institución, clausurada de hecho, quedaron abandonados todos sus efectos y materiales. Al retirarse los franceses de Alcalá de Henares el 7 de octubre de 1808, se recuperó la mayor parte del material y lo inventarió Antonio Re-món Zarco del Valle, ingeniero militar y futuro presidente de la Real Academia de Ciencias. Sangenís llegó a Zaragoza, donde Palafox le encargó el mando de los ingenieros de la ciu-dad y la dirección de los trabajos de fortifica-ción. Durante el Primer Sitio de Zaragoza, en la célebre jornada de 4 de agosto de 1808, de-mostró su valor en la defensa de la puerta y la batería de Santa Engracia que le valió el as-censo a coronel. Durante el segundo asedio a la ciudad fue alcanzado y muerto por una bala de cañón francesa en la batería del molino de aceite, mientras realizaba un reconocimiento de las posiciones enemigas en la mañana del 12 de enero de 1809. Josep Chaix Isniel

Otra de las características específicas de la ciencia española del setecientos fue el notable impulso recibido por la participación de España en expediciones y empresas científicas; buena parte de ellas, organizadas por la Corona, se dirigían a los territorios de ultramar y tenían un doble carácter: científico-técnico y político-militar. En definitiva, se trataba de adquirir co-nocimientos que permitiesen una administra-ción más eficaz de los extensos dominios y la preservación de los mismos. España también colaboró en proyectos diseñados y dirigidos por académicos extranjeros, que tuvieron una in-fluencia muy positiva en el progreso científico del país. Baste recordar la famosa expedición de la Condamine al Virreinato del Perú, en la que Jorge Juan y Antonio de Ulloa acompaña-ron a los académicos franceses Louis Godin y

Pierre Bouguer, trayendo a nuestro país, por primera vez, el cálculo infinitesimal y la física newtoniana o, también, la última gran expedi-ción científica europea organizada por la Aca-demia de Ciencias de Paris para la medida de un arco de meridiano, y dirigida por Delambre y Méchain, de la que formaron parte los españo-les Juan de Peñalver y Josep Chaix Isniel. Chaix había nacido en Játiva el 4 de febrero de 1765. Realizó estudios de Matemáticas y Astronomía en la Universidad de Valencia y, con el fin de ampliar sus estudios, viajó a Gran Bretaña, donde realizó observaciones astro-nómicas y medidas geodésicas, y a Francia. En este país trabajó con el físico Biot, que a la sazón investigaba los fenómenos electromag-néticos recién descubiertos y, posteriormente, con el astrónomo y matemático Arago. Entre 1791 y 1793 participó, comisionado por el Gobierno español, en la ya citada expedi-ción de Delambre y Méchain para medir el arco de meridiano comprendido entre Dunker-que y Barcelona, que tendrá como resultado más conocido la creación del metro. Delambre se encargaría de realizar las medidas en la parte norte, de Dunkerque a Rodez, y Chaix trabajó a las órdenes directas de Méchain, encargado de la parte sur. En 1795 fue nombrado vicedirector del Obser-vatorio de Madrid y, un año más tarde, vicedi-rector del Cuerpo de Ingenieros Cosmógrafos, creado por Jiménez Coronado, su primer direc-tor. Tras la dimisión de éste, Chaix asumió la dirección de esta institución. Desempeñó tam-bién el cargo de comisario de la Escuela de Caminos y Canales, de la que también fue ca-tedrático, en la época que fue dirigida por Agustín de Betancourt. En 1803 vuelve a colaborar con Méchain para prolongar la medición del meridiano hasta las Islas Baleares, pero la muerte del francés en Castellón por fiebres palúdicas en 1804 puso fin a la expedición. En 1806 se reemprendieron los trabajos bajo la dirección de Biot y Arago y volvieron a interrumpirse, ya definitivamente, al iniciarse la guerra de la Independencia. Chaix participó en los primeros trabajos sobre telegrafía óptica en España. Existió una estre-cha relación entre los trianguladores y los pio-neros de la telegrafía óptica ya que muchos de los instrumentos y los procedimientos utilizados son comunes: uso de telescopios, estaciones para la comunicación visual entre ellas, tanto para la triangulación geodésica como para el envío de mensajes, etc. No debe extrañar pues

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que se repitan muchos nombres en ambas actividades. El 8 de junio de 1809, Chaix fue comisionado para informar del proyecto de telégrafo óptico propuesto por Fray Juan Soler. El informe fue desfavorable, pero Chaix se comprometió a desarrollar otro. Para ello, se basó en el telégrafo de ventanas de Murray, que había conocido durante su estancia en Inglaterra. El 29 de agosto de 1809 envió su proyecto al ministro de Marina, Antonio Escaño, pero su muerte el 22 de septiembre de ese año y la convulsa situación del momento fueron determinantes para enterrar su propuesta en el olvido. Chaix editó diversos trabajos de Astronomía, Geodesia y Matemáticas. En 1801 publicó va-rios artículos en la revista "Anales de Ciencias Naturales" que recogían las observaciones astronómicas realizadas desde el 1 de noviem-bre hasta el 21 de diciembre de 1800. Como matemático, su obra más destacada fue “Instituciones del cálculo diferencial é integral con sus aplicaciones á las matemáticas puras y mixtas”, publicada en Madrid en 1801. En ella, según confiesa en el prólogo, expone el cálculo diferencial e integral, reuniendo “lo mejor y más importante que sobre dichos cálculos se ha escrito en varios idiomas”, y sus principales aplicaciones al análisis y a las ciencias físico-matemáticas. También en el prólogo desarrolla una interesante discusión sobre los principios del cálculo criticando las cantidades “evanes-centes” utilizadas por Newton en su cálculo “fluxiones”. No obstante, lo más admirable de su disertación son los profundos conocimientos histórico-matemáticos de que hace gala al ana-lizar las aportaciones de sus predecesores; su conocimiento y atinadas críticas a “Teoría de las funciones analíticas” (1797) de Lagrange y sus consideraciones sobre las ventajas de utili-zar los límites en lugar de las series, como proponía Lagrange, para fundamentar el con-cepto de derivada. Mención especial merece su desarrollo de la teoría de superficies curvas y de las curvas de doble curvatura, sintetizando resultados de los trabajos de Euler, Clairaut y Monge con sus propias aportaciones. En el año 1807 publica en Madrid “Memoria sobre un nuevo método general para transfor-mar en serie las funciones trascendentes pre-cedido de otro método particular para las fun-ciones logarítmicas y exponenciales”. En esa obra utiliza profusamente el binomio de Newton y, a diferencia de Lagrange, emplea sólo rela-ciones y métodos algebraicos. También dejó manuscrito un “Curso de Matemáticas. Aritmé-tica”, fechado en 1809.

Juan Cortázar

Rey Pastor afirmaba de forma categórica en 1915 que “para la matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y con Echegaray”. Esta sucinta y lapidaria afirmación, propia de su poca indulgencia hacia los protagonistas de la historia de las matemáticas en España, sin faltar a la verdad, deja de lado hechos y cir-cunstancias claves que deben ser considera-dos al formular un juicio equitativo sobre ese periodo. Aunque en los primeros años de la centuria continuó el evidente progreso que las ciencias habían alcanzado en nuestro país en el ochocientos, el inicio de la guerra de la Inde-pendencia y, seguidamente, la instauración del régimen absolutista fernandino y las Guerras Carlistas, no sólo detuvieron esa tendencia sino que acabaron con la mayoría de las institucio-nes y centros que canalizaban y promovían la enseñanza y la actividad científica en España. En el caso de las matemáticas, puede decirse que su cultivo quedó restringido a la formación de ingenieros militares y a sus aplicaciones a las obras públicas. Suele fijarse el año 1845 como fecha de inicio de la recuperación de nuestra ciencia en el XIX, coincidiendo con la creación de la Real Aca-demia de Ciencias, el establecimiento de las Escuelas de Ingenieros y la tímida reorganiza-ción de las enseñanzas físico-matemáticas, que crea una sección especial de esas ciencias dentro de la Facultad de Filosofía y Letras. El mayor impulso en este sentido lo dio la promul-gación de la Ley Moyano en 1857, al crear la Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-rales y ampliar los estudios matemáticos esta-bleciendo la sección de Ciencias Exactas. Buena parte de la vida profesional de Juan Cortázar se desarrolló en los años de penuria científica. Había nacido en Bilbao el 8 de julio de 1809. Realizó sus estudios en esta ciudad, permaneciendo desde los 13 a los 18 años en

el Colegio de Santiago, del que sería profesor de matemáticas entre los años 1827 y 1834. El 26 de abril de este último año ingresó en la Escue-la de Ingenieros de Ca-minos, clausurada al poco por declararse una epidemia de cólera. Pensionado por el Go-bierno, se traslada a

París para estudiar en la Escuela Central de Artes y Manufacturas, obteniendo el título de ingeniero en 1837. Tras una breve estancia en Inglaterra, regresa a España y recibe el nom-

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bramiento de catedrático de Matemáticas ele-mentales de la Universidad de Madrid, cargo que desempeñará hasta 1850, en que accede a la cátedra de Álgebra superior y Geometría analítica de la sección de Ciencias de la Facul-tad de Filosofía. Creada la Facultad de Cien-cias Exactas, Físicas y Naturales por la ley Moyano de 1857, continuó en la misma cátedra hasta su fallecimiento. Ese mismo año, es ele-gido miembro de la Academia de Ciencias, pero no llegará a tomar posesión de su sillón debido a sus problemas de salud, renunciando a él en 1862. Para dar una idea de la situación de los estu-dios universitarios de Matemáticas en esa épo-ca, basta considerar que en la recién creada Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-rales de Madrid había únicamente dos catedrá-ticos: Francisco Travesedo, catedrático de Cál-culo Sublime desde 1845, y el propio Cortázar, que en 1861 quedó como único catedrático al fallecer Travesedo. Las cosas no mejoraban en el resto del país, como se pone de manifiesto al contemplar el escalafón de catedráticos univer-sitarios de 1847: Demetrio Duro (Valladolid), Alberto Lista (Sevilla), José Basse Court (Va-lencia), Lorenzo Presas Puig (Barcelona) y Antonio Aguilar Vela (Santiago). Cortázar fue un fecundo autor de manuales matemáticos con los que llenó un periodo de casi treinta años. Sus obras fueron extrema-damente populares, hasta el punto que llegó a hacer 150 ediciones de ellas y vendió medio millón de ejemplares, cantidades realmente excepcionales en aquellos tiempos para esta clase de libros. Sus títulos nos indican la amplia gama de temas matemáticos que trató: Aritmé-tica, Algebra elemental y su Complemento de Algebra superior, Geometría elemental, Trigo-nometría, Topografía y Geometría analítica,

además de una Memoria sobre el Cálculo del interés y una Aritmética práctica para las Es-cuelas primarias. Todos eran libros concisos y claros, aunque algo anticuados, que se ajusta-ban a los programas de los dos primeros cur-sos de matemáticas superiores, obligatorias para las tres secciones de la Facultad. En edi-ciones posteriores a 1851, Cortázar incluyó el cálculo con complejos en forma binomial y tri-gonométrica, así como las raíces de la unidad y algunas de sus propiedades. Su manual de Geometría analítica es seguramente uno de los textos más logrados. Presenta un desarrollo muy completo de sus contenidos hasta las cuádricas, aunque no incluye el cálculo de de-terminantes. Su discípulo y, posteriormente, colaborador y ayudante de cátedra, Irueste, afirmaba, en un artículo publicado en la Revista de la Sociedad Matemática Española el año 1912, que había dejado inéditas e incompletas varias obras que contenían apuntes de Cálculo infinitesimal, de Mecánica racional, de Cosmo-grafía y de Lógica matemática. Cortázar murió como consecuencia de un ántrax, el 12 de abril de 1873. Volviendo a Rey Pastor, y considerando la pro-ducción matemática de Cortázar, pocas o nin-guna objeción habrían de hacerse a su consi-deración de que, pese a las positivas reformas educativas de mediados del XIX, poco podían progresar las matemáticas en nuestro país, si los autores de los manuales de texto utilizados en la universidad, en las escuelas y en las aca-demias militares, y citaba a Vallejo, Pascua, García San Pedro y Odriozola, estaban ancla-dos en las matemáticas del siglo anterior. Sien-do cierto, también lo era que en la primera mi-tad del siglo el cultivo de las ciencias matemáti-cas había retrocedido a niveles anteriores al setecientos y los textos de esos autores habían reducido el desnivel a un centenar de años.

