Respuestas del Final Regular de Biofísica - 4/7/14 Ej. 1, Tema A - Ej. 4, Tema D: Un vehículo viaje por un camino............40 km/h

Ej. 2, Tema A - Ej. 5, Tema D: Se aplica la fuerza F de 40 N al bloque...104 N

Ej. 3, Tema A - Ej. 6, Tema D: Mediante un motor y una soga se.............60 W

Ej. 4, Tema A - Ej. 1, Tema C: Un tubo en U contiene dos líquidos.........2 cm

Ej. 5, Tema A - Ej. 2, Tema C: Un fluido ideal circula por el conducto....pA < pB y vA > vB

Ej. 6, T. A y B - Ej. 3, T. C y D: Un recipiente está compartimentado......El flujo se detiene cuando la diferencia de presión osmótica

es igual a la diferencia de presión hidrostática entre A y B

Ej. 7, Tema A - Ej. 10, Tema D: El gráfico muestra la temperatura..........2,5 W/(m K)

Ej. 8, Tema A - Ej. 11, Tema D: Un sistema constituido por un gas.........El sistema cede más calor que el trabajo que recibe

Ej. 9, Tema A - Ej. 12, Tema D: Un recipiente de paredes adiabáticas.....-5,8 J/K

Ej. 10, Tema A - Ej. 7, Tema C: Un electrón se mueve respecto a un.......El trabajo de las fuerzas eléctricas es negativo y el potencial

eléctrico de C es menor que el de A

Ej. 11, Tema A - Ej. 8, Tema C: Dispone de tres capacitores....................C1 en serie con C2 y el conjunto en paralelo con C3

Ej. 12, Tema A - Ej. 9, Tema C: El amperímetro ideal del circuito...........1 kΩ

__________________________

Ej. 1, Tema B - Ej. 4, Tema C: Un vehículo viaje por un camino.............60 km/h

Ej. 2, Tema B - Ej. 5, Tema C: Se aplica la fuerza F de 30 N al bloque....78 N

Ej. 3, Tema B - Ej. 6, Tema C: Mediante un motor y una soga se.............50 W

Ej. 4, Tema B - Ej. 1, Tema D: Un tubo en U contiene dos líquidos.........1 cm

Ej. 5, Tema B - Ej. 2, Tema D: Un fluido ideal circula por el conducto....pA > pB y vA < vB

Ej. 6, T. B y A - Ej. 3, T. D y C: Un recipiente está compartimentado......El flujo se detiene cuando la diferencia de presión osmótica

es igual a la diferencia de presión hidrostática entre A y B

Ej. 7, Tema B - Ej. 10, Tema C: El gráfico muestra la temperatura...........5 W/(m K)

Ej. 8, Tema B - Ej. 11, Tema C: Un sistema constituido por un gas..........El sistema absorbe más calor que el trabajo que realiza

Ej. 9, Tema B - Ej. 12, Tema C: Un recipiente de paredes adiabáticas......-14,4 J/K

Ej. 10, Tema B - Ej. 7, Tema D: Un protón se mueve respecto a un..........El trabajo de las fuerzas eléctricas es negativo y el potencial

eléctrico de C es mayor que el de A

Ej. 11, Tema B - Ej. 8, Tema D: Dispone de tres capacitores....................C1 en paralelo con C2 y el conjunto en serie con C3

Ej. 12, Tema B - Ej. 9, Tema D: El amperímetro ideal del circuito...........2 kΩ

Resolución del Final Regular de Biofísica - 4/7/14, Tema A

Ejercicio 1. La velocidad media es, por definición: t

xvm

∆

∆= , donde ∆x es el desplazamiento total en el intervalo pedido,

y ∆t es el intervalo de tiempo correspondiente. En este problema, ∆t = 3 min, y el desplazamiento ∆x es la suma de los

desplazamientos en las dos etapas del movimiento: ∆x (de 0 a 1 min) (MRU), y ∆x (de 1 a 3 min) (MRUV). Como el gráfico es de

velocidad vs tiempo, el desplazamiento total ∆x se puede calcular mediante el área bajo el gráfico dado, entre t = 0 min, y

t = 3 min. Dicha área puede calcularse como las áreas del rectángulo y del triángulo indicados (ver figura):

∆x (de 0 a 3 min) = ∆x (de 0 a 1 min) + ∆x (de 1 a 3 min)

∆x (de 0 a 3 min) = Area rectángulo + Area triángulo

∆x (de 0 a 3 min) = 1 min . 60 (km/h) + (3 min - 1min) . 60 (km/h) /2

∆x (de 0 a 3 min) = 60 (km/h) . min + 60 (km/h). min

∆x (de 0 a 3 min) = 120 (km/h) . min

Reemplazando en la expresión de vm, queda:

vm = 120 (km/h) . min / 3 min vm = 40 km/h Respuesta: 40 km/h

Ejercicio 2. Las fuerzas que actúan sobre el bloque de 8 kg son: la fuerza aplicada F, su peso (P), y la Normal (N). Notar

que, para más claridad, la fuerza F se puede dibujar "trasladada" a lo largo de su recta de acción, como se indica en la

figura. Tomando un eje x horizontal y un eje y vertical apuntando hacia arriba, planteamos la 2da. Ley de Newton:

