BALOTARIO DE PREGUNTAS DE ARITMETICA

MCM-MCD

Problema 01 ¿Cuántos divisores comunes tienen los números: 5040; 6720 y 12600? a) 16 b) 20 c) 32 d) 40 e) 24 Solución: Para calcular la cantidad de divisores comunes de 5040; 6720 y 12600, se siguen los dos pasos siguientes: 1.- Se halla el M.C.D. 2.- Se halla la cantidad de divisores del M.C.D. Es decir:

5040 6720 12600 2

2520 3360 6300 2

1260 1680 3150 2

630 840 1575 3 M.C.D.

210 280 525 5

42 56 105 7

6 8 15

3 1 1 1

M.C.D. 2 3 5 7

M.C.D.# D 3 1 1 1 1 1 1 1

M.C.D.# D 4 2 2 2 32 Rpta.

Problema 02 ¿Cuál es el menor número que tiene como divisores a: 48; 90 y 96? Dar como respuesta la cifra de mayor orden del número calculado. a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 Solución: Para calcular el menor número que contenga a 48;90 y 96, basta con calcular el M.C.M. de dichos números.

48 90 96 2

24 45 48 3

8 15 16 2

4 15 8 2M.C.M.

2 15 4 2

1 15 2 2

1 15 1 15

1 1 1

M.C.M. 2 3 2 2 2 2 15 M.C.M. 1440

Nos piden la cifra de mayor orden: 1 Rpta.

Problema 03 Calcular el M.C.D. de A, B y C

4 3A 21 12

2 3B 42 24

2 2C 36 63

a) 2

96 42 b) 3

54 42 c) 4

6 42

d) 3

27 42 e) 2

108 42 Solución: Descomponiendo canónicamente cada número:

34 2 6 7 4

A 3 7 3 2 2 3 7

32 3 11 5 2

B 2 3 7 3 2 2 3 7

2

2 2 2 4 6 2C 2 3 3 7 2 3 7

4 5 2M.C.D. A,B,C 2 3 7

22 3M.C.D. A,B,C 2 3 2 3 7

M.C.D. A,B,C 2

108 42 Rpta.

Problema 04

Siendo: n

A 12 15

n

B 15 12

Además: M.C.D. A,B 1620

Hallar el valor de “n” n 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Solución: Descomponiendo canónicamente A y B

n2 2 n 1 nA 2 3 3 5 2 3 5

n

2 2n n 1B 3 5 2 3 2 3 5

2 n 1 n 1M.C.D. A,B 2 3 5 20 3

Del dato: n 1

20 3 1620

n 1 4

3 81 3

n 1 4 n 3 Rpta.

Problema 05 Hallar “n” en los números:

n

n

A 45 60

B 60 45

Para que se cumpla:

M.C.M. A,B 12 M.C.D. A,B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solución: Descomponiendo canónicamente A y B

n

2 2 2n n 2 n 1A 3 5 2 3 5 2 3 5

n

2 2 2 2n 1 n 1B 2 3 5 3 5 2 3 5

Luego:

2 n 2 n 1M.C.D. A,B 2 3 5

2n 2n 1 n 1M.C.M. A,B 2 3 5

Del dato: 2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 1

2 3 5 12 2 3 5

2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 12 3 5 12 2 3 5

2n 2n 1 n 1 4 n 3 n 12 3 5 2 3 5

Luego:

2n 4 n 2

2n 1 n 3 n 2

2 Rpta. Problema 06 Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo además que los cocientes sucesivos para hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3; 3. a) 672 y 1144 b) 144 y 948 c) 873 y 948 d) 672 y 948 e) 565 y 346 Solución: Sean A y B los números, tal que A > B, donde:

M.C.D. A,B 12

Completando el algoritmo de Euclides de derecha a izquierda.

1 2 2 3 3

A B 276 120 36 12

276 120 36 12 0

B 2 276 120 672

A 1 672 276 948

672 y 948 Rpta.

Problema 07 Si el máximo común divisor de dos números A y B es

ab , sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtuvieron al hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas han sido: 5; 4; 3 y 2.

