BCC402 Algoritmos e Programação Avançada Prof. Marco Antonio M. Carvalho Prof. Túlio Toffolo 2012/1

¡  Definições  e  Estruturas  de  Grafos  ¡  Representações;  ¡  Percursos  

§  Busca  em  Largura;  §  Busca  em  Profundidade.  

¡  Aplicações;  ¡  Grafos  Especiais;  ¡  Códigos.  

¡  Veremos  estruturas  e  algoritmos  relacionados  a  grafos  §  Os  códigos  serão  fornecidos.  

¡  No  entanto,  somente  conhecer  as  estruturas  e  algoritmos  não  são  suficientes  §  É  necessário  praticar  a  utilização  dos  mesmos;  §  Conhecer  minimamente  a  implementação  também  é  desejável.  

¡  Teoria  dos  grafos  no  ICPC  §  Mínimo  de  1  problema;  §  Normalmente  2;  §  Máximo  de  3.  

¡  É  necessário  dominar  as  soluções  para  os  problemas  clássicos  §  Pequenas  variações  com  programação  dinâmica  e  algoritmos  gulosos.  

¡  Fazem  toda  a  diferença  em  uma  competição  §  Resolver  3  problemas  podem  colocar  o  time  no  top  10.  

¡  Grafos  são  estruturas  de  dados  muito  importantes  e  recorrentes    §  Representam  arbitrárias  relações  entre  elementos.  

¡  O  primeiro  registro  de  uso  data  de  1736,  por  Euler  §  O  problema  era  encontrar  um  caminho  circular  por  Königsberg  (atual  Kaliningrado)  usando  cada  uma  das  pontes  sobre  o  rio  Pregel  (ou  Pregolya,  Pregola)  exatamente  uma  vez.  

1

3

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•  Infelizmente (?), este problema não tem solução; •  Por outro lado, a teoria de grafos foi desenvolvida.

¡  Grafos  podem  ser  utilizados  para  modelar:  § Malhas  viárias;  §  Dutos  (oleodutos,  gasodutos,  etc.);  §  Circuitos  eletrônicos;  §  Redes  (elétricas,  de  computadores,  etc.);  §  Programas;  §  Interações  humanas;  §  Enfim,  inúmeras  situações.  

¡  Um  grafo  G  é  um  par  G=(V,  E)  consistindo  de  um  conjunto  não  vazio  V  e  um  conjunto  E  de  pares  de  elementos  contidos  em  V  §  Os  elementos  de  V  são  os  vértices  ou  nós;  §  Os  elementos  de  E  são  as  arestas  entre  vértices,  e  podem  ter  

pesos,  ou  valores  associados.  

1

3

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Vértice

Aresta

¡  Se  existe  uma  aresta  e  entre  os  vértices  u  e  v  §  Usamos  a  notação  e  =  (u,  v);  §  Os  vértices  são  ditos  vizinhos  ou  adjacentes;  §  A  aresta  e  é  dita  incidente  a  u  e  v;  

¡  O  grau  de  um  vértice  u,  denotado  por  d(u),  é  o  número  de  arestas  incidentes  a  u.  

¡  Se  em  e  =(u,  v),  u  e  v  são  o  mesmo  vértice,  a  aresta  e  é  um  laço  ou  loop;  

¡  Em  alguns  casos,  entre  o  mesmo  par  de  vértices  pode  haver  mais  de  uma  aresta.  Neste  caso,  elas  são  paralelas  ou  múltiplas.  

1

2

3

1

2 3

4

¡  Um  grafo  sem  arestas  múltiplas,  ou  loops  é  dito  simples;  

¡  Um  grafo  com  este  tipo  de  arestas  é  dito  não  simples  §  Pode  ser  utilizado  para  representar  situações  em  que  dois  elementos  são  ligados  por  mais  que  um  meio  ▪  Diferentes  estradas  entre  duas  cidades;  ▪  Ou  diferentes  dutos  entre  dois  pontos.  

¡  Algoritmos  diferenciados  para  percurso  em  cada  um  dos  tipos  de  grafos.  

