Axiomas de los nmeros reales1Axiomas de los nmeros realesParaquetodoslosprocedimientosmatemticosusadosseanvlidossedebepartirdeunabasequerespaldecadaprocedimiento,cadapasolgicousado,ydebe,enconsecuencia,demostrarsecadaafirmacinnotrivial.Sonestasdemostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda laveracidad de cualquier afirmacin.Lasafirmacionesalasquesehacereferenciasellamanaxiomas.Sern,porlotanto,afirmacionesqueseaceptancomo verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.Elotrotipodeafirmacionesalasquesehacereferenciadiciendo:"afirmacinnotrivial",sonlosteoremas,quesonya,afirmacionesnotantrivialesymuchasvecespocointuitivas.Estasafirmacionesdebenserdemostradasusandolosaxiomasuotrosteoremasyademostrados.Unaconsecuenciainmediatadeunteoremasellamarcorolario.Hay tres tipos de axiomas: Los axiomas algebraicos Los axiomas de orden El axioma topolgico.El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicacin y divisin; el segundo establece un orden para loselementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la nocin de continuidad.Existe un conjunto que tiene estas propiedades.Axioma fundamentalExisteunconjuntoquesedenotaporquesatisfacelostrestiposdeaxiomasmencionados,deorden,algebraicos y topolgicos.ElconjuntoquecumpleconestaspropiedadessellamaconjuntodelosNmerosRealesysernlosaxiomasdeeste conjunto, las bases de una rama muy importante de la matemtica: el Anlisis matemtico.Se puede observar que, usando el lenguaje lgico matemtico, los teoremas que se demuestren, sern vlidos si losaxiomassonvlidos,porloquelosteoremasserndeltipo:SielaxiomaFundamentalescierto,entonceslaafirmacin es cierta.Axiomas AlgebraicosLos axiomas algebraicos, pudindose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de la adicin yde la multiplicacin.1. Axiomas de la adicinA1.1Paratodo,existeunnicoelemento,tambinen,denotadoporquellamamos la suma dee.A1.2para todo.A1.3para todo.A1.4 Existe un elemento de, denotado portal quepara todo.A1.5 Para cadaexiste untal que.2. Axiomas de la multiplicacinA2.1Paratodo,existeunnicoelemento,tambinen,denotadoporquellamaremos el producto dee.Axiomas de los nmeros reales2A2.2para todo.A2.3para todo.A2.4 Existe un elemento de, que denotaremos portal que A2.5 Para cadatal que no sea cero, existe untal que.3. Axioma de distribucin Este axioma conecta la suma con la multiplicacin:A3.1 Para todo.Anlisis axiomtico El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor dela suma. Debe tenerse en cuenta que esto es vlido slo para sumas finitas. El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociacion de la suma no altera elvalor de sta. El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los nmeros reales que, al ser sumado con cualquier nmero real,sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce tambin como el elemento neutro aditivo deeste conjunto. El axioma (1.5) dice que dado un nmero real cualquiera existe otro (nico) tal que la suma de ambos es nula. Sieste elemento es, el nmero tal que la suma de ste y el otro nmero sea cero es. Este elemento sellama inverso aditivo de. El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto. El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conocecomo propiedad asociativa de la multiplicacin. El axioma (2.4) dice que existe un nmero real tal que el producto de ste con otro real, sigue siendo este ltimo.Este elemento denotado porse conoce como neutro multiplicativo. El axioma (2.5) dice que para cualquier realno nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da comoresultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado porse conoce como inversomultiplicativo de.Axiomas de ordenLos axiomas de orden establecen una relacin de "cantidad" (vase construccin de los naturales). Esta relacin esdel tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un nmero es menor que otro siest contenido en ste, es decir, si su incardina es menor o igual que otra.Para establecer una relacin de orden, es necesario introducir el smboloque nos dir si un nmero es mayor omenor que otro. Para la igualdad se usa el smboloque ya conocemos.Se dir queoslo sies menor que. O dicho de otra forma, sies mayor que.De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjuntotal quesi y slo si.Se dan a continuacin los axiomas de ordenO1.1 Si, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:;; O1.2 Siy adems, entonces.O1.3 Si, entoncespara todo O1.4 Siy, entonces.Axiomas de los nmeros reales3Anlisis axiomtico El axioma (1.2) dice geomtrica mente que siest a la izquierda dey ste a su vez a la izquierda de,entonces debe estara la izquierda de. Esta interpretacin es bastante til.(R,+, , ) es un cuerpo ordenado.Axioma patolgicoClaramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de unnmero irracional, como raz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma patolgico que dice losiguiente.Toda sucesin creciente y acotada superiormente es convergente.Anlisis axiomticoHayvariosconceptosenestabreveafirmacin(peromuyimportante),quedebenconocerseparaentenderelsignificado de este axioma. stos, son los de sucesin, creciente, acotado superiormente y convergencia.Fuentes y contribuyentes del artculo4Fuentes y contribuyentes del artculoAxiomas de los nmeros reales Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69554091 Contribuyentes: Acratta, Camiloalcubo2, Diegusjaimes, Elio puma, Farisori, Ggenellina, Ileana n,Jerowiki, Jkbw, Manw, MarcoAurelio, Raulshc, Rovnet, Technopat, rico Jnior Wouters, 36 ediciones annimasLicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/