20 Revista Ingeniería e Investigación No. 48 Diciembre de 2001

Biorreactores: Modelos Matemáticos y suSimulación sobre una Hoja Electrónica

Hermes Rangel Jara*, María Adelaida Pradilla**, Claudia Viviana Burgos**

RESUMEN

Este artículo presenta brevemente el resultado de un trabajode investigación y de consulta bibliográfica, que consistió enla recopilación de modelos matemáticos para biorreactores yla solución numérica de algunos de ellos en la hoja de cálculoMicrosoft Excel®. Se presenta, con fines principalmentedidácticos, una alternativa para la exposición de dichainformación en un módulo interactivo para computador. Elmódulo interactivo se creó con una nueva herramienta -HTMLHelp Workshop®- que permite una presentación de tipoeducativo que puede ser publicada sin dificultad en Internet.

INTRODUCCIÓN

La importancia del modelamiento matemático y lasimulación en el diseño y optimización de procesos es

bien conocida, y debido a que los procesos biotecnológicoshan ido convirtiéndose en procesos bastante viables, hasta elpunto que, en muchas ocasiones, resultan más ventajosos quela alternativa química tradicional, el modelamiento y cálculomatemático de biorreactores son una herramienta indispensableen el desarrollo de la biotecnología.

La simulación de biorreactores es muy similar a la de losreactores químicos tradicionales, aunque con algunos elementosadicionales estrechamente ligados al carácter bioquímico delproceso, como el crecimiento del biocatalizador (en el caso decélulas) y todo lo que esto implica: aumento de la viscosidaddel medio, crecimiento del grosor de la película de biomasa enel caso de células inmovilizadas, etc. En seguida se enuncian,para diferentes tipos de biorreactores, los modelos matemáticosmás representativos, las simplificaciones que los definen y labibliografía correspondiente. Además, se mencionan ejemplosde cálculo de biorreactores efectuados en Microsoft Excel®97, con el fin de resaltar las ventajas de la hoja de cálculo en lasimulación de procesos.

Convencionalmente, la presentación teórica de modelosmatemáticos puede resultar pesada y aburrida para el lector.Pero si el modelo se acompaña de una estructura de cálculo yse presentan ambos, modelo y solución numérica, dentro de un

esquema interactivo semejante al de las páginas web, elresultado puede ser interesante e impresionante. MicrosoftHTML Help Workshop® es una de las herramientas másapropiadas para la elaboración de dicho esquema interactivo,cuyo fin último es la presentación de información en formaamena, organizada y didáctica. Más adelante se ilustra estanovedosa alternativa académica.

l. BIORREACTORES y TIPos DE BIORREACTORES

Lafermentación es un proceso de transformación químicaen el que algunas enzimas, aisladas o presentes en micro-organismos o células, catalizan la conversión de un substratoorgánico, como por ejemplo la glucosa a sus productosmetabólicos. El biorreactor es el equipo centro de todo procesofermentativo.

Los biorreactores se clasifican de diversas maneras, deacuerdo con el criterio que se utilice para ello: tipo y forma delbiocatalizador, configuración del biorreactor, modos deoperación, forma en la que se suministra la energía para laagitación, entre otros. Con base en las similitudes en elmodelamiento matemático, los biorreactores pueden agruparsede la siguiente forma: biorreactores de tanque agitado,biorreactores de columna de burbujeo, biorreactores conbiocatalizador inmovilizado y biorreactores con separaciónintegrada de producto. Este criterio de clasificación tiene encuenta, principalmente, la configuración del biorreactor y ladisposición del biocatalizador.

11. MODELOS MATEMÁTICOS

Existen dos formas generales para la obtención de modelosmatemáticos: empírica y determinística. Los modelosmatemáticos de biorreactores que se mencionan a continuaciónson modelos determinísticos con submodelos empíricos, es decir,modelos basados en las ecuaciones de balance (de masa, energíay cantidad de movimiento) y auxiliados por correlacionesempíricas necesarias para la representación matemática defenómenos como la velocidad de reacción, velocidad detransferencia de masa y energía, equilibrio de fases, etc.

, Ingeniería Químico, M.Sc., profesor titular, Universidad Nacional de Colombia."Ingeniera Química, Universidad Nacional de Colombia.

