Biagio Arbulu sfsfee

7/23/2019 Biagio Arbulu sfsfee

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RESISTENCIA DE MATERIALES 2

7.5.2. CASOS DE SIMETRIA

En la sección 6.7 se ha hecho un estudio de las posibilidades de sipli!ica" la

solución de est"uctu"as hipe"est#ticas continuas ap"o$echando de su siet"%a

!%sica. &"ecisando al'unas a!i"aciones hechas en la encionada p"oposición(

$eaos los si'uientes casos "elati$aente !"ecuentes en est"uctu"as con

eleentos de secciones constantes.

1) Si se t"ata de una est"uctu"a !%sicaente si)t"ica( si)t"icaente ca"'ada(

en *ue el e+e de siet"%a pasa a t"a$)s de un nudo ,se entiende *ue no es

a"ticulación *ue co"te la continuidad de los eleentos si)t"icos

ad-acentes a dicho nudo( caso( po" e+eplo( de un pó"tico o $i'a continua

con un nue"o pa" de t"aos( e$identeente en dicho nudo no se 'ene"a"#

'i"o al'uno ,de ot"a ane"a de+a"%a de habe" siet"%a. Este nudo( pues( se

copo"ta"# coo un epot"aiento pe"!ecto. En consecuencia( en estos

casos se"# posible anali/a" edia est"uctu"a ,situada a la i/*uie"da o a la

de"echa del e+e de siet"%a( en la *ue debe"# conside"a"se epot"aiento

pe"!ecto en los nudos *ue est#n en el e+e de siet"%a( - la "i'ide/ de estos

t"aos se"# la "i'ide/ "elati$a del p"opio t"ao "eal.

2) Si se t"ata de una est"uctu"a !%sicaente si)t"ica( si)t"icaente ca"'ada(

en *ue el e+e de siet"%a pasa a t"a$)s de un eleento( caso( po" e+eplo(

de una est"uctu"a con n0e"o ipa" de t"aos( en la sección 7.1. -a se

hi/o un estudio del t"ataiento de este caso. Reite"ando lo ah% e3puesto(

$eaos coo se t"aba+a con solaente edia est"uctu"a( o sea coo es la

est"uctu"a "educida.

En 'ene"al( todo t"ao ij( 4i'. 7.5.( en el *ue este el e+e de siet"%a( ocu""i"# *ue

θi=−θ j

M ji=− M ij

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Aplicando la ecuación de Moh" ,6.5( teneos

M ij=2ϵ

I

l ( 2θi+θ j )+ M ij

0

8 sea

M ij=2 K ϵ θi+ M ij0

Conside"ando po" ot"a pa"te un t"ao !icticioij

( 4i'.7.5 ,b( de lon'itudl

2 (

en el *ue suponiendo el iso oento de epot"aiento pe"!ecto M ij0

*ue

ha- en el t"ao "eal total( $eaos cual debe se" su "i'ide/ K pa"a *ue en i

se 'ene"e la isa de!o"ación an'ula"θi - oento e3t"eo

M ij del

t"ao "eal anteni)ndose j'

inde!o"able. Aplicando la isa ecuación ,6.5 a

este t"ao i j'

.

M i j ' = M ij=2 EK (2 {θ} rsub {i} +0)+ {M} rsub {ij} rsup {0}

8 sea i'ualando( i'ualando ent"e s% las e3p"esiones de M ij ( teneos

2 EK θi+ M ij0=4 EK {θ} rsub {i} + {M} rsub {ij} rsup {0}

Lue'o

K = {1} over {2} K

Es deci" *ue( en el 'ene"al( en las est"uctu"as si)t"icas - si)t"icaente

ca"'adas en *ue el e+e de siet"%a pasa a t"a$)s de un eleento( es posible

anali/a" la itad de la est"uctu"a( conside"ando pa"a tal eleento cent"al el





oento de epot"aiento pe"!ecto M ij0

del eleento "eal( pe"o la "i'ide/

"elati$a K

debe toa"se i'ual a la itad de la "i'ide/ "elati$a 9 del eleento

"eal.

