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LECCIÓN 10 BALANCEO DE MECANISMOS Y MÁQUINAS

El balanceo es la técnica de corregir o eliminar fuerzas y momentos de inercia indeseables. Estas fuerzas pueden provocar vibraciones que a veces pueden alcanzar amplitudes peligrosas. Incluso aunque no lo fueran, las vibraciones aumentan los esfuerzos y someten a los cojinetes a cargas repetidas que provocan la falla prematura por fatiga de las piezas. Por lo tanto, en el diseño de maquinaria no basta simplemente con evitar la operación cercana a las velocidades críticas; también es preciso eliminar, o por lo menos reducir, en primera instancia, las fuerzas de inercia que producen estas vibraciones. Un mecanismo o una máquina se consideran equilibrados, si durante su funcionamiento la resultante de todas las fuerzas, que actúan sobre los apoyos del soporte (bancada, cimiento), y el momento resultante de esas fuerzas, son de magnitud y dirección constante. 10.1 TÉRMINOS FUNDAMENTALES CENTRO DE GRAVEDAD El término centro de gravedad se puede considerar como el centro de masa. Su alineamiento diferiría solo en cuerpos largos en los que la fuerza gravitacional de la tierra no es la misma para todos los componentes del cuerpo. El hecho que estos puntos sean los mismos para la mayoría de los cuerpos, es la razón porque los balanceadores estáticos (no – rotacionales), los cuales pueden solo medir el centro de gravedad, pueden ser usados para localizar el centro de masa. CENTRO DE MASA El centro de masa es el punto del cuerpo donde se concentra el valor de todas sus masas. Si un vector de fuerza pasa a través de este punto el cuerpo se moverá en línea recta, sin rotación. La segunda ley de Newton del movimiento describe este movimiento como � � ��, donde la suma de fuerzas �, actuando sobre un cuerpo es igual al producto de la masa (�), por la aceleración (�). EJES GEOMÉTRICOS El eje geométrico se conoce también como eje de rotación. Este eje de rotación es determinado ya sea por la superficie sustentadora rotatoria, la cual existe en la pieza de trabajo, o por la superficie de montado. Una adecuada superficie de montado establece el centro de rotación en el plano del centro de masa (el punto en el cual el centro de masa está localizado). EJE DE INERCIA PRINCIPAL Cuando una parte no tiene forma de disco y tiene longitud a través del eje de rotación, ésta gira en el espacio libre sobre una línea. Esta línea es llamada “eje principal de inercia”, el centro de masa es un punto sobre esta línea. Cuando el eje de inercia principal coincide con el eje de rotación, la parte girará sin fuerzas de desbalance. En resumen, un estado de balance es una condición física que existe cuando hay una distribución de masa total uniforme. El balanceo estático existe cuando el centro de masa está sobre el eje de rotación. Mientras que, el balanceo dinámico y de acoplamiento existen cuando el eje principal de inercia coincide con el eje de rotación

Lección No 10. Balanceo

10.2

10.2 ECUACIONES PARA EL BALANCEO Si el rotor gira alrededor del eje � con una velocidad angular constante, sobre cada masa elemental � estará aplicada una fuerza de inercia � y esta fuerza producirá un momento en el centro de masa. Estas fuerzas se denominan fuerzas de inercia centrífugas. La magnitud para una masa �, alejada del eje de giro una distancia , se calcula mediante la fórmula:

� � �� 30�

donde: � es la fuerza de inercia centrífuga en [N]; � la masa en [kg]; el radio de giro en[m]; � la velocidad angular en [s-1]; n el número de revoluciones por minuto.

Figura 10.1 Fuerza de inercia y sus momentos El signo del vector indica que la fuerza de inercia está dirigida, en la misma dirección del radio , a partir del eje de rotación �. Se elige el plano de coordenadas �, �, tal que pase por el centro de masas � del cuerpo. La fuerza de inercia P origina, respecto a los ejes �, �, los momentos MZ y My. Para determinar estos momentos se descompone la fuerza de inercia � en los componentes �cos� y � sin�, paralelos a los ejes �, �.

�� !"� � �� !"�

�# � � � "$�� "$��

El momento resultante se determina:

� � %�� & �# � �� ω

El ángulo � se obtiene de la relación de momentos: �#

�� sin �

cos� � tan �

FACULTAD DE INGENEIRÍA MECÁNICA - UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

10.3

De las ecuaciones anteriores se deduce, que el vector del momento � es siempre perpendicular al vector de la fuerza de inercia �. Un cuerpo giratorio consta de un número infinito de masas elementales �), alejadas a una distancia ), del eje de rotación y a una distancia �) del plano ��, que pasa por el centro de masas � del cuerpo. Por lo tanto, la fuerza de inercia resultante de todo el cuerpo será: �*+ � � ∑ �)-**+ (10.1) y el momento resultante de todas las fuerzas de inercia del cuerpo con respecto al eje, que se encuentra en el plano z-y y pasa por el punto . �**+ � � ∑ �) /�-**+-**+0 (10.2) El vector ∑ �)-**+ se denomina momento estático y como se conoce de la mecánica, es igual a �1**+, donde � es la masa de todo el cuerpo y 1 la distancia del centro de masa S del mismo respecto al eje de giro. Considerando lo anterior, la fórmula 10.1 se puede también escribir de la forma �*+ � � ∑ �)-**+ � � �1**+ (10.3)

El vector ∑ �) /�-**+-**+0 se puede denominar momento centrífugo de inercia (234****+) respecto al eje � y al plano � 5�. La fórmula 10.2 se puede también escribir de la forma