¡  Em  um  grafo  orientado,  ou  dígrafo,  as  arestas  possuem  uma  orientação  definida  §  O  termo  arco  também  é  utilizado  para  se  referir  a  este  tipo  de  aresta;  

§  Ao  invés  de  denotarmos  e=(u,  v),  denotamos  e=uv  indicando  os  vértices  inicial  e  final;  

1

2 3

45

¡  Grafos  direcionados  podem  ser  utilizados  para  modelar  ruas  de  cidades,  pois  (geralmente)  são  de  mão  única;  

¡  Em  um  grafo  não  orientado,  as  arestas  podem  ser  consideradas  em  qualquer  direção  §  Por  exemplo,  modelam  estradas,  que  usualmente  são  de  mão  dupla;  

¡  Grafos  nos  quais  as  arestas  possuem  valores  ou  pesos  são  chamados  grafos  ponderados  §  Representam  situações  em  que  haja  distância,  tempo,  fluxo  ou  

capacidade.  

Ouro Preto

Belo Horizonte

115

Mariana

18

Congonhas55

6892

157

¡  A  noção  de  valores  em  arestas  introduz  o  conceito  de  menor  caminho  entre  vértices  §  Para  grafos  não  ponderados,  o  menor  caminho  é  aquele  com  menos  arestas,  uma  vez  que  todas  têm  o  mesmo  peso  (considerado  unitário);  

§  Para  grafos  ponderados,  algoritmos  mais  elaborados  são  necessários,  uma  vez  que  há  diversas  combinações  de  arestas  com  pesos  diferentes.  

¡  Um  caminho  em  um  grafo  é  uma  sequência  de  vértices  conectados  entre  si,  formando  um  percurso  em  um  grafo.  §  O  caminho  é  delimitado  por  um  vértice  inicial  e  um  vértice  final;  §  Em  um  caminho  simples,  cada  vértice  aparece  uma  única  vez;  §  O  comprimento  de  um  caminho  é  a  sua  quantidade  de  vértices.  

1

2 3

4

5

•  Este exemplo de caminho é denotado por 1→2→4→3→5

Vértice Inicial

Vértice Final

¡  Um  ciclo  ou  circuito  é  um  caminho  em  que  o  vértice  inicial  também  é  o  vértice  final  §  A  escolha  do  vértice  inicial  é  arbitrária.  §  Um  grafo  com  ciclos  é  chamado  cíclico;  

1

2 3

4

5

•  Este exemplo de ciclo pode ser denotado por 1→2→4→3→5→1.

¡  Duas  formas  padrão  § Matriz  de  adjacências  ▪  Indicada  para  grafos  com  muitas  arestas.  

§  Lista  de  adjacências  ▪  Indicada  para  grafos  com  poucas  arestas.  

¡  Consiste  em  uma  matriz  |V|×|V|  em  que  a  posição  i  representa  o  vértice  i;  

¡  Caso  exista  uma  adjacência  entre  os  vértices  i  e  j  a  posição  i,j  na  matriz  tem  o  valor  1,  caso  contrário  tem  o  valor  0  §  Em  grafos  orientados,  apenas  as  arestas  de  saída  são  representadas;  

§  No  caso  de  grafos  ponderados,  o  valor  1  pode  ser  substituído  pelo  peso  da  aresta.  

1

4 5

3

2

1

4 5

3

2

1 2 3 4 5 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 1 1 3 0 1 0 0 1 4 1 1 0 0 1 5 0 1 1 1 0

1 2 3 4 5 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 0 0 1 4 0 1 0 0 0 5 0 0 0 1 0

¡  Consiste  em  um  vetor  de  |V|  listas.  Em  cada  posição  i,  há  uma  lista  onde  cada  elemento  é  um  vértice  adjacente  ao  vértice  i;  §  No  caso  de  grafos  não  orientados,  as  adjacências  são  armazenadas  em  ambos  os  vértices  de  incidência;  

§  Em  grafos  dirigidos,  apenas  as  arestas  de  saída  são  armazenadas.  

§  Em  casos  de  grafos  ponderados,  pode  ser  criado  um  campo  em  cada  elemento  da  lista  para  armazenar  o  valor.  

1

4 5

3

2

1

4 5

3

2

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

2 4 NULL

3 5 NULL

5 NULL

2 NULL

4 NULL

2 4 NULL

1 5 3 4 NULL

2 5 NULL

2 5 1 NULL

4 3 2 NULL

¡  O  maior  problema  das  listas  de  adjacências  é  determinar  a  existência  de  uma  aresta  §  Na  verdade,  gerenciar  as  listas  é  uma  complicação,  mesmo  para  grafos  pequenos.  