(1) Fres x = m . a (el movimiento es a lo largo del eje x)

(2) Fres y = 0 (ya que no hay movimiento a lo largo de y)

Las fuerzas N y P son verticales, así que pueden reemplazarse directamente, pero a F hay que descomponerla en Fx y Fy:

|Fx| = F. cos(37°), |Fy| = F . sen(37°). Reemplazando:

(1) F . cos(37°) = m . a

(2) N - P - F . sen(37°) = 0

Notar que Fy apunta hacia y < 0, por eso |Fy| se restó en (2). En este problema, interesa

despejar N, así que sólo nos interesa la segunda ecuación:

N = P + F . sen(37°)

N = m . g + F . sen(37°)

N = 8 kg . 10 m/s2 + 40 N . 0,6

N = 80 N + 24 N N = 104 N Respuesta: 104 N

Ejercicio 3. Asumimos que el balde se sube desde una profundidad de 6 m hasta la superficie. Interpretamos la expresión

"la potencia entregada por el motor", como la potencia asociada a la fuerza hecha sobre la cuerda; a esta fuerza la

llamaremos F. Como esta fuerza F es constante en el tiempo, tanto en intensidad como en dirección y sentido, y como la

velocidad de la cuerda es constante, entonces la potencia media asociada a la fuerza F es igual a su potencia instantánea.

Así que, da igual calcularla con la expresión PF

media = LF/∆t, o bien P

Finst = F . v . cos(β) (β es el ángulo entre F y v).

Usando la primera expresión:

PF

media = LF/∆t P

Fmedia = F . d . cos(0°) /15 s

donde F es la fuerza que el motor hace sobre la cuerda (es dato, F = 150 N), y d es la distancia

que sube la cuerda. Reemplazando:

PF

media = 150 N . 6m . cos(0°) /15 s PF

media = 60 W

Notar que si se hubiera usado la expresión de potencia instantánea: PF

inst = F . v . cos(0°) (el

ángulo entre la velocidad y la fuerza F es 0°), da lo mismo, ya que la velocidad de la cuerda es

constante (MRU): v = ∆x/∆t v = 6m/15 s, por lo tanto PF

inst = 150 N .6m/15 s = 60 W, igual

que antes, como esperábamos.

[ Notas adicionales:

1) La fuerza F es la fuerza que hace el motor sobre la cuerda, y si

consideramos que la soga es de masa despreciable (o sea, de peso

despreciable), entonces, aplicando la 2da. Ley a la cuerda, esta fuerza da

igual a la fuerza que el balde hace sobre la soga hacia abajo (esto está

explicado en la figura adjunta). Esta fuerza, a su vez, es el par de interacción

de la fuerza F' que la soga hace sobre el balde hacia arriba. Conclusión: la

soga hace sobre el balde una fuerza F' = 150 N. Y como el desplazamiento del

balde es el mismo que el de la cuerda... da lo mismo haber calculado la

potencia de la F' sobre el balde, que la potencia de F sobre la cuerda.

2) Pero no se debe confundir a esta última fuerza (F', de 150 N) con el peso del

balde. El peso del balde es P = m . g = 10 kg . 10 m/s2 P = 100 N. Y como

F' es más grande que P, pero el balde sube a velocidad constante (tiene

aceleración cero, por consiguiente Fres = 0)... eso quiere decir que tiene que

haber otra fuerza aplicada sobre el balde, para que dé Fres (balde) = 0. Esa otra fuerza podría ser un rozamiento (con el

aire o con las paredes del pozo), y por diferencia da Froz = 50 N. (Si sobre el balde no hubiera ninguna otra fuerza aparte

de F' y P, entonces no podría subir a velocidad constante... estaría acelerado.)

3) Como sobre el balde actúan dos fuerzas no conservativas (F' y Froz), entonces no es correcto igualar la potencia media

de F', a la variación de energía mecánica por unidad de tiempo (como sí se puede hacer en problemas donde sólo hay

una fuerza no conservativa que hace trabajo). Lo que sí se cumple es: PFNC

= ∆∆∆∆Em /∆∆∆∆t, donde PFNC

es la potencia de

todas las fuerzas no conservativas, o sea: PFNC

= PF'

+ PFroz

. Verifiquemos que PFNC

= ∆Em /∆t:

∆Em = ∆Ec + ∆Ep = 0 + m . g . (Hf - Hi) = 10 kg . 10 m/s2 . (6 m - 0 m) = 600 J ∆Em /∆t = 600J/15 s = 40 W

PFNC

= PF'

+ PFroz

. El valor de PF'

ya se calculó (es 60 W); calculemos PFroz

:

LFroz

= 50 N . 6m . cos(180°) = -300 J, entonces: PFroz

= LFroz

/∆t = -300J/15 s PFroz

= -20 W

Por lo tanto: PFNC

= PF'

+ PFroz

= 60 W - 20 W = 40 W y esto es igual a ∆Em /∆t

Claro que, por todo lo dicho, PFNC

no es la potencia pedida en el problema ]. Respuesta: 60 W

Ejercicio 4. El líquido está en reposo, por eso vale el teorema de la hidrostática. Tomamos los puntos auxiliares indicados

en la figura. Notar que en los puntos 1 y 4, en el límite con el aire, la presión es la atmosférica. Como los puntos 2 y 3

están a la misma altura, y dentro del mismo líquido en reposo, se cumple:

p2 = p3

Planteamos el teorema de la hidrostática entre 2 y 1, y entre 3 y 4:

