Capítulo 1: Definiciones tarskianas de la verdad

Eduardo Alejandro Barrio

(Borrador)

Los esfuerzos por determinar las condiciones de necesarias y suficientes para que una

afirmación sea una consecuencia lógica de otras afirmaciones colocan al concepto de verdad en

un lugar central. Informalmente, si un argumento es válido, sus premisas, si fueran verdaderas,

transmitirían su verdad a la conclusión del mismo. Al mismo tiempo, nuestro conocimiento de lo

establecido en las premisas, sin investigación adicional, sería suficiente para garantizar la verdad

de tal conclusión. De esta forma, podríamos justificar a priori (o de manera infalible) lo concluído.

Las teorías lógicas se ocupan de explicar cómo se transmite la verdad de manera tal de obtener

vínculos lógicos entre afirmaciones. Por eso, el concepto de verdad juega un papel importante en

lógica. Comprender qué es la verdad es una parte central en el proyecto de explicar lo que se

preserva en los casos de consecuencia lógica. Sin embargo, la verdad puede resultar ser una

característica algo misteriosa. Ciertas fórmulas parecen tener inexplicables conexiones con lo

que hay, lo que parece autorizarnos a atribuirles verdad. La aparición de diversas paradojas

vinculadas a los conceptos semánticos y la carencia de un explicación de los mismos en

términos rigurosos produjo escepticismo en la mayor parte de la comunidad científica hacia

principios del siglo XX. Wittgenstein y gran parte de los positivistas lógicos ejemplifican este

clima. 1 En este contexto, aparece la figura de Tarski, proponiendo un método para definir los

conceptos semánticos para diversos tipos de lenguajes formales. En este capítulo, me propongo

exponer el método tarskiano para dar una definición del concepto de verdad. Intentaré presentar

sus principales motivaciones, brindando las condiciones de adecuación de tal definición.

Ofreceré un ejemplo de la misma para un lenguaje formal. Finalmente, presentaré un curioso

resultado probado por Tarski: su famoso Teorema de la indefinibilidad de la verdad.

I.- Presentación intuitiva

En 1933, Alfred Tarski escribió en polaco su definición del concepto de verdad. Dos años

más tarde, publicó en inglés la versión que tuvo un importante impacto en la comunidad de lógicos,

matemáticos y filósofos preocupados por estos temas. 2 Su trabajo tiene como objetivo dar una

1 Para una descripción del marco histórico en el que irrumpe el trabajo de Tarski ver Mancosu (2008). p2 Tarski, A. (1933) “Pojecie Prawdy wjezkach nauk dedukcyjnych”, traducido al inglés como Tarski, A.(1935) “The Concept of Truth in Formalized Languages”, en Tarski, A. (1956).

caracterización extensional de la concepción clásica de verdad (emparentada con Aristóteles) en

términos de otros conceptos mejor comprendidos suministrados por la lógica y la matemática.

Entre estos conceptos precisos se encontraban los de secuencia de objetos (entendida en

términos conjuntistas), función y satisfacción. Al usar este aparato de las mencionadas disciplinas

formales esperaba obtener una mejor comprensión del mencionado concepto clásico de verdad y

sobretodo, evitar el riesgo de incurrir en indeseables inconsistencias. De hecho, como veremos,

Tarski no ofreció una definición general, sino un método sistemático para obtener definiciones de

predicados veritativos para una colección considerable de lenguajes formales. Su contribución ha

sido uno de los logros más importantes dentro de la lógica. 3

La posibilidad de predicar verdad de fórmulas de un lenguaje de primer orden había sido

un recurso intuitivo al que había recurrido Gödel en su famosa prueba de completitud de 1930. En

distintas versiones del Teorema de Löwenheim-Skolem también se habían usado la noción verdad

en un modelo. Por esos días, se sabía que toda la matemática podría ser producida usando teoría

axiomática de conjuntos, simplemente ZF o teoría de tipos, sin usar ninguna noción primitiva, con

excepción de las usadas por esas teorías fundacionales. El desafío de Tarski era mostrar que algo

semejante podría hacerse con las nociones semánticas, definiéndolas usando las mismas técnicas

empleadas con las nociones matemáticas. Vaught relata:

(…) su mayor contribución fue mostrar que la noción α es verdadera en m puede

simplemente ser definida dentro de la aritmética, por ejemplo, en ZF. Tarski infirió que

varias otras nociones semánticas, por ejemplo, la noción de consecuencia lógica (en los

lenguajes de primer o segundo orden) pueden también ser definidas en la aritmética. 4

Feferman conjetura 5 que Tarski, inspirado en los resultados obtenidos durante el famoso

seminario dictado en la Universidad de Varsovia en los años 20, vió la necesidad de

metamatematizar los conceptos semánticos, es decir, usar el lenguaje de la matemática para

definir los mencionados conceptos. Así, teniendo en frente la opción de definir esas nociones o

axiomatizarlas, esto es, tomarlas como primitivas dentro de una teoría cuyos axiomas y reglas de

inferencia intentarían probar la totalidad de los teoremas asociados a los mencionados conceptos

semánticos, Tarski optó por la primera opción, quizás alentado por la necesidad de evitar el riesgo

3 Solomon Feferman destaca el trabajo de Tarski como uno de los hitos más importates dentro de la lógicamatemática. Cfr. Feferman, S. (2008) p. 90. En Patterson, D. (2008)4 Vaught, R. “Model Theory before 1945”5 Feferman, S. “Tarski’s Conception of Logic” Annals of Pure and Applied Logic 126, pp. 5-13.