¡  O  ideal  seria  utilizar  uma  estrutura  de  fila  e  uma  tabela  hash  para  mapear  as  adjacências…    §  queue  e  map  da  STL!  

¡  Está  disponibilizado  um  conjunto  de  códigos  originais  do  Skiena  §  Nome  de  funções,  variáveis  e  comentários  traduzidos;  §  Utilizam  a  estrutura  de  lista  de  adjacências  em  matrizes;  §  Os  algoritmos  a  seguir  também  estão  implementados.  

¡  No  entanto,  é  necessário  saber  o  funcionamento  dos  algoritmos  e  também  adaptar  os  códigos  às  necessidades  §  O  uso  dos  códigos  é  opcional.  

¡  A  operação  básica  em  grafos  é  o  percurso  §  Ou  seja,  visitar  todos  os  vértices  e  arestas  uma  única  vez  em  alguma  ordem;  

¡  Uma  possível  dificuldade  seria  não  terminar  a  busca  nunca,  por  causa  de  repetição  §  Por  isso  marcamos  os  vértices  já  visitados.  

¡  Existem  dois  algoritmos  básicos  §  Busca  em  Largura;  §  Busca  em  Profundidade.  

¡  Sem  familiaridade  com  a  busca  em  largura,  alguns  problemas  podem  parecer  mais  difíceis  §  336  (a  node  too  far)  ▪  383,  439,  532,  762,  10009.  

¡  A  busca  em  largura  (Breadth-­‐First  Search  -­‐  BFS)  expande  a  exploração  de  um  grafo  em  níveis  §  A  partir  do  vértice  inicial,  o  nível  explorado  é  o  dos  vértices  adjacentes;  

§  Após  a  exploração  deste  nível,  passa-­‐se  à  exploração  do  vértices  adjacentes  aos  do  nível  anterior;  

§  O  procedimento  se  repete  até  que  todos  os  vértices  tenham  sido  explorados.  

¡  Uma  estrutura  de  fila  é  utilizada  para  guiar  os  passos  da  busca;  

¡  Durante  a  exploração,  um  vértice  é  descoberto  na  primeira  vez  em  que  é  encontrado,  quando  é  então  enfileirado  §  Representado  pela  cor  cinza.  

¡  Quando  o  vértice  é  retirado  da  fila,  ele  é  considerado  visitado  §  Todas  as  arestas  incidentes  a  ele  foram  exploradas;  §  Representado  pela  cor  preta.  

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1

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5 97 3

•  F: null

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5 97 3

•  F: 1→null

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•  F: 2→3→4→5→null

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5 97 3

•  F: 3→4→5→null

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5 97 3

•  F: 3→4→5→6→null

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5 97 3

•  F: 4→5→6→7→null

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5 97 3

•  F: 5→6→7→8→null

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5 97 3

•  F: 6→7→8→9→null

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6

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8

5 97 3

•  F: 7→8→9→null

2

6

1

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5 97 3

•  F: 8→9→null

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5 97 3

•  F: 9→null

2

6

1

4

8

5 97 3

•  F: null

¡  Sem  familiaridade  com  a  busca  em  profundidade  e  variantes,  alguns  problemas  podem  parecer  mais  difíceis  §  469  (wetlands  of  florida)  ▪  260,  352,  572,  782,  784,  785.  

§  11504  (dominos)  ▪  1263  e  11709.  

¡  A  busca  em  profundidade  (Depth-­‐First  Search  -­‐  DFS)  explora  todos  os  níveis  de  cada  adjacência,  uma  por  vez  §  A  partir  do  vértice  inicial,  explora-­‐se  todos  os  níveis  possíveis  de  uma  adjacência;  

§  Quando  não  for  mais  possível  expandir  a  busca,  retorna-­‐se  ao  último  nó  com  adjacências  ainda  não  exploradas  e  retoma-­‐se  o  processo;  

§  A  exploração  é  repetida  até  que  todos  os  nós  tenham  sido  visitados.  

¡  Uma  estrutura  de  pilha  é  utilizada  para  guiar  os  passos  da  busca;  

¡  Durante  a  exploração,  um  vértice  é  descoberto  na  primeira  vez  em  que  é  encontrado,  quando  é  então  empilhado  §  Representado  pela  cor  cinza.  

