7/24/2019 Ayudantia N2 Modelos Estocasticos

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Profesor: Ivn DerpichAyudante: Paulina Moreno

1 semestre 2010

Modelos Estocsticos

Ayudanta N 2

Proceso de Poisson

1. Supongamos que N(t) es un proceso de Poisson que cuenta el numero de veces que se ha

reemplazado la ampolleta de una cierta lmpara. Si la primera ampolleta que se instalo en la

lmpara lleva s unidades de tiempo funcionando correctamente, Cunto tiempo msfuncionara correctamente la ampolleta? Sea Y esta variable aleatoria.

2. En una oficina se acaba de instalar un tubo fluorescente en el sistema de iluminacin. Se sabe

que el numero de veces que se encender el tubo corresponde a un proceso de Poisson a tasa

(los tiempos entre eventos del proceso incluyen el tiempo que el tubo permanece encendido

y el tiempo desde que se apaga hasta que se vuelve a encender nuevamente). La intensidad de

la corriente que llega al tubo al momento de encenderlo es una variable aleatoria con

distribucin F (asuma que estas intensidades son independientes entre si). El tubo se quema

solo si, al momento de encenderlo, la intensidad recibida es > . Interesa obtener ladistribucin de probabilidades de la vida del tubo.

3. Suponga que el sistema de transporte colectivo desde Plaza Italia al Campus San Joaqun de la

Universidad Catlica consta de 2 lneas de buses: buses expresos y buses ordinarios. Los

primeros llegan a Plaza Italia de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa 1 (buses/minuto), los

segundos de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa 2 (buses/minuto). Ambos procesos son

independientes entre si. El tiempo de viaje de los buses ordinarios (hasta San Joaqun) es de to

minutos y el de los expresos es de te (to> te). Ud., para hacer esta trayectoria, decide usar la

poltica de tomar el primer bus que pase. Cul es el valor esperado de su tiempo total detransporte?

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Desarrollo:

1.- 0 T1

s Y x

P{Y > x} = P{ T1 > s+x / T1 > s} = P{ T1 > s y T1 > s+x} / P{ T1 > s} = P{ T1 > s+x} / P{ T1 > s} =

e-(s+x)

/ e

s

= e-x

Luego Y tambin tiene distribucin exponencial a tasa , independiente de s, es decir, del

tiempo que lleva funcionando la ampolleta. Por lo tanto, en cualquier momento que

observemos, el tiempo adicional de funcionamiento de la ampolleta tiene la misma distribucin

que el de una ampolleta nueva. Es decir esta tiene la propiedad de falta de memoria.

Una variable aleatoria X (mide la vida de un sistema), con densidad f y distribucin F, se define

la tasa de falla r(s), como:

r(s) = f(s) / 1F(s)

en caso de la distribucin exponencial vimos que r(s) = =cte.

2.- Sean

X = variable aleatoria que mide la vida del tubo

N(t) = proceso que cuenta el numero de veces que se enciende el tubo en [0,t]

I = variable aleatoria que representa la intensidad de la corriente en un encendido cualquiera

del tubo

P{ X > x} = P{ X > x / N(x) = n} P{N (x) = n}n=0

Sea q = P { I < } , entonces:

P { X > x / N (x) = n} = qn

Luego

P { X > x } = qn

(x)ne

-n/ n! = e

-x( 1 - q) (qx)

ne

-qx/ n! = e

-x( 1 - q)

n=0

n=0

Luego:

P{ X < x} = 1 - e-x( 1 - q)

Corresponde a una distribucin exponencial a tasa ( 1 - q)

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3.- El instante de llegada al paradero es irrelevante ya que, por la propiedad de falta de

memoria de la distribucin exponencial, se sabe que de ah en adelante los tiempos entre pasadas de

buses siguen siendo exponenciales. Ahora bien el tiempo de transporte es la suma del tiempo de

espera mas el tiempo de viaje. El primero corresponder al mnimo de una exponencial a tasa 1 y una

exponencial a tasa 2, y equivale a otra exponencial a tasa 1 + 2. Ud. viajara en un bus ordinario si laexponencial a tasa 2 es menor que la exponencial a tasa 1, y ello ocurrir con probabilidad

2/(1+2). Luego el tiempo esperado de transporte ser:

E(T1) = 1/( 1+ 2) + 1*te/ (1+ 2) + 2*to/ (1+ 2)

Ahora si ud. decide siempre usar solo buses expresos, su tiempo esperado ser (por un razonamiento

anlogo al anterior):

E(T2) = 1/1 + te

Por lo anterior, se puede demostrar que la primera poltica es mejor que la segunda, si se cumple la

condicin:

1 ( to- te ) < 1