del surgimiento de indeseables inconsistencias dentro de esa teoría a causa de sus axiomas

propios. 6 Como señala Mario Gómez Torrente:

(…) con el procedimiento definicional la consistencia de la definición dependerá

exclusivamente de la consistencia de la teoría en la que se formule, que por

hipótesis habrá de ser una teoría fundacional cuya consistencia tengamos razones

para aceptar. 7

De esta manera, el objetivo principal de Tarski en su serie de artículos sobre las nociones

de verdad, verdad en un modelo, satisfacibilidad y definibilidad fue mostrar que cada una de esas

nociones pueden ser definidas de forma precisa en términos de otras nociones que sean

matemáticamente correctas. 8 La idea es que las mismas sean definidas en términos de otras que

formen parte de alguna teoría que podamos considerar consistente. Un hecho históricamente

relevante es que originalmente no eligió la teoría de conjuntos (tal como seguramente lo haríamos

en nuestros días), sino una versión de la teoría de tipos finitos. Y al parecer, él consideró a la

misma, al igual que en nuestros días Boolos y Shapiro, como parte de la lógica. 9 No obstante, el

núcleo de su propuesta permanece intacto hasta nuestros días: brindar un método general que

permita caracterizar un predicado veritativo intuitivamente adecuado para la totalidad de las

oraciones de un gran número de lenguajes formalizados. El proyecto se completa, además,

indicando como pueden formularse definiciones intuitivamente adecuadas de otras nociones

semánticas (especialmente la de definibilidad) a partir de la noción definida de verdad. Finalmente,

como veremos en detalle más adelante, el procedimiento permite de manera análoga analizar la

noción de verdad en un modelo. Al finalizar esta tarea, no sólo tendremos un método para definir

el predicado veritativo para diversos lenguajes formales evitando inconsistencias, sino que además

tendremos seguridad acerca de que las nociones intuitivas usadas en la metateoría de las teorías

axiomáticas usuales son fiables.

6 Sheard, M. (1994) “A Guide to Truth Predicates in the Modern Era” The Journal of Symbolic Logic 59, n 3,pp. 1032-1054.7 Gómez Torrente, M. (2001) “Notas sobre el “Wahrheitsbegriff I” Análisis Filosófico XXI, 1 pp 9-10.8 Además del ya citado Tarski, A. (1935), la serie se completa con Tarski, A. (1944) "The semantic conceptionof truth and the foundations of semantics" Philosophy and Phenomenological Research Vol IV. Reimpreso enCuadernos de Lógica (Bs.As., Opfyl, 1962).9 Para una discusión de este punto, cfr Gómez Torrente, M. (2000) Forma y Modalidad. Buenos Aires:Eudeba, pp. 31-32.

Además de suministrar un procedimiento para definir conceptos semánticos, Tarski ha

hecho importantes contribuciones en la forma de elaborar definiciones. 10

Bajo la presión de los

avances conceptuales en la metateoría de los lenguajes formales, Tarski elabora un par de

requisitos que se deben satisfacer para producir legítimas definiciones: las mismas deben ser

formalmente correctas y materialmente adecuadas.. 11

Sea ‘Tr’ la representación formal de un predicado de verdad. Como tal, se aplicará a

oraciones de un lenguaje. El primero de los requisitos significa que la definición de tal predicado

debe formularse a través de una oración de la forma:

Para todo x, Tr(x) si y sólo si φ(x)

En la cual ‘Tr’ nunca ocurre en ‘φ’. Si ‘Tr’ ocurriera en la parte derecha del bicondicional debería

poder formularse una oración equivalente en la cual el mencionado predicado no ocurra. Tal

equivalencia debe ser probable usando los axiomas del metalenguaje que no contengan a ‘Tr’.

Esto es, el primero de los requisitos nos pide que seámos capaces de dar una definición explícita

de los conceptos definidos. Sin lugar a dudas, la idea es evitar usar conceptos semánticos para

definir conceptos semánticos. Tal tipo de definiciones permiten eliminar la clase de conceptos

definidos a favor de otros con precisas condiciones de aplicación. Como hemos visto, un modo de

lograr este objetivo es usar nociones de la aritmética, de la teoría de tipos o la de conjuntos, con el

propósito de reemplazar, si fuera necesario, toda aparición del concepto definido por sus

equivalentes en las mencionadas teorías. 12

El segundo de los requisitos tiene que ver con la corrección extensional. Hay un gran

número de formulas que, bajo cierta interpretación habitual, sabemos que son verdaderas, y como

tales, deberían formar parte de la extensión de la verdad. También hay una cantidad que sabemos

que no son verdaderas. Además, hay una importante cantidad frente a las que no tenemos idea si

son parte de esa extensión o no. Una definición adecuada de verdad debería acomodar todos

estos datos, no sólo clasificando como verdaderas todas aquellas fórmulas que interpretadas de

manera estándar sabemos que lo son, sino completando esta extensión incluso con aquellas

frente a las cuales admitimos nuestra ignorancia. Por supuesto, los lenguajes formales son

10 Hodges, W. (2008) “Tarski’s Theory of Truth” en Patterson, D. (2008) New Essays on Tarski andPhilosophy, Oxford: Oxford U.P.11 Para una discusión rigurosa de este punto recomiendo Hodges, W. (2008) “Tarski’s Theory of Definition”en Patterson, D. (2008).12 Nota que remita a la discusión sobre deflacionismo (La Verdad Desestructurada).

potencialmente infinitos. Por lo cual, no podemos esperar de una definición adecuada el que nos

ofrezca una enumeración de toda la extensión. La matemática nos ha enseñado que frente a este

tipo de problema es suficiente poder enunciar las condiciones que se deberían cumplir para que

cada una de las infinitas fórmulas resultaran verdaderas. En esta dirección, Tarski propuso que

toda definición de verdad debe ser materialmente adecuada, esto es, los objetos que satisfacen φ

deben ser exactamente los objetos que intuitivamente cuentan como las oraciones verdaderas del

lenguaje para el cual se está definiendo el predicado veritativo.