�**+ � � ∑ �) /�-**+-**+0 � � 234****+ (10.4) Los vectores resultantes �*+ y �**+ ya no son recíprocamente perpendiculares y forman, el uno respecto al otro, cierto ángulo α. Al girar el cuerpo, los vectores �*+ y �**+ giran junto con él, y por eso entre ellos se conserva constantemente un mismo ángulo α. Un cuerpo se considera totalmente equilibrado, si tanto la fuerza de inercia resultante como el momento resultante de las fuerzas de inercia son igual a cero. De las anteriores ecuaciones se desprende que las condiciones de equilibrio total del cuerpo son: �1**+ � ∑ �)-**+ � 0 (10.5)

234****+ � ∑ �) /�-**+-**+0 � 0 (10.6) La condición (10.5) se satisface para el caso en que 1 � 0, es decir, cuando el centro de masas � se encuentra en el eje de giro. La condición 234 � 0 se cumple, sólo en aquel caso en que el eje de giro del cuerpo coincida con uno de los ejes principales de inercia. UNIDADES DE DESBALANCE El desbalance puede ser definido como el peso que ha ser agregado o removido en un radio de corrección. Las unidades de peso pueden ser cualquier unidad conveniente de medición la cual toma en cuenta el peso del equipo disponible y el tamaño de toda la unidad de medición. Gramos (6), onzas (!�) y kilogramos (76) son las unidades más comunes. Ocasionalmente los Newton (N) son utilizados, pero para uso práctico deben ser convertidos a unidades de peso disponibles, las unidades de longitud usualmente corresponden a las unidades de longitud de los dibujos de los estándares de los fabricantes. Las más comunes son pulgadas (in), milímetros (mm), centímetros (cm) y metros (m). Las más comunes combinaciones usadas para especificar desbalance son onza-pulgada (oz-in), gramos-pulgada (g-in), gramo-milímetro (g-mm), gramo-centímetro (g-cm) y kilogramo-metro (kg-m).


10.4

10.3 TIPOS DE DESBALANCE La localización del centro de masa y el eje principal de inercia se determina de acuerdo con la distribución de los distintos elementos diferenciales de masa que componen el cuerpo. Sin embargo, cualquier condición de desbalance puede ser corregida aplicando o removiendo peso en un radio y ángulo particulares, de hecho la cantidad de desbalance, P, puede ser definida correctamente como una masa m, en un radio r.

� � �

10.3.1 DESBALANCE ESTÁTICO Es una condición que existe cuando el centro de masa no está sobre el eje de rotación, puede ser también explicada como la condición cuando el eje principal de inercia es paralelo al eje de rotación. Para corregir el desbalance estático se requiere solo una masa de corrección. La cantidad de desbalance es el producto del peso por el radio. Este tipo de desbalance es un vector, y por eso, debe ser corregido con un peso conocido en un ángulo particular. Fuerza de desbalance es otro nombre para el desbalance estático. La figura 10.2 representa un ejemplo de desbalance estático.

Figura 10.2 Desbalance estático

Puede ser detectado ubicando el rotor sobre dos apoyos prismáticos. La parte más pesada tenderá a ubicarse siempre por debajo del eje de rotación o lo que es lo mismo, el eje longitudinal de inercia quedará por debajo del eje de rotación. Este tipo de desbalance puede identificarse también comparando las mediciones de amplitud y fase en los extremos del rotor. Rotores simétricos soportados por cojinetes idénticos exhibirán idénticos valores de amplitud y fase de las vibraciones filtradas a la frecuencia de rotación, si el desbalance es de tipo ESTÁTICO.

EJEMPLO 10.1 Si un eje (figura 10.3) rota a una velocidad angular de 8 9":;< y posee una sola masa �; [kg] cuyo centro de gravedad está en ; [m] desde el eje de rotación, el eje experimentará una fuerza centrífuga de magnitud �;;� [N]. Esta fuerza, que está cambiando continuamente de dirección, causa que el eje ejerza fuerzas sobre los apoyos, y estas fuerzas serán transmitidas al bastidor y a las bases de la máquina. Los efectos de la fuerza centrífuga ocasionada por la masa en rotación pueden ser eliminados (minimizados) adicionando una masa �=, cuyo centro de gravedad se encuentre en el plano diametral de �;, pero en sentido opuesto a una distancia = , desde el eje de rotación de tal modo que se cumpla:

�;;� � �==�


10.5

Figura 10.3 Balance en un plano

Se puede notar que para las dos masas en el mismo plano, el eje se encuentra en balanceo tanto estático como dinámico. El centro de gravedad se encuentra en el eje del árbol y permanece allí en una posición fija con respecto al bastidor del la máquina sin importar si se encuentra en reposo o en movimiento. VARIAS MASAS ROTANDO EN UN MISMO PLANO TRANSVERSAL Si varias masas m1, m2, m3, etc., se encuentran en el mismo plano transversal, como se aprecia en la figura 10.4, el árbol está sometido a un sistema concurrente de fuerzas centrífugas, �;;� , � � , etc. Sea �*+ el vector suma (resultante) del sistema de fuerzas:

�*+ � � > �)-**+ � ?�;;***+ & � ***+ & … & �AA***+B � � > �C La condición para que este sistema sea balanceado es que �*+ � 0, o que 8 ∑ �C � 0. Luego, los términos �;;, � , etc. pueden ser sumados vectorialmente. La ecuación ∑ = 0mR requiere que el centro de gravedad del sistema se encuentre en el eje del árbol.