Además: A B 5797 . Hallar a b a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solución:

Del enunciado: M.C.D. A,B ab

Completando el algoritmo de Euclides de derecha a izquierda.

5 4 3 2

A B 7ab 2ab ab

7ab 2ab ab 0

B 4 7ab 2ab 30ab

A 5 30ab 7ab 157ab Además del dato:

A B 5797

157ab 30ab 5797

187ab 5797

ab 31 Luego:

a b 4 Rpta. Problema 08 Hallar la suma de dos números si se sabe que en el cálculo del M.C.D. por el “Algoritmo de Euclides” se obtuvieron como cocientes sucesivos: 3; 1; 2 y 4; además el M.C.M. de dichos números es 1872. a) 183 b) 122 c) 61 d) 305 e) 244 Solución:

Sea: M.C.D. A,B d

Además: M.C.M. A,B 1872

Completando:

3 1 2 4

A B 9d 4d d

9d 4d d 0

B 1 9d 4d 13d A 3 13d 9d 48d Se sabe:

A B M.C.D. A,B M.C.M. A,B

Luego: 13d 48 d 1872d

Resolviendo: d 3

B 13 3 39

A 48 3 144

Nos piden: A B 183 Rpta. Problema 09

Hallar x y sabiendo que los cocientes sucesivos

para calcular el máximo común divisor por el Algoritmo de Euclides de los números:

x 2 y 1 0 y x 1 xy fueron:

1 ; 1 ; 1 ; 3 y 2 a) 11 b) 13 c) 15 d) 12 e) 9

Solución: Sea:

d M.C.D. x 2 y 1 0, x 1 xy

Luego, completando el algoritmo de Euclides (de derecha a izquierda) tenemos:

Nota: x 1 xy x 2 y 1 0

1 1 1 3 2

x 1 xy x 2 y 1 0 9d 7d 2d d

9d 7d 2d d 0

x 2 y 1 0 16d …(1)

x 1 xy 25d …(2)

De (1) se observa que: x 2 De (2) se deduce que:

o

x 1 xy 25 xy 75

x 7 y 5

Luego: x y 12 Rpta.

Problema 10 La suma de dos números es 972 y al determinar el M.C.D. por el Algoritmo de Euclides se obtienen los restos 30; 7; a; b; 0 donde la diferencia entre a y b es 1. Hallar el mayor de los números si los dos primeros cocientes son iguales. a) 815 b) 637 c) 429 d) 324 e) 157 Solución:

Del enunciado: A B 972 …()

Además:

q q 3q 4q 5q

A B 30 7 a b

30 7 a b 0

Luego: B 30q 7 …(1)

A qB 30 …(2)

Reemplazando (2) en ():

qB 30 B 972

B q 1 942

De (1):

30q 7 q 1 942

30q 7 q 1 157 6

q 1 6 q 5

B 30q 7 157

A 972 157 815 Rpta.

Problema 11 Hallar dos números primos entre sí, que se diferencian en 7 unidades y que además su M.C.M. es 330. Dar como respuesta la suma de cifras del menor de dichos números. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solución: Si A y B son “primos entre sí” (PESI), entonces:

M.C.D. A,B 1

M.C.M. A,B A B

Luego, del enunciado:

A 22A B 7

A B 330 B 15

Nos piden la suma de cifras de B, es decir:

1 5 6 Rpta. Problema 12 El cociente de dos números es 13, si el M.C.M. de A y B es 312. Calcular la suma de dichos números. a) 346 b) 354 c) 336 d) 356 e) 332 Solución: Si “A” es múltiplo de B” (A>B), entonces:

M.C.D. A,B B menor

M.C.M. A,B A mayor

Luego, del enunciado:

oA31213 A B

B 24B13

A 312

Nos piden: A B 336 Rpta. Problema 13 La suma de dos números es 224 y su M.C.D. es 28. Hallar la diferencia de dichos números (una de las soluciones). a) 124 b) 84 c) 112 d) 56 e) 28 Solución:

Sean A y B dos números, siendo A B y además:

M.C.D. A,B d , entonces:

1 2A dq B dq

(siendo 1q y 2q “primos entre si”)

En el problema:

A B 224 …(1)

d 28 1A 28q 2B 28q

Reemplazando en (1):

1 228q 28q 224

1 2q q 8

1 2q q

7 1

5 3

Se presentan 2 soluciones:

A 28 7 196

B 28 1 28

A B 168

A 28 5 140

B 28 3 84

A B 56 Rpta.

