Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Javier ... · PDF fileel proyecto. 5 RESUMEN DEL...

Autorizada la entrega del proyecto al alumno:

Javier Roldán Pérez

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO

Aurelio García Cerrada

Fdo: Fecha:

Juan Luis Zamora Macho

Fdo: Fecha:

Vº Bº del Coordinador de Proyectos

Álvaro Sánchez Miralles

Fdo: Fecha:

PROYECTO FIN DE CARRERA

DISEÑO DE UN REGULADOR ROBUSTO

PARA FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA

DIRECTORES: Aurelio García Cerrada

Juan Luis Zamora Macho

AUTOR: Javier Roldán Pérez

MADRID, Junio de 2009

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

A mi padre

4

AGRADECIMIENTOS

Todo el trabajo realizado en este proyecto no habría sido posible sin la

ayuda de un gran número de personas, a las cuales estoy sinceramente

agradecido y les dedico este trabajo.

Quiero agradecer a mis directores de proyecto, Aurelio García Cerrada y

Juan Luis Zamora Macho todo el apoyo que me han brindado. Gracias por

todas las horas que han dedicado a resolver mis dudas y todas las ideas

que me han proporcionado para poder seguir adelante. Sin ellos este

proyecto no habría sido posible.

Gracias a Omar Pinzón Ardila, ya que gran parte del trabajo realizado se

ha basado en estudios anteriores realizados por él. También gracias por las

ilustraciones utilizadas en su tesis doctoral, para modificarlas e incluirlas

en el proyecto.

Gracias a los miembros del taller, que tanto me tanto tiempo han dedicado

a consejos y ayudas para el desarrollo del prototipo de laboratorio.

A la Universidad Pontificia Comillas y los miembros del departamento de

Electrónica y Automática quiero agradecerle el poder haber usado sus

instalaciones para el desarrollo del proyecto. Sin todo el material prestado

nada no se habría podido construir la plataforma experimental.

Por último quiero agradecer a mis padres, a mis hermanos, a mi familia, a

Amaia y a mis amigos, que han estado todo el tiempo junto a mí para

apoyarme y darme los ánimos necesarios para poder llevar a buen término

el proyecto.

5

RESUMEN DEL PROYECTO

La calidad del servicio eléctrico se ha identificado tradicionalmente con la

continuidad en el suministro eléctrico, pero recientemente se han

incorporado otros conceptos tales como la calidad de la onda.

El mantenimiento de la calidad de la onda depende de muchos factores,

unos asociados a la red suministro, y otros asociados a los consumidores.

El nivel de perturbaciones introducidas en la red por ciertos consumidores

puede afectar negativamente a la calidad de la onda de la red. En gran

medida, este aumento de las perturbaciones se debe a cargas que

consumen corrientes no sinusoidales. Estas corrientes no sinusoidales

circulan por la red y dan lugar a tensiones armónicas, que son las

causantes del deterioro de la calidad de la onda.

RL

LL

C

L

zSvS

VC

iFA

+

_

vLiLiS

iLiS

iFA

Figura R.1 Diagrama de un filtro activo de electrónica de potencia en conexión paralelo

Un filtro activo en conexión paralelo es una solución alternativa al uso de

los tradicionales filtros pasivos. Los filtros activos mejoran la eliminación

de armónicos de corriente. Además, permiten realizar otras acciones

beneficiosas para la red como la compensación de potencia reactiva o el

RESUMEN DEL PROYECTO 6

equilibrado de las corrientes por las fases. El diagrama de funcionamiento

de un filtro activo puede observarse en la Figura R.1.

Los algoritmos de control de filtros activos son complicados y no poseen

un estándar en la industria. Este proyecto persigue investigar los

algoritmos de control de filtros activos y realizar las mejoras necesarias

para asegurar un correcto funcionamiento de los mismos bajo condiciones

desfavorables.

Para la realización del proyecto se ha desarrollado un prototipo

monofásico en el que se han probado los algoritmos estudiados en el

proyecto. En la Figura R.2 puede verse un esquema del prototipo.

RL

LL

VCC

+

_

LR

iS iL VL

iFVS

Figura R.2 Diagrama de la plataforma experimental realizada en el laboratorio de electrónica de

potencia del ICAI

En el prototipo el inversor se ha sustituido por un amplificador de audio

para facilitar la implantación. Para la prueba de los algoritmos se ha

utilizado Real Time Windows Target. Los algoritmos se han diseñado

utilizando Matlab y Simulink, y para su ejecución se ha utilizado un

sistema operativo en tiempo real.

7

PROJECT ABSTRACT

The power quality of the electrical-power-distribution service has been

traditionally identified with the continuity of the electrical supply, but

recently other issues have been raised such as the voltage waveform

quality.

The maintenance of the voltage waveform quality depends on many

factors, some related to the power supply network, and others related to

the consumers. The level of disturbances introduced in the power network

by certain consumers can affect the power-network-waveform quality

negatively. To a great extent, this increase in the disturbance level is a

result of loads that consume non-sinusoidal currents. These non-

sinusoidal currents circulate within the power network and produce

harmonic voltages, which are the cause of the waveform deterioration.

RL

LL

C

L

zSvS

VC

iFA

+

_

vLiLiS

iLiS

iFA

Figure R.1 Diagram of a shunt active filter based on power electronics

A shunt active power filter is an alternative solution to the traditional

passive filters. An active filter improves the current harmonic rejection. In

PROJECT ABSTRACT 8

addition, they contribute to reactive-power control and load balancing. A

shunt active filter is depicted in Figure R.1.

The control algorithms for active filters are complicated and they do not

have a standard in industry. This project investigates active filter control

algorithms in order to achieve good performance under unfavorable

conditions.

In order to validate the main results a single-phase prototype has been

developed in order to test the algorithms studied in the project. The

prototype is depicted in Figure R.2.

RL

LL

VCC

+

_

LR

iS iL VL

iFVS

Figure R.2 Diagram of the experimental setup built in ICAI’s Power Electronics Laboratory

In order to simplify the experimental setup a linear audio amplifier has

been used instead of an inverter. Real-Time XPC-Target has been used to

test the algorithms that have been designed using Matlab and Simulink.

MEMORIA

ÍNDICE DE CONTENIDOS

ÍNDICE DE CONTENIDOS 2

Parte I Memoria ............................................................................................. 7

Capítulo 1 Introducción ...................................................................................... 8

1 Precedentes ......................................................................................................... 8

2 Motivación del proyecto ................................................................................. 10

3 Objetivos ........................................................................................................... 11

4 Metodología ...................................................................................................... 12

5 Recursos ............................................................................................................. 13

Capítulo 2 Estimación de magnitudes eléctricas........................................... 14

1 Introducción ...................................................................................................... 14

2 Principios del filtro de Kalman ..................................................................... 15

3 Algoritmo del filtro de Kalman .................................................................... 17

4 Modelo de la estimación................................................................................. 17

4.1 Modelo para una sinusoidal pura .............................................................................. 17

4.2 Modelo para una sinusoidal de frecuencia variable ................................................ 18

4.3 Modelo para una sinusoidal y sus armónicos .......................................................... 19

5 Ejes móviles ...................................................................................................... 21

6 Ensayo de Laboratorio .................................................................................... 23

6.1 Estimación de la frecuencia de la red ......................................................................... 23

6.2 Estimación de los armónicos de la corriente de carga ............................................. 24

Capítulo 3 Control de un filtro activo paralelo ............................................ 26

1 Introducción ...................................................................................................... 26

2 Organización del control ................................................................................ 27

3 Modelo en tiempo continuo........................................................................... 28

4 Modelo en tiempo discreto ............................................................................ 29

5 Identificación de la planta ............................................................................. 30

6 Control interno de corriente .......................................................................... 32

6.1 Prealimentación de la tensión VL ................................................................................ 32

6.2 Diseño del control interno ........................................................................................... 33


7 Ensayo de laboratorio ..................................................................................... 34

7.1 Prealimentación de la tensión VL ................................................................................ 34

7.2 Control interno de corriente ........................................................................................ 36

7.3 Supresión de armónicos con el control interno ........................................................ 37

Capítulo 4 Control Repetitivo.......................................................................... 40

1 Introducción ...................................................................................................... 40

2 Características ................................................................................................... 40

2.1 Control repetitivo en tiempo continuo ...................................................................... 40

2.2 Control repetitivo en tiempo discreto ........................................................................ 42

3 Bloques del control repetitivo ....................................................................... 44

4 Estabilidad ........................................................................................................ 46

4.1 Estudio de estabilidad .................................................................................................. 46

4.2 Conclusiones sobre estabilidad .................................................................................. 48

5 Control repetitivo de orden superior ........................................................... 48

5.1 Formulación .................................................................................................................. 49

5.2 Configuración “Period Robust”.................................................................................. 50

5.3 Configuración “Noise Robust” ................................................................................... 53

6 Precisión ............................................................................................................ 55

6.1 Función de transferencia del error ............................................................................. 55

6.2 Función de sensibilidad complementaria ................................................................. 57

6.3 Error con los cambios de frecuencia .......................................................................... 58

7 Diseño del filtro Q(z) ...................................................................................... 61

8 Diseño de la ganancia Kx ................................................................................ 65

8.1 Influencia de Kx en la estabilidad ............................................................................... 65

8.2 Influencia de Kx en el error .......................................................................................... 67

9 Diseño del filtro L(z) ....................................................................................... 69

9.1 Adaptación redondeando el valor de N .................................................................... 70

9.2 Filtro L(z) para el regulador repetitivo ...................................................................... 70

9.3 Filtro L(z) para el control repetitivo de orden superior .......................................... 75

9.4 Errores con los métodos de adaptación ..................................................................... 76

10 Ensayo de Laboratorio: Control repetitivo .................................................. 78


11 Ensayo de Laboratorio: Regulador NR ........................................................ 81

12 Ensayo de Laboratorio: Regulador PR ......................................................... 85

Capítulo 5 Regulador basado en el filtro de Kalman ................................... 88

1 Introducción ...................................................................................................... 88

2 Modelo dinámico del filtro de Kalman ....................................................... 90

2.1 Componentes desacopladas ........................................................................................ 90

2.2 Modelo lineal ................................................................................................................. 92

2.3 Conclusiones ................................................................................................................. 95

3 Control integral en ejes móviles ................................................................... 96

3.1 Introducción .................................................................................................................. 96

3.2 Estudio de estabilidad .................................................................................................. 97

3.3 Respuesta en frecuencia de un regulador PI en ejes móviles ................................. 98

3.4 Diseño de un regulador PI en ejes móviles ............................................................... 99

3.5 Ensayo de Laboratorio ............................................................................................... 100

4 Regulador selectivo en ejes fijos ................................................................ 102

4.1 Introducción ................................................................................................................ 102

4.2 Forma de un regulador selectivo .............................................................................. 102

4.3 Estudio de estabilidad ................................................................................................ 103

4.4 Ensayo de laboratorio ................................................................................................ 104

5 Regulador Óptimo ......................................................................................... 106

5.1 Introducción ................................................................................................................ 106

5.2 Algoritmo de control .................................................................................................. 106

5.3 Ensayo de laboratorio ................................................................................................ 108

Capítulo 6 Plataforma Experimental ............................................................ 112

1 Descripción del Hardware ........................................................................... 113

1.1 Red de alimentación ................................................................................................... 113

1.2 Carga ............................................................................................................................ 113

1.3 Conexión del filtro activo .......................................................................................... 114

1.4 Amplificador de audio ............................................................................................... 114

1.5 Sondas de medida ...................................................................................................... 115

1.6 Tarjeta de adquisición de datos ................................................................................ 115

2 Descripción del Software ............................................................................. 116


Capítulo 7 Conclusiones .................................................................................. 117

1 Introducción .................................................................................................... 117

2 Resumen .......................................................................................................... 117

3 Concusiones finales ...................................................................................... 120

Capítulo 8 Futuros desarrollos ...................................................................... 121

1 Introducción .................................................................................................... 121

2 Futuros desarrollos ........................................................................................ 121

Bibliografía ........................................................................................................ 123

Anexo A Algoritmo del filtro de Kalman .................................................... 128

1 Algoritmo del filtro lineal de Kalman ....................................................... 128

2 Algoritmo del filtro extendido de Kalman ............................................... 130

Anexo B Algoritmo de optimización ........................................................... 133

Anexo C Identificación de la planta ............................................................ 135

Anexo D Implantación de algoritmos ......................................................... 140

1 Filtro de Kalman ............................................................................................ 140

1.1 Método general de implantación .............................................................................. 140

1.2 Matriz de estado para el LKF .................................................................................... 141

1.3 Matriz de estado y matriz jacobiana para el EKF ................................................... 141

1.4 Ejes móviles ................................................................................................................. 142

2 Control repetitivo .......................................................................................... 143

2.1 Causalidad de los bloques por separado ................................................................. 143

2.2 Función retardo ........................................................................................................... 143

2.3 Filtro L(z) ..................................................................................................................... 144

2.4 Habilitador del regulador repetitivo........................................................................ 144

3 Regulador selectivo e integral ..................................................................... 145

4 Algoritmo de optimización .......................................................................... 146

5 Recogida de datos .......................................................................................... 146

5.1 Osciloscopio de laboratorio ....................................................................................... 146


5.2 Medidas usando Simulink ......................................................................................... 147

Anexo E Acondicionamiento del amplificador de audio .......................... 148

1 Alta impedancia entre tarjeta y amplificador ........................................... 148

2 Esquema de montaje ..................................................................................... 148

3 Desacoplo de corriente continua ................................................................. 149

Parte II Estudio económico ........................................................................ 150

Parte I MEMORIA

8

Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

Este proyecto se ha divido en 8 capítulos y 4 apéndices. En los capítulos se

ha concentrado el trabajo esencial de este proyecto y en los apéndices se ha

añadido información adicional no necesaria para seguir la exposición.

En el Capítulo 1 se hace una introducción a las tecnologías existentes, la

motivación del proyecto y las herramientas utilizadas para llevarlo a cabo.

En el Capítulo 2 se explican los algoritmos para la estimación de medidas

eléctricas en sistemas de potencia.

En el Capítulo 3 se estudia el modelado de un filtro activo en conexión

paralelo. Se divide el problema de control y se estudia el control interno

del filtro activo.

En el Capítulo 4 se estudia el control repetitivo, que es una de las

alternativas para el control externo del filtro activo paralelo.

En el Capítulo 5 se expone un tipo de control externo nuevo basado en

algoritmos de estimación, como alternativa al control repetitivo.

En el Capítulo 6 se describe la plataforma experimental utilizada para

contrastar los resultados obtenidos en diseño y simulación.

En el Capítulo 7 se dan las conclusiones obtenidas tras la contrastación de

los resultados teóricos y empíricos.