&o" un "a/onaiento siila" pa"a el caso de *ue el eleento cent"al !ue"a de

secciones $a"iables( se dete"ina"# "i'ide/ "elati$a

¿ K ij K ij

”¿ ( son siet"%a !%sica

*ue debe conside"a"se es

K ij' ' = K ij(1−t ij )

Siendo

E I c

l¿¿

K ij=¿

8 si la est"uctu"a es toda del iso ate"ial( sipleente puede toa"se

I c

l¿¿

K ij=¿

Esto -a se $io en la sección 7.1.( te"ce" caso e3p"esión ,7.2.

3) Si se t"ata de una est"uctu"a !%sicaente si)t"ica( anti si)t"icaente

ca"'ada( en *ue el e+e de siet"%a pasa a t"a$)s de un nudo( lo *ue

si'ni!ica *ue tal e+e pod"%a coincidi" con un eleento cent"al ,puede se"( en'ene"al( una coluna en una est"uctu"a apo"ticada( - si es el nudo de una

$i'a continua( all% el oento es nulo. Es posible en estos casos

conside"a" *ue la est"uctu"a total e*ui$ale a dos edias est"uctu"as

,est"uctu"a "educida( en las *ue el eleento cent"al pe"tenece a cada una





de ellas con "i'ide/ i'ual( en cada una( a la a itad de la "i'ide/ "eal. En la

4i' 7.55 se uest"an es*ue#ticaente.

al'unos casos. La solución de la est"uctu"a "eal se "educe a "esol$e" solaente

edia est"uctu"a obteni)ndose as%( po" e+eplo( los oentos M i ,oentos

en secciones de la po"ción i/*uie"da: los de la ot"a edia est"uctu"a ,en

secciones de la po"ción de"echa se"#n M d ;

M i : - los oentos en cada

eleento cent"al se"# el doble ,con el iso si'no de los obtenidos pa"a el edio

eleento de la est"uctu"a "educida. 8bs)"$ese en el caso ,c de la !i'u"a 7.55 *ue

inclusi$e este p"ocediiento se puede aplica" a casos de est"uctu"as !%sicaente

si)t"icas ca"'adas con !ue"/as ho"i/ontales *ue act0an en los nudos.

4) Si se t"ata de una est"uctu"a si)t"ica( anti si)t"icaente ca"'ada( en *ue

el e+e de siet"%a pasa a t"a$)s de un eleento( las de!o"aciones

an'ula"es se"#n anti si)t"icas( en el punto edio del eleento cent"al nose p"oduci"# de!le3ión( copo"t#ndose( en consecuencia coo si all%

hubie"a un apo-o a"ticulado.





Esta situación tabi)n !ue estudiada en la !i'u"a 7.1.. Reite"ando lo

e3puesto entonces( pa"a la est"uctu"a "educida el t"ao cent"al tend"# una

"i'ide/ "elati$a.

K ij

' ' ' =3

4

( I

l2 )

=3

2

( I

l )

K ij

' ' ' =3

2 K

Es deci"( una $e/ - edia de la "i'ide/ "elati$a del t"ao "eal. &a"a cuando el

eleento ij es de secciones $a"iables( en la sección 7.1.( pa"a el cua"to caso(

se dete"ina"a *ue la "i'ide/ "elati$a( e3p"esión ,7.2<( es

K ij' ' ' = K ij (1+t ij)

Siendo

E I c

l¿¿

K ij=¿

o sipleente

I c

l¿¿¿

si l la est"uctu"a es constante

EJEMPLO 7.5.2

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Resol$e" la $i'a continua ost"ada en la !i'u"a 7.57. Se indican ena"cadas( en

ci"cun!e"encias los $alo"es e*ui$alentes a los oentos de ine"cia constantes en

cada t"ao.

La $i'a es !%sicaente si)t"ica "especto del apo-o 1( pe"o es anti si)t"ica en el

apo-o de la ca"'a aplicada. &uede t"ata"se coo la supe"posición de dos

est"uctu"as ,a ca"'ada si)t"icaente - ,b ca"'ada anti si)t"icaente(

,4i'.7.5=( - cada una de estas puede "esol$e"se sipleente en edia

est"uctu"a( tal coo se uest"a en la !i'u"a

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Todo se "educe( pues a "esol$e" las est"uctu"as ,a> - ,b>: con estos "esultados

dete"ina" los oentos en los apo-os de ,a - ,b( "eco"dando *ue en las

est"uctu"as si)t"icaente ca"'adas M

i

=− M d - en las est"uctu"as

antise%ticaente ca"'adas M i=− M d .