¡  Quando  o  vértice  não  possui  mais  adjacências  a  serem  exploradas,  ele  é  desempilhado,  sendo  considerado  visitado  ou  terminado  §  Representado  pela  cor  preta.  

•  P: null

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5 97 3

•  P: 1→null

2

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5 97 3

•  P: 2→1→null

2

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4

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5 97 3

•  P: 6→2→1→null

2

6

1

4

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5 97 3

•  P: 2→1→null

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6

1

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5 97 3

•  P: 1→null

2

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1

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5 97 3

•  P: 9→5→1→null

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6

1

4

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5 97 3

•  P: 8→4→1→null

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5 97 3

•  P: 7→3→1→null

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1

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5 97 3

•  P: 1→null

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5 97 3

2

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1

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5 97 3

•  P: null

¡  Dois  vértices  u  e  v  de  um  grafo  G  são  ditos  conexos  se  houver  um  caminho  em  G  com  início  em  u  e  final  em  v  §  Consideramos  que  todo  vértice  é  conectado  a  si  mesmo  (mesmo  sem  a  existência  de  uma  aresta).  

¡  Um  Componente  Conexo  é  formado  por  um  conjunto  de  vértices  conexos.  

1

2 3

4 1

2 3

4

Um grafo conexo (ou conectado). Um grafo desconexo (ou desconectado).

O vértice 4 é isolado.

¡  Podemos  usar  tanto  BFS  quando  DFS  para  detectar  componentes  conectados  §  Durante  a  exploração:  ▪  Se  todos  os  vértices  foram  visitados  sem  interrupções,  o  grafo  é  composto  de  um  único  componente  conectado;  ▪  Caso  contrário,  recomeçamos  a  exploração  no  primeiro  vértice  ainda  não  descoberto,  detectando  assim  um  novo  componente  conectado.  

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6 5

7

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1

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1

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4

6 5

7

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¡  Problema  Clássico  em  Teoria  de  Grafos  §  Encontrar  o  menor  caminho  entre  um  vértice  de  origem  e  todos  os  demais;  

§  Problema  336  Uva.  ¡  Dados:  

§  Um  grafo  não  ponderado  e  não  direcionado;  §  Um  vértice  inicial  (V);  §  Um  limite  (L).  

¡  Objetivo  §  Determinar  quantos  vértices  estão  a  uma  distância  acima  de  L  a  partir  de  V;  

§  Ou  também,  quantos  vértices  são  inalcançáveis.  

¡  Como  o  grafo  não  é  ponderado,  podemos  considerar  um  custo  unitário  em  cada  aresta  §  Ou  seja,  o  caminho  de  um  vértice  até  outro  é  medido  em  quantidade  de  arestas  percorridas.  

¡  Podemos  usar  BFS  para  determinar  este  menor  caminho  §  A  cada  nível  explorado,  o  caminho  é  incrementado  em  um.  

¡ Mas  e  se  o  grafo  for  ponderado?  §  Utilizamos  o  algoritmo  de  Dijkstra;  §  Assunto  para  outra  aula…  

¡  Flood  Fill  (ou  Preenchimento  de  Regiões,  Preenchimento  de  Polígonos),  é  uma  operação  fundamental  em  processamento  de  imagens  §  Consiste  em  preencher  (fill)  uma  região  de  pixels  (ou  células  em  uma  grade)  adjacentes,  desta  forma,  “inundando”  (flooding)  um  polígono;  

§  Como  a  ferramenta  “Preencher  com  Cor”  do  Paint.  

¡  Para  nossos  propósitos,  usamos  uma  versão  simplificada  e  menos  formal:  1.  A  partir  de  uma  célula  inicial  

1.  Faça  uma  varredura  e  preencha  as  células  adjacentes;  2.  Evite  preencher  duas  vezes  uma  mesma  célula;  3.  Observe  a  borda  do  polígono;  4.  Termine  quando  todas  as  células  adjacentes  forem  

preenchidas.  

¡  Um  algoritmo  Flood  Fill  pode  considerar  apenas  4  adjacências  por  célula;  

•  Ou 8 adjacências por célula.

