Benacerraf. P. La Verdad Matemática

5/10/2018 Benacerraf. P. La Verdad Matemtica

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AGORA - Pape/es de Filosofia - (2004), 23/2: 233-253 ISSN0211-6642

LA VERDAD MATEMATICAIPaul Benacerraf

Aunque este simposio se titula "La verdad matematica ", tarnbien trataretemas que son algo mas amplios pero que, no obstante, tienen la nocionde verdad matematica como micleo, los cuales dependen de como explicaradecuadamente la verdad en maternatica. El mas importante de estos esel conocimiento maternatico. Sostengo que dos clases de preocupaciones,bastante distintas, han motivado separadamente las explicaciones de la na-turaleza de la verdad maternatica: (1) la preocupaci6n por disponer de unateoria semantica hornogenea en la cualla sernantica para las proposicionesde la rnatematica sea analoga a la sernantica para el res to del lenguaje-,

Recibido: 08104105. Aceptado: 1011 01051 Presentado en un simposio sobre la verdad maternarica, patrocinado conjuntamente

por la American Philosophical Association, Eastern Division, y la Association for SymbolicLogic, el 27 de diciembre de 1973. Varias partes de una version anterior (1967) de estaponencia fueron leidas en Berkeley, Harvard, Chicago Circle, John Hopkins, New YorkUniversity, Princeton y Yale. Estoy agradecido por la ayuda que recibi en estas ocasiones,as! como por muchos comentarios de mis colegas de Princeton, tanto de estudiantes comode profesorado. En particular, estoy en deuda con Richard Grandy, Harrry Field, AdamMorton y Mark Steiner. Que estos comentarios no hayan dado como resultado mejoras massignificativas se debe total mente a rni tozudez. La presente version es un intento de resumir1 0 esencial de la ponencia mas larga, y a la vez de introducir pequerias mejoras. La versionoriginal fue escrita durante el curso 1967168 con el generoso apoyo de la fundacion JohnSimon Guggenheim y la Universidad de Princeton. Lo reconozco con agradecimiento. Reim-pre so con el amable permiso de los editores del Journal of Philosophy 70 (1973): 661-80.[Esto ultimo se refiere a la publicacion del articulo en P. Benacerraf y H. Putnam, Philosophyof Mathematics. Selected Readings. Cambridge University Press, 1983 (2' ed.), version quehemos tomado como referencia por ser posterior. (T.)]

2 Me permito la ficcion de que disponemos de una sernantica "para el resto dellenguaje",0, mas concretamente, de que los seguidores de las concepciones que toman su impulso en

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Paul Benacerraf La verdad matematica

y (2) la preocupaci6n por que la explicaci6n de la verdad maternatica secombine con una episternologia razonable. Mi tesis general consistira enque casi todas las explicaciones del concepto de verdad maternatica puedenidentificarse como sirviendo a uno u otro de estos propositos a expensas delotro. Puesto que creo, adernas, que cualquier explicacion adecuada debeabordar ambas preocupaciones, me encuentro profundamente insatisfechocon cualquier paquete de sernantica y epistemologfa que pretenda explicarla verdad y el conocirniento tanto dentro como fuera de la maternatica. Yaque, como sugerire, las explicaciones de la verdad que tratan el discursomaternatico y el no-rnatematico de manera significativamente parecida, 1 0consiguen al precio de dejar sin explicar como podemos tener algun conoci-miento maternatico en absoluto; mientras aquellas que atribuyen a las pro-posiciones maternaticas el tipo de condiciones de verdad que esta claro quesabemos obtener, 1 0 consiguen a expensas de fracasar a la hora de conectarestas condiciones con algiin analisis de los enunciados que muestre comolas condiciones asignadas son condiciones de su verdad. Lo que quiere deciresto debe, en ultima instancia, explicarse con detalle si he de precisar mipostura, y no puedo esperar realizarlo dentro de este contexto limitado.Pero tratare de dejarlo 1 0 suficientemente claro para permitirles juzgar sihay 0 no algo de aceptable en mi pretension.

Considero obvio que cualquier explicacion filoscficamente satisfactoriade la verdad, la referencia, el significado y el conocimiento debe abarcartodos estos conceptos y debe ser adecuada para todas las proposiciones alas que estos conceptos se aplicarr'. Una explicacion del conocimiento queparece funcionar para ciertas proposiciones ernpiricas sobre objetos fisicosde tamafio medio, pero que falla a la hora de explicar el conocimiento masteorico, es insatisfactoria; no solo porque sea incompleta, sino porque tam-bien puede ser incorrecta, incluso como una explicacion de las cosas queesta preocupacion, piensan en ellos mismos como si estuvieran en posesion de tal sernantica,al menos para partes dellenguaje filosoficarnente importantes.

3 De hecho, no tendre nada que decir sobre el significado en este articulo. Creo que elconcepto tiene una mala reputacion muy merecida, pero no 10 evito por eso. Trabajos re-cientes, siendo el de Kripke el mas notable, sugieren que 10 que paso por ser el significadodurante mucho tiempo -a saber, el "sentido" fregeano- tiene menos que ver con la verdadde 10 que Frege 0 sus inmediatos seguidores pensaron que tenia. La referencia es 10 que,presumiblemente, esta mas estrechamente conectado con la verdad, y es por esta razon porla que limitare mi atencion a la referencia. Si se concedeque puede darse un cambio dereferencia sin un cambio correspondiente de significado, y que la verdad es una cuestion dereferencia, entonces hablar de significado queda muy lejos del conjunto de problemas quenos ocupan en este articulo. Estos comentarios no pretenden ser argumentos, solo explica-Clones.

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parece abarcar de manera bastante adecuada. Pensar de otro modo seria,entre otras cosas, ignorar la interdependencia de nuestro conocimiento enlas diferentes areas; y de modo similar para las explicaciones de la verdady la referencia. Una teoria de la verdad para el lenguaje en el que habla-mos, argumentamos, teorizamos, matematizamos, etc., debe, de la mismamanera, proporcionar condiciones de verdad similares para enunciados si-milares. Las condiciones de verdad asignadas ados enunciados que conten-gan cuantificadores deberian reflejar de manera significativamente similarla contribuci6n de los cuantificadores. Cualquier distanciamiento de unateoria asf de homogenea tendria que estar fuertemente motivado para poderser digno de consideraci6n. Tal distanciamiento podria manifestarse, porejemplo, en una teoria que proporcione una explicaci6n de la contribucionde los cuantificadores al razonamiento maternatico que sea distinta de lahabitual en el razonamiento cotidiano sobre lap ices, elefantes y vicepresi-dentes. David Hilbert recomend6 tal explicacion en "Sobre el infinito", de10 cual tratare breve mente mas abajo. Despues, intentare decir mas sobreque condiciones esperaria yo que cumpliese una teoria general de la verdadsatisfactoria para nuestro lenguaje, y tambien mas sobre como tal concep-cion ha de combinarse con 10 que considero una explicaci6n adecuada delconocimiento. Baste decir aqui que, aunque a menudo resultara como dopresentar mi anal isis en terrninos de teorias de la verdad maternatica, debe-mos siempre tener en mente que 10que esta en juego es nuestra concepcionfilos6fica global. Arguire que, como concepcion global, es insatisfactoria,no tanto porque carezcamos de una explicacion aparentemente satisfactoriade la verdad maternatica, 0 porque carezcamos de una explicacion aparen-temente satisfactoria del conocimiento rnaternatico, sino porque carecemosde cualquier explicacion que las combine a ambas satisfactoriamente. A lalarga, espero que sea posible proporcionar tal explicacion; espero adernasque este articulo ayudara a lograrlo, poniendo de relieve una mejor com-prension de algunos de los obstaculos que bloquean el camino hacia Sl1consecucion,