&a"a el sistea "educido ,a>

K 12=3

4 X

4

5=0.6

K 23=3

4

=0.75

∑ K 2=1.35

÷1.35=0.444

' ' =0.556

M 21

' 0=1.5( w

2

12l

2

) M 21

' 0=3.75Tn.m

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Los es!ue"/os co"tantes en los e3t"eos de los eleentos son

Q12=2.4

2 x 5−

1

5(0+3.9 )=6−0.78=5.22 T

Q21=−2.4

2 x 5−

1

5 (0+3.9 )=−6−0.78=−6.78T

32=¿−1

4(−3.9−1.04 )=1.24T

Q23=Q¿

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43=¿− 1

4(1.04+0.26 )=−0.33 T

Q34

=Q¿

Q45=Q54=−1

5 (−0.26+0 )=0.05 T

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EJEMPLOS 7.5.3

Resol$e" la est"uctu"a de la !i'u"a 7.5<.

La est"uctu"a es !%sicaente si)t"ica con "especto al e+e *ue pasa a t"a$)s de

eleento 1?7( - esta asi)t"icaente ca"'ada. El es*uea *ue se uest"a en la

p#'ina si'uiente indica la !o"a coo se "esol$e"# sipli!icadaente.

En el sistea "educido ,b> se esta conside"ando el oento de ine"cia del

eleento 1?7 i'ual a la itad del $alo" "eal del oento de ine"cia de ese

eleento( po" conside"aciones e3puestas en la sección 6.7.2.

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&a"a el sistea "educido ,a>

K 21=3

4 x

1

3=0.25 ÷ 0.90=0.278

K 23=2

5=0.40 ÷ 0.90=0.444

K 28=1.56 =0.25 ÷ 0.90=0.278





∑ K 2=0.90

M 23

0 =−

(

Pa b2

l

2 +

w l2

12

)=−

(

5 x2 x32

52 +

1.8 x 52

12

)=−7.35Tn.m

M 32

0 =+( Pa b2

l2 +

w l2

12 )=+(5 x 2 x 32

52 +

1.8 x 52

12 )=6.15Tn.m

&a"a el sistea ,b>

Los coe!icientes de dist"ibución en el nudo 2 son los isos *ue pasa el sistea

,a>: en el nudo 1 son

K 37=3

4 x

0.75

4.80=0.117 ÷ 0.517=0.226

K 32=

2

5

=0.400÷0.517=0.774

∑ K (3)=0.517





M 23

0 =−( Pa b2

l2 −

w l2

12 )=−(5 x 2 x 32

52 −

1.8 x 52

12 )=+0.15 Tn.m

M 320 =(

Pa b2

l2 −w l

2

12 )=(5 x3 x2

2

52 −1.8 x 5

2

12 )=−1.35Tn.m

La supe"posición de los sisteas ,a - ,b da

8bs)"$ese *ue el oento en el e3t"eo 1 del eleento 1?7 tiene *ue

conside"a"se el doble del $alo" obtenido en el sistea "educido ,b>( debido a *ue

el eleento "eal 1?7 es el doble ,en "i'ide/( etc *ue el del eleento 1?7 supuesto

en el sistea ,b>





Calculo de es!ue"/os co"tantes

Q12=Q

21=0−

1

3(0+1.83 )=−0.61Tn

Q23=10 x 3.00

5.00 −

1

5.00 (−3.66+7.44 )=6.00−0.76=5.24 Tn

Q32=−10 x2.00

5.00−

1

5.00(−3.66+7.44 )=−4.00−0.76=−4.76Tn

Q34=1

2 x 3.6 x 5.00−

1

5.00(−8.12+4.5 )=9.00+0.72=9.72Tn

Q43=−1

2 x3.6 x5.00−

1

5.00(−8.12+4.5 )=−9.00+0.72=−8.28Tn

Q45=Q54=0− 1

3.00(−2.25+0 )=0.75 Tn

Q82=Q

28= −1

6.00(0.92+1.83 )=−0.45Tn

Q73=Q

37= −1

4.80(0+0.68 )=−0.14Tn

Q64=Q46= −1

6.00 (−1.12−2.25 )=+0.56 Tn





PROBLEMA 7.5.4

Resol$e" la est"uctu"a de la !i'u"a 7.6@. Se indican ence""ados en c%"culos los

oentos de ine"cia.