2 y 1 están en un mismo líquido p2 = p1 + δA . g . ∆h12 p2 = patm + δA . g . hA (a)

4 y 3 están en un mismo líquido p3 = p4 + δB . g . ∆h34 p3 = patm + δB . g . hB (b)

Igualando (a) y (b) ya que p2 = p3, queda:

patm + δA . g . hA = patm + δB . g . hB

δA . g . hA = δB . g . hB δA . 10 cm = δB . hB (c)

Y como δB = δA + 25% de δA δB = δA + 0,25 . δA δB = 1,25 . δA . Reemplazando esta relación en (c):

δA . 10 cm = 1,25 . δA . hB 10 cm = 1,25 . hB hB = 8 cm.

Se pide ∆h, que es la diferencia entre hA y hB: ∆h = hA - hB = 10 cm - 8 cm ∆h = 2 cm. Respuesta: 2 cm

Ejercicio 5. Asumiendo que el régimen es estacionario, tiene que cumplirse la

conservación del caudal:

QA = QB vA . SA = vB . SB

donde SA y SB son las secciones A y B del conducto. Como SB > SA, entonces tiene que

ser vA > vB esto descarta las 4 opciones con vA = vB o vA < vB.

Veamos qué pasa con las presiones: suponiendo que el régimen es estacionario y

laminar, como el fluido es ideal vale el Teorema de Bernouilli. Entonces tomamos una línea de corriente entre un punto

en la sección A y otro en la sección B, y planteamos el teorema entre ambos puntos:

pB + δ . g . hB + (1/2) . δ . vB2 = pA + δ . g . hA + (1/2) . δ . vA

2

Tomamos hB = 0 en el punto B, que es el más bajo, por lo tanto hA = h > 0. Despejemos pB:

pB = pA + δ . g . h + (1/2) . δ . vA2 - (1/2) . δ . vB

2 pB = pA + δ . g . h + (1/2) . δ. (vA

2 - vB

2)

Observemos el miembro derecho: el término δ . g . h es positivo, y el término con la resta de cuadrados de velocidades

también tiene que serlo, ya que vA > vB. Por lo tanto: pB = pA + (algo positivo), esto significa que pB > pA, lo cual deja una

única opción correcta. Respuesta: pA < pB y vA > vB.

Ejercicio 6. Como la membrana es semipermeable, sólo deja pasar solvente, por lo cual se

producirá ósmosis. Así que el solvente va a pasar desde la zona con menos osmolaridad, hasta la

zona con más osmolaridad. La zona de menos osmolaridad es A, ya que tiene agua pura (OsA= 0),

y la de más osmolaridad es B, que contiene una solución de ClNa en agua. Así que, pasará agua

desde A hasta B, es decir que el nivel de B va a subir, y no el de A (esto descarta la 3ra. opción).

Se sabe que en el fenómeno de ósmosis, el solvente deja de pasar cuando la diferencia de presión osmótica iguala a la

diferencia de presión hidrostática entre A y B:

∆Π = ∆p (OsB - 0) . R . T = δB . g . h

Esto ya da la opción correcta, que es la 2da., y descarta la 4ta., ya que el solvente no pasa en forma indefinida.

Notar que, en el equilibrio, las osmolaridades nunca van a ser iguales, ya que OsB nunca puede ser cero... porque siempre

habrá ClNa del lado B (sólo pasa agua de A a B); esto descarta la 1ra. opción. La diferencia de altura h no puede ser cero,

ya que si fuera cero, debería ser cero la diferencia de osmolaridades, y eso no sucede. Esto descarta la 5ta. opción... ya

que sí hay diferencia de niveles. Por último, estamos suponiendo que todo el sistema está a la misma temperatura siempre,

desde el comienzo... sin embargo, el solvente pasa desde A hacia B (hasta que se llega al equilibrio entre las diferencias

de presión osmótica e hidrostática); esto descarta la 6ta. opción.

Respuesta: El flujo se detiene cuando la diferencia de presión osmótica es igual a la diferencia de presión

hidrostática entre A y B.

Ejercicio 7: Suponemos que el régimen es estacionario, así que las temperaturas dadas son constantes en el tiempo. El

mismo calor, por unidad de tiempo, tiene que pasar a través de ambas planchas (conexión en serie), por lo tanto:

P1 = P2

Aplicando la Ley de Fourier para cada plancha:

k1 . (A/e) . (Tc - Tu) = k2 . (A/e) . (Tu - Tf)

donde A es el área de cada plancha y e es el espesor de cada una (ambas tienen

igual área y espesor). La plancha 1 tiene conductividad k1 = 5 W/(m K) y sus

temperaturas van desde Tc = 20°C de un lado hasta Tu = 15°C en la unión de

ambas, y la plancha 2 varía su temperatura desde Tu = 15°C hasta Tf = 5°C.

