BLOQUE -...

- 87 -

Contenido:

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Jerarquía de operaciones y

uso de paréntesis. Multiplicación y división

de polinomios con aplicaciones

Forma, espacio y medida. Ángulos interiores de

polígonos Recubrimiento del plano con

polígonos Volumen, capacidad y

equivalencias.

Manejo de la información Relaciones de

proporcionalidad tipo y kx

Histogramas y gráficas poligonales.

Propiedades de la media y la mediana.

BLOQUE

- 88 -

JERARQUÍA DE OPERACIONES Y

USO DE PARÉNTESIS Muy importante: Al finalizar la sección 3-1 asegúrate que hayas desarrollado las siguientes capacidades: Saber la jerarquía de las operaciones mediante el descubrimiento. Saber determinar el orden en que deben efectuarse los cálculos en una expresión para obtener un resultado

establecido previamente. Saber resolver problemas que impliquen utilizar paréntesis para indicar el orden de las operaciones. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de

tu avance.

ACTIVIDAD 3.1.1 Estudiando los símbolos de agrupación y la jerarquía de operaciones.

Fecha: _____________

Las operaciones que llamamos aritméticas son consideradas también como operaciones fundamentales de la matemática y son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Las operaciones aritméticas a menudo utilizan símbolos de agrupación. Los símbolos más usuales, apareciendo en orden a prioridad, son:

Paréntesis ( ) Corchetes [ ] Llaves { } La funcionalidad de estos símbolos toma alguna o algunas de las siguientes utilidades:

Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 3 × 7 = 3(7) = (3)7 = (3)(7).

Para considerar una expresión-operación como número único. Por ejemplo, en la expresión 5(12 ÷ 4) puedes considerar que (12 ÷ 4) es un número único, ya que esta expresión puede ser sustituida por el valor de su operación, que es 3.

Para definir o modificar el orden en las operaciones. Por ejemplo, en la expresión 10 + 8 ÷ 2, si

queremos primero sumar y después dividir, se colocan los paréntesis de la siguiente manera: (10 + 8) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.

Resuelve las siguientes operaciones. Al final, puedes utilizar una calculadora para verificar tus resultados. Al terminar, compara tus respuestas con el resto del grupo.

a) 20 + 5 x 38 = b) 240 – 68 4 =

c) 250 5 x 25 = d) 120 + 84 – 3 x 10 =

e) 230 – 4 x 52 + 14 =

¿Cómo puede saberse cuál es el resultado correcto?

Cuando una operación larga carece de signos de agrupación, la forma de solucionarla se ajusta con los pasos que indica la jerarquía de operaciones:

PRIMERO: Resolver todas las potencias y las raíces. SEGUNDO: Resolver todas las multiplicaciones y divisiones TERCERO: Resolver todas las sumas y las restas.

Se resolverán las operaciones comenzando en el lado izquierdo de la expresión y avanzando hacia el derecho, pero antes de esto se habrá aplicado ya la jerarquía operatoria.

Qué vas a aprender:

Resolver cálculos

numéricos que

implican usar la

jerarquía de las

operaciones y los paréntesis si fuera

necesario, en

problemas y cálculos

con números

enteros, decimales y

fraccionarios.

Por qué es importante:

Mejora tu

capacidad para

ejecutar

operaciones

aritméticas.

- 89 -

Aplicando la jerarquía de operaciones, verifica la exactitud y el error de los siguientes ejemplos:

EXPRESIÓN SOLUCIÓN CORRECTA

SOLUCIÓN INCORRECTA

5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13 7 × 4 = 28

Porque va primero la multiplicación

7 × 2 + 5 = 14 + 5 = 19 7 × 7 = 49

Porque va primero la multiplicación

10 ÷ 5 + 8 × 4 = 2 + 32 = 34

2 + 8 × 4 = 10 × 4 = 40 Porque se resuelven la división y la multiplicación por

separado y luego se hace la suma

15 – 5 + 8 ÷ 2 = 15 – 5 + 4 = 14

10 + 8 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 Porque se resuelve primero la división, luego la resta y

finalmente la suma, considerando que se opera de izquierda a derecha en caso de operaciones de una

misma jerarquía.

En caso de que la expresión incluya uno o varios símbolos de agrupación, la prioridad de estos símbolos (establecida en el listado de la página anterior) indica el orden en que se deben resolver las operaciones. Si existe un símbolo de agrupación dentro de otro, siempre debes “eliminar” (resolver primero) el que está “más adentro”, por lo general, se tratará del paréntesis.

¿Cómo resolverías la siguiente expresión? 100 ÷ [10(3 + 2)]. Escribe tu forma de solucionarla sobre la línea de abajo, finalmente compara con tu compañeros. _____________________________________________________

ACTIVIDAD 3.1.2 Trabajando símbolos de agrupación y jerarquía de operaciones. Fecha: ____________

1. Coloca correctamente los signos de agrupación en las siguientes expresiones para que el resultado sea el escrito. Toma en cuenta la jerarquía de operaciones, eso implica que en algunos casos no serán necesarios los símbolos de agrupación.

Ejercicio: 10 ÷ 2 + 3 = 2

Solución: se coloca en paréntesis la suma del 2 y 3, 10 ÷ (2 + 3) = 10 ÷ 5 = 2

a) 40 ÷ 2 + 8 = 4 b) 30 ÷ 3 + 8 × 2 = 36

c) 20 ÷ 2 + 3 = 13 d) 30 ÷ 3 + 8 × 2 = 26

e) 6 + 3 – 2 = 7 f) 25 × 2 – 12 ÷ 3 = 46

g) 5 × 8 – 6 = 10 h) 10 + 5 × 3 × 2 = 90

i) 15 – 5 + 3 × 2 = 26 j) 10 + 5 × 3 × 2 = 40

k) 10 – 4 × 2 = 12 l) 10 + 5 × 3 × 2 = 50

m) 10 – 4 × 2 = 2 n) 20 ÷ 5 + 8 ÷ 2 = 8

o) 5 × 8 – 6 = 34 p) 20 ÷ 5 + 8 ÷ 2 = 6

q) 5 × 8+ 6 = 70 r) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 28

s) 15 – 5 + 3 × 2 = 4 t) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 73

u) 15 – 5 + 3 × 2 = 14 v) 7 × 20 ÷ 2 + 3 = 91

w) 2 + 4 × 5 – 6 = 16 x) 2 + 4 × 5 – 6 = 24

y) 2 + 4 × 5 – 6 = – 6 z) 2 + 4 × 5 – 6 = – 2

- 90 -

2. Cada uno de los cálculos siguientes tiene algún error de procedimiento. Encuéntralo y resuelve sin error en la derecha respectiva.

CÁLCULO SIN ERROR

a) 3 + 5 8 – 1 = 64 – 1 = 63

b) 235925

c) 68 (4 – 15) = 17 – 15 = 2

d) (7 + 4)2 + 9.5 = 49 + 16 + 9.5 = 74.5

e) 2461818

108

6

108

186

108

f) 24

15

177

96

17

9

7

6

g) 101006

600

6

258342

3. Cinco números y las operaciones básicas. Usa una sola vez cada uno de los números y combínalos para formar el número señalado, utiliza sólo las primeras cuatro operaciones básicas y los símbolos de agrupación.

Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total:16. 9

8 7 1 169

a) 1, 10, 15, 20, 3; total: 6 ___________________________________________ b) 2, 18, 3, 11, 12; total: 8 ___________________________________________ c) 7, 14, 7, 17, 13; total: 7 ___________________________________________ d) 0, 4, 1, 11, 9; total: 5 ___________________________________________ 4. Resuelve las operaciones. Incluye los pasos en la solución.

a) (+5) + (–12) – (–20) = b) (–1)( –6)(+2) – 3 + 8 = c) –5(–3 – 22) + (–20) – 5= d) –(+9 + 3 – 5 + 2 – 9) = e) (+3)( –8)( –2)( –1)= f) (–5 –8)2 = g) (–2)( –4) + (–3)( –1) = h) (–2)( –7) – (–3)( –1) = i) +10 – 6(–2 + 14 – 10) = j) –19 + 6(–2)(0) – 5 = k) –3[+30 ÷ (–10)] – 9 = l) –[+3 – (–2) + 5] ÷ (–2) = m) –[(+3)(–4)(–5) + 4] = n) –20 – 2(+6)( –3) – 10 = o) –20 – 2(+5)(+3) – 10 = p) –{+9 – [(–8) ÷ (–4)] + 9 – 6} =

q) [(–48) ÷ (+12)]5 – 10 =

- 91 -

r) –2[+8 – 8(6 – 3) + 2(–5)] = s) –[+8 – 8(7 – 3) + 2(–5)] = t) –{ – [+8 – 8(7 – 3) + 2(–5)]} =

u) {[(+15) ÷ (+3)] – (+5 – 8)} ÷ (–8) =

v) –21 + 2(3 – 17) – (–3)(+7) + (–3)( –8) =

w) [(+24) ÷ (–3)] – 49 + 5 – 4(+19 – 8) + (–7)( –7) – 11 =

5. Resuelve, incluye los pasos que te llevan al resultado.

a) 3 2 5 9 7 4 3

b) 5 3 4 7 3 5 2

c) 232 2 2 2 2 2 2

d) 5 2 7 4 2 3 7 5 7 4 8

e) 8752 f) 243936

g)

45

15

1535

h)

42525

82337 i) 7358484

j) 241634 k) 3

4 6 8

l) 2

2 2 35 1

2

m) 1 1 1

2 4 5

n) 3 2

0.2 0.001 o) 223 32

p) 2 2

2 5 3 6

q) 22

9393

CORRIGIÓ: ___________________ CALIFICACIÓN=#

1077

aciertos ________

- 92 -

ACTIVIDAD 3.1.3 Resolviendo problemas utilizando símbolos de agrupación y jerarquía de operaciones. Fecha: ____________

Resuelve. 1. Adrián fue a comprar un par de cuadernos en una papelería que tenía la siguiente oferta:

El precio de un cuaderno, sin descuento, era de $25.00. Él pagó con un billete de $100.00 y le dieron de cambio $60.00.

De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes operaciones representa la situación anterior?

a) 100

2050252100 b) ))

100

2050()252((100

c) )100

2050()252(100 d) )

100

2050())252(100(

2. Un terreno tiene la siguiente forma:

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del terreno?

b) Si el valor de n es 6 metros, ¿cuántos metros cuadrados tiene el terreno?

c) ¿Cuál es el perímetro del terreno?

3. Axel tiene cierta cantidad de dinero, da prestados $20, duplica lo que le quedó y… vuelve a dar prestados otros $20. Después de esto duplica el resto, vuelve a dar prestados otros $20 y se quedó sin dinero. Escribe la expresión algebraica que representa esta situación. 4. Calcular el área sombreada de la figura.


106

aciertos ________

Todos los cuadernos

de la marca x, 20 %

de descuento.

12.5 17

24

n

- 93 -

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE

POLINOMIOS Al finalizar la sección 3-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades: Saber aplicar la multiplicación de monomios y polinomios en la resolución de problemas. Saber realizar multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas. Saber realizar divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas. Saber obtener la regla para calcular el cuadrado de la suma de dos números. Saber obtener la regla para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números. Saber factorizar trinomios cuadrados perfectos. Saber encontrar la relación entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios. Saber, a partir de un modelo geométrico, factorizar un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de

dos binomios con un término común. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de

tu avance.

ACTIVIDAD 3.2.1 Trabajando la multiplicación de polinomios. Fecha: ____________ Analiza la siguiente figura; luego responde lo que se pide:

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco?___________________

b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco?________________________

c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?________________________

Al terminar, compara tus respuestas con tus compañeros.

Se está armando una plataforma con piezas de madera como las que aparecen a la izquierda. De acuerdo con las medidas que se indican en los modelos:

a) ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma? __________________________________________

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma? ______________________________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma? ________________________

d) Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma? ______________. Incluye el proceso

de cálculo.


Resolver problemas

multiplicativos que

impliquen el uso de

expresiones

algebraicas, a

excepción de la

división entre

polinomios.


Ayuda a mejorar el

manejo de las

expresiones

algebraicas.

x

x

x 4

Plataforma

- 94 -

ACTIVIDAD 3.2.2 Realizando multiplicaciones. Fecha: ____________

1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 26 8x k) 3 9 82 6x y x y

b) 32 5y l) 4 8 4 29 7a b a b

c) 4x x m) 3 10 72 6x y x y

d) 5 3m m n) 4 4 63 5x x x

e) 6 2m m o) 2 44 5 2m m m

f) 4 23 4a a p) 2 5 89 2 4b b b

g) 3 65 4x x q) 22 5uv u v

h) 3 96x x r) 8 8ab ab

i) 8 115x x s) 54 3p px x

j) 3 4 5 3x y x y t) 3 4 156 3x xa a

2. Realiza las siguientes operaciones.

a) 8 12x y b) 3 5 4m p q

c) 3 7 9x x d) 4 2 15y y

e) 24 8 7x x f) 25 6 1b b

g) 6 2 4 3a x y z h) 5 2 3 13x a b c

3. Según se requiera, encontrar una expresión para el perímetro y el área de la región sombreada. En todos los casos incluye las operaciones que utilizaste para validar tus respuestas.

a) b) P= __________________

A= __________________ As= ___________________________________

c) d) P = _______________

A = ______________________ A = _______________

- 95 -

4. Resuelve los planteamientos. a) Encuentra el volumen de la caja y la suma de sus aristas La = ______________ V = _____________

b) Un mosaico cuadrado mide 3 5x por lado. Encontrar una expresión para el perímetro y otra para

el área de tal mosaico.

c) Suponer que un piso de forma cuadrada se recubre con cien mosaicos como los del problema anterior. Encontrar una expresión para el perímetro y otra para el área del piso.

5. Efectúa las multiplicaciones de monomio con polinomio.

a) 18 3x x b) 14 2 4y y

c) 24 2 6x x d) 27 6 1b b

e) 213 3 6 4x x x f) 2 4 24 6 3 5a a a

g) 6 3 27 2 2 8y y y y h) 4 4 26k k k k

i) 28 5 7 15x x x j) 3 25 2 14

8 3 5x x x

k) 5 23 4 5a a ax x x

l) 3 2 2 5 89 4 2 5a a ax x x

m) 1 3

2 212 2 5 2a a

x x x

n) 1 1

222 26 3 2 4

x xxp p p

o) 4 10 8 51 15 53

5 2 2

a a a ax x x x

CORRIGIÓ: ________________________ CALIFICACIÓN= #

10 _________55

aciertos

- 96 -

ACTIVIDAD 3.2.3 Estudiando las divisiones. Fecha: ____________

(Completa) Para encontrar el área de un rectángulo se __________________ la medida de su largo y su ancho.