Finalmente, en el Capítulo 8, se hacen sugerencias para seguir con la línea

de investigación.

1 Precedentes

La calidad del servicio eléctrico se ha identificado tradicionalmente con la

continuidad en el suministro eléctrico, pero recientemente se han

incorporado otros conceptos tales como la calidad de la onda.

CAPÍTULO 1 – INTRODUCCIÓN 9

El mantenimiento de la calidad de la onda depende de muchos factores,

unos asociados a la red suministro, y otros asociados a los consumidores.

El nivel de perturbaciones introducidas en la red por ciertos consumidores

puede afectar negativamente a la calidad de la onda de la red. En gran

medida, este aumento de las perturbaciones se debe a cargas que

consumen corrientes no sinusoidales. Estas corrientes no sinusoidales

circulan por la red y dan lugar a tensiones armónicas, que son las

causantes del deterioro de la calidad de la onda.

Estas cargas no lineales son, por ejemplo:

Dispositivos de electrónica de potencia conectados a red

Hornos de arco

Cargas trifásicas desequilibradas, etc.

Una de las soluciones recientes a este problema es el uso de un filtro activo

paralelo. En el proyecto en cuestión, el filtro está constituido por un

inversor trifásico.

RL

LL

C

L

zS

vS

VC

iFA

+

_

vLiLiS

iLiS

iFA

Figura 1.1: Diagrama de un filtro activo de electrónica de potencia en conexión paralelo.

En la Figura 1.1 se observa el diagrama de bloques de un filtro activo que

se utiliza para compensar armónicos de corriente. La corriente iL es la


consumida por la carga. El filtro activo genera iFA para compensar los

armónicos de corriente, de manera que iS, que tiene forma sinusoidal.

En la Tesis Doctoral de Omar Pinzón [1] que trata sobre el control de

filtros activos en conexión paralelo, se plantea la necesidad de diseñar un

regulador robusto para el correcto funcionamiento de un filtro activo bajo

circunstancias desfavorables.

La utilización de algoritmos de control para la eliminación de armónicos

ha sido utilizada en diversos campos de la ingeniería tales como el control

de vibraciones en sistemas mecánicos [2]-[7] o en sistemas electrónicos de

potencia [8]-[15]. En particular, el seguimiento de armónicos en filtros

activos paralelo ha sido tratado especialmente por Omar Pinzón [1] y K.

Zhou y D. Wang [9]-[11].

2 Motivación del proyecto

La norma española UNE-EN 50160 [13] define y uniformiza los valores

máximos de perturbaciones armónicas permisibles en los nudos de la red

de distribución. Típicamente se suele hacer uso de filtros pasivos

conectados a la red para alcanzar estos niveles máximos permitidos, que

son de un gran coste económico y no permiten ni el equilibrado de la

corriente por las fases ni el control de potencia reactiva.

El uso de un inversor como filtro supone una mejora considerable en

cuanto a coste y prestaciones. Además el estudio de reguladores para la

supresión de armónicos tiene un gran campo de aplicación en los sistemas

mecánicos [2]-[7]. Aunque la física de los sistemas mecánicos sea muy

diferente de la de los sistemas eléctricos, el estudio de los algoritmos es

prácticamente idéntico, como es común en muchas otras técnicas de

control [14]. Por tanto los desarrollos que se efectúen en este proyecto

pueden ser útiles también para futuros desarrollos en sistemas mecánicos.


3 Objetivos

En este proyecto se ha abordado el diseño de un sistema de control para

un filtro activo en conexión paralelo. Los objetivos concretos a cumplir son

los siguientes:

Desarrollo de un sistema de control que manteniendo unas buenas

cualidades de funcionamiento, se adapte a las variaciones lentas de

la frecuencia de la red.

Prueba del sistema de control en un prototipo a escala. Se debe de

probar el buen funcionamiento bajo condiciones desfavorables

Dentro de los sistemas de control que se diseñen se valorará la robustez y

la rapidez bajo los siguientes criterios:

El diseño del sistema de control debe producir un sistema estable

frente a cambios en los parámetros de la red de distribución.

Se debe garantizar el buen funcionamiento aunque cambien los

parámetros de diseño del inversor.

Garantizar una respuesta razonablemente rápida del filtro ante los

cambios tanto en la forma de onda de la red, como en los armónicos

consumidos por la carga.

La justificación del uso de un prototipo monofásico con un amplificador

de audio es que el montaje del sistema de control en un inversor es una

tarea muy aparatosa que conllevaría más tiempo del disponible.

Distintos algoritmos de control han sido ya probados sobre el inversor real

en el laboratorio sin afrontar el problema de la variación de la frecuencia

de la red, y los resultados han sido similares a los obtenidos en

simulación, por tanto cabría esperar resultados similares en este caso.


4 Metodología

A continuación, se muestra cómo se va a hacer para satisfacer los objetivos

mencionados en el apartado anterior:

Control Repetitivo Adaptativo: Se estudiarán diferentes métodos

para la adaptación en tiempo real del sistema de control a las

fluctuaciones de la frecuencia y la tensión de red, así como la

variación de los parámetros de diseño.

Este algoritmo de control ya ha sido usado en el inversor real en su

versión no adaptativa [8], mostrando buenos resultados trabajando

en la situación ideal, pero no bajo condiciones desfavorables.

Entre los métodos a probar será aumentar el orden del controlador

para hacerlo más insensible frente a cambios en la frecuencia,

inclusión de bloques adaptativos en el esquema de control, etc.

Regulador basado en filtro de Kalman: Mediante el uso de este

regulador será posible eliminar componentes armónicas por

separado.

Algoritmos parecidos ha sido utilizado en otros sistemas diferentes

al inversor, obteniendo buenos resultados. Generalmente se usa la

Transformada Discreta de Fourier (FFT) para identificar las

componentes armónicas.

Estimación de magnitudes eléctricas: En todos los casos es necesario

identificar la frecuencia de la red. Una de las posibles soluciones es

el uso de un filtro de Kalman para la identificación de las

perturbaciones en la red y su frecuencia, que ha sido ampliamente

estudiada en [15]-[18].

En paralelo al filtro de Kalman, se estudiarán otros métodos para la

identificación de las perturbaciones, basados principalmente en el

filtrado selectivo-adaptativo de armónicos.


En general, se intentará aprovechar al máximo la información de las

formas de ondas, para lograr unas medidas rápidas y fiables.

5 Recursos

Para la realización del proyecto se dispondrá de las siguientes

herramientas informáticas:

Matlab: Se utilizará programación en Matlab y diferentes Toolbox

para la realización de cálculos teóricos y de diseño.

De ser posible, los modelos se validarán en Matlab y posteriormente

se simularán. De no ser posible, los resultados se obtendrán

directamente por simulación.

Simulink: Se utilizará para simular los diseños previamente

estudiados antes de prueba en el prototipo. Para la prueba en el

prototipo se utilizará la extensión Real Time Windows Target.

De esta manera los diferentes reguladores se podrán probar en el

laboratorio sin la necesidad de hacer la programación de bajo nivel.

Para la realización de las pruebas se usarán prototipos. El grado de

complejidad de los prototipos dependerá de la situación del proyecto. Los

requisitos para poder usar un prototipo son:

Capacidad de obtención de un modelo de cálculo, ya sea por

técnicas analíticas o por técnicas de identificación de sistemas, para

poder realizar el diseño del sistema de control.

Semejanza del prototipo con el sistema real. Se trate el prototipo de

un sistema conmutado o no, la respuesta dinámica deberá ser

parecida a la sistema real.

El prototipo realizado se instalará en el laboratorio de electrónica de

potencia del ICAI. Todo el material utilizado se recoge en el Capítulo 6,

donde se explica minuciosamente todo el montaje del prototipo.

14

Capítulo 2 ESTIMACIÓN DE MAGNITUDES

ELÉCTRICAS

En este capítulo se introduce el Filtro de Kalman como estimador de

magnitudes eléctricas. El Filtro de Kalman es un sistema de identificación

muy potente, que tomará un papel muy relevante en el diseño posterior

de reguladores, motivo por el cual se ha dedicado un capítulo entero al

estudio del mismo.

Se estudian los algoritmos del filtro Lineal y del filtro Extendido de

Kalman, según sean lineales o no las matrices de los procesos a identificar.

En el Capítulo 4 y el Capítulo 5 se hará uso de las técnicas explicadas en

este capítulo para el proceso de diseño.

El detalle de los algoritmos recursivos usados en este capítulo se encuentra

en el Anexo A ya que no es necesario para seguir la exposición del

proyecto. Se dará especial importancia al modelo de estimación y sus

aplicaciones.

La descripción de la plataforma experimental sobre la que realizan los

ensayos se encuentra en el Capítulo 6.

1 Introducción

El filtro de Kalman es un algoritmo usado ampliamente para la estimación

de parámetros o estados de un sistema en presencia de perturbaciones. El

algoritmo está basado en un observador, en el cual la ganancia del mismo

se escoge de manera que minimice el error cuadrático medio debido al

ruido en el proceso y en las medidas. El filtro de Kalman fue formulado

por primera vez en [19], y recibe el nombre de su autor, Rudolf E. Kalman.

En la Figura 2.1 se puede ver un croquis explicativo.

CAPÍTULO 2 – ESTIMACIÓN DE MEDIDAS ELÉCTRICAS 15

El filtro de Kalman ha sido usado para la estimación de magnitudes

eléctricas por muchos autores como P. Dash [18] o B. Bukh [17] entre otros.

En este caso particular, se va a hacer especial uso de la referencia [15], de J.

Farith, ya que el problema a tratar es muy parecido, y las conclusiones de

este trabajo son muy positivas.

Procesou[k]

+

w[k]

Filtro de

Kalman

v[k]

y[k]

kx

ky

+

Figura 2.1: Diagrama del filtro de Kalman. wk e vk son el ruido en la medida en el proceso, uk es la

entrada, yk es la salida y xk las variables de estado. El superíndice “^” indica variables estimadas.

En la Figura 2.1 se muestra un esquema genérico de un filtro de Kalman,

donde se estiman xk e yk. Nótese en la Figura 2.2 que la vista externa es la

misma que la un observador cualquiera, la diferencia con el filtro de

Kalman radica en la elección de la ganancia de realimentación del

observador.

Representación

de estado

K

y[k]

u[k] kx

ky-

Figura 2.2: Diagrama de bloques interno de un observador

2 Principios del filtro de Kalman

La ecuación del modelo de estimación de un observador se puede escribir

como:


kkkkwBuAxx

1 (2.1)

En (2.1) A y B son las matrices de estado del proceso, xk es el estado a

estimar y wk es el ruido en el proceso. La ecuación que modela las medidas

es:

kkkvHxz (2.2)

En la ecuación (2.2) H representa la matriz de medidas, vk es el ruido en las

medidas y zk es el vector de medidas. Se nombrará k

x a las variables de

estado estimadas, y

kx como a las variables de estado estimadas a priori.

Una estimación a priori de las variables de estado es:

11ˆˆ

kkkBuxAx (2.3)

La estimación (2.3) de las variables de estado a priori sirve para escribir la

ecuación de estimación de las variables de estado:

kkkkkxHzKxx ˆˆˆ (2.4)

En (2.4) k

K recibe el nombre de ganancia de Kalman. Se observa que el

valor que toman las estimaciones es una ponderación entre la estimación a

priori y la diferencia entre las medidas esperadas (a priori) y las reales. Está

ponderación viene marcada por la ganancia de Kalman, que se escoge de

manera que minimice el error cuadrático medio de la estimación. Se define

el error de estimación como:

kkkxxe ˆ (2.5)

Es decir, esta ganancia se debe de calcular de forma recursiva, para cada

periodo de muestreo, en función de las medidas y las estimaciones de las

variables de estado, para minimizar el error de estimación (2.5). Para el

cálculo de esta ganancia se tendrá en cuenta los niveles de ruido tanto en

el proceso como en las medidas, según se explica en el Anexo A.


3 Algoritmo del filtro de Kalman

Para obtener una estimación de las variables de la representación de

estado (2.3) es necesario utilizar un algoritmo de optimización en tiempo

real. En caso de tratarse de una representación de estado lineal, el

algoritmo utilizado es el del filtro Lineal de Kalman (LKF). La descripción

del mismo se encuentra en la Sección 1 del Anexo A. En el caso de que las

matrices de estado sean no lineales, el algoritmo utilizado es el del filtro

Extendido de Kalman (EKF), cuya descripción se encuentra en la Sección 2

del Anexo A.

Para la estimación de señales sinusoidales de frecuencia constante la

representación de estado será lineal, como se verá en la siguiente sección,

y se usará el LKF. Para el caso de frecuencia variable, la representación es

no lineal, y entonces el algoritmo a usar será el EKF.

4 Modelo de la estimación

4.1 Modelo para una sinusoidal pura

El proceso a identificar es el siguiente:

tUtu cos (2.6)

Si se desea identificar la amplitud y la fase de manera unívoca, son

necesarios dos estados. Para ello se toma la señal de la ecuación (2.6) y su

estado ortogonal (2.7). De esta manera, el modelo en tiempo discreto del

proceso es:

kk

kk

tUx

tUx

sin

cos

2

1 (2.7)

Para hallar su representación de estado, es necesario escribir las

ecuaciones en el instante (k+1), resultando así la representación de estado

de la ecuación (2.8). La demostración puede encontrarse en [15].


kss

ss

kx

x

tcostsin

tsintcos

x

x

2

1

12

1

(2.8)

En la Figura 2.3 se puede ver el significado gráfico de la representación de

estado de la ecuación (2.8). El vector espacial avanza cada periodo de

muestreo un arco que vale ωts.

x1

x2ωts

ωts

x2(k+1)

re

im

x1(k+1)

Figura 2.3: Interpretación gráfica de la representación de estado de una señal sinusoidal

4.2 Modelo para una sinusoidal de frecuencia variable

En el caso de que la frecuencia sea una función del tiempo, se debe de

añadir la frecuencia como una tercera variable de estado. Como la

frecuencia es una magnitud que varía lentamente con el tiempo, se puede

escribir la ecuación (2.9), donde λ es un factor de olvido. Generalmente al

factor de olvido se le da el valor la unidad, excepto en casos en los que la

frecuencia varía muy rápidamente.