Simplificando (A/e), y reemplazando k1 y las temperaturas, queda:

5 W/(m K) . (20°C - 15°C) = k2 . (15°C - 5°C)

5 W/(m K) . 5°C = k2 . 10°C k2 = 2,5 W/(m K) Respuesta: 2,5 W/(m K)

Ejercicio 8. Como en las opciones se hacen afirmaciones sobre el calor y el

trabajo, analizaremos ambos:

Calor: Para un gas ideal, el calor en un proceso isobárico se puede calcular

como: Qif = (cP/R). p .(Vf - Vi) ; y en uno isocórico: Qif = (cV/R) . V . (pf - pi),

donde (cP/R) = 5/2 para gas monoatómico o 7/2 para diatómico, y donde

(cV/R) = 3/2 para gas monoatómico o 5/2 para diatómico. En este problema,

AB es isobárico y BC isocórico, por lo tanto:

QAB = (cP/R) . pA . (VB - VA) = (cP/R) . 6 atm . (1 lt - 3 lt) = (cP/R) (-12 lt . atm)

QBC = (cV/R) . VB . (pC - pB) = (cV/R) . 1 lt . (2 atm - 6 atm) = (cV/R) . (-4 lt . atm)

Como no se sabe si el gas es monoatómico o diatómico, no se puede completar el cálculo numérico, pero lo que sí es

seguro es que QAB y QBC dan negativos ambos, por lo tanto QABC = QAB + QBC es negativo, es decir que el gas cede calor.

Esto ya descarta tres de las opciones: las que asumen que el gas absorbe calor.

Trabajo: El proceso AB es una compresión, así que LAB < 0. Como es un proceso isobárico, se calcula: Lif = p . (Vf - Vi),

por lo tanto: LAB = pA . (VB - VA) = 6 atm . (1 lt - 3 lt) = -12 lt . atm (notar que esto es igual que calcular el área con signo

bajo el gráfico hasta el eje V). Por otra parte, el proceso BC es isocórico, así que LBC = 0.

Por lo tanto, LABC = LAB + LBC = -12 lt . atm. Como es negativo, el trabajo es recibido.

Comparación entre el trabajo y el calor: tenemos LABC = -12 lt .atm, y QABC = (cP/R) . (-12 lt .atm) + (cV/R) . (-4 lt .atm).

Como (cP/R) es un valor mayor que 1 (es 5/2 o 7/2), entonces (cP/R) . (-12 lt .atm) es más negativo que -12 lt .atm .... y al

sumarle (cV/R) . (-4 lt .atm), va a dar un valor más negativo aún. O sea que, en valor absoluto, |QABC| > 12 lt . atm. Es decir

que el gas cede más calor (cede más de 12 lt . atm) que el trabajo que recibe (que es justo 12 lt . atm). Entonces la opción

correcta es "El sistema cede más calor que el trabajo que recibe", y esta opción descarta automáticamente a las otras dos

que quedan.

Otra forma de comparar el trabajo con el calor: planteamos el 1er. principio de la termodinámica:

∆UABC = QABC - LABC (1)

Como la variación de energía interna no depende del camino sino sólo de los valores inicial y final (ya que es función de

estado), vale ∆UABC = ∆UAC. Y como en C la temperatura es menor que en A (porque el producto p .V en C es menor que

en A), entonces ∆UAC < 0 (Dicho de otra forma: ∆UAC = (cV/R) . (pC . VC - pA . VA) = (cV/R) . (2 atm . 1 lt - 6 atm . 3 lt), y

esto da negativo).

Entonces, como ∆UABC < 0, por (1), queda QABC - LABC < 0 QABC < LABC. Y como LABC < 0, se concluye que QABC es

"más negativo" que LABC. Es decir que el calor cedido, en valor absoluto, es más grande que el trabajo. Llegamos a la

misma conclusión que antes. Respuesta: El sistema cede más calor que el trabajo que recibe.

Ejercicio 9. Asumimos que el flujo de calor es estacionario. El calor va

desde la zona de mayor temperatura hacia la de menor temperatura, o sea

que el recipiente con agua+vapor a 100°C, cede calor; esto hace que el vapor

se esté condensando... pero la temperatura va a seguir igual, en 100°C (=

373K). Este calor atraviesa la barra y llega al recipiente frío.

La variación de entropía para una sustancia que cambia de estado es: ∆S = Q/T, donde Q es el calor intercambiado (con su

signo correspondiente), y T la temperatura de cambio de fase. Entonces:

∆∆∆∆S(agua+vapor) = Qcondensación/373 K

Se pide la variación de entropía al cabo de 2 minutos, por lo cual Qcondensación tiene que ser el calor cedido por el

agua+vapor en 2 minutos. Como es cedido, debe ser negativo -y es correcto que la variación de entropía sea negativa ya

que el agua+vapor pierde calor.

El calor que cede el agua+vapor por unidad de tiempo, es el mismo que pasa por la barra en el mismo tiempo (potencia

calórica P), y es de 18 W, o sea que:

P = |Qcondensación|/∆t 18 W = |Qcondensación| / 2 min 18 W . 120 s = |Qcondensación| |Qcondensación| = 2160 J .