Si de un rectángulo te dan la medida de su área y el largo solamente, ¿cómo le haces para encontrar la medida de su anchura?_________________________________________________ _______________________________________________________________________________

¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?

Si hiciste una división, la operación que acabas de realizar se llama división de un polinomio entre un monomio.

ACTIVIDAD 3.2.4 Practicando la división de polinomios. Fecha: ____________ Realiza las divisiones de monomios.

a) 36

2

a

a b)

4

3

8

2

x

x

c)

515

3

m

m

d)

4

2

18

6

b

b

e) 4 3

2

16

4

x y

xy

f)

5 212

7

a b

ab g)

4 3

2

3

5

m n

m n h)

5 4

2 2

6.8

3.4

x y

x y

i) 314

2

y

y

j)

34

5

a

a k)

3 2

2

4.5

2

a b

ab l)

3 5 2

3 2

14

7

x y z

xy z

m) 4 5 3 23 5

4 6m n m n

n) 2 32 4

3 5a b c abc

2. Efectuar las divisiones de polinomio entre monomio.

a) 3 24 2 8 2a a a a b) 4 3 2 25 15 10 5x x x x

c) 5 4 3 26 3 9 3m m m m d) 3 28 4 2 2y y y y

e) 218 6

3

a a

a

f)

264 12

2

x y xy

xy

g) 3 2 2 3 4

2

3 5 4

2

m n m n mn

mn

h)

5 3 2a a a

a

i) 6 3 2

2

15 10 5

5

a a a

a

j)

10 3 220 12 8

4

e f e e

e

A = 6a2 + 15a

?

3a

- 97 -

k) 9 12 5 3 4 2

2 2

150 300 100

50

x y x y x y

x y

l)

4 5 724 30 12

6

m m m

m

m) 5 7

2

a a

a

x x

x

n)

4 3 2

2

a a

a

x x

x

o) 2 2 2abc a b c

abc

p)

43

54

1

2

x x

x

q) 3 24 48 28 104x x x x r) 2 8 3 9 2 109 63 27 45a b a b a b a b

s) 2 23 6 9xy x y xy t) 2 5 3 4 4 3 310 70 140 30x x x xa b a b a b a b

u)

21 2

2 32

3

x x

x

v)

1 1

2

2 1 2

3 4 51

6

x x x

x

a a a

a

w) El área de un rectángulo es 236 8x x , uno de sus lados mide 4x , encuentra la medida del otro

lado. Incluye procedimiento.

x) Si 30

3

6

a xx

x , ¿cuál es el valor de “a”? Incluir explicación.

y) ¿Cuál polinomio debe dividirse entre 45x para obtener

4 23 8 110x x x . Incluir procedimiento.

z) ¿Cuál es el resultado de ...a b c x y

b c d y z ? __________ Explica tu respuesta.

CORRIGIÓ: ________________________ CALIFICACIÓN= #

10 _________40

aciertos

- 98 -

ACTIVIDAD 3.2.5 Estudiando el Binomio al Cuadrado (BC). Fecha: ____________

Binomio al cuadrado. 2 2 22a b a ab b Trinomio cuadrado perfecto

1. Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta información completa la tabla que aparece enseguida. FIG. A FIG. B FIG. C

CUADRADO 1 CUADRADO 2 CUADRADO 3

Núm. de cuadrado

Medida de un lado

Perímetro Área

1 x + 1 4(x+1)= (x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1 2 3 4 5 6 a x + a (x + a)2 = (x + a)(x + a) =

Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?______________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________

2. De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B? Incluye argumentación matemática.

Fig. B

1

1 1

x

x

x

x

x

Fig. A

x

x 5

5

- 99 -

Los siguientes desarrollos de binomios al cuadrado se hicieron utilizando la propiedad distributiva, revísalos detenidamente con la intención de generar una regla para encontrar de manera rápida el producto de ellos. El secreto está en detectar las regularidades en los productos últimos (donde ya se aplicó la reducción).

1. 2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b




Después de reducir términos semejantes se obtiene el producto notable conocido como Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Los productos de los casos anteriores son muy parecidos, excepto por el signo del segundo término. Es importante que estudies la estructura de los binomios y cómo influyeron en el signo del segundo término del TCP. Para abreviar el desarrollo de un binomio al cuadrado, es suficiente hacer:

ACTIVIDAD 3.2.6 Calculando el producto del Binomio al Cuadrado (BC) Fecha: ___________

Encuentra el TCP surgido de cada binomio al cuadrado. Utiliza el método abreviado.

1. 2

3x 2. 2

8x

3. 2

9x 4. 2

13a

5. 2

5x 6. 2

7x

7. 2

11x 8. 2

2 3x

9. 2

3 1x 10. 2

6 5r

11. 2

4 3b c 12. 2

2 5a b

13. 2

4 5a b 14. 2

3 2x xy

15. 2

1

2x

16.

21

3x

17.

21

22

x

18.

2

2 3

a b

19.

2

3 4

yx

20.

2

15ax

21. 2

3 25a ax x 22. 2 2

3 10ax

23. 2 2

3 6ax 24. 2

12x

CORRIGIÓ: _________________ CALIFICACIÓN=#

1024

aciertos _________

Paso 1. _______________________________________________________________

Paso 2. _______________________________________________________________

Paso 3. _______________________________________________________________

- 100 -

EL BINOMIO AL CUADRADO Y EL CÁLCULO MENTAL

A través de los últimos siglos se ha dado el caso de personas con extraordinarias habilidades para el cálculo numérico, es grande el asombro al observar la velocidad con que operan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, etc. Escenas de acrobacia mental eran más frecuentes en el siglo XIX, después, en la primera mitad del siglo XX fueron menos los casos. En la actualidad son muy pocos los que han desarrollado esta habilidad, tal vez debido al abuso que se hace de las calculadoras a tal grado que aquellas personas que poseen esa capacidad innata no la desarrollan. Ejemplos de cómo utilizar la estructura de un binomio al cuadrado en el cálculo mental:

2231 30 1 900 60 1 961

2249 50 1 2500 100 1 2401

Como puede observarse, al buscar elevar un número al cuadrado, se busca descomponer tal número en dos sumandos en donde uno de ellos sea múltiplo de diez para facilitar la operación mental. A continuación se hace el cálculo mental siguiendo la estructura del desarrollo del binomio al cuadrado. Intenta desarrollar esta habilidad con alguien del salón.

ACTIVIDAD 3.2.7 Estudiando la factorización del Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Fecha: ____________

Resuelve el siguiente problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64,

¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________ ¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________ ¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________

Anota dentro de la figura el área de cada parte. La expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbelo como un producto de dos factores: ______________________________

Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) equivale a encontrar el Binomio al Cuadrado del cual proviene. Para factorizar un TCP, es necesario asegurarse primero que en verdad cumple con las características de un TCP:

2 2 22 ( )a ab b a b

Fig. A

El tercer término tiene

raíz cuadrada exacta.