103)1(3 kk xx (2.9)

Finalmente, la representación de estado para identificar una magnitud

sinusoidal de frecuencia variable se puede escribir como:

k

ss

ss

kx

x

x

txcostxsin

txsintxcos

x

x

x

3

2

1

33

33

13

2

1

00

0

0

(2.10)

Nótese que para el caso de identificar la magnitud y el ángulo una

sinusoidal, la representación de estado era lineal (2.8), pero para el caso en


el que la frecuencia es una variable de estado, la representación es no

lineal (2.10). Las ecuaciones de medida para la representación de estado de

ecuación (2.10) se pueden escribir como:

k

k

x

x

x

z

3

2

1

001 (2.11)

En la Figura 2.4 se puede observar la simulación para la extracción

tanto de la magnitud como de la frecuencia de una sinusoidal de 51Hz

y amplitud la unidad. Se puede observar como la medida tarda pocos

ciclos en establecerse al valor de régimen permanente.

Figura 2.4: Simulación para la extracción da la componente fundamental de una sinusoidal de

50Hz de y su frecuencia fundamental

4.3 Modelo para una sinusoidal y sus armónicos

Para identificar la componente fundamental y sus armónicos se define la

matriz (2.12), que es función del número de armónico h.


ss

ss

htcoshtsin

htsinhtcosh

(2.12)

La matriz de estado del filtro de Kalman se define juntando las matrices

(4.12) en la diagonal de A. Así todos los armónicos deseados están

modelados.

n

A

000

000

0020

0001

(2.13)

La matriz de medidas se modifica teniendo en cuenta que todos los

armónicos se incluyen en la medida:

010101 H (2.14)

En la Figura 2.5 se muestra una simulación para la extracción de

armónicos de una onda cuadrada. El resultado es satisfactorio.

Figura 2.5: Simulación para la extracción del primer y tercer armónico de una onda cuadrada de

51Hz


Para la estimación de la frecuencia de la red se utiliza un EKF a partir de la

tensión de red. La estimación de frecuencia del EKF introduce en el LFK,

que estima el valor de los armónicos de la corriente de carga. Así, se evita

calcular la linealización de la matriz (2.13).

EKFω

VL

LKFIL

Armónicos

Figura 2.6: Estructura para la estimación de armónicos con un EKF y un LKF

5 Ejes móviles

En algunos de los sistemas de control que se diseñarán en capítulos

posteriores serán necesarios los valores de las perturbaciones en forma de

números complejos. Para tal fin se propone hacer una transformación de

ejes fijos (salida del filtro de Kalman) a ejes móviles. El croquis de la

transformación de forma vectorial se puede ver en la Figura 2.7.

ax1

x2 b

re

im

re’

im’

Figura 2.7: Croquis de la transformación de ejes fijos a ejes móviles

La matriz de transformación se puede escribir como:

2

1

x

x

hθcoshθsin

hθsinhθcos

b

a (2.15)


En la ecuación (2.15) h es número de armónico y valor del ángulo θ se

toma como:

dttt

0

(2.16)

De esta manera si x1 es una sinusoidal y x2 es su componente en

cuadratura, la salida será una magnitud continua de la forma a+bj en los

nuevos ejes. Si la pulsación de la ecuación (2.16) es una variable

desconocida, se deberá estimar con el EKF descrito en este mismo

Capítulo.

En la Figura 2.8 se observa el cambio de ejes para una sinusoidal de 50Hz.

El resultado es la representación de la forma a+bj de la señal de entrada.

Figura 2.8: Cambio de ejes fijos a ejes móviles de la estimación de un filtro de Kalman

La referencia de ángulos utilizada para la estimación es el inicio de la

aplicación en tiempo real, momento a partir del cual se comienza a

integrar el valor estimado de la frecuencia de la red.


6 Ensayo de Laboratorio

En la plataforma experimental se ensaya el filtro de Kalman con para

realizar medidas tanto de tensión como de corriente.

6.1 Estimación de la frecuencia de la red

En primer lugar se estima la frecuencia de la red y se extrae la componente

fundamental de la tensión. Esta tarea se realiza mediante el EKF discutido

en secciones anteriores. En la Figura 2.9, en la parte superior, se observa el

valor real de la tensión de red en régimen permanente. En esa misma

Figura, en la parte inferior, se puede ver la estimación de la frecuencia de

red. La frecuencia de la red se midió con un osciloscopio de precisión,

estableciéndose su valor en 49.978 Hz, que coincide aproximadamente con

el valor estimado.

Figura 2.9: Estimación de la componente fundamental de tensión y de la frecuencia de la red


6.2 Estimación de los armónicos de la corriente de carga

Para este ensayo se diseña un LKF que tiene modelado los armónicos 1, 3,

5, 7, 9 y 11, y se conecta a la corriente de carga. Para la estimación de la

frecuencia de la red se utiliza un EKF conectado a tensión del punto de

conexión. La estimación de frecuencia del EKF introduce en el LFK, que

estima el valor de los armónicos de la corriente de carga.

En la Figura 2.10 se puede observar el valor de corriente de carga y los

armónicos estimados. El valor de la frecuencia de red estimada es

f=49.98Hz. En la Figura 2.11 se puede observar la suma de las

estimaciones de las corrientes mostradas en la Figura 2.10. Aún faltando

armónicos de alta frecuencia, la estimación refleja bien la realidad.

Figura 2.10: Extracción de los armónicos de la corriente de carga de un rectificador


Figura 2.11: Suma de las estimaciones de los armónicos 1, 3, 5, y 7 de la carga

26

Capítulo 3 CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO

PARALELO

1 Introducción

En este capítulo se estudia la organización del control y el modelado de un

filtro activo en conexión paralelo. Se estudiará con especial cuidado la

formulación de las ecuaciones que rigen el comportamiento de las

corrientes inyectadas a la red.

El modelado se hará teniendo en cuanta la impedancia de la red, ya en

caso de tratarse de una red de distribución débil puede afectar al

comportamiento del filtro activo.

Se hará uso la Transformada de Laplace para el modelado de las

ecuaciones dinámicas del filtro activo. El modelado del filtro activo,

aunque con matices, es una versión monofásica del estudio realizado en

[1].

RL

LL

L

zS

vS

VCC

Control

iS iL

iFA

+

_

vL

Figura 3.1: Posicionamiento y medidas del control de un filtro activo paralelo

CAPÍTULO 3 – CONTROL DE UN FILTRO ACTIVO PARALELO 27

En la Figura 3.1 se puede observar un diagrama de las medidas, el control

y la actuación sobre el inversor.

2 Organización del control

Los lazos de control que se van a utilizar para controlar el filtro activo se

muestran en la Figura 3.2. El control consta de un lazo interno y otro

externo. El lazo interno se diseñará como un regulador dead beat, para

lograr una respuesta del filtro activo lo más rápida posible. El lazo

externo, más lento que el interno, se compone de un controlador más

avanzado, destinado al seguimiento y eliminación de señales periódicas.

_ iFA

Control Interno

d

Cálculo de

Referencia

Ci(z) P(s)Ce(z)_

Control Externo

VS

iL

_

Figura 3.2: Diagrama de la organización del control de un filtro activo paralelo

Externo al sistema de control se encuentra la elaboración de la referencia.

Los mecanismos de adaptación también son externos al sistema de control,

y se utilizarán cuando sea necesaria una adaptación del regulador externo,

pero no para modificar los parámetros del regulador interno. El esquema

del mecanismo de adaptación se puede observar en la Figura 3.3.

_

iFA

Filtro de

Kalman

Ce(z) P*(s)

VS

IL

Ley de

adaptación

r

Mecanismo de adaptación

Figura 3.3: Esquema completo del mecanismo del mecanismo de adaptación


La configuración de los mecanismos de adaptación dependerá de las

necesidades del regulador externo. Estos aspectos se discutirán en el

Capítulo 4 y en el Capítulo 5, donde se diseñan los reguladores externos

de corriente.

3 Modelo en tiempo continuo

En este apartado se escribirán las ecuaciones en tiempo continuo de un

filtro activo paralelo. Para el modelado se tendrá en cuenta tanto la

impedancia de conexión a red como la impedancia de la propia línea.

e

iL

iFACarga

vS

iS

RS R

LS L

vL

Figura 3.4: Esquema equivalente monofásico para un filtro activo paralelo

Tomando la transformada de Laplace sobre el circuito de la Figura 3.4 se

puede extraer la función de transferencia entre la tensión de salida del

inversor e y la corriente del filtro activo:

sEsLR

sFsI

TT

A

FA

(3.1)

La función de transferencia sFA

es representa el actuador que se utiliza

para generar la tensión de entrada, RT=RS+R y LT=LS+L. Nótese que la

intensidad que circula por el filtro activo no es solo la mostrada en la

ecuación (3.1), si no que la tensión L

V y la corriente de la carga influyen en

la corriente FA

I , según la expresión (3.2).


sIsLR

sLRsV

LsRsE

sLR

sFsI L

TT

SSL

TT

AFA

1 (3.2)

Los términos de la ecuación (3.2) que no están contenidos en la función de

transferencia (3.1) se tomarán como perturbaciones. Los términos extra de

la ecuación (3.2) también serán necesarios para dimensionar la plataforma

experimental, en el Capítulo 6.

4 Modelo en tiempo discreto

Para transformar el modelo de la planta a tiempo discreto se utilizará un

método de simulación invariante con retenedor de orden cero [14]. De esta

manera, se define la planta digital como:

Z

FAFA

sE

sI

sz

z

zE

zI

11

(3.3)

Como el amplificador de audio que se utilizará como actuador tiene un

ancho de banda mucho mayor que la frecuencia de muestreo que va a ser

utilizada, se puede modelar como una ganancia. La ganancia del

amplificar es de 30dB, pero se compensa a la salida del sistema de control,

resultando una ganancia unidad. Entonces (3.3) se simplifica a (3.4).

ZTTT

T

T

FA

RsLR

L

sRz

z

zE

zI

111

(3.4)

Utilizando las conversiones de transformadas entre las variables z y s, se

obtiene la función de transferencia (3.5), donde además se modela el

retraso en los cálculos multiplicando la función de transferencia resultante

por z-1.

s

T

T tL

R

T

FA ezzRzE

zI

11

(3.5)

Sustituyendo los valores medidos de resistencia e inductancia en la

ecuación (3.5), con una frecuencia de muestreo de 4.5kHz, se obtiene (3.6).


9275.0

0735.0

zzzE

zIFA

(3.6)

5 Identificación de la planta

Aunque se poseen medidas más o menos razonables de los parámetros

estándar de la planta, va a realizarse una identificación del modelo de la

planta. Este modelo de identificación servirá para:

Establecer unos parámetros en condiciones estándar del modelo de

la planta.

Establecer la estructura exacta del sistema en tiempo discreto para

disponer ella en caso de que se necesite identificar el modelo de la

planta en tiempo real.

Figura 3.5: Diagrama de Black del modelo de la planta con control proporcional

Con el modelo de la Sección 4 del Capítulo 3 se diseña un control

proporcional. El único motivo de este control es proporcionar un

amortiguamiento adecuado para que la identificación de la planta sea lo

más precisa posible. El control proporcional se diseña con 15P

K . El

diagrama de Black de lazo abierto de la planta con el regulador se puede


observar en la Figura 3.5. Los márgenes de estabilidad en lazo abierto,

como se puede observar, son correctos.

En el ensayo se usará una señal PRBS de 50 ciclos y 1023 muestras por

ciclo. De todo el ensayo se elige un intervalo 20000 muestras, que se

dividen a partes iguales en muestras para identificar y validar. Los datos

serán manipulados con la Toolbox de Identificación de Sistemas de Matlab.

Figura 3.6: Comparación de el diagrama de Bode de la planta modelo y de la planta identificada

Los detalles técnicos sobre la identificación se muestran en Anexo C. El

proceso de identificación procura el modelo en lazo cerrado, del cual se

puede extraer la función de transferencia de lazo abierto (3.7).

1176.01276.09382.0

0444.00211.0

zzz

zzP

d (3.7)

Se puede observar tanto en la respuesta en frecuencia es muy parecida. El

modelo identificado aporta un cero no modelado y un par de polos de

pequeña magnitud, además de modificar la ganancia estática. La

modificación de la ganancia estática puede ser debida a errores en la

compensación de la ganancia del amplificador usado como actuador.


6 Control interno de corriente

El control interno de corriente tiene la estructura mostrada en la Figura

3.7. Para el diseño de este control se usará el modelo identificado de la

planta en el apartado anterior.

_r

VL

Ci(z) P(s)_

iFA

D(s)

Figura 3.7: Diagrama del control interno de corriente de un filtro activo teniendo en cuenta la

perturbación de VL

6.1 Prealimentación de la tensión VL

Como L

V es la perturbación más acusada en el modelo del filtro activo, y

además es medible, se va a hacer uso de la técnica de prealimentación. El

esquema de uso de la prealimentación se puede observar en la Figura 3.8.

La función de transferencia D(s) se define a partir de (3.2) como:

sLRsV

sIsD

TTS

FA

1

(3.8)

_r Ci(s) P(s)_

iFA

VL

D(s)

CP(s)

Figura 3.8: Diagrama del control interno de corriente de un filtro activo con prealimentación


La función de transferencia sCP

de la ecuación (3.8) debería tener la

expresión (3.9) para compensar perfectamente la perturbación.

sFsLR

sLR

sFsD

sPsC

ATT

TT

A

P

11

(3.9)

Como el amplificador de audio se modelo como una ganancia de valor

unidad, se puede decir que el valor de (3.9) se puede tomar como (3.10).

1sCP (3.10)

Desde un punto de vista lógico, la prealimentación de la tensión L

V ,

suponiendo que el inversor tiene una respuesta instantánea, evita que

circulen corrientes de la componente fundamental correspondientes al

segundo término de la ecuación (3.2). El lazo de prealimentación no

requiere un estudio de estabilidad, ya que opera en lazo abierto. Esta

suposición puede no ser cierta en casos de redes muy débiles, en las que la

corriente inyectada por el filtro afecte en gran cuantía a la tensión L

V .

6.2 Diseño del control interno

En este apartado se plantea el diseño de un control interno para hacer más

rápida la respuesta del lazo interno de corriente y procurar error nulo en

régimen permanente. Para ello se diseña un regulador dead beat.

El diseño del regulador por síntesis de polinomios, utilizando la

formulación de [14]. La especificación de lazo cerrado es:

2

1

zzF

(3.11)

Con el modelo de la planta identificado, el regulador obtenido tiene la

expresión (3.12), que tiene el mismo orden tanto en el numerador como en

el denominador, así que resulta realizable.

0444.011

1176.01276.09382.03784.47

zzz

zzzzC

(3.12)


El diagrama de Bode la sensibilidad del diseño de muestra en la Figura

3.9. El máximo de la sensibilidad es 6dB, que es un valor aceptable para el

diseño.