Para saber más…

Boyer, Carl B. 1987. Historia de la Matemática. Alianza Universidad Textos. Madrid.

Divulgamat. Historia de las Matemáticas: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/Historiamatindex.asp

Durán, A. J. 1996. Historia, con personajes, de los conceptos del cálculo. Alianza Universidad. Madrid.

El granero común. Historia de la matemática ibérica: http://elgranerocomun.net/-Historia-de-la-Matematica-en-.html

Rey Pastor, J. Las Matemáticas en España durante el siglo XIX. Revista de Obras Públicas, nº 2092, 28/10/1915. Madrid.

Ríbnikov, K. 1987. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú.

Sánchez, C. y Valdés, C. 2004. De los Bernoulli a los Bourbaki. Editorial Nivola. Madrid.

Struik, Dirk Jan. 1987. A concise history of mathematics. Dover Publications. N.Y.

The MacTutor. History of Mathematics archive: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

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CURIOSIDADES Lámpara coral, lámpara fractal La página www.lagranjadesign.com/design/producto/lampara-coral-new presenta como novedad la familia de lámparas Coral:

Un modulo sencillo se repite, como un fractal, según un principio similar al que regula el crecimiento en la naturaleza. De un modulo sencillo a la complejidad. Un video ilustra cómo montar este elemento decorativo. El modo no pa-rece entrañar más dificultad que la de construir un poliedro con los mate-riales existentes en el comercio.

Graffiti matemático La Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matemática (OIM) es una publicación digital para uso de alumnos y profesores de Educación Media que es promovida por el profesor Francisco Bellot Rosado, catedrático del IES "Emilio Ferrari" de Valladolid, representante para Europa de la World Federation of National Mathematics Competitions. Esta revista se distribuye únicamente por Internet de forma gratuita y existe la posibilidad de descargarse cada número en formato pdf. En junio de 2009 ha aparecido el número 34 de dicha publicación, pero en las líneas siguientes rescatamos parte de una colaboración de Antonio Ledesma López para el número 11 titulada Graffiti matemático y que está incluida en la sección de divertimentos matemáticos. En la versión que aquí se presenta, por cuestión de espacio, se ha modificado la distribución inicial.

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Quizás no te vistas de Prada, ¿y de de Matemáticas? En www.zazzle.com/maths+gifts se pueden comprar casi 42.000 productos (camisetas, llaveros, cor-batas, jarras, posters,…) diseñados con algún motivo matemático: números, fractales, teoremas, chis-tes,… En esta página también se ofrece la posibilidad de que uno mismo cree su propio diseño. A continuación mostramos algunos de esos productos.

Viseras, posters y botones para los amantes del número .

Zapatillas deportivas con el fractal de Mandelbrot y detalle de las mismas.

Corbata y detalles de camisetas. Los mensajes en estas prendas de vestir son de lo más variopintos.

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Una visión poética de la tangente En esta misma sección del número 9 del Boletín de la SMPC remitíamos a la página web de José María Sorando Muzás para poder leer al completo la Oda a los números de Pablo Neruda, de la que en ese número dábamos algunos versos. En esta ocasión, volvemos a referenciar esa magnífica pá-gina porque hemos extraído de ella el canto que hace León Felipe a la tangente. El texto puede cons-tituir un espléndido recurso para el aula.

¿Y la tangente, señor Arcipreste?... ¿El radio de la esfera que se quiebra y se fuga?

¿La mula ciega de la noria, que un día, enloquecida, se liberta del estribillo rutinario?... ¿La correa cerrada de la honda, que se suelta de pronto para que salga la furia del guijarro?... ¿Esa línea de fuego tangencial que se escapa del círculo y luego se convierte en un disparo?

Porque el cielo... Señor Arcipreste, ¿sabe usted?, No hay arriba ni abajo... y la estrella del hombre

es la que ese disparo va buscando, ese cohete místico o suicida, rebelde, escapado...

De la noria del Tiempo como el dardo, como el rayo,

como el salmo. Dios hizo la bola y el reloj: la noria dando vueltas y vueltas sin cesar,

y el péndulo contándole las vueltas, monótono y exacto... El juguete del niño, señor Arcipreste,

¡el maravilloso regalo! Pero un día el niño se cansa del juguete y se le saca las tripas y el secreto

como a un caballito mecánico, como a un caballito de serrín y de trapo.

Es cuando el niño inventa la tangente, Señor Arcipreste, la puerta mística de los caballeros del milagro,

de los grandes aventureros de la luz, de los divinos cruzados de la luz, de los poetas suicidas, de los enloquecidos y los santos

que se escapan en el viento en busca de Dios para decirle que ya estamos cansados todos, terriblemente cansados

de la noria y del reloj, del hipo violáceo del tirano,

de las barbas y las arrugas eternas, de los inmóviles pecados,

de este empalagoso juguete del mundo, de este monstruoso, sombrío y estúpido regalo,

de esta mecánica fatal, donde lo que ha sido es lo que será y lo que ayer hicimos, lo que mañana hagamos.

La tangente. León Felipe La soledad de los números primos No sabemos si el éxito de esta novela, La soledad de los números primos, tiene algo que ver con la fascinación que en sí puede ejercer el título o radica exclusivamente en la maestría narrativa de su autor, Paolo Giordano. He aquí uno de los párrafos que más pueden llamar la atención en ese intento de mostrar el paralelismo entre ciertas personalidades y la presencia de los números primos en el conjunto de los números naturales: “[…] números primos más especiales que el resto, y a los que los matemáticos llaman primos gemelos: son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi suce-sivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmen-te unidos, como el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. […] dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. Lo que encontramos son números primos aislados, como perdidos en ese espacio silencioso y rítmico hecho de cifras, y uno tiene la angustiosa sensación de que las parejas halladas ante-riormente no son sino hechos fortuitos, y que el verdadero destino de los nú-

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meros primos es quedarse solos. […]. Es convencimiento general entre los matemáticos que, por muy atrás que quede la última pareja, siempre acabará apareciendo otra, […]. Mattia pensaba que él y Alice eran eso, dos primos gemelos solos y perdidos, próximos pero nunca juntos. A ella no se lo había dicho. Cuando se imaginaba confiándole cosas así, la fina capa de sudor que cubría sus manos se evaporaba y durante los siguientes diez minutos era incapaz de tocar nada”. Tomándoselo con humor Son muchos los chistes acerca de las matemáticas que podemos encontrar rastreando por la red. En esta ocasión hemos rescatado los siguientes. Forges y Gila parecen también interesados por las matemáti-cas, aunque hay personajes que lo tienen más claro que otros. Los siguientes chistes gráficos los hemos visto en www.catedu.es/matematicas_mundo/HUMOR/humor.htm

Citando a algunas personas ilustres

Un matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo. Karl Weierstrass (1815 - 1897)

El estadístico es aquella persona que se ocupa de los números y las gráficas pero que no tiene vocación para convertirse en contable. Anónimo

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá. Hipatia (370 - 415)

Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar lo que enseñas.

José Ortega y Gasset (1883 - 1955)

Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad. Albert Einstein (1879 - 1955)

Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell (1872 - 1970)

Weierstrass

Anónimo

Hipatia

Ortega y Gasset

Einstein

Russell

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OLIMPIADAS Y OTROS CONCURSOS

XIII OLIMPIADA MATEMÁTICA DE CANTABRIA para estudiantes de 2o de ESO

PARTICIPACIÓN Y DESARROLLO

La Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria organizó la primavera pasada la XIII Olimpiada Matemática para estudiantes de 2o de ESO. La fecha de la convocatoria fue el día 25 de abril de 2009 y a la prueba se presentaron 157 alumnos de los casi 200 alumnos inscritos inicialmente a la misma. Como en ediciones anteriores la prueba tuvo lugar en el Edificio Interfacultativo de la Univer-sidad de Cantabria. Presentaron alumnos 30 centros escolares distribuidos entre Colegios e Institutos de Cantabria.

Estudiantes y acompañantes antes del inicio de la prueba.

Cartel anunciador de la XIII Olimpiada Matemática de Cantabria.

Estudiantes de 2o de ESO en el transcurso de la prueba.

PROBLEMAS 1. MI TÍO APUESTA EN EL HIPÓDROMO Mi tío Raimundo ha regresado a España des-pués de unos años en el extranjero y en mi casa le llamamos familiarmente “el tío rico” ya que tiene bastante dinero. Es muy aficionado a las carreras de caballos. Una tarde de primave-ra va al hipódromo, mira las carreras y decide probar suerte. Apuesta primero por un caballo y la cantidad que tenía se ve de este modo do-blada. Animado por el éxito, apuesta 600 € por

un segundo caballo que se lastima en una pata, y lo tienen que retirar sin finalizar la carrera. Lógicamente, pierde lo apostado esta vez. Decide seguir probando suerte y apuesta por un tercer caballo y consigue doblar de nuevo lo que le quedaba. Totalmente eufórico por el éxito, esta vez apuesta todo lo que le quedaba, 500 € por un cuarto caballo. Por desgracia, vuelve a perder y, naturalmente, se queda sin nada. No tiene ni para el autobús y, aunque no vive cerca, tiene que volver a casa andando.

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Se pide que calcules:

a) ¿Con cuánto dinero llegó al hipódromo?

b) ¿Cuánto ganó con los caballos 1º y 3º? 2. LA FINCA HEREDADA POR JUANA

Cuando Juana era niña, sus abuelos Genaro y Micaela tenían una finca que ocupaba todo el cuadrado grande del dibujo y cuyo lado mide 80 m. Sus padres acaban de fallecer y Juana, que actualmente tiene 40 años y está casada, sólo ha heredado la parte que está con hierba. Hace años, una parte de la finca primitiva se la expropiaron a sus padres y otras partes les han correspondido a sus hermanos en el reparto de la herencia.

Juana ha decidido dedicar una parte a plantar árboles frutales y otra parte a sembrar patatas.