En definitiva, Tarski propone que toda definición de verdad para ser aceptable debe ser

formalmente correcta y materialmente adecuada. Dado un lenguaje particular, la definición debe

mostrarnos cómo hablar de la extensión de las oraciones verdaderas de ese lenguaje desde otro

lenguaje (su metalenguaje). Este último no debería contener nociones semánticas y si las tuviera,

estas deberían poder ser eliminadas usando otras nociones matemáticamente precisas. De esta

manera, la definición nos podrá indicar, las condiciones necesarias y suficientes de aplicación un

predicado (digamos ‘Tr’) cuya extensión delimite el conjunto de las oraciones intuitivamente

verdaderas del lenguaje particular.

La cuestión general es entonces mostrar cómo caracterizar un predicado Tr en L desde M

que intuitivamente sea coextensivo con el predicado veritativo para las oraciones de L. Pero, para

resolver este problema, debemos estar con condiciones de apelar al uso mismo de los predicados

de verdad. El desafío nos conduce a su conocida convención T. Tal consideración se apoya

seguramente en el trabajo de Kotarbínski 13 y puede sintetizarse en la intuición de Ramsey 14

según la cual hay una íntima conexión entre las oraciones

(i) Thom Yorke vive en Oxford.

y

(ii) Es verdad que Thom Yorke vive en Oxford.

Esta íntima conexión debe considerarse un dato básico sobre la verdad. Es imposible afirmar la

primera y rechazar la segunda sin caer en una contradicción explícita: que no es verdad que Thom

Yorke vive en Oxford y que Thom Yorke vive en Oxford. Reconociendo entonces que ambas

13 Kotarbínski, T. (1929) Elementy Teorji Poznania, Logiki Formalnej i Metodologji Nauk, Lwów.14 Ramsey, F. (1991) On Truth, Dordrecht, Kluwer A. Pu. p. 12.

oraciones resultan ser al menos materialmente equivalentes, 15

la convención T establece que una

definición de Tr es una definición adecuada de verdad si y sólo implica en M todas las oraciones

que se obtienen a partir de la expresión

(T) Tr(‘φ’) si y sólo si φ

en donde ‘φ’ es el nombre en M de una oración de L y φ es la traducción de aquella oración en M.

Debe aclararse que “implica” no significa estrictamente implicación lógica, ya que pueden

emplearse recursos matemáticos para derivar las oraciones-T. Este requisito garantiza que se

cumpla el mencionado objetivo tarskiano según al cual el predicado veritativo definido debe tener

una extensión correcta, es decir, que se aplique al menos a todas las oraciones verdaderas del

lenguaje.

Tal es la íntima conexión entre los predicados veritativos y la convención T que Tarski

llama a las instancias de la misma definiciones parciales de verdad, y frecuentemente describe

su proyecto como brindando una definición equivalente a la conjunción de todas las instancias de

(T) para el lenguaje correspondiente:

(...) toda equivalencia de la forma (T) (...) puede considerarse una definición parcial de

verdad que explica en qué consiste la verdad de una frase individual. La definición

general debe ser, en cierto sentido, una conjunción lógica de todas estas definiciones

parciales. 16

Un punto importante que es necesario destacar es que los lenguajes expresivamente interesantes

tienen la capacidad de generar un número potencialmente infinito de oraciones. Por eso, la

sistematicidad de la definición de sus predicados veritativos sugiere la posibilidad de brindar una

definición recursiva de los mismos. La idea será definir el valor de verdad de las expresiones

compuestas a partir del valor de verdad de las oraciones simples. Nótese, sin embargo, que la

utilización de técnicas recursivas no debería ser un obstáculo para el cumplimiento del requisito de

adecuación formal: ya que la corrección formal de la definición del predicado veritativo de un

lenguaje nos obliga a no adoptar conceptos semánticos primitivos, en estos casos, tendrá que ser

posible mostrar cómo definir el mencionado predicado sin la utilización de conceptos semánticos.

Esto es, se espera que siempre sea posible ofrecer una definición explícita de los conceptos

15 En el planteo de Tarski, la equivalencia debe ser entendida materialmente, ya que mediante su definiciónse pretende fijar la extensión del predicado veritativo. Lo que se busca es ofrecer una expresión, para cadauna de las posibles oraciones atributivas de verdad, que sea extensionalmente equivalente a dicha oración.16 Tarski, A (1962) "op. cit." p. 5.

semánticos. Las definiciones recursivas no son formalmente adecuadas, ya que usan nociones

semánticas como parte de sus instrumentos. Por eso, podrán usarse siempre que exista un

procedimiento que permita transformar esa definición en una definición explícita. 17

Hay un obstáculo, sin embargo, que se presenta en este punto. Como observa Tarski:

(…) en general las oraciones compuestas no son de ningún modo compuestos de

oraciones simples. (…) En vista de este hecho, no puede darse ningún método que nos

permita definir directamente por medios recursivos el concepto requerido. 18

Para los conocidos lenguajes de primer orden hace falta dar un rodeo para dar una

definición de verdad aplicando el método de Tarski. Cuando se tiene como parte de los recursos

expresivos del lenguaje la cuantificación, la definición no puede operar directamente

caracterizando la verdad de las oraciones complejas en términos de la verdad de las oraciones

simples, ya que los constituyentes de las oraciones complejas no son necesariamente oraciones.

