Ayuda Ntia 14

Pontificia Universidad Catolica de Chile

Facultad de Matematicas

Algebra e Introduccion al Calculo - MAT1492-3

Primer Semestre de 2009

AYUDANTIA 14

Repaso I2

Problema 1: Resuelva la ecuacionex + e−x = 2.

Problema 2: Si log10 2 = a y log10 3 = b, resuelva

2x+1 · 15x = 5,

en terminos de a y b.

Problema 3: Resuelva la ecuacion en y, dada por

3 logb y = −2t + a logb x,

en terminos de a, b, x, t.

Problema 4: Resuelva la ecuacion

log

√

3x − 2

5x + 3=

1

2.

Problema 5: Considere la funcion dada por

f(x) =

{

x2 − 3x si x ≥ 2

x − 4 si x < 2.

i) Grafıque f .

ii) Demuestre que f es biyectiva.

iii) Encuentre f−1 y grafıquela.

Problema 6: Sean

f(x) = |x + 2| − 1 ; g(x) = 5 − (x + 2)2.

i) Grafıque f y g.

iii) Resuelva f(x) = g(x).

iii) Encuentre h(x) = (g ◦ f) (x) para x < −3.

Observacion: En esta ayudantıa, log x = loge x = lnx, a menos que se diga lo contrario.

[email protected] 1





AYUDANTIA 14

Soluciones

Problema 1: Sea u = ex, entonces

ex + e−x = 2

u + u−1 = 2

u +1

u= 2

u − 2u + 1 = 0

(u − 1)2 = 0

u = 1.

Luego, ex = 1 ⇒ x = 0.

Problema 2: Reescribamos la ecuacion como

(

10log10 2)x+1

·(

10log10 15)x

= 10log10 5

10(x+1) log10 2 · 10x log10 15 = 10log10 5

10(x+1) log10 2+x log10 15 = 10log10 5

⇒ (x + 1) log10 2 + x log10 15 = log10 5

Pero

log10 5 = log10

10

2= log10 10 − log10 2 = 1 − log10 2 = 1 − a.

Ası,(x + 1) log10 2 + x log10 15 = log10 5

⇒ (x + 1)a + x (log10 5 + log10 3) = 1 − a

(x + 1)a + x (1 − a + b) = 1 − a

ax + a + x (1 − a + b) = 1 − a

x (2 − a + b) = 1 − 2a

x =1 − 2a

2 − a + b.

[email protected] 2





Problema 3: Desarrollando,3 logb y = −2t + a logb x

logb y3 = −2t + logb xa

⇒ blogb y3

= b−2t+logb xa

y3 = b−2t · blogb xa

y3 =xa

b2t

y = 3

√

xa

b2t.

Problema 4: Desarrollando,

log

√

3x − 2

5x + 3=

1

21

2log

3x − 2

5x + 3=

1

2

log3x − 2

5x + 3= 1

⇒ 3x − 2

5x + 3= e

3x − 2 = 5ex + 3e

3x − 5ex = 2 + 3e

x =2 + 3e

3 − 5e.

Problema 5: Problema tıpico de I.

i) Notemos que la parabola de la primera rama de la funcion posee a su vertice en(

32 , −9

4

)

ypor lo tanto, su grafica es una rama creciente hacia arriba de la parabola. Analogamente,la otra rama es un recta de pendiente 1 trasladada 4 unidades hacia abajo. Finalmente,el grafico queda dado por

[email protected] 3





ii) Queremos que f sea inyectiva y sobreyectiva a la vez. Del grafico se puede ver claramenteque cualquier recta horizontal solo interseca en un punto a la funcion y por lo tanto, esinyectiva.

Analogamente, al ser una funcion creciente sin cotas, toma todos los valores reales posiblesy por lo tanto, es sobreyectiva. Luego, f es biyectiva.

iii) Notemos que si x ≥ 2, entonces y = f(x) ≥ −2 y si x < 2, entonces y = f(x) < −2.Luego, despejamos y en funcion de x para ambos casos

a) Si x ≥ 2, entoncesy = x2 − 3x

0 = x2 − 3x − y

⇒ x =3 ±√

9 + 4y

2,

de donde tomamos solo el signo + ya que queremos que x ≥ 2.

b) Si x < 2, entoncesy = x − 4

⇒ x = y + 4.

Luego,

f−1(x) =

{

3+√

9+4x2 si x ≥ −2

x + 4 si x < −2.

Su grafica es facil de esbozar, puesto que es una simetrıa del grafico de f , respecto a y = x

y esta dado por

Problema 6: Otro problema tıpico de I.

i) Como ya sabemos, el grafico de f(x) estara dado por el grafico de |x|, trasladado 2 unidadeshacia el −∞ y una unidad hacia abajo. Es decir,

[email protected] 4





De igual forma, el grafico de g(x) es el de x2 movido en 2 unidades hacia el −∞, reflejadorespecto al eje x y trasladado 5 unidades hacia arriba. Es decir,

ii) Debemos resolver

|x + 2| − 1 = 5 − (x + 2)2 ⇒ |x + 2| = 6 − (x + 2)2 = 2 − 4x − x2.

Consideremos dos casos:

a) Si x ≥ −2, entonces debemos resolver

x + 2 = 2 − 4x − x2

0 = x2 + 3x

0 = (x + 3)x

⇒ x = 0 ∨ x = −3,

de donde solo tomamos x = 0 dada la restriccion.

b) Si x < −2, entonces debemos resolver

−(x + 2) = 2 − 4x − x2

−x − 2 = 2 − 4x − x2

0 = 4 − 3x − x2

0 = x2 + 3x − 4

0 = (x − 1)(x + 4)

⇒ x = 1 ∨ x = −4,

de donde solo tomamos x = −4 dada la restriccion.

[email protected] 5





Luego, la solucion esta dada por S = {−4, 0}.

iii) Dado que x < −3 ⇒ |x + 2| = −x − 2. Luego, componiendo se tiene

(g ◦ f) (x) = 5 − ((|x + 2| − 1) + 2)2 = 5 − (−x − 1)2 = 5 − (x + 1)2.

Por lo tanto,h(x) = 4 − 2x − x2.

[email protected] 6

Ayuda Ntia 14

Documents

Transcript of Ayuda Ntia 14