Te pedimos que la ayudes con los cálculos que debe realizar:

a) ¿Qué superficie en metros cuadrados y en hectáreas (1 ha = 1 hm2) tiene su finca?

b) ¿Qué porcentaje representa su finca del total de la que poseían sus abuelos cuando ella era muy niña?

c) Antes de la plantación y la siembra ha deci-dido vallar toda su finca, salvo cuatro metros que quiere dejar para una puerta de entrada. ¿Cuántos metros tendrá que vallar? 3. A CONTAR MÚLTIPLOS DE 6

Encuentra todos los números que cumplan a la vez las siguientes propiedades: ser múltiplo de 6 ser menor que 1000 la suma de sus cifras es 21 ¿Cuántos números encuentras? ¿Sólo 5? Si-gue buscando… ya que hay más de 10 (y me-nos de 20).

4. DANIEL

Daniel, que estudia 2o de ESO, es un “pitagorín de las mates”, ¡le encantan! Su familia está formada por siete miembros: Pedro, que es el abuelo, sus padres María y José, que tienen otros tres hijos (Carlos que va a la guardería; Ana, que estudia medicina; y Luis, el recién nacido). José es el más alto de la familia.

Un día, Daniel hizo un croquis altura-edad de su familia. Lo hizo muy rápido, le llevó menos de un minuto, y es el que aparece a continua-ción. Sí se cuidó de dejar claros los miembros de igual altura o edad. En el apartado a) te pedimos lo mismo que él pidió a sus compañe-ros de clase.

a) Coloca encima de cada punto el nombre del miembro de la familia que representa.

b) ¿Es apropiada la escala utilizada? Razona la respuesta. Encuentra posibles errores.

c) Realiza una representación de toda la familia donde representes en el eje horizontal la edad y en el eje vertical la altura. Coloca encima de cada punto el nombre del miembro de la familia que representa.

d) Aquí tienes la igualdad formada por cerillas y números romanos que el otro día Daniel ense-ñó a su “profe de mates”; se la había enviado una amiga australiana a la que conoció vía “Messenger”.

La igualdad es claramente errónea. Daniel pidió a su “profe” que la convirtiera en una igualdad verdadera moviendo inteligentemente ¡sólo una cerilla! A su “profe” le costó un poco pero en-contró la solución, para disgusto de Daniel. Te lo pedimos ahora a ti, y te damos una pista:

las cerillas colocadas en horizontal no deben moverse

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5. CRUCIGRAMA NUMÉRICO

Seguramente habrás realizado varios cruci-gramas con letras… ¿y numéricos? Con cuida-do, y un poco de paciencia, puedes resolver el siguiente que te proponemos. Debes colocar un dígito (una cifra) en cada casilla. Te damos una pista: el cero no aparece nunca.

Verticales: 1. Número par mayor que 212 y menor que 222 2. En un deporte olímpico, el mejor puesto después de los de las medallas ■ Si a su doble le sumamos 23 obtenemos el número de días que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol 3. Los dígitos de las casillas A3, B3 y C3 son todas pares y suman 14. El dígito de la celda D3 no apare-ce en ninguna otra casilla 4. Múltiplo de 2 ■ Múltiplo impar de 3 5. Múltiplo de 43. En E5 debes colocar el número de provincias que forman Extremadura. Horizontales: A. El valor de A3 coincide con el de x en la igualdad a 2 · a x · a 3 · a 4 = a 15. Las cifras de esta fila son todas pares B. Cuadrado de un número par ■ Número primo, de dos cifras, menor que 30 y que leído al revés es múltiplo de 8 C. Si al número de provincias limítrofes con Cantabria le sumamos tres obtenemos el número a colocar en la casilla C1. Sus dos últimas cifras (decenas y unidades) son la solución de la ecuación x – (40 – 2x) = 23 D. Una docena menos media decena es el valor a colocar en D2 E. Año del descubrimiento de América (finales del siglo XV). Solución de: MI TÍO APUESTA EN EL HIPÓ-DROMO

Apuesta Inicial Gana/Pierde Final 1ª x +x 2x 2ª 2x -600 2x-600 3ª 2x-600 +(2x-600) 4x-1200 4ª 4x-1200 -500 4x-1700

4x-1700 = 0

x = 425 €

Solución de: LA FINCA HEREDADA POR JUANA

a) La superficie pedida equivale a la de 7 cua-drados de lado 20 m de longitud. Es, por tan-to, de 7 · 400 m2 = 2.800 m2 = 0,28 ha

b) El área del cuadrado inicial es de 802 m2 = = 6.400 m2 2.800 0,4375 43,75%6.400

.

Luego, la superficie que posee Juana es el 43,75% del total.

c) El perímetro total es P = 2 l + 6d + 2a, donde l representa la longitud del lado de un cua-drado pequeño, d la diagonal de dicho cua-drado y a la longitud de un arco de circunfe-rencia de 20 m de radio que abarca un cuarto de la misma. Por tanto: P = 2·20 + 6·202 + 2·10 = 40 + 1202 +20 ≈ 272,54 m. Al des-contar los 4 m de la entrada, la cantidad pe-dida es, aproximadamente, 268,54 m.

Solución de: A CONTAR MÚLTIPLOS DE 6

Los números pedidos, tienen que tener 3 cifras, ya que son menores de 1.000 y no pueden tener 1 ó 2 cifras ya que entonces sus dígitos no podrían sumar 21.

Queremos que el número sea múltiplo de 6, por tanto, debe serlo de 2 y de 3. Al pedir que la suma de sus cifras sea 21, el número ya será múltiplo de 3. Además, deberá ser par para que sea múltiplo de 2. El número no puede terminar en 0 ni 2 porque no tenemos posibilidades para las primeras dos cifras de forma que la suma alcance 21.

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Si la última cifra es 4, las dos primeras deben sumar 17, así que deben ser 8 y 9, luego las combinaciones posibles son: 984 y 894.

Si la última cifra es 6, las primeras deben ser 8 y 7, o bien 9 y 6, con lo que se pueden formar cuatro números: 876, 786, 966 y 696.

Si la última cifra es 8, las posibilidades para las primeras son 6 y 7, 5 y 8, o bien 4 y 9. Por tan-to, tenemos: 768, 678, 588, 858, 498, 948. En total, hay 12 números. Solución de: DANIEL

a)

b) No, porque el abuelo no puede tener sólo el doble de años que Daniel (que está cursando 2o ESO). c)

d)

Solución de: CRUCIGRAMA NUMÉRICO

ESTADÍSTICA Algunos aspectos relacionados con la partici-pación y las puntuaciones obtenidas en la Olim-piada se recogen en las siguientes tablas y gráficas. En la primera tabla y gráfica se indica el número de estudiantes, de los 157 presenta-dos, que tienen una nota final comprendida en el intervalo correspondiente. Recordemos que la nota final se obtiene como la media aritméti-ca de las puntuaciones de los cinco ejercicios, donde cada uno tiene una calificación máxima de 10. En esta ocasión, la nota de corte de los finalistas ha sido de 6,8. En la siguiente tabla, así como en la gráfica que la acompaña, se señalan las puntuaciones media, máxima y mínima obtenidas en cada pregunta.

nota nº de alumnos/as [8, 8´5) 2 [7, 8) 7 [6, 7) 11 [5, 6) 22 [4, 5) 24 [3, 4) 28 [2, 3) 21 [1, 2) 27 [0, 1) 15

Pregunta 1 2 3 4 5 Puntuación

media 3,1 3,4 4,8 4,1 2,3 Puntuación

máxima 10 10 9,75 7 10 Puntuación

mínima 0 0 0 0 0

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RESULTADOS

Los nombres de los diez alumnos mejor clasifi-cados en esta duodécima edición de la Olim-piada Matemática fueron, por orden alfabético: CABANZÓN LABAT, JACOBO

DE MIGUEL ARROYO, MARÍA JOSÉ

FERNÁNDEZ CUERVO, CARLOS

FERNÁNDEZ HERRERO, ANDRÉS

GANDARILLAS JIMÉNEZ, ANDRÉS

GARCÍA DE LOS SALMONES GÓMEZ, PABLO

GUTIÉRREZ DEL RIO, BEATRIZ

LASTRA MARTÍNEZ, DIEGO

LLORENTE GARCÍA, ANA ISABEL

MENDAÑA GÓMEZ, ALFONSO

Los alumnos en negrita representaron a Canta-bria en la XX Olimpiada Matemática Nacional, celebrada en la Comunidad Autónoma de Ca-narias, y de la que también se da información en estas páginas.

Todos los alumnos recibieron mención especial y un premio en un acto que tuvo lugar en las dependencias de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y que estuvo presidido por Rosa Eva Díaz Tezanos, conseje-ra de Educación del Gobierno de Cantabria.

Los alumnos premiados posan con Rosa Eva Díaz Teza-nos, consejera de Educación, y con María José González López, Cecilia Valero Revenga y Emilio Rodríguez Ruiz, de la SMPC. Foto cedida por el periódico El Diario Montañés.

Como en ocasiones anteriores, aprovechamos estas páginas para animar a todos los profeso-res de Cantabria a que apunten a sus alumn@s de 2o de ESO a la próxima edición de la Olim-piada Matemática Provincial, que será ya la decimocuarta, con el objetivo de potenciar entre nuestros jóvenes estudiantes el gusto por el trabajo matemático. De la convocatoria de la XIV Olimpiada Matemática de Cantabria informamos en las páginas finales de este Boletín.

Alfabeto solidario de la VIII Olimpiada Matemática de Toledo (mayo 2008).

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XX OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL

para estudiantes de 2o de ESO La Olimpiada Matemática Nacional para estu-diantes de 2o de ESO es la continuación natural de las que inicialmente iban dirigidas a alumnos de 8o de EGB y que fueron puestas en marcha por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) hace ya diecinueve años. Esta iniciativa surgió como culminación a cuantas Olimpiadas se venían celebrando en el ámbito de las Comunidades Autónomas. Este curso la sede para la celebración de la correspondiente Olimpiada Matemática Nacio-nal estaba localizada en la Comunidad Autó-noma de Canarias. Santa Cruz de Tenerife acogió entre los días 24 y 29 de junio de 2009 la edición número veinte de tal evento. En esta ocasión la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas fue la entidad or-ganizadora.

A la XX Olimpiada matemática Nacional para estudiantes de 2o de ESO acudió un total de 60 alumnos acompañados de sus respectivos profesores. Junto con los representantes de la Secretaría del Alumnado de la Federación y entre 10 y 15 miembros pertenecientes a la SCPM “Isaac Newton” la actividad involucró a más de 110 personas. En esta Olimpiada, Cantabria estuvo represen-tada por los tres primeros clasificados en la decimotercera edición de la fase provincial: María José de Miguel Arroyo, Andrés Fernán-dez Herreros y Diego Lastra Martínez, que asistieron a la prueba acompañados por la profesora Isabel Gómez Velarde.

PROGRAMA

A lo largo de los cinco días previstos de dura-ción de la Olimpiada Matemática Nacional los participantes, además de realizar pruebas es-pecíficas de Matemáticas, van a disfrutar con una serie de actividades lúdico-recreativas tales como; excursiones, visitas turísticas etc. en las que se tratará de reflejar la presencia de la Matemáticas en distintos ámbitos tales como la naturaleza, el arte o la ciencia.

Miércoles 24 de junio

19:00 - Recepción de los participantes en la Residencia Pedro García Cabrera de La Lagu-na.

20:00 - Cena en la residencia.

21:00 - Bienvenida de la organización a los participantes y coordinadores. Entrega de cre-denciales, material y presentación del progra-ma.

Jueves 25 de junio

8:00 Desayuno en la Residencia.

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9:15 - Inauguración oficial de la Olimpiada en el Aula Magna de la Facultad de Matemáticas.