2b b

El primer término tiene


El segundo término es el doble producto

de las raíces cuadradas del primero y

tercer términos.

- 101 -

Una vez confirmadas estas características, la factorización consiste en escribir esas dos raíces cuadradas, separadas con el signo del segundo término del TCP, encerradas en un solo paréntesis elevado al cuadrado (un binomio al cuadrado) y listo. Nota: El tercer término de un TCP siempre es positivo ¿por qué?

ACTIVIDAD 3.2.8 Factorizando el Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Fecha: ____________ Detecta si se trata de un TCP, luego factoriza cuando es posible.

1. 22 2 1 1x x x 2. 2 16 64x x

3. 2 18 81x x 4. 2 20 100x x

5. 2 30 225x x 6. 2169 26 1x x

7. 225 20 4x x 8. 236 30 25x x

9. 225 60 36x x 10. 2 40 400x x

11. 2 1

4x x 12. 2 6 9x x

13. 2 4 4

3 9x x 14. 2 1 1

3 36x x

15. 281 18x x 16. 29 61

25 5x x

17. 2 14 49

9 81x x 18. 6 332 256a ax x

19. 2 1x x 20. 2 22 121x x

21. 2 36 324x x 22. 216 24 9x x

23. 4 10 2 549 14 1a ax x 24. 4 24 60 225f fx x

25. 1

240 400a

ax x 26. 21 24

36 3x x

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN=#

1025

aciertos ______

ACTIVIDAD 3.2.9 Trabajando con Dos Binomios Conjugados Fecha: ____________

Dos binomios conjugados. 2 2a b a b a b Diferencia de cuadrados

Resuelve el siguiente problema: De un cuadrado de lado “x” se corta un cuadrado más pequeño de lado “y”, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesta:

a) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? ___________

b) Anota las medidas del rectángulo de la figura 2. Largo:___________ Ancho:___________

c) Expresa el área de la figura 2. A=_______________ d) Escribe al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo,

Fig. 2

Fig. 1

x y

y

x

- 102 -

x2 – y2, es igual al producto de la suma por la

diferencia de las raíces, en este caso, x y x y .

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ Dos binomios conjugados se estructuran como una suma de binomio multiplicada con la diferencia del mismo. Observa las formas más comunes en que aparecen y también sus respectivos productos:

1. 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b

2. 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b

El producto de dos binomios conjugados (2BC) se llama diferencia de cuadrados (DC) y se distingue por escribirse en los mismos términos de cualquiera de los dos binomios, pero elevados al cuadrado y uno de ellos negativo. Es importante observar que el signo negativo lo lleva el término que en los binomios originales posee el “más” (+) y el “menos” (–), es decir, el término conjugado.

ACTIVIDAD 3.2.10 Calculando el producto de Dos Binomios Conjugados. Fecha: ____________ Haya la DC surgida de los binomios conjugados. Utiliza el método abreviado.

1. 23 3 9x x x 2. 8 8x x

3. 15 15x x 4. 10 10x x

5. 12 12x x 6. 5 520 20a ax x

7. 2 5 2 5x x 8. 7 7x x

9. 5 3 5 3a a 10. 1 1

2 2x x

11. 3 3

8 8x x

12.

3 32 2

4 4x x

13. 1 2 1 2

4 5 4 5x x

14. 2 215 15ab ab

15. 2 21 1

9 9x x

16. 2 213 13a ax x

17. 1

4 45 5

xy x y

18. 6 6x x

19. 3 5 5 3m m 20. 4 5 4 5a a

21. 1 1

2 210 10a a

x x

22. 1 1

2 28 8x y x y

23. 1 1

3 318 18x x

24. 2 7 2 7a a

25. 2 4 2 4x x 26. 5 53 3

xy xy


1025

aciertos _________

- 103 -

DOS BINOMIOS CONJUGADOS Y EL CÁLCULO MENTAL a) Obtener mentalmente el resultado de 29 31 .

Para realizar la operación, primero observa que el número 30 está situado a la mitad de los dos números dados y la diferencia hacia cada uno de ellos es de una unidad, entonces se puede calcular usando el modelo de dos binomios conjugados cuyo producto es una diferencia de cuadrados:

2 229 31 30 1 30 1 30 1 900 1 899

b) Otro caso, obtener mentalmente el resultado de 18 22 . Ahora, el número que está ubicado a la mitad

de los dos números dados es 20 y la diferencia que tiene hacia cada uno de ellos es de dos unidades, así que se calcula:

2 218 22 20 2 20 2 20 2 400 4 396

ACTIVIDAD 3.2.11 Ahora al revés. Fecha: ____________

Diferencia de cuadrados 2 2a b a b a b Dos binomios conjugados

Para factorizar una diferencia de cuadrados (DC), primero hay que estar bien seguros de que lo sea. Tal reconocimiento, implica identificarlo con las siguientes características:

2 2a b a b a b

Una vez realizada esta inspección se procede a armar dos binomios conjugados con esas raíces cuadradas. Es bueno recordar que los signos conjugados (+ y –) los lleva la raíz que en la diferencia de cuadrados está negativa.

Ejemplo 1. Factorizar 2 144x

SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de 2x es x y de 144 es 12, entonces, 2 144 12 12x x x

Ejemplo 2. (caso especial) Factorizar 22 72x

SOLUCIÓN: Tal y como viene la diferencia, no es una diferencia de cuadrados, pero si se extrae como

factor común al 2, queda así: 22 36x . Se puede notar que lo que quedó dentro del paréntesis es una

diferencia de cuadrados. Ahora se procede a la factorización:

2 22 72 2 36 2 6 6x x x x

ACTIVIDAD 3.2.12 Factorizando la Diferencia de Cuadrados. Fecha: ____________

1. 2 36x 2. 2 121x

3. 2 9x 4. 2144 x

5. 2 100x 6. 236 324x

7. 2 256x 8. 2 169x

9. 24 25x 10. 29 81x

11. 2100 36x 12. 21196

4x



El segundo término, sin tomar en

cuenta el signo (–), tiene raíz

cuadrada exacta.