La est"uctu"a es !%sicaente si)t"ica - esta ca"'ada en !o"a si)t"ica con

"especto al e+e $e"tical *ue pasa po" el punto edio del eleento 7?=





Los oentos de epot"aiento pe"!ecto son

M 650 =2Tn (1.20m )=2.4Tn.m

M 67

0 =− M 76

0 =−18

x 5 x (4.8 )=−3.0 Tn.m

M 78

0 =−1

8 x 8 x (6.00 )=−6.00 Tn.m

En este caso se puede "esol$e" la est"uctu"a con el sistea "educido *ue se

uest"a( donde las "i'ideces "elati$as son

K 16= 1.2

4.00=0.30

K 27=

1.5

4.00=0.375

K 67= 1

4.80=0.208

K 78'

=

1

2 x

1.5

6.00=0.125

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Coe!icientes de dist"ibución

6 @.1 ÷0.508=0.591

6

67 @.2@= ÷0.508=0.408

∑ K =0.508

72 @.175 ÷0.708=0.530

7 76 @.2@= ÷ 0.708=0.296

7=> @.25 ÷ 0.708=0.176

∑ K =0.708

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Los oentos !inales en la ot"a itad de la est"uctu"a tienen estos isos

$alo"es con si'nos opuestos

Es!ue"/os co"tantes

Q56=Q65=−2.0 Tn

Q67=1

2 x5−

1

4.80 (−2.44+3.90 )=2.5Tn−0.29Tn=2.21Tn

Q76=−1

2 x 5−

1

4.80(−2.44+3.90 )=−2.5Tn−0.29Tn=−2.79Tn

Q78=1

2 x 8−

1

6.00(−5.48+5.48 )=4.00Tn

Q16=Q61= −1

4.00 (0.05+0.09 )=−0.04 Tn

Q27=Q

72= −1

4.00(0.79+1.58 )=−0.59Tn

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PROBLEMA 7.5.5

Resol$e" la est"uctu"a *ue se uest"a en la 4i' 7.6. Se indican ence""ados en

c%"culos los oentos de ine"cia de los eleentos.

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Es la isa est"uctu"a del p"oblea 7.5.( pe"o aho"a ca"'ada anti

si)t"icaente.

Los oentos de epot"aiento pe"!ecto son los -a calculados pa"a los

eleentos 5?6 - 6?7. Las "i'ideces tabi)n son las -a calculadas( e3cepto la del

eleento 7?=( *ue( pa"a la est"uctu"a "educida *ue se uest"a( es

K 77

' =3

2 x 1.5

6.00=0.375

Los coe!icientes de dist"ibución en 6 son las -a calculadas: en 7 aho"a son

72 @.175÷0.958=0.390

7 76 @.2@=÷0.958=0.220

77> @.175 ÷ 0.958=0.390

∑ K =0.958





En la itad de"echa de los oentos !lecto"es son i'uales - del iso si'no *ue

las dete"inadas pa"a la itas i/*uie"da.





7.5.3. EFECTOS DE LA VARIACION DE TEMPERATURA Y CONTRACCION DE

FRAGUA

En una est"uctu"a continua o apo"ticada cual*uie" cabio en la lon'itud de una de

sus ba""as o eleentos( puede o"i'ina" es!ue"/os inte"io"es( de a-o" o eno"

ipo"tancia( se'0n loas casos. Tales cabios de lon'itud pueden ocu""i" po"

$a"iaciones de tepe"atu"a( po" aco"taiento o cont"acción de !"a'ua en las

est"uctu"as de conc"eto( δ ( en el oento del ensabla+e de est"uctu"as

et#licas( po" di!e"encia ent"e la lon'itud "eal - la lon'itud teó"ica conside"ada

pa"a el eleento.