11:00 - Desayuno saludable con Puleva.

12:00 - Prueba individual en la Facultad de Matemáticas.

14:00 - Almuerzo en la Residencia.

16:00 Visita al Museo de la Ciencia y el Cos-mos. Matemagia.

20:00 Cena en la Residencia.

Viernes 26 de junio

8:00 - Desayuno en la Residencia.

8:45 - Salida hacia el Parque Nacional del Tei-de.

10.00 - Visita al Observatorio del Teide.

12:30 - Visita al Centro de visitantes del Parque Nacional del Teide. Prueba por equipos.

14:30 - Almuerzo.

16:00 - Visita a Las Cañadas.

17:30 - Regreso a La Laguna y recorrido por la ciudad.

20:00 - Cena en la Residencia.

Sábado 27 de junio

9:00 - Desayuno en la Residencia.

9:30 - Salida hacia el Puerto de la Cruz.

10:00 - Visita al Loro Parque.

14:30 - Almuerzo.

17:00 - Baño en el Lago Martiánez.

19:00 - Regreso a La Laguna.

20:00 - Cena en la Residencia.

Domingo 28 de junio

9:00 - Desayuno en la Residencia.

10:00 - Discusión y análisis de los problemas propuestos.

11:30 - Recepción en el Ayuntamiento de La Laguna.

13:00 - Actividades matemáticas en la Plaza del Cristo. Komando matemático.

14:30 - Almuerzo institucional de despedida.

17:00 - Acto de entrega de premios. Clausura de la XX Olimpiada Matemática Nacional en el salón de actos del IES La Laboral.

20:00 - Cena en la Residencia.

Lunes 29 de junio

9:00 - Desayuno en la Residencia.

10:00 - Regreso a casa.

PROBLEMAS DE LA PRUEBA INDIVIDUAL

PROBLEMA 1

A cada vértice de un tetraedro se le asigna un valor que puede ser +1 o -1. A cada cara se le

asigna el valor resultante del producto de sus tres vértices. ¿Es posible que la suma de los valores de las caras sea un número impar? ¿Por qué? ¿Puede ser cero en algún caso? ¿Qué valores pueden tomar la suma de todas las caras?

PROBLEMA 2

Se tiene un geoplano con la siguiente trama de puntos. La distancia entre dos puntos consecu-tivos tanto en horizontal como en vertical es 1.

Si unimos los puntos para formar triángulos:

a) ¿Cuántos habrá de perímetro 2+2?

b) ¿Cuántos habrá de perímetro 3+5?

c) ¿Cuántos habrá de perímetro 2+22?

d) ¿Cuántos habrá de perímetro 1+2+5?

e) ¿Cuántos triángulos se pueden formar en total?

PROBLEMA 3

Mario quiere descomponer el número 46 en dos sumandos que sean números naturales, de tal manera que si uno se divide entre 7 y el otro entre 3, la suma de los cocientes es 10. ¿Cuál sería esa descomposición? ¿Y si la suma fuese 14? Explicad cómo habéis encontrado vuestra respuesta. PROBLEMA 4

Lucía tiene cuatro fichas. Observa que sobre cada una de las ocho caras está indicado un número distinto, del 1 al 8. Ella lanza sus cuatro fichas una primera vez y ve aparecer 7, 2, 4 y 1. Lanza sus fichas una segunda vez y obtiene 6, 4, 5 y 2. Después una tercera vez y obtiene 8, 2, 6 y 5. Finalmente, la cuarta vez obtiene 7, 4, 3 y 5. ¿Cuáles son los números dibujados en cada ficha, uno sobre una cara y otro sobre la opuesta?

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PROBLEMA 5 Pablo tiene un juego con muchas piezas igua-les para encajar, con forma de rombo con dos ángulos de 60º. Con estas piezas, Pablo cons-truye hexágonos regulares. Para construir el hexágono más pequeño (dimensión 1), usa tres rombos. Para construir el siguiente (dimensión 2) usa doce y así sucesivamente. ¿Cuántos rombos necesitará Pablo para construir el hexágono de dimensión 8?

NUESTROS REPRESENTANTES

OPINAN

María José de Miguel Arroyo:

El día 24 de junio los tres ganadores de la Olimpiada Matemática en Cantabria partimos a Tenerife a la Olimpiada Nacional. La verdad, estaba bastante nerviosa ya que de los tres era la única chica y soy bastante tímida, pero pron-to vi que no tenía por qué estarlo ya que des-pués del viaje con mis compañeros hasta Ma-drid, en el aeropuerto, me encontré a otras dos o tres chicas que estaban en la misma situa-ción que yo. Pronto comenzamos a hablar to-das juntas, más que nada creo que por no que-darnos solas.

Así fue pasando la semana, pero la prueba individual no tan difícil como me la esperaba, la de equipos, las visitas a las distintas partes de Tenerife y cada vez éramos más amigas.

En tres días nos cogimos todas mucho cariño, vimos que teníamos opiniones parecidas y se nos quitó la idea inicial con la que íbamos (yo creo que casi todas) de que nos íbamos a en-contrar con gente muy distinta a nosotras.

Para mí, todos los días han sido geniales, igual los más rollos los del viaje, pero todos ellos especiales, aunque quizás el más especial de todos ellos, por lo menos para mí, fue el sába-do, cuando visitamos Loro Parque por la ma-ñana, donde vimos ‘shows’ de distintos anima-les y por la tarde fuimos a Los Lagos, unas piscinas enormes de agua salada en la ciudad de Tenerife. Me lo pasé genial junto a todas mis amigas de las distintas comunidades.

La verdad, no creía que me lo fuese a pasar tan bien, ya que me cuesta soltarme bastante

con gente que no conozco bien, pero ha sido una experiencia inolvidable que recomendaría a todo el mundo ya que, aunque tengas que trabajar mucho durante el curso, al final merece la pena. Si hubiese que poner algo negativo, como siempre la comida, sobre todo, los des-ayunos con los batidos Puleva.

Andrés J. Fernández Herreros:

Yo al principio no me esperaba ni lejanamente un resultado tan positivo en el certamen de la XIII Olimpiada Matemática de Cantabria. Digo positivo porque, lejos de la competitividad y sin importar el resultado o nota del examen, la experiencia del viaje a Canarias a la XX Olim-piada Nacional bien vale la pena. Dentro de los destinos, Canarias resulta atractiva, tanto por flora y fauna como por su relieve (Teide) y sus paisajes volcánico-desérticos con una ligera presencia, convirtiéndose en mayor a medida que se aleja uno del Teide y alcanzando su punto máximo en el Valle Orotava, de vegeta-ción.

En esta experiencia, la convivencia con otras comunidades se mejora y se pueden hacer amistades duraderas en muy pocos días, debi-do a los gustos en común.

El primer día empezó la jornada con un inter-minable viaje en autobús, que aprovechamos para conocernos los tres de Cantabria. Al llegar al aeropuerto de Madrid, una chispa se encen-dió y, después de una efímera timidez, los de diferentes Comunidades poco a poco nos uni-mos. Cuando llegamos al avión ya nos cambiá-bamos de sitio para ponernos con nuestros amigos de Galicia, Euskadi, Castilla-La Man-cha,… Esos son unos ejemplos de las innume-rables Comunidades con las que hicimos amis-tades. Pero después de esto, en las actividades de la Olimpiada conocías a más gente y los nombres de tus amigos iban siendo cada vez más. Entonces, descubrí que no me importaba tanto el resultado como al llegar al aeropuerto y ver a todas las personas con las que tanto compartí y tantos chistes y bromas intercam-biamos. Realmente apenas dejar Tenerife pero

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metiendo la mano al bolsillo puedes palpar un papel con direcciones de correo electrónico. En cuanto a la comida, en todas las antiguas Olimpiadas hacen una mala crítica, pues si bien es cierto, al menos se puede tragar. La residencia no era gran cosa, pero recomien-do la vivencia y espero que los próximos cán-tabros se lo pasen tan bien como me lo he pa-sado en esta Olimpiada, que bien demuestra y verifica que las matemáticas son más que una materia más para aburrirse, son y serán siem-pre una diversión al alcance de todos.

Diego Lastra Martínez:

En primer lugar, ha sido una experiencia mag-nífica, en la que lo de menos eran prácticamen-te las pruebas matemáticas. Es también una buena manera de conocer una Comunidad, una Isla en este caso, Tenerife, en su totalidad, ya que hemos visto la mayoría, por no decir todos los puntos turísticos importantes de la Isla (a excepción de su capital, Santa Cruz de Teneri-fe): San Cristóbal de la Laguna, las Cañadas del Teide y el Teide, el Loro Parque, las pisci-nas Martiánez y el Puerto de la Cruz. Encima, gracias a este viaje puedo decir que tengo amigos prácticamente en todas las Co-munidades Autónomas de España: Galicia, Castilla-León y La Mancha, Madrid, Cantabria (obviamente), Canarias, Andalucía,… Las visitas que eligieron, además, no pudieron ser mejores, todas ellas entretenidas, siendo la que más me gustó la visita al Teide, con el centro de visitantes y la prueba por equipos, las Cañadas, los Roques, el gigantesco observato-rio y, por supuesto, sus magníficos paisajes. Además, tiene un mérito añadido, ya que lo había visitado, a excepción del observatorio, y sigue siendo igual de impresionante.

Con respecto a los amigos, no os podéis ima-ginar la cantidad de ellos que se pueden hacer. Además, tuvimos la suerte de que el día de la ida coincidimos la mayoría de las Comunidades

en el avión, por lo que en Canarias ya éramos un grupo de unas siete personas. Además, como en la habitación y en los equipos de las competiciones sólo me tocó con un conocido, conocí a más gente todavía. Sobre las pruebas, que técnicamente es a lo que íbamos, pero a lo que menos importancia se le acabó dando, no eran tan complicadas como pueda parecer siendo una Olimpiada a nivel nacional. Si la Olimpiada Regional te salió bien, sólo necesitabas tener un buen día y ver los problemas bien. Además, no sólo había premios a la mejor puntuación, sino que tam-bién los había a la mayor originalidad, a la me-jor presentación, etc. Además, también estaba la prueba por equipos que tenía varias catego-rías y el concurso de fotografía matemática, por lo que había bastantes posibilidades de conse-guir un premio.

Malas impresiones no tengo muchas y todas entorno a lo mismo: - la comida que, excepto por algún plato en

que las cocineras se lucían, no era muy bue-na.

- el viaje, que nos pareció interminable, sobre todo el de ida, que fue en autobús hasta Ma-drid.

- la residencia, que sólo diré que debía de estar únicamente hecha de cemento armado y pintada con las humedades y los hongos que le salían y yo creo que suficiente.

En resumen, que me he alargado bastante, ésta es una experiencia inolvidable, y casi irre-petible a excepción de la de 2o de Bachillerato, pero soy optimista, así que espero encontrarme allí de nuevo con la mayoría. Ha sido la mejor manera de conocer a gente de todos los lados y se lo recomiendo a cualquier persona, aunque no fuera bueno o no le gusta-ran las mates, ya que es una de las mejores experiencias que se pueden vivir. Además, el próximo año es en las Islas Baleares, así que ¡a apuntarse!

