Autovalores y Autovectores

José María Martínez Mediano

1

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Introducción. Potencia de una matriz

Sea

=

32

12A . Supongamos que se desea calcular n

A : → →

=

=

1110

56

32

12

32

122A

=

=

4342

2122

1110

56

32

123A

=

=

171170

8586

4342

2122

32

124A

Determinar una regla para nA no resulta inmediato.

Comprobemos, antes de seguir adelante, que 1−= MDMA , siendo

−=

12

11M y

=

10

04D → Esta última matriz es diagonal.

En efecto, calculando

−

−−−=

−

12

11

3

11M y multiplicando, se ve que:

AMDM =

=

−−

−−−=

−

−−−

−=

−

32

12

96

36

3

1

12

11

3

1

10

04

12

111

Con esto:

( )( ) 12112 · −−− == MMDMDMMDMA → obsérvese que IMM =− ·1

( )( ) 131213 · −−− == MMDMMDMDMA …

1−= MMDAnn ⇒

⇒

−−+−

+−−−−=

−

−−−

−=

14·224·2

1424

3

1

12

11

3

1

10

04

12

11nn

nn

n

nn

A

Se consigue así calcular nA .

El problema está en encontrar M y D. El proceso que nos facilitará determinar las matrices M y D, que permitirán hallar la potencia n−ésima de una matriz, se llama diagonalización.


2

Autovalores y autovectores • Definición de autovalor: λ ∈ R (o a C, aunque no lo consideraremos) es un autovalor de

una matriz A, cuadrada, n × n, si existe un vector xr

∈ Rn (a En), 0rr

≠x , tal que xxAsr

λ= . • A x

r se le llama autovector asociado a λ.

También se utilizan los nombres valor propio y vector propio, respectivamente, para autovalor y autovector. Observaciones:

1. Si xxArr

λ= ⇒ xxAxArrr 22 λ=λ= ⇒ … xxA

nn rrλ= .

Por tanto, para determinar cómo actúa nA resulta útil conocer λ y x

r, pues el estudio de nλ es

mucho más sencillo. 2. Si x

r es un autovector asociado a λ, entonces xk

r es otro autovector asociado a λ.

En efecto: si xxAsr

λ= ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )xkxkxAkxkArrrr

λ=λ== .

Ejemplo: Si

=

32

12A , λ = 4 es un autovalor si

=

2

1xr

.

En efecto:

=

=

2

1·4

8

4

2

1

32

12

Otros autovectores asociados a λ = 4 son

−

−=

−=

2

1

2

1·1x

r o

=

=

6

3

2

1·3x

r.

(Habitualmente se toma el más sencillo, el correspondiente a k = 1.) Cálculo de autovalores. Ecuación característica.

De xxAsr

λ= ⇒ 0rsr

=λ− xxA ⇒ ( ) 0rs

=λ− xIA → sistema homogéneo, que tiene solución

distinta de la trivial (se buscan 0rr

≠x ) cuando 0=λ− IA .

• Es sistema ( ) 0rs

=λ− xIA recibe el nombre de autosistema.

• A 0=λ− IA se le llama ecuación característica.

• IAP λ−=λ)( es un polinomio de grado n → se llama polinomio característico.

• Las soluciones de 0=λ− IA , de 0)( =λ−=λ IAP , son los valores propios

(autovalores) de la matriz A.

• Si la matriz A es de orden n, IAP λ−=λ)( = 0

......

...

......

.

...

...

21

22221

11211

=

λ−

λ−

λ−

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

• Los autovalores no tienen porqué ser distintos. El número de veces que se repite un autovalor es su multiplicidad algebraica.

• Si λ es un autovalor de A, una solución no trivial, xr

, de ( ) 0rs

=λ− xIA es un autovector

asociado a ese λ.