Por lo tanto, debe ser Qcondensación = -2160 J. Reemplazando:

∆S(agua+vapor) = -2160 J/373 K ∆S(agua+vapor) ≈ -5,79 J/K ≈ -5,8 J/K Respuesta: -5,8 J/K

Ejercicio 10. Analicemos la situación:

Campo eléctrico creado por un plano infinito cargado positivamente: el campo eléctrico creado por el mismo es uniforme;

las líneas de campo son perpendiculares al plano, y "salientes": las líneas de campo "nacen" en las cargas positivas y

apuntan hacia afuera del plano.

Fuerza eléctrica sobre el electrón: la fuerza eléctrica sufrida por el

electrón es: Fel = e . E, donde E es el campo eléctrico creado por el

plano, y e es la carga del electrón, que es negativa. Entonces, la

fuerza Fel tiene la misma dirección que E, pero sentido contrario a E.

O sea, Fel apunta hacia el plano cargado (ver figura).

Trabajo de la fuerza eléctrica:

- Entre A y B: por lo dicho arriba, la fuerza "apunta" hacia el plano,

o sea, en sentido contrario al desplazamiento del electrón. Así que

LFel

AB = |Fel| .dAB . cos(180°) = - |Fel| . dAB. Es decir que LFel

AB < 0.

- Entre B y C: el desplazamiento es perpendicular a la fuerza,

entonces: LFel

BC = |Fel| . dBC . cos(90°) LFel

BC = 0.

- Así que LFel

ABC = LFel

AB + LFel

BC = LFel

AB < 0 LFel

ABC es negativo. Esto ya descarta 4 de las opciones: dos que dicen que

el trabajo es positivo, y dos que dicen que el trabajo es nulo.

Potencial eléctrico: sabemos que el potencial eléctrico va disminuyendo si nos

desplazamos en el sentido de cada línea de campo. Y como el campo apunta hacia

afuera de la lámina, esto significa que para puntos más alejados de la lámina, el

potencial es menor que en puntos más cercanos. También sabemos que si tomamos

una superficie que en todo punto es perpendicular a las líneas de campo, esa superficie

es equipotencial, es decir que todos sus puntos tienen el mismo V. Por lo tanto:

VB < VA porque B está más lejos de la lámina que A.

VC = VB porque ambos puntos están sobre una misma superficie

equipotencial (plano perpendicular a las líneas de campo).

O sea que el potencial en C es menor que el potencial en A. Esto descarta la 6ta.

opción y significa que es verdadera la primera opción: "El trabajo de las fuerzas

eléctricas es negativo y el potencial eléctrico de C es menor que el de A".

Otra forma de analizar la diferencia de potencial:

- Sabemos que ∆Upotencial eléctrica = - LFel

. Aplicando esto entre A (inicial) y C (final), queda: ∆Upotencial eléctrica AC = - LFel

AC

(como la fuerza eléctrica es conservativa, su trabajo no depende del camino intermedio, o sea que da igual tomar ABC o

AC directamente). Y como LFel

AC < 0, entonces ∆Upotencial eléctrica AC > 0.

- Además sabemos que ∆Upotencial eléctrica if /q = Vf - Vi, por lo tanto ∆Upotencial eléctrica AC /e = VC - VA, y como la carga e es

negativa, entonces VC - VA < 0, o sea: VC < VA. Es decir que llegamos a la misma conclusión que antes.

Observaciones adicionales: en este problema, es imposible que la única fuerza aplicada sea la eléctrica. La partícula, para

poder realizar la trayectoria indicada, necesitaría tener aplicada alguna otra fuerza aparte de la mencionada:

- Para poder "doblar" 90° en B, necesitaría, durante un tiempo muy breve, una fuerza adicional que la haga

cambiar de dirección; tendría que ser una fuerza como la indicada en la figura izquierda, la cual debería

comenzar a actuar apenas antes de llegar a B, y debería dejar de actuar apenas después de "doblar" en B (los

detalles del cálculo quedan fuera del nivel de este curso).

- Justo después de "doblar", para desplazarse en forma rectilínea en el tramo B-C,

sin desviarse hacia el plano, necesitaría tener aplicada una fuerza opuesta a la fuerza eléctrica (ver

figura derecha), de forma tal que la componente x de la fuerza resultante sea cero... ya que el

movimiento es rectilíneo en la dirección y. O sea que en el tramo BC debe cumplirse: Fres x = 0

- En el tramo que va desde A, hasta un poquitito antes de "doblar" en B, no necesita una fuerza adicional... podría estar la

fuerza eléctrica solamente, pero en ese caso la partícula necesita tener una velocidad inicial en A que apunte hacia x > 0,

para poder desplazarse en sentido contrario a la fuerza eléctrica.

Respuesta: El trabajo de las fuerzas eléctricas es negativo y el potencial eléctrico de C es menor que el de A.

Ejercicio 11. Al combinar los capacitores, se obtendrá un cierto capacitor equivalente Cequiv; la carga acumulada por el

mismo debería ser de 10 mC cuando se lo conecta a una batería de 100 V. Por lo tanto:

Cequiv = Q/∆V Cequiv = 10 mC/100V Cequiv = 0,1 mF = 10-4

F = 100 µµµµF

Es decir que hay que combinar los capacitores para obtener una capacidad equivalente de 100 µµµµF en total. Una

alternativa sería probar todas las opciones, una por una, y chequear qué combinación da esa capacidad neta. Pero para

ahorrar cuentas, podemos analizar la situación teniendo en cuenta que:

- El capacitor equivalente de dos o más capacitores en paralelo, tiene más capacidad que el mayor de ellos.