En la figura 10.4, los vectores �;;, � , etc., son sumados iniciando desde el punto A. El vector adicional (de E hacia A) cierra el polígono y hace que �*+ � 0. Este vector de balanceo se obtiene ubicando una masa �D en un radio D, en la dirección indicada por el polígono.

Figura 10.4 Balance en un plano de varias masas

Diferentes valores de �D y D, pueden ser tomados dependiendo del espacio o de otros requerimientos, pero el producto entre los dos siempre debe permanecer constante en el valor determinado por el polígono. 10.3.2 DESBALANCE DE ACOPLAMIENTO Es una condición específica que existe cuando el centro de masa se encuentra sobre el eje de rotación y el eje principal de inercia no es paralelo con el mismo. Para corregir el desbalance por acoplamiento, deben ser


10.6

agregados dos pesos iguales a la pieza de trabajo en ángulo de separación de 180 grados en dos planos de corrección, la distancia entre estos dos planos es llamada “brazo de acoplamiento”. El desbalance de acoplamiento es un vector que describe la corrección. Es común para los balanceadores desplegar el vector de desbalance izquierdo de una corrección de acoplamiento para ser aplicado en ambos planos izquierdo y derecho. El desbalance de acoplamiento es expresado como � � � · · �, donde M es la cantidad de desbalance, � · · � es el producto de la masa � por su radio por la distancia �, del brazo de acoplamiento. El desbalance de acoplamiento es definido como la masa por su longitud al cuadrado, unidades comunes para el desbalance de acoplamiento serian g-mm2 o onza-pul2. El ángulo es el ángulo de corrección en el plano izquierdo (note que en mecánica, el ángulo es perpendicular al plano del radio del vector y el vector del brazo de acoplamiento, este es un ángulo de 90 grados en relación a la localización del peso). El desbalance de acoplamiento puede ser corregido en cualquiera de los dos planos, pero primero la cantidad tiene que ser dividida por la distancia entre los planos seleccionados. Mientras que el desbalance estático puede ser medido con un balanceador no rotacional, un desbalance de acoplamiento solo puede ser medido al girar la pieza de trabajo. El siguiente dibujo representa un ejemplo de desbalance de acoplamiento.

Figura 10.5 Desbalance de acoplamiento EJEMPLO 10.2

Si un árbol (figura 12.2) contiene dos masas 1m y m2 en planos diferentes de rotación pero en el mismo plano

axial, o sea, el mismo plano pasa a través del eje del árbol, y si, desde luego, las fuerzas centrífugas �;;� y � � son iguales, entonces el árbol está sometido a la acción de un desbalance de acoplamiento. Este desbalance de acoplamiento tiende a hacer girar el árbol en un plano axial y es resistido por un par de fuerzas iguales y opuestas aplicadas al eje de rotación en los rodamientos.

Figura 10.6 Las dos masas que rotan pueden ser balanceadas introduciendo dos masas adicionales �F y �G en el mismo plano axial de tal modo que el acople centrífugo entre ellas sea igual al acoplamiento centrífugo entre �; y � . Esto es: �;;� H � �FF� I y �FF� � �GG�


10.7

10.3.3 DESBALANCE EN DOS PLANOS O BALANCEO DINÁMICO Es también definido como el desbalance dinámico. Es una suma vectorial de desbalance estático y desbalance de acoplamiento. Para corregir es necesario tener dos planos de balanceo y se requiere dos pesos de corrección, uno en cada plano en dos ángulos no relacionados. La especificación de desbalance solamente es completa si se conoce el lugar del eje axial del plano de corrección. El desbalance dinámico o desbalance en dos planos especifica todo el desbalance que presenta una pieza de trabajo. Este tipo de desbalance puede solo ser medido en un balanceador giratorio el cual detecta la fuerza centrífuga debida al componente de acoplo de desbalance. El siguiente dibujo representa un ejemplo de desbalance dinámico.

Figura 10.7 Desbalance dinámico

VARIAS MASAS ROTANDO EN PLANOS TRANSVERSALES DIFERENTES En la figura 12.4, las masas �; y � están conectadas al eje de un árbol sobre la línea J 5 J; y los centros de gravedad de las dos masas están situados en los planos K; y K . Las fuerzas debidas a la rotación del sistema son L; y L . En el punto . del eje del árbol se encuentra un plano transversal KD (llamado el plano de referencia). En el punto . del plano de referencia introducimos dos fuerzas iguales y opuestas L; paralelas a la fuerza original del plano K;. La fuerza L; en . y la fuerza opuesta L; en .; forman un acoplamiento centrífugo cuyo momento es �;;� H;, donde � es la velocidad angular del árbol. Luego, la fuerza L; que actúa en el punto .; del plano K; puede ser reemplazada por una fuerza igual y paralela actuando en el punto . del plano de referencia y un par cuyo memento es L;H;. Del mismo modo la fuerza L que actúa en el punto . del plano K puede ser reemplazada por una fuerza L igual y paralela que actúe en el plano de referencia y por un par cuyo momento es L H � � � H .