Por medio del concepto de satisfacción, Tarski logró saltar este obstáculo. 19 Intuitivamente,

fórmulas abiertas como 'x es un número natural' son satisfacibles por determinadas secuencias de

objetos. Para formar una oración a partir de fórmulas abiertas se debe ligar las variables libres con

alguna expresión cuantificacional, como por ejemplo 'hay un x tal que'. La verdad de la oración

'hay un x tal que es número natural' depende de si hay una secuencia infinita de objetos que

satisface la fórmula abierta cuantificada.

En suma, hemos visto que Tarski propone como definición del concepto intuitivo de

verdad, un predicado con las siguientes características: (i) el predicado veritativo se aplica a

oraciones de un lenguaje particular, (ii) el predicado se aplica a todo tipo de oraciones de los

lenguajes, incluso en aquellos casos en donde la estructura involucra cuantificadores. En esos

casos, hay que recurrir a la noción de satisfacción; por último, (iii) cuando el número de oraciones

del lenguaje objeto es infinito, es conveniente dar una caracterización recursiva del predicado

veritativo. Claro que el uso de esas técnicas nos estará permitido siempre y cuando estemos en

condiciones de ofrecer una definición explícita de los conceptos semánticos involucrados.

17 Tarski, A. (1935) p 193. nota 1.18 Tarski, A. (1935) pp. 189.19 Etchemendy hace notar que el recurso a esta noción, así como el uso de técnicas recursivas no sonesenciales en el método de Traski. Son sólo el resultado de sortear un problema técnico con mediostécnicos apropiados. Etchemendy, J. (1990) pp 55-56.

II.- Definiciones tarskianas de verdad:

Hemos visto que uno de los objetivos que Tarski se había propuesto era el de brindar un

método para la construcción de definiciones de predicados veritativos para lenguajes específicos.

Para lograrlo, el proyecto debía ofrecer un criterio de adecuación vinculado con la forma que

debería tener la definición, con las expresiones que se pueden legítimamente usar en la definición,

y con la manera en la que se debe obtener la extensión del concepto definido.

Tarski tomó la decisión de ilustrar su procedimiento describiendo su aplicación al cálculo

de clases, un lenguaje que en su interpretación deseada sus variables recorren el conjunto de

todas las subclases de la clase de todos los individuos del universo. 20 Como todo lenguaje

formal, este lenguaje contiene expresiones lógicas (los conectivos ‘∨’ y ‘¬’, el cuantificador ‘∀’, la

variable ‘x’) y expresiones extralógicas, en este caso la expresión ‘I’ cuya interpretación deseada

es la relación de inclusión entre subclases de la clase de todos los individuos. El lenguaje posee

omega variables, tantas como acentos subíndices puedan construirse. Por simplicidad, usaré la

notación ‘xn’ para la variable ‘x’ seguida de un número positivo n de acentos. Las interpretaciones

de los signos lógicos son las usuales. Dadas las reglas usuales de buena formación de fórmulas,

un ejemplo de fórmula bien formada elemental de este lenguaje es Ix1x5. Las fórmulas complejas

se obtenen aplicando las operaciones sobre los signos lógicos. Un aspecto histórico que puede

tener cierta importancia conceptual es que Tarski eligió la teoría simple de tipos como

metalenguaje en el cual formular la definición de verdad para el cálculo de clases. En nuestros

días, seguramente adoptaríamos la teoría de conjuntos, esto es, muy probablemente ZF. En

cualquier caso, deberíamos tener un mecanismo adicional para obtener nombres para todas las

expresiones del cálculo de clases. Tarski adopta un mecanismo general que permita obtener

expresiones de naturaleza descriptivo-estructural que posean variables metalingüísticas que

varíen sobre expresiones del lenguaje objeto. Una manera de llevar a la práctica este mecanismo

consiste en adoptar las semicomillas ‘’ y ‘’. Así la expresión Ixnxn nombra a la expresión

formada concatenando la letra mayúscula I con la n-ésima variable x con la n-ésima variable x en

ese orden. Además de este mecanismo, en el metalenguaje deberán estar especificados los

axiomas y reglas de inferencia de carácter lógico-matemático. Por ejemplo, además de los

axiomas y reglas de inferencia del sistema de lógica subyacente, se deberán formular los axiomas

y reglas de inferencia de la teoría fundamental que se adopte. En el caso de la teoría de

conjuntos, podrían ser los axiomas de ZF y en el de la opción seguida por Tarski, adoptando la

teoría de tipos finitos, deberán formularse los axiomas de extensionalidad, comprensión e infinitud.

20 En nuestros días, el cálculo de clases sería visto como un típico lenguaje de segundo orden con unainterpretación estándar.