Problema 14 El producto de dos números es 2100 y su M.C.D. es 10. Hallar la diferencia de dichos números. a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40 Solución: Del enunciado:

A B 2100 …(1)

d 10 Sabemos que: 1A dq

2B dq

Luego: 1A 10q

2B 10q

Reemplazando en (1):

1 210q 10q 2100

1 2q q 21

1 2q q

21 1

7 3

Se presentan 2 soluciones:

A 10 21 210

B 10 1 10

A B 200

A 10 7 70

B 10 3 30

A B 40 Rpta.

Problema 15 La razón de dos números A y B es 45/20, si el M.C.M. (A,B) = 900. Hallar “A”. a) 275 b) 225 c) 200 d) 325 e) 175 Solución: Sean A y B dos números, luego:

M.C.D. A,B d

M.C.M. A,B m

Además:

1 2A dq B dq

Se cumple:

1 2m dq q

En el problema:

1

2

dqA 45 45

B 20 dq 20

Como 1q y 2q son “PESI”, entonces:

11

22

q 9q 9

q 4q 4

1 2m dq q

900 d 9 4

d 25

Finalmente: A 25 9 225 Rpta.

Problema 16 La suma de números es 540 y su M.C.D. es 45. Hallar la diferencia de dichos números. a) 455 b) 120 c) 101 d) 225 e) 125 Solución:

A B 540 se sabe que

A mcd A 45

B mcd B 45

45( ) 540

( ) 12 como alfa y beta deben de ser primos

entre si elegimos los siguientes valores para ambos.

11 y 7

1 y 5

luego se tiene dos respuestas

A B 45 (11 1) 450

A B 45 (7 2) 225

225 Rpta.

1. Cuál es el MCD de los números: 765; 935 y 1615. a) 5 b) 55 c) 85 d) 15 e) 65

2. Cuál es el MCM de los números 196; 70 y 500. a) 32500 b) 64500 c) 52400 d) 25400 e) 24500

3. Hallar la suma de las cifras de sumar el MCM y MCD de los números: 120; 360 y 480. a) 1560 b) 120 c) 1440 d) 12 e) 8

4. Hallar la cifra de mayor orden de la diferencia entre el MCM y MCD de los números: 560; 480 y 720. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Hallar la cifra mayor de él producto de multiplicar el MCM y MCD de A; B y C, si.

2 3A 36 20

3 2B 14 16

2C 35 42 22

a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

6. Hallar el MCD de los números 48 y 37 por el algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes obtenidos. a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 11

7. Hallar el MCD de los números 134 y 98 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los restos encontrados por dicho método. a) 136 b) 96 c) 100 d) 10 e) 84

8. Hallar el MCD de los números 56 y 24 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes encontrados. Sabiendo que las divisiones se hicieron por exceso. a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

9. Hallar el MCD de los números 129 y 93 por el Algoritmo de Euclides y dar como respuesta la suma de los cocientes por exceso encontrados. a) 121 b) 87 c) 13 d) 93 e) 64

10. Hallar el mayor de dos números cuyo MCD es 5 y los cocientes obtenidos de hallarlo por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 2; 1; 2 y 2. a) 455 b) 895 c) 735 d) 1055 e) 1790

11. Hallar la diferencia de dos números cuyo MCD es 13 y los cocientes sucesivos de hallarlo por el Algoritmo de Euclides son: 2; 1; 2; 1 y 2. a) 123 b) 247 c) 390 d) 143 e) 533