I. Dos clases de explicacionConsideren los dos enunciados siguientes:(1) Hay al menos tres ciudades grandes mas antiguas que Nueva York.(2) Hay al menos tres numeros perfectos mayores que 17.

(Tienen la misma forma 16gico-gramatical? Mas especificarnente, (tienenambos la forma

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(3) Hay al menos tres elementos de FG que tienen la relacion R con a.donde 'Hay al menos tres' es un cuantificador nurnerico eliminable delmodo habitual por medio de cuantificadores existenciales, variables e iden-tidad, y donde 'F' y 'G' han de ser reemplazados por predicados rnonadi-cos, 'R' por un predicado diadico, y 'a' por el nombre de un elemento deluniverso de discurso de los cuantificadores? (Cuales son las condiciones deverdad de (1) y (2)? (Son significativamente analogas? Ignorernos tanto lavaguedad de 'grandes' como la de 'mas antiguas que' y las peculiaridadesde las construcciones atributivo-adjetivas que hacen de una ciudad grande,no una ciudad y algo grande, sino mas bien (aunque no exactamente) algoque es grande para ser una ciudad. Dejando de lado esas complicaciones,parece claro que (3) refleja correctamente la forma de (1) y, asi, que (1) seraverdadera si y solo si la cosa nornbrada por la expresion que reemplaza a 'a'('Nueva York') tiene la relacion designada por la expresion que reemplaza a'R' ('CDes mas antigua que @') con al menos tres elementos (del dominio dediscurso de los cuantificadores) que satisfacen los predicados que reempla-zan a 'F' y 'G' ('grande' y 'ciudad', respectivamente). Esto, infiero, es 10 queuna definicion de verdad apropiada nos diria, Y creo que es correcto. Asi, si(1) es verdadera, es porque ciertas ciudades estan en ciertas relaciones conlas dernas, etc

Pero, ~que decir de (2)? c:Podemos usar (3) de la misma manera comomatriz a la hora de explicar con detalle las condiciones de su verdad? Esoparece una pregunta tonta cuya respuesta obvia es: "por supuesto". Contodo, la historia de la materia (la filosofia de la maternatica) ha contem-plado muchas otras respuestas. Algunos (incluido uno de mis yoespasadosy presentes"), reacios a afrontar las consecuencias de combinar 10 que lla-mare una explicacion sernantica "estandar" con una concepcion platonistade la naturaleza de los rnimeros, han temido la suposicion de que los nu-merales sean nornbres y, asi, por irnplicacion, la de que (2) tenga la formade (3). David Hilbert (1926.) eligio una aproximacion distinta, pero igual-mente divergente, en su intento de alcanzar unaexplicacion satisfactoriadel uso de la nocion de infinito en maternatica. Desde cierta perspectiva,Hilbert separa una clase de metodos y enunciados, los de la maternatica"intuitiva", como aquellos que no necesitan mas justificacion, Supongamosque todos ellos sean "finitamente verificables" en algun sentido no especifi-

4 Vcase mi "What Numbers Could Not Be". The Philosophical Review 74 (1965),47-73. [Tarnbien incluido en la cornpilacion de Putnam: y Benacerraf rnencionada en lanota 1. Hay traducci6n castellana de X. Arnavat y F . Rodriguez Consuegra en Mathesis 9(1993),317-343 (T).]

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cado de manera precisa. Hilbert ve los enunciados de la aritrnetica que nocomparten esta propiedad (tipicamente, los que contienen cuantificadores)como instrumentos para pasar de enunciados "reales" 0 "finitamente veri-ficables" a enunciados "reales", en gran medida como un instrumentalistaconsidera las teorfas en las ciencias naturales como una forma de pasar deenunciados observacionales a enunciados observacionales. A estos enun-ciados matematicarnente "reoreticos", Hilbert los denomino "elementosideales", asemejando su introduccion a la de los puntos "en el infinito"de la geometria proyectiva: se introducen como un recurso comedo parahacer mas simple y mas elegante la teoria de las cosas que realmente nosimportan. Si no !levan a contradiccion y si tienen estos otros usos, entoncessu introduccion esta justificada: de ahi la biisqueda de una prueba de con-sistencia para el sistema completo de la aritrnetica de primer orden.Si esta es una explicacion razonable, aunque esquernatica, de la concep-cion de Hilbert, ello indica que no considero por igual, semanticarnente, atodos los enunciados cuantificados. Dar una sernantica para la aritmeticacomo ella concibio seria dificil. Pero, diffcil 0 no, seguro que no tratarfael cuantificador en (2) de la misma manera que en (1). La concepcion deHilbert, bosquejada asi, representa una negacion categorica de que (3) seael modele de acuerdo con el cual se construye (2).

En otras explicaciones de este estilo, las condiciones de verdad para losenunciados de la aritrnetica son proporcionadas a modo de derivabilidadformal a partir de conjuntos de axiomas especificados. Cuando se unieronal deseo de atribuir un valor de verdad a cada enunciado cerrado de la arit-metica, estas concepciones fueron torpedeadas por los teoremas de incom-pletud. Pudieron restaurarse al menos en 1 0 que respecta a la consistenciainterna, bien mediante la Iiberalizacion de 1 0 que cuenta como derivabilidad(p. ej., incluyendo la aplicaci6n de una regia-wen derivaciones permisibles)o bien mediante el abandono del deseo de completud. Llarnare a tales con-cepciones, por carecer de un terrnino mejor y porque casi invariablementeencajan en las caracteristicas sintacticas (combinatorias) de los enunciados,concepciones "combinatorias" de los determinantes de la verdad materna-tica. La idea principal de las concepciones combinatorias es la de asignarvalores de verdad a los enunciados de la aritrnetica sobre la base de ciertoshechos sintacticos (generalmente demostrativistas') sobre ellos. A menudo,

5 Traducimos "proof-theoretic" de este modo por no recurrir a una expresion mas larga,apoyandonos tam bien en su sirnilitud con las traducciones, habitualmente aceptadas, de"set-theoretic" por "conjuntista ", y de "model-theoretic" por "rnodelista " (T).

