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Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile

MA1102 Álgebra Lineal - Semestre Primavera 2012Profesor: Alejandro Maass Auxiliares: César Vigouroux, Roberto Villa�or

Auxiliar # 2

Lunes 13 de Agosto

P1. Encuentre, por medio de un escalonamiento, el conjunto de los valores de x1, . . . , x6 que resuelve:

0 1 −1 2 −2 1−1 −1 −2 3 −1 −1−1 0 −3 5 −3 01 0 2 −1 2 −2

x1......

x6

=

−74−38

P2. Sea A ∈Mn×n(R). El objetivo de este problema es probar el siguiente resultado:

�Si el sistema Ax = 0 posee solución única x = 0, entonces A es invertible.�

Para ello se pide demostrar lo siguiente:

(i) Sea B ∈Mn×n(R) un matriz triangular superior con componentes 1 en la diagonal:

B =

1 b1,2 ... b1,n−1 b1,n0 1 ... b2,n−1 b2,n. . . .. . . .. . 1 bn−1,n

0 0 ... 0 1

Considere N = B − In. Muestre que Nn+1 = 0. Notando que B = I +N , pruebe que B es

invertible y que

B−1 = I −N +N2 − ...+ (−1)nNn.

(ii) Sea C ∈Mn×n(R) una matriz triangular superior:

C =

c1,1 c1,2 ... c1,n−1 c1,n0 c2,2 ... c2,n−1 c2,n. . . .. . . .. . cn−1,n−1 cn−1,n

0 0 ... 0 cn,n

1


sin ceros en la diagonal, y sea

D =

c−11,1 0 ... 0 0

0 c−12,2 ... 0 0

. . . .

. . . .

. . c−1n−1,n−1 0

0 0 ... 0 c−1n,n

.

Pruebe que DC es una matriz triangular superior con coe�cientes 1 en la diagonal.

(iii) Pruebe que si Ax = 0 posee como única solución a x = 0, entonces existe una matriz invertible

E tal que EA es triangular superior sin ceros en la diagonal. Concluya que A es invertible.

P3. Dada una matriz U ∈Mn×n(R), de�nimos (U)i,j = Un−i+1,n−j+1.

(i) Considere la matriz

J =

0 0 ... 0 10 0 ... 1 0. . . .. . . .0 1 . .1 0 ... 0 0

.

Escriba J como producto de matrices elementales, de forma que dichas matrices (elementales)

conmuten, y concluya que J es invertible con J−1 = J .

(ii) Pruebe que para cualquier U ∈Mn×n(R), U = JUJ , y concluya que si UU = I, entonces Ues invertible.

(iii) Pruebe que si n > 1, entonces no existe una matriz H ∈Mn×n(R) tal que U t = HUH para

toda matriz U ∈Mn×n(R).

(iv) Pruebe que si U tU = I, entonces U es invertible.

P4. a) Considere los vectores u, v ∈ Rn \ {0}. Se de�ne la matriz A ∈Mn×n(R) por A = uvt.

(i) Pruebe que ∀x ∈ RnAx = 0⇔ vtx = 0.

(ii) Encuentre el número de variables libres en la resolución del sistema Ax = 0 y estudie si Aes o no invertible.

b) Considere las matrices cuadradas A,B ∈Mn×n(R). Demuestre que:

(i) Si AB = BA y B es invertible, entonces AB−1 = B−1A.

(ii) Sea K ∈Mn×n(R) tal que Kt = −K y I −K es invertible. Si B = (I +K)(I −K)−1,

demuestre que BtB = BBt = In

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MA1102 Álgebra Lineal, Semestre Primavera 2012 Profesor: Alejandro Maass Auxiliares:César Vigouroux - Roberto Villa�or

Auxiliar #5

Lunes 10 de Septiembre

P1. (Proyección Estereográ�ca)

Considere el plano Π que pasa por

100

con directores

110

y

−101

.

a) Calcule la proyección P0 de

3−13

sobre Π.

b) Considere S la esfera que pasa por

3−13

con centro P0. Dado T ∈ S distinto de

3−13

,

determine la recta L que pasa por T y

3−13

, y pruebe que L ∩Π 6= φ.

c) Para T =

2−22

determine Q ∈ L ∩Π, calcule R = P0 +r2

||P0 −Q||2(P0 −Q), donde r es el

radio de S y encuentre la pryección de R sobre L.

