10-10-2014 Tribuna - Envía Puebla ayuda a damnificados de Baja California Sur.
Ayuda Ntia 10
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Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile Facultad de Matem´ aticas Departamento de Matem´ atica Primer Semestre de 2010 ´ algebra - MAT110E Secci´ on 2 Ayudant´ ıa 10 Operaciones y ´ Algebra de Matrices Problema 1. Sean las matrices: A = 1 2 4 2 1 3 y B = 1 5 0 4 2 1 . Calcule si es posible: a) (AB) 2 . b) (BA) T . c) A T B. d) AB +(BA) T . e) A +2B. f) A T − 3B. Problema 2. Si A = −1 1 −1 1 , calcule M n = n k=1 A k . Problema 3. Una matriz M se dice idempotente si M 2 = M . Pruebe que si A y B son matrices tales que A = AB y B = BA entonces son idempotentes. Problema 4. Demuestre que para toda matriz A de orden n, con n ∈ N: a) (A + A T ) es sim´ etrica. b) (A − A T ) es antisim´ etrica. c) A se puede escribir siempre como la suma de una matriz sim´ etrica con una matriz anti- sim´ etrica. Problema 5. Muestre que ∀n ∈ N no existen matrices cuadradas de orden nA, B, tales que AB − BA = I n . Problema 6. Demuestre que (AB) T = B T A T . Usando este resultado demuestre que si A y B son matrices sim´ etricas entonces AB es sim´ etrica s´ ı y s´ olo si A y B conmutan. [email protected] 1 Gast´ on Burrull
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Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 10Operaciones y Algebra de Matrices
Problema 1. Sean las matrices: A =
(
1 2 42 1 3
)
y B =
1 50 42 1
. Calcule si es posible:
a) (AB)2.
b) (BA)T .
c) ATB.
d) AB + (BA)T .
e) A+ 2B.
f) AT − 3B.
Problema 2. Si A =
(
−1 1−1 1
)
, calcule Mn =n∑
k=1
Ak.
Problema 3. Una matriz M se dice idempotente si M2 = M . Pruebe que si A y B son matricestales que A = AB y B = BA entonces son idempotentes.
Problema 4. Demuestre que para toda matriz A de orden n, con n ∈ N:
a) (A+AT ) es simetrica.
b) (A−AT ) es antisimetrica.
c) A se puede escribir siempre como la suma de una matriz simetrica con una matriz anti-simetrica.
Problema 5. Muestre que ∀n ∈ N no existen matrices cuadradas de orden n A, B, tales que
AB −BA = In.
Problema 6. Demuestre que (AB)T = BTAT . Usando este resultado demuestre que si A y B
son matrices simetricas entonces AB es simetrica sı y solo si A y B conmutan.
[email protected] 1 Gaston Burrull
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
algebra - MAT110E
Seccion 2
Ayudantıa 10Soluciones
Problema 1. Note que solo las operaciones a, b y f estan bien definidas.
Problema 2. Notemos que la matriz A es nilpotente, pues An = 0 para todo n ∈ N con n > 1.
Por tanto Mn =
(
−1 1−1 1
)
.
Problema 3. Basta probar que A = A2 y que B = B2. En efecto, por asociatividad delproducto de matrices tenemos que:
A = AB = A(BA) = (AB)A = AA = A2.
Del mismo modo:B = BA = B(AB) = (BA)B = BB = B2. �
Problema 4.
a) Basta probar que (A+AT ) = (A+AT )T . Por un lado tenemos que el elemento i, j de laprimera matriz es:
(A+AT )i,j = Ai,j + (AT )i,j = Ai,j +Aj,i.
Por otro lado:
(A+AT )Ti,j = (A+AT )j,i = Aj,i + (AT )j,i = Aj,i +Ai,j = Ai,j +Aj,i.
De donde se concluye que (A+ AT )i,j = (A+ AT )Ti,j y por tanto (A+ AT ) = (A+ AT )T
pues dos matrices son iguales si y solo si cada uno de sus elementos son iguales. �
b) Basta probar que (A−AT ) = −(A−AT )T . Por un lado tenemos que:
(A−AT )i,j = Ai,j − (AT )i,j = Ai,j −Aj,i.
Por otro lado:
(A−AT )Ti,j = (A−AT )j,i = Aj,i − (AT )j,i = Aj,i −Ai,j = −(Ai,j −Aj,i).
De donde se concluye que (A−AT )i,j = −(A−AT )Tj,i y por tanto (A−AT ) = −(A−AT )T .�
c) En efecto, pues A se puede escribir como:
A =1
2(A+AT ) +
1
2(A−AT ).
Donde es claro que 1
2(A+AT ) es simetrica y 1
2(A−AT ) es antisimetrica. �
[email protected] 2 Gaston Burrull
Pontificia Universidad Catolica de Chile
Facultad de Matematicas
Departamento de Matematica
Primer Semestre de 2010
algebra - MAT110E
Seccion 2
Problema 5. Para ello basta probar que tr(AB −BA) 6= tr(In)1. Por un lado tenemos que In
es la matriz identidad de orden n, entonces es facil notar que,
tr(In) = n.
Por otro lado tr(AB − BA) = tr(AB) − tr(BA), pues la traza es un operador lineal. De-mostraremos que tr(AB −BA) = 0 6= n, que es equivalente a demostrar que tr(AB) = tr(BA),por un lado tenemos que:
tr(AB) =n∑
i=1
(AB)i,i =n∑
i=1
n∑
k=1
Ai,k ·Bk,i.
Mientras que por otro lado tenemos que como las variables i, j son mudas:
tr(BA) =
n∑
i=1
(BA)i,i =
n∑
i=1
n∑
k=1
Bi,k ·Ak,i =
n∑
i=1
n∑
k=1
Ak,i ·Bi,k =
n∑
k=1
n∑
i=1
Ai,k ·Bk,i.
De donde tr(AB) = tr(BA) y por tanto AB −BA 6= In. �
Problema 6. Tenemos primero que:
(AB)Ti,j = (AB)j,i =n∑
k=1
Aj,k ·Bk,i.
Por otra parte tenemos:
(BTAT )i,j =n∑
k=1
(BT )i,k · (AT )k,j =
n∑
k=1
Bk,i ·Aj,k =n∑
k=1
Aj,k ·Bk,i.
De donde (AB)Ti,j = (BTAT )i,j , y por tanto,
(AB)T = BTAT . �
Para la segunda parte tenemos que A = AT y B = BT , entonces:
AB = (AB)T
⇔ AB = BTAT
⇔ AB = BA. �
1La traza de una matriz cuadrada de orden n se define como tr(A) =∑n
i=1Ai,i, es decir, la traza de una
matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.
[email protected] 3 Gaston Burrull
