BOLETIN 7 ADUNI
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SOLUCIONARIO DE DOMICILIARIA BOLETIN N° 7
Circunferencia trigonométrica V
Resolución 1
Si 24 ; ππθ ∈ y 2
3n2sen −=θ piden
variación de n.
Como 24ππ θ << ⇒ πθπ << 22 de aquí
tenemos que: 12sen0 << θ
⇒ 12
3n0 <−
< ⇒ 5n3 <<
Por tanto 5;3n∈
NO HAY CLAVE
Resolución 2
Si [ ]34
32 ; ππθ −∈
piden calcular la variación de
( ) 3cosQ 32 ++= πθ .
Calculando la variación de la expresión angular 32
πθα +=
Como 34
32 ππ θ <<− ⇒ 3
223
πθπ <<−
⇒ ππθ ≤+≤ 320
En la C.T.
Y
X1-1
De aquí tenemos ( ) 1cos1 32 ≤+≤− πθ
⇒ ( ) 43cos2Q
32 ≤++≤4434421
πθ
Por tanto [ ]4;2Q∈
CLAVE: D
Resolución 3 Piden calcular la suma del máximo y mínimo valor de
( )( ) θθθ 2sen13cos1cosR +−++=
Simplificando la expresión
321θ
θθθ2cos1
22 sen13cos4cosR−
+−++=
3cos4R += θ
Para el problema se considera 1cos1 ≤≤− θ
De aquí se tiene: 73cos41R
≤+≤− 43421 θ
Por tanto 6RR1R;7R minmaxminmax =+⇒−==
CLAVE: B
Resolución 4
Piden calcular ba + ; si ]b;a es la variación
de la expresión 1sen2R 22cos1 ++= − θθ ;
[ πθ π ;3∈
Simplificando R
1sen22
sen2R2
++= θθ
( )444 3444 21
21sen
2 1sen2senR+
++=θ
θθ
Como πθπ <≤3
Y
X
p/3
3 /2
p/2
1
p
De la C.T. se tiene: 1sen0 ≤< θ
De aquí { ( ) {b
2
a41sen1 ≤+< θ
Por tanto 5ba =+
CLAVE: C
Resolución 5
Piden calcular la variación 2sen3senW
−−
=θθ si
611
6 ; ππθ ∈
Simplificando W
112sen3senW
2sen1
+−−−
=
−−
4434421
θ
θθ
Como 611
6ππ θ <<
Y
X
p/6p/2
1 1/2
-1/2-1
3p/2 11p/6
⇒ 1sen1 ≤≤− θ de aquí
212sen
134
W
≤+−
−≤
4434421 θ
Por tanto [ ]2;W 34∈
CLAVE: A
Circunferencia trigonométrica VI
Resolución 6
Piden calcular la suma del máximo y mínimo valor de ( )32tan πθ − ; si [ ]412 ; ππθ ∈
Como 412ππ θ ≤≤ ⇒ 636 2 πππ θ ≤−≤−
Y
X
p/6
-p/6
3 /3
- 3 /3
De la C.T. {
( ){max
33
3min
33 2tan ≤−≤− πθ
Por tanto ∑ = 0minmax;
Resolución 7
Piden calcular b2a2 + ; si ]b;a es la
variación de la expresión 32tan +θ ;
]85
2 ; ππθ ∈
Como 85
2ππ θ ≤< ⇒ 4
52 πθπ ≤<
Y
Xp
5p/4
1
De aquí 12tan0 ≤< θ ⇒ { {
ba
432tan3 ≤+< θ
Por tanto 7b2a2 =+
CLAVE: 7
Resolución 8
Piden calcular la variación de 3tan2tanQ 2 ++= θθ ; [ ]43 ; ππθ −∈
Simplificando Q
( )
21tan2tanQ21tan
2 +++=+
444 3444 21θ
θθ
⇒ ( ) 21tanQ 2 ++= θ
Como 43ππ θ ≤≤−
Y
X
p/4
-p/3
1
- 3
⇒ 1tan3 ≤≤− θ
Formando Q
21tan31 ≤+≤− θ ⇒ ( ) 41tan0 2 ≤+≤ θ
⇒ ( ) 621tan2Q
2 ≤++≤ 44 344 21 θ
Por tanto [ ]6;2Q∈
CLAVE: B
Resolución 9
Piden la variación de n, si
21ncot1cscsec 222 −
=−+ θθθ
Tener en cuenta que 2kπθ ≠ , Zk∈ para que
estén definidas θθθ cot;csc;sec .