3

Ejemplo: Si

=

32

12A ⇒ )1)(4(45

32

12 2−λ−λ=+λ−λ=

λ−

λ−=λ− IA

Los autovalores son: λ = 4 y λ = 1.

• Si λ = 4:

=

2

1

2

1 432

12

x

x

x

x ⇔

=

−

−

0

0

432

142

2

1

x

x ⇔

=

−

−

0

0

12

12

2

1

x

x

⇒

=−

=+−

02

02

21

21

xx

xx ⇒

=

=

tx

tx

22

1 → estas serían las componentes de los

autovectores asociados:

=

=

t

t

x

xx

22

1r. En particular, si t = 1,

=

2

1

2

1

x

x.

• Si λ = 1:

=

0

0

22

11

2

1

x

x ⇒

=+

=+

022

0

21

21

xx

xx ⇒

−=

=

tx

tx

2

1 → estas serían las

componentes de los autovectores asociados:

−=

=

t

t

x

xx

2

1r.

En particular, si t = 1,

−=

1

1

2

1

x

x.

Otro ejemplo: Página 382 de Sydsaeter: 14.12 b) →

−−

−

−−

=

463

241

665

B

→ 0

463

241

665

=

λ−−−

λ−−

−−λ−

=λ− IB ⇒ ( ) ( ) 012 2=−λ−λ− ⇒ λ = 2, doble; λ = 1.

• Si λ = 2, ( ) 0rs

=λ− xIB ⇔

=

λ−−−

λ−−

−−λ−

0

0

0

463

241

665

z

y

x

⇔

=

−−

−

−−

0

0

0

663

221

663

z

y

x

⇒

=−−

=++−

=−−

0663

022

0663

zyx

zyx

zyx

⇒

=

=

+=

hz

ty

htx 22

→ htx ·

1

0

2

·

0

1

2

+

=r

. Se toma:

=

0

1

2

1xr

;

=

1

0

2

2xr

.

En este caso la solución del autosistema depende de dos vectores (es la ecuación de un plano, cuya dimensión es 2): es un subespacio vectorial con multiplicidad geométrica igual a 2.

• Si λ = 1, ( ) 0rs

=λ− xIB ⇔

=

−−

−

−−

0

0

0

563

231

664

z

y

x

⇒

⇒

=−−

=++−

=−−

0563

023

0664

zyx

zyx

zyx

⇒

=

−=

=

tz

ty

tx

3

3

→ tx ·

3

1

3

−=r

. Se toma:

−=

3

1

3

3xr

.


4

Autovalores de matrices diagonales.

Las matrices diagonales

=

nd

d

d

D

...00

............

0...0

0...0

2

1

, cumplen:

1. ndddD ·...·· 21=

2.

=

n

n

n

n

n

d

d

d

D

...00

............

0...0

0...0

2

1

3. La ecuación característica es: 0

...00

............

0...0

0...0

2

1

=

λ−

λ−

λ−

=λ−

nd

d

d

ID ⇒

=λ

=λ

=λ

nn d

d

d

...22

11

En definitiva, los autovalores de una matriz diagonal son los elementos de esa diagonal.

Ejemplo: Si

=

300

020

001

D ⇒ 1. 63·2·1 ==D . 2.

=n

n

n

nD

300

020

001

.

3. Los valores propios son: λ = 1, 2 y 3. Algunas propiedades de los autovalores 1. La suma de los autovalores es igual a la traza de la matriz A. nnn aaa +++=λ++λ+λ ...... 221121

2. El producto de los autovalores es igual al determinante de la matriz A. An =λλλ ·...·· 21

3. Los autovalores de A son los mismos que los de At.

4. Dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz M invertible tal que 1−= MBMA . Con esto, si dos matrices A y B son semejantes, ambas tienen la misma ecuación característica. Por tanto, los autovalores de A y B son los mismos.