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la verdad se define como la derivabilidad (formal) a partir de ciertos axio-mas. (Frecuentemente se formula una pretension mucho mas modesta, lade la verdad-en-S, donde S es el sistema particular en cuestion.) De todosmodos, en tales casos esta claro que la verdad no se explica en terrninosde referencia, denotacion 0 satisfaccion. E l predicado "verdad" se definesintacticarnente.

De manera similar, ciertas concepciones de la verdad en la aritrnetica enlas cuales los axiomas de Peano se reivindican como "analiticos" del con-cepto de mimero son tarnbien "combinatorios" en mi sentido del terrnino.Y 1 0 mismo pasa con las explicaciones convencionalistas, pues 1 0 que lasdistingue como convencionalistas es el contraste entre elias y la explicacion"realista" que analiza (2) asimilandolo a (1), VIa (3).Finalmente, haciendo una distincion ulterior, una concepcion no es auto-maticamente "combinatoria" si interpreta que las proposiciones maternati-cas versan sobre asuntos combinatorios, bien sean autorreferenciales, biende otro modo. Pues tal concepcion podria analizar las proposiciones mate-maticas de manera "estandar" en terrninos de los nombres y cuantificadoresque puedan contener y en terrninos de las propiedades que adscriben a losobjetos dentro de sus dominios de discurso ( 1 0 cual es decir que el conceptosubyacente de verdad es esencialmente el de Tarski). La diferencia es quesus defensores, aunque realistas en sus analisis dellenguaje matematico, seseparan de los platonistas construyendo el universo maternatico como for-mado exclusivamente por objetos rnatematicos heterodoxos: la maternaticapara ellos se limita a la metarnatematica, y esta a la sintaxis.

Dejare para secciones posteriores mi valoracion de los meritos relativosde estas diversas aproximaciones a la verdad de enunciados tales como (2).En este punto solo deseo introducir la distincion entre, por una parte, aque-lias concepciones que atribuyen la sintaxis obvia (y la sernantica obvia) alos enunciados de la maternatica, y, por otra, aquellas que, ignorando lasintaxis y la sernantica aparentes, tratan de establecer las condiciones deverdad (0 de especificar y dar cuenta de la distribucion existente de los va-lores de verdad) sobre la base de 1 0 que evidentemente son consideracionessintacticas asernanticas. Por ultimo, argiiire que cada tipo de explicaciontiene sus virtudes y sus defectos: cad a una se dirige hacia un componenteimportante de una explicacion filosofica coherente y global de la verdad ydel conocimiento.

Pero, (que son esos componentes, y como se relacionan entre si?

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II. Dos condiciones

A. EI primer componente de tal concepcion global se interesa mas di-recta mente por el concepto de verdad. Para nuestro prop6sito, 10 podemosenunciar como el requisito de que haya una teoria global de la verdad enterrninos de la cual pueda certificarse que la explicaci6n de la verdad ma-ternatica sea real mente una explicaci6n de la verdad maternatica. La ex-plicaci6n deberia implicar condiciones de verdad para las proposicionesmaternaricas que sean condiciones de su verdad de manera evidente (y nosimplemente, digamos, de su caracter de teorema en algiin sistema formal).Lo que no sup one negar que ser un teorema de algiirr sistema pueda seruna condici6n de verdad para una proposici6n dada 0 una clase de propo-siciones. Supone, mas bien, requerir que cualquier teor ia que ofrezca comocondici6n de verdad el caracter de teorema explique tam bien fa conexi6nentre fa verdad y el caracter de teorema.

Otra manera de expresar este primer requisito es reclamar que cualquierteoria de la verdad maternatica sea conforme a una teoria general de laverdad -una teoria de las teorias de la verdad, si se qui ere- que certifiqueque la propiedad de los enunciados que la explicaci6n llama "verdad" seaverdad realmente. Me parece que esto s610 puede hacerse sobre la basede alguna teoria general que abarque al menos el lenguaje en su conjunto(asumo que eludimos las paradojas de alguna manera apropiada). Tal vez laaplicabilidad de este requisito al caso presente equivalga s610 a la petici6nde que el aparato semantico de la maternatica se yea como parte del apa-rato sernantico del lenguaje natural en que se hace y, asi, de que cualquierexplicaci6n sernantica que seamos proclives a proporcionar de los nombres0, de manera mas general, de los terrninos singulares, predicados y cuantifi-cadores en Ia lengua materna, incluya esas partes de la lengua materna queclasificamos como maternates.

Sugiero que, si hemos de cumplir este requisito, no deberiamos estarsatisfechos con una explicaci6n que fracase al tratar (1) y (2) de manerasimilar, en base al modelo de (3). Puede que haya diferencias, pero esperoque emerjan en el nivel del analisis de Ia referencia de los terrninos singu-lares y los predicados. Considero que s610 tenemos una expJicaci6n de eseestilo: la de Tarski, y que su caracreristica esencial es la de definir la verdaden terrninos de referencia (0 satisfacci6n) sobre la base de un tipo particularde analisis sintactico-sernantico del lenguaje, y asi que cualquier supuestoanalisis genuine de la verdad maternatica debe ser el analisis de un conceptoque sea un concepto de verdad por 10 menos en el sentido de Tarski. Ela-borado de manera apropiada, creo que este requisito es inconsistente con

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todas las explicaciones que he denominado "combinatorias". Por otra par-te, la explicacion que asimila (2) a (1) y (3) cumple obviamente esta condi-cion, como la cumplen muchas variantes de ella.

