Sistemas dinmicos

Sistemas dinmicosBifurcaciones de soluciones peridicasDr. Juan Segundo RamrezUASLP-FIPresentacin del problema Cmo se comporta un sistema dinmico una vez que ste pierde su estabilidad?Colapsa?Se generan nuevas dinmicas?Se generan nuevas soluciones?

Es posible saber anticipadamente las condiciones en que se pierde estabilidad y lo que pasar una vez que sto suceda?Respuesta: Es posible bajo ciertas condiciones

Sistemas dinmicosUn sistema dinmico es aquel en el que sus estados evolucionan en el tiempo. La evolucin es gobernada por un conjunto de reglas ( no necesariamente ecuaciones) que especifican el estado del sistema para valores discretos o continuos de t.

Una evolucin de tiempo discreto es en general descrita por un conjunto de ecuaciones algebraicas (mapa).

Una evolucin de tiempo continuo es usualmente descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales.Estado estacionario y transitorioEl comportamiento asinttico de un sistema dinmico cuando t se conoce como el estado estacionario del sistema. Frecuentemente, este estado estacionario corresponde a un conjunto acotado, el cual puede ser una solucin esttica o una solucin dinmica.

El comportamiento dinmico del sistema antes de alcanzar el estado estacionario se conoce como estado transitorio, y la correspondiente solucin del sistema dinmico se llama solucin transitoria.

Tipos de soluciones de sistemas dinmicosSistemas en tiempo discretoUn sistema que evoluciona en tiempos discretos puede ser representado por

En los tiempos discretos tk y tk+1, xk y xk+1 representan estados del sistema, respectivamente.

Sistemas de tiempo continuo (1)Sistemas no autnomosUn sistema de ecuaciones diferenciales no autnomo se puede representar en general de la siguiente manera:

M representa el vector de parmetros de control.F representa el vector de campo y geomtricamente se puede interpretar como una coleccin de vectores tangentes en diferentes curvas integrales.

Sistemas no autnomos (2)La solucin de un sistema no autnomo puede ser pensada como un punto que se mueve en una trayectoria, ocupando diferentes posiciones en diferentes tiempos; igual un planeta que se mueve a travs del espacio.Sistemas no autnomos (3)Como ejemplo ilustrativo, considere el siguiente oscilador lineal con entrada peridica:

Considere que 2=8, =2, F=10, y =2, adems tome como condiciones iniciales [1 0 0].

Sistemas autnomosUn sistema de ecuaciones diferenciales autnomo se puede representar en general de la siguiente manera:

Este sistema es invariante en tiempo, independiente del tiempo, o estacionario. Esto significa que si X(t) es su solucin, entonces X(t+) tambin lo es.

Sistemas autnomos (2)Como ejemplo, considere el siguiente sistema:

Retratos de fase y flujoUn retrato de fase es una coleccin de trayectorias que representan la solucin de un sistema dinmico en espacio de fase. En general, el retrato de fase contiene informacin acerca del comportamiento transitorio y de estado estacionario del sistema.Se dice que las rbitas que inician con diferentes condiciones iniciales describen un flujo bajo el sistema de ecuaciones dado.

Retratos de fase y flujo (2)

Conjuntos atractoresConsidere que ahora =0, es decir, el sistema es conservativo.

Conjuntos atractores (2)En sistemas disipativos, las trayectorias iniciadas en condiciones iniciales diferentes son atradas a un subespacio del espacio de estado. Este fenmeno se conoce como atraccin, y el conjunto al cual son atradas las trayectorias cuando t se llama conjunto atractor.AtractoresTipos de atractores

Puntos fijosCiclo LmiteToroideAtractor ExtraoSpiralRadial29/11/1218Demonstrate damped pendulum

Demonstrate driven mass on a spring

Demonstrate inner tube Solucin de las ecuaciones de Lorenz para =10, =14 y =8/3

Punto fijo=10, =28 y =8/3

Atractor extrao

Efecto Mariposa

Mapa de Poincar

BifurcacinDefinicin: Es una palabra Francesa introducida por Poincar a la dinmica no lineal, y es usada para indicar un cambio cualitativo en las caractersticas del sistema, tal como el nmero y tipo de soluciones bajo la variacin de uno o ms parmetros del sistema.Bifurcaciones de soluciones peridicas

Los tres escenarios posibles en cmo los multiplicadores de Floquet dejan el circulo unitario.Diagramas de bifurcacionesEl diagrama de bifurcacin es una herramienta para el anlisis de sistemas dinmicos. Nos proporciona grficamente informacin sobre la estabilidad de un sistema dinmico.Diagramas con fuerza bruta: Ejemplo

Asumiendo que vdc=5 V, R=1 , L=2 mH, h=0.4 A, construya la siguiente corriente:

Diagramas con fuerza bruta: Ejemplo (2)

Periodo TPeriodo 34

Mtodos de continuacin

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 1

Ejemplo 1

440 V400 V380 V500 V850VEjemplo 1

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Ejemplo 3

Dr. Juan Segundo RamrezUniversidad Autnoma de San Luis PotosFacultad de Ingenierajuan.segundo@uaslp.mxhttp://eprints.qut.edu.au/view/person/Segundo-Ramirez,_Juan.htmlhttp://ciep.ing.uaslp.mx/electrica/profesor.php?id=3230393934