Biorreactores: Modelos Matemáticos y su Simulación sobre una Hoja Electrónica

La suposición de un modelo de flujo (mezcla perfecta, flujopistón, modelo de dispersión o cualquier modelo de mezclaimperfecta) remplaza, generalmente, a la ecuación de balancede cantidad de movimiento, lo cual para la gran mayoría debiorreactores, los balances se reducen al de masa y energía; ydebido a que los procesos bioquímicos operan, por lo general,en condiciones isotérmicas, los balances de masa y energíapueden evaluarse independientemente. Por lo tanto, el balancede masa es el que predice el estado del biorreactor y el deenergía es útil en el diseño del biorreactor, y en el control detemperatura. Los modelos matemáticos de los biorreactores,generalmente ignoran, además del cambio de la temperatura,el cambio de las características del medio de cultivo (pH,concentración de nutrientes y cofactores, etc.), por lo que seconsideran constantes algunos parámetros cinéticos.

En los cuadros 1,2,3 Y4 se presentan, brevemente, modelospara diferentes tipos de biorreactores y ejemplos de cálculo enMicrosoft Excel® de algunos de ellos, junto con una pequeñaaclaración de lo que implicó su solución numérica.

Cuadro 1. Modelos matemáticos para biorreactores de tanque agitado

Sinclair yBrown {161

.Simulacióndrl

SimpliricacionesBiorreaclor Biblio raCía Elemnles

crecim lento de Atrabacter

Porlotesylotealimentado

Mezcla perfectaDensidad del medio constante

clcac aeDuarte [51 Solución de un sistema de

ecuaciones diferencialesde primer orden por elmétodo de Euler.

"'Simulacióndelcrecimiento de Atrobaclercloacat!

Duarte [51Lee, Choi yKim [JI

Mezcla perfectaVolumen del medio constanteEstado estacionario

Degradación de unamezcla de Tolueno y p-xilenopor PstudamonaJ pulida J

Solución directa de lasecuaciones algebraicas delmodelo en las celdas de lahola electrónica.

Continuo con o sinreciclo de células

Mezcla imperfecta (modelo deflujo combinado que divide elvolumen del reactor en dosregiones de mezcla perfectaCOn transferencia demateriales entre ellas [imitada)Las corrientes de alimentacióny de salida del biorreactcr,entran y salen de la regiónsuperiorVolumen de cada regiónconstante

Continuo conagitador de flujoradial

Cuadro 2. Modelos matemáticos para biorreactores de columna deburbujeo.

cima.

Biblio rafíaSimpliricacionesBiorreaclorSistema homogéneo,poca distribución de tamaño de [as burbujas Merchuk yFase líquida y gaseosa continua Stein [11]Flujo pistón en las regiones de ascenso y descenso, y mezcla perfecta en la

Air/ift conbañe interno

Operación isotérmica sin variaciones de presión en la dirección axial.Estado estacionario.Retención de gas constante en la dirección axial,Dispersión axial despreciable,Propiedades constantes en el sentido radialVariación axial sólo de las variables de interés.

AirJift conballe interno

Las mismas suposiciones anteriores, sólo que sf tiene en cuenta lasvariaciones de presión a lo lar o del cubo.

MerchukyStein [12f

Cuadro 3. Modelos matemáticos para biorreactores conbiocatalizador inmovilizado.

21

Oc laoquca il:ldo

Slm llfielldonesMC7.elaperfcclaE~lado ,,,,,,.:iooario

BaOeyyom, 111

De lecho fijo

Flujo pislónN O ~o) c on sid e ru partición enlre I,,~f~se~ H<juid~ y sófid~. es decir.que lu~ concentraciones en lu Lnnie yl'llerT",e en elll<juido y en el Thomus I 101sÓlldo"oni¡¡uulcs.Se desprecian lOS e rc cre sdifudonllle .• inlerno. en lut.iOpDrlfcula

.Bi"rre:l':lOre~ en"imfilieo~ delecho fijo p;,r;, 1;, hidróli~is des~c;,rus;, pur inverl~~;' inmuvili~.;,daen un I"~'hu de rc"in~ <.le inlercam bioiónico.

Solución de ecuadone~dircrenc¡ole~ de prim c. orden porelmilododeEolcr.Solución de ecu~cione.c u a d rñtic a s y cut.ic~" medianle luherrumientu"1) U~CDr obje1ivo" yMucro~ que ejecul¡¡n laherrp'n icn IU en I~" celd~s de lahojli electróni"" lu~ ve"c~ que "canecellurio.