En efecto, si 1−= MBMA ⇒ IMBMIA λ−=λ− −1 = 11 −− λ− IMMMBM =

= IBMIBMMIBM λ−=λ−=λ− −− 11 ··)(

5. Sean λ1, λ2, …, λp autovalores, distintos entre sí, de A. Si 1x

r, 2xr

,..., pxr

son autovectores no

nulos, asociados respectivamente a λ1, λ2, …, λp, entonces, el conjunto { 1xr

, 2xr

,..., pxr

} es

linealmente independiente.


5

→ Apunte para una demostración: Vamos a demostrarlo para p = 2. Por tanto, se tienen: λ1 ≠ λ2, y 1x

r, 2xr

, ambos vectores no nulos.

Si los vectores fuesen l.d., entonces existen k1 y k2, no nulos, tales que 02211

rrr=+ xkxk .

Por tanto:

( ) 00·2211

rrrr==+ AxkxkA ⇒

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 022211122112211

rrrrrrr=λ+λ=+=+ xkxkxAkxAkxkAxkA (*)

De 02211

rrr=+ xkxk ⇒ 2211 xkxk

rr−= . Sustituyendo en (*):

( ) 0222221

rrr=λ+−λ xkxk ⇒ ( ) 0· 2212

rr=λ−λ xk ⇒ λ2 = λ1, pues k2 ≠ 0.

Lo que contradice la hipótesis inicial de λ1 ≠ λ2. En consecuencia, el conjunto { 1xr

, 2xr

} es linealmente independiente. Para demostrarlo en general se hace por inducción. Se comprueba para p = 1, se supone cierto hasta p, y demuestra que también es cierto para p + 1.


6

Diagonalización Una matriz cuadrada A, de orden n, se dice que es diagonalizable si existe una matriz

invertible P, de orden n, y una matriz diagonal, tal que DAPP =−1 . Otra manera de decirlo es: Una matriz cuadrada A es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

• Diagonalizar una matriz A es encontrar las matrices D y P tales que 1−= PDPA • Es evidente que si DAPP =−1 ⇒ 1−= PDPA ⇒ 1−= PPDA

nn El objetivo es determinar qué matrices son diagonalizables y cómo hallar P y D. Teorema. Una matriz cuadrada A, de orden n, es diagonalizable si y sólo si tiene un conjunto

1xr

, 2xr

, ..., nxr

de n autovectores linealmente independientes..

En este caso,

λ

λ

λ

=−

n

APP

...00

............

0...0

0...0

2

1

1 ⇔ 12

1

·

...00

............

0...0

0...0

· −

λ

λ

λ

= PPA

n

donde P es la matriz cuyas columnas son los vectores 1xr

, 2xr

, ..., nxr

y λ1, λ2, …, λn son

autovalores de A. → P = ( 1xr

, 2xr

, ..., nxr

).

Nota: La demostración de este teorema puede verse en la p 386 del Sydsaeter.

Ejemplo: Para la matriz

=

32

12A , vista anteriormente, se tenía:

Autovalores: λ = 4 y λ = 1.

Autovectores asociados: Para λ = 4 → 1xr

=

=

2

1

2

1

x

x; Para λ = 1, 2x

r =

−=

1

1

2

1

x

x.

Por tanto:

=

10

04D ;

−=

12

11P … ⇒

−

−−−=−

12

11

3

11P

Puede verse que:

DAPP =−1 →

=

−

−

−−−

10

04

12

11

32

12

12

11

3

1

¿Qué matrices son diagonalizables? Las condiciones exigidas en el teorema anterior pueden concretarse como sigue: Caso 1. Todos los autovalores son distintos. Si una matriz cuadrada A, de orden n, tiene n autovalores reales distintos, entonces (como consecuencia de la propiedad 5 de los autovalores) el conjunto { 1x

r, 2xr

,..., nxr

} es linealmente

independiente. Luego, la matriz A es diagonalizable.