Figura 10.8


10.8

Es evidente que el plano de referencia se puede elegir arbitrariamente, y el sistema de fuerzas en el sistema rotativo puede ser reducido a un sistema de fuerzas concurrentes que actúan en el plano de referencia y un sistema de pares que actúan en varios planos axiales. La fuerza, si no está balanceada, tiene una sola resultante en el plano de referencia, y los pares, si no están balanceados pueden ser reducidos a un solo par en el mismo plano axial. Sin embargo, en general, el sistema de fuerzas, si no está balanceado puede ser reducido a una sola fuerza y un solo par. La magnitud del par dependerá de la posición que se escoja para el plano de referencia. Luego, las condiciones de balance para masas rotando en diferentes planos transversales son las siguientes:

1. El vector suma de todas las fuerzas centrífugas debe ser cero. Esto es,

> �� 0

2. El vector suma de los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier plano de referencia

elegido arbitrariamente debe ser cero, o sea,

> �� H � 0

Para balancear este tipo de sistemas, se requiere al menos de dos masas adicionales en planos transversales diferentes. O sea que la fuerza debe ser balanceada por una masa en el plano de referencia, y los momentos por una masa situada en algún otro plano transversal. MÉTODO GRÁFICO DE BALANCEO PARA CUALQUIER NÚMERO DE MASAS En la figura 9.11 se presenta un rotor con varias masas desbalanceadas ubicadas en planos diferentes, se muestra la posición angular de cada una de las masas en su plano respectivo, y los planos I y II en los que se adicionaron los contrapesos para balancear al rotor.

Figura 10.9

De acuerdo con la figura 10.9, se requiere balancear el sistema de tres masas en rotación �;, � y �F. La solución consiste en aplicar las condiciones de balance desarrolladas en el párrafo anterior. Estas condiciones obedecen a las ecuaciones:

∑ �� 0 y ∑ �� H � 0


10.9

o si se elimina el término común � ,

∑ � � 0 y ∑ � H � 0

El problema se puede resolver mediante dos métodos, el primero depende de las relaciones de fuerza y de momento, y el segundo depende sólo de la relación de momentos. En ambos métodos, los planos en que se encuentran las masas correctoras (�=; y �= ) se representan como Plano I y Plano II. Primer método. Sean las masas “�;, � , �F,” en 76 y las distancias en �. Los planos de referencia se eligen como se muestra, el lado izquierdo del Plano I de referencia se toma como el lado positivo. La masa correctora �=; se encuentra en el Plano I a una distancia =; y la masa correctora �= se encuentra en el Plano II a una distancia = . El primer paso consiste en calcular los términos �H para las masas �;, � , �F. Debe notarse que la masa � al encontrarse en el lado derecho del plano de referencia genera un momento negativo. El siguiente paso es dibujar el polígono de momentos que muestra que la suma de los momentos con respecto al Plano I es cero. El polígono se muestra en la siguiente figura. En el lado positivo del plano de referencia, las direcciones de los momentos coinciden con las direcciones de las fuerzas. El momento � H que es negativo se representa por un vector que tiene una dirección opuesta a la dirección de la fuerza centrífuga de la masa � . La masa de balanceo desconocida �=;, situada en el Plano I de referencia no genera momento. El momento �=;=;H=; generado por la masa de corrección desconocida �=; está dado por el vector que cierra el polígono de momentos. Asumiendo que �=; está situado al lado izquierdo (positivo) del plano de referencia, la dirección de su radio será la misma que tenga el vector �=;=;H=;.

Figura 10.10

Sólo resta determinar las características de la masa de balanceo �= ubicada en el Plano II de referencia. Para ello se aplica la relación de fuerza que indica que el vector suma de todas las fuerzas centrífugas debe ser cero. Las cantidades � se calculan para todas las masas conocidas incluyendo la masa de balanceo �=;. El polígono de fuerzas se muestra en la figura 10.10, el vector que cierra el polígono es el vector que representa la cantidad �= = . Para este caso se puede asumir el valor del radio y calcular la masa o viceversa.

Segundo método. El segundo método para solucionar el problema (ver figura 10.11) es exactamente similar al primero hasta la determinación del la masa correctora �=;.


10.10

Figura 10.11

El resto del problema consiste solamente en tomar momentos con respecto al plano de la masa correctora �=; y dibujar un segundo polígono de momentos así como se indica en la figura anterior. En este caso el lado derecho del Plano I de referencia ha sido tomado como el lado positivo. El lado que cierra el polígono es el vector �= = I= , donde I) son las distancias tomadas desde el Plano I hasta cada una de las masas, incluyendo la correctora desconocida del Plano II.

MÉTODO ANALÍTICO DE BALANCEO DE MASAS

Con frecuencia es conveniente utilizar métodos analíticos en la solución de problemas de balanceo en lugar de los métodos gráficos enunciados antes. Para aplicar el método analítico a un sistema de masas en rotación, las fuerzas se descomponen es sus componentes vertical y horizontal, como se muestra en la figura 10.12. Las condiciones de balanceo se expresan mediante las siguientes ecuaciones: Fuerzas horizontales: � ∑ �))cos�) � 0 Fuerzas verticales: � ∑ �) ) sin�) � 0 Momentos horizontales: � ∑ �) ) �) cos�) � 0 Momentos verticales: � ∑ �))�) sin�) � 0 Con las dos primeras ecuaciones satisfechas se tendrá balanceo estático; para el balanceo dinámico se tienen que cumplir las cuatro ecuaciones.