Tarski muestra como definir de una manera precisa las nociones de fórmula, aparecer libre

una variable xn en una fórmula F, secuencia apropiada de objetos, denotación de un término del

cálculo de clases con respecto a una secuencia. La técnica es hoy en día bien conocida y no me

detendré en los detalles. Al igual que lo que sucederá con la definición de verdad deben poder

darse definiciones recursivas o explícitas de todas estas nociones aplicadas al lenguaje de clases.

Como hemos visto, en los lenguajes que admiten fórmulas abiertas, para construir la definición de

verdad es preciso recurrir a la noción de satisfacción. En ese caso, Tarski define recursivamente la

noción de satisfacción de una fórmula F cualquiera por una secuencia infinita f (cuyo dominio son

los números enteros positivos y recorrido incluido en la clase de las subclases de todos los

individuos). De manera intuitiva, F es satisfecha por la secuencia f cuando F es verdadera si

interpretamos la variable xn que aperece en F como si fuera el nombre de la clase fn. Formalmente,

la definición recursiva de este concepto es la siguiente:

La secuencia infinita de clases f satisface la fórmula F si y sólo si f y F son tales que o bien (i)

existen números naturales n y m tales que F = Ixnxm y fn ⊆ fm o bien (ii) hay una fórmula G tal

que F = ¬G y f no satisface G , o bien (iii) hay fórmulas G y H tales que F = G∨ H y f

satisface G o f satisface H o finalmente (iv) hay un número natural n y una fórmula G tales que F

= ∀xn G y toda secuencia infinita de clases que difiera de f a lo sumo en el n-ésimo lugar

satisface la fórmula G. 21 Una secuencia ƒ satisface una fórmula F del lenguaje de clases sólo si

(i)-(iv) garantizan que lo hace.

Como hemos visto, debe poder formularse la correspondiente definición explícita del mencionado

concepto. Tal cosa puede hacerse de la siguiente manera:

La secuencia infinita f satisface una fórmula F del lenguaje de clases si y sólo si el par ordenado

<f, F> pertenece a toda relación binaria entre secuencias y fórmulas tal que: o bien (i) si existen

números naturales n y m tales que G = Ixnxm y gn ⊆ gm , entonces <g, G> pertenece a R o bien

(ii) si <g , G> no pertenece a R, entonces <g, ¬G > pertenece a R , o bien (iii) si <g, G>

pertenece a R, o <g, H> pertenece a R, entonces <g, G∨ H> pertenece a R o finalmente (iv)

para todo número natural n y una fórmula G, si toda secuencia infinita de clases h que difiera de

la secuencia g a lo sumo en el n-ésimo lugar es tal que <h , G > pertenece a R, entonces <g,

∀xn G > pertenece a R. 22 Una secuencia ƒ satisface una fórmula F del lenguaje de clases

sólo si (i)-(iv) garantizan que lo hace.

21 Tarski, A. (1935). p 193.22 Tarski, A. (1935). p 193.

A partir de las definiciones hasta aquí presentadas es posible dar la definición de ser

verdadera una oración del lenguaje de clases:

una oración O del lenguaje de clases es verdadera si y sólo si O es satisfecha por toda

secuencia apropiada para el lenguaje de clases. 23

Esto es,

Tr(O) si y sólo si O es satisfecha por toda secuencia apropiada para el lenguaje de

clases.

Es importante destacar que las distintas secuencias de objetos sólo pueden conducir a

resultados distintos respecto de fórmulas con variables libres; con respecto a las oraciones, en

cambio, todas las secuencias se comportan de modo idéntico: o bien la satisfacen todas las

secuencias o bien no la satisfacen ninguna. Así, en el caso extremo, cuando la función es una

oración, y entonces no contiene ninguna variable libre [...], la satisfacción de la función por una

secuencia no depende de las propiedades de los términos de la secuencia. Sólo quedan dos

posibilidades entonces: o bien cada secuencia infinita [...] satisface a una oración dada, o bien

ninguna la satisface. Las oraciones del primer tipo son las oraciones verdaderas, [...] las del

segundo tipo [...] pueden correspondientemente ser llamadas oraciones falsas.” 24 De esta

manera, cuando consideramos las circunstancias bajo las cuales una oración es verdadera o

falsa, no tenemos que tener en cuenta explícitamente las circunstancias bajo las cuales esa

expresión es satisfecha por todas las secuencias (es decir, secuencia por secuencia). Todo lo

que tenemos que considerar es una secuencia. Una alternativa 25 para la construcción de la

definición, a costa de acentuar la complejidad técnica, sería dejar a un lado las secuencias

infinitas y operar con secuencias finitas, eliminando de las infinitas aquellos términos que son

irrelevantes para las variables de la función oracional. En la medida en que las oraciones son

funciones oracionales con cero variables libres, la definición de verdad que nos brinda esta

variante es la siguiente: una oración es verdadera si y sólo si la secuencia vacía la satisface.

Es un ejercicio no muy sofisticado demostrar que la anterior definición de verdad para el

lenguaje del cálculo de clases es formalmente correcta. Tal demostración consiste en usar los

23 Tarski, A. (1935). p 195.

24 Tarski, A. (1935), pp. 194.

25 Tarski, A. (1935), pp. 195, nota 1.

recursos deductivos de la metateoría para mostrar que la anterior definición es una en la cual el

predicado veritativo que cumple la convención T. De acuerdo al punto de vista de Tarski

anteriormente presentado, una definición formalmente correcta del símbolo ‘Tr’ será llamada una

definición adecuada de verdad si el sistema deductivo de la teoría que se adopta para formular la

definición es capaz de probar lo siguiente:

(α) todas las oraciones que son obtenidas de la expresión ‘Tr(x) si y sólo si p’ por

substitución del símbolo ‘x’ por un nombre descriptivo de la estructura de cualquiera de las

oraciones de LCC y para el símbolo ‘p’ la expresión que forma la traducción de esta

oración en M.