~implificado

La" parllculu del c: ••ulh.~dorbiolÓ,ico (floc~ microbiyle~ opellcl~de en-,;imu o cilulasinn,o,·ili-,;ad ••~) ••on uniforn.es enlamailo. Toda" las panrcula~licnen el mismo di~mcuo e_lerno.La densidad de lafau fluida esuna funcióndc la concentraciónde ~ub~ualo.La fan liquida .'e mueve haciaarriba a In"i~del biorreaclorennujo piMón.El nÚmerO de Reynold. de laparllcula bioc,uaUlica, basado enla "clocidadlerminaLe5 losuflcienlemenle pequetloparajU~lificar el uso de la ley deSloku.

De lechoffuidizado(e stadoeuacionario)

La~ blopurllculu5 50n "oporre.'inertes ~ólido. de forma edéricarodeudo. por peHcula microblulde espe.oruniforme.E'ladocslacionario.elespe.ordelul>iopcfrcul¡¡cseOn,lanle.El sólido inerte Isoporle) noudsorbenidsub'lralonieloAlllcnoLo resis1encia difu~ional de lacupade I/quido que rodea a labiopDrllculae.despreeiableLa pre~ión parcial de o.fllenodenuo de la" borbuja" de ,as noclI."bi. ~i¡;nificati"amenle amedid. que la" burbujas pasan aInvis del reaclOr.Son dos modelos. Uno suponemezcla perfCCla.y el olro flujopislón O lanque. de me~.elaerfeclaen.crie.

ili'Produccióndepenidlinaenunbiorreaclordelecllofluidi1.ado.

P~rk, nevn yWulli~ 11)1

.Me~.clupcrr"cla.O' S"lucióndeecuacione"

diferencial". porel mélodo deEuf er.

O' El proced;m ien~o de enuyo yerTorpan la sOlución del modeloe~ reempl~-,;ado por el U50 de IDherramlenID"Soher".

i4IIIFlujopiAIÓn(Tanque5demeulape rfee ~a e n se ri e)•. La .~olución de un lanque de

me~.ela perfecta SO veces (SOlI.nque~ en ~erie) en formasuceJivll medianle una Macro. El"fileulo rc~uha muy lenlO.

De lechofluidizado(uladoIran5ilo,io)

Euado lranAilor;o: el modelo lieneen euenlm el c,ecimienlo de la

:;~~.~:~eu~~fecu

Park, Da"i. yWalli51141

h"II""'fiho'lFigural)

Flujo laminareJlacionario.Propiedade~ del fluido eonnanleA.Slmelfla<:onrespeclo aleje10n¡iIUdinal.Independenci:. del me(ani~mo deu~nsrerencia de ma5Q con I~•.Hn4mica del fluido.Velocidad Q"ial cerO en lamemhrona y en la región anulltrodelbic e atnHzad o rEn In rc~ión anular:hlocuuli-,;odoTUnifoTmCmcnlcdi_trll>uido,cnncentruciÓndelhioca¡;¡li,,~dor constan1e y .tiloIran.porlepordifu.ión.Reacción únicamenle en lu regiónanulo'.E~ ••do nO e'lacionarlo.

K lein~treuery Allar",al 17J

E.lado e~llIcionario.Se de~precia la convecciÓn, IIInlOradial COmo a"ial. y la difu~ióna •.ial.Condición i~Olirmica.Componamienlo Jim~lrico conre~peclo al cje.Euadoe.lacionario.F.l llradienle de concenlra"ión enel.enlidlla"iale5de.preciable.yana por Una allarelación deredclo o porque se .upone un~alta relación de reciclo en un~e,menlo de lonllilud dado.L. co."po~iciÓn. concentración y¡ro.or de la pe\feula de biomua~t <:onaidera constanle y unirormeen tod:. la loni"ilud del reacIo'.Nn ~e lienen en cuenla. 1".ruer7.0~ electro.,álica •. Elcoericlenle de reparto entre la.fu.~s c. l.Sc ~on~i,Jer~ cero lueoncenlrll(ión de bioma'lI en loI)"red de lo membrona y en ellumen. Por lanto no hoy 'e acciónen e'\a~ res io n es.Se 5uponeuna cinélieadc Monodpan el eOn5UmO de s uhstru to , Nose con.ideru el erecimienlo debiomau,porloquela"Oncenlru:ión dc biomua y ele5pe.ordcla relleula,tcon~¡dean eonslanleS.Pcrfil plano de concentración desubslraloenellumencnelJenlido radial: eomportamienlll.imil.r al de Un reaelor CSTR'(Modelo 1, Dall-Bauman).Pcrfilparabóli"odeconeenlradóndc ,ub ••rato en el lumen en elJenlidoradial(Modelo 2.Plunovic).