Figura 10.12


10.11

EJEMPLO 10.3 BALANCEO: MÉTODO ANALÍTICO Y MÉTODO GRÁFICO En la figura 10.13 se muestra un sistema de tres masas desbalanceadoras. Encontrar las respectivas masas de balanceo en los planos A y B. Los valores de las masas y su ubicación se muestran en la tabla 10.1 Tabla 10.1 Datos para el ejemplo 10.3

mi [g] ri [mm] θi [°] 1 60 100 30 2 50 80 135 3 70 90 210

Figura 10.13

MÉTODO ANALÍTICO: CÁLCULO DE LA MASA EN EL PLANO B:

li mi ri mi ri cos θi mi ri sin θi MA(mi ri cos θi) MA(mi ri sin θi) -300 6000 5196 3000 -1558800 -900000 400 4000 -2828,4 2828,4 -1131360 1131360 600 6300 -5456 -3150 -3273600 -1890000 Σ -5963760 -1658640 mB rB cos θB = 7454,7 mB rB sin θB = 2073,3 Σ 4366,3 4751,7

∑ �M?�) ) cos�)B & �N N �MNcos�N � 0, por lo tanto �N N �MN cos�N � 5963760 g mm2 Reemplazando �MN � 800 ��, se tiene: �NN cos�N � 7454,7 g mm ∑ �M?�)) sin�)B & �NN �MNsin�N � 0, por lo tanto �NN�MN"$��N � 1658640 g mm2 Reemplazando �MN � 800 ��, se tiene: �NN sin�N � 2073,3 g mm

donde: �N N � W?�NN cos �N & �NN sin �N B � 7737,64 g · mm Si se toma M = N = 100 mm �N � 77,464 g y �N � 15,54 ° CÁLCULO DE LA MASA EN EL PLANO A: Se debe anexar en las columnas correspondientes el valor de la fuerza inercial generado por la masa en el plano B. ∑ �)) cos�) & �MM cos�M � 0, por lo tanto �MMcos�M � 54366,3 g mm, y ∑ �)) sin�) & �MM sin�M � 0, por lo tanto �MMsin�M � 54751,7 g mm,


10.12

donde: �M M � W?�MM cos �M & �MM sin �M B � 6453,16 g · mm �M � 64,53 g y �M � 47,42 & 180 � 227,42° MÉTODO GRÁFICO: CÁLCULO DE LA MASA EN EL PLANO B: ver figura 10.14

li mi ri mi ri li 1 -300 6000 -1800000 2 400 4000 1600000 3 600 6300 3780000

Plano B 6190143,2

Figura 10.14

Para �B � 800 �� y B � 100 ��, se tiene �B � 77,4 g y �B � 16 ° CÁLCULO DE LA MASA EN EL PLANO A:

mi ri 1 6000 2 4000 3 6300

Plano B 7740 Plano A 6488

Figura 10.15

Si A � 100 mm, se tiene �A � 64,9 g y �A � 228° En la tabla 10.2 se presenta un resumen de los procedimientos recomendados según la geometría del motor y las condiciones de operación.


10.13

Tabla 10.2 MODOS DE BALANCEO

ROTOR RELACIÓN L/D MODELO DE BALANCEO

UN PLANO DOS PLANOS MÚLTIPLES

PLANOS

Menor que 0,5 Hasta 1000 rpm Superior a 1000 rpm NO

Mayor que 0,5 y menor que 2

Hasta 150 rpm 150-2000 rpm

Superior a 70% Vel. Crítica

Superior a 2000 rpm. Superior a 70%

Vel. Crítica

Mayor que 2 Hasta 100 rpm Superior a 100 rpm y hasta el 70% Vel.

Crítica

Superior a 70% Vel. Crítica

10.4 EJEMPLO DE BALANCEO EN UN PLANO Cuando se habla de balancear en un plano se está haciendo referencia a la acción de efectuar las correcciones en sólo una cara del rotor. Para llevar a cabo el balanceo en un plano se pueden emplear diferentes técnicas, de acuerdo con la instrumentación disponible. Balanceo en un plano sin medición de fase: no siempre se dispone de un instrumento para medir fase o por determinadas razones se hace imposible la medición de este parámetro, resulta de gran valor práctico poder disponer de una técnica para balancear sin contar con la información de fase. De manera que, sólo será necesario medir la amplitud de las vibraciones preferiblemente a la frecuencia de rotación. De igual forma será necesario marcar en el rotor las posiciones 1, 2 y 3 a 90º entre sí, según se ilustra en la figura 10.16.

El método consiste en realizar cuatro corridas de prueba. En la primera de ellas se medirá la amplitud de las vibraciones; es decir, se tomará la lectura original V0. Para la segunda corrida de pruebas se fijará una masa de pruebas de valor conocido MT en la posición 1 y nuevamente se medirá la amplitud de las vibraciones, ahora identificada como V1. Esta lectura será proporcional al efecto de la acción conjunta del desbalance original más el provocado por la masa de pruebas ubicada en la posición 1.

Figura 10.16 Procedimiento para el balanceo por cuatro corridas


10.14

Posteriormente, la masa de pruebas se moverá desde la posición 1 hacia la posición 2, conservando igual radio de fijación que el empleado para la prueba anterior. Nuevamente se medirá la amplitud de las vibraciones y la lectura V2 será proporcional al efecto de la acción conjunta del desbalance original más el provocado por la masa de pruebas en la posición 2. Del tratamiento vectorial de estas magnitudes medidas se podrá obtener como resultado la amplitud de las vibraciones VT provocadas por el efecto único de la masa de pruebas así como el ángulo de posición del desbalance original Vo respecto de la posición 1, según se muestra a continuación.