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XLV OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

En el primer trimestre del 2009 se ha celebrado la cuadragésima quinta edición de la Olimpiada Matemática Española (OME). La Real Sociedad Matemática Española (RSME) realiza cada año la convoca-toria de este evento. Como es sabido, dicha Olimpiada consta de dos fases, una a nivel autonómico, provincial o local, y otra a nivel nacio-nal, celebrada en esta ocasión en Sant Feliu de Guixols (Girona). En cada comunidad o provincia, la organización de la primera fase es llevada a cabo por alguna Sociedad Matemática o Departamento. En el caso de Cantabria quien se encarga de este trabajo es el Depar-tamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universi-dad de Cantabria.

FASE LOCAL

Este año la fase local de la Olimpiada Matemá-tica Española se celebró el sábado 24 de enero y se desarrolló, como viene siendo habitual, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria. El Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación, como entidad orga-nizadora de la fase local de estas Olimpiadas, nombra periódicamente un Comité que se en-carga de esa labor. Este curso dicho comité ha estado integrado por Jesús Araujo, Nuria Co-rral, Delfina Gómez, Demetrio González y Jai-me Vinuesa. El Comité Local de la OME procu-ra, por un lado, que los alumnos participantes se sientan cómodos en la realización de las diferentes pruebas y, por otro, que tengan la oportunidad de conocer de manera relajada algunos aspectos matemáticos que no forman parte de su currículo académico. Con ese obje-tivo los profesores involucrados organizan al-guna actividad, más o menos lúdica, que se celebra en las horas intermedias de las dos sesiones de problemas. A la prueba se inscribieron 34 alumnos, de los que finalmente se presentaron 32. El temporal que hubo el día de la prueba pudo ser el motivo por el que dos estudiantes residentes fuera de Santander no acudiesen finalmente a la misma. Los 32 alumnos participantes en esta edición, provenían de 8 centros diferentes: IES Santa Clara, IES José María de Pereda, IES Las Lla-mas, IES Muriedas, IES Torres Quevedo, Co-legio La Salle, Colegio Agustinos y Colegio Kostka. La prueba de la fase local, desarrollada en sesiones de mañana y tarde de tres horas de duración cada una, constaba de un total de seis problemas, a realizar tres en cada una de las sesiones. Las respectivas horas de inicio de las mismas fueron las 10:00 y las 15:30 horas. En

medio, los estudiantes pudieron asistir a la charla programada por el Comité Local de la OME que tenía como ponente al profesor de la Universidad de Cantabria Laureano González y llevaba por título Matemáticas y ordenadores: una relación cada vez más estrecha.

Un momento del desarrollo de la prueba. Foto publicada por el diario Alerta en su edición digital del día 25 de enero. En la tabla que se muestra a continuación apa-recen los nombres de los estudiantes que con-siguieron una puntuación superior a 10, sobre un total de 42 puntos posibles, puesto que cada problema tiene una calificación máxima de 7 puntos. En los datos presentados puede obser-varse que se produjeron algunos empates.

APELLIDOS NOMBRE

1 HIGUERA CAUBILLA DAVID

2 IBÁÑEZ VALLE J. LUIS

3 PRIETO LASTRA MIGUEL

4 DE GRADO FERNÁNDEZ

SÁNCHEZ BRUALLA

HELIO

IRENE

6 SAINZ-AJA GUERRA J. ADOLFO

7 MARTÍNEZ-OSORIO MARTÍN-RIVA PEDRO

8 ETAYO RODRÍGUEZ

ROLLÁN MARTÍNEZ-HERRERA

UJUÉ

MARÍA

97

Como es habitual, los tres primeros clasificados en esta primera fase de la XLV edición eran los que podían representar a Cantabria en la fase nacional de la Olimpiada. David Higuera Caubi-lla, José Luis Ibáñez Valle y Miguel Prieto Las-tras fueron, pues, los integrantes de la delega-ción cántabra en Sant Feliu de Guixols. Aprovechamos estas líneas para felicitar a Da-vid Higuera que participó también en olimpia-das de otras materias y consiguió clasificarse para participar junto a otros cuatro estudiantes españoles en la cuadragésima Olimpiada Inter-nacional de Física que se ha celebrado en el mes de julio en Mérida (Méjico). Los enunciados de los problemas de la XLV OME a los que tuvieron que enfrentarse los participantes en la fase local, y las soluciones de los mismos, aparecen a continuación. Tanto unos como otras han sido obtenidos de la di-rección electrónica:

http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/loc2009.html ENUNCIADOS Y SOLUCIONES Problema 1

Probar que para todo entero positivo n19– n7 es divisible por 30. Solución:

Basta probar que es múltiplo de 2, de 3 y de 5.

19 7 7 2 2 2 4 2

3 63 1 11

( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1)n nn

n n n n n n n n n n n n

Los factores n-1, n, n+1 garantizan que el nú-mero dado es múltiplo de 2 y de 3.

Si ninguno de los números n-1, n, n+1 es múlti-plo de 5, entonces n = 5k ± 2, lo que garantiza que 2 1n es múltiplo de 5. Problema 2

Determinar el mayor número de planos en el espacio tridimensional para los que existen seis puntos con las siguientes condiciones:

i) Cada plano contiene al menos cuatro de los puntos.

ii) Cuatro puntos cualesquiera no pertenecen a una misma recta. Solución:

Sean r y s dos rectas que se cruzan en el es-pacio. Sean A, B y C tres puntos distintos de r y sean P, Q y R tres puntos distintos en s. Cada uno de los puntos de r define con s un plano, y análogamente cada punto de s con r. Estos 6

planos cumplen las condiciones del problema, por lo que el número buscado es mayor o igual que 6. Probaremos que no es posible satisfacer las condiciones con más de 6 planos.

Comenzamos por ver que no puede haber tres puntos en una misma recta. En efecto, si supo-nemos que los puntos H, J, K están sobre una recta l, ningunos de los restantes puntos, L, M, N, puede estar en l, por la condición b. Estos tres puntos L, M y N, pertenecen como mucho a tres de los planos, por lo que los demás pla-nos contienen al menos a 2 de los puntos de l, y por tanto a toda la recta. Es decir, al menos cuatro planos contienen a l, lo que es imposi-ble, porque al menos uno de ellos no podría contener a ninguno de los puntos L, M o N, contrario a la condición i). Veremos ahora que ningún plano puede conte-ner a más de cuatro de los puntos.

Supongamos que uno de los planos contiene a cinco de los puntos y deja fuera al punto X. Como acabamos de ver que no puede haber tres puntos alineados, un plano que contenga a X contendría como mucho a dos de los otros puntos, contrario a la condición i). Resumiendo, cada uno de los planos contiene exactamente a cuatro de los seis puntos y no hay tres que estén en la misma recta.

Cada plano deja fuera un par de puntos y dos planos distintos dejan fuera a puntos distintos, de lo contrario habría tres puntos en ambos planos, y deberían estar alineados.

Como seis puntos sólo se pueden agrupar en tres pares disjuntos de puntos, es imposible que existan más de seis planos en las condi-ciones del problema. Problema 3

Los puntos de una retícula m x n pueden ser de color blanco o negro. Una retícula se dice que está equilibrada si para cualquier punto P de ella, la fila y columna que pasan por este punto P tienen ambas el mismo número de puntos de igual color que P. Determinar todos los pares de enteros positivos (m, n) para los que existe una retícula equilibrada. Solución:

Denotaremos por BF(i) el número de puntos de color blanco que hay en la fila i y con BC(j) el número de puntos blancos en la columna j. Análogamente, NF(i) y NC(j) denotarán el nú-mero de puntos negros en la fila i y en la co-lumna j, respectivamente.

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Siendo Pij el punto que se encuentra en la fila i y en la columna j, suponiendo que es de color blanco, la condición de ser equilibrada se leerá BF(i) = BC(j).

Supongamos que el punto P11 de una retícula equilibrada de n filas y m columnas es de color negro, y sea k el número de puntos negros de la primera fila. Intercambiando las columnas, si fuere necesario, podemos suponer que estos puntos de color negro son los k primeros, P11, …,P1k. Por la condición de equilibrio para P11, la primera columna también tendrá exactamen-te k puntos de color negro que, reordenando las filas, si fuere necesario, supondremos que son los k primeros puntos, P11, …, Pk1. Sea Pij, con 1 < i ≤ k y 1 < j ≤ k. Supongamos que Pij es de color blanco. Se tendrá entonces que BF(i) = BC(j). Pero por ser negro el punto P1j, NC(j) = NF(1) = k, y por ser negro el punto Pi1, NF(i) = NC(1) = k. De donde,

n = BF(i) + NF(i) = BF(i) + k = BC(j) + k = BC(j) + NC(j) = m. Suponiendo que, por ejemplo, n > m, tendre-mos que todos los puntos negros de las filas 1 a k están en las primeras columnas, y análo-gamente todos los puntos negros de las colum-nas 1 a k están en las primeras filas

Suponiendo que m – k > 0, todos los puntos Pij, con i > k y j > k, deben ser negros. En otro caso tendríamos un rectángulo con tres vértices de color blanco y uno negro, de donde se seguiría que n = m, como vimos al principio. Por lo tanto, la condición para cualquiera de estos puntos nos dice que n – k = NF(i) = NC(j) = m – k, lo que contradice nuestra suposición de n > m. Por tanto, m – k = 0, lo que resulta en que k = n – k, por la condición para Pmn, de donde n = 2m. Luego los posibles pares de números serán (n,n), (n,2n) y (2n,n), con n un entero positivo.

Problema 4

En el interior de un paralelogramo ABCD se dibujan dos circunferencias. Una es tangente a los lados AB y AD, y la otra es tangente a los lados CD y CB. Probar que si estas circunfe-rencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia está en la diagonal AC. Solución:

Sean O1 y O2 los centros de la primera y se-gunda circunferencia, respectivamente. Notar que AO1, biseca el ángulo DAB, y análogamen-te CO2 biseca el ángulo DCB. Como los lados son paralelos dos a dos y los ángulos O1AK y CO2K son iguales, entonces AO1 es paralelo a CO2, y, como O1K y O2K están alineados, los ángulos AO1K y KO2C son iguales. Como O1P AB y O1Q CD, los triángulos APO1 y

CQO2 son semejantes, por lo que 1 2

1 2

O A O CO P O Q

,

y como |O1P| = |O1K| y |O2Q| = |O2K|, los trián-gulos AO1K y KO2C son semejantes, por lo que los puntos A, K y C están alineados. Problema 5

Dado un número natural n mayor que 1, hallar todos los pares de números enteros a y b, tales que las dos ecuaciones 2008 0nx ax y

2009 0nx bx tengan, al menos, una raíz común real. Solución:

Restando ambas ecuaciones tenemos que: (b – a) x = 1. Luego si estas ecuaciones van a tener una raíz común, tiene que ser x = 1/(b – a). Notar que a no puede ser igual a b. Sustituyendo en una de las ecuaciones, ten-dremos que (b – a)n–1 (a – 2008(b – a)) = –1, y que, por ser a y b enteros, estos dos factores serán uno igual a +1 y otro igual a –1.

Si (b – a) = 1, se tendrá a = –1 + 2008 = 2007 y, por tanto, b = 2008.

Si (b – a) = – 1, se tendrá a = (–1) n–1 – 2008 y, por tanto, b = (–1) n–1– 2009.