12. Hallar la suma de dos números cuyo MCD es 6 y los cocientes obtenidos por el Algoritmo de Euclides son: 2; 2; 2; 3; 2; 2 y 2. a) 258 b) 144 c) 114 d) 30 e) 4686

13. La suma de dos números es 764 y los cocientes sucesivos de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3; 4 y 5. Hallar el mayor de los números. a) 124 b) 640 c) 450 d) 314 e) 520

14. La diferencia de dos números es 1545 y los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 5; 4; 3; 2 y 2. Dar como respuesta la suma de las cifras del menor. a) 18 b) 11 c) 10 d) 9 e) 14

15. El producto de dos números es 3822 y los cocientes obtenidos de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 3; 2; 2; 2; 2 y 2. Dar como respuesta la suma de las cifras de la diferencia de los números, si las divisiones fueron por exceso. a) 13 b) 7 c) 10 d) 6 e) 15

16. Hallar la diferencia de dos números PESI (primos entre sí) si los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 1; 2; 1; 2 y 2. a) 1 b) 34 c) 97 d) 71 e) 26

17. Hallar el MCM de dos números relativos, si los cocientes de hallar su MCD por el Algoritmo de Euclides son: 2; 1; 2; 1; 2 y 2. a) 1 b) 26 c) 1973 d) 71 e) 1846

18. Se tiene tres depósitos llenas de vino, cada uno

conteniendo 780 litros, 660 litros y 1020 litros, se desea desocupar en recipientes de la mayor capacidad posible de tal manera que no sobre ni falte. Cuál es la capacidad de cada recipiente. a) 80 litros b) 120 litros c) 1 litro d) 20 litros e) 60 litros

19. Se tiene tres sacos con arroz que contienen: 195kg, 285kg y 255kg y se desea embolsar en saquillos que tenga la mayor capacidad posible

de tal manera que no sobre ni falte. Cuantos saquillos como mínimo se usaran. a) 13 b) 15 c) 3 d) 19 e) 49

20. Se tiene cuatro fardos de tela con 420m, 540m,

450m y 360m cada uno y se desea obtener pedazos de la misma longitud de tal manera que no sobre ni falte. Cual es la menor cantidad de cortes necesarios para obtener estos pedazos. a) 59 b) 30 c) 55 d) 11 e) 17

21. Un alumno que postula a Medicina se baña cada

30 días, un aluno que postula a Ingeniería se baña cada 50 días y un aluno que postula a Turismo cada 70 días. Si el día de hoy los tres se bañaron. Dentro de cuantos días se volverán a bañas otra vez el mismo día. a) 105 días b) 850 días c) 2060 días d) 10 días e) 1050 días

22. Cesar, Alex y Frank visitan a Venus la diosa del

amor cada 8; 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos el 10 de Julio. ¿Cuál será la fecha más próxima en la que los tres visitarán de nuevo a la diosa del amor? a) 21 de septiembre. b) 20 de septiembre. c) 19 de septiembre. d) 18 de septiembre.

e) 17 de septiembre. 23. Un médico le dice a su paciente que tomara una

pastilla azul cada 10 horas, una pastilla verde cada 12 horas y una pastilla amarilla cada 18 horas. Si su tratamiento empezó tomado las tres pastillas el día 12 de diciembre del 2005 a las 6p.m. ¿Cuándo y a que hora volverá a coincidir tomando las tres pastillas? Y cuantas pastillas amarillas tomo hasta la fecha. a) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 11 pastillas. b) 20 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas. c) 20 de diciembre a las 6 a.m.; 10 pastillas. d) 19 de diciembre a las 6 p.m.; 11 pastillas. e) 18 de diciembre a las 6 p.m.; 10 pastillas.

24. Tres ciclistas parten simultáneamente y de la

misma línea de partida en una pista circular. En cada vuelta tardan respectivamente: 1 min. 12 seg.; 1 min. 30 seg. y 1 min. 45 seg. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista, cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida? a) 35; 28 y 25 vueltas. b) 35; 28 y 20 vueltas. c) 30; 28 y 26 vueltas. d) 35; 28 y 24 vueltas.

e) 24; 28 y 35 vueltas.