B. Mi segunda condicion para tal concepcion global presupone queposeemos conocimiento maternatico y que tal conocimiento no es menosconocimiento por ser maternatico. Ya que nuestro conocimiento 1 0 es deverdades, 0 puede ser asi interpretado, una explicacion de la verdad mate-matica, para ser aceptable, debe ser consistente con la posibilidad de poseerconocimiento maternatico: las condiciones de verdad de las proposicionesmaternaticas no pueden hacernos imposible el saber que se satisfacen. Loque no supone sostener que no pueda haber verdades incognoscibles, sinosolo que no todas las verda des pueden ser incognoscibles, pues conocemosalgunas.El requisito minirno, entonces, es que una explicacion satisfactoria de laverdad maternatica debe ser consistente con la posibilidad de que algunasde tales verdades sean cognoscibles. Dicho mas claramente, el conceptode verdad maternatica, tal como 1 0 he explicado, debe encajar en una ex-plicacion global del conocimiento, de manera que haga inteligible comoposeemos el conocimiento maternatico que poseemos. Una sernantica acep-table para la maternatica debe encajar en una epistemologfa aceptable. POl'ejemplo, si se que Cleveland esta entre Nueva York y Chicago, es porqueexiste una cierta relacion entre las condiciones de verdad de ese enunciado ymi actual estado "subjetivo" de creencia (Cualesquiera puedan ser nuestrasexplicaciones de la verdad y el conocimiento, deben conectarse de esta rna-nera.). Similarmente, en maternatica debe ser posible acoplar 1 0 que es parap ser verdadera con mi creencia de que p. Aunque esto es extremadamentevago, pienso que uno puede vel' como la segunda condicion tiende a excluirexplicaciones que satisfacen la primera, y a admitir muchas que no la satis-facen. Pues una explicacion "estandar" tipica (por 1 0 menos en el caso de lateoria de rnimeros 0 de la teoria de conjuntos) representara las condicionesde verdad en terrninos de condiciones respecto a objetos cuya naturaleza,como se concibe normalmente, les sinia mas alla del alcance de los mediosdel conocimiento humano que comprendemos mejor (p. ej., la percepcionsensorial y otros pOl' el estilo). Las explicaciones "cornbinatorias", por otraparte, surgen por 1 0 general del ser sensibles precisamente a este hecho, yestan por tanto casi siempre motivadas por preocupaciones episternologi-cas. Su virtud reside en proporcionar una explicacion de las proposicionesmaternaticas basada en los procedimientos que seguimos al justificar laspretensiones de verdad en rnaternatica: a saber, las demostraciones. No essorprendente que, en el modelo de tales explicaciones de la verdad ma-

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ternatica, haya poco misterio sobre como podemos obtener conocimientomaternatico. Solo necesitamos dar cuenta de nuestra capacidad de produciry examinar demostraciones formales". Sin embargo, estrujar el globo poreste lado 10 hace aparentemente hincharse por el lado de la verdad: cuantomas finamente precis amos el concepto de dernostracion, cuanto mas estre-chamente vinculamos la definicion de dernostracion a caracteristicas com-binatorias (antes que semanticas), mas dificil es conectarlo con la verdad de10 que asf resulta "demostrado", 0 asi al menos parece.

Estos son, entonces, los dos requisitos. Por separado, parecen suficien-temente inocuos. En el resto del articulo los defendere mas detenidamentey desarrollare el argumento de que, conjuntamente, parecen excluir casitodas las explicaciones de la verdad que se han propuesto. Considerate su-cesivamente las dos aproximaciones basicas a la verdad marernatica que hemencionado mas arriba, sopesando sus ventajas relativas a la luz de los dosprincipios fundamentales que propongo. Mientras 10 hago, espero que losprincipios mismos reciban algo de luz y de apoyo.

Ill. La "concepcion estandar"Llamo "concepcion estandar" a la explicacion "platonista" que analiza

(2) como si tuviera la forma de (3). Tiene muchas virtudes, y vale la penaenumerarlas con algun detalle antes de pasar a considerar sus defectos.

Como ya he sefialado, esta explicacion asimila la forma logica de lasproposiciones maternaticas a la de las empiricas, aparentemente similares:tanto las proposiciones maternaticas como las empiricas contienen predica-dos, terrninos singulares, cuantificadores, etc.

Pero, ~que decir de los enunciados que no estan compuestos (0 no soncorrectamente analizables como estando compuestos) de nombres, predi-cados, y cuantificadores? Mas concretamente, ~que decir de los enunciadosque no pertenecen al tipo de lenguaje para el que Tarski nos ha mostradocomo definir la verdad? Yo diria que para tales lenguajes (si hay alguno)necesitamos una explicaci6n de la verdad del tipo que Tarski proporcionopara lenguajes "referenciales". Asumo que las condiciones de verdad paraellenguaje (p. ej., el castellano) al que el maternates parece pertenecer, han

6 Heeha adeeuadamente, esta es por supuesto una tarea enorme. No obstante, deja delado el dar euenta de la earga aearreada por la sernanrica del sistema y por nuestra eom-prensi6n de el, concentrandose en su lugar en nuestra capaeidad de determinar que ciertosobjetos formales poseen eiertas propiedades sintacticamente definidas.

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de ser elaboradas principalmente sobre las bases que serite Tarski. Por tan-to, hasta cierto punto, la cuestion planteada en la seccion previa UComohan de explicarse las condiciones de verdad de (2).?) podria interpretarsecomo preguntando si el sublenguaje del castellano en que se hace maternati-ca ha de analizarse del mismo modo que supongo apropiado para bastantesde las restantes partes del castellano. 5i esto es asi, entonces las dudas que 'esquernatizare en la proxima seccion, concernientes a como encajar el co-nocimiento maternatico en una episternologia global, se aplican claramente,aunque puede que las despejemos mediante una modificacion apropiada dela teoria. Si, par otra parte, el maternates no ha de analizarse sobre basesreferenciales, entonces tendremos claramente Ia necesidad, no solo de unaexplicacion de la verdad (esto es, de una sernantica) para esta nueva clase delenguaje, sino adernas de una nueva teoria de las teorias de la verdad que re-lacione la verdad para los lenguajes referenciales (cuantificacionales) con laverdad para esros nuevos (nuevamente analizados) lenguajes. Dada tal ex-plicacion, la tarea de dar cuenta del conocimiento maternatico estaria aunpendiente; pero serfa presumiblemente una tarea mas facil, ya que la nuevaimagen sernantica del maternates se habria inspirado, en la rnayoria de loscasos, en consideraciones episremologicas, Sin embargo, no considerate se-ria mente esta alternativa en el articulo porque no creo que nadie la hayaescogido realmente nunca. Pues escogerla es considerar y rechazar explici-tamente la interpretacion "estandar" dellenguaje matematico, a pesar de suplausibilidad inicial y superficial, y proporcionar entonces una alternativasernantica como sustituto". Los teoricos "combinatorios" que considero, 0menciono, han pretendido generalmente nadar y guardar la ropa: no se handado cuenta de que las condiciones de verdad para ellenguaje matematico,que su explicacion proparciona, no han estado conectadas con la semanticsreferencial que asumen como tambien apropiada para ese lenguaje. Tal vezel candidato mas cercano a una excepcion sea Hilbert, en la concepcionque esquernatice breve mente en las primer as paginas de este articulo. Peroseguir por esta via aqui nos llevaria demasiado lejos. Volvamos par tanto anuestro elogio de la "concepcion estandar".

Una de sus ventajas principales es que las definiciones de la verdad paralas teorias maternaticas individuales as! interpretadas dispondran de lasmismas clausulas recursivas que las ernpleadas por sus primos empiricosmenos nobles. Dicho de otra manera, todas elias pueden considerarse como

7 A veces pienso que esta es una de las casas que Hilary Putnam quiere hacer en su esti-mulante articulo "Mathematics without foundations", Journal of Philosophy , 6411 (1967):5-22.

