Ayudantia5-2015.1(Pauta)
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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica
Ayudantıa 5 Mate 413 de abril, 2015
Profesor: Pablo Gonzalez Lever / Ayudante: Vıctor Valdebenito Silva
1. Sea α(s) una curva en R3 con arco - parametro y torsion constante τ . Si Tα, Nα, Bα es sutriedro movil se define una curva por
β(t) = −1
τNα(t) +
∫ t
0
Bα(s)ds.
Calcular la curvatura y la torsion de β.Sol:Derivando la curva y ocupando las formulas de Frenet tenemos:
β′ = −1
τN ′α +Bα = −1
τ(−kTα + τBα) +Bα =
k
τTα
β′′ =k′
τTα +
k2
τNα
β′′′ =k′′
τTα +
kk′
τNα +
2k′k
τNα −
k3
τTα + k2Bα
=k′′ − k3
τTα +
3kk′
τNα + k2Bα
entonces, calculando lo necesario para obtener curvatura y torsion tendremos
β′ × β′′ = k3
τ 2Bα, ||β′||3 =
k3
τ 3⇒ kβ =
||β′ × β′′||||β′||3
= τ
y por tanto
(β′ × β′′) · β′′′ = k5
τ 2⇒ τβ =
(β′ × β′′) · β′′′
||β′ × β||2=τ 2
k
MAT024 1
Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica
2. Calcular el volumen del solido que contiene al punto (0, 0, 1) y esta comprendido entre lassuperficies z = 0 y z = −2 ln
√x2 + y2.
Sol:Sea Ω el solido encerrado por las superficies z = 0 y z = −2 ln
√x2 + y2. El volumen de Ω
viene dado por
V (Ω) =
∫∫∫Ω
dxdydz
Considerando un cambio a coordenadas cilındricas tal que
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
J(r, θ, z) = r
Tenemos0 ≤ z ≤ −2 ln r
Luego, el dominio de integracion sobre el plano z = 0 es
z = 0⇒ −2 ln r = 0⇒ r = 1
Por lo que integraremos sobre una circunferencia de radio 1. Luego el volumen queda expresadopor
V (Ω∗) =
∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ −2 ln r
0
rdzdrdθ
= −4π
∫ 1
0
r ln rdr
Luego, integrando por partes haciendo
u = ln r ⇒ du =dr
r
v =r2
2⇒ dv = rdr
Por lo que tendremos
V (Ω∗) = −4π
(r2 ln r
2|10 −
1
2
∫ 1
0
rdr
)= −4π
(lımr→0
r2 ln r − 1
4
)= π
NOTA: observar que el lımite puede resolverse facilmente usando la regla de L’Hospitalbuscando la forma ∞∞ .
MAT024 2
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3. Calcular; ∫∫∫V
y2dV ,
donde V es el tronco de cono de vertice en el origen y base en el plano z = 4. La base delcono esta delimitada por la circunferencia x2 + y2 = 2y.Sol:La region x2 + y2 ≤ 2y puede ser expresada en coordenadas polares haciendo
x ≤ r cos θ
y ≤ r sin θ
r ∈ [0, 2 sin θ], θ ∈ [0, π]
Luego, el tronco V se genera su unimos todos los puntos que cumplen la condicion x2+y2 ≤ 2y,en z = 4, y el origen. Tomamos el parametro λ para esto, haciendo que λ ∈ [0, 1]. Luego, eltronco sera descrito por el sistema de coordenadas tal que
x = λr cos θ
y = λr sin θ
z = 4λ
El jacobiano de esta transformacion viene dado por
J(r, θ, λ) =
∣∣∣∣∣∣dxdλ
dydλ
dzdλ
dxdr
dydr
dzdr
dxdθ
dydθ
dzdθ
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣r cos θ r sin θ 4λ cos θ λ sin θ 0−λr sin θ −λr cos θ 0
∣∣∣∣∣∣ =∣∣4λ2r
∣∣Por lo que resulta que∫∫∫
V
y2dV =
∫ 1
0
∫ π
0
∫ 2 sin θ
0
4λ4r3 sin2 θdrdθdλ
=4
5
∫ π
0
∫ 2 sin θ
0
r3 sin2 θdrdθ
=32
5
∫ π/2
0
sin6 θdθ
= π
MAT024 3
Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica
4. La siguiente integral impropia converge:∫∫D
dxdy
x+ y,
siendo D el recinto definido por las condiciones x ≥ 1 y 0 ≤ y ≤ 1/x. Calcular su valor.Sol:La integral pedida es
I =
∫ ∞1
∫ 1/x
0
dydx
x+ y=
∫ ∞1
ln(x+ y)|1/x0 dx
=
∫ ∞1
ln
(x+
1
x
)− ln(x)dx
=
∫ ∞1
ln
(x2 + 1
x2
)dx
Luego, integrando por partes haciendo
u = ln
(x2 + 1
x2
)⇒ du =
−2
x(x2 + 1)
v = x⇒ dv = 1
se tiene
I = x ln
(x2 + 1
x2
)|∞1 +
∫ ∞1
2
x2 + 1dx
= lımx→∞
x ln
(x2 + 1
x2
)− ln(2) + 2(arctan∞− arctan 1)
=π
2− ln 2
Observar que el lımite puede resolverse usando la regla de L’Hospital usando la forma
lımx→∞
ln(1 + 1
x2
)1x
=0
0
MAT024 4