7

Puede observarse que si { 1xr

, 2xr

,..., nxr

} son l.i. ⇒ la matriz P = ( 1xr

, 2xr

, ..., nxr

) es

inversible. Luego puede escribirse que APDP =−1 . Caso 2. Hay autovalores repetidos (múltiples). Una matriz cuadrada A, de orden n, es diagonalizable si y sólo si todos sus autovalores son reales y, además, la multiplicidad geométrica de cada uno coincide con su multiplicidad algebraica. La multiplicidad algebraica es la del autovalor: solución doble, triple… de la ecuación

0)( =λ−=λ IAP .

La multiplicidad geométrica es la de los autovectores respectivos: la dimensión del espacio

vectorial solución del autosistema ( ) 0rs

=λ− xIA . Nota: Este resultado no lo demostramos; lo damos por cierto. Ejemplos:

1. Diagonalización de

−

−−

−

=

310

121

013

A

→ 0

310

121

013

=

λ−−

−λ−−

−λ−

=λ− IA ⇒ ( )( )( ) 0413 =−λ−λλ−

Autovalores: λ = 3; λ = 1; λ = 4. Los tres autovalores son simples ⇒ la matriz es diagonalizable. • Si λ = 3,

( ) 0rs

=λ− xIA ⇔

=

−

−−−

−

0

0

0

010

111

010

z

y

x

⇒

=−

=−−−

=−

0

0

0

y

zyx

y

⇒

=

=

−=

tz

y

tx

0 →

−

=

1

0

1

1xr

• Si λ = 1,

( ) 0rs

=λ− xIA ⇔

=

−

−−

−

0

0

0

210

111

012

z

y

x

⇒

=+−

=−+−

=−

02

0

02

zy

zyx

yx

⇒

=

=

=

tz

ty

tx

2 →

=

1

2

1

2xr

• Si λ = 4,

( ) 0rs

=λ− xIA ⇔

=

−−

−−−

−−

0

0

0

110

121

011

z

y

x

⇒

=−−

=−−−

=−−

0

02

0

zy

zyx

yx

⇒

−=

=

−=

tz

ty

tx

→

−

−

=

1

1

1

3xr

La matriz

=

400

010

003

D . La matriz

−

−

=

111

120

111

P →

−−

−

=−

222

121

303

6

11P

Es fácil comprobar que APDP =−1 .


8


−−

−−

=

103

323

301

A

→ 0

103

323

301

=

λ−−−

λ−

−λ−−

=λ− IA ⇒ ( ) ( ) 042 2=+λ−λ

Autovalores: λ = 2, doble (multiplicidad algebraica 2); y λ = −4, simple.

La matriz A será diagonalizable si la multiplicidad geométrica del sistema ( ) 02rs

=− xIA es 2. Veamos: • Si λ = 2,

( ) 02rs

=− xIA ⇔

=

−−

−−

0

0

0

303

303

303

z

y

x

⇒

=−−

=+

=−−

033

033

033

zx

zx

zx

⇒ (el rango de la matriz de

coeficientes es 1) ⇒

−=

=

=

tz

hy

tx

→ (para t = 1 y h = 0):

−

=

1

0

1

1xr

; (t = 0, h = 1):

=

0

1

0

2xr

Luego, la multiplicidad geométrica es 2: la solución depende de 2 parámetros. Como coincide con la multiplicidad algebraica, la matriz será diagonalizable. • Si λ = −4,

( ) 04rs

=+ xIA ⇔

=

−

−

0

0

0

303

363

303

z

y

x

⇒

=+−

=++

=−

033

0363

033

zx

zyx

zx

⇒

=

−=

=

tz

ty

tx

→

−=

1

1

1

3xr

La matriz

−

=

400

020

002

D . La matriz

−

−=

101

110

101

P →

−

=−

101

121

101

2

11P

Puede comprobarse que APDP =−1 .

