PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

Matematica 12do Periodo del 2011

Ejercicios de programacion lineal

1. Considere la region definida por las siguientes inecuaciones5x+ 2y − 10 ≥ 0x− y − 2 ≤ 03x+ 4y − 20 ≤ 0x ≥ 0y ≥ 0

.

Dibujar la region comun y determinar sus vertices. Determinar en que punto deesa region alcanza la funcion f(x, y) = 4x+ 3y el maximo valor.

2. Dada la region definida por el siguiente sistema de inecuacionesx+ y ≤ 27x ≥ 12y ≥ 6

,

representarla graficamente, determinar los vertices de la region. ¿Cuales son losvalores maximo y mınimo de la funcion f(x, y) = 90x+ 60y en la region? En quepuntos alcanza dichos valores?

3. Considere el siguiente sistema de inecuacionesx+ 3y ≤ 32x+ y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0

dibujar el conjunto de puntos definidos por las inecuaciones. Maximizar en dichoconjunto, la funcion objetivo z = 2x+ 3y.

4. Dada la funcion objetivo f(x, y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones siguientes:3x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0, representar la region factible, hallar losvalores de x e y que hacen maxima la funcion objetivo y determinar los valores xe y que minimizan la funcion objetivo.

5. Representar graficamente la region factible determinada por las siguientes desigual-dades

x+ y ≥ 54x+ 3y ≤ 30x ≥ 0y ≥ 0

y calcular la solucion que hace mınima la funcion objetivo f (x, y) = x+ 2y.

6. Considere la region del plano determinada por las inecuaciones x+3 ≥ y , 8 ≥ x+y, y ≥ x− 3 , x ≥ 0, y ≥ 0. Dibujar la region del plano que definen, y calcular susvertices. Ademas, hallar el punto de esa region en el que la funcion f(x, y) = 6x+4yalcanza el valor maximo y calcular tal valor.

7. Dibujar la region del plano que define el sistema2x+ y ≤ 10002x+ 3y ≤ 1500x ≥ 0y ≥ 0

.

Hallar los vertices de la region factible y obtener el valor maximo de la funcionf (x, y) = 15x+ 12y y el punto donde este se alcanza.

8. Una fabrica quiere producir bicicletas de paseo y de montana. La fabrica disponede 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseose necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta demontana se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletasde paseo a 200 euros y las de montana a 150 euros, ¿cuantas bicicletas de cadatipo debe construir para que el beneficio sea maximo?

9. En una granja se preparan dos clases de alimentos balanceados, P y Q, mezclandodos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Qcontiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 unidades monetariasy cada saco de Q a 800 unidades monetarias. Si en la granja hay almacenados 80kg de A y 25 de B, ¿cuantos sacos de cada tipo de alimento balanceado debenpreparar para obtener los maximos ingresos?

10. Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescarcomo maximo 2,000 toneladas de merluza y 2,000 toneladas de rape, ademas, entotal, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3,000 toneladas.Si el precio de la merluza es de 1,000 unidades monetarias/kg y el precio del rapees de 1,500 unidades monetarias/kg, ¿que cantidades debe pescar para obtener elmaximo beneficio?

11. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A esta compuestode un 30% de p y un 40% de q, B esta compuesto de un 50% de p y un 20%de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:la cantidad de A es mayor que la de B, su diferencia no es menor que 10 gramosy no supera los 30 gramos, B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10gramos. ¿Que mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?, ¿que mezclahace q mınimo?

12. En una granja de pollos se da una dieta ”para engordar” con una composicionmınima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En elmercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composi-cion de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composicion de cincounidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 unidades monetarias yel del tipo Y es de 3000 unidades monetarias. ¿Que cantidades se han de comprarde cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mınimo?

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13. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteınas.El alimento A tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteınas; el alimento Bcontiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteınas. Si el alimento A cuesta$1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, ¿cuantas unidades de cada alimentodeben comprarse para minimizar el costo? ¿Cual es el costo mınimo?

14. Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requieretiempo en tres maquinas, I, II y III. Los requerimientos (en horas) y la utilidad(en dolares) de cada unidad de A y B, ası como, la disponibilidad mensual (enhoras) de cada maquina, estan dados en el siguiente cuadro.

I II III Utilidad por productoA 2 4 3 $250B 5 1 2 $300

Disponibilidad mensual 200 240 190

Determine cuantas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizarla utilidad total.

15. Un agricultor comprara fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Losrequerimientos mınimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C.Existen dos mezclas populares de fertilizantes en el mercado. La mezcla I cuesta$4 por bolsa, con dos unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 porbolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuantas bolsas de cada mezcladebe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientosde nutrientes?

16. Una companıa extrae minerales de un yacimiento. Del numero de libras de mine-rales A y B que puede ser extraıdo por cada tonelada de los filones I y II esta dadoen la tabla siguiente junto con los costos por tonelada. Si la companıa debe extraeral menos 3000 libras de A y 2500 de B, ¿cuantas toneladas de cada filon deben serprocesados con el fin de minimizar el costo? ¿Cual es el costo mınimo?