Figura 3.9: Diagrama de Bode de la sensibilidad de la planta con el regulador dead beat

7 Ensayo de laboratorio

7.1 Prealimentación de la tensión VL

En este apartado se prueba la conexión del filtro activo a la red. Esta

conexión se realiza únicamente midiendo la tensión del punto VL e

introduciéndola por el camino de la prealimentación, como se observa en

la Figura 3.10. Este ensayo se realiza en lazo abierto, y lo que se pretende

es evaluar las suposiciones hechas sobre la prealimentación y sus efectos

beneficiosos.

P(s)_

iFA

VL

D(s)

CP(s)

Figura 3.10: Diagrama de bloques del ensayo de la prealimentación


Se puede observar en la Figura 3.12 que la tensión de red y la tensión en la

entrada del filtro activo son prácticamente iguales. La corriente que circula

por el filtro tiene una magnitud comparable a la corriente de la carga. En

la Figura 3.11 se muestran los nombres de las magnitudes medidas en los

ensayos.

LS

L

vS

iRED iCARGA

iFACarga

VRED

VFA

Figura 3.11: Nombres de las variables utilizadas para realizar los ensayos.

Figura 3.12: Tensiones y corrientes por el filtro activo usando prealimentación en lazo abierto


7.2 Control interno de corriente

Es este prueba se muestra la mejora del sistema ensayado en la Sección 6.2

para la conexión del filtro activo a red. Para el ensayo la referencia de

corriente se pone a cero, ya que objetivo es que no circule ningún tipo de

corriente por la rama del filtro activo.

_ Ci(s) P(s)_

iFA

VL

D(s)

CP(s)

Figura 3.13: Diagrama de bloques del ensayo para supresión de corrientes en la rama del filtro

Figura 3.14: Tensiones y corrientes del filtro activo conectado a la red usando prealimentación y el

control interno de corriente.


En la Figura 3.14 se pueden ver los resultados del ensayo. Existen todavía

pequeñas corrientes residuales que circulan por la rama del filtro activo,

pero son despreciables en comparación con las corrientes que circulan por

la rama de la carga.

7.3 Supresión de armónicos con el control interno

Para evaluar el funcionamiento de los controles externos que se diseñarán

en posteriores secciones, es útil ver el resultado de ensayar la capacidad

del control interno de corriente para eliminar armónicos de la corriente iL.

_ Ci(s) P(s)_

iFA

VL

D(s)

CP(s)

EKF

_IL

IL1

ref

Figura 3.15: Ensayo del control interno de corriente para la supresión de armónicos

Figura 3.16: Corrientes en el nudo de conexión del filtro activo usando el control interno con

prealimentación


En la Figura 3.15 se muestra el ensayo realizado para suprimir armónicos

con el control interno de corriente. La referencia se genera eliminado la

componente fundamental de la corriente de carga con un EKF.

En la Figura 3.16 se muestran las corrientes que circulan por las tres ramas

del punto de conexión del filtro activo. Se suprimen algo los armónicos

bajos, pero a medida que los armónicos son de mayor frecuencia

incrementa el error. Este hecho se puede observar en los pasos por ceros,

donde el error es mayor.

Figura 3.17. Tensiones y corrientes del filtro activo conectado a la red usando prealimentación y el

control interno de corriente.

La tensión del filtro activo en comparación con la tensión de la red se

puede ver en la Figura 3.17. El control interno genera grandes picos de

tensión. Estos picos de tensión generan los picos de corriente que se

pueden ver en la parte baja de la Figura 3.17.

En la Figura 3.18 se muestra una comparativa del contenido armónico de

la corriente de la red y la corriente de la carga. La supresión de armónicos


no es satisfactoria para los armónicos bajos, pero menos aún para los

armónicos, donde el error se amplifica.

La conclusión de los ensayos es que con el control interno con

prealimentación se puede conectar el filtro activo a la red, pero la

supresión de armónicos con el mismo no resulta satisfactorio.

Figura 3.18. Contenido armónico de las corrientes de red y carga con el control interno

40

Capítulo 4 CONTROL REPETITIVO

En este capítulo se explica el sistema de control repetitivo (RC) que sirve

para el rechazo o seguimiento de referencias periódicas.

Primero se estudian las técnicas de diseño ya existentes y posteriormente

se explican las propuestas para crear un sistema de control adaptativo

basado en el control repetitivo. Para ello se hará uso de filtro de Kalman,

explicado en el Capítulo 2.

En el capítulo se exponen tanto los resultados de simulación como los

resultados en la plataforma experimental.

1 Introducción

El RC ha sido utilizado por diversos autores [1], [9] o [20] para el

seguimiento y rechazo de perturbaciones en sistemas de control. La idea

original es tratada por Inoue [21] para el seguimiento de señales

periódicas en fuentes de alimentación. El sistema de control de basa en la

translación temporal de la señal de referencia o la perturbación,

aprovechando así las condiciones de simetría de la señal, para lograr un

seguimiento con error cero a las frecuencias armónicas.

2 Características

2.1 Control repetitivo en tiempo continuo

El sistema de control de la Figura 4.1 se compone de un regulador, que

recibe el nombre de C(s) y una planta P(s).

CAPÍTULO 4 – CONTROL REPETITIVO 41

_ C(s) P(s)_

iFA

d

re u

Figura 4.1: Diagrama de bloques para un sistema de control con realimentación

La perturbación d(t) se supone periódica de periodo tp. Para obtener error

cero en régimen permanente basta con que se cumpla (4.1). Así, para t=tp,

se cumple que el error es cero.

tuttuttepp (4.1)

Tomando la Transformada de Laplace en (4.1), se llega a:

p

p

st

st

e1

e

sE

sUsC

(4.2)

Figura 4.2: Diagrama de bode de lazo abierto del regulador repetitivo


El diagrama de Bode de amplitud de C(s) de la ecuación (4.2) se muestra

en la Figura 4.2. Se puede observar como la ganancia del control es infinito

a las frecuencias armónicas. De algún modo, este controlador tiene el

mismo efecto que un PI (ganancia infinito cuando la frecuencia es cero),

pero ampliado a todas las frecuencias armónicas de periodo tp.

2.2 Control repetitivo en tiempo discreto

Para el uso de este tipo de controladores en un microprocesador en

necesario discretizar C(s). Para que la discretización sea exacta se toma ts

como un submúltiplo de tp.

s

p

t

tN (4.3)

La relación entre ts y tp de la ecuación (4.3) será nombrada como N. Así, la

función de transferencia del regulador en tiempo discreto, tomando

stjez

se puede escribir como:

N

N

z

zzC

1 (4.4)

Para la implementación de zC de la ecuación (4.4) se le puede asociar el

diagrama de bloques de la Figura 4.3.

z-NX(z) Y(z)

Figura 4.3: Diagrama de bloques de un regulador repetitivo en tiempo discreto

Para ilustrar el funcionamiento del sistema de control se simula el sistema

de sistema de control de la Figura 4.4. Para esta simulación se ha utilizado

como perturbación una señal cuadrada de frecuencia f=50Hz y amplitud 1.

La referencia se establece como una señal sinusoidal de la misma

frecuencia, algo desfasada con respecto y de magnitud algo mayor que la


señal cuadrada. El tiempo de muestreo se establece a 5kHz, por lo que

N=100.

_ 1_

z-100 Red

e m

Figura 4.4: Diagrama de bloques del ejemplo de funcionamiento del regulador repetitivo

En la Figura 4.5 se puede ver la evolución de la salida (que se ha llamado

red), y el mando. Una vez transcurrido un ciclo de la onda cuadrada el

mando genera la tensión precisa para que en la salida únicamente quede la

señal sinusoidal de la referencia.

Figura 4.5: Salida y mando para simulación con P(z)=1 y onda cuadrada de un regulador

repetitivo


En la Figura 4.6 se puede ver la evolución del error y el mando. El mando

copia exactamente el valor de la referencia tras hacer pasado un ciclo. Este

mando es que hace que la salida sea la de la Figura 4.5.

Figura 4.6: Error y mando para simulación con P(z)=1 y onda cuadrada de un regulador

repetitivo

3 Bloques del control repetitivo

Este apartado se dedica exclusivamente a explicar la notación de los

bloques utilizados en este sistema de control. El diagrama de bloques

completo se puede que se va a utilizar se puede ver en la Figura 4.7. La

explicación de cada uno de los bloques es la siguiente:

zW representa la función retraso. Se puede escribir como:

i

n

iN

izWzW

1

(4.5)


zQ representa un filtro que limita el ancho de banda del

regulador. Se tratará su diseño en la Sección 7 del presente

Capítulo.

zL es un filtro adaptativo. Se utilizará para adaptar el sistema de

control a cambios en la frecuencia fundamental de la perturbación.

Se estudiará en la Sección 9.

zGx

es un compensador. Se utilizará para garantizar la estabilidad

del sistema de control. Se estudiará en la sección 4, dedicada al

estudio de estabilidad.

Se define por comodidad zH como: zWzLzQzH

x

K es una ganancia de realimentación. Se utilizará para garantizar

la estabilidad. Se estudia en la Sección 8.

zP representa la planta con el control interno de corriente

zGc

representa un regulador previo a la planta que se utiliza para

mejorar las prestaciones del regulador repetitivo

Kx Gx(z)Q(z)L(z)W(z)

P(z)

Regulador Repetitivo Plug-in

R(z) Y(z)E(z)

_

D(z)

Gc(z)

Figura 4.7: Diagrama de bloques completo del regulador repetitivo tipo Plug-In

La estructura tipo Plug-In del regulador es ampliamente usada en la

literatura [21] por sus cualidades en torno a rapidez de respuesta, y por

tener unas condiciones de estabilidad menos restrictivas que en el

regulador repetitivo convencional [42].


4 Estabilidad

La estabilidad del control repetitivo es un punto delicado. Muchos autores

dedican gran parte de su esfuerzos a buscar criterios robustos para

garantizar la estabilidad como R. Longman [5], [6], T. Inoue [21] o J.

Hätönen [7] son algunos ejemplos. El criterio de estabilidad que se va usar

en este proyecto es el mismo que el utilizado por O. Pinzón [1] y K. Zhou

[9]-[11], por su eficacia y su simplicidad.

4.1 Estudio de estabilidad

La función de transferencia del error zE se puede escribir como:

zGzGKzH

zH

zPzG

pxx

e

11

1

1

1 (4.6)

Donde zGp se define en (4.7). Si zG

p es estable, entonces aplicando el

teorema de la ganancia pequeña [1] una condición suficiente para la

estabilidad es (4.8). En tal caso el sistema en lazo abierto (4.6) produce un

sistema estable en bucle cerrado.

zP

zPG

p

1

(4.7)

11

)(

zM

pxx zGzGKzH (4.8)

s

tj

tyezcon s

Si se desea minimizar (4.8) para garantizar el mayor cumplimiento posible

de la condición de estabilidad, el objetivo es lograr 1zM .

s

tj

tezH s

1)( (4.9)


re

im

1 ω

11 zM

zM

Figura 4.8: Diagrama vectorial de la condición de estabilidad de la ecuación (4.8)

Bajo la suposición de (4.9) y tomando zMzT 1 la condición

suficiente de estabilidad se reduce a (4.10). Se puede observar un croquis

de la región de estabilidad en función del vector M(z).

1zT (4.10)

Sabiendo que 1zQ y 1zL , también es necesario que se cumpla

(4.11) para asegurar el cumplimiento de la suposición (4.9).

1zW

(4.11)

Para minimizar zM , los resultados del estudio del estudio de estabilidad

sugieren seleccionar zGx

como:

zP

zPzGzG

px ˆ

ˆ1ˆ 1

(4.12)

Donde zP es un modelo de la planta y zGpˆ es el modelo de la planta en

bucle cerrado. Para poder actuar con este criterio es necesario que zGp

no tenga ceros fuera del círculo unidad, ya que si no la inversa de la planta

es un sistema inestable.

Para el caso anteriormente mencionado en [29] se expone un método de

uso general. Otros autores como R. Longman [5], [6] o K. Tammy [3],


sugieren utilizar un filtro FIR de fase cero que minimice el criterio de

estabilidad. Para el caso de funciones de transferencia que varíen

lentamente con el tiempo, Y. Tzou [39] propone identificar el modelo de

planta en tiempo real, para actualizar el compensador.

4.2 Conclusiones sobre estabilidad

Si para algún valor de pulsación se cumple que 0zQ , entonces

no es necesario que se cumpla que 1zT , por que la condición de

estabilidad suficiente (4.8) ya se cumple.

En el caso de que se cumpla que 1zT (en otras palabras, que el

modelo de la planta sea exacto), se podría elegir 20 x

K para

garantizar la estabilidad. Se recomienda usa 10 x

K para dar

cierto margen de estabilidad teniendo en cuenta los errores de

modelado de la planta [1]. Tampoco se recomienda usar valores de

xK muy pequeños, ya que hacen muy lenta la respuesta en lazo

cerrado, como se explica en [11].

En caso de que zGx

no estimase correctamente la planta, el ajuste

de x

K podría no ser suficiente para garantizar la estabilidad. En tal

caso, se diseña el filtro zQ para disminuir la acción del control

repetitivo a frecuencias altas, donde la incertidumbre es mayor [1].

En la Sección 8 se estudiará más a fondo los valores que debe

tomar Kx.

5 Control repetitivo de orden superior

Una mejora del RC es propuesta por M. Steinbuch [4] y se denomina

regulador repetitivo de orden superior (High-Order Repetitive Control,

HORC). La ley de control de (4.1) se modifica a:


n

i

pip tuittuWtte1

(4.13)

En la ecuación (4.13) Wi son unos coeficientes de ponderación que se

pueden diseñar según distintos criterios. La base del HORC es que la

información de la señal a seguir no sólo se toma del periodo

inmediatamente anterior sino también de periodos anteriores. Los

coeficientes Wi indican el peso al ponderar los distintos periodos.

5.1 Formulación

La función de transferencia del regulador zC se escribe como:

n

i

iN

n

i

iN

z

z

zC

1

1

1

(4.14)

El diagrama de bloques de (4.14) se puede ver en la Figura 4.9.

z-NX(z) z

-Nz

-N...

W1

W2

Wn Y(z)

Figura 4.9: Diagrama de bloques del regulador repetitivo de orden superior (HORC)

La formulación para hallar los valores de los coeficientes es complicada

aunque resulta útil saber de dónde proceden. Existen infinitas

combinaciones, pero son dos las configuraciones típicamente usadas:

Period Robust (PR) – Configuración que hace que el sistema de

control sea más robusto frente a cambios en el periodo de la

componente fundamental.


Noise Robust (NR) – Configuración que mejora el comportamiento

del HORC a frecuencias interarmónicas.

Para que la ganancia en lazo abierto del controlador sea infinito a las

frecuencias armónicas (error cero en régimen permanente), se debe

cumplir que 1zH para Ptjkez 2 , donde k son todos los números

enteros positivos.