P2. (Conjunto Ortonormal y Matriz Unitaria)

Sean u1, ..., un ∈ Rn tal que 〈ui, uj〉 = 0 si i 6= j, y ||ui|| = 1 ∀i = 1, ..., n. Un conjunto {u1, ..., un}con tales características se llama conjunto ortonormal.

a) Considere U =

ut1...

utn

∈Mn×n(R); pruebe que U es invertible y concluya que Ux = 0 ssi

x = 0.

b) Sea x ∈ Rn; pruebe que

x = 〈x, u1〉u1 + ...+ 〈x, un〉un.

c) Sea {u, v, w} ⊂ R3 un conjunto ortonormal. Pruebe que w = u× v w = v × u.

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P3. (Representación de un plano como hiperplano afín)

Sean d1, d2 ∈ R3 tales que d1 × d2 6= 0.

a) Pruebe que Πp,d1,d2 ⊂ {x ∈ R3 : 〈x− p, d1 × d2〉 = 0} = H.

b) Construya f1, f2 ∈ R3 t.q. 〈f1, f2〉 = 0, ||f1|| = ||f2|| = 1, Πp,d1,d2 = Πp,f1,f2 .

c) Pruebe que H = {x ∈ R3 : 〈x− p, f1 × f2〉 = 0} ⊂ Πp,f1,f2 , y concluya que H = Πp,d1,d2 .

d) Sean Π1 y Π2 dos planos cualquiera en R3 t.q. Π1 ⊂ Π2. Pruebe que Π1 = Π2.

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Auxiliar #6

Martes 11 de Septiembre

P1. Sean K1 y K2 dos cuerpos, con K1 ⊂ K2, K1 subcuerpo de K2.

a) Pruebe que K2 es un espacio vectorial sobre K1.

b) Pruebe que C sobre R es generado por dos elementos.

c) Pruebe que R sobre Q no es generado por ningún conjunto �nito.

P2. Sea n ∈ N. Para un intervalo [a, b) ⊂ [0, n) con a, b ∈ N, de�nimos la función 1[a,b) : [0, n) −→ R por:

1[a,b)(x) =

{1 si x ∈ [a, b)

0 si no

Sea F ([0, n)) el espacio vectorial de las funciones de [0, n) en R (con la suma de funciones punto a

punto y la ponderación por escalar de R). De�nimos E ⊂ F ([0, n)) como el conjunto de las

funciones constantes en cada intervalo [i− 1, i), con i ∈ {1, ..., n}, es decir

E = {n∑

i=1

λi1[i−1,i) : λi ∈ R, i = 1, ..., n}

a) Pruebe que ∀a, b ∈ N tal que [a, b) ⊂ [0, n), 1[a,b) ∈ E.b) Sea α ∈ R y f ∈ E. Pruebe que αf ∈ E.c) Pruebe que E es s.e.v de F ([0, n)).

d) Pruebe que el conjunto de funciones B = {1[0,1), 1[1, 2), ..., 1[n−1,n)} es linealmente

independiente.

P3. Sean E un espacio vectorial sobre K, y V1, V2 s.e.v de E.

a) Demuestre que V1 ∩ V2 es s.e.v de E.

b) Muestre con un ejemplo que V1 ∪ V2 no es necesariamente s.e.v. de E.

c) Pruebe que V1 ∪ V2 es s.e.v de E ssi V1 ⊂ V2 ∨ V2 ⊂ V1.

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Auxiliar #7

Martes 01 de Octubre

P1. a) Sea X un espacio vectorial y U s.e.v. de X. Pruebe que existe T s.e.v. de X tal que

T ⊕ U = X.

b) Sea X un espacio vectorial y U, V ⊂ X subespacios de X. Pruebe que

dim(U + V ) = dim(U) + dim(V )− dim(U ∩ V ).