Kim yCooney 181

DIIIl_Raumanetal.(31Pllunu •••icelAl. 1151

.Oiodellrudaeión de acelato en unreaclorde Ohn. h e ec e (modelo I y 2)

Solución de una eeua"ióndifercneillldese¡r.undoorden.con"e'lldo en do.de primerorden. porel métcdc de EulerF.I procedlmienlo iteralivo deedleu It) e~ re e m plat.ado por I~Ilcrrllmien1u":.1) u~cur objeli".,"Medianle unaMacro,queiniciall'.a eldlculoy ac erc e elproblem Q a ~u ~olución, ~ere5uelve en IIran liarle ln~problemu de .en~ibilidad.

E~lado no estacionario.Al ¡,ual que el modelo de 0111-Oaumlln y el de Paunovic,de~precia el IIradienle de~oncenlución axial.F.n la direcciÓn radial. supone unperfil plano de ~oncenlruciónlanlO en el lumen como en lapured de IQ membruna.Uli!i7.a la cinilic~ de Michaells"Me me n, con~ider~ndo laex r<,~ión Ilmile de rimer orden.

WebsleryShuler[UI]

"Hidróli~is de Ure~ en un reacio,de fibra hueca (esu.do uln5ilorio)e C61culodel reacloraplicando la

solución analflica de la ecuacióndiferen~ial.

el rue necenria laulili7.ac1ón deMllcrn~, la herrllmienlu "Ouscarobje~in)" y lu fundone. deBusel.

El si~temu en .u IOlulidud secompono como un CSTR contnc:t.cJaldeulLa" HmItu clene s de lran .•ferenciade mUa y l. ~dsorción de en~.imQ

Deeslic yChcryan [4]

.Hidróflsl"deprolclna.deuIIUpeso m erec utar e n un biorreaetorCSTR - Hr"• Solución dire~u en las celdus de

ecuaclone. al ebraica~.E~tadQ no c"l,,"donaríoAl iiU.1 que el modelo de Oall.Oauman y el de Pauno"ic.

::~~:",.cl::;iló~r:~::~.le de

En la direcciÓn radilll.supone unperfil plano de ~oncenlTación~anto en ellumen como en lapared de la membrana.Uliliu la cinilicade Micllaelis_Menlen. con~;derando laca resión IImile de rimerorden.El,iMema en ~u 10lalidad ~ccompo"a cOmo un CSTR conme1.cloidealLos limiladones de lran~ferenclade masa y la ad.~orción de en1.imoen 1:. mem brana ~on de.~preciahle .•Cin<!IÍ<:1I de Micha"li~ - Menlenpara IIna reacción con un .010~ub"ralo limilui"o y sininhihición .

WebslerySholcr 1181

IP'HidrófisisdeUreaenunreaclOrde fibrl hueca teslado tran.ilorio)o C"eulo del reaelor aplicando la

.olución Inalllica de la ecuacióndirerencial.

O Fue nece •• ria la ul¡li~lIClón deMacrOJ.la herumienta "BuscarIIbjeli"o" y laJ funciones deBuscl.

•• HF: HOLLOW FIBER - FIBRA HUECA

""idroll~¡~ de prolctnu de allopeso n'olecul ••r en un biorreaelorCSTR· HF"O Solución direeu en la~ ~eldas de

ecoa"iOlle5al¡ebraicos.el Se ideó",n. Macro con el rinde

¡ranCar el r ••.•ullado paradiferenTes v alor e s deconeenlración de en7.ima.

Oeeslie yellcrylln 141

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Cuadro 4. Modelos matemáticos para biorreactores con separaciónintegrada de producto.

8iorruc:lor Simplific:atlones Blbliolr.fía E emplosBtorreacror cendijlisisSislem.A:Alimentación alcircuito deldializado conefluente en elcircuito delfermentadorSistema B:Alimentación yefluente úniClmenlcen el circuito deldializado

Stieber yGerhardtl17¡

.Producci6n fermentativade Lactato de Amonio apartir de LactosaO Solución directa de las

ecuaciones al¡ebraicasdel modelo en las celdnde la hoja clcclrónica.

Mezcla perfecta tanto en el circuitode dializado como en elfermentador.

Operación isctérmice y a presiónconstante.Estado estacionario.Mezclaperfccla,Las fases liquidas se encuentran enequilibrio.El microorganismo no se reparteentre las dos Iases liquidas. por loque II reacción bioqufmicl sóloocurre en la Iase acuosa.La solubilidad de cualquier gIS.

introducido o producido en elhiorreactcr. es desprectebte.M~todo UNIFAC para el equilibrioHquido-Jfquidc .