- El capacitor equivalente de dos o más capacitores en serie, tiene menos capacidad que el menor de ellos.

Entonces,

VC < VA

Entonces:

* Como C1 = C2 = 160 µF, descartamos las opciones donde la capacidad total sea

igual a: el paralelo de C2 (o C1) con cualquier otro capacitor o conjunto de ellos,

ya que en ese caso sería Cequiv > C2 = 160 µF. Por lo tanto: la opción "los tres

capacitores en paralelo" es Falsa, ya que daría Cequiv = C1 + C2 + C3 > 160 µF. Y

la opción "C1 en serie con C3 y el conjunto en paralelo con C2", es Falsa porque

Cequiv = (1/C1+1/C3)-1

+ C2, así que seguro que Cequiv > C2.

* Por otra parte, como C3 = 20 µF, descartaremos las opciones donde la capacidad total

sea igual a: la serie entre C3 y cualquier otro capacitor o conjunto de ellos, ya que en ese

caso, sería Cequiv < 20 µF. Por lo tanto: la opción "Los tres capacitores en serie" es Falsa,

ya que Cequiv = (1/C1 + 1/C2+1/C3)-1

< C3. Y la opción "C1 en paralelo con C2 y el

conjunto en serie con C3", es Falsa, ya que Cequiv = [1/(C1+C2) + 1/C3]-1

también tiene

que ser menor que C3.

Quedan sólo dos opciones: la primera y la última; hagamos las cuentas para cada una:

* "C1 en serie con C2, y el conjunto en paralelo con C3".

Cequiv = (1/C1 + 1/C2)-1

+ C3 = (1/160 µF + 1/160 µF)-1

+ 20 µF = 80 µF + 20 µF = 100 µµµµF

Esta es la capacidad que se necesita. La opción es Verdadera.

* "C1 en paralelo con C3 y el conjunto en serie con C2".

Cequiv = [1 / (C1 + C3) + 1/C2]-1

= [1/180 µF + 1/160 µF]-1

= [8/1440 µF + 9/1440 µF]-1

= 1440/ 17 µF.

No es la capacidad que se necesita; la opción es Falsa.

Respuesta: C1 en serie con C2, y el conjunto en paralelo con C3

Ejercicio 12. Notar que R1 y R2 están en serie entre sí ya que pasa la

misma corriente por ambas (no hay nodos entre R1 y R2), y R3 y R4 están en

serie entre sí por la misma razón. El conjunto R12 está en paralelo con el

conjunto R34, ya que la diferencia de potencial sobre R12 es la misma que

sobre R34: observar que, en la figura, la diferencia de color rojo-azul es la

misma para R12 y para R34. (En la figura se pintaron los cables cambiando

el color solamente al atravesar la fuente o las resistencias. No se cambia el

color al atravesar el amperímetro ideal porque éste tiene resistencia cero,

entonces no hay diferencia de potencial sobre él.)

Por otra parte, como se observa en la figura, la diferencia de potencial sobre el paralelo R12-R34 es igual al voltaje de la

fuente: ∆V12 = ∆V34 = 12V. Con esto podemos hallar la corriente que pasa por la rama R1-R2, planteando la Ley de Ohm:

∆V12 = i12 . (R1 + R2) 12V = i12 . (3000 Ω + 3000 Ω) i12 = 0,002 A i12 = 2 mA

Como la corriente que pasa por el amperímetro (iA) es igual a la suma de las corrientes i12 e i34 que pasan por R12 y R34

respectivamente, podemos calcular, por diferencia, la corriente i34:

iA = i12 + i34 i34 = iA - i12 i34 = 5 mA - 2 mA i34 = 3 mA

Ahora que conocemos i34, como sabemos ∆V34 = 12 V, podemos calcular R34 por la Ley de Ohm:

∆V34 = i34 . R34 R34 = ∆V34/i34 R34 = 12 V/3 mA R34 = 4000 Ω.

Como R34 = R3 + R4 R4 = R34 - R3 R4 = 4000 Ω - 3000 Ω R4 = 1000 Ω = 1 k Ω .

Otra forma de resolución: la corriente que marca el amperímetro, es la misma corriente que sale de la fuente: if = 5 mA,

entonces podemos calcular la resistencia equivalente de todo el sistema a través de esta ecuación:

e = if . Requiv Requiv = e / if Requiv = 12V/(5 mA) Requiv = 2400 Ω.

Pero por otra parte, la resistencia equivalente en este problema, es igual al paralelo de R12 con R34. O sea:

Requiv = (1/R12 + 1/R34)-1

De la anterior, podemos despejar R34, ya que conocemos R12 = R1 + R2 = 3000 Ω + 3000 Ω = 6000 Ω, y Requiv = 2400 Ω:

1/Requiv = 1/R12 + 1/R34 1/2400 = 1/6000 Ω + 1/R34 1/R34 = 1/2400 Ω - 1/6000 Ω 1/R34 = 5/12000 Ω - 2/12000 Ω

1/R34 = 3/12000 Ω 1/R34 = 1/4000 Ω R34 = 4000 Ω.