121

2

1

n

ii

tjkn

iiP

WeWtjkH P

(4.15)

11

n

ii

W

(4.16)

De la ecuación (4.15), se llega a la ecuación (4.16), que es la primera

restricción de todos los HORC, las siguientes se definen a continuación.

5.2 Configuración “Period Robust”

Esta formulación es originaria de M. Steinbuch [4]. La base es hacer H(z) lo

más robusto posible frente a cambios en el periodo de muestreo, para lo

cual se plantea la ecuación (4.17).

0

Pt

zH

(4.17)

Al igual que la restricción (4.16), también se plantea para todas las

frecuencias armónicas, por tanto Ptjkez 2 , obteniéndose el siguiente

resultado:

0

2

1

1

2

n

i P

i

P

n

i

tjk

i

Pt

ijkWt

eW

t

zHP

(4.18)

La expresión (4.19) cumple la restricción (4.18), y por tanto es una solución

que anula la derivada H(z) con respecto a tP para las frecuencias

armónicas.


01

iWn

ii

(4.19)

Si se quiere aumentar más la robustez, se pueden aumentar el número de

derivadas que son iguales a cero. Para lo cual se deben imponer n-1

derivadas iguales a cero, como se observa en la ecuación (4.20).

01

1

n

i

n

iiW

(4.20)

Por ejemplo para 2n , se obtienen las ecuaciones 121WW de la

restricción (4.16), y 0221 WW , de la restricción (4.20), resultando 2

1W

y 12

W . La respuesta de lazo abierto del controlador calculado se puede

ver en la Figura 4.10 comparada con la del RC. También se puede ver un

HORC de orden 3. A medida que aumenta el orden del controlador

aumenta la anchura de las resonancias, que se aprecia en la Figura 4.10.

Figura 4.10: Respuesta de lazo abierto del regulador RC y PR


Aunque se aumenta robustez frente a cambios en el periodo de la

perturbación, otros aspectos del regulador empeoran con esta

configuración, entre las cuales están:

Aumenta el tiempo del transitorio a medida que aumenta el orden

del controlador. Esto se puede ver reflejado en la Figura 4.12 donde

se observan el transitorio de la respuesta, para el ejemplo de la

Figura 4.11.

_ 1_

z-100 Red

e m

Figura 4.11: Ejemplo para la simulación de la respuesta transitoria del control PR

Figura 4.12: Respuesta transitoria del regulador PR ante referencia sinusoidal


No se cumple 1

zH , ya que no se cumple la restricción (4.21).

Al no cumplirse que 1

zH

no se asegura la condición de

estabilidad. La demostración de (4.21) se puede encontrar en la

referencia [36]. La representación visual de esta restricción puede

verse en la Figura 4.13.

1011

i

n

i

in

i WzWzH

(4.21)

Como última conclusión cabe decir que la cantidad de memoria

utilizada en este caso es mayor, ya que se requiere almacenar n

veces más datos que para el RC.

re

im

a

re

im

b

r=1 r=1

Figura 4.13: Si todos los coeficientes sumados son positivos y menores que uno b), o en caso

contrario a).

5.3 Configuración “Noise Robust”

La configuración NR fue propuesta en 1990 por T. Inoue [21]. La

formulación se basa en minimizar el error cuadrático medio de H(z) sobre

todas las frecuencias. Debido a la dificultad de la demostración, esta no se

incluye en el proyecto, pero está disponible en [45]. El valor resultante

para los valores de los pesos es el siguiente:

n

inW

i2

1

(4.22)


Por ejemplo, para el NR de orden 3 los pesos serán W1=3/6, W2=2/6 y

W3=1/3. La respuesta de lazo abierto del controlador se puede ver en la

Figura 4.14 comparada con la del RC. También se puede ver un HORC de

orden 2. A medida que aumenta el orden del controlador aumenta la

selectividad, siendo los picos de las resonancias más estrechos.

Figura 4.14: Respuesta de lazo abierto del regulador NR y RC

Aunque se aumenta robustez frente a ruido ya que la ganancia a las

frecuencias interarmónicas es menor que para el RC, otros aspectos del

regulador empeoran con esta configuración, entre las cuales están:

Aumenta el tiempo del transitorio a menudo que aumenta el orden

del controlador, como se observa en la Figura 4.15, al igual que

ocurría con el PR, aunque en este caso la salida está acotada entre

el valor inicial y el valor de régimen permanente. El esquema de

simulación utilizado ha sido el mismo que para el regulador PR.


Figura 4.15: Respuesta transitoria del regulador NR

La cantidad de memoria utilizada en este caso es mayor que en el

caso simple, ya que se requiere almacenar n veces más datos que

para el RC.

6 Precisión

En este apartado se estudia la precisión en régimen permanente para los

algoritmos de control repetitivo. Se estudian herramientas para evaluar su

comportamiento en distintas circunstancias.

6.1 Función de transferencia del error

De la Figura 4.7 se puede escribir la función de transferencia del error

como:

zGzG

e

eres

zMzH

zH

zPzG

11

1

1

1

(4.23)


El primer término se corresponde con la función de transferencia del error

de la planta sin regulador repetitivo, y el segundo término se corresponde

con el error que introduce el RC.

Si el modelo de la planta es perfecto y además se cumple que 1zM ,

entonces la función de transferencia del error introducido por el regulador

zGer

se simplifica a:

zHzGer

1 (4.24)

Si se descompone zH en módulo y fase (4.25) se puede obtener la

amplitud del error para diferentes valores de ω, como se puede observar

en la

Figura 4.17.

HjeHzH

(4.25)

En la Figura 4.16 se observa que para el error sea es necesario que la

amplitud de zH tenga el valor de la unidad. Cada 360º se produce una

anulación del error, que coinciden con las resonancias que se pueden ver

el diagrama de Bode de lazo abierto del RC, en la Figura 4.2.

Ger(z)

ω

re

im

H(z)

Figura 4.16: Interpretación gráfica del error para un regulador repetitivo


Figura 4.17: Amplitud del error para

6.2 Función de sensibilidad complementaria

La función de sensibilidad complementaria se usa es muchas referencias

como [4], [26] o [28], para estudiar el comportamiento del regulador

repetitivo. Se define la función de sensibilidad complementaria como:

zMzH

zHzM

S

11

1

(4.26)

Expresión que coincide con el valor de zGer

. Al igual que la anterior,

suponiendo que 1zM , se simplifica a:

zHzMS

1 (4.27)

La diferencia fundamental entre zGer

y zMS

es la forma de

representación. Si el valor de la función de sensibilidad complementaria es

cero a una frecuencia, significa el rechazo completo de la perturbación. Si

es distinta de cero, entonces al excitar el regulador a esa frecuencia, la

salida será amplificada tanto como valga el módulo de zM S .


Por ejemplo, para el RC se toma MS(z) como (4.27), y H(z) como (4.28), la

función de sensibilidad complementaria se representa en Figura 4.18.

HjezH (4.28)

Figura 4.18: Función de sensibilidad complementaria para el RC con Kx=1

La herramienta de la sensibilidad complementaria se utilizará en

apartados posteriores para evaluar el comportamiento del regulador a

diferentes frecuencias.

6.3 Error con los cambios de frecuencia

Una de las principales debilidades del control repetitivo, además de

necesitar un modelo de la planta para su correcto funcionamiento, es su

alta sensibilidad a los cambios en el periodo de la perturbación [29].

En este apartado se estudian los errores que se producen en el seguimiento

de los armónicos los errores en la frecuencia de diseño y se estudian

algunas técnicas ya utilizadas para paliar esta deficiencia.


En primer lugar se define la frecuencia fundamental de la red como f1, en

Hz, y sus armónicos como hf1, donde h toma valores enteros mayores que

uno. Se define el error en la frecuencia como:

1

11

%f

fff

(4.29)

Para evaluar el funcionamiento de los reguladores ante los cambios de

frecuencia, se sustituye en la función de transferencia del error (4.24) los

valores correspondientes a cada armónico con el cambio de frecuencia:

nhfhfHfhfGer

,...,2,11%1%1

(4.30)

En la Figura 4.19 se muestra a modo de curva tridimensional para cada

armónico entre el 1 y el 20 el error producido en su módulo por el cambio

de frecuencia de la componente fundamental.

Figura 4.19: Módulo del error en el RC por armónico en función de los cambios de frecuencia

Se puede observar como los cambios de frecuencia afectan bastante al

error, sobre todo en los armónicos altos. En la Figura 4.20 se muestra esta


misma gráfica para el controlador PR de orden 3 y en la Figura 4.21 para el

NR también de orden 3.

Figura 4.20: Módulo del error en el PR de orden 3 por armónico en función de los cambios de

frecuencia

Figura 4.21: Módulo del error en el NR de orden 3 por armónico en función de los cambios de

frecuencia


El regulador PR es muy robusto frente a cambios en el periodo de la

perturbación, pero el error se dispara cuando se sale de ciertos límites de

variación. El regulador NR resulta menos robusto contra errores en la

frecuencia, pero en cambio el valor máximo que alcanzan el valor de los

armónicos resulta menor.

7 Diseño del filtro Q(z)

El filtro Q(z) tiene como objetivo limitar el funcionamiento del regulador

repetitivo a altas frecuencias, donde el modelo de la planta puede diferir

de la planta real, y causar inestabilidad. La posición del filtro está marcada

en la Figura 4.22.

z-Nx[k] y[k]Q(z)

Figura 4.22: Posición del filtro Q(z) en la celda repetitiva

El modulo de Q(z) no afecta de forma negativa a la estabilidad siempre

que esta sea menor que la unidad. La fase tampoco modifica la estabilidad,

aunque si la eliminación correcta de los armónicos. El diseño óptimo del

filtro Q(z) sería:

c

j

c

j

eQ

eQ

0

1

(4.31)

Además la fase del filtro debería de ser lineal para todo el rango de

actuación del regulador, por tanto:

c

j keQ

(4.32)

De forma general, un filtro paso bajo de fase lineal se puede escribir como

[1]:


c

c

tj

j

DeeQ

0

(4.33)

Donde ωtD es el retardo que introduce el filtro. Para el regulador repetitivo

este retardo debe de ser cero. También se puede diseñar el filtro con un

retraso constante de valor kωts, con k entero positivo, ya que en este caso el

retraso puede ser compensado quitando retrasos de W(z), siempre que la

estructura resultante sea causal. En el diseño propuesto, se va a utilizar un

filtro FIR de fase cero con la siguiente estructura:

MM

M

MM zazazazazazQ 1

1

2

01

21)(

(4.34)

Los coeficientes de (4.34) se pueden obtener a partir de la respuesta

impulsional [38] o planteando un problema de optimización, como en la

referencia [5]. En este proyecto se usa la respuesta impulsional ya que los

resultados son similares y la complicación del cálculo es mucho menor. La

expresión de la respuesta impulsional del filtro es:

MnMn

n

nqc

c

c

c

c

sinc

sin

][

(4.35)


Figura 4.23: Filtro FIR con M=25 con y sin ventana de filtrado

Donde M es la longitud del filtro. Un valor de M mayor supondrá una

pendiente mayor en la banda pasante del filtro, pero también

incrementará el coste computacional. El valor de M también está limitado

por el numero de retrasos posibles de compensar con el control.

Un inconveniente de diseñar los filtros mediante la respuesta impulsional

es que se produce un rizado, ligeramente acusado, tanto en la banda

pasante como en la banda de rechazo, según se puede observar en la

Figura 4.23. Para evitar este rizado, se aplica una ventana de pesos para

alisar la respuesta en frecuencia [1]. La ventana para el alisado de la

respuesta en frecuencia será la ventana de Hamming.

En la literatura es muy común encontrar diseños de controladores

repetitivos que usan un filtro FIR de orden bajo [1], [9] o [40]. El uso de

este tipo de filtros se justifica si no importa demasiado la precisión de la

eliminación de los armónicos, o si se requiere una carga computacional

baja. Un ejemplo y una comparativa se puede encontrar en la Figura 4.24.


Figura 4.24: Figura comparativa de dos filtros FIR de fase lineal diferentes

En la Figura 4.24 se muestra una comparativa del filtro FIR tipo sinc con

ventana de filtrado en comparación en el filtro FIR binomial, que es de

común uso, y que tiene la siguiente estructura:

11

4

1

2

1

4

1 zzzQ (4.36)

Con el filtro de orden superior el módulo se mantiene a uno en toda la

banda pasante, por tanto el rechazo de armónicos será mucho más

satisfactorio que para el filtro binomial, cuyo módulo empieza a decrecer

mucho antes.

Es importante remarcar que aunque el filtro Q(z) sea no causal (4.34), al

estar multiplicado por z-N se convierte en una estructura realizable,

siempre y cuando M sea menor que N.


8 Diseño de la ganancia Kx

Como se discutió en la Sección 4.2 del presente Capítulo, la ganancia Kx

modifica el comportamiento del regulador. El valor de la misma debe de

ser elegido teniendo en cuenta el compromiso entre rapidez y estabilidad.

Del estudio de la misma se pueden sacar conclusiones interesantes sobre el

regulador repetitivo.

8.1 Influencia de Kx en la estabilidad

Una primera estimación del valor que debe tomar esta ganancia se puede

hallar en [1]. En esta sección se va a discutir un criterio más elaborado

según las referencias [11] o [25] para la estimación de los valores límite

que puede tomar la ganancia de aprendizaje Kx, en función de los errores

de modelado.

En el estudio de estabilidad se concluía que la condición suficiente para

garantizar la misma era 1stjeT

. Para el caso a estudio el modelo de la

planta no tiene por qué ser perfecto, y justamente es la influencia de los

errores lo que se va a intentar cuantificar.

Suponiendo que 1

jeH se cumple, y sustituyendo la variable

compleja jsencose j en la ecuación 11 zMzH , se puede

resolver la desigualdad, y simplificar a (4.38). Para la demostración ver la

referencia [25].

x

p

j

x

j

x

j

p

j

p

eGeG

eGeG

(4.37)

0cos22

xpxxpxpx

GGKGGK

(4.38)

De la ecuación (4.38) se puede despejar el valor de Kx que asegura la

estabilidad, resultando tal valor ser (4.39). Además, se puede obtener otra

restricción (4.40), ya nombrada en otras referencias como [21] o [29].


xp

xp

xGG

K

cos2

0

(4.39)

22

xp

(4.40)

Claramente, si se elige zGzGpx

1 , entonces se puede elegir 20

xK ,

pero si el modelo de la planta difiere, entonces el valor máximo que puede

Kx será distinto. Una conclusión importante es que por muy pequeña que

se elija la ganancia, para satisfacer la condición (4.40), el sistema puede no

cumplir la condición de suficiente estabilidad si el modelo de la planta en

bucle cerrado difiere más de ±90º del de la planta original.

