Beamer k 18

TALLER DE NIVELACION LIBERIA 2014

17 de febrero de 2014

Inecuaciones

TALLER DE NIVELACION LIBERIA 201417 de febrero de 2014 1 / 14

INTERVALOS

def.Se les llama intervalos a ciertos conjuntos que satisfacen ciertasdesigualdades.Se tienen tres tipos de intervalos: los abiertos, cerrados y semiabiertos.

Intervalos abiertos:Son de la forma ]a, b[ donde a, b ∈ R. Esteintervalo esta compuesto por todos los numeros reales comprendidos

entre a y b sin contenerlos a ellos.


INTERVALOS

Intervalos cerrados: [a,b], a, b ∈ R. Este tipo de intervalo contienetodos los numeros reales comprendidos entre a y b incluyendo a estos.

Intervalos semicerrados:

1 [a, b[ contiene a todos los numeros reales que estan comprendidosentre a y b, incluye a a pero no a b.

2 ]a, b] contiene a todos los numeros reales que estan comprendidosentre a y b, incluye b a pero no a a.


INECUACIONES LINEALES

def. Una inecuacion en una variable real x es la comparacion de dosexpresiones algebraicas en la variable x por medio de los sımbolos≤,≥, <,>Ejemplos:

1 x− 4 > 6

2 2x + 3 ≤ 8− 9x


SOLUCIONES

El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto que contiene atodos los elementos que satisfacen la desigualdad dada. En el caso delas inecuaciones, el conjunto solucion sera expresado como un intervalo.Tomemos por ejemplo la inecuacion x− 4 > 6:

x− 4 > 6⇔ x− 4 + 4 > 6 + 4⇔ x > 10

El conjunto solucion esta compuesto en este caso por todos los numerosreales mayores estrictos a 10.

∴ S =]10,+∞[


Resolvamos mas inecuaciones lineales

1 3x− 5 > 16

2 −2− 3x > 2

3 5x + 6 < 8

41

4x + 3 6

1

5x− 2

5 x + 3 < 5x− 4(x− 2)

6 2x(6x− 5) < (3x + 1)(4x− 2)

7 −3 >3x + 5

4


INECUACIONES DE LA FORMA a < b < c

En ocasiones se nos pueden presentar inecuaciones que tengan la formaa < b < c, donde a, b o c corresponden a expresiones algebraicas. Haydos maneras en las que podemos resolver este tipo de inecuacion,veamos la primera con el siguiente ejemplo:

48 < 2x + 15x 6 3

48 < 115 x 6 3

240 < 11x 6 1524011 < x 6 15

11

En este caso tenemos dos intervalos: 24011 < x del que obtenemos

]24011 ,+∞[ y x 6 1511 del que obtenemos ]−∞, 1511 ]. Haciendo la

interseccion de ambos intervalos obtenemos que la solucion de lainecuacion es vacıa, o sea S = ∅


La segunda manera de abordar estas inecuaciones es sencillamenteseparandolas como dos inecuaciones, obtener los conjuntos solucion decada una y luego intersecarlos para obtener un conjunto solucion global.

48 < 2x + 15x 2x + 1

5x 6 348 < 11

5 x115 x 6 3

240 < 11x 11x 6 1524011 < x x 6 15

11

De igual manera obtenemos dos intervalos, ]24011 ,+∞[ y ]−∞, 1511 ], alintersecarlos obtenemos que la solucion de la inecuacion es vacıa.


Realicemos mas ejemplos...

1 3 < 3x− 5 < 7

2 2 > −3− 3x > 7

3 5 6 2x− 3 < 13

4 19 > 4− 3x > 10

5 8 > 2− x > 6

6 11 > 3x− 5 > 2


INECUACIONES CUADRATICAS

Para resolver inecuaciones cuadraticas debemos factorizar el polinomiodado con alguno de los metodos ya conocidos. Lo nuevo que vamos aencontrar en el proceso es que vamos a necesitar de una tabla de signospara estudiar las soluciones. Ejemplo:

x2 − x− 6⇔ (x− 3)(x + 2) < 0Ahora construimos una tabla de signos para estudiar las soluciones:


Ejercicios

1 y2 + 16y − 36 > 0

2 x2 − 8x− 9 < 0

3 a2 + 6a + 6 6 40

4 z2 − 24z > −144

5 (3z − 4)2 < 5


INECUACIONES DE GRADO MAYOR A 2

Para resolver este tipo de inecuaciones debemos factorizar el polinomiodado por medio de alguno de los metodos de factorizacion yaestudiados. Veamos el siguiente ejemplo:

x3 + x2 − 2x > 0⇔ x(x + 2)(x− 1) > 0

Una vez mas construimos una tabla de signos para estudiar lassoluciones de la inecuacion:


Ejercicios:

1 2x3 < −2x− x2 − 1

2 x4 − 1 > −x4 + 1

3 x4 − 6x2 + 5 < 0

4 (2x2 + 1)2 − (x2 − 3)2 6 80


A¡A practicar!


Beamer k 18

Documents

Transcript of Beamer k 18