(β) la oración ‘para todo x, si Tr(x), x es una oración de LCC. 26

La prueba supone el uso de la lógica clásica y de la teoría que se adopte como parte de

los recursos metateóricos del lenguaje en el cual se formula la definición (o teoría de tipos o teoría

de conjuntos o incluso aritmética). Un punto clave es que para el lenguaje de clases, la noción de

satisfacción es una relación entre fórmulas y secuencias de clases de individuos. Por eso, la

existencia de tal relación está garantizada en la jerarquía de tipos finitos. En particular, el uso de la

cuantificación sobre secuencias de clases que se hace en la definición de satisfacción no incurre

en inconsistencia alguna ya que todas las entidades de las que se habla en la misma se

encuentran en la jerarquia de tipos finitos.

III.- El Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad

Considérese dos lenguajes (o teorías). 27

El interrogante principal al que conduce la

investigación de Tarski es si, en general, es posible hablar de la semántica del primero de ellos

usando los recursos expresivos del segundo. Esto es, ¿en qué condiciones podemos definir el

predicado de verdad de un lenguaje usando otro? Esta pregunta nos conduce directamente a la

cuestión de si sería posible que ambos lenguajes fueran el mismo lenguaje. Esto no es lo que se

ha hecho hasta ahora, ya que se ha definido la semántica del lenguaje de clases usando los

recursos de la teoría simple de tipos. Por supuesto, como hemos insistido, el uso de la teoría

26 Tarski, A (1935) p.187-18827 Es importante destacar que Tarski, a diferencia de lo que ocurre en la actualidad dentro de la teoría demodelos, considera que un lenguaje no es meramente una sintaxis no interpretada, sino una sintaxisinterpretada para la que incluso se formula también un conjunto de axiomas y reglas de inferencia. Por eso,las nociones de lenguaje y teoría pueden intercambiarse. Tal cosa no puede hacerse si un lenguaje esmeramente un sistema de expresiones carente de interpretación. Cfr. Tarski, A (1933) pp 166.

simple de tipos no es fundamental: también podríamos haber usado la teoría de conjuntos, y

algunos recursos de la aritmética. La cuestión es tener garantías acerca de la existencia de

suficientes entidades como para garantizar que las cláusulas usadas en la definición de

satisfacción puedan ser parte de una teoría libre de inconsistencias. Ahora bien, ya que hablar de

la interpretación de las expresiones de un lenguaje es hablar de las condiciones de aplicación de

su predicado de verdad, ¿podría un lenguaje hablar acerca de su propia interpretación? ¿Cuáles

son los recursos expresivos que debería contar el segundo de nuestros lenguajes (denominado

metalenguaje (M)) para poder hablar de la semántica del primero L (denominado lenguaje objeto

(L)?

De esta manera, si el objetivo es ofrecer un método para definir predicados de verdad para

lenguajes particulares que son tomados como objeto de atención, esa definición tiene que estar

formulada en un lenguaje apropiado a tales efectos desde el cual se puedan expresar las

propiedades semánticas de aquel sin incurrir en contradicción. Dado un lenguaje específico, el

procedimiento debe mostrarnos cómo caracterizar desde un lenguaje libre de inconsistencias un

predicado monádico Tr que sea satisfecho intuitivamente por las oraciones verdaderas del

lenguaje para el cual se elabora la definición. Al menos bajo ciertas condiciones, el método de

Tarski intenta describir cómo expresar la semántica de un lenguaje desde otro. Hemos visto

diversos ejemplos acerca de cómo realizar esta tarea. Pero, respecto de la posibilidad de que

pudieran coincidir el lenguaje para el cual se elabora la definición y el desde el cual se la elabora,

Tarski muestra que, en general, tal cosa no es posible. Siempre es necesario encontrar un

lenguaje apropiado para formular una definición adecuada del predicado veritativo de un lenguaje

sin incurrir en contradicciones. Y en este punto, el logro de Tarski es asombroso: su famoso

Teorema de la Indefinibilidad de la Verdad 28

muestra que ambos lenguajes coinciden y poseen

cierta capacidad expresiva, la definición del predicado veritativo genera inconsistencias.

Tarski ejemplificó su método para definir el predicado veritativo usando el lenguaje del

cálculo de clases. Este lenguaje, aunque se parece a uno de primer orden que admita predicados

binarios, respecto de su interpretación, sus variables toman como valores subclases del universo

de interpretación. En la interpretación pretendida, su universo de interpretación es la clase de

todos los individuos y hay uno de sus predicados binarios es una constante cuyo valor semántico

es la relación de inclusión entre esas subclases. Como hemos visto, en su interpretación

pretendida, ese lenguaje se parece más a uno de segundo orden. De cualquier forma, trátese de

un lenguaje de primer o de segundo orden, la construcción tarskiana de las cláusulas de