Definiendo los errores de modelado de la planta en bucle cerrado como

(4.41), se puede ver gráficamente, en la Figura 4.25, el valor máximo que

de Kx en función de tales errores, de la forma ememx

GfK , .

xpem

xpem

GGG

(4.41)


Figura 4.25: Valores de máximos de Kx que aseguran la estabilidad para distintos valores del error

de modelado.

En la Figura 4.25 se han omitido los valor de em

G menores que 1 ya que

mejoran la Kx, y lo que se busca en este análisis es un peor caso para el

cálculo de la ganancia.

8.2 Influencia de Kx en el error

Otro análisis interesante que se puede hacer sobre la ganancia Kx es la

influencia que tiene sobre el error en régimen permanente. En el análisis

del error en régimen permanente, se llegó a la conclusión de que H(z)

debía de tener fase lineal. Visto que H(z) se diseñará para que tenga fase

lineal, se supondrá que H(z)=W(z), y se verá el impacto que tiene Kx sobre

la ganancia de atenuación de los armónicos. Bajo estas suposiciones, se


puede extraer de la función de transferencia del error del controlador

repetitivo (4.42).

x

eKzW

zWzG

11

1

(4.42)

wjj eeW (4.43)

En la Figura 4.26 se ha representado gráficamente la ecuación (4.43). Se

puede decir que independientemente de Kx, cuando se tienen 0º el error es

cero. Al aumentar la Kx, se consigue una mejorar de la sensibilidad frente a

cambios en la frecuencia, en detrimento de la magnificación del error a las

frecuencias interarmónicas. Por tanto, con una Kx baja, se puede tener

error cero, y se magnifican menos las frecuencias interarmónicas, aunque

los cambios en la frecuencia afectan más al error.

Figura 4.26: Modulo del error en función del ángulo de W(z) para RC, con distintos valores de Kx.

Por último se discutirá el error en régimen permanente del regulador

repetitivo de orden superior para distintos valores de Kx. La Figura 4.27


viene a concluir que la elección de la ganancia Kx puede cambiar el

comportamiento supuesto para un conjunto de valores de un controlador

repetitivo de orden superior. La Figura 4.27 muestra que para el

controlador tipo PR es muy importante que se cumpla que 8.00 xK o

en todo caso que valga la unidad.

Figura 4.27: Modulo del error en función del ángulo de W(z) para el controlador PR de orden 3,

para distintos valores de Kx.

9 Diseño del filtro L(z)

El filtro L(z) es artificio para hacer el controlador adaptable frente a

cambios en el periodo de la perturbación [3], sin necesidad de cambiar el

periodo de muestreo. El filtro L(z) se formula como una función de

transferencia que cambia su estructura en función de la frecuencia

estimada, sin necesidad de cambiar el resto del diseño. Para estimar la

frecuencia se puede utilizar el filtro de Kalman descrito en el Capítulo 2.


9.1 Adaptación redondeando el valor de N

Una de las primeras ideas para hacer el regulador repetitivo adaptativo a

la frecuencia es ajustar el valor al entero más cercano en función de la

frecuencia estimada de la red. Esta idea ha sido tratada por diversos

autores como [31], [46] o [47]. El valor de N se estipula como (4.44).

S

P

t

troundN

(4.44)

Utilizando esta estrategia se define el error en la elección de N como (4.45).

2

1

2

1 N

t

t

S

P

(4.45)

Para pasar este error a formato de tiempo se divide entre el valor de N,

obteniendo así la desviación en tiempo del periodo de muestreo con el

periodo de la perturbación:

NNN 2

1

2

1

(4.46)

Según (4.46) cuanto mayor sea el valor de N, menor será la discrepancia

entre el periodo de la perturbación y el periodo de muestreo. Para N=100

se cumple que δ<0.5%, y para que el regulador repetitivo tenga buenos

resultados hace falta que δ<0.1%.En tal caso sería necesario aumentar el

periodo de muestreo, lo que puede ocasionar problemas (modelado a altas

frecuencias, ruido, etc.).

En el siguiente apartado se da una solución a este problema, mediante el

ya nombrado filtro L(z).

9.2 Filtro L(z) para el regulador repetitivo

La idea principal del artificio es elegir el valor de N como:

S

P

t

tfloorN

(4.47)


Elegido el valor de N, se calcula su error relativo le (del inglés “long error”),

según la ecuación (4.48).

1,0

e

S

P

S

P

S

P

elN

t

t

t

tfloor

t

tl

(4.48)

La interpretación de este resultado para un valor de tp dado es la cantidad

que le queda a N para abarcar el periodo completo de la perturbación. Por

tanto, una posible implementación del filtro L(z) es ponderar la cantidad

de error entre un retraso y la muestra actual, como en la ecuación (4.49).

11 zllzLee (4.49)

Existe otra posible realización de este filtro que se ha desarrollado en el

transcurso de este proyecto, y se describe a continuación. Si le es la

cantidad que le falta a N para abarcar todo el periodo de la perturbación,

entonces se puede decir (4.50) es esa cantidad. Haciendo una

aproximación de Padé de primer orden [14], se puede llegar a (4.51), y

tomando la transformada bilineal se llega a (4.51), de manera que (4.52) es

la nueva expresión para L(z).

slt

eeSel

(4.50)

1

1

11

11

21

21

zll

zll

slt

slt

eee

eezs

eS

eS

slt eS

(4.51)

1

1

11

11

zll

zllzL

ee

ee

(4.52)

También se pueden tomar aproximaciones de Padé de orden mayor, pero

hay que tener en cuenta que cuanto mayor sea el orden de la aproximación

mayor será el coste computacional. Para la aplicación que se está tratando

una aproximación de primer orden es suficiente, ya que la fase se

mantiene prácticamente lineal en el intervalo de frecuencias de interés,

como se demostrará posteriormente.


En este proyecto este filtro utilizará en la posición marcada en la Figura

4.29 y no la de la Figura 4.28, de manera que no se afecte a la condición de

estabilidad. En [3], donde se propone el filtro L(z), no se llegó a conseguir

un sistema estable por este motivo. El uso del filtro L(z) en esta posición

hará posible su implementación en el controlador repetitivo de orden

superior adaptativo, como se estudiará en detalle más adelante.

z-Nx[k] y[k]

L(z)

Figura 4.28: Posición del filtro L(z) en la referencia [3]

z-Nx[k] y[k]L(z)

Figura 4.29: Posición del filtro L(z) actual

Figura 4.30: Diagrama de bode de L(z) como de la ecuación (4.49) para distintos valores de le.


Uno defecto del uso del filtro L(z) en la versión de la ecuación (4.49) es,

como se puede observar en la Figura 4.30, que no solo se introduce la fase

necesaria, sino que además se está actuando a modo de filtro paso bajo.

Esto deteriora la respuesta del algoritmo a frecuencias altas para algunos

casos de le, obteniendo la peor respuesta cuando le=0.5, y mejorando

cuando le se acerca a los extremos del intervalo (0,1].

Para la versión del filtro que se sugiere en este proyecto (4.52), el diagrama

de Bode es el de la Figura 4.31. Se observa que la ganancia del filtro es

siempre la unidad, y analíticamente se puede demostrar que la fase es

aproximadamente lineal.

Para todas las comparaciones que se van a hacer a continuación se usará el

armónico 20, ya que representa un armónico de alta frecuencia, en la zona

donde más difícil suele resultar la compensación.

Figura 4.31: Diagrama de bode del filtro L(z) como en la ecuación (4.52) para distintos valores de

le. Se han utilizado los mismo valores de le que para la Figura 4.30.


En la Figura 4.32 se ha representado el diagrama de Bode de amplitud

ampliado al armónico 20 para el regulador RC con el filtro L(z) de la

ecuación (4.49), propuesto en la referencia [3]. Se puede observar que

cuando le=0.5 la atenuación es menor que para el resto de casos.

Figura 4.32: Diagrama del RC con filtro L(z) con la estructura de la ecuación (4.49) [3]. La

atenuación es muy baja cuando le se acerca a su valor central.

En la Figura 4.32 se ha representado un equivalente de la Figura 4.30 pero

para la configuración del filtro dada por la ecuación (4.52). Se puede

observar que los picos de resonancia se mantienen aproximadamente

constantes, como se preveía en la Figura 4.31. Cabe destacar que al no ser

la fase completamente lineal se produce un pequeño desplazamiento de

frecuencia. Notar que las resonancias no están centradas en las frecuencias

exactas que le corresponden. Para un seguimiento perfecto para el máximo

de la resonancia debería coincidir el valor de le con el valor de incremento

de la frecuencia. Esta casualidad se debe a que se ha elegido N=100 para

realizar la Figura (si Δf=1%, entonces N=0.99·100=99 y le=0)


Figura 4.33: Diagrama del RC con filtro L(z) con aproximación de Padé de primer orden, para las

mismas condiciones que la Figura 4.32

9.3 Filtro L(z) para el control repetitivo de orden superior

En este apartado se estudiará como ubicar el filtro L(z) para el caso del

repetitivo de orden superior, y estudiar cómo se comporta el regulador en

comparación con el repetitivo de orden simple.

z-N

z-N

L(z)x[k] y[k] x[k] y[k]

Figura 4.34: Posición del filtro L(z) en para el HORC

Según el razonamiento hecho en el comienzo del apartado, el filtro L(z) se

ubica según lo descrito en la Figura 4.29, siguiendo el camino lógico. En

consecuencia, una posible colocación de este filtro para el caso del

repetitivo de orden superior es el mostrado en la Figura 4.34. Según los

análisis de estabilidad presentados en [4] que concuerdan con lo citado en

[1] y [9] para el repetitivo simple, que se complementan con [22] para el

repetitivo de orden superior, la colocación del filtro L(z) en estas


posiciones no afecta significativamente la estabilidad del sistema en bucle

cerrado. Comprobado que no se pone en peligro la estabilidad del sistema,

se estudia el comportamiento para distintas configuraciones de repetitivo

de orden superior.

Se puede concluir de la observación de la Figura 4.35 que el

posicionamiento del filtro L(z) es el correcto, ya el efecto es el esperado.

Figura 4.35: Diagrama del controlador PR de orden 3 con filtro L(z) para distintos valores de le

para una variación de frecuencia del 0-1%.

9.4 Errores con los métodos de adaptación

Al igual que se hizo anteriormente parar el RC, NR y PR, se estudia el

módulo del error para las frecuencias armónicas sustituyendo %1

fhfGer

para nh ,...,2,1 , que era equivalente a hacer %1

1 fhfH .

En primer lugar se muestra el diagrama tridimensional para la adaptación

en N, en la Figura 4.36, tomando N=100 y una frecuencia de muestreo de

5KHz. Aunque mejora bastante el comportamiento, cuando δ=0.5 el error

se hace mayor sobre todo para armónicos altos.


Figura 4.36: Error por armónico en función de la frecuencia para el RC con adaptación en N

En la Figura 4.37 se puede el resultado del error utilizado el filtro L(z) en

la versión propuesta en este proyecto. Mediante la utilización del filtro se

ha conseguido reducir mucho el mal comportamiento del regulador

repetitivo a las frecuencias interarmónicas.

Figura 4.37: Error por armónico en función de la frecuencia para el RC con adaptación en N y

filtro L(z) propuesto


10 Ensayo de Laboratorio: Control repetitivo

Se diseña un control repetitivo con filtro L(z) con un periodo de muestreo

de 4.525kHz, resultando así un valor de N=90 y le=0.5. En la Figura 4.40 se

muestra la generación de referencia. La componente fundamental de la

corriente se estima con un EKF y se le resta a la corriente consumida por la

carga. De esta manera se genera la forma de onda que debe de seguir el

regulador externo de corriente.

EKF

_IL

IL1

ref

Figura 4.38: Generación de la referencia utilizando un filtro de Kalman

El periodo de muestreo utilizado se modifica a 4.525kHz para poder ver el

efecto del filtro L(z). En la Figura 4.39 el esquema completo del sistema de

control. Se utiliza el control interno diseñado en el Capítulo 3, y se le

añade el control repetitivo. El filtro Q(z) se diseña de longitud M=25

_ P(s)_

iFA

VL

D(s)

CP(s)

r

CR(z)

CI(z)_

Figura 4.39: Sistema de control probado en la plataforma experimental

En la Figura 4.40 se muestran los resultados del ensayo para la generación

de la referencia. Esta referencia será la introducida en el sistema de control

de la Figura 4.39.


Figura 4.40: Generación de la referencia de corriente para el control repetitivo mediante un filtro

de Kalman

En la Figura 4.42 se muestra el comportamiento en régimen permanente

del regulador RC con filtro L(z). Se observa que la corriente de la red es

prácticamente sinusoidal. Prácticamente el 100% de los armónicos son

eliminados de manera satisfactoria, como se observa en la Figura 4.41.

Figura 4.41: Contenido armónico de las corrientes para el RC con filtro L(z)


Figura 4.42: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando el esquema de control

repetitivo adaptativo

Figura 4.43: Datos de laboratorio de las tensiones de un filtro activo usando un esquema de control

repetitivo adaptativo


En la Figura 4.43 se pueden observar las tensiones de red y salida del filtro

activo. Los picos de tensión en el actuador para eliminar los armónicos de

alta frecuencia son muy acusados. Nótese que cuanto mayor es la

frecuencia del armónico a eliminar, mayor es la impedancia de la red RL

de la carga, y más alta debe ser la tensión del actuador.

Figura 4.44: Transitorio de arranque del regulador repetitivo una vez estabilizado el control

interno de corriente

En la Figura 4.44 está capturado el transitorio de arranque del regulador

repetitivo. En un primer momento solo actúa el regulador interno, y la

eliminación de armónicos no acaba de ser satisfactoria. Cuando se activa el

regulador repetitivo solo tarda un ciclo en alcanzar el régimen

permanente.

11 Ensayo de Laboratorio: Regulador NR

En esta sección se muestran los datos de laboratorio de los ensayos

realizados al controlador NR.


El regulador NR se diseña de orden 3. Se le añade el filtro L(z) para la

regulación continua en función de la frecuencia de la red. Para la

generación de la referencia se utiliza el mismo método que para el RC

ensayado en la Sección 10 del presente Capítulo. El valor de Kx se ajusta a

0.8.

Se observa en la Figura 4.45 que el contenido armónico se elimina muy

satisfactoriamente, aunque los picos son más acusados en los pasos por

cero que para el RC. En la Figura 4.47 se puede observar el contenido

armónico separado en armónicos de la carga. Para altas frecuencias, el

regulador empieza a volverse menos eficiente, aunque sigue rechazando

los armónicos.