Filon I Filon IIMineralA 110 lb 200 lbMineral B 200 lb 50 lb

Costo por tonelada $50 $60

17. Una companıa petrolera, que tiene dos refinerıas, necesita al menos 800, 1400 y500 barriles de petroleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada dıa,la refinerıa I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado,mientras que la refinerıa II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 degrado medio. Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinerıa I y de $2000para la refinerıa II, ¿cuantos dıas debe ser operada cada refinerıa para satisfacerlos requerimientos de produccion a un costo mınimo?¿Cual es el costo mınimo?(Suponga que existe un costo mınimo).

18. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. Utiliza dostipos de materia prima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades,

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respectivamente. Los requisitos de materias primas por unidad de los tres modelosestan dados en la siguiente tabla

Requisitos por unidad del modelo dadoMateria prima I II III

A 2 3 5B 4 2 7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayorque el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza detrabajo de la fabrica puede producir el equivalente a 1500 unidades del modeloI. Un estudio del mercado indica que la demanda mınima de los tres modelos es200, 200 y 500 unidades, respectivamente. Sin embargo, las razones del numero deunidades producidas deben ser igual a 3:2:5. Supongase que la ganancia por unidadde los modelos I, II y III es $30,$20 y $50, respectivamente. Formule el problemacomo un modelo de programacion lineal para determinar el numero de unidadesde cada producto que maximizaran la ganancia.

19. Un fabricante produce un artıculo en dos presentaciones: A y B, usando las mate-rias primas m1 y m2. Diariamente se necesita por lo menos 18 kg. de m1 y 12 kg.de m2; y como maximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m1 paracada artıculo A y 1 kg. de m1 para cada artıculo B. Para cada artıculo de A y Bse requiere 1 kg. de m2. Ademas en la fabricacion de un artıculo de A se emplean3 horas y 2 horas en un artıculo de B. Si la utilidad por artıculo en el modelo A esde $5 y $3 por el artıculo B, ¿cuantos artıculos de cada modelo deben producirsepara maximizar la utilidad y cual es esta utilidad maxima?

20. Una empresa fabrica tres tipos de alimentos para animales: A, B y C. Para talefecto, necesita dos fases, la primera (I) de fabricacion en maquina, y una segundafase (II) de mano de obra. Dispone de 120 horas mensuales en la fase I y de 260en la II, y para su fabricacion necesita para cada alimento las siguientes horas encada una de las fases

Horas I Horas IIA 0.1 0.2B 0.25 0.3C - 0.4

Si el beneficio que se obtiene por cada tipo de alimento es de $3, $5 y $4, respecti-vamente, establecer un programa de fabricacion en el mes para que la utilidad seamaxima.

21. Se quiere organizar un puente aereo entre dos ciudades, con plazas suficientes depasaje y carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Losaviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratacionde un avion del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equi-paje, cuesta 40000 euros; la contratacion de uno del tipo B, que puede transportar100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10000 euros. ¿Cuantos aviones decada tipo deben utilizarse para que el costo sea mınimo?

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22. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender toda su produccion alos siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y elproducto C a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de trabajo, 2de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de2 horas de trabajo, 3 de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir unaunidad de C requiere 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materiaprima. Para este periodo de planificacion se dispone de 100 horas de trabajo, 200horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Formule y construya el modelolineal que maximice los ingresos de la empresa.

23. Una companıa promueve periodicamente servicios publicos, seminarios y progra-mas. Actualmente los planes de promocion para este ano estan en marcha. Losmedios alternativos para realizar la publicidad ası como los costos y la audienciaestimados por unidad de publicidad, ademas de la cantidad maxima de unidadesde publicidad en que puede ser usado cada medio se dan en la tabla siguiente

Restricciones TV Radio PrensaAudiencia por unidad de publicidad 100000 18000 40000Costo por unidad de publicidad $2000 $300 $600Uso maximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exce-der el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Ademas la cantidadde unidades solicitadas en television debe ser al menos 10% del total autorizado.El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18500. Formular un pro-grama lineal que optimice la audiencia total o la cantidad de personas que vean lapublicidad.

24. Un Banco abre de Lunes a Viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias anterioresse sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros senaladas en la tabla siguiente

Periodo de tiempo 8 - 9 9 - 10 10 - 11 11 - 12 12 - 1 1 - 2 2 - 3 3 - 4Cajeros requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8

Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 a.m. a 4 p.m., los5 dıas, excepto la hora de almuerzo. El Banco determina cuando debe almorzarcada cajero, pero debe ser entre las 12 m y 1 pm o entre la 1 pm y las 2 pm. A losempleados a tiempo completo se les paga S/.180 la hora (incluida la de almuerzo).Tambien hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3horas consecutivas cada dıa y se les paga S/. 110 la hora, sin ningun otro pago.A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un maximo de 5cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los costos de empleadoscontratados.

Carlos Rodrıguez Fernandez San Miguel, 03 de octubre del 2011.

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