2b b

- 104 -

13. 29 1

16 25x 14. 21 4

36 9x

15. 23 2x 16. 25 125x

17. 2 10x 18. 28 50x

19. 2 3ax a 20. 23 48x


2

aciertos _______

ACTIVIDAD 3.2.13 Trabajando dos binomios con un término común. Fecha: ____________

Dos binomios con un término común (2BTC) 2 ( )x a x b x a b x ab Trinomio de segundo grado (TSG)

Resuelve el siguiente problema: Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesta y haz lo que se indica.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido? Base = ____________ Altura:_____________ b) ¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________

c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es 2 8 15x x , ¿Cuáles son las dimensiones de

ese rectángulo? Base = _______________ Altura = ________________ d) Escribe una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. _________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ Si hay dos binomios que se multiplican y un término es igual en los dos binomios, se dice que se trata de dos binomios con un término común. A continuación, se muestra cómo obtener su producto por un método más corto que el indicado por la propiedad distributiva:

2 2 2x a x b x bx ax ab x ax b x a b x ax ab b

En la última parte del desarrollo anterior se muestra la forma acortada para dar el producto notable de dos binomios con un término común, llamado trinomio de segundo grado (TSG). Si en los binomios

originales llamamos a “ x “ el término común y “ a “ y “ b “ los términos no comunes, el método acortado

consistirá en escribir:

ACTIVIDAD 3.2.14 Encontrando el producto de Dos Binomios con un Término Común. Fecha: ____________ Escribe el TSG surgido de los dos binomios con un término común. Utiliza el método abreviado.

a) el cuadrado del término común b) agregar la suma de los no comunes multiplicada con el común c) agregar el producto de los no comunes

Fig. A Fig. B Fig. D Fig. C

x

x

7

x 5 x 7

5

Fig. E

- 105 -

1. 25 6 11 30x x x x 2. 8 2x x

3. 13 2x x 4. 7 6x x

5. 18 5x x 6. 14 3x x

7. 5 12x x 8. 2 4 2 3x x

9. 8 5x x 10. 13 5x x

11. 6 10x x 12. 6 4x x

13. 3 10x x 14. 1 3

2 2x x

15. 6 2

5 5x x

16. 3 2 3 8x x

17. 2 27 5x x 18. 1 1

9 82 2

x x

19. 1 1

2 21 3x x

20. 15 1x x

21. 4 10x x 22. 2 2

3 13 3

x x

23. 2 3ab ab 24. 9 3 9 2x x

25. 8 2x y x y 26. 5 1x x

27. 5 1 5 2x x 28. 10 15a ax x

29. 2 220 8a ax x 30. 5 53 15a ax x

31. 16 102 2

x x


1030

aciertos _________

ACTIVIDAD 3.2.15 Factorizando el trinomio de segundo grado. Fecha: ____________

Trinomio de segundo grado 2 ( )x a b x ab x a x b Dos binomios con un término común

Un trinomio de segundo grado (TSG) tiene las siguientes características:

2 ( )x a b x ab x a x b



Hay dos números “a” y “b” que

multiplicados producen el

tercer término, y la suma de los

mismos, multiplicada con la

raíz cuadrada del primer

término, forman el segundo

término.

- 106 -

Una vez detectadas estas características, la factorización consiste en armar dos binomios con un término común. El término común se obtiene de la raíz cuadrada del primer término del TSG , y los números “a” y “b” encontrados serán los términos no comunes.

Ejemplo 1. Factorizar 2 8 15x x

SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de 2x es x , luego, los números a y b cuyo producto dé 15 y su suma

multiplicada con la raíz cuadrada del primer término sea 8x , son únicamente el 5 y el 3 , entonces:

2 8 15 5 3x x x x .

Ejemplo 2. Factorizar 2 4 12x x

SOLUCIÓN: La raíz cuadrada de 2x es x , luego, los números a y b cuyo producto dé 12 y su suma

multiplicada con la raíz cuadrada del primer término sea 4x , son únicamente el 6 y el 2 , entonces:

2 4 12 6 2x x x x .

FACTORIZA:

1. 2 12 20x x 2. 2 3 2x x

3. 2 7 6x x 4. 2 5 24x x

5. 2 2x x 6. 2 5 14x x

7. 212 8x x 8. 2 9 20x x

9. 2 12 11x x 10. 2 2 35x x

11. 2 13 30x x 12. 2 8 180x x

13. 2 6 16x x 14. 2 30x x

15. 2 13 14x x 16. 2 242x xy y

17. 4 26 8x x 18. 6 3 20x x

19. 24 18 20x x 20. 29 21 10x x

CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN=#

2

aciertos _______

- 107 -

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE

POLÍGONOS Al finalizar la sección 3-3 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades: Saber triangular polígonos como recurso para encontrar la suma de los ángulos interiores de los mismos. Saber detectar regularidades en el comportamiento angular de los polígonos Saber establecer una fórmula que permita encontrar la suma de los ángulos interiores de un polígono Saber manejar problemas relacionados con ángulos interiores de polígonos. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.3.1 Estudiando los ángulos interiores de los polígonos. Fecha: _____________

Dibuja un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada integrante del equipo) y traza las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________ Completa la siguiente tabla.

Polígono Número de

lados Cantidad de

triángulos interiores triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Polígono de n lados

La siguiente tabla es similar a la anterior pero se le agregó una columna. Escribe los datos que faltan.

Polígono Número de lados

Cuántos triángulos interiores hay

Suma de los ángulos internos del polígono

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Polígono de n lados n

¿Cuál es la fórmula que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?_______________________________________________


Reconocer en

situaciones

problemáticas

asociadas a fenómenos

de la física, la biología,

la economía y otras

disciplinas, la presencia

de cantidades que

varían una en función

de la otra y representar

esta relación mediante

una tabla o una

expresión algebraica

de la forma: y ax b .


Permite relacionar y

reconocer formas en

que se presenta la

información.


Establecer una

fórmula que permita

calcular la suma de

los ángulos interiores

de cualquier

polígono.


Aumenta tu

capacidad para

identificar las

características de los

polígonos.

- 108 -

Responde las preguntas y justifica tus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________ ¿Por qué?_____________ _____________________________________________________________________________________________________________________

2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?_______ ¿Cómo se llama?___________________________________________________

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata? ____________ ________________ ¿Por qué?_______________________________________________________________________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco? _________ _______________________

5. ¿Cuánto es la medida del octavo ángulo de un octágono irregular en donde la suma de los otros siete ángulos es 10000? _______________________

CORRIGIÓ: ______________________ CALIFICACIÓN = #

1028

aciertos ______

140

140

140

- 109 -

RECUBRIMIENTO DEL PLANO CON

POLÍGONOS Al finalizar la sección 3-4 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades: Saber analizar y explorar las características de los polígonos regulares con los que se puede cubrir un plano. Saber analizar y explorar las características de los polígonos irregulares con los que se puede cubrir un plano. Saber las características de los polígonos tanto regulares como irregulares con los que se puede recubrir un plano en forma combinada Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.4.1 Estudiando relaciones funcionales. Fecha: _____________

Materiales: Recortar 10 triángulos equiláteros, 10 cuadrados, 10 pentágonos regulares, 10 hexágonos regulares y 10 octágonos regulares, pegamento. Todos los polígonos deben ser congruentes entre sí respectivamente.

CASO 1. Pega en una página de tu libreta todos los triángulos de modo que pueda recubrirse el plano, lo mismo haz con las demás figuras. No hagas mezclas, ni sobrepongas las figuras. Después contesta las siguientes preguntas:

¿Con cuáles de las figuras pudiste cubrir el plano sin dejar huecos? ________________________________________ _______________________________________________________ ¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano? ___________________________________ _______________________________________________________________________________ ¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué crees que se deba? _____________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________

CASO 2. Tomando en cuenta los espacios que quedaron sin recubrir al usar algunos tipos de polígonos regulares, contesta: ¿Qué tipo de polígonos recubren tales espacios? _____________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________ ¿Cuáles son sus medidas angulares? Dibújalos. ¿Qué polígono recubrirá los espacios que quedan al intentar recubrir el plano con polígonos regulares de doce lados? _________________________________________________________ CASO 3. Diseña y recorta un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que te permita cubrir el plano. El polígono irregular que diseñes puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñes el modelo, traza y recorta varias figuras iguales para que puedas mostrar que se puede cubrir el plano. ¿Qué características tiene el polígono que diseñaste para cubrir el plano? ______________________ _____________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________


Conocer las

características de los

polígonos que

permiten o no cubrir

el plano y realizar

recubrimientos del

plano.