28 Tarski, A. “The concept of truth in formalized languages”, pp. 247.

satisfacción pudo realizarse dentro de la teoría de tipos finitos. Esto es, lo que es clave es que el

lenguaje seleccionado por Tarski para ejemplificar su definición es el mismo un lenguaje de orden

finito. El orden de un lenguaje tiene que ver con el alcance de los cuantificadores. Una manera de

presentar esta idea consiste en presentar una jerarquía, donde las variables de individuo x1, x2, …,

xn tienen orden 1, las variables y predicados que toman (si lo hacen) como argumentos

expresiones de a lo sumo orden 1, y tales que al menos uno de sus argumentos es de orden 1,

son de orden 2. Las variables y predicados que toman (si lo hacen) como argumentos expresiones

de a lo sumo orden 1, y tales que al menos uno de sus argumentos es de orden 2, son de orden 3,

etc. En todos los casos, el orden de un lenguaje es el mayor número entero positivo n tal que el

lenguaje tiene variables de orden n, si lo hay. Si no hay un mayor n, entonces el lenguaje es de

orden infinito. Es justamente para los lenguajes de orden infinito, a los que Tarski denomina

lenguaje de la teoría general de clases LGTC, para los que Tarski formula su teorema limitativo.

La pregunta es: ¿puede construirse un predicado en LGTC+ (un lenguaje del mismo orden

que LGTC, pero con recursos expresivos suficientes como para hablar de las fórmulas de LGTC)

que verifique la convención-T para las oraciones de LGTC? Si en los lenguajes de tipo finito

tenemos todo lo que necesitamos para dar una definición de satisfacción, en particular, como

hemos visto, la relación de satisfacción para cualquier nivel de la jerarquía puede ser siempre

encontrada en la jerarquía misma lo que nos proporciona garantías acerca de que todos los

objetos sobre los que se cuantifica en la definición existen en la mencionada jerarquía, en el caso

de LGTC, la relación de satisfacción no está en la jerarquía de tipos finitos. El teorema de Tarski

muestra que no hay posibilidad de construir un predicado en LGTC+ que pruebe todas las

instancias de la convención T para la totalidad de las oraciones de LGTC.

Tengamos en cuenta que la convención T para un predicado veritativo ‘Tr’ de oraciones

para un lenguaje de tipo infinito establece que son teoremas del sistema deductivo de LGTC+

todas las oraciones de la forma ‘Tr(x) si y sólo si p’ donde en lugar de ‘x’ hay que poner un nombre

descriptivo estructural de una oración de LGTC y en lugar de ‘p’ ponemos esa oración (que es

también una oración de LGTC+. El resultado de Tarski establece que:

Teorema I:

(α) Si ‘Tr’ es un predicado de expresioes definido en LGTC+, será posible derivar dentro

del cálculo deductivo de LGTC+ la negación de una de las oraciones de la forma ‘Tr(x) si y

sólo si p’.

(β) Si el cálculo deductivo de LGTC+ es consistente, entonces no habrá ningún predicado

definido en LGTC+ que satisfaga la convención T. 29

La parte (α) establece que el conjunto de las oraciones verdaderas de LGTC no es

definible en LGTC+. Nótese que el resultado no muestra que ese conjunto sea indefinible. De

hecho, el propio Tarski nos ha sugerido cómo hacerlo. Lo que el resultado muestra, usando como

ejemplo un lenguaje de orden infinito, que tal definición no puede darse usando los recursos

expresivos de ese mismo lenguaje. Por eso, una respuesta posible al resultado de Tarski es

subdividir nuestras nociones semánticas ordinarias en infinitamente muchas nociones. En su

famoso Postscript, al artículo de 1935 Tarski trabaja con lenguajes de orden transfinito y muestra

que si hay un ordinal límite sobre los ordenes de las variables, la verdad es definible en un

lenguaje donde no hay tal límite o donde el límite es más alto. Sólo si no hay un ordinal límite, la

verdad resulta indefinible. La jerarquía que Tarski presenta en 1935 30 no es el resultado de

considerar lenguajes con cuantificadores irrestrictos que van incluyendo más y más predicados

veritativos, sino lenguajes con cuantificadores restrictos que van siendo cada vez más inclusivos.

Tarski trabajó con teoría de tipos, donde cada variable tiene un número ordinal como su orden.

Esto significa que ninguna variable abarca ningún conjunto que esté más alto en la jerarquía que

los ordinales.

Nuevamente, el recurso a un lenguaje de orden infinito es sólo un ejemplo. También se

podría usar un lenguaje de orden finito para mostrar que si sólo se usaran sus recursos expresivos

su propio predicado veritativo sería inexpresable dentro de ese mismo lenguaje. Gómez Torrente

ha formulado un argumento intuitivo que puede ayudar a ver el punto en toda su generalidad: 31

Supongase que existiera un predicado Tr construible en el lenguaje desde el cual se

elabora la definición cuya extensión fuera precisamente el conjunto de oraciones verdaderas del

lenguaje para el cual se elabora la definición. Entonces, si como parte del aparato deductivo del

lenguaje es posible probar un lema de diagonalización, entonces, usando ese teorema, habrá una

oración O, tal que ‘¬ [ O ↔ Tr ( O) ]’ es demostrable en el lenguaje en el cual se elabora la

definición. Como el cálculo deductivo de ese lenguaje es correcto y entonces sólo permite obtener

oraciones verdaderas, tenemos dos alternativas: O bien Tr ( O) y no es el caso que O o bien O y

29 Tarski, A. (1935) p 247.30 Halbach, V (1995) “Tarski Hierarchies” Erkenntnis 43, n 3, pp 339- 367.

31 Mario “Artículo de Análisis” p 151).

no es el caso que Tr(O). Pero en ninguno de los dos casos, Tr puede ser coextensional con el

predicado veritativo. Por eso, ningún predicado del metalenguaje puede satisfacer la convención T.