Si en un eleento se p"esenta una $a"iación ∆T de tepe"atu"a ,di!e"encia

ent"e la tepe"atu"a en dete"inado oento - la tepe"atu"a de ensabla+e o

de cont"acción adoptada en el diseo( la elon'ación *ue su!"e es

δ l=α . l . ∆ T

Si se t"ata de una est"uctu"a de conc"eto con coe!iciente de cont"acción de !"a'ua

B nC ( la elon'ación del eleento es





δ l=−nC .l

Tabi)n los eleentos su!"en cabios en su lon'itud debidos a la !ue"/a no"al

actuando en )l: pe"o( desde *ue este e!ecto es pe*ueo en copa"ación con los

antes encionados( en la 'ene"alidad de los casos( sus e!ectos son desp"eciados.

a- uchos casos en *ue las $a"iaciones en las lon'itudes de las ba""as no

'ene"an es!ue"/os inte"io"es( coo po" e+eplo en 'ene"al en las $i'as continuas

- en costos tipos de pó"ticos( coo se puede ap"ecia" en los casos ost"ados en

la 4i' 7.2. En los casos a( b - c no se 'ene"an es!ue"/os inte"io"es en los

eleentos( po" la libe"tad de despla/aientos o siet"%a en la est"uctu"a( en el

caso d *ue no ha- siet"%a( si se p"oduci"#n es!ue"/os inte"io"es.

Conocidas las elon'aciones de los eleentos( puede dete"ina"se los

despla/aientos "elati$os ent"e los nudos. Calculados estos( se"# posibledete"ina" los oentos de epot"aientos pe"!ectos -( lue'o( po" dist"ibución

de oentos( dete"ina" los $alo"es i'uales pa"a los oentos en los e3t"eos.

a- *ue distin'ui" tabi)n los casos en *ue no ha- des$iaciones "elati$as de

a*uellas en *ue s% las ha-. El t"ataiento de estos 0ltios se"# tabi)n po" etapas

con!o"e -a se ha e3puesto ante"io"ente.

&uede p"esenta"se el caso en *ue la di!e"encia de tepe"atu"a no es constante en

toda la sección t"ans$e"sal de uno o $a"ios eleentos de la est"uctu"a( es deci"(

*ue se p"esentan tepe"atu"as di!e"entes en los casos de un lado - de ot"os en el

eleento. En estos casos( con!o"e -a se estudió en la sección 1.@( se

p"esenta"#n oentos de epot"aiento pe"!ecto coo indica la e3p"esión

,1.<1( es deci"





M ij

0=− M ji

0=−α . ∆ T

d E I 0

Donde ∆T es la di!e"encia de tepe"atu"a ent"e las dos ca"as del eleento.

Conocidos los oentos de epot"aiento pe"!ecto( $iene el p"oceso de

ite"ación( si'uiendo los p"ocediientos e3plicados pa"a cada caso?

En los e+eplos *ue ese t"ata ense'uida se pod"# ap"ecia" la !o"a de anali/a"

casos di$e"sos *ue pueden p"esenta"se.

PROBLEMA 7.5.

La est"uctu"a *ue se uest"a en la !i'u"a 7.61 est# su+eta a una $a"iación de

tepe"atu"a ∆T =20 ℃ ( siendo α =10−5/℃ ( el coe!iciente de dilatación lineal -

E;2@Tc2 pa"a el ate"ial de *ue est# hecha. Dete"ina" los oentos

!lecto"es - es!ue"/os co"tantes *ue se 'ene"an.





Si po" un oento conside"aos *ue en cada apo-o - nudo ha- una a"ticulación

-( en nuest"o caso( "eite"aos el pasado" de la a"ticulación en F( debido a las

elon'aciones *ue su!"en los eleentos( la est"uctu"a tend"# la posición AF ?F2C(

en la *ue

´B B1

;δ 1=α . a . ∆ T =10

−5 x 1400 x 20=0.28 cm

´B B2 ; δ 2=¿

α . c . ∆ T =10−5

x 1800 x 20=0.36 cm





Coo el e3t"eo D es uno solo( debeos hace" 'i"a" los eleentos AF - FC con

cent"os en A - C( "especti$aente( - "adios ´ B1 -

´C B2 teni)ndose coo

punto co0n de!initi$o el F > ,obtenido "epla/ando los a"cos de ci"cun!e"encia po"

las tan'entes t"a/adas en sus e3t"eos. Los despla/aientos "elati$os ent"e los

nudos F - A( - ent"e F - C son( "especti$aente( los se'entos´B1 B

'

-´B2 B

'

(

*ue tienen coo $alo"es deducidos de las si'uientes e3p"esiones 'eo)t"icas

∆ B . si ! =δ 2+δ 1 !os !

∆BC . si ! =δ 1+δ 2!os !