Permite reconocer

las propiedades de

los polígonos y

mejora la capacidad

de observación.

- 110 -

CASO 4. Utilizando polígonos regulares e irregulares cubre un plano, y contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué polígonos utilizaste? _______________________________________ b) ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano? __________________________ c) ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras? _____________________________ d) ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice? __________________________

A continuación se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por Escher.

En el siguiente espacio pega recortes de teselados que hayas investigado:

- 111 -

VOLUMEN, CAPACIDAD Y EQUIVALENCIAS Al finalizar la sección 3-5 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades: Saber establecer la relación entre decímetro cúbico y litro y a partir de ella, deducir otras equivalencias entre unidades de volumen y

capacidad para líquidos (la que hay entre centímetro cúbico y mililitro, y entre metro cúbico y litro). Saber que el peso de un litro de agua es igual a un kilogramo y a partir de esta relación deducir otras equivalencias entre unidades

de volumen y peso (centímetro cúbico y gramo) representar gráfica. Conocer e interpretar diferentes unidades de medida usuales. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.5.1 Explorando relaciones entre medidas volumétricas. Fecha: _____________

Utiliza un decímetro cúbico hueco de plástico, madera, acrílico u otro material donde puedan vaciar agua. Indaga qué cantidad de agua le cabe.

1dm³ tiene una capacidad de: ______________________

A partir del resultado obtenido, completa las siguientes equivalencias.

1 cm³ de agua equivale a: ___________ ml 1 m³ de agua equivale a: _____________ litros

Analiza la información que contienen las siguientes ilustraciones. Posteriormente, responde a los cuestionamientos que se plantean.

a) ¿Cuánto es la masa de un litro de agua? ____________________ b) ¿Cuánto es la masa de 1 cm³ de agua? ______________________

Analiza la información de cada una de las situaciones siguientes. Posteriormente, respondan las preguntas.

Situación 1:

¿Cuál fue la producción de petróleo en el año 2000? _______________________________

¿Cuál es la unidad de medida de la producción de petróleo? ________________


La relación entre el

decímetro cúbico y

el litro. Deducción de

otras equivalencias

entre unidades de

volumen y

capacidad para

líquidos y otros

materiales.

Equivalencia entre

unidades del Sistema Internacional de

Medidas y algunas

unidades

socialmente

conocidas, como

barril, quilates, quintales, etcétera.


Permite comprender

la aplicación de

medidas

volumétricas.

- 112 -

Situación 2:

Las cataratas de Iguazú presentan un espectáculo pocas veces visto. La sequía que se está viviendo en la zona es la peor en 20 años, por lo que el caudal de agua se redujo de manera notoria.

En la actualidad, las cataratas poseen un caudal de 300 metros cúbicos por segundo, cuando la cantidad normal es de 1 300 y 1 500 metros cúbicos. Los saltos tienen una altura promedio de 70 metros.

Consideradas una de las maravillas naturales del mundo, las cataratas superan a las del Niágara, y rivalizan en tamaño con las de Victoria, en el río Zambezi, en el sur de África.

Alimentadas por el río Iguazú, están formadas por más de 270 saltos, con una altura media de 70 metros, y se localizan en el estado brasileño de Paraná y la provincia argentina de Misiones.

¿Cuál es la unidad de medida del caudal del agua? _________________________________

¿Cuál es el caudal del agua actual en litros? ______________________________________

Situación 3:

El Siglo de las Luces

El movimiento de la Ilustración, impulsado por una minoría de intelectuales, hizo que el siglo XVIII se conociera como el Siglo de las Luces.

En este movimiento se encontraron las corrientes racionalistas del Renacimiento. Los filósofos de la Ilustración pusieron toda su fe en la razón, a la que exaltaron como una diosa, considerándola el único medio para asegurar al ser humano el progreso y la felicidad.

La Ilustración nació en Francia y se extendió por toda Europa, y siendo las ciencias físico-naturales las que concentraron el mayor interés.

• Astronomía: Herschel descubrió el planeta Urano en 1781.

• Física: se inventó el termómetro gracias a los trabajos de Réaumur, Celsius y Fahrenheit. Galvani y Volta fueron pioneros en el conocimiento de la electricidad, y Benjamín Franklin inventó el pararrayos (1750).

• Ciencias naturales: Linneo elaboró la clasificación de las plantas en 1 735.

¿A qué siglo corresponden los años en los que se descubrió el planeta Urano, se inventó el termómetro y se elaboró la clasificación de las plantas?__________________________________________

¿Qué relación hay entre el siglo comentado y las centenas contenidas en los años correspondientes? _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


1011

aciertos ______

- 113 -

ASOCIACIONES DE LA PROPORCIÓN Y=kX Al finalizar la sección 3-6 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades: Saber determinar y comparar la relación de proporcionalidad directa y kx con respecto a una relación de la forma

y ax b ; a través de tablas y su expresión algebraica. Saber expresar algebraicamente una relación de proporcionalidad directa y kx , utilizando un coeficiente fraccionario

o número decimal. Saber determinar si dos conjuntos de cantidades representan una relación de proporcionalidad y kx y escribir la

regla general que expresa dicha relación.

Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.6.1 Explorando relaciones de proporcionalidad. Fecha: _____________ Lee la información y haz lo que se pide.

1. 1. Considera una cisterna A y una cisterna B, que tienen la misma capacidad. La cisterna A tiene 500 litros de agua, mientras que la cisterna B está vacía. Se abren al mismo tiempo las llaves para llenar ambas cisternas y caen, en cada una, 10.5 litros de agua por minuto.

a) Anota las cantidades que hacen falta en las tablas.

b) Representa con la letra x el número de minutos y con la letra y la cantidad de agua contenida en cada cisterna y expresa algebraicamente la relación entre las dos columnas de cantidades de cada tabla.

Cisterna A: ______________________________ Cisterna B: ______________________________

c) ¿Cuántos litros de agua tendrá la cisterna A los 20 minutos de abierta la llave de llenado? _______________________¿Cuántos litros tendrá la cisterna B en el mismo tiempo? ___________________

d) Si ambas cisternas tienen una capacidad de 2 000 litros de agua, ¿en cuánto tiempo se llenarán?

Cisterna A: _____________________ Cisterna B: ____________________________

e) ¿Cuál de las dos cisternas se relaciona con una situación directamente proporcional? ______ Explica tu respuesta. _____________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________

Resuelve los siguientes problemas. Puedes utilizar calculadora.


Representar

algebraicamente y

analizar una relación

de proporcionalidad

y= kx, asociando los

significados de las

variables con las

cantidades que

intervienen en dicha

relación.


Permite desarrollar el

nexo entre una

expresión algebraica

y sus significados en

términos de

cantidades.