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Luego los únicos pares de números (a, b) son (2007, 2008) y ((–1) n–1 – 2008, (–1) n–1 – 2009). Problema 6

Sean C1 y C2 dos circunferencias exteriores tangentes en el punto P. Por un punto A de C2 trazamos dos rectas tangentes a C1 en los pun-tos M y M´. Sean N y N´ los puntos respectivos de corte, distintos ambos de A, de estas rectas con C2. Probar que: |PN´| · |MN | = |PN| · |M´N´| Solución:

Probaremos que para cualquier punto N de C2 y M de C1 tal que MN es tangente a C1, se tiene

que el cociente MNPN

es constante.

Sea Q el punto de corte con C1 de la recta por N y P. Los triángulos NMP y NQM son seme-jantes porque comparten el ángulo en N y

ˆ ˆ ˆMQN MQP PMN por ser inscrito y semi-inscrito con cuerda MP. Por lo tanto, se tiene:

( )MN PNQN MN

Siendo O1 y O2 los centros de C1 y C2, respecti-vamente, los triángulos isósceles QPO1 y

NPO2 son semejantes porque los ángulos

1ˆO PQ y 2

ˆO PN son iguales.

De aquí se sigue que: 2 2

1 1

QP O N rPN O N r

,

siendo r1 y r2 los respectivos radios de C1 y C2.

Como |QN| = |QP| + |PN| = |PN| · (1 + ), susti-tuyendo en (*) tenemos que:

|MN|2 = |PN|2 · (1 + ), de donde 1MNPN

,

como queríamos.

FASE NACIONAL

La sede elegida por la Real Sociedad Matemá-tica Española para la celebración de la XLV Olimpiada Matemática Española en su fase nacional fue, como ya se ha indicado con ante-rioridad, la ciudad de Sant Feliu de Guíxols (Girona). Esta edición se desarrolló los días 26, 27 y 28 de marzo del presente año y a ella acudieron 118 representantes de todas las autonomías del territorio español. Los participantes cántabros estuvieron acom-pañados por Delfina Gómez, profesora de la Universidad de Cantabria y miembro del Comi-té Organizador de la OME en su Fase Local. ENUNCIADOS

Se han obtenido de la página:

http://platea.pntic.mec.es/~csanchez/olimprab.htm

Primera sesión. Viernes 27 de marzo de 2009. Problema 1

Halla todas las sucesiones finitas de n números naturales consecutivos 1 2, , , na a a , con n 3, tales que 1 2 2009na a a . Problema 2

Sean ABC un triángulo acutángulo, I el centro del círculo inscrito en el triángulo ABC, r su radio y R el radio del círculo circunscrito al triángulo ABC. Se traza la altura AD = ha, con D perteneciente al lado BC. Demuestra que:

2 (2 )( 2 )a aDI R h h r Problema 3

Se pintan de rojo algunas de las aristas de un poliedro regular. Se dice que una coloración de este tipo es buena, si para cada vértice del poliedro, existe una arista que concurre en dicho vértice y no está pintada de rojo. Por otra parte, se dice que una coloración donde se pintan de rojo algunas de las aristas de un po-liedro regular es completamente buena si,

100

además de ser buena, ninguna cara del polie-dro tiene todas sus aristas pintadas de rojo. ¿Para qué poliedros regulares es igual el nú-mero máximo de aristas que se pueden pintar en una coloración buena y en una completa-mente buena? Justifica la respuesta. Segunda sesión. Sábado 28 de marzo de 2009. Problema 4

Determina justificadamente todos los pares de números enteros (x, y) que verifican la ecua-ción: 2 4 2009x y Problema 5

Sean a, b, c números reales positivos tales que abc= 1. Prueba la desigualdad siguiente:

2 2 2 31 1 1 4

a b cab bc ca

Problema 6

En el interior de una circunferencia de centro O y radio r se toman dos puntos A y B, simétricos respecto de O. Se considera P un punto varia-ble sobre esta circunferencia y se traza la cuer-da PP’, perpendicular a AP. Sea C el punto simétrico de B respecto de PP’. Halla el lugar geométrico del punto Q, intersección de PP’ con AC, al variar P sobre la circunferencia.

ESTADÍSTICAS

En la Fase Nacional de la OME también son seis los problemas que han de resolver los participantes. Los problemas (P1-P6) se califi-caron, como sucede en la fase local, en una escala de 0 a 7 puntos. Como viene siendo habitual, no se permitió el uso de calculadoras. En la tabla siguiente se da un resumen de las puntuaciones obtenidas por los alumnos en los diferentes problemas. Esta información se ha obtenido de la página de la olimpiada,

www.udg.edu/XLVOlimpiadaMatematicaEspanyola2009/Inici/tabid/11938/language/es-ES/Default.aspx

Medias y desviaciones estándar de las puntuaciones de cada uno de los problemas.

La Real Sociedad Matemática Española (RSME) ya ha convocado la XLVI Olimpiada Matemática Española. Un resumen de las bases más importantes se muestra a continuación.

1) Podrán participar todos los alumnos del sistema educativo español que estén matriculados durante el curso 2009 - 2010 en Bachillerato. Con carácter excepcional, y si son avalados por escrito por su profesor, también podrán tomar parte alumnos del 2º Ciclo de ESO de excelentes capacidades.

2) La Primera Fase, también llamada Olimpiada Autonómica o Fase Local, se realizará a nivel autonómico o de Distrito Universitario y consistirá en la resolución de problemas de matemáticas, en una o dos sesiones, a realizar entre los días 15 y 16 de enero de 2010. Solamente se permitirá la utilización de útiles de dibujo y escritura. En particular, no está permitido el uso de calculadoras, libros, tablas u otros documentos distintos de los que proporcione el Tribunal. La Subdirección General de Becas y Promoción Educativa del Ministerio de Educación y Ciencia concede los siguien-tes premios en metálico: primer premio: 380 €, segundo premio: 285 € y tercer premio: 220 € que serán entregados a los alumnos clasificados en primero, segundo y tercer lugar, respectivamente.

3) La Segunda Fase, o Fase Nacional, tendrá lugar en Valladolid entre los días 25 y 28 de marzo de 2010. En ella parti-cipan los ganadores de la Primera Fase y consistirá en la resolución de problemas de matemáticas durante dos se-siones. Se entregarán los siguientes premios: diploma y Medalla de Oro a los seis primeros clasificados, diploma y Medalla de Plata a los 12 clasificados entre los puestos séptimo y decimoctavo, diploma y Medalla de Bronce a los 18 clasificados entre los puestos decimonoveno y trigésimo sexto. Además, la Subdirección General de Becas y Promo-ción Educativa del Ministerio de Educación y Ciencia concede a cada uno de los seis primeros clasificados, un pre-mio en metálico de 750 €.

4) Los alumnos españoles que hayan obtenido Medalla de Oro en la Fase Nacional formarán parte del Equipo Olímpico de España que ostentará su representación en la 51ª Olimpiada Matemática Internacional, que se celebrará en Asta-na (República de Kazajstán) en julio de 2010. Corresponde a la Comisión de Olimpiadas de la RSME decidir la com-posición del Equipo Olímpico de España participante en la XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas, que se celebrará en Paraguay en septiembre de 2010.

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CONCURSO DEL CARTEL anunciador de la XIII Olimpiada Matemática de 2o ESO

y CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA

Durante la primavera de 2009 se ha celebrado el Concurso del Cartel anunciador de la XIII Olimpiada Matemática de 2o ESO de Cantabria, así como el Concurso de Fotografía Matemática. La Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria hizo pública, a finales de 2008, la convocatoria de estos dos concursos que tienen como finalidad divulgar el saber matemático entre los estudiantes y fomentar la creatividad artística en relación a esa materia. En algunos de los trabajos presentados, el lector podrá notar la capacidad de observación de los autores, a la que no dudan añadir el punto de creatividad necesario para conseguir el efecto deseado. No es difícil convertir algunas de estas obras en materia-les para el aula, pueden ser un magnífico recurso. Como viene siendo costumbre en las últimas ediciones, la celebración de la XIII Olimpiada Matemática de Cantabria para estudiantes de 2o ESO ha venido precedida por el CONCUR-SO DEL CARTEL que anuncia la Olimpiada en todos los centros escolares de Cantabria. Los estudiantes que participan en esta actividad deben poner en práctica su poder imaginativo para establecer, de manera sorprendente, dife-rentes vínculos entre la matemática, el diseño y el dibujo. En esta convocatoria, tras la modifi-cación de las bases del concurso, los diseños se han podido realizar sin limitación en el nú-mero de colores a emplear, que en ediciones precedentes estaba restringido a cuatro. En esta undécima edición del concurso, el car-tel anunciador ha sido el creado por Carla Se-tién, estudiante de 1o de la ESO del Centro Príncipe de Asturias de Ramales.

Del CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATE-MÁTICA, que está dirigido a alumnos de entre 12 y 20 años, se han celebrado ya ocho edicio-nes, incluida la que aquí se reseña. El objetivo de este concurso, como se dice en la convoca-toria del mismo, es ver en la vida real cualquier aspecto matemático, ya sea numérico o gráfico, y dejarlo plasmado en una fotografía.

El concurso se convoca en tres niveles, pre-miándose dos obras dentro de cada modalidad:

Primer nivel (para alumnos de 1o y 2o de ESO),

Segundo nivel (para alumnos de 3o y 4o de ESO) y

Tercer nivel (para alumnos de Bachillerato, de Ciclos Formativos y de PCPI)

Como en ediciones anteriores, el jurado encar-gado del fallo del concurso, integrado por seis profesores de la Sociedad Matemática de Pro-fesores de Cantabria, ha tenido en cuenta para la selección de las obras no sólo los aspectos tradicionales que definen una buena fotografía, como son la nitidez o el enfoque, sino también la originalidad de la composición, el acierto en la descripción plástica de un concepto o de un resultado matemático y la habilidad mostrada para adjudicar un título sugestivo.

102

Las fotografías premiadas este año han sido las siguientes. NIVEL “Primero y Segundo de la ESO”

Primer premio: “Polígono navideño” de Jorge Ariztegui. 2o de ESO del Colegio Compañía de María de Santander.

Segundo premio: “Felices sueños geométri-cos” de Adrián Martín. 2o de ESO del IES Mi-guel Herrero Pereda de Torrelavega.

NIVEL “Tercero y Cuarto de la ESO” Primer premio: “Freak” de Cristina Ceballos. 3o de ESO del IES La Marina de Santa Cruz de Bezana.

Segundo premio: "Túnel de barras paralelas" de Lorena Crespo. 3o de ESO del Colegio Com-pañía de María de Santander.

NIVEL”Bachillerato, Ciclos Formativos y PCPI” Primer premio: "Cono de pensamientos" de Pedro J. Rodríguez. 1o de Bachillerato del IES Garcilaso de la Vega de Torrelavega.

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Segundo premio: “Cubos habitables” de Alber-to Labrador. 2o de Bachillerato del IES Garcila-so de la Vega de Torrelavega.

Todos los alumnos premiados recibieron men-ción especial y un regalo en un acto que tuvo lugar en las dependencias de la UNED y que estuvo presidido por Rosa Eva Díaz Tezanos, consejera de Educación del Gobierno de Can-tabria. Los institutos que así lo soliciten pueden con-templar las obras presentadas a este Concurso de Fotografía Matemática 2009 y a otros ante-riores en una exposición itinerante. Esta exhibi-ción permitirá que todos, padres, profesores y alumnos, puedan disfrutar con el ingenio que los estudiantes emplean en la elaboración de sus trabajos.