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parte del mismo lenguaje para el que suministramos una sola explicacionde los cuantificadores, sin tener en cuenta la subdisciplina en consideracion,Las disciplinas maternaticas y ernpiricas no seran distinguidas en cuantoa la gramatica logica. Ya he recalcado la importancia de esta ventaja: sig-nifica que la teoria logico-gramatical que empleamos en dominios menosreconditos y mas tratables nos servira bien aqui. Podemos arreglarnos conuna explicacion uniforme, y no necesitamos inventar otra para la materna-tica; 1 0 cual deberia ser valido en practicamente cualquier teoria gramaticalequipada con la sernantica necesaria para explicar la verdad. Mi predispo-sicion en pro de 10 que llamo una teoria tarskiana resulta simplemente delhecho de que Tarski nos ha proporcionado la unica explicacion sistematicageneral viable de la verdad que poseemos. Asi, una consecuencia del ahorroque comporta la concepcion estandar es que las relaciones logicas estansujetas a un tratamiento uniforme: son invariantes respecto a la disciplinaen cuestion. De hecho, ayudan a definir el concepto de "disciplina en cues-tion", Podrian usarse las mismas reglas de inferencia y su uso explicarsecon la misma teoria que nos proporciona nuestra explicacion ordinaria dela inferencia, evitando as! un doble estandar, Si rechazamos la concepcionestandar, la inferencia maternatica necesitara una explicacion nueva y espe-cifica. En realidad, los usos estandar de las inferencias cuantificacionales sejustifican mediante algiin tipo de demostracion de validez. La forrnalizacionde teorias en logica de primer orden requiere, para su justificacion, la se-guridad (suministrada por el teorema de cornpletud) de que todas las con-secuencias logicas de los postulados apareceran como teoremas. La expli-cacion estandar proporciona tales garantias. Las respuestas obvias parecenfuncionar. Rechazar la concepcion estandar es descartar tales respuestas:habria que hallar otras nuevas.

Hasta aqui respecto a las virtu des obvias de esta explicacion, ~Cualesson sus defectos?

Como he sugerido mas arriba, el defecto principal de la explicacion es-tandar es que parece violar el requisito de que nuestra explicacion de la ver-dad maternatica sea susceptible de integracion ennuestra explicacion globaldel conocimiento. De manera bastante obvia, para construir un argumentopersuasivo a estos efectos seria necesario esquematizar la epistemologia queconsidero al menos aproximadamente correcta, y sobre cuya base las ver-dades maternaticas, interpretadas de manera estandar, no parecen constituirconocimiento. Esto requeriria dar un largo rodeo a traves de los problemas

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generales de la epistemologia. Lo dejare para otra ocasion, contentando-me aqui con presentar un breve sumario de los aspectos destacados de esaconcepcion que tienen que ver con nuestro problema de manera mas inrne-diata.

IV . E 1 conocimientoSoy partidario de una explicaci6n causal del conocimiento en la que,

para que X sepa que S es verdadero, se requiere que alguna relacion causalse de entre X y los referentes de los nombres, predicados y cuantificadoresde S . Adernas, creo en una teoria causal de la referencia, enlazando as! conmi afirrnacion deliberada de que S es doblemente causal. Espero que 1 0 quesigue disipe parte de la niebla que envuelve a esta forrnulacion.

Para Hermione, saber que el objeto negro que sostiene es una trufa espara ella (0 al menos requiere de ella) estar en un cierto estado (tal vezpsicologico}", Tarnbien requiere de la cooperaci6n del resto del mundo, almenos hasta el punto de permitir que el objeto que sostiene sea una trufa.Adernas -y esta es la parte en la que haria hincapie- en el caso normal, queel objeto que sostiene sea una trufa debe figural', de manera apropiada, enuna explicacion causal de su creencia en que el objeto negro que sujeta esuna trufa. Pero, (que es una "rnanera apropiada"? No tratare de decirlo.Una serie de autores han publicado concepciones que parecen apuntar enesta direccion", y, a pesar de las diferencias entre ellos, parecen compartiruna intuici6n central que creo correcta, aunque muy dificil de concretar.

Lo que diriamos en las siguientes circunstancias es un indicio de quealguna concepcion tal debe set correcta y subyacente a nuestra vision del

S Si fuera posible, me gustaria evitar tomar postura respecto al grupo de problemas defilosofia de la mente 0 de psicologia relativos a la naturaleza de los estados psicol6gicos.Cualquier concepci6n en la que Hermione pueda aprender que el gato esta en el felpudomirando un gate real en un felpudo real servira para mi prop6sito. Si mirar a un gato enun felpudo deja a Hermione en cierto esrado y ustedes desean [Jamar a ese estado un estadofisico, 0 psicol6gico, 0 incluso fisiol6gico, no me opondre siempre que se entienda que talestado, si es un estado de conocimiento, se relaciona causal mente de manera apropiada conque el gato haya estado en el felpudo cuando ella ha rnirado. Si no hay tal estado, entoncestanto peor para mi concepcion.

9 Por citar s610 unos pocos: Gilbert H. Harman, Thought (Princeton N.J: UniversityPress, 1973); Alvin L Goldman, "A Causal Theory of Knowing," The Journal of PhilosophyLXIV, 12 (1967): 357-72; Brian Skyrms, "The Explication of 'X knows that p," ibid., 373-89.

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conocimiento. Se pretende que X sabe que p. Pensamos que X no podriasaber que p . (Que razones podemos ofrecer en apoyo de nuestra concep-cion? Si nos satisface que X tenga poderes deductivos normales, que p seade hecho verdadera, etc., dependemos a menudo de argiiir que X no podriahaber !legado a poseer las evidencias 0 razones relevantes: que el gusa-no espacio-temporal cuatridimensional de X no hace el contacto necesario(causal), conel fundamento de la verdad de la proposicion, para que Xeste en posesion de la evidencia adecuada para apoyar la inferencia (si lainferencia era relevante). La proposicion p pone restricciones a como puedeser el mundo. Nuestro conocimiento del mundo, combinado con nuestracornprension de las restricciones puestas por p , dadas por las condicionesde verdad de p, nos dira a menu do que un individuo dado no podria haberllegado a poseer la evidencia suficiente para !legar a conocer p , y asi nega-remos SL 1 pretension de conocimiento.

Como explicacion de nuestro conocimiento presente sobre objetos detarnafio medio, esta descansa sobre buena base. Involucrara, causalmente,alguna referencia directa a los hechos conocidos, y, a traves de ella, una re-ferencia a los objetos mismos. Adernas, tal conocimiento (de casas, arboles,trufas, perros y paneras) representa el caso mas claro y mas facil de tratar.

Otros casos de conocimiento pueden explicarse como estando basadosen inferencias sobre casos similares, aunque evidentemente debe haber in-terdependencias. Lo que se supone incluye nuestro conocimiento de las le-yes generales y las teorias, y, a traves de ellas, nuestro conocimiento delfuturo y de bastante del pasado, Esta explicacion sigue de cerca la Iineaspropuestas por los empiristas, pero con la modificacion crucial introducidapor la condicion explicitarnente causal mencionada mas arriba, aunque amenudo excluida de las explicaciones modernas, en gran medida a causade los intentos de trazar una distincion cuidadosa entre "descubrimiento"y "justificacion".