Nota. La matriz

−−

−

−−

=

463

241

665

B , vista en un ejemplo anterior, cumplía:

Autovalores: λ = 2, doble; λ = 1. Autovectores:

=

0

1

2

1xr

,

=

1

0

2

2xr

,

−=

3

1

3

3xr

.

Por tanto:

=

100

020

002

D ;

−=

310

101

322

P .


9


−=

240

110

102

A

→ 0

240

110

012

=

λ−

λ−−

λ−

=λ− IA ⇒ ( ) ( ) 032 2=−λ−λ

Autovalores: λ = 2, doble y λ = 3.

La matriz A será diagonalizable si la multiplicidad geométrica del sistema ( ) 02rs

=− xIA es 2. Veamos: • Si λ = 2,

( ) 02rs

=− xIA ⇔

=

−

0

0

0

040

130

010

z

y

x

⇒

=

=+−

=

04

03

0

z

zy

y

⇒ (el rango de la matriz de

coeficientes es 2: la solución depende de un solo parámetro) ⇒

=

=

=

0

0

z

y

tx

→

=

0

0

1

1xr

.

Como no coincide la multiplicidad geométrica con la algebraica, la matriz dada no es diagonalizable.


10

Relación de congruencia y diagonalización de matrices simétricas Definición: Una matriz cuadrada C es ortogonal si y sólo si ICCCC

tt == . Esto es, una matriz es ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta: t

CC =−1 • Si una matriz es ortogonal sus vectores fila (y sus vectores columna) son ortonormales:

tienen módulo 1 y son perpendiculares dos a dos. Por tanto, sus vectores fila (o columna) constituyen una base ortonormal.

La demostración es inmediata. Basta con considerar que ( )( ) 1· =iFiFrr

y ( )( ) 0· =jFiFrr

.

Ejemplo: La matriz

−=

01

10C es ortonormal →

=

−

−=

10

01

01

10

01

10· tCC .

Como puede observarse sus vectores fila con unitarios, y perpendiculares entre sí. • Si una matriz C es ortogonal, entonces 1±=C .

De ICCCCtt == ⇒ 1== CCCC

tt ⇒ 12

=C ⇒ 1±=C .

Congruencia Definición de congruencia: Una matriz cuadrada A es congruente con otra matriz B si y sólo si existe una matriz ortogonal C tal que 1−= CBCA • Cuando la matriz B es diagonal (B ≡ D), se dice que A es diagonalizable mediante

congruencias. Esto es: A es diagonalizable por (mediante) congruencias ⇔ 1−= CDCA , siendo C ortogonal y D diagonal.

Ejemplo: Veamos que la matriz

=

11

11A es diagonalizable por congruencias.

→ 0211

11 2 =λ−λ=λ−

λ−=λ− IA ⇒ Los autovalores son: λ = 0 y λ = 2.

• Si λ = 0:

=

0

0

11

11

y

x ⇒

=+

=+

0

0

yx

yx ⇒

−=

=

ty

tx →

Autovector

−≡

−=

2/1

2/1

1

11xr

. El segundo es unitario.

• Si λ = 2:

=

−

−

0

0

11

11

y

x ⇒

=−

=+−

0

0

yx

yx ⇒

=

=

ty

tx →

Autovector

≡

=

2/1

2/1

1

12xr

. El segundo es unitario.

Los vectores 1xr

y 2xr

son perpendiculares.

La matriz de paso puede ser

−=

11

11P . Pero también lo puede ser

−=

2/12/1

2/12/1C

Como la matriz C es ortogonal, la diagonalización de A por congruencias es: 1−= CDCA .


11

Esto es:

−

−=

2/12/1

2/12/1

20

00

2/12/1

2/12/1

11

11.