Para terminar este apartado, los responsables de la elaboración de este Boletín deseamos agradecer el buen quehacer de estos artistas de la fotografía matemática que con su obra nos permiten componer la portada de esta pu-blicación. Nuestro agradecimiento más sincero.

Portadas de los últimos números del Boletín, confeccionadas con las fotos premiadas en los Concursos de Fotografía Matemática.

En estas mismas páginas aparece la convocatoria tanto del concurso del cartel anunciador de la XIII Olimpiada Matemática de ESO como del VIII Concurso de Fotografía Matemática. En fe-chas próximas, desde la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria, entidad organiza-dora de estas dos actividades, se enviará los dípticos de la convocatoria a todos los centros escolares.

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CONVOCATORIAS

~ CONVOCATORIAS de la SMPC ~

XIV OLIMPIADA MATEMÁTICA DE CANTABRIA

PARA ESTUDIANTES DE 2o de E.S.O. Introducción La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) convoca la XXI Olimpiada Matemática Nacional para estudiantes de 2o de ESO que, en esta edición, se celebrará en Mallorca del 24 al 28 de junio de 2010.Con el fin de seleccionar con la debida antelación a los representantes de nuestra Comunidad en dicha prueba, la Sociedad Ma-temática de Profesores de Cantabria (SMPC) ha convocado la XIV Olimpiada Matemática de Cantabria para estudiantes de 2o de ESO, cu-yas pruebas se celebrarán el sábado 24 de abril de 2010. En esta fase autonómica pueden participar todos los Centros Educativos de la Región en los que se imparta el citado curso. La Olimpiada Matemática persigue, entre otros, los siguientes objetivos: Popularizar el área de Matemáticas con una

actividad formativa, motivadora y divertida para alumnado y profesorado.

Promocionar entre los alumnos el gusto por

las Matemáticas a través de la resolución de problemas.

Promover la puesta en práctica de razona-

mientos y procesos de pensamiento útiles en la resolución de problemas.

Favorecer el intercambio y el conocimiento

mutuo entre Centros, profesores de Matemá-ticas y alumnos de este nivel educativo en la Región.

Potenciar las capacidades de los alumnos en

este tipo de tareas.

Bases

1ª. La Comisión Organizadora estará compues-ta por miembros de la SMPC.

2ª. Los participantes serán estudiantes de 2o de ESO de Cantabria. 3ª. La celebración de las pruebas se realizará el sábado 24 de abril de 2010 a las 10 horas en el Edificio Interfacultativo de la Universidad de Cantabria.

4ª. La prueba será elaborada por la Comisión Organizadora y constará de cinco problemas de Matemáticas, a resolver en un tiempo máxi-mo de dos horas. Se permitirá la utilización de instrumentos de dibujo y de calculadora que, en su caso, deberán aportar los participantes. 5ª. La Comisión Organizadora designará los representantes que velarán por el desarrollo normal de la prueba y elegirá un Jurado que se encargará de la evaluación de los problemas realizados. Los resultados de las pruebas se comunicarán oportunamente a cada uno de los Centros participantes. 6ª. Entre los tres alumnos seleccionados para representar a Cantabria en la XXI Olimpiada Matemática Nacional no podrá haber más de un alumno por Centro Educativo. 7ª. El fallo del Jurado se hará público y será inapelable. 8ª. La participación en la Olimpiada supone la plena aceptación de estas bases cuya interpre-tación, en último extremo, corresponderá a la Comisión Organizadora. 9ª. En caso de duda sobre el cumplimiento de algún punto de estas bases se deberá comuni-car a la Comisión Organizadora con anteriori-dad a la inscripción.

105

Premios ~ Todos los participantes recibirán un diploma acreditativo. ~ Se hará mención especial a los diez alumnos mejor clasificados, que recibirán premios. Ni el Jurado ni la Comisión Organizadora harán público el nombre de los Centros a los que pertenecen los partici-pantes mejor clasificados, por lo que se ruega que tampoco lo hagan los profesores o Centros partici-pantes. ~ Los tres alumnos mejor clasificados, una vez aplicada la disposición recogida en la base 6ª, acudi-rán como representantes de Cantabria a la XXI Olimpiada Matemática Nacional. Estos alumnos viaja-rán a Mallorca con un miembro de la SMPC. Los gastos del desplazamiento serán sufragados por la SMPC y los gastos de la estancia los sufragará la FESPM.

Condiciones de participación Además del cumplimiento de las bases expues-tas, cada Centro interesado en participar en la Olimpiada Matemática de Cantabria deberá rellenar el formulario de inscripción que estará disponible en la página web de la SMPC, http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Sociedad/Soci.htm en el periodo comprendido entre el 17 de fe-brero y el 19 de marzo de 2010.

Cada Centro Escolar designará un profesor que será el interlocutor entre el Centro y la Comi-sión Organizadora, encargándose de cumpli-mentar el formulario de inscripción. A él se dirigirán todos los comunicados e informacio-nes de la Comisión. Para cualquier duda o sugerencia, se puede enviar un correo electrónico a la dirección:

smpcolimpiadaeso@gmail.com

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CONCURSO DEL CARTEL ANUNCIADOR de la XIV Olimpiada Matemática de Cantabria para estudiantes

de 2o de E.S.O.

En fechas próximas serán enviados a los Cen-tros Escolares los dípticos con la convocatoria del XII CONCURSO DEL CARTEL ANUNCIA-DOR de la XIV Olimpiada Matemática de Can-tabria para estudiantes de 2o de ESO, que se celebrará el próximo mes de abril de 2010.

Bases

Los participantes deberán atenerse a las bases que a continuación se detallan:

1ª. Los participantes serán alumnos de 1o y 2o de ESO de Centros públicos, privados o con-certados de Cantabria.

2ª. El cartel se presentará en tamaño DIN-A3.

3ª. Se admite cualquier tipo de letra.

4ª. Deberá contener el siguiente lema:

XIV OLIMPIADA MATEMÁTICA

PARA ESTUDIANTES DE 2o DE ESO

Santander, sábado 24 de abril de 2010

5ª. Se deberá dejar un área despejada en la parte inferior, de 6 cm de alto y 29,7 cm de ancho para incorporar los nombres de las enti-dades patrocinadoras y de la Sociedad Mate-mática de Profesores de Cantabria (SMPC).

6ª. El cartel ganador de este Concurso será el anunciador de la XIV Olimpiada Matemática de Cantabria para estudiantes de 2o de ESO.

7ª. Los carteles participantes en el Concurso quedarán en poder de la SMPC.

8ª. La SMPC designará un Jurado que se en-cargará de la valoración de los trabajos presen-tados.

9ª. El Jurado elegirá un único cartel ganador. No obstante, si, a su juicio, la calidad de los trabajos presentados no fuera suficiente, podrá declarar el premio desierto.

10ª. El fallo del Jurado será inapelable.

Inscripciones

~ Los carteles deberán enviarse a:

XIV Olimpiada Matemática

para estudiantes de 2o de ESO

Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC)

Centro de Profesorado de Santander

Avenida del Deporte, s/n

39011 Santander

indicando en el sobre: Concurso de Carteles

~ Dentro del sobre se harán constar los si-guientes datos:

Nombre y apellidos del alumno/a

Centro al que pertenece

Profesor/a responsable

Fecha límite de inscripción

Se admitirán los carteles recibidos hasta el 31 de enero de 2010 y los que llegando con pos-terioridad acrediten una fecha de envío anterior a ese día mediante el sello en el sobre de la correspondiente oficina de correos.

Premios

El ganador obtendrá un lote de material didácti-co relacionado con las Matemáticas.

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CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA La Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) enviará en breve a los Cen-tros Escolares la convocatoria del VIII Concur-so de Fotografía Matemática. El objetivo de este Concurso es ver en la vida real cualquier aspecto matemático, ya sea numérico o gráfi-co.

1. Se pueden reflejar polígonos, círculos, cur-vas variadas (cónicas, sinusoides,...), líneas paralelas, secantes, ángulos, transformaciones geométricas (simetrías, traslaciones,...), cuer-pos geométricos (esferas, cilindros, conos, prismas, pirámides,...), gráficos estadísticos, expresiones numéricas, etc.

2. Las imágenes se pueden obtener de la Natu-raleza (flores, hojas,...), la Arquitectura, la Es-cultura, el Diseño Gráfico, la Artesanía, etc.

3. Pueden participar en este Concurso alumnos de ESO, de Bachillerato, de Ciclos Formativos de Formación Profesional y de Programas de Cualificación Profesional Inicial (PCPI).

4. Cada fotografía será realizada por un alumno y deberá ir acompañada de un breve texto ex-plicativo y de un título.

El concurso se convoca a tres niveles:

Primer nivel para alumnos de 1o y 2o de ESO.

Segundo nivel para alumnos de 3o y 4o de ESO.

Tercer nivel para alumnos de Bachillerato, de Ciclos Formativos y de PCPI.

5. Las fotografías se entregarán conveniente-mente montadas sobre cartulina o cartón que sobresalga dos centímetros alrededor de la

fotografía. Se acompañarán con un sobre ce-rrado en cuyo interior figurará el nombre, domi-cilio particular, localidad, teléfono, curso y Cen-tro de Estudios de su autor, así como el teléfo-no y número de fax del Centro en el que estu-dia. En el reverso de la fotografía y en el exte-rior del sobre figurará un LEMA o FRASE alu-sivo a la noción o concepto matemático al que haga referencia la foto.

6. El formato exigido será, como mínimo, de 13x18 cm.

7. Se valorará tanto el contenido matemático como la calidad técnica y artística, aunque con un mayor peso del primero.

8. Se admitirán las fotografías recibidas hasta el 19 de marzo de 2010 y las que llegando con posterioridad acrediten una fecha de envío anterior a ese día mediante el sello en el sobre de la correspondiente oficina de correos. Las fotografías deberán enviarse a la dirección:

XIV Olimpiada Matemática para estudiantes de 2o de ESO

Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC)

Centro de Profesorado de Santander Avenida del Deporte, s/n

39011 Santander

indicando en el sobre:

Concurso de Fotografía Matemática

9. Un Jurado, nombrado al efecto, fallará el concurso. El fallo del Jurado se hará público y será inapelable. Se podrán declarar desiertos los premios convocados cuando, a juicio del Jurado, las obras presentadas no tuvieran sufi-ciente calidad.

10. Premios: Primer y Segundo Premio por cada nivel, consistente en material didáctico relacionado con las Matemáticas.

11. Las fotografías participantes en el Concurso quedarán en poder de la SMPC.

El autor de las fotografías mostradas es Chema Madoz. Ver exposición virtual en www.divulgamat.net

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IV JORNADAS DE ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN CANTABRIA

Las Terceras Jornadas de Enseñanza de las Matemáticas en Cantabria, organizadas por la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC), se celebraron los días 29 de febrero y 1 de marzo de 2008 en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cantabria. Una vez más, y como es su obje-tivo, estas Jornadas constituyeron un lugar de encuentro para los profesionales de la Enseñanza de las Matemáticas de todos los niveles. El acto de inauguración de las Jornadas estuvo presidido por la consejera de Educación, Rosa Eva Díaz Tezanos, a la que acompañaban otras personalidades de la Universidad de Cantabria y la presidenta de la SMPC. El numeroso grupo de participantes, y la buena acogida que mostraron a las distintas actividades, permiten afirmar que este nuevo lugar de encuen-tro de los profesionales de la Enseñanza de las Matemáticas, de todos los niveles, cosechó un éxito considerable. Las responsables de la organización de estas Jornadas fueron María José González López y Claudia Lázaro del Pozo, a las que felicitamos desde aquí por el resultado obtenido.