El último paso es igual que antes: R34 = R3 + R4 R4 = 4000 Ω - 3000 Ω R4 = 1 k Ω Respuesta: 1 k Ω Ω Ω Ω

Resolución del Final Regular de Biofísica - 4/7/14, Tema B Ejercicio 1: Idem ejercicio 1 del tema A, cambiando el valor de la altura del triángulo y del rectángulo de 60 km/h, por

90 km/h.

Ejercicio 2: Idem ejercicio 2 del tema A, cambiando F = 40 N por F = 30 N, y m = 8 kg por m = 6 kg.

Ejercicio 3: Idem ejercicio 3 del tema A, cambiando d = 6 m por d = 10 m; m=10 kg por m = 5 kg; F= 15 kgf por

F = 10 kgf, y ∆t = 15 s por ∆t = 20 s.

Ejercicio 4: Idem ejercicio 4 del tema A, cambiando hA = 10 cm por hA = 11 cm, y cambiando 25% por 10%, con lo cual

ahora la relación entre las densidades es δB = 1,1 . δA.

Ejercicio 5: Idem ejercicio 5 del tema A, pero intercambiando los nombres A y B. Ahora B es la sección de arriba (la más

chica) y A la de abajo, así que ahora SB < SA, por lo tanto vB > vA. Y ahora, es hA = 0 y hB = h, entonces al analizar

Bernoulli de la misma manera que antes, queda pA > pB.

Ejercicio 6: es el mismo Ejercicio 6 del tema A.

Ejercicio 7: Idem ejercicio 7 del tema A (mismo gráfico), pero ahora es dato la conductividad 2, que es k2 = 2,5 W/(m K),

y se debe despejar la conductividad 1.

Ejercicio 8: es parecido al ejercicio 8 del tema A, pero invirtiendo el sentido del

proceso, y cambiando el nombre de los estados. Ahora A es el estado (1 lt, 2

atm), y C es el estado (3 lt, 6 atm). B es el mismo estado que antes: (1 lt, 6 atm).

Ahora el proceso es: AB y luego BC, o sea que primero hay un proceso isocórico

en el cual la presión sube, y luego hay una expansión isobárica.

Calor: para el proceso isocórico (gas ideal): Qif = (cV/R) . V . (pf - pi) ; y para el

proceso isobárico: Qif = (cP/R) . p . (Vf - Vi), donde (cV/R) = 3/2 para gas monoatómico o 5/2 para diatómico, y

(cP /R) = 5/2 para gas monoatómico o 7/2 para diatómico. En este problema, AB es isocórico y BC isobárico, por lo tanto:

QAB = (cV/R) . VA . (pB - pA) = (cV/R) . 1 lt . (6 atm - 2 am) = (cV/R) . 4 lt . atm

QBC = (cP/R) . pB . (VC - VB) = (cP/R) . 6 atm . (3 lt - 1 lt) = (cP/R) . 12 lt . atm

Como no se sabe si el gas es monoatómico o diatómico, no se puede completar el cálculo numérico, pero lo que sí se

puede concluir es que QAB y QBC son positivos ambos, por lo tanto QABC = QAB + QBC es positivo, es decir que el gas

absorbe calor. Esto ya descarta las tres opciones que asumen que el gas cede calor.

Trabajo: El proceso AB es isocórico, así que LAB = 0. Por otra parte, el proceso BC es una expansión, así que LBC > 0.

Como es un proceso isobárico, se calcula: Lif = p . (Vf - Vi), entonces: LBC = pB . (VC - VB) = 6 atm . (3 lt - 1 lt) = 12 lt . atm

(notar que esto es igual que calcular el área bajo el gráfico). Por lo tanto, LABC = LAB + LBC = 12 lt . atm. Como es positivo,

es un trabajo realizado.

Comparación entre el trabajo y el calor: tenemos LABC = 12 lt .atm, y QABC = + (cV/R) . 4 lt .atm + (cP/R) . 12 lt .atm.

Como (cP/R) es un valor mayor que 1 (es 5/2 o 7/2), entonces (cP/R) . 12 lt .atm es mayor que 12 lt .atm .... y al sumarle

(cV/R) . 4 lt .atm, va a dar aún más grande. O sea que QABC > 12 lt . atm. Es decir que el gas recibe más calor que el trabajo

que realiza (éste último es justo 12 lt . atm). Entonces la opción correcta es "El sistema absorbe más calor que el trabajo

que realiza", y esta opción descarta automáticamente a las otras dos que quedan.

Otra forma de comparar - con el 1er. principio de la termodinámica: ∆UABC = QABC - LABC

Como la variación de energía interna depende sólo de los valores inicial y final, entonces ∆UABC = ∆UAC. Y como en C la

temperatura es mayor que en A (porque el producto p.V en C es mayor que en A), eso quiere decir que ∆UAC > 0 (Dicho

de otra forma: ∆UAC = (cV/R) . (pC . VC - pA . VA) = (cV/R) . (6 atm . 3 lt - 2 atm . 1 lt), y esto da positivo).

Y como ∆UABC = QABC - LABC esto significa que QABC - LABC > 0, o sea: QABC > LABC (Ambos, QABC y LABC, son positivos).

Es decir que el calor absorbido es más grande que el trabajo realizado. Llegamos a la misma conclusión que antes.