Congruencia y matrices simétricas Las matrices simétricas cumplen: 1. El polinomio característico IAP λ−=λ)( , de toda matriz simétrica A, tiene solamente

raíces reales. Por tanto, todos los autovalores de A son reales. 2. La dimensión algebraica de un autovalor coincide con la multiplicidad geométrica de los autovalores asociados. 3. Los autovectores asociados a dos autovalores distintos son ortogonales. Esto es si λ1 ≠ λ2, sus autovectores asociados 1x

r y 2x

r verifican que 0· 21 =xx

rr.

4. En general, cualesquiera dos autovectores propios son ortogonales. (Esto es, los autovectores asociados a valores propios múltiples también cumplen la propiedad 2.) Como todo vector puede normalizarse (encontrar un vector de módulo 1 y con la misma dirección que el dado), siempre puede hallarse una matriz de paso, P, que sea ortogonal. Todo lo anterior conduce al siguiente teorema: Teorema espectral para matrices simétricas. Toda matriz simétrica es congruente con alguna matriz diagonal. Dicho de otra manera: toda matriz simétrica A es diagonalizable ortogonalmente. Para el caso de autovalores simples es inmediato puesto que la matriz es diagonalizable con seguridad. Por tanto, basta con normalizar la matriz de paso. Para el caso de autovalores múltiples la demostración requiere conocimientos avanzados de Álgebra → se encuentra en muchos manuales de Álgebra superior. Ejemplo:

1. Diagonalización de la matriz simétrica

=

311

131

113

A

→ 0

311

131

113

=

λ−

λ−

λ−

=λ− IA ⇒ ( ) ( ) 052 2=−λ−λ−

Autovalores: λ = 2, doble; λ = 5. • Si λ = 2,

( ) 0rs

=λ− xIA ⇔

=

0

0

0

111

111

111

z

y

x

⇒ { 0=++ zyx ⇒

−−=

=

=

htz

hy

tx

→

(para t = 1, h = 1) →

−

=

2

1

1

1xr

; (para t = 1, h = −1) →

−=

0

1

1

2xr


12

• Si λ = 5,

( ) 0rs

=λ− xIA ⇔

=

−

−

−

0

0

0

211

121

112

z

y

x

⇒

=−+

=+−

=++−

02

02

02

zyx

zyx

zyx

⇒

=

=

=

tz

ty

tx

→

=

1

1

1

3xr

Como puede verse fácilmente los autovectores 1x

r, 2xr

y 3xr

son ortogonales entre sí. Normalizándolos se obtiene:

−

≡

−

=

6/2

6/1

6/1

2

1

1

1xr

;

−≡

−=

0

2/1

2/1

0

1

1

2xr

;

≡

=

3/1

3/1

3/1

1

1

1

3xr

Por tanto:

La matriz

=

500

020

002

D . La matriz

−

−=

3/106/2

3/12/16/1

3/12/16/1

P

La inversa, 1−P , es la traspuesta de P.

Es fácil comprobar que APDP =−1 .

2. Diagonalización de la matriz simétrica

−−

−−

−−

=

511

162

126

A

→ 0=λ− IA ⇒ ( )( )( ) 0386 =−λ−λ−λ−

Autovalores: λ = 6, λ = 8; λ = 3.

Si λ = 6,

−

=

2

1

1

1xr

; Si λ = 8,

−=

0

1

1

2xr

; Si λ = 3,

=

1

1

1

3xr

Como puede verse fácilmente los autovectores 1xr

, 2xr

y 3xr

son ortogonales entre sí. Normalizándolos se obtiene:

−

≡

−

=

6/2

6/1

6/1

2

1

1

1xr

;

−≡

−=

0

2/1

2/1

0

1

1

2xr

;

≡

=

3/1

3/1

3/1

1

1

1

3xr

Por tanto:

=

300

080

006

D ;

−

−=

3/106/2

3/12/16/1

3/12/16/1

P .

Se cumple que APDP =−1 . Nota. La coincidencia de las dos matrices P de los ejemplos anteriores es eso, una coincidencia.

Autovalores y Autovectores

Documents

Transcript of Autovalores y Autovectores