2 2 21 2

2 22 1

0T 0

2

2

acos4

o

T

V V VV

V V

V Vα

+ −=

−=

Ahora el problema radica en analizar en qué sentido, horario o antihorario, se deberá recorrer α0 para identificar la posición del desbalance original, representado por V0. Para ello será necesario ejecutar la cuarta prueba, moviendo la masa de pruebas desde la posición 2 hacia la posición 3. Según la nueva lectura V3 se evidenciará en qué sentido recorrer el ángulo α0

Las lecturas de vibraciones debidas a problemas de desbalance guardan igual proporción que las masas desbalanceadas que los provocan por lo cual se puede calcular la masa de corrección Mc a partir de:

0C T

T

VM M

V=

Ejemplo 10.4 Se requiere balancear un rotor que presenta grandes vibraciones. Solo se dispone de un equipo para la medición de la velocidad de la vibración y no se dispone de ningún instrumento para la medición de fase. La medición inicial de la vibración sin adicionar contrapeso fue de 25 mm/s, según la norma ISO 10816 se corresponde con un nivel no permisible. Para el balanceo se dispone de una masa de prueba de 50 g y se dispone de cuatro sitios ubicados a 90 cada uno para el balanceo. Se adiciona la masa de prueba en la posición a 0º y se mide una vibración de 22,2 mm/s. Posteriormente se quita el contrapeso de prueba y se ubica en la posición correspondiente con 180º con lo que se obtiene una vibración de 34,7 mm/s. En la cuarta corrida, se ubica el contrapeso en la posición 270º y se obtiene una vibración de 13,8 mm/s. Calcule los contrapesos que se requieren adicionar y su posición para balancear el rotor. De acuerdo con las mediciones realizadas, el valor de la vibración de la primera medición sin adicionar contrapesos es V0 = 25 mm/s. La medición con el contrapeso a 0º se corresponde con la ubicación en 1, por lo que se obtiene V1 = 22,2 mm/s, y la de 180º con la posición 2, V2 = 34,7 mm/s. La última medición nos indica que el contrapeso se debe ubicar en la parte inferior del rotor. El efecto del contrapeso se obtiene mediante:

2 2 2 2 2 21 2 0

T

2 2 2 22 1

0T 0

2 22,2 34,7 2 2515mm/s

2 2

34,7 22,2acos acos 61,7º

4 4 15 25

V V VV

V V

V Vα

+ − + − ⋅= = =

− −= = =

⋅ ⋅


10.15

De acuerdo con los resultados de la cuarta medición, este ángulo debe ser medido en sentido horario ya que el contrapeso en la posición 270º redujo el nivel de la vibración. Para calcular la masa para balancear, se utiliza la siguiente expresión:

0C T

T

25mm/s50 g 83,3g

15mm/s

VM M

V= = ⋅ =

Método alterno de las cuatro corridas Existe un segundo método para realizar un balanceo aproximado del eje, en este segundo método también se requieren cuatro corridas tomando la señal de vibración sin referenciar la fase. Se emplea el valor de vibración del sistema en la velocidad de operación o frecuencia de 1X. • Se realizar la primera corrida del equipo y se toma la señal de la máquina en su estado inicial (V0). Con el

valor obtenido se grafica una circunferencia con radio V0, figura 10.17.

Figura 10.17 Representación de la vibración inicial y ubicación de las masas

• Se selecciona una masa de prueba MT, se seleccionan tres puntos equidistantes (P1, P2, P3) en donde se pondrá la masa de prueba y con los que se harán las siguientes tres corridas.

• Se pone la masa de prueba en la posición 1 se realiza la segunda corrida obteniendo un valor de vibración V1. Se grafica un círculo en la posición 1 cuyo radio es V1, figura 10.18.

• Se pone la masa de prueba en la posición 2 y se realiza la tercera corrida obteniendo un valor de

vibración V2. Se grafica un círculo en la posición 2 cuyo radio es V2, figura 10.18.

• Se pone la masa de prueba en la posición 3 y se realiza la segunda corrida obteniendo un valor de vibración V3. Se grafica un círculo en la posición 3 cuyo radio es V3, figura 10.18.

• Se traza un vector desde el centro del plano polar hasta la región de intersección de los tres círculos (Vc). Dicho vector representa la masa de corrección necesaria para balancear el sistema.

• Se determina el valor de la masa de corrección utilizando la masa de prueba y los valores de la lectura inicial de vibración V0 y el valor del vector de corrección VT.

0C T

T

VM M

V=

V0

P1

P2

P3


10.16

Figura 10.18 Determinación de la masa de balanceo

Ejemplo 10.5 En un banco de ensayos que opera a 900 min-1 se tiene un desbalance que produce una vibración. Para el balanceo se decide utilizar el método de cuatro corridas. La vibración inicial es V0 = 0,539 mm/s. Para el balanceo se utiliza una masa de prueba MT = 11,7 g que se ubicará a 0°, 120°, 240°. Los valores obtenidos cuando se utilizó la masa de pruebas en estas posiciones fueron:

V1 = 0,7485 mm/s (0°) V2 = 0,4166 mm/s (120°) V3 = 0,5744 mm/s (240°)

En la figura 10.19 se representan los valores de vibración obtenidas en el procedimiento. Se determinó la región de interferencia con los círculos con radios V1, V2 y V3 desde el punto de ubicación de la masa de prueba. Según los resultados obtenidos, el valor de la vibración es VT = 0,192 mm/s a 155°.