Cisterna A Tiempo (min) Cantidad de agua

(litros) 0 1 2 3 4 5 6 7

Cisterna B Tiempo (min) Cantidad de agua

(litros) 0 1 2 3 4 5 6 7

- 114 -

2. Completa la tabla y expresa algebraicamente cómo cambia y (longitud de la circunferencia) en función del valor de x (longitud del diámetro).

X

(longitud del diámetro) Y

(longitud de la circunferencia)

3 cm 9.42 4.5 cm 10 cm

15.2 cm 24 cm

a) Considera la expresión y = kx, ¿cuál es el valor de k en la expresión que encontraste? ________

b) La fórmula C = x D es la misma que y = kx, solo que con otras literales. ¿Qué valores pueden tomar

C, π, D, de acuerdo con la información de la tabla?

C = ____________ π = ___________ D = ___________

3. Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes colores, si con el tipo de pintura seleccionada se cubren 24 m2 por cada 4 litros:

a) Anota las cantidades que faltan en la tabla.

m2 30 48 72 120 180 240

litros

b) ¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce el número de metros cuadrados por cubrir? ________________

4. Se sabe que la distancia que necesita un automóvil para frenar completamente es directamente proporcional a la velocidad que lleva. Al probar uno de sus nuevos modelos de autos, una compañía determinó que para una velocidad de 60 km/h el auto necesita una distancia de frenado de 12 metros.

a) Elabora una tabla que exprese la relación entre los dos conjuntos de cantidades, velocidad y

distancia de frenado. La distancia de frenado debe ir desde 12 metros hasta un metro.

b) Expresa con palabras la regla general que permite obtener las distancias de frenado a partir de las velocidades. ____________________________________________________________

c) Expresa algebraicamente la regla general que encontraste. __________________________

d) Utiliza la regla general para encontrar las cantidades que faltan en la siguiente tabla.

Velocidad km/h 80 100 120 150 Distancia de

frenado

e) ¿Cuál es la velocidad que corresponde a una distancia de frenado de 20 metros? ___________


1057

aciertos ______

Expresión algebraica

- 115 -

Histogramas y gráficas poligonales Al finalizar la sección 3-7 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades y habilidades: Saber, partiendo de un listado de datos numéricos, construir un histograma. . Saber, a partir de analizar información presentada en un histograma, advertir los elementos que caracterizan dicha gráfica. Saber analizar e interpretar información contenida en gráficas poligonales. Saber construir una gráfica poligonal a partir de una situación dada. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.7.1 Construyendo histogramas Fecha: ____________

Un histograma es un tipo de gráfica con barras. Tiene la particularidad de que los tipos de datos los agrupa en “intervalos de clase”. En un histograma el número de barras coincide con el número de intervalos de clase. Para poder agrupar los datos en intervalos de clase, hay que determinar un número de clases (entre 5 y 12) que sea conveniente. También, en este tipo de gráfica las barras aparecen unidas y cada barra representa un conjunto de datos en vez de un solo dato. El histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de datos (más de 30) cuantitativos correspondientes a una variable continua, que es preciso agrupar para simplificar el análisis y la presentación de la información. Analiza la información y efectúa lo que se indica.

En un laboratorio se tomó una muestra de 120 paquetes de leche en polvo cuya etiqueta dice: Contenido neto 250 g. Se trataba de averiguar el peso real de cada paquete y se obtuvieron los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor.

243, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 253, 253, 253, 253, 254, 254, 254, 254, 254, 255, 255, 255, 255, 255, 256, 256,256, 257, 257, 257, 258

1. En virtud de que son muchos datos, conviene organizarlos en una tabla de distribución de

frecuencias agrupadas, complétala con base en los datos registrados y después contesta lo que se pregunta.

Tabla de distribución de frecuencias agrupadas

Clases Límites de clase Recuento Frecuencia Marca de clase

1 241 – 244 5 242.5

2 245 – 248

3

4

5

Total 120

a) Cada grupo de datos es una clase, ¿en cuántas clases se organizaron los 120 datos? _________________ b) Cada clase tiene un límite inferior y un límite superior, ¿cuál es el límite inferior de la tercera clase?

______________ c) Un criterio básico para establecer las clases es que cada uno de los datos pertenezca exactamente

a una clase. Verifica que este criterio se cumple en la tabla que completaste. d) Verifica que la suma de frecuencias absolutas es igual al total de datos de la muestra. e) La marca de clase es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada clase. ¿Cuál es

la marca de clase de la cuarta clase? ___________


Búsqueda,

organización y

presentación de

información en

histogramas o en

gráficas poligonales

(de series de tiempo

o de frecuencia),

según el caso y

análisis de la

información que

proporcionan.


Permite mejorar la

comprensión, la

representación y el

manejo de la

información.

- 116 -

2. Representa los datos de la tabla en un histograma. Para ello haz lo siguiente:

a) Anota el título de la gráfica. b) Anota los encabezados de los ejes, en el eje vertical van las frecuencias. ¿Qué va en este caso en el

eje horizontal? ________________________________ c) La escala horizontal puede construirse con la fronteras de clase: 240.5, 244.5, 248.5, así

sucesivamente hasta 260.5. Otra opción es construir la escala horizontal con las marcas de clase.

3. Elabora tres preguntas que se puedan responder con la información contenida en su gráfica. Primera pregunta: _______________________________________________________________________________________________ Segunda pregunta: _______________________________________________________________________________________________ Tercera pregunta: ________________________________________________________________________________________________

Resuelve conforme se indica: El director de una escuela secundaria, preocupado por el rendimiento académico de los alumnos, decide averiguar cuántas horas estudian por semana. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y mediante una encuesta, obtiene los siguientes datos. 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.

a) Ordena los datos de menor a mayor y organízalos en una tabla de distribución de frecuencias. b) Representa la información en un histograma y elabora tres preguntas que se puedan responder a partir de la gráfica.


1017

aciertos ______

- 117 -

ACTIVIDAD 3.7.2 Analizando un histograma Fecha: ____________

Analiza el histograma, después, haz lo que se indica.

1. De acuerdo con la información contenida en la gráfica, completen la siguiente tabla; luego respondan lo que se cuestiona:

Clase Límites de

clase Fronteras de clase* Marca de clase** Frecuencia

1 17.5 - 20.5 17 – 21 19 3 2 21.5 - 24.5 21 - 25 23 3 25.5 – 28.5 25 – 29 4 29.5 – 32.5 5 33.5 – 36.5

* Fronteras de clase, es un ajuste de los intervalos de clase para que haya continuidad de un intervalo a otro. Esto se logra al restar 0.5 al límite inferior y sumar 0.5 al límite superior; con lo cual se va determinando lo que se conoce como fronteras de clase o límites reales. **Marca de clase es el promedio entre el límite inferior y superior de un intervalo de clase.

a) ¿Cuál es la marca de clase del intervalo de temperaturas máximas de los Estados de la

Republica?__________________ ¿Cuántos Estados alcanzan esas temperaturas? ________________

b) ¿Cuál es la marca de clase del intervalo moda? ____________________ ¿Cuántos Estados alcanzan esas

temperaturas? ______________________

c) ¿Cuál es el rango de temperaturas que alcanza la mayoría de los Estados? ___________________________


109

aciertos _________

ACTIVIDAD 3.7.3 Analizando e interpretando gráficas poligonales Fecha: ____________

Un polígono de frecuencias se utiliza para representar la tendencia de los datos de una variable numérica continua.