En suma, en conjuncion con nuestro otro conocimiento, usamos p paradeterminar la gama de posible evidencia relevante. Usamos 1 0 que sabemosde X (el supuesto sujeto cognoscente) para determinar si podria haber habi-do un tipo apropiado de interaccion, si la creencia actual de X de que p serelaciona causalmente de manera apropiada con 1 0 que es el caso porque pes verdadera, si su evidencia se traza a partir de la gama definida por p. Sino, entonces X no podria saber que p . La conexion entre 1 0 que debe ser elcaso si p es verdadera y las causas de la creencia de X pueden variar mucho.Pero siempre hay alguna conexion, y la conexi on relaciona los fundamentosde la creencia de X con el contenido de p .

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Debe ser posible establecer un tipo apropiado de conexion entre las con-diciones de verdad de p (como proporcionadas por una definicion de verdadadecuada para ellenguaje en el que p se expresa) y el fundamento en baseal cual se dice que se conoce P J al menos para proposiciones que uno debelIegar a conocer; que no son innatas. En ausencia de esto, ninguna conexionse ha establecido entre tener ese fundamento y creer una proposici6n quees verdadera. Tener ese fundamento no puede encajarse en una explicacionde saber que p. El nexo entre pyla justificacion de una creencia en p enbase a ese fundamento no puede establecerse. Pero para ese conocimiento,que propiamente se considera como alguna forma de creencia verdaderajustificada, el nexo debe establecerse (por supuesto no todo conocimientonecesita ser creencia verdadera justificada en caso de ser valido).

No resultara sorprendente que esto haya sido un prearnbulo para sefialarque combinar esta concepcion del conocimiento con la concepcion "estan-dar" de la verdad maternatica hace dificil ver como es posible el conoci-miento maternatico. Si, por ejemplo, los numeros son el tipo de entidad quenormal mente se considera que son, entonces la conexion entre las condicio-nes de verdad para los enunciados de la teoria de numeros y cualesquieraacaecimientos relevantes, conectados con quienes se supone que poseen co-nocimiento rnatematico, no puede precisarse". Sera pues imposible expli-car como alguien conoce alguna proposicion propiamente numerista 11. Estasegunda condicion respecto de la explicacion de la verdad maternatica nose satisfara, porque no disponemos de una explicacion de como sabemosque las condiciones de verdad para las proposiciones maternaticas se dan.Una respuesta obvia -que algunas de tales proposiciones son verdaderas si ysolo si son derivables de ciertos axiomas mediante ciertas reglas- no serviraaqui, Pues para estar seguros podemos determinar que aquellas condicionesse dan. Pero en tal caso, de 1 0 que carecemos es del vinculo entre verdad ydemostracion, cuando la verdad se define directamente del modo estandar,En resumen, aunque puede ser una condicion de verdad de ciertas proposi-ciones numeristas que sean derivables a partir de ciertos axiomas medianteciertas reglas, queello sea una condicion de verdad debe tam bien seguirsede la explicacion de la uerdad, si la condicion mencionada ha de ayudar aconectar la verdad y el conocimiento, si es por sus demostraciones por 1 0que conocemos las verdades matematicas,

10 Para una expresi6n de sano escepticismo relativo a este y otros puntos relacionados,vease Mark Steiner, "Platonism and the Causal Theory of Knowledge," The Journal of Phi-losophy LXX, 3 (Feb. 8, 1973): 57-66.

11 En la linea de la nota 5, traducimos "number-theoretical" por "numerista " (T).

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Por supuesto, cladas algunas explicaciones conjuntistas de la aritrneti-ca, tanto la sin taxis como la sernantica de la aritmetica pueden disponersepara cumplir superficialmente las condiciones que hemos establecido. Peroel regreso a que invita esto es transparente, pues entonces las mismas pre-guntas deben hacerse sobre la teoria de conjuntos en terrninos de la cuallasrespuestas se expresen.

V. Dos ejemplosHay muchas explicaciones de la verdad materna tic a y del conocimiento

maternatico. Las tesis que he estado defendiendo tienen la finalidad de seraplicables a todas. Sin embargo, mas que intentar ser exhaustivo, dedicateestas iiltimas paginas a examinar dos casos representativos: la concepcion"estandar" y la concepcion "combinatoria". Veamos primero la estandar,expresada por uno de sus defensores mas explicitos y hicidos, Kurt Codel,

Godel es plenamente consciente de que, en una explicacion realista (estoes, estandar) de la verdad maternatica, nuestra explicacion de como conoce-mos los postulados basicos debe estar apropiadamente conectada con nues-tra interpretacion del aparato referencial de la teoria. Asi, al discutir comopodemos resolver el problema del continuo, una vez se ha mostrado que esindecidible por los axiomas aceptados, presenta el siguiente panorama:

.. .1os objetos de la teoria de conjuntos transfinita ... esta claro que no pertenecen almundo fisico e incluso que su conexi on indirecta con la experiencia fisica es muyremota ... Pero, a pesar de su lejania de la experiencia sensible, tenemos algo parecidoa una percepcion de los objetos de la teoria de conjuntos, como se puede ver por elhecho de que los axiomas mismos nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. No veoninguna razon por la cual debamos tener menos confianza en este tipo de percepcion,es decir, en la intuici6n maternatica, que en la percepcion sensible, que nos induce aconstruir teorias fisicas y a esperar que futuras percepciones sensibles concuerden conellas y, adernas, a creer que cuestiones no decidibles par el momento tengan significadoy puedan ser decididas en el futuro",

Encuentro este panorama tan alentador como problernatico. Lo queencuentro problernatico es que sin una explicacion de como los axiomasmismos "nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos" Ia analogfa con la per-cepcion sensorial y la ciencia fisica no tiene mucho contenido. Pues 1 0 quefalta es precisamente 1 0 que exige mi segundo principio: una explicacion

12 GODEL, K., Gbras campletas. Traduccion de Jesus Mosterin, Alianza, Madrid, 1981,p. 359 (T).

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del nexo entre nuestras facultades cognoscitivas y los objetos conocidos. Enla ciencia fisica disponemos al menos de un principio de tal explicaci6n, yes causal. Aceptamos como conocimiento s610 las creencias que podemosrelacionar adecuadamente con nuestras facultades cognoscitivas. De formabastante adecuada, nuestra concepci6n del conocimiento va de la rna nocon nuestra concepci6n de nosotros mismos como sujetos cognoscentes.Por asegurarnos, existe una analogia superficial. Pues, como sefiala Godel,"verificamos" ciertos axiomas deduciendo de ellos consecuencias acerca deareas donde parece que tenemos una "percepcion" mas directa (esto es,intuicionesclaras). Pero nunca se nos dice ni siquiera como conocemosestas proposiciones mas claras. Por ejemplo, las consecuencias verificablesde los axiomas de infinitud son proposiciones numeristas (de otro modoindecidibles) que en sf mismas son "verificables" mediante el calculo hastacualquier entero dado. Pero esta historia, para sernos de ayuda en cual-quier lugar, debe decirnos como conocemos los enunciados de la aritrneticacomputacional, si estos significan lo que fa concepci6n estdndar querria quesignificaran. Pero esto no se nos dice. Por tanto, en el mejor de los casos laanalogfa es superficial.