8 sea *ue

∆ B=c2+ab

"(α . ∆ T )

∆BC =c (a+b)

" (α . ∆ T )

8 tabi)n

∆ B=1800+ (1400 ) (1080 )

1440 x 10

−5 (20 )=0.66 c m





∆BC =1800 (1400 ) (1080 )

1440 x 10

−5 (20 )=0.62 cm

,estos despla/aientos p"oducen en el eleento AF un 'i"o anti ho"a"io( - en el

eleento FC un 'i"o ho"a"io.

Los oentos de epot"aiento pe"!ecto *ue estos despla/aientos 'ene"an en

los e3t"eos son

M B

0 = M B

0 =−6 EI ∆

l2 =

6 (210 ) (72 x 104 ) (0.66 )

14002

=305.5 Tn.cm=3.06 Tn.m

M BC

0 =−3 EI ∆

l

2 =

−3 (210) (170 x104 ) (0.62)

18002

=204.9Tn.cm=2.05Tn.m

M CB0 =0

Las "i'ideces "elati$as - los coe!icientes de dist"ibución son

K B=72

14=5.143 ÷ 12.226=0.42

K BC = 3

4 x 170

18 =7.083 ÷ 12.226=0.58

∑ K B=12.226

Dist"ibución





Es!ue"/os co"tantes

Q B=Q B= −1

14.00(2.85+2.64 )=−0.39 Tn

QBC =QCB= −1

18.00(−2.64+0 )=0.15 Tn

PROBLEMA 7.5.7





El pó"tico *ue se uest"a en la 4i' 7.6 est# su+eto a una $a"iación∆T de

tepe"atu"a. El ate"ial tiene coe!iciente α - E. Dete"ina las e3p"esiones de

los oentos en los e3t"eos

Las elon'aciones de los eleentos son

δ 12= (α . ∆ T ) (10.00 )

δ 23=(α . ∆ T ) (12.00 )

δ 34=(α . ∆ T ) (15.00 )

δ 26=(α . ∆ T ) (8.00 )





δ 35=(α . ∆ T ) (12.00 )

En la 4i' 7.65 se uest"an los despla/aientos "elati$os *ue estas elon'aciones

'ene"an los nudos. Con estos despla/aientos teneos las si'uientes

e3p"esiones pa"a los oentos de epot"aiento pe"!ecto en los e3t"eos

M 12

0 = M 21

0 =6 EI δ

23

10.002 =0.48( EI . α . ∆ T )

M 23

0

= M 32

0

=

6 E(1.5 I )(δ 35−δ 26)

12.002 =0.25( EI . α . ∆ T )

M 34

0 =−3 E (1.5 I ) δ 35

15.002 =−0.24( EI .α . ∆T )

M 26

0 = M 62

0 =−6 E(1.2 I )(δ 12)

8.002

=−1 . 125( EI . α . ∆ T )

M 35

0 =−3 E (2 I )(δ 12+δ 23)12.00

2 =−0.917( EI . α .∆T )

Las "i'ideces "elati$as son





K 12=

1

10.00=0.1

K 23=

15

12.00=0.125

K 34=3

4 x

1.5

15.00=0.075

K 26= 1. 2

8.00=0.15

K 53=3

4 x

2

12.00=0.125






Realiceos la dist"ibución con los !acto"es EI . α . ∆ T ( los "esultados tend"#n

*ue ultiplica"se po" este iso p"oducto

Es!ue"/os co"tantes

Q12=Q21= −1

10.00 (0.510+0.541 )=−0.105 Tn

Q23=Q32= −1

12.00(0.493+0.622 )=−0.093 Tn

Q34=Q43= −1

15.00 (−0.040 )=0.003 Tn

Q62=Q26= −1

8.00(−1.080−1.034 )=0.264 Tn





Q53=Q35= −1

12.00(−0.582 )=0.049 Tn

Los $alo"es hallados pa"a los oentos !lecto"es( pa"a los es!ue"/os co"tantes -

pa"a las "eacciones tend"#n *ue ultiplica"se po" EI .α .∆T pa"a calcula" los

$alo"es "eales de los isos en Tn. - T si EI se "eepla/a en Tn.2 - siα

-

∆T co""esponden a las isas unidades de tepe"atu"a.

PROBLEMA 7.5.!