En la Figura 4.46 se observa que los picos de tensión en el mando para el

regulador NR son menos acusados que para el RC que se transforma en

una peor eliminación de los armónicos de alta frecuencia.

Figura 4.45: Corrientes en el punto de conexión para el NR de orden 3 con filtro L(z)


Figura 4.46: Tensiones del filtro activo para el regulador NR de orden 3 con filtro L(z)

Figura 4.47: Contenido armónico de las corrientes para el NR de orden 3 con filtro L(z)

En la Figura 4.48 se prueba a introducir artificialmente una frecuencia

estimada errónea en el regulador NR. Se observa que la cancelación no

resulta satisfactoria con un ligero cambio en la frecuencia de la

perturbación. Los armónicos bajos se siguen compensando pero los altos

se empeoran, como se observa en el contenido armónico de la Figura 4.49.


Figura 4.48: Corrientes en el punto de conexión para el NR de orden 3 con filtro L(z) con una

frecuencia estimada errónea f=49.75Hz (fijada manualmente)

Figura 4.49: Contenido armónico de las corrientes para el NR de orden 3 con filtro L(z) con una



12 Ensayo de Laboratorio: Regulador PR

Se diseña un regulador PR de orden 2. No se usa el de orden 3 ya que se

probó en el laboratorio pero saturaba el actuador, razón por la que se

decidió bajar a orden 2. Se utiliza el filtro L(z) para la adaptación a la

frecuencia. Se diseña con Kx=0.65 para dar cierto margen de estabilidad

adicional.

La referencia se genera utilizando un EKF para estimar la componente

fundamental que se resta a la corriente medida de la carga, de la misma

manera que para el RC.

En la Figura 4.51 y Figura 4.50 se pueden ver las corrientes y el contenido

armónico de las mismas. La supresión de armónicos no es tan buena como

en el RC sobre todo en los armónicos 11 y 13.

Figura 4.50: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando PR de orden 2 con L(z)


Figura 4.51: Contenido armónico de la corriente de red para el regulador PR

Figura 4.52: Datos de laboratorio de las corrientes del filtro activo usando PR de orden 2 con una


Es interesante ver el comportamiento del regulador PR si la frecuencia

para el filtro L(z) no se estima correctamente. En tal caso, se puede


observar el comportamiento en la Figura 4.52. En la Figura 4.53 se puede

ver el contenido armónico. Este se parece mucho al de la Figura 4.53,

donde la frecuencia estaba correctamente estimada. Se puede concluir que

este tipo de regulador es robusto frente a errores en la estimación de la

frecuencia.

Figura 4.53: Contenido armónico para el PR de orden 2 con una frecuencia estimada errónea

f=49.75Hz (fijada manualmente)

88

Capítulo 5 REGULADOR BASADO EN EL

FILTRO DE KALMAN

En este capítulo se estudia una propuesta de regulador que tiene como

base el filtro de Kalman. Este se plantea como una alternativa al regulador

repetitivo estudiado en el Capítulo 4.

La base de este sistema es incluir un filtro de Kalman en la realimentación

del sistema de control. El objetivo es lograr identificar cada armónico de la

perturbación por separado para así poder diseñar controladores para cada

armónico de manera independiente.

Para el caso en el cual la frecuencia de la perturbación es constante es

común el uso de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) para la

identificación de las componentes armónicas. Cuando la frecuencia es

variable este método no es válido, ya que la FFT necesita un número

exacto de muestras en un periodo [43].

1 Introducción

El sistema de control para tratar las componentes armónicas por separado

se explica a modo de croquis en la Figura 3.1. Cada componente es

identificada por el filtro de Kalman y para cada una se diseña un

regulador. Finalmente se suman todas las componentes para dar lugar al

mando que se aplicará en la planta. Nótese que el problema de control se

puede dividir en dos partes claramente diferenciadas: La identificación de

las frecuencias armónicas y el control adaptado a cada armónico.

La identificación de los armónicos se hace mediante un filtro de Kalman

en el error del sistema de control (Figura 3.1). Como se mostró en la

CAPÍTULO 5 – REGULADOR BASADO EN EL FILTRO DE KALMAN 89

Sección 4.3 del Capítulo 2, el filtro de Kalman se puede diseñar para

separar componentes armónicas.

_r P(s)Filtro de

KalmanControl

n

n

d

_e

Figura 5.1: Regulador basado en el filtro de Kalman

Los reguladores de la Figura 5.1 tienen muchas posibilidades para ser

diseñados. Cabe destacar las dos técnicas que se exponen a continuación.

Identificar las componentes como números complejos, usando ejes

móviles y diseñar un regulador para cada par a+bj. Luego se

reconstruye cada señal y finalmente se suman todas las

componentes. Se puede ver el sistema de control en la Figura 5.2.

Identificar las componentes como sinusoidales y diseñar los

reguladores para que eliminen una sola frecuencia. Estos

reguladores pueden ser, por ejemplo, reguladores selectivos. Para

una introducción a los reguladores selectivos pueden consultarse

las referencias [1] o [44].

ControlFiltro de

Kalman

Sistema de control en ejes móviles

n n n n

ω

x1 x2

a b

a b

x1 x2

Figura 5.2: Sistema de control usando un filtro de Kalman y ejes móviles

Notar que en el sistema de control en ejes móviles recibe la frecuencia de

manera externa. El motivo de identificar la frecuencia de manera externa

es que es más sencillo identificar la frecuencia de la tensión de red que

hacerlo de la corriente, que tiene mucho mayor contenido armónico.


PIn n n nx1 x2

a b

a b

x1 x2

ω

= Selectivon n

ω

Figura 5.3: Similitud entre usar ejes móviles con regulador PI y un regulador selectivo

En la referencia [44] se demuestra que un regulador PI en ejes móviles

tiene una representación equivalente como regulador selectivo.

2 Modelo dinámico del filtro de Kalman

Como en los reguladores que se van a estudiar se incluye un filtro de

Kalman en el lazo de realimentación, es interesante estudiar la posibilidad

de obtener un modelo dinámico válido.

2.1 Componentes desacopladas

Es interesante estudiar si las componentes del filtro de Kalman están

desacopladas entre sí. Para realizar esta prueba primero se lleva al filtro a

estado de reposo, y luego se le aplica una sinusoidal de una sola

frecuencia. Esta prueba permitirá de una manera sencilla evaluar a simple

vista si las componentes se pueden considerar desacopladas.

Se debe tener en cuenta que en el diseño del filtro de Kalman influyen

fuertemente los parámetros R y Q.

En la Figura 5.4 se observa la respuesta de la componente fundamental y

los armónicos cercanos 2, 3 y 5, con R=1000. Se puede observar que en

régimen dinámico no pueden considerarse del todo desacopladas, aunque

el nivel de acoplamiento es bajo. Se estudian los casos de variación de los

parámetros R y Q por separado.


Figura 5.4: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con R=1000

Figura 5.5: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con R=10

En la Figura 5.5 se ha utilizado un valor de R=10. La respuesta transitoria

en más rápida, y el nivel de acoplamiento también en mucho mayor.

Además, al bajar el valor de R el filtro resulta más sensible frente a ruido.


En la Figura 5.6 se ha tomado un valor de Q diez veces más pequeño que

para la Figura 5.4. Se observa el mismo hecho que para la Figura 5.5, de

hecho, la Figura 5.6 es prácticamente idéntica que la Figura 5.5. En

régimen dinámico las componentes están más acopladas, y el transitorio

dura menos tiempo. Hay que tener en cuenta que tampoco se puede

disminuir Q indefinidamente, ya que cuando más se disminuya más

sensible será el filtro frente a señales no modeladas.

Figura 5.6: Respuesta transitoria del filtro de Kalman con Q diez veces menor que en la Figura

5.4

2.2 Modelo lineal

Para el estudio de la posibilidad de un modelo lineal se supondrá que se

han elegido unos valores coherentes de R y Q, y por tanto las componentes

del filtro están desacopladas.

De la observación de la Figura 5.5 y la Figura 5.6 se puede pensar en que el

filtro de Kalman admite un modelo lineal, ya que su respuesta se asemeja

a la de este tipo de sistemas. Para la correcta visualización de las


magnitudes se utilizan ejes móviles para visualizar tanto la salida como la

entrada, como se muestra en la Figura 5.7.

Filtro de

Kalman

y1 y2

a b

x1 x2

a b

x[k] y[k]

x*[k] y*[k]

Figura 5.7: Ensayo para la obtención de un modelo lineal del filtro de Kalman

Se ensaya inyectando una única señal sinusoidal de amplitud unidad.

Cada cierto tiempo cambia la fase de la sinusoidal 180º. Este tipo de

excitación equivale a la situación de que la entrada sea a=1 y b=0, y pase a

ser a=-1 y b=0. En la Figura 5.8 se ve puede observar la señal de

excitación. Para el ensayo se utilizarán los ciclos necesarios para que la

salida del filtro de Kalman se estabilice, y así poder evaluar el modelo

dinámico.

Figura 5.8: Ejemplo de señal de excitación en ejes fijos y en ejes móviles


La respuesta se puede observar en la Figura 5.9, donde se han tomado

150ms de longitud de la excitación. Se puede observar como las variables a

y b no son del todo independientes en el transitorio, aunque si en régimen

permanente.

Figura 5.9: Ensayo en ejes móviles para las magnitudes a y b

Para hallar un modelo se puede pensar a simple vista que el sistema tiene

un polo dominante de primer orden, y un par de polos complejos de con

un módulo mucho mayor. El modelo propuesto es de una constante de

tiempo, que ajuste el tiempo de establecimiento (5.1).

1

1*

ssKF h

(5.1)

Donde la notación KF*

h(s) es la función de transferencia del filtro de

Kalman en ejes móviles. Para pasar a ejes fijos, se busca que la respuesta

dinámica a la frecuencia de interés sea una sinusoidal amortiguada con la

misma constante de tiempo que KF*

h(s). Planteando lo anteriormente

mencionado usando la transformada de Laplace, se tiene la entrada de

ecuación (5.2).


22

sin

ssUttu (5.2)

De igual manera se pretende que la salida del modelo ante una entrada

sinusoidal sea esa misma sinusoidal amortiguada, como la de la ecuación

(5.3).

2222

sin1

asssYtety at

(5.3)

Se plantea la igualdad (5.4) para que la respuesta de KFh(s) sea la esperada

ante la entrada de la ecuación (5.3). Despejando de esta igualdad, se

obtiene la función de transferencia del filtro de Kalman en ejes fijos, que se

muestra en la ecuación (5.5).

sYsUsKFh

(5.4)

2222

22

ass

ssKF

h

(5.5)

La ecuación (5.5) se puede cambiar de formato para resultar más visual:

2

2

22

11

s

ssKF

h

(5.6)

La expresión (5.6) será utilizada para modelar el comportamiento del filtro

de Kalman cuando se necesite un modelo de respuesta en frecuencia.

2.3 Conclusiones

En base a lo observado, las conclusiones sobre el comportamiento

dinámico del filtro de Kalman son las siguientes:

Se puede considerar la respuesta entre armónicos desacoplada,

siempre que se usen valores coherentes de R y Q.


Se usarán los valores de R y Q, que sin deteriorar la respuesta en

régimen permanente y transitorio, hagan la respuesta del filtro más

rápida.

Se puede obtener un modelo lineal del filtro de Kalman, ya que se

régimen dinámico se parece mucho al régimen dinámico de

sistemas lineales.

3 Control integral en ejes móviles

3.1 Introducción

La primera estrategia dentro de los algoritmos en ejes móviles es utilizar

un regulador PI para cada armónico a+bj. El uso de un regulador PI tiene

como objetivo hacer cero el error el régimen permanente. Para eliminar los

armónicos es necesario minimizar tanto la magnitud a como la magnitud

b, por tanto será necesario poner dos reguladores por armónico. En la

Figura 5.10 se puede encontrar un croquis sobre la evolución de las

magnitudes dentro del sistema de control.

x1 a

b

a

b

Filtro de

Kalman

Ejes

Móviles

Regulador

PI

m

Reconstrucción

x2

Figura 5.10:. Croquis del funcionamiento del regulador basado en el filtro de Kalman y control PI

Una de las ventajas de este sistema de control es que solo se tienen que

ajustar los parámetros del regulador PI, y no se requiere un modelo

implícito de la planta, como en el RC. En los apartados posteriores se

estudiará un criterio de estabilidad para este tipo de regulador.



Para realizar el estudio de estabilidad se usará la teoría de respuesta en

frecuencia usada para analizar los sistemas lineales de control. Para ello se

supondrá que la frecuencia de la red es una magnitud constante,

suposición realista teniendo en cuenta la velocidad de variación de la

frecuencia de la red.

Como ya se comentó, es equivalente utilizar un regulador selectivo que un

regulador PI con ejes móviles. Para el caso a estudio es más sencillo

utilizar un regulador selectivo, y después generalizarlo para reguladores

PI. El modelo de respuesta en frecuencia de todo el sistema se puede ver

en la Figura 5.11. Se ha supuesto que el filtro de Kalman tiene una

respuesta en frecuencia con las características de un sistema lineal para

poder hacer el análisis.

_ P(s)C(s)n n

d

_KF(s)

r

Figura 5.11: Croquis del funcionamiento del regulador basado en el filtro de Kalman y control PI

La función de transferencia de lazo abierto se puede tomar como (5.7).

sPsCsKFsGhh

(5.7)

Si se considera que la planta es lineal, se puede interpretar este resultado

como tener h lazos de control independientes, ya que al excitar la planta a

una frecuencia, la respuesta en régimen permanente solo incluye esa

misma frecuencia. En la Figura 5.12 se muestra el modelo equivalente del

sistema de control.


_r G(s)

Figura 5.12:. Sistema equivalente por armónico para el estudio de estabilidad

Si se consideran que los lazos están desacoplados entre ellos, se puede

pensar que cada lazo por separado sea estable. Si todos los lazos de

control son estables, entonces el sistema será estable.

Para analizar la estabilidad del sistema de control se utiliza el criterio de

Nyquist. Para más información ver la referencia [1].

Con el modelo propuesto se podrán obtener índices de respuesta en

frecuencia para la evaluación la estabilidad del sistema en bucle cerrado.

Los principales problemas para la aplicación de este criterio se enumeran a

continuación:

Linealidad del modelo del filtro de Kalman

Validez de la suposición de lazos de control desacoplados

3.3 Respuesta en frecuencia de un regulador PI en ejes móviles

Para conseguir un modelo del regulador PI que funciona en ejes móviles,

en ejes fijos, se va a utilizar la misma técnica que se utilizó para hallar la

respuesta temporal del filtro de Kalman. La expresión utilizada para el

regulador PI es la siguiente:

IsKsC

ph

11

(5.8)

Para una entrada sinusoidal pura (5.9), la respuesta se dividir en dos

partes, una integral yI (5.10) y otra proporcional yK (5.11). Estas respuestas

temporales tienen una expresión equivalente en s (5.10) y (5.11).