¡  A  ordem  em  que  a  varredura  é  feita  pode  ser  guiada  por  uma  estrutura  de  fila  ou  pilha:  

Fila Pilha

¡  Qual  a  relação  do  Flood  Fill  com  percurso  em  grafos?  §  Embora  não  haja  uma  estrutura  explícita  de  grafo,  há  um  caso  especial  de  grafo  simples,  não  orientado,  não  ponderado  em  que  existe  um  limite  para  o  grau  de  cada  nó;  

§  A  forma  em  que  as  adjacências  são  apresentadas  (células  de  fato  adjacentes  em  uma  grade,  ou  matriz),  dispensa  a  construção  de  outra  estrutura;  

§  A  varredura  para  o  preenchimento  é  um  percurso  em  grafo,  usando  as  mesmas  estruturas.  

¡  Alguns  problemas  clássicos  são  notoriamente  difíceis  §  Não  faria  sentido  colocar  em  uma  competição.  

¡  No  entanto,  utilizando  grafos  específicos,  o  problema  permite  soluções  rápidas  §  O  que  permite  que  o  problema  tenha  dimensões  grandes.  

¡  Elimina  todos  aqueles  que  não  conhecem  as  soluções  rápidas  §  No  mínimo  tomarão  um  TLE;  §  Ou  então  demorarão  para  codificar  uma  solução.  

¡  Árvore  §  Grafo  conectado  e  acíclico;  ▪  O  número  de  arestas  é  o  número  de  vértices  -­‐1;  

§  Contém  um  único  caminho  entre  dois  vértices!  §  Palavra-­‐chave:  Conectado.  

¡ Menor  caminho  (origem  única)  §  BFS  ou  DFS.  

¡ Menor  caminho  (todos  os  pares)  §  BFS  ou  DFS  usando  cada  vértice  como  origem.  

¡  Grafo  Euleriano  §  Grafo  que  possua  um  caminho  ou  um  ciclo  Euleriano;  

§  Um  caminho  Euleriano  visita  cada  aresta  uma  única  vez;  

§  Um  ciclo  Euleriano  é  um  caminho  Euleriano  que  começa  e  termina  no  mesmo  vértice;  

§  Palavra-­‐chave:  “Deve  visitar  cada  aresta  uma  única  vez”.  

¡  Para  verificar  se  um  grafo  não  direcionado  possui  um  ciclo  Euleriano  §  Todos  os  vértices  devem  ter  grau  par.  

¡  Para  verificar  se  um  grafo  não  direcionado  possui  um  caminho  Euleriano  §  Somente  dois  vértices  podem  ter  grau  ímpar.  

¡  Grafo  Bipartido  §  Palavras  chave:  “2  conjuntos”,    “sem  arestas  em  um  mesmo  conjunto”.  

¡  Para  determinar  se  um  grafo  conectado  é  bipartido  ou  não  §  Utilizamos  a  paridade  das  distâncias  de  um  determinado  vértice  ▪  Haverá  um  conjunto  com  distâncias  ímpares  e  outro  com  distâncias  pares.  

¡  Estão  disponíveis  dois  conjuntos  de  códigos  §  Skiena  (livro  texto):  em  português;  §  NUS  School  of  Computing:  em  inglês.  

¡  O  arquivo  bfs-­‐dfs.c  possui  uma  implementação  da  BFS  §  Basta  adaptar  as  funções  processa_vertice()  e  processa_aresta(),  de  acordo  com  a  necessidade.  

¡  A  função  encontra_caminho()  analisa  a  ordem  de  exploração  dos  vértices  para  encontrar  o  menor  caminho  entre  dois  vértices.  

¡  O  arquivo  bfs-­‐dfs.c  possui  uma  implementação  da  DFS  §  Novamente,  basta  adaptar  as  funções  processa_vertice()  e  processa_aresta(),  de  acordo  com  a  necessidade.  

¡  O  arquivo  findcycle.c  analisa  as  arestas  para  detectar  ciclos;  

¡  O  arquivo  connected.c  enumera  os  componentes  conectados  de  um  grafo.  

¡  ch4_01_dfs.cpp  §  Implementação  de  DFS;  §  Floodfill;  §  Ordenação  Topológica;  §  Algoritmo  de  Tarjan  (Classificação  de  Arestas);  §  Pontos  de  Articulaçã0  e  Pontes;  §  Detecção  de  Componentes  Fortemente  Conectados.  

¡  ch4_04_bfs.cpp  §  Implementação  de  BFS;  §  Caracterização  de  grafos  bipartidos;  § Menor  caminho  de  origem  única.  

Perguntas?  

   

FIM