En la est"uctu"a de conc"eto a"ado de la 4i' 7.66 todos los eleentos su!"en

aco"taiento debido a la !"a'ua del conc"eto( dado po" el !acto"nc . El ate"ial

tiene ódulo de elasticidad E. Dete"ina" los oentos !lecto"es - es!ue"/os

co"tantes *ue se 'ene"an.





&o" siet"%a el punto edio del t"ao 1?( po" el *ue at"a$iesa el e+e de siet"%a(

lo podeos conside"a" coo un epot"aiento ó$il( con un '"ado de libe"tad en

la di"ección de dicho e+e. Estudia"eos( pues edia est"uctu"a - teneos la

"educida *ue se uest"a en la 4i' 7.67( en la *ue se ha es*ueati/ado las

de!o"aciones *ue se p"oducen po" las elon'aciones 'ene"adas po" la

cont"acción de !"a'ua. Tales elon'aciones de !"a'ua. Tales elon'aciones son

δ 34=−(24.00 ) ( nc )=−24nc

δ 23=−(10.00 ) (nc)=−10 nc

δ 12=−(15.00 ) (nc )=−15 nc

δ 71=−(12.00 ) (nc)=12 nc





δ 82=−(16.00 ) (nc)=−16 nc

δ 93=−(12.00 ) (nc)=−12nc

Los despla/aientos "elati$os ent"e los e3t"eos en cada eleento son

∆12=δ

82−δ

71=−4nc

∆23=δ 93−δ 82=4 nc

∆34=0

∆93= δ 34

2 =−12nc

∆32=

δ 34

2+δ

23=−22nc

∆71=δ 34

2 +δ 23+δ 12=−37 nc

Moentos de epot"aiento pe"!ecto

M 12

0 = M 21

0 =−6 E(1.2 I )(4 nc)

15.002

=−0.128( EI . nc)

M 23

0 = M 32

0 =6 EI (4 nc)

10.002 =0.240( EI . nc )

M 340 = M 43

0

M 71

0 = M 17

0 =−6 EI (37nc)

12.002 =−1.542( EI . nc )





M 28

0 =−3 E (1.5 I ) (22 nc )

16.002

=−0.387( EI . nc )

M 390 =−3 E (1.2 I )

(12n

c )12.002 =−0.300( EI .n c)

Ri'ideces "elati$as

K 17= 10

12.00=0.833

K 28=

3

4 x

15

16.00=0.703

K 39=3

4 x

12

12.00=0.750

K 17=

12

15.00=0.800

K 23= 10

10.00=1.0

K 34

' =1

2 x

20

24.00=0 .417






Dist"ibución E!ectuaos la dist"ibución de los oentos de epot"aientos

pe"!ecto dados po" los coe!icientes nu)"icos calculados. Los $e"dade"os

oentos !inales se"#n los obtenidos en la si'uiente dist"ibución ultiplicados po"

el !acto" EI . nc





Es!ue"/os co"tantes

Q71=Q17= −1

12.00(−1.110−0.677 )=0.149

Q82=Q28= −1

16.00(0−0.433 )=0.027

Q93=Q39= −1

12.00(0−0.268 )=0.022

Q12=Q21= −1

15.00 (0.677+0.236 )=−0.061

Q23=Q32= −1

10.00(0.197+0.250 )=−0.045

Estos "esultados tabi)n tend"%an *ue ultiplica"se po" EI . nc pa"a obtene" los

$e"dade"os $alo"es de los es!ue"/os co"tantes ,debe"#n tene"se cuidado en los

copatibilidades de las unidades epleadas pa"a cada !acto": los a*u% obtenidos

co""esponde"#n a T o EI se utili/a en Tn.2.

Los oentos !lecto"es - es!ue"/os co"tantes en la ot"a itad de la est"uctu"a

se"#n i'uales - de si'nos opuestos a los de esta itad anali/ada.





7. ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS DE SECCIONES VARIABLES

En el $oluen I( cap%tulo 1( se ha hecho un estudio aplio de los 4acto"es de

!o"a - !acto"es de ca"'a pa"a eleentos ,$i'as - colunas est"uctu"ales de

altu"a $a"iables cuales*uie"a( ancho constantes( - sus $alo"es en Tablas *ue

apa"ecen en el Goluen II.