Figura 10.19 Análisis de resultados del ejemplo 10.5

V0

V1

V2

V3

P1

P2

P3

Vc


10.17

10.5 EQUILIBRADO DE UN CUADRILÁTERO ARTICULADO

Cuando un eslabón está en movimiento, transmite fuerzas a su alrededor. Si este eslabón está desbalanceado, sus fuerzas de inercia contribuyen a la generación de vibraciones, ruido, desgaste y, por lo tanto, problemas de fatiga. Si un mecanismo es balanceado completamente, la suma vectorial de las fuerzas de inercia que actúan sobre la estructura es cero. En un mecanismo articulado, se puede reducir el efecto de estas fuerzas, mas no eliminar completamente, debido a la existencia de eslabones que se mueven sin tener un apoyo fijo. Un método para obtener este resultado es el método de los vectores linealmente independientes, que permite redistribuir las masas de los eslabones de tal forma que los términos dependientes del tiempo de la función que describe el movimiento del centro de masas de los eslabones móviles del cuadrilátero articulado sean cero. 10.5.1 MÉTODO DE LOS VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

En la figura 10.20 se representa un cuadrilátero articulado con los respectivos centros de masas de los eslabones móviles, representados por G1, G2 y G3. Los vectores Li con i = 1, 2, 3, y 4, permiten la ubicación relativa entre los pares de rotación; los vectores di con i = 1, 2, y 3, ubican al centro de masas del eslabón i con respecto a un par de rotación del eslabón. Los ángulos φi definen la orientación del vector Li con respecto a la horizontal.

Figura 10.20 Descripción de las variables De la geometría del mecanismo se obtiene la ecuación vectorial que describe la ubicación del punto C con respecto al sistema de coordenadas XY con origen en el apoyo A:

1 2 3 4+ = +L L L L 10.7

La representación compleja, en el sistema coordenado OXY, de la anterior expresión es:

31 2 jj j

1 2 4 3e e eL L L Lφφ φ

+ = + 10.8

El centro de masas de los elementos móviles del cuadrilátero articulado es dado por la ecuación del primer momento:

( ) ( )1 1 2 1 2 3 4 3

s

m m m

m

+ + + +=

d L d L dL 10.9

φ2

γ2

L1

L4

d3

G2

φ1

φ3

γ3

γ1

G3

d2

L2

L3

G1

d1

Y

XA

B

C

D

1

2

3


10.18

siendo m la masa del conjunto de eslabones móviles del mecanismo y Ls el vector que posiciona el centro de masas de los eslabones móviles del cuadrilátero articulado con respecto al origen del sistema coordenado OXY. La representación compleja de la Ec 10.9 viene dada por la siguiente expresión:

( ) ( )( ) ( )( )3 31 1 2 21 jj jj1 1 2 1 2 3 4 3

s

e e e em d m L d m L d

m

φ +γφ +γ φ +γφ+ + + +

=L 10.10

En la expresión 10.10 se elimina el término φ2 mediante el reemplazo de la expresión 10.8:

( ) ( )( )3 31 1 31 2 1 jj jj j j34 11 1 2 1 2 3 4 3

2 2 2

e e e e e e

s

LL Lm d m L d m L d

L L L

m

φ +γφ +γ φφ γ φ

+ + + − + +

=L 10.11

Si se agrupan los términos que dependen del tiempo, φ1 y φ3, se obtiene:

3 31 1 2 2 2j jj j j j j31 41 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 4 2 2

2 2 2s

e e e e e e e

=

LL Lm d m L m d m d m d m L m d

L L L

m

φ γφ γ γ γ γ + − + + + +

L 10.12

Si los coeficientes de ejφ1 y ejφ3 se anulan, el centro de masas de los eslabones móviles estaría en reposo y por lo tanto la exteriores 0F =∑ ya que a(G) = 0. De la aplicación de esta condición se obtienen las siguientes

ecuaciones:

1 2

32

j j11 1 2 1 2 2

2

jj32 2 3 3

2

e e 0

e e = 0

Lm d m L m d

L

Lm d m d

L

γ γ

γγ

+ − =

+

10.13

De acuerdo con la expresión 10.13, el balanceo del mecanismo articulado se obtiene con un diseño adecuado de la geometría y de la distribución de la masa de los eslabones móviles. Cualquier combinación de contrapesos de balanceo y ubicación del centro de masas puede ser utilizada si se cumple la expresión 10.13.

10.5.2 DISEÑO DEL MECANISMO DE DOBLE MANIVELA En la tabla 10.3 se presentan las propiedades de los eslabones de un mecanismo de doble manivela que se diseña teniendo en cuenta el balanceo del mecanismo. La longitud del eslabón fijo es de 25 mm.

Tabla 10.3 Propiedades de los eslabones del mecanismo de doble manivela

Eslabón Masa [kg]

Longitud [mm]

Momento de Inercia, respecto a CM

[kg mm2]

Posición del centro de masas

[mm] Manivela 0,20757 75 483,78 (0, -12,8) Acoplador 0,0729 75 59,57 (37,5, 0)

Eslabón conducido 0,27025 100 928,71 (0, -13,1) La figura 10.21 presenta los eslabones móviles del mecanismo de doble manivela con el propósito de ilustrar la distancia entre los pares cinemáticos, la ubicación del centro de masas y el sistema local de coordenadas para su ubicación.


10.19

a) Manivela b) Acoplador

c) Eslabón conducido

Figura 10.21 Diseño de los eslabones del mecanismo de doble manivela En la figura 10.22 se presenta la trayectoria del centro de masas de los eslabones móviles del cuadrilátero articulado; se observa que la variación de la trayectoria es pequeña y se considera que con el diseño de sus eslabones se obtiene un equilibrado adecuado.