Por lo tanto, el teorema de Tarski muestra que el metalenguaje no puede tener un predicado

coextensional con el de verdad.

Un punto crucial de este argumento es el recurso al lema de diagonalización. Si forma

parte del aparato deductivo del lenguaje la posibilidad de probar como teorema el lema de

diagonalización, si coinciden el lenguaje para el cual se elabora la definición del predicado de

verdad y el desde el cual se la elabora, no hay manera, si queremos evitar el surgimiento de

contradicciones, de expresar la extensión del predicado veritativo dentro de ese lenguaje. Como

veremos más adelante, este resultado afecta la posibilidad de hablar acerca de la verdad

aritmética dentro de la aritmética, ya que forma parte de los recursos dedutivos de la misma

probar el lema de diagonalización.

El resultado no obliga a sostener que ningún lenguaje puede contener su propio predicado

veritativo. Como ha mostrado Gupta, 8 si se restringe la capacidad expresiva del lenguaje, no hay

surgimiento de contradicciones. O si se abandonan algunos supuestos clásicos, podríamos

tener un lenguaje en el que valga diagonalización y se puedan expresar al menos algunos de sus

conceptos semánticos. Por ejemplo, la teoría de Kripke permitiría la construcción de un punto fijo

en el que se obtenga como parte de la extensión de la verdad justo aquellas oraciones de la

teoría que son verdaderas. Ya que se cumple el lema diagonal, es posible formular esta teoría

para lenguajes que contengan oraciones como el mentiroso. Claro que esta oración no

pertenecería ni a la extensión de la verdad ni a la extensión de la falsedad (no es ni verdadera ni

falsa). No obstante, nótese que el presunto predicado veritativo del lenguaje, no representa la

interacción clásica entre verdad y negación. Y por ese motivo, los lenguajes de punto fijo no

pueden expresar su propia no-verdad. Esto es, el concepto de no-verdad en ese lenguaje no es

definible usando los medios expresivos del lenguaje. Y este resultado implica una limitación

sobre el alcance de la idea de autorepresentación dentro de los lenguajes de punto fijo. Este

resultado parece mostrar que la posibilidad de diagonalizar, impide que todos los conceptos

semánticos puedan internalizarse en esas condiciones. Hay ineludiblemente ciartas limitaciones

expresivas respecto del lenguaje natural (si queremos evitar las contradicciones). Si la

universalidad semántica fuera posible, la verdad sería aritmetizable y no valdría el Teorema de

Tarski.

Obviamente, no todo resultado de Tarski es expresivamente limitativo. Como hemos visto,

él ha diseñado un método para dar una caracterización extensional y formalmente correcta del

concepto de verdad, para una amplia clase de lenguajes formales. E incluso este método se

aplica a lenguajes que cumplan el lema de diagonalización. Su definición nos muestra cómo

especificar las condiciones de verdad para cada una de las oraciones de los mismos: adoptar

una lenguaje con más recursos expresivos de manera tal de poder describir la relación de

satisfacción sin incurrir en inconsistencias. Claro que, como hemos visto, al ofrecer el método, ha

mostrado límites a la posibilidad de representar, dentro de un lenguaje con ciertos recursos

expresivos, su propio predicado veritativo. Si queremos una teoría formalmente correcta de la

verdad para un lenguaje con los mencionados recursos expresivos, debemos formularla desde

un lenguaje con mayor poder expresivo. En este sentido, si nos preguntamos sobre las

condiciones de aplicación de los procedimientos empleados en las definiciones de verdad

material y formalmente correctas, Tarski nos responde lo siguiente:

En base al metalenguaje es posible formular definiciones metodológicamente

correctas y materialmente adecuadas de los conceptos semánticos si, y sólo si, en el

metalenguaje intervienen variables de tipos lógicos de nivel superior al de todas las

variables del lenguaje que constituye el objeto de la investigación. 32

Dicho de otra manera, el metalenguaje no podrá tener el mismo poder expresivo que el lenguaje

objeto (si lo tuviera, el predicado veritativo pertenecería al lenguaje para el cual se define la

verdad lo que podría reinstalar las paradojas). El resultado limita sus capacidades expresivas:

sus propios predicados veritativos no son definibles dentro de los mismos usando sus propios

recursos. Esto significa acotar los recursos de auto-representación. Esto es, si se cumplen

ciertas condiciones expresivas, la necesidad de representar todas las verdades de un lenguaje,

podría dar lugar al surgimiento de una jerarquía de lenguajes, en donde cada nivel de la misma,

poseería más recursos expresivos que el nivel inmediato inferior, y en donde en cada nivel,

sería capaz de representar el predicado veritativo del nivel precedente. En este sentido, afirma

Tarski: “the condition of the “essential richness” of the meta-language proves to be, not only

necessary, but also sufficient for the construction of a satisfactory definition of truth” Esto tiene

como consecuencia que no es posible ofrecer una definición de verdad aplicable a todo lenguaje.

In fact, the setting up of a correct definition of truth for languages of infinite order would in

principle be possible provided we had at our disposal in the metalanguage expressions of higher

order than all variables of the language investigated. 33

32 A. Tarski (1956) op. cit. p. 406.33 Tarski, A. 1935 p. 272.