P2. Considere para n ∈ N el espacio vectorial Pn sobre R de los polinomios de grado n o menor. Sean

W1 = {p ∈ P4|p(1) + 2p(−1) = 0}

W2 = {p ∈ P4|p(x) = a+ bx+ cx2 + bx3 + ax4, a, b, c ∈ R}

a) Pruebe que W1 y W2 son s.e.v. de P4.

b) Encuentre bases de W1 y W2.

c) Encuentre una base para W1 ∩W2.

d) Calcule la dimensión de W1 +W2 y concluya que W1 +W2 = P4.

P3. a) Sean

W = {M ∈M3×3(R)|M =

a b 0b e c0 c i

∧ a+ e+ i = 0, a, b, c, e, i ∈ R}

U = {M ∈M3×3(R)|M =

0 r sr 0 0s 0 0

r, s ∈ R}

(a.1) Pruebe que W y U son s.e.v. deM3×3(R).(a.2) Encuentre bases para W , U , W + U y W ∩ U .

(a.3) Observe que W y U son s.e.v. de S = {M ∈M3×3(R)|M es simétrica} y complete la base

obtenida para W + U de manera de obtener una base para S.

b) Considere

A = 〈{

1101

,

1−111

,

2113

,

2−123

}〉 ⊂ R4

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(b.1) Encuentre una base de A.

(b.2) Extienda la base encontrada a una base de R4.

P4. Sea X un e.v. sobre K. Se de�ne el dual de X por

X ′ = {f : F → K|∀x, y ∈ X,∀k ∈ K : f(x+ y) = f(x) + f(y) ∧ f(kx) = kf(x)}

a) Pruebe que X ′ sobre K es un espacio vectorial.

b) Pruebe que si dim(X) = n, entonces dim(X ′) = n. (Indicación: Considere una base

{e1, ..., en} de X y pruebe que li(x1e1 + ...+ xnen) = xi para i = 1, ..., n, es base de X ′.)

c) Pruebe la fórmula de la cuadratura:

Si t1,...,tn+1 ∈ [−1, 1] son valores distintos, entonces existen m1, ...,mn+1 ∈ R tal que ∀p ∈ Pn∫ 1

−1p(x)dx = m1p(t1) + ...+mn+1p(tn+1).

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Auxiliar # 9Lunes 22 de Octubre

P1. Sea β = {1, x, x2} la base canónica de P3. Considere

Q =

0 1 31 0 01 0 1

.

(a) Encuentre la base β de P3 tal que Q sea representante de la identidad de P3 con β como base,

en P3 con β como base.

(b) Encuentre la base β de P3 tal que Q sea representante de la identidad de P3 con β como base,

en P3 con β como base.

(c) Sea T : P3 → R3 la transformación lineal cuya matriz representante con respecto a las bases βen P3 y canónica en R3 es la matriz

A =

0 1 00 0 20 0 0

.

Calcule la matriz representante de T con respecto a las bases β en P3 y canónica en R3.

P2. Considere C como espacio vectorial sobre R y la transformación lineal T : C→ C de�nida por

T (z) = (1 +√3i)z.

(a) Encuentre la matriz representante de T con respecto a la base canónica de C, βC = {1, i}, esdecir, MβC ,βC (T ).

(b) Usando matrices de cambio de base, determine la matriz representante de T con respecto a la

base β = {1 + i, 1− i}, es decir, Mβ,β(T ).

P3. Para un espacio vectorial cualquiera X sobre el cuerpo R, se de�ne el dualX ′ = {f : X → R| f es lineal}. X ′ es un espacio vectorial con la suma de funciones y ponderación

escalar usual. Dada una transformación lineal T : Rn → Rm se de�ne la traspuesta

T ′ : (Rm)′ → (Rn)′ por:T ′(l) = l ◦ T,

para cada l ∈ (Rm)′.La base canónica de (Rn)′ es β′n = {l1, ..., ln} dada por

li(ej) =

{1 si i = j

0 si no

donde {e1, ..., en} es la base canónica de Rn.Pruebe que Mβ′

m,β′n(T ′) = (Mβn,βm(T ))

t donde βn es la base canónica de Rn.

