BINOMIO DE NEWTON Y

TRIÁNGULO DE PASCAL

Por:

Ing. Margarita Patiño Jaramillo

Ing. Carlos enrique Villa Arango

BINOMIO DE NEWTON

Y TRIÁNGULO DE

PASCAL

Competencia

Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas yoperaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

Indicadores de logro:

Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operacionesalgebraicas.

En una situación específica: Realiza operaciones con polinomios.

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico

cuyos ocho primeros renglones están representados en la tabla adjunta.

La idea y el interés del Triángulo de Pascal radican en su aplicación en

álgebra.

Composición del Triángulo de Pascal

El Triángulo se construye de la siguiente manera: sobre un papel, ojalá

cuadriculado, escribimos el número «1», centrado en la parte superior;

después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en

sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras

situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el

resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso

escribiendo, en las casillas inferiores, la suma de las dos cifras situadas

sobre ellas (1 + 2 = 3)...

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico cuyos

ocho primeros renglones están representados en la tabla de arriba.

El Triángulo de Pascal tiene muchas aplicaciones, entre ellas el desarrollo del Binomio d

e Newton en álgebra.

Las cifras registradas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» revelan los coeficientes de los términos de los binomios:

2 2 2a +b = a + 2ab +b

3 3 2 2 3a+b =a +3a b+3ab +b

pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede ampliar para cualquier potencia del binomio .a+b

Relación entre el triángulo de Pascal y el binomio de NewtonLa expresión que suministra las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton

En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.

El uno de la primera línea o renglón corresponde al único coeficiente de = 1

(o término independiente), el segundo renglón corresponde a los coeficientes de

y así sucesivamente.

0a +b

a+b

Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en elrenglón «n + 1» del Triángulo de Pascal.

Lo visto para n = 2 y n = 3, también lo es para n = 0: (a + b)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.

Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción

matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también

para n+1. En general el binomio de Newton se expresa como:

Con respecto a los exponentes vemos cómo el primer término del resultado es el primer

término del binomio elevado a la misma potencia del binomio, multiplicado por el

segundo término del binomio pero elevado a la cero que es 1. El segundo término de la

respuesta es el primer término del binomio con una potencia una unidad menor que el

anterior (n), multiplicado por el segundo término del binomio a una potencia una unidad

mayor que la que tiene en el anterior (1).

na ±b

Con respecto a los exponentes vemos como el primer término del resultado es el primer término del

binomio elevado a la misma potencia del binomio, multiplicado por el segundo término del binomio

pero elevado a la cero que es 1. El segundo término de la respuesta es el primer término del binomio

con una potencia una unidad menor que el anterior (n), multiplicado por el segundo término del

binomio a una potencia una unidad mayor que la que tiene en el anterior (1).

El exponente de la a disminuye una unidad en cada término, mientras el exponente de la b aumenta

una unidad término a término, empezando con potencia cero.

Cuando el signo que separa los dos términos del binomio es menos, los signos del resultado van

alternados empezando con el más.

Observemos lo que sucede con n = 4.

El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.

Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:

Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma

consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es

justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.

Coeficientes del binomio de Newton

Como vemos, n = 7 entonces desarrollamos el polinomio con los coeficientes de la fila 8 correspondiente al grado 8 del triángulo de Pascal, los cuales son:

1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1

7a +b

Ejemplo:

Desarrollemos el binomio:

Sustituyendo en la serie de Newton:

Ejemplo:

Desarrollemos el binomio ( 2x+ 3 )5

Los coeficientes correspondientes a n = 5 según el triángulo de Pascal son:

1, 5, 10, 10, 5, 1

Por lo tanto:

( 2x+ 3 )5 = 1(2x)5(3)0 + 5(2x)4(3)1 + 10(2x)3(3)2 + 10(2x)2(3)3 + 5(2x)1(3)4 + 1(2x)0(3)55

= (1)32x5(1) + (5)16x4(3) + (10)8x3(9) + (10)4x2(27) + (5)2x(81) + (1)(1)(243)

= 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1080x2 + 810x + 243