Ejercicio 9: Idem ejercicio 9 del tema A, cambiando ∆t = 2 min por ∆t = 5 min.

Ejercicio 10: es parecido al ejercicio 10 del tema A, pero ahora la lámina

está negativamente cargada, y la partícula es un protón en vez de un

electrón. Comparemos con el caso anterior:

- Ahora las líneas de campo ahora son entrantes a la lámina; son opuestas a

las dibujadas en el tema A (ver figura).

- Como el potencial eléctrico disminuye en el sentido de cada línea de

campo, ahora el potencial va a ser menor en A que en B: VA < VB.

- Los puntos B y C siguen perteneciendo a la misma superficie

equipotencial, igual que antes, así que VB = VC.

- Por lo tanto: VA < VC.

- Como la carga del protón es positiva, la fuerza eléctrica sobre el protón apunta en sentido del campo (Fel = q . E), o sea,

hacia la lámina. Así que Fel tiene el mismo sentido que en el tema A.

Trabajo de la fuerza eléctrica: es igual que antes, ya que la fuerza eléctrica es la misma:

LFel

AB = |Fel| . dAB . cos(180°) = - |Fel| . dAB LFel

AB < 0

LFel

BC = |Fel| . dBC . cos(90°) = 0 LFel

BC = 0

LFel

ABC = LFel

AB + LFel

BC = LFel

AB LFel

ABC < 0. Notar que vale LFel

ABC = LFel

AC ya que Fel es conservativa.

Variación de energía potencial eléctrica: sigue valiendo ∆Upotencial eléctrica AC = - LFel

AC, y como también es LFel

AC < 0,

entonces ∆Upotencial eléctrica AC > 0.

También vale ∆Upotencial eléctrica AC /q = VC -VA. Ahora q es positiva (es un protón), entonces queda VC-VA > 0, o sea: VC > VA.

Se llega a la misma conclusión que antes sobre la diferencia de potencial entre C y A.

Fuerzas aplicadas aparte de la fuerza eléctrica: Siguen valiendo, sin modificación alguna, los comentarios hechos en el

apartado titulado observaciones adicionales, incluyendo las dos figuras indicadas allí.

Ejercicio 11. Es parecido al ejercicio 11 del tema A, pero ahora C3 = 80 µF, ∆V = 200 V y se pide Q = 12,8 mC. Por lo

tanto, debería ser: Cequiv = Q/∆V = 12,8 mC/200 V = 0,064 mF = 0,064 . 10-3

F Cequiv = 64 . µµµµF

Observar que en este caso, el capacitor equivalente es menor que el menor de los

tres capacitores. Entonces:

- Si el capacitor equivalente es igual a: C2 en paralelo con cualquier otro capacitor o

conjunto de ellos, entonces la capacidad equivalente seguro que va a ser mayor que C2,

o sea, mayor que 160 µF. O sea que se descartan la 4ta. opción: "Los tres capacitores

en paralelo", y la 5ta. opción: "C1 en serie con C3 y el conjunto en paralelo con C2".

- Si el capacitor equivalente es igual a: C3 en paralelo con cualquier otro capacitor o

conjunto de ellos, entonces la capacidad equivalente seguro que va a ser mayor que C3,

o sea, mayor que 80 µF. Por lo tanto se descarta la 1ra. opción: "C1 en serie con C2 y el

conjunto en paralelo con C3".

Quedan las opciones 2da., 3ra. y 6ta:

* "C1 en paralelo con C2, y el conjunto en serie con C3". Cequiv = [1/(C1+C2)+1/C3]-1

= [1/320µF+1/80µF]-1

Cequiv = [1/320 µF + 4/320 µF]-1

= 64 µµµµF. Esta es la capacidad que se necesita; la opción es Verdadera.

* "Los tres capacitores en serie". Cequiv = (1/C1+1/C2+1/C3)-1

= (1/160 µF + 1/160 µF + 1/80µF)-1

= (2/160 µF + 1/80 µF)-1

Cequiv = (1/80 µF + 1/80 µF)-1

Cequiv = (2/80 µF)-1

= 40 µF . No es la capacidad que se necesita; la opción es Falsa.

* "C1 en paralelo con C3 y el conjunto en serie con C2". Cequiv = [1 / (C1 + C3) + 1/C2]-1

= [1/240 µF + 1/160 µF]-1

Cequiv = [2/480 µF + 3/480 µF]-1

= 480/ 5 µF = 96 µF. No es la capacidad que se necesita; la opción es Falsa.

Ejercicio 12. Idem ejercicio 12 del tema A, cambiando e = 12V por e = 24 V, y R1=R2=R3 = 3 kΩ por R1=R2=R3= 6 kΩ.

Por lo tanto, ahora es ∆V12 = ∆V34 = 24 V. Se siguen exactamente los mismos pasos del Ejercicio 12 del Tema A, con

estos cambios de valores. Las corrientes también dan: i12 = 2 mA e i34 = 3 mA. Se obtiene R34 = 8000 Ω, y finalmente se

obtiene R4 = 2000 Ω. Otro método: se calcula Requiv = e/if = 4800 Ω; después, planteando Requiv = (1/R12 + 1/R34)-1

, donde

R12 = 12000 Ω, se obtiene R34 = 8000 Ω, y por lo tanto R4 = 2000 Ω.

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