.Producción de etanol apartir de glucosa porSurrharomyrts cerevuíaecon dodecmcl como solventea La solución del modelo

implica unprocedimiento de dlculoiterativo. el cual serealiza por medio de unaMacro.

a Demro del célculolterativo es neceserhtambién la solución deun sistema de ecuacionesalgebraiclS.elcullseresuelve medlantelahtrnmienta ·Solver·.

B inrreactcr conextracción lfquido-Ifquido

Fournier(61

m. SIMULACIÓN DE BIORREACTORES EN HOJA DE CÁLCULO

Microsoft Excel® como herramienta de cálculo, es apropiadapara la solución de una gran variedad de modelos (cuadros 1-4),desde ecuaciones algebraicas sencillashasta sistemasde ecuacionesdiferenciales con problemas de valores de frontera, permitiendono sólo la obtención de resultados numéricos, sino también lapresentación de éstos en forma amena y organizada (figura 1),pormedio de gráficos, dibujos esquemáticos del reactor, comentariosen las celdas, etc., que facilitan la comprensión de los fenómenosfísicos y químicos, lo cual es clave para el diseño de reactores. Laprincipal ventaja, en materia de programación y lenguajes deprogramación, es que permite reducir el código que se necesitaríapara efectuar cálculos iterativos, a la simple ejecución de algunasutilidades numéricas de la hoja electrónica y a la programaciónlógica de la misma, dependiendo del caso (cuadros 1-4,ejemplos).Para modelos complicados, con ecuaciones diferenciales parcialeso modelos de tanques en serie, puede resultar poco viable, puestoque se hace necesaria la elaboración de macros personales paraingeniarse la forma de efectuar el cálculo. Por tanto, MicrosoftExcel® es válido para la solución de modelos que puedanimplementarse en forma sencilla y rápida.

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~ - r' r-.• r 1iIJ1·~~l!liJ] a ------1f I I 1-

REACTOR IJE LECHO FLtJlDIZIWO PARA LA PRODtJCCION DE P.EJ'(ICILINA..o f_..... 1•• -43D _~. UOE~

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IP""dlln...o~1.por"~"""ICIdn.

c."l..¡e.~r-••••.•_••••'ltc.'\.

Figura l. Archivo de Excel para el cálculo de un biorreactor delecho fluidizado.

Iv. MICROSOFT HTML IIELP WORKSHOP®

EN LA PRESENTACIÓN DIDÁCTICA DE MODELOS

Microsoft HTML Help Workshop® es un programa cuyoprincipal atractivo, al igual que Excel, es su fácil manejo y susmúltiples aplicaciones, sujetas a la imaginación y creatividaddel usuario. Esta herramienta presenta la información comodocumentos HTML, organizados dentro de una estructura deárbol o tabla de contenido. El resultado obtenido ("Tutor demodelos matemáticos de biorreactores", figura 2), contiene losmodelos distribuidos en el árbol, vínculos entre los modelos ysus soluciones numéricas en Excel, hipervínculos (útilesespecialmente cuando se mencionan ecuaciones tratadas enotros temas) y diferentes mecanismos de búsqueda. Las ventajasacadémicas son evidentes y muy ligadas a lo novedoso.

~,1, o.. Y.•11:11\H., ~""""""",afToL.'wlndp'X"'" n.NIJIiIIí~; &pwm.1lill •••••••.-d~~ ••II:MdnJl..4"c9 •..•"'.". ..-....,..,~'----- ..•..•.-. ~ .•....-••••••.•••••••••• - ••••••• y~ •••••••••••••••..•••..•....,..,.......-...........•........••.........•..•.-.-.....•......•......•..,.......•.........~DI ••••••••••••••••••• ,.. •••••.•••••••••••••••-......._-._ •....-..•...,,... ••.•••••••••••••••••••• COIID•••••••• , ••••••••••• (III •••••••••••••••--~ ••-~•••••••_..-. ••dbIII.bcII ••• ....,... ••••••,.,. ••.•.....•..._--•.....,...•.....,...........,.,..

Figura 2. Presentación de modelos y ejemplos de cálculo enMicrosoft HTML Help Workshop®.

CONCLUSIONES

El modelamiento matemático de biorreactores es clave enel diseño de bioprocesos. Microsoft Excel® como herramientade cálculo es una buena alternativa, aunque tiene suslimitaciones. Microsoft HTML Help Workshop® ,junto conMicrosoft Excel®, son programas altamente disponibles congran potencial en la elaboración de "Tutores" para lapresentación didáctica de modelos matemáticos y simulaciónde procesos.

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