Hasta aqui sobre los aspectos problernaticos. Mas importante tal vez,y 10 que encuentro alentador, es el acuerdo basico evidente que motiva elintento de Codel de trazar un paralelismo entre maternatica y ciencia em-pirica. El ve, pienso yo, que debe decirse algo para tender un puente sobreel abismo, creado por su interpretacion realista y platonica de las propo-siciones maternaticas, entre las entidades que constituyen el objeto de lamaternatica y el sujeto cognoscente humano. En vez de jugar con la formalogica de las proposiciones matematicas, 0 con la naturaleza de los objetosconocidos, Codel postula una facultad especial mediante la cual "interac-cionamos" con esos objetos. Parece que estamos de acuerdo en el analisisdel problema fundamental, pero estamos claramente en desacuerdo sobre lacuestion epistemologica, esto es, sobre que avenidas tenemos abiertas parapoder llegar a conocer las cosas.

Si nuestra explicacion del conocimiento ernpirico es aceptable, debe ser-Io en parte porque trata de hacer evidente la conexion en el caso de nues-tro conocimiento teorico, donde no esta claro prima facie como se ha decompletar la explicaci6n causal. Asi, cuando llegamos a la maternatica, laausencia de una explicacion coherente de como se conecta nuestra intuicionmaternatica con la verdad de las proposiciones marematicas hace insatisfac-toria la explicacion global.

Por introducir una nota historica especulativa, con algun fundamento enlos textos, no seria irrazonable suponer que Platen recurrio al concepto de

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anamnesis al menos en parte para explicar como, dada la naturaleza de lasformas tal como elias describio, podriamos tener conocimiento de ellas 13.

La concepcion "combinatoria" de la verdad maternatica tiene raicesepisternologicas-Cornienza con la proposicion de que, aparte de 10 que los"objetos" de 1a maternatica puedan ser, nuestro conocimiento se obtienede las demostraciones. Las demostraciones son 0pueden ser (para algunas,deben ser) escritas 0 habladas; los maternaticos pueden examinarlas y lle-gar a1 acuerdo de que son demostraciones. EI conocimiento maternatico seobtiene y se transmite en gran medida mediante esas demostraciones. Ensuma, este aspecto del conocimiento maternatico, sus medios de producciony transrnision (esencialmente linguisticos), da su impulso a la clase de con-cepciones que llamo "combinatorias".

Al fijarse en el rol de las demostraciones en la produccion del conoci-miento, buscan el fundamento de la verdad en las demostraciones mismas.Las concepciones combinatorias reciben un impulso adicional al tomarconciencia de que el platonico arroja un halo de misterio sobre como puedeobtenerse, en absoluto, el conocimiento. Afiadarnos esa toma de concienciaala creencia de que la maternatica es una criatura engendrada por nosotros(para tales concepciones el descubrimiento maternatico es rara vez el des-cubrimiento de una realidad independiente), y no es sorprendente que unobusque actos de concepcion para explicar el parto. Muchas explicacionesde la verdad maternatica caen bajo esta nibrica, quiza casi todas. He men-cionado ya varias veces de pasada la concepcion de Hilbert en "Sobre elinfinito" y la he discutido muy brevemente.

EI ejemplo final que quisiera considerar es el de las explicaciones con-vencionalistas, el conjunto de concepciones segun las cuales las verdades dela logica y la rnaternatica son verdaderas (0 pueden hacerse verdaderas) envirtud de convenciones explicitas, donde las convenciones en cuestion sonhabitualmente los postulados de la teoria. Una vez mas, probablemente sereinjusto con elIas al agrupar todo un conjunto de concepciones que a susdefensores casi ciertamente les gustaria mantener separadas.

Quine, en su articulo clasico sabre este terna!", ha considerado de ma-nera clara, convincente y decisiva la concepcion de que las verda des de lalogica han de explicarse como producto de convenciones, y 10 ha hecho

13 "El alma, pues, siendo inmortal y habiendo nacido muchas veces, y visto efectivamentetodas las cosas, tanto las de aqui como las del Hades, no hay nada que no haya aprendido".PLATON, Menon, 81. [Trad. de F . J . Olivieri, Planeta de Agostini, Madrid, 1997 (T).]

14 W. V. Quine, "Truth by Convention," en Benacerraf, P. y Putnam, H., Philosophy ofMathematics (Englewood Cliffs, N.: Prentice-Hall, 1964).

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mucho mejor de 1 0 que yo podria esperar hacerlo aqui. Sefialo que, comodebemos dar cuenta de un mimero infinito de verdades, la caracterizaci6nde los enunciados elegibles como verdades debe ser al por mayor mas que aldetalle. Pero la caracterizacion al por mayor solo puede proceder medianteprincipios generales; y, si se sup one que no comprendemos ninguna logicaen absoluto, no podemos extraer los ejemplos individuales de los principiosgenerales: necesitariarnos de la logica para semejante tarea.

A pesar de 1 0 persuasivo que pueda ser esto, me gustaria aiiadir otroargumento, no porque crea que este caballo muerto necesite mas palos,sino porque el argumento de Quine se limita al caso de la logica y porqueno hace que los puntos principales que quisiera resaltar emerjan suficiente-mente. De hecho, Quine concede al convencionalista ciertos principios queme gustaria negar. Al conduir su alegato contra el convencionalismo acercade la necesidad de una caracterizacion al por mayor de infinitas verdades,Quine concede que, si hubiera que contar solo con un mirnero finito deverdades, el convencionalista podria tener ocasion de defender su postura.Dice:

Si se pudieran hacer asignaciones de verdad una a una, en vez de un numero infinitoa la vez, la dificultad anterior desaparecerfa; las verdades de la 16gica ... se afirrnarianindividualmente por decreto, y el problema de inferirlas de convenciones mas generalesno se plantearfa.

As!, si se pudiera hallar algiin modo de hacer que los enunciados de la logicallevaran sus valores de verdad en la manga, las objeciones a la explicacionconvencionalista de la verdad desaparecerian, pues habrfamos determinadovalores de verdad para todos los enunciados, que es todo 1 0 que podriamospedir.