Figura 10.22 Trayectoria del centro de masas de los eslabones móviles del cuadrilátero articulado

75

56G1

X

Y

R31

R15

75

G2

Y

X

70

100

X

Y

G3

R33

R15

-0,4

-0,2

0,2

0

0,4

XG [mm]

YG [mm]

13,5 14 14,5


10.20

En la figura 10.23 se presenta el diagrama polar del vector fuerza de inercia residual, Gi im−∑ a , el eslabón

conductor gira a velocidad angular constante –ω1 = 13,823 rad/s– y existe un par resistivo constante en el eslabón conducido –ΓD = 2 N m.

Figura 10.23 Variación polar de la fuerza de inercia total del mecanismo Con este método de balanceo se obtiene que la suma de las fuerzas que actúan sobre el mecanismo es constante; sin embargo, las fuerzas individuales que se transmiten a las articulaciones fijas varían con el tiempo. La magnitud de estas fuerzas puede ser mayor en el mecanismo balanceado, debido a la adición de contrapesos, que en el caso desbalanceado. En general, estas fuerzas producen un momento en el bastidor variable con el tiempo. En el caso del equilibrado del cuadrilátero articulado en el que los eslabones no pueden ser modificados, se obtiene un resultado equivalente al adicionar dos contrapesos, unidos a los dos eslabones móviles. Generalmente, es más conveniente seleccionar los eslabones conductor y conducido. 10.6 EJERCICIOS 10.1 En la figura P 10.1 se presenta un eje con tres masas desbalanceadas, para reducir las vibraciones producidas por el desbalanceo, se propone utilizar dos masas correctoras en los planos A y B. Calcule las masas requeridas en estos planos y especifique su ubicación. Los datos requeridos son: m1 = 4 kg, m2 = 4 kg, m3 = 4 kg, θ1 = 90º, θ2 = 225º, θ3 = 315º, r1 = 100 mm, r2 = 150 mm, r3 = 250 mm.

Figura P.10.1

-0,02-0,04 0,060,040,02

-0,02

-0,04

-0,06

0,04

0,02

FX [N]

FY [N]

BAm1 m1

m3 m3

m2 m2

75 mm 100 mm 100 mm 250 mm

θ1

θ2

θ3


10.21

Respuesta: mArA = 861,46 kg mm θA = 134,7º, mBrB = 344,52 kg mm θB = 20,24º 10.2 En la figura P 10.2 se presenta un eje con tres masas desbalanceadas, para reducir las vibraciones producidas por el desbalanceo, se propone utilizar dos masas correctoras en los planos A y B. Calcule las masas requeridas en estos planos y especifique su ubicación. Los datos requeridos son: m1 = 50 g, m2 = 60 g, m3 = 40 g, θ1 = 90º, θ2 = 210º, θ3 = 315º, r1 = 100 mm, r2 = 120 mm, r3 = 80 mm.

Figura P.10.2

Respuesta: mArA = 4813,08,46 g mm θA = 8,27º, mBrB = 808,63 g mm θB = 167,82º, 10.3 En la figura P.10.3 se presenta un eje con tres masas desbalanceadas. Para reducir las vibraciones producidas por el desbalanceo, se propone utilizar dos masas correctoras en los planos A y B. Calcule las masas requeridas en estos planos y especifique su ubicación. Los datos requeridos son: m1 = 20 g, m2 = 30 g, m3 = 20 g, θ1 = 90º, θ2 = 30º, θ3 = 315º, r1 = 45 mm, r2 = 40 mm, r3 = 55 mm.

Figura P.10.3 Respuesta: mArA = 1069,77 g mm θA = 227º, mBrB = 1089,71 g mm θB = 176,81º 10.4 En la figura P.10.4 se presenta un eje con tres masas desbalanceadas. Para reducir las vibraciones producidas por el desbalanceo, se propone utilizar dos masas correctoras en los planos A y B. Calcule las masas requeridas en estos planos y especifique su ubicación. Los datos requeridos son: m1 = 50 g, m2 = 40 g, m3 = 30 g, θ1 = 50º, θ2 = 240º, θ3 = 120º, r1 = 30 mm, r2 = 25 mm, r3 = 20 mm.

BAm1 m1

m3

m3

m2

m2

75 mm150 mm 200 mm 200 mm

θ2

θ3

θ2

θ3

m1m1

m2

m3

m2

m3

600 mm 600 mm700 mm 700 mm

A B


10.22

Problema 10.4

Respuesta: mArA = 1927,22 g mm θA = 216,1º, mBrB = 1432,1 g mm θB = 13,4º 10.5 Se debe balancear el eje de la figura 10.5 adicionando contrapesos en los planos de corrección A y B. Las masas desbalanceadas son m1 = 60 g, m2 = 50 g, m3 = 70 g. Las dimensiones son r1 = 100 mm, r2 = 80 mm, r3 = 90 mm. Las posiciones angulares de las masas son θ1 = 30º, θ2 = 135º y θ3 = 210º.

Problema 10.5 Respuesta: mArA = 6453,31 g mm θA = 227,4º, mBrB = 7737,68 g mm θB = 15,54º

θ1

θ3 m1

m1

m2

m3

m2

m3

200 mm 150 mm 200 mm 150 mm

A B

θ2

θ1θ3

m1m1

m3

m2

m3

300 mm 400 mm 200 mm200 mm

A B θ2

m2

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