Con base en la información que aparece en las siguientes gráficas, contesta las preguntas.

- 118 -

1. Una asesora de grupo, analizó los resultados de aprovechamiento escolar de dos grupos de segundo grado. La gráfica que obtuvo de este análisis es la siguiente:

a) ¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo A? ____________ b) ¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados? ___________ c) ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? Grupo A: __________ Grupo B: ____________ d) ¿En cuál grupo existe mayor cantidad de alumnos con calificaciones mayores o iguales que 8? ______ e) ¿Cuál grupo tiene mejor aprovechamiento? _______ ¿Por qué? _____________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________

2. En una investigación sobre el peso de un cierto número de niños recién nacidos, se obtuvieron los siguientes datos:

Clase Límites de clase Marca de clase* Frecuencia

1 2.5 – 3.0 2.75 6 2 3.0 – 3.5 3.25 23 3 3.5 – 4.0 3.75 12 4 4.0 – 4.5 4.25 9

* La marca de clase representa a todos los datos pertenecientes al intervalo de clase correspondiente.

Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a) En la investigación, el número de bebés recién nacidos es 45. ___________

b) La mayoría de los recién nacidos tienen un peso promedio de 3.25 kg. ______

c) Los niños con menor peso son muy pocos, solo 6 de 50 niños tuvieron un peso entre 2.5 y 3 kg. _________________

d) Lo que señala la gráfica poligonal es que el rango de pesos de los recién nacidos va de 2.5 kg a 4.5 kg. _____________


1011

aciertos ______

0123456789

101112

5 6 7 8 9 10

No

. d

e a

lum

no

s

calificaciones

grupo A

grupo B

- 119 -

ACTIVIDAD 3.7.4 Construyendo gráficas poligonales Fecha: ____________

Realiza lo que se indica.

1. Mediante una gráfica poligonal, representen la información que hay en las tablas, relacionada con la variación de la temperatura de dos pacientes. Después escriban tres preguntas que se puedan responder con la información presentada en la gráfica.

Paciente A

Hora 6 A. M. 8 A. M. 10 A. M. 12 A. M. 2 P. M. 4 P. M. 6 P. M. 8 P. M. Temperatura (° C) 39.5 38.5 38 37 37 36.5 36.5 36.5

Paciente B

Hora 6 A. M. 8 A. M. 10 A. M. 12 A. M. 2 P. M. 4 P. M. 6 P. M. 8 P. M. Temperatura (° C) 38.5 38.5 37 37 37 38 38.5 39

Preguntas:

a) ________________________________________________________________________________________________________________

b) ________________________________________________________________________________________________________________

c) ________________________________________________________________________________________________________________

2. Una agencia de viajes ofrece precios especiales para excursiones por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada invernal en el hemisferio norte y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por lo que se gaste en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros en temporadas anteriores. La cantidad de folletos enviados dependería de la cantidad de personas en cada grupo de edad. La agencia seleccionó de sus archivos una muestra de 40 clientes cuyas edades son:

77, 18, 63, 84, 38, 54, 50, 59, 54, 56, 36, 50, 50, 34, 44, 41, 58, 58, 53, 62, 62, 43, 52, 53, 63, 62, 62, 61, 61, 52, 60, 60, 45, 66, 83, 63, 63, 58, 61, 71.

a) Ordena los datos y organízalos en una tabla de distribución de frecuencias.

b) Con los datos de la tabla, elabora en tu libreta un polígono de frecuencias. c) ¿Cuál grupo de edad presenta la mayor frecuencia relativa? _________¿Cuál la menor frecuencia

relativa? ______________ d) Formula conclusiones que puedan ayudar a la agencia de viajes a planear la campaña de publicidad.


109

aciertos ______

http://www.monografias.com/trabajos11/trabagenc/trabagenc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/fijacion-precios/fijacion-precios.shtml#ANTECED

http://www.monografias.com/trabajos11/teopub/teopub.shtml

- 120 -

Propiedades de la media y la mediana Al finalizar la sección 3-8 asegúrate que hayas adquirido las siguientes capacidades y habilidades: Saber identificar las propiedades de la media en la resolución de problemas. . Saber identificar las propiedades de la mediana en la resolución de problemas. Cada vez que te asegures de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que lleves el control de tu avance.

ACTIVIDAD 3.8.1 Utilizando la media en la resolución de problemas Fecha: ____________

Analiza y resuelve los siguientes problemas. 1. A una fiesta asisten 10 amigos de la escuela incluyendo al anfitrión. Cada uno coopera con cierta

cantidad de dinero de manera voluntaria. El que coopera con más dinero fue Juan, el anfitrión, quien puso 90 pesos. El que puso menos fue Pedro con 70 pesos. Al final Juan dijo que en promedio los miembros del grupo habían colaborado con 100 pesos.

a) ¿Qué piensas de la afirmación de Juan? ___________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________

b) Si en realidad en promedio los asistentes a la fiesta dieron 80 pesos, ¿qué cantidad de dinero dio cada uno? Considera lo que aportaron Juan y Pedro. ___________________________________________________

c) Considerando la respuesta anterior. Si a la fiesta llega un integrante más, Raúl, y éste no aporta

nada, ¿el promedio sigue siendo el mismo? ___________ ¿por qué? ______________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________

2. En el periódico se afirma que en promedio cada familia mexicana tiene 2.3 hijos.

a) ¿Qué significa este número en términos de los hijos de las familias mexicanas? ______________________ ________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________


105

aciertos ______

ACTIVIDAD 3.8.2 Utilizando la mediana en la resolución de problemas. Fecha: ____________ Resuelve los siguientes problemas.

1. En una sucursal de minisúper hay siete empleados que se han quejado con la gerencia asegurando

que el salario semanal es de $900.00. La gerencia responde que el salario correcto es de $1313.63 semanal. La siguiente tabla contiene los salarios semanales de todos los empleados.

CARGO SALARIO NÚMERO DE EMPLEADOS

Gerente $3,500.00 1

Subgerente $2,600.00 1

Cajero $1,500.00 1

Abarrotero $950.00 1

Auxiliar de venta $900.00 3

Mantenimiento $800.00 4


Aplicar las

propiedades de la

media y la mediana

en la resolución de

problemas.


Permite mejorar la

comprensión y el

manejo de la

información.

- 121 -

a) ¿Qué medida utilizaron los empleados para manifestar su inconformidad? ______________ ¿Por qué?

________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué medida utilizó la gerencia para contestar a los empleados? ________________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Cuál de las dos medidas es más representativa del salario de todos los empleados de la tienda?

___________________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________________

2. Los siguientes datos corresponden a salarios, ya están ordenados e identificada la mediana, con

base en ellos analiza las siguientes preguntas:

800, 800, 800, 800, 900, 900, 900, 950, 1500, 2600, 3500. mediana

a) ¿La mediana puede ser un valor menor a 800 o mayor a 3500, es decir, puede estar fuera de los valores extremos? _____________________

b) ¿Cuántos valores son mayores o iguales que la mediana y cuántos son menores o iguales? ________ c) Si el salario del gerente estuviera equivocado y en lugar de $3500, fuera de $5400, ¿el valor de la

mediana se modificaría?________________


109

aciertos ______

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