Sob"e la base de estos !acto"es se hicie"on los estudios de las "i'ideces absoluta -"elati$a( !acto"es de t"ansisión ,o t"anspo"te( !acto"es de 'i"o( c#lculo de los

oentos de epot"aientos pe"!ecto pa"a di$e"sos tipos de ca"'a( po"

despla/aiento "elati$o de nudos o po" $a"iaciones de tepe"atu"a. Se $io(

tabi)n( la aplicación del Teo"ea de T"es Moentos pa"a $i'as continuas de

laa llena - altu"as $a"iables. Todo esto pa"a eleentos con aca"telaiento "ectos





o pa"abólicas si)t"icas( o sea i'uales en abos e3t"eos( - pa"a

aca"telaientos en un solo e3t"eos - pa"a aca"telaiento asi)t"icos( o sea

di!e"entes en cada e3t"eos - !inalente( pa"a $a"iaciones de altu"a cual*uie"a.

Es deci" *ue usando tales Tablas del Goluen II es posible "esol$e" cual*uie" tipo

de est"uctu"as continuas o apo"ticadas con eleentos de altu"as $a"iables po" cual*uie"a de los )todos actualente conocidos( anal%ticos o de p"ocesos

ite"ati$os ,C"oss( 9anni( TaHabe-a( etc

&a"a uchos casos( el uso de los 4acto"es de 4o"a - de Ca"'a "esulta

e$identeente o"oso -( entonces es p"e!e"ible el epleo de '"#!icos( o sea

!i'u"as( *ue ense'uida $e"eos( o"ientadas p"e!e"enteente a los )todos

ite"ati$os. Conociendo bien teo"%a de los 4acto"es de 4o"a - de Ca"'a es posible

utili/a" estos '"#!icos pa"a la dete"inación de "i'ideces( coe!icientes po" ca"'as o

po" des$iaciones ent"e nudos - ot"os !acto"es o coe!icientes necesa"ios en cada

)todo.

7..1. ELEMENTOS CON ACARTELAMIENTOS RECTOS O PARABOLICOS

Ceent &o"tland Association ha publicado los '"#!icos o 4i' N (2( JJ ( .( .2

*ue apa"ecen en el Ane3o F de este $oluen( en los *ue heos odi!icado un

poco su oti$ación o"i'inal adoptando lo *ue heos $enido si'uiendo a lo la"'o

de este te3to. Tales '"#!icos son

• 4i'. &a"a eleentos si)t"icos con aca"telaientos "ectos en abos

e3t"eos.

• 4i' 2 &a"a eleentos si)t"icos con aca"telaiento pa"abólicos en

abos e3t"eos.

• 4i' 1. &a"a eleentos asi)t"icos con aca"telaiento "ecto en un

e3t"eo.KCoe!icientes pa"a el e3t"eo aca"telado.

• 4i' 1.2 &a"a eleentos asi)t"icos con aca"telaiento "ecto en un

e3t"eos.K Coe!icientes pa"a el e3t"eo aca"telado.

• 4i' . &a"a el eleento asi)t"icos con aca"telaiento pa"abólico en

un e3t"eo.KCoe!icientes pa"a el e3t"eos no aca"telado.

• 4i' .2 &a"a eleentos asi)t"icos con aca"telaiento pa"abólicos eb

un e3t"eo.KCoe!icientes pa"a el e3t"eo no aca"telado

&ueden usa"se solaente pa"a eleentos de ala llena en *ue ha- una pa"te de

la lon'itud de altu"a constante - la ot"a pa"te( toda la lon'itud( de altu"a $a"iable

linealente o en !o"a pa"abólica( - siep"e de ancho constante.





Son( pues( los casos #s !"ecuentes *ue se pueden "esol$e" con estos '"#!icos:

pe"o tienen sus liitaciones coo son los casos de aca"telaientos desi'uales ,(

casos de altu"as $a"iables en !o"a cual*uie"a( etc.

Todos estos '"#!icos dan di"ectaente

A) Los !acto"es a pa"a calcula" las "i'ideces "elati$as 9

K = al

Donde l es la lon'itud "educida del t"ao o eleento

l=δ c

I c. l

B) Los coe!icientes de t"anspo"te t.C) Los coe!icientes de

! pa"a los oentos de epot"aiento pe"!ecto

pa"a ca"'a uni!o"eente "epa"tida a lo la"'o de toda la lu/.

D) Los coe!icientes!

pa"a los oentos de epot"aiento pe"!ecto pa"a

ca"'a concent"ada


Biagio Arbulu sfsfee

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