Dado el carácter bianual de estas Jornadas, las IV se celebrarán en 2010. En el momento de la publicación de este Boletín está pendiente de concretar el programa de las Jornadas y los días de su celebración, aunque podemos adelantar que unas fechas previsibles son los días 26 y 27 de febre-ro. En cualquier caso, se publicitará oportunamente la convocatoria a través de los Centros de Profe-sorado.

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~ OTRAS CONVOCATORIAS ~

V Concurso de Narraciones Escolares y Concurso de Relatos Cortos RSME - ANAYA 2009 La Real Sociedad Matemática Española (RSME) convoca la edición 2009 de sus con-cursos literarios de Narraciones Escolares y Relatos Cortos RSME - ANAYA, con la colabo-ración del grupo ANAYA, la editorial Nivola y la editorial Proyecto Sur. El objetivo fundamental de estos concursos es la popularización de las Matemáticas fomen-tando el interés por esta ciencia, por su histo-ria y sus protagonistas. Asimismo, tiene la finalidad de transmitir a toda la sociedad que las Matemáticas son parte de la historia y la cultura del hombre. El concurso de narraciones escolares consis-

te en la presentación de un relato de ficción basado en un resultado matemático, un per-sonaje relacionado con esta ciencia o una situación donde afloran las Matemáticas. Se trataría de mostrar alguna de estas cuestio-nes a través de la mirada crítica e imaginati-va del autor de la narración. Pueden partici-par aquellos jóvenes que a 31 de diciembre de 2009 sean mayores de 12 años y meno-res de 18.

El concurso de relatos cortos consiste en la

presentación de un relato corto, de tema li-bre, relacionado con las Matemáticas (de la forma que su autor considere oportuno). El relato deberá ser original e inédito y no podrá haber sido premiado en ningún otro concur-so, ni podrá ser presentado a ningún otro concurso mientras éste permanezca abierto. Puede participar cualquier persona, sin dis-tinción de edad o nacionalidad.

Las bases completas de estos Concursos se encuentran en el portal DivulgaMAT:

www.divulgamat.net IV Premio para Estudiantes de Secundaria

El Departamento de Matemáticas de la Facul-tad de Ciencias de la Universidad Autónoma de Madrid convoca la 4ª edición de los Premios para Estudiantes de Secundaria con el objetivo de fomentar entre los estudiantes de secunda-

ria el interés por las Matemáticas y los temas relacionados con ellas, y con el propósito de incentivar los conocimientos que se adquieren en los centros de secundaria. Se premiarán los mejores trabajos realizados por un equipo de estudiantes que realicen es-tudios a partir del segundo ciclo de la enseñan-za secundaria obligatoria. Los trabajos pueden ser de tipo experimental o teórico, dirigidos a fomentar la creatividad científica y el espíritu de investigación en cualquiera de los ámbitos del conocimiento que tengan relación con las ma-temáticas. Pueden participar estudiantes que durante el año académico 2009/10 estén cursando estu-dios a partir del segundo ciclo de ESO y que preparen un trabajo de investigación, de tipo experimental o teórico, sobre un tema relacio-nado con las Matemáticas. El trabajo puede tener un mínimo de dos y un máximo de 5 auto-res, y debe ser coordinado por un tutor al me-nos. Toda la información sobre este Premio se pue-de encontrar en la página web:

www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas

XIV Concurso de Primavera de Matemáticas

La Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid convoca el Concurso de Primavera de Matemáticas, con el que pre-tende motivar y estimular a una gran mayoría de estudiantes, haciéndoles ver que es posible disfrutar pensando, haciendo y aprendiendo Matemáticas. La prueba consiste en un test de 25 preguntas para cada uno de los cuatro niveles, con cues-tiones de elección múltiple. Los niveles para participar son: 5o y 6o de Primaria, 1o y 2o de ESO, 3o y 4o de ESO, 1o y 2o de Bachillerato.

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Con el objetivo de extender esta interesante iniciativa más allá de los límites de la Comuni-dad de Madrid, todos los profesores y alumnos que no puedan participar en el concurso pre-sencial, por vivir en otras comunidades u otros países, pueden realizar las pruebas a través de Internet, en www.profes.net

XVII Concurso Canguro Matemático La Asociación castellano-leonesa Canguro Matemático Europeo organiza este concurso dentro de la convocatoria que, a nivel europeo, hace la organización Canguro sin Fronteras. Colaboran los profesores de los Departamen-tos de Matemáticas de los Centros que partici-pan. Los objetivos de este concurso son, entre otros:

a) Que sea un concurso para todos los alumnos y no sólo para los que obtienen mejores notas. No debe hacerse una se-lección previa de los alumnos sino animar a todos a participar.

b) Conseguir que cada alumno, a través de las Matemáticas, se plantee un reto consi-go mismo y con los demás. El concurso no es, ni pretende ser, una competición entre Centros.

c) Incentivar el gusto por el estudio de las Matemáticas.

d) Incorporar a aquellos alumnos que tienen "miedo" a las Matemáticas al estudio de las mismas, haciendo que descubran el sentido lúdico de las mismas.

e) Tratar de que los alumnos consigan diver-tirse resolviendo cuestiones matemáticas.

f) Seguir aumentando el número de partici-pantes de las convocatorias anteriores y conseguir las cuotas de participación exis-tentes en otros países europeos.

Alumnos del IES Foramontanos en la cita europea

XVI Concurso Canguro Matemático.

La prueba consiste en un test de 30 preguntas, en orden creciente de dificultad, para cada uno de los seis niveles, con cuestiones de elección múltiple. Los niveles para participar son: 1o de ESO, 2o de ESO, 3o de ESO, 4o de ESO, 1o de Bachillerato y 2o de Bachillerato. Más información de las bases y de las fechas de inscripción en:

http://es.geocities.com/canguromat XVII Simposio Internacional de Métodos Matemáticos Aplicados a las Ciencias

Este simposio, que celebra ya su decimosépti-ma edición, está considerado como el encuen-tro más importante de Matemáticas Aplicadas en América Central. En esta edición las fechas elegidas para esta reunión científica son del 16 al 19 de febrero de 2010 y el lugar para su ce-lebración es San José. El evento está organizado por la Escuela de Matemáticas y por el Centro de Investigación en Matemáticas Puras y Aplicadas (CIMPA) de la Universidad de Costa Rica. Desde sus inicios en 1978, y con una periodicidad bianual, el encuentro reúne a científicos de toda América y de Europa. Para el simposio del 2010 los temas seleccio-nados son: ~ Análisis de Datos, Estadística Multivariada, Clasificación ~ Probabilidad, Pro-cesos Estocásticos, Matemática Financiera, Control Estocástico ~ Optimización, Investiga-ción de Operaciones, Aproximación ~ Análisis Numérico, Sistemas Dinámicos, Ecuaciones Diferenciales ~ Aplicaciones en los temas ante-riores. Las personas decididas a participar pueden hacerlo en algunas de las siguientes modalida-des: ~ Cursos cortos (3 horas) ~ Ponencias largas (40 min) y cortas (20 min) ~ Participación únicamente. La fecha límite para la presentación de trabajos es el 30 de noviembre de 2009. Para obtener información más detallada acerca de las condiciones de participación (fechas, tasas, hoteles, etc.) se puede acudir a la direc-ción web siguiente:

http://cimpa.ucr.ac.cr/simmac

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SOCIEDAD MATEMÁTICA DE PROFESORES DE CANTABRIA (SMPC)

La Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) se creó en abril de 1996 en un acto que contó con la presencia de Miguel de Guzmán Ozámiz (1936-2004), presidente de las Sociedades Matemáticas a nivel internacional, eminente matemático, humanista y persona de bien. La Sociedad se constituyó con la intención de crear un espacio de diálogo y de intercambio de expe-riencias entre el profesorado de Matemáticas de Cantabria, de cualquier nivel educativo, Primaria, Secundaria y Universidad, tanto de enseñanza pública como privada. La Sociedad también está abierta a todas las personas interesadas por las Matemáticas, en su vertiente didáctica o científica. La meta fundamental de la SMPC es contribuir a la mejora de la enseñanza de las Matemáticas y pretende tener una proyección pública, de forma que su opinión se escuche y sea tenida en cuenta en todos los asuntos relacionados con la educación matemática. La SMPC está integrada en la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) formada por colectivos de profesorado que abarcan la práctica totalidad de España y que trabajan con los mismos fines.

La junta directiva y los responsables de las diferentes actividades que la Sociedad organiza aparecen a continuación.

Junta directiva Responsables de las actividades

Presidenta: María José Señas Pariente Boletín Informativo:

María José Fuente Somavilla Cecilia Valero Revenga

Vicepresidenta: Rosa Fernández Merayo Página Web: Ángela Núñez Castaín

Secretaria: Rosario Iturralde García-Diego Proyecto ESTALMAT: María José Señas Pariente

Tesorera: Paz Valle López-Dóriga Jornadas de Enseñanza de las Matemáticas:

Marta Elola Sisniega Claudia Lázaro del Pozo

Olimpiada Matemática Pro-vincial de 20 de ESO:

Isabel Gómez Velarde Emilio Rodríguez Ruiz

Concurso del Cartel y Con-curso de Fotografía Matemá-tica:

Rosario Iturralde García-Diego Vocales:

María José Fuente Somavilla Isabel Gómez Velarde Almudena Señas Pariente

Recursos Económicos: Begoña Martínez Barreda

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L@s soci@s son la parte fundamental de la SMPC. Asociarse da derecho a participar activamente en la vida de la Sociedad, a tener puntual información de ella y a obtener descuentos en las actividades que organice. Los socios reciben el Boletín Informativo de la SMPC, así como la revista SUMA, publi-cada por la FESPM. Los socios abonan una cuota anual de 40 euros, que se cobra por domiciliación bancaria. Para hacerse soci@ de la Sociedad basta con rellenar la ficha de inscripción y la ficha de domicilia-ción bancaria para el pago de las cuotas. Una vez cumplimentados ambos impresos, deben ser en-tregados a alguno de los miembros de la junta directiva o bien enviados por correo a la siguiente di-rección:

Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC)

Tel.: 942 35 40 15

Fax: 942 32 38 27

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/Sociedad/Soci.htm

D / Dª ………………………………………………………................., DNI ….……………………………. con domicilio en ………………..………, CP: ……………., calle: ….……………………...… nº.: ……., teléfono: ……………………….………….. y e-mail: …………………………………………………….. solicita ser dad@ de alta como miembro de la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria. Centro de trabajo: …………………………………...…, localidad: …………………… CP: ……..……. calle: ……………………………………, nº.: ..…, teléfono: ……………….…, fax: ……………………… y e-mail: ……………………………………………………

Nombre y apellidos: ………………………………………………………………………………………….. Código cuenta corriente: Banco / Caja: ………………………………………..., agencia: ………………………………………….. localidad: ………………………………, CP: ………….., calle: …………………………………………… Sr / Sra Director / a del Banco / Caja: Le ruego atiendan, con cargo a mi cuenta y hasta nueva orden, los recibos que periódicamente les presentará la Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria para el pago de mi cuota de afilia-ción. Atentamente (fecha y firma):

Entidad Oficina DC Cuenta

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NOTAS

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