Me pregunto, sin embargo, que lograria semejante pizca de la palabra"verdad". Para determinar un concepto de verdad, seguro que no puedebastar el asignar valores a todos y cada uno de los enunciados dellenguaje[supongan que el lenguaje es la teoria de conjuntos, en alguna formaliza-cion de primer orden] (permitamos a los que tengan un mimero par deherraduras ser "verdaderos").

~Que haria de tal asignacion del predicado 'verdad' ser la determina-cion del concepto de verdad? (Simplemente el uso de tal palabra? Tarskiha sugerido que satisfacer la Convencion T es una coridicion necesaria ysuficiente de una definicion de verdad para un lenguaje particular-". Una

15 TARSKI, A., "The concept of Truth in Formalized Languages," reimpreso en Tarski1956 [Logic, semantics, metamathematics, Oxford: Clarendon. (T.)]. La Convenci6n T seenuncia en las pp. 187-88 como sigue:

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mera distribucion (recursiva) de valores de verdad puede reconvertirse enuna teoria de la verdad que satisfaga la convencion T. Podemos apoyarnosen ello con tal de que estemos listos para una peticion de principio en 1 0 quecreo esencial, y para ignorar el concepto de traduccion que tiene lugar ensu forrnulacion (la de la convencion T). Lo que faltaria, dificil como es deenunciar, es el aparato teorico empleado por Tarski al proporcionar defini-ciones de verdad, esto es, el analisis de la verdad en terrninos de los concep-tos "referenciales" de nombrar, predicacion, satisfaccion y cuantificacion.Una definicion que no proceda mediante las clausulas recursivas habitualespara las formas gramaticales habituales puede no ser adecuada, incluso sisatisface la convencion T. La explicacion debe proceder mediante la referen-cia y la satisfaccion; adernas, debe complementarse con una explicacion dela referencia misma. Pero la defensa de esta ultima pretension es un asuntodemasiado complicado como para tratarlo aqui".

Al Quine de "Truth by Convention" le parecio que determinar los valo-res de verdad de todos los contextos que contiene una palabra basta paradeterminar su referencia. Esto podria ser asi, si ya tuvierarnos el conceptode verdad y localizada Ia referencia del terrnino que nos interesara mediantela definicion de verdad. Pero parece haber algo evidentemente erroneo altratar de fijar el concepto de verdad mismo de este modo. Al hacerlo, echa-mos a perder la misma muleta que nos permite que ese metodo funcionepara otros conceptos. La verdad y la referencia van de la mano. Nuestroconcepto de verdad, en la medida en que disponemos de uno, transcurre atraves de Ia rnediacion de los conceptos que Tarski ha usa do para definirlopara la clase de lenguajes considerados; la esencia de la contribucion deTarski va mucho mas alia de la convencion T, pero incluye los esquemaspara la definicion real tarnbien: un analisis de la verdad para un lenguajeque no procediera a traves de los mecanismos uuales de predicacion, cuan-tificacion, etc., no deberia satisfacernos.

"CONVENCION T. Una definicion formalmente correcta del simbolo 'Tr', formuladaen el metalenguaje, sera llamada una definicion adecuada de verdad si tiene las siguientesconsecuencias:

(a) todos los enunciados que se obtengan a partir de la expresion 'x ETr si y solo si p 'sustituyendo el simbolo 'x' por un nombre estructural-descriptivo de cualquier enunciadodel lenguaje en cuestion, y el simbolo 'p' por la expresion que constituye la traducci6n deeste enunciado al metalenguaje;

(b) el enunciado 'para cualquier x, si E Tr, entonces xES' (en otras palabras, 'Tr ::JS'). "

16 Para una presentacion excelente de una concepcion similar, vease Hartry Field,"Tarski's Theory of Truth", The Journal of Philosophy, LXIX, 13 (1972), 347-348.

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Si esto esta a la altura de las circunstancias, entonces deberia quedarclaro porque las concepciones "combinatorias" de la naturaleza de la ver-dad marematica fracasan segun mi explicacion, Tales concepciones evitan1 0 que me parece ser la ruta necesaria hacia una explicacion de la verdad:a traves del contenido de las proposiciones cuya verdad se esta definiendo.Motivadas por consideraciones episternologicas, las concepciones "cornbi-natorias" nos ofrecen condiciones de verdad cuya satisfaccion 0 no satis-faccion pueden determinar los simples mortales, pero el precio que paganes su incapacidad para conectar esas llamadas "condiciones de verdad" conla verdad de las proposiciones para las cuales son condiciones.

Incluso si se concede que las verdades de la logica de primer orden noresultan de convenciones, se podria pretender que el resto de la matematica(la teoria de conjuntos, para los logicistas; la teoria de conjuntos, la teoriade mimeros, y otras cosas para los no logicistas) consiste en convencio-nes formalizadas en logica de primer orden. Esta concepcion tarnbien estasujeta a la objecion de que tal concepto de convencion no necesita llevarconsigo ieuerdad'", De hecho, esta claro que no. Pues, incluso ignorandoobjeciones mas generales, una vez la logica se fija, se hace posible que lasconvenciones asi estipuladas resulten ser inconsistentes. De ahi que no sepueda sostener que establecer las convenciones garantice la verdad. Pero siello no garantiza la verdad, ique distingue los casos en que la asegura deaquellos en los que no? La respuesta no puede ser la consistencia. Abogarpor ella como tal es malinterpretar la significaci on del hecho de que la in-consistencia es una prueba de que la verdad no se ha logrado. Una vez mas,la razon mas profunda es que la estipulacion postulacional no estableceninguna conexion entre las proposiciones y aquello de 1 0 que tratan; laestipulacion no asegura la verdad. En el mejor de los casos, limita la clasede definiciones de verdad (interpretaciones) consistentes con las estipulacio-nes. Pero eso no es suficiente.

Por aclarar el asunto, consideren el dicho tan citado de Russell: "El me-todo de 'postular' 1 0 que necesitamos tiene muchas ventajas; las mismas que

1 7 Argumentos identicos podran aplicarse a la concepcion, tal vez indistinguible de esra,de que los postulados constituyen definiciones implicitas de conceptos existentes (como opu-esta a estipular como han de entenderse los nuevos), si ello se propone para explicar comosabemos que los axiornas son verdaderos (aprendimos ellenguaje aprendiendo esos postu-lados).

1& RUSSELL, B., Introduction to Mathematical Philosophy. Londres: Allen & Unwin,1919, p. 71.

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tiene el hurto respecto al trabajo honrado"." En la concepci6n que pro-pongo eso es falso. Pues con el hurto al menos te llevas el botin, mientrasque la definici6n implicita, la postulaci6n convencional, y sus primos, sonincapaces de llevar a la verdad. No s610 son rnoralmente deficientes, sinoque tam bien 10 son en la practica.

[Traducci6n: Pere-Blai Fornes Ferrer y Francisco Santonja G6mez.Revisi6n y redacci6n final: Francisco Rodriguez Consuegra.]

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Benacerraf. P. La Verdad Matemática

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