Simplificando el primer miembro
21ncot1cscsec 2
cscsec
22
22
−=−+
+
θθθθθ
43421
21ncot1cot1tan1 2
csc
2
sec
2
22
−=−++++ θθθ
θθ 4847648476
32
1ntan2 −−
=θ
Como +∞<<∞− θtan ⇒ +∞<≤ θ2tan0
Además como 2kπθ ≠ , Zk∈ ⇒ 0tan ≠θ ,
entonces +∞<< θ2tan0
De aquí se tiene:
+∞<−−
< 32
1n0 ⇒ +∞<< n7
Por tanto +∞∈ ;7n .
CLAVE: C
Resolución 10
Piden calcular la variación de la expresión
1tan2tanR
++
=θθ ; 44 ; ππθ −∈
Simplificando R
111tan2tanR
1tan1
+−++
=
+
43421
θ
θθ
Como 44ππ θ <<−
Y
X
p/4
-p/4
1
-1
⇒ 1tan1 <<− θ
⇒ +∞<++
<43421
R
11tan
123
θ
Por tanto +∞∈ ;R 23
CLAVE: A
Ecuaciones trigonométricas I
Resolución 11
Piden calcular la menor solución positiva de la ecuación
( ) ( ) x2senxtanxcotx2senxcossenxx2csc2xcossenx2xcosxsen
2
22443442144 344 21 +=++
++
21x2sen =
De aquí tenemos las soluciones positivas: L;2;;x2 66
56
πππ π +=
⇒ L;;;x 1213
125
12πππ=
Como piden menor solución positiva
⇒ 12x π=
CLAVE: E
Resolución 12
Piden cuántas soluciones tiene la ecuación
01xcos2xcos3 2 =−+ ; π2;0x∈
Factorizando por aspa simple, se tiene
( )( ) 01xcos1xcos3 =+−
01xcos3 =− ∨ 01xcos =+
31xcos = ∨ 1xcos −=
Representan en la C.T.
Y
X
x1
1/3
1/3
-1
1
x2
x =p3
Se tiene que:
Número se soluciones en π2;0 es igual a 3.
CLAVE: A
Resolución 13
Piden calcular la solución general de la ecuación
2x2cosx2sen3 =+
Formando compuestos
{ {2x2cos
21x2sen
232
66 sencos
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
ππ
( ) 1x2sen 6 =+ π
⇒ 26 n2x2 ππ π +=+
⇒ 6nx ππ +=
CLAVE: B
Resolución 14
Piden resolver la ecuación
x3sensenxx5sen =+ ; π;0x∈
0x3sensenxx5senx2cosx3sen2
=−+ 4434421
( ) 01x2cos2x3sen =−
0x3sen = ∨ 21x2cos =
L;3;2;;0x3 πππ=
∨
L;2;;x2 335
3πππ π +=
L;;;;0x 32
3 πππ= ∨ L;;;x 67
65
6πππ=
Como π;0x∈
Por tanto { }65
32
36 ;;;S.C ππππ=
CLAVE: C
Resolución 15
Piden resolver la suma de soluciones de la ecuación
senxx7cosx3cosx4cos2x2tan −
= ;
π2;0x∈
senxx7cosxcosx7cosx2tan −+
=
321xcot
senxxcosx2tan =
0x2tanxcot
x2cossenxx3cos
=− 4434421
0x3cos =
L;2
13;2
11;2
9;2
7;2
5;2
3;2
x3 πππππππ=
L;6
13;6
11;2
3;6
7;6
5;2
;6
x πππππππ=
Por condición tenemos:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
611;
23;
67;
65;
2;
6S.C ππππππ
Por tanto: π6∑=
NO HAY CLAVE
Ecuaciones trigonométricas II
16. calcule la suma de soluciones de la ecuación
Resolución:
Sabemos:
Entonces:
Luego reemplazando
Despejando x tenemos
Las soluciones en son
πππππ 5;4;3;2;x =
333333 6;5;4;3;2;x ππππππ ππππππ −−−−−−=
Por tanto ∑= π34
NO HAY CLAVE
17.calcule las dos primeras soluciones negativas de la ecuación
Resolución:
Identidad:
Sabemos:
Reemplazando y despejando x :
Soluciones negativas:
CLAVE: C
18.Calcule la solución general de la ecuación
Resolución:
Recordando:
…(1)
…(2)
Restando (1)(2)
Entonces la ecuación quedaría
La solución general
CLAVE: A
19.Calcule el numero de soluciones de la ecuación
Resolución:
Factorizando:
Algunas soluciones:
Las que están en el intervalo son:
CLAVE: D
20.Calcule la solución general de la ecuación
Resolución:
Recordar:
Despejando cosx:
En la C.T.
π‐π/6 π/6
π+π/6 ‐π/6
las soluciones son de la forma :
CLAVE: B
