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TEOREMA DE BAYES

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La probabilidad condicional se basa en el resultado de un hecho para describir otra probabilidad específica.

Este concepto de puede extender cada vez que se tiene nueva información con la cual determinar si una

probabilidad se debe a una causa específica.

Este procedimiento recibe el nombre de Teorema y Bayes y se maneja así:

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Teorema de Bayes

)()/(...)()/(()/()()/(

)/(2211 nn

iii BPBAPBPBAPBPBAP

BPBAPABP

Si A es un evento simple y Bi es una sucesión de eventos, la probabilidad de que se cumpla el evento Bi dado que ya se cumplió el evento A es:

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El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han fracasado.

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Antes de lanzar el nuevo juguete se realiza un estudio de mercado y se hace un informe, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito tenían un informe favorable y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. El gerente de mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibe un reporte favorable.

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¿Qué se busca? : La probabilidad de que el juguete tenga éxito.

¿Qué condiciones tenemos? : Resultados de un informe favorable

P(Éxito/Favorable)

Análisis previo

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Juguetes con éxito : 40% P(éxito) = 0.4Juguetes con fracaso : 60% P(fracaso) = 0.6

Datos del pasado:Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 80%

Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 30%

Análisis previo

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Juguetes que tuvieron éxito y previamente les habían reportado un informe favorable 80%

P(Éxito/Favorable) = 0.8

Juguetes que fueron un fracaso y previamente les habían reportado un informe favorable 30%

P(Fracaso/Favorable) = 0.3

Análisis previo

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La aplicación del teorema de Bayes indica que se busca la probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente:

P(Éxito/Favorable) =

)()/()()/()()/(

FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP

Propósito

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)()/()()/()()/(

FracasoPFracasoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorablePÉxitoPÉxitoFavorableP

)18.0()32.0()32.0(

)6.0)(3.0()4.0)(8.0()4.0)(8.0(

64.05.032.0 64%

Desarrollo

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Reglas de Conteo

La probabilidad de ocurrencia se definió como el número de formas en las que el resultado ocurre, dividido por el número tal de resultados posibles

En muchas casos, hay un gran número de posibles resultados y es difícil determinar el número exacto. Se han desarrollado reglas para contar el número posible de resultados.

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Reglas de Conteo = potencial

nk

Si cualquiera de los eventos k mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos pueden ocurrir en cada uno de los ensayos n, el número de posibles resultados es igual a

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Suponga que lanza al aire una moneda de 5 centavos y otra de 10 centavos. ¿De cuantas maneras pueden caer ambas monedas?

Los resultados que se pueden tener son:* Las dos monedas pueden caer en letra* Las dos monedas pueden caer en escudo* La de 5 cents en letra y la de 10 cents en escudo.* La de 5 cents en escudo y la de 10 cents en letra

Son 4 posibles formas las que pueden caer.

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Si se resuelve por medio de la fórmula, se tiene lo siguiente:

n = 2 eventosk = 2 lados tiene la moneda

422 nk

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De igual manera, si se lanza una moneda al aire 2 veces. ¿De cuántas maneras puede caer?

n = 2 eventosk = 2 caras de la moneda

4

22

r

r

kr n

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Reglas de Conteo = factorial

1*2*3*...*)2(*)1(*! nnnn

El número de maneras en el que n cosas pueden arreglarse en orden es:

Característicasn! Es el “factorial de n”1! Es igual a 10! Es igual a 1

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Si un paquete de 6 libros se colocan en una repisa. ¿De cuantas formas es posible ordenar estos 6 libros de texto?

720!6

123456!6

!6!

6

xxxxx

n

n

6 libros se pueden ordenar de 720 formas diferentes.

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Reglas de Conteo = combinaciones

)!(!

!

XnX

nCXn

Es el número de maneras de seleccionar X objetos a partir de n objetos, sin considerar el orden:

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Si tenemos 5 profesores de matemáticas y se presenta la oportunidad de abrir 3 nuevas secciones, de cuantas maneras se pueden distribuir.

Supongamos que los nombre de los profesores son:Raquel , Clara , Venancio , Jorge , Vilma

Solo son 3 secciones las que se van a abrir y todos ellos tienen la misma capacidad para impartir la clase.

Las posibilidades que se tienen son:

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Combinación Sección 1 Sección 2 Sección 31 Raquel Clara Venancio2 Raquel Clara Jorge3 Raquel Clara Vilma4 Raquel Venancio Jorge5 Raquel Venancio Vilma6 Raquel Jorge Vilma7 Clara Venancio Jorge8 Clara Venancio Vilma9 Clara Jorge Vilma

10 Venancio Jorge Vilma

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Si se utiliza la regla de conteo, el resultado se calcula de la siguiente manera:

10

12

120

)2)(6(

120

)1*2(*)1*2*3(

1*2*3*4*5

!2!3

!5

)!35(!3

!5

35

35

35

35

C

C

C

C