22

sin

ssUttu

(5.9)


222

2sin

s

s

I

KsYtt

I

Kty

p

I

p

I

(5.10)

22

sin

sKsYtKty

pKpK

(5.11)

La salida será la suma de la operación proporcional e integral (5.12). Con

estos datos se puede plantear la igualdad (5.13).

sYsYsYKI

(5.12)

sYsUsCh

(5.13)

Despejando de la igualdad (5.13), se llega a (5.14). Para una formulación

más compacta se simplifica la expresión (5.14) hasta reducirla a (5.15).

22

22

22

222

2

s

sK

s

s

s

I

KsC

p

p

h

(5.14)

22

21

s

s

IKsC

ph

(5.15)

Los resultados de esta demostración se han comprobado mediante

métodos de simulación, resultando respuestas iguales para el regulador PI

en ejes móviles y para el regulador selectivo.

3.4 Diseño de un regulador PI en ejes móviles

Posteriormente se hace un análisis por armónico del filtro de Kalman para

establecer su dinámica con el método que se explicó en la Sección 2 del

presente Capítulo.

Una vez obtenido el modelo dinámico del LKF se diseñan reguladores PI

en ejes móviles según el análisis de estabilidad realizado en la Sección 3.3.

Por tratarse de un proceso relativamente largo aunque mecánico no se

entra en detalle de cómo se ha realizado. Destacar que para algunos

armónicos se han tenido que retocar los valores de las ganancia del

regulador manualmente para lograr un sistema estable en bucle cerrado.


3.5 Ensayo de Laboratorio

En la Figura 5.13 se observan los valores de las corrientes en el nudo de

conexión del filtro en régimen permanente. La eliminación de armónicos

parece correcta excepto en los pasos por cero, ya que contienen armónicos

no incluidos en el control.

Figura 5.13: Datos experimentales de las corrientes del filtro activo para un control con regulador

PI en ejes móviles

Figura 5.14: Contenido armónico de las corrientes con el regulador PI en ejes móviles


Figura 5.15: Datos experimentales de las tensiones del filtro activo para un control con regulador

PI en ejes móviles

Figura 5.16: Estimación de la componente fundamental de la tensión de red y su frecuencia


En la Figura 5.15 está representada la tensión del punto de conexión, que

es prácticamente sinusoidal, junto con la tensión generada por el filtro

activo. El armónico fundamental es prácticamente igual, siendo la gran

diferencia los armónicos superpuestos, que son los que producen las

corrientes que circulan por la rama del filtro.

En la Figura 5.16 se puede ver la tensión de red junto con la tensión de red

identificada por el EKF. Como el contenido armónico es muy pequeño, no

existe casi diferencia entre ambas. La frecuencia real medida en el

laboratorio era de 49.98Hz.

4 Regulador selectivo en ejes fijos

4.1 Introducción

Como ya se comentó en la introducción del presente capítulo, otra opción

es para el diseño es utilizar reguladores selectivos sintonizados a las

frecuencias de interés. Esta técnica es utilizada en [1] y [44], y tiene como

cualidad que no es necesario hacer la transformación de ejes, con lo cual se

ahorran muchos cálculos.

4.2 Forma de un regulador selectivo

La forma del regulador selectivo que se va a implantar es la

transformación del regulador PI explicado en la Sección 3 del presente

Capítulo pero transformado a ejes fijos. La transformación del regulador

PI a ejes fijos da como resultado la función de transferencia de la ecuación

(5.16).

22

21

s

s

IKsC ph

(5.16)

El diagrama de Bode de Ch(s) para KP=1, I=1 y ω=50Hz se puede visualizar

en la Figura 5.17. La integración del regulador PI se ha desplazado hasta

alcanzar la frecuencia de diseño.


El efecto de un regulador selectivo es el mismo que el del regulador

repetitivo del Capítulo 4, pero para una sola frecuencia. Si se desea

información más detallada se pueden ver las referencias [1] o [44], donde

el tema de los reguladores selectivos es tratado en profundidad.

Figura 5.17: Diagrama de Bode de un PI transformado a regulador selectivo


El estudio de estabilidad es prácticamente idéntico al realizado para el

regulador PI en ejes fijos. Si el sistema de control es el mostrado en la

Figura 5.18 se puede definir la función de transferencia de lazo abierto

como en la ecuación (5.17).

sPsCsKFsGhh

(5.17)


_ P(s)C(s)n n

d

_KF(s)

r

Figura 5.18: Diagrama de bloques de un sistema con regulador selectivo y filtro de Kalman

Se utiliza el criterio de Nyquist para estudiar la estabilidad. Para más

información ver [1].

4.4 Ensayo de laboratorio

El diseño del regulador selectivo se realiza con los mismos valores de los

parámetros del regulador PI para ejes móviles diseñado en la Sección 3.4

del presente Capítulo.

Figura 5.19: Contenido armónico de las corrientes para el regulador selectivo en ejes fijos

En la Figura 5.19 se puede observar los resultados parecen similares a los

del regulador PI en ejes móviles, excepto para los armónicos altos, en los

cuales no se aprecia casi atenuación. Se ha estudiado en el laboratorio la

causa de este fenómeno pero no ha encontrado respuesta. En la Figura 5.20

se pueden observar las corrientes para el nudo de conexión del filtro


activo y en la Figura 5.27 las tensiones de la red y conexión del filtro

activo.

Figura 5.20: Corrientes del filtro activo para el regulador selectivo en ejes fijos


Figura 5.21: Tensiones en el filtro activo para el regulador selectivo en ejes fijos

5 Regulador Óptimo

5.1 Introducción

En este apartado se plantea la supresión de armónicos mediante un

problema de optimización. Como se verá posteriormente, con este sistema

no será necesario tener un modelo del mecanismo físico de producción de

armónicos, por que se basa en el cálculo recursivo de sensibilidades de la

planta a las frecuencias de interés.

El diagrama de bloques es el mismo que el del control integral en ejes

móviles, pero en el control en si se sustituye el regulador PI por una

función de coste, según se muestra en la

n

ihhh

baV1

22

(5.18)

5.2 Algoritmo de control

En este apartado se plantea la supresión de armónicos mediante un

problema de optimización. El diagrama de bloques es el mismo que el del

control integral en ejes móviles.

Función

de coste

Filtro de

Kalman

Sistema de control en ejes móviles

n n n n

ω

x1 x2

a b

a b

x1 x2

Figura 5.22: Diagrama de bloques para el regulador óptimo

Para cada armónico que se desee eliminar se calculan las sensibilidades

(5.19). Se señalan con subíndice y los armónicos en la salida y con

subíndice u los armónicos en el mando.


uh

yh

uh

yh

uh

yh

uh

yh

hb

b

a

b

b

a

a

aS ,,,

(5.19)

Para realizar este cálculo se incrementan ligeramente y de forma

secuencial las partes reales auh e imaginaria buh de los armónicos en el

mando y se determinan en cada caso las variaciones producidas en las

partes real ayh e imaginaria byh de los armónicos para cada sensor.

Posteriormente se calcula el vector de sensibilidades por diferencias finitas

a partir de los incrementos obtenidos.

Cálculo de

sensibilidades n n nx1 x2

a b

a b

x1 x2

Cálculo de

incrementos

nn

ω

Figura 5.23: Diagrama de bloques de la estructura interna del regulador óptimo

En la obtención de sensibilidades se supone que los armónicos están

desacoplados, lo que reduce considerablemente el tiempo de cálculo. Esta

suposición es correcta si el comportamiento de la planta no es demasiado

no lineal.

Cada vez que se modifica el contenido armónico del mando para el cálculo

de sensibilidades es necesario esperar un cierto tiempo hasta que se

alcance el régimen permanente, y hasta que el filtro de Kalman llegue a

régimen permanente.

Para realizar las tareas ya mencionadas se establece un planificador de

cuatro estados que determina la situación en la que se encuentra el

algoritmo. Los cuatro estados son los siguientes:

1. Actualización del mando

2. Perturbación en la parte real del mando

3. Perturbación en la parte imaginaria del mando


4. Cálculo del nuevo mando

_r P(s)Filtro de

KalmanControl

n

n

d

_

PlanificadorEstado

(1,2,3,4)

Figura 5.24: Diagrama de bloques del planificador utilizado en el control óptimo

El algoritmo se ejecuta hasta que el módulo de todos los armónicos es

menor que un umbral, que no nombra como MUh, y que tiene la expresión

de la ecuación (5.20). A partir de este valor dejan de perturbarse la parte

real e imaginaria.

n

iyhyhUh

baM1

22

(5.20)

Esta restricción se ejecuta para cada armónico, es decir, solo se perturban

los armónicos cuyo módulo no haya alcanzado un valor menor que MUh.

El bloque de cálculo de incrementos permite resolver el problema de

optimización planteado en la ecuación (5.18) para cada armónico. Como el

algoritmo de optimización es complejo y se ha incluido en el Anexo B.

Si se analiza la estructura del algoritmo se observará que el regulador

óptimo, aunque muy parecido a al regulador PI en ejes móviles, opera en

lazo abierto. No existe una realimentación en el sentido estricto, el único

requisito para su correcto funcionamiento es que el algoritmo de

optimización converja al resultado correcto. Es por ello que no es

necesario hacer un estudio de estabilidad.

5.3 Ensayo de laboratorio

El control interno de la planta se realiza como en el Capítulo 3. El

regulador óptimo se diseña para eliminar los armónicos 3, 5 y 7. El motivo

de no compensar más armónicos es que el algoritmo contiene demasiados


cálculos, y hace imposible su implantación con los medios que se disponen

en este proyecto. Se establece en 8 el número de ciclos por estado del

planificador. Se establece el límite de compensación de cada armónico en

50mA para una correcta eliminación de los armónicos. Se hace uso de un

EKF para estimar la frecuencia de la red y actualizar el LKF y los ejes

móviles.

Figura 5.25: Corrientes en el nudo de conexión para el regulador óptimo

Las corrientes en régimen permanente del ensayo pueden verse en la

Figura 5.25. La eliminación de los armónicos no es tan efectiva como en los

otros sistemas de control por los motivos mencionados en el párrafo

anterior. En la Figura 5.27 pueden observarse las tensiones del filtro

activo.


Figura 5.26: Contenido armónico de las corrientes para el regulador óptimo

El límite de atenuación de los armónicos se establece en 50mA. El límite es

algo alto, y se establece así porque si no la aplicación en tiempo real no

llegada a converger.

Figura 5.27: Tensiones de red y del filtro activo junto con la corriente de red para el regulador

óptimo


Figura 5.28: Varios instantes de la perturbación de la corriente de red para alcanzar la solución

óptima

En la Figura 5.28 se han seleccionado varias etapas de cambio del

algoritmo de control, para ilustrar el procedimiento de cálculo. Se puede

observar como el algoritmo perturba la señal, espera unos ciertos ciclos, y

luego vuelve a perturbar la corriente, hasta que finalmente converge.

112

Capítulo 6 PLATAFORMA EXPERIMENTAL

En este capítulo se explica detalladamente la plataforma experimental

utilizada para la realización de los ensayos del presente proyecto. El

objetivo del desarrollo de esta plataforma es demostrar la viabilidad de los

algoritmos de control que se han estudiado en el transcurso del proyecto

bajo situaciones lo más parecidas a la realidad posible.

La descripción de la plataforma experimental incluye, además de los

elementos Hardware, el Software utilizado tanto para el diseño como para

la implantación de los sistemas de control en tiempo real

RL

LL

VCC

+

_

LR

iS iL VL

iFVS

Figura 6.1: Diagrama esquemático de la plataforma experimental

CAPÍTULO 6 – PLATAFORMA EXPERIMENTAL 113

1 Descripción del Hardware

En la Figura 6.1 se puede observar un diagrama esquemático de la

plataforma experimental construida para la realización del proyecto.

1.1 Red de alimentación

Se usa alimentación a partir de una red trifásica, de la cual se extraen dos

fases, que se conectan a un autotransformador monofásico, seguido de un

transformador.

VS

220/220 220/24

VL

Figura 6.2: Diagrama explicativo de la conexión de los transformadores

El autotransformador tiene una relación variable con máximo de 1/1, con

lo cual se puede regular la tensión entre 0V y 220V. El segundo

transformador tiene una relación de transformación de 220/24 voltios. Se

puede ver un croquis en la Figura 6.2. Con este diseño, se puede regular la

baja tensión entre 0V y 24V de manera dinámica. La justificación del uso

de un segundo transformador es asegurar que el voltaje máximo en baja

tensión no exceda de 24V, para no dañar el resto de elementos.

Se ha hecho un ensayo de cortocircuito al transformador de 200/24,

resultando una inductancia de cortocircuito de LS=1.7mH, y una

resistencia entre los dos devanados reducidos al lazo de baja de RS=0.3Ω.

1.2 Carga

La carga no lineal se ha realizado a partir de un puente de diodos, que

alimenta a una carga RL con reóstato, con valores RL y LL. La corriente de

la carga está limitada por la bobina a 2 amperios de corriente continua.


1.3 Conexión del filtro activo

La conexión del filtro activo a red se hace mediante un reóstato, que se

ajusta a un valor R. Aunque teóricamente este valor debería de ajustarse a

cero para minimizar las pérdidas, se ajusta su valor a 4Ω, para limitar la

corriente que circula por el filtro en caso de corto.

Para la bobina de conexión se calculó un valor de unos 10mH. Como no se

disponía de bobinas tan pequeñas, se optó por usar 4 bobinas de 46mH y

de resistencia de 1Ω, puestas en paralelo.

1.4 Amplificador de audio

Para la emulación del inversor se ha utilizado un amplificador de audio

TDA7294. Este integrado es un amplificador de tensión con tecnología

DMOS, capaz de operar con cargas inductivas. También posee protección

contra cortocircuitos, protección altamente útil para el uso que se le va a

dar. La alimentación del integrado se ajusta a ±32V, referenciados a la

misma tierra que el circuito de potencia. Para asegurar el aislamiento entre

la tarjeta de adquisición de datos y el amplificador de audio se utiliza un

amplificador operacional LF411 como seguidor de emisor, según se

observa en la Figura 6.3.

Vcc

-Vcc

Conexión a red

Figura 6.3: Diagrama de conexión del amplificador de audio a la tarjeta de adquisición de datos

El amplificador operacional se alimenta a partir de una