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Auxiliar # 12

Jueves 15 de Noviembre

P1. (a) Sea Q ∈Mn×n(R) simétrica tal que Qk = I, con k ∈ Z+. Pruebe que Q2 = I.

(b) Sea H,K ∈Mn×n(C) autoadjuntas tal que HK = KH. Pruebe que existe una base

ortonormal de Cn conformada por vectores propios de H y K (cada vector es vector propio de

H y de K).

P2. (a) Sea A ∈Mn×n(C), decimos que A es anti-autoadjunta si A∗ = −A. Pruebe que si A es

anti-autoadjunta, todos los valores propios de A son imaginarios y existe una base ortonormal

de Cn conformada por valores propios de A.

(b) Sea M ∈Mn×n(R) anti-simétrica, es decir, M t = −M , y n impar. Pruebe que det(M) = 0.

(c) Sea N ∈Mn×n(C), decimos que N es normal si NN∗ = N∗N . Pruebe que si N es normal,

existe una base ortonormal de Cn de vectores propios de N .

P3. (a) Decimos que un conunto de matrices (Mi)ki=1 ⊂Mn×n(C) es una resolución de la identidad si

M∗i = Mi = M2

i ∀i ∈ {1, ..., k}; MiMj = 0 ∀i, j ∈ {1, ..., k} : i 6= j; yk∑

i=1

Mi = I. Dada

N ∈Mn×n(C), decimos que N posee una resolución espectral si existe una resolución de la

identidad (Mi)ki=1 ⊂Mn×n(C) tal que N =

k∑i=1

aiMi para (ai)ki=1 ⊂ C. Pruebe que si N es

normal, entonces posee una resolución espectral.

(b) Sea N ∈Mn×n(C) normal, pruebe que N∗ = p(N) para algún polinomio complejo p.

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Auxiliar # 13

Lunes 19 de Noviembre

P1. Sea A ∈Mn×n(R), simétrica, de�nida positiva y F : Rn → R la función F (x) = xtAx+ 2btx+ α,donde b ∈ Rn y α ∈ R.

i) Probar que Ax0 + b = 0 ⇒ F (x)− F (x0) = (x− x0)tA(x− x0) y deducir que en x0 F alcanzasu mínimo.

ii) Determinar el mínimo de

F (x1, x2, x3) = 5x21 + 5x22 + 9x23 + 2x1x2 − 6x2x3 − 6x3x1 − 8x1 − 2x2 + 4x3 − 3.

P2. (a) Sea A ∈Mn×n(R) invertiblei) Demuestre que AtA es de�nida positiva y que existe P ∈Mn×n(R) invertible tal queP 2 = AtA.

ii) Demuestre que existe U ortogonal que A = UP .

(b) i) Demuestre que si A ∈Mn×n(R) posee un término negativo o nulo en su diagonal,entonces no es de�nida positiva.

ii) Suponga que A es nilpotente de orden 2 (i.e. A2 = A). Pruebe que sus valores propios sonceros y/o unos.

iii) Suponga que A es nilpotente de orden 2. Pruebe que Im(A) ⊥ Ker(A) ssi A es simétrica.

P3. (a) Sea

A =

1√2/2 0√

2/2 1√2/2

0√2/2 1

.

(i) Probar que A es semide�nida positiva.

(ii) Mostrar que x21 + x22 + x23 + x1x2√2 + x2x3

√2− x3 + 1 = 0 es la ecuación de un

paraboloide elíptico. Determinar además la dirección del eje de simetría.

(iii) Expresar la forma cuadrática xtAx como suma de cuadrados de polinomios de primergrado, y determine el conjunto donde xtAx alcanza el mínimo.

(b) Considere la cónica de ecuación 5x2 + 5y2 − 6xy + 4x+ 4y = 4. Efectúe un cambio decoordenadas de modo que la ecuación resultante no contenga términos lineales ni productoscruzados. Escriba la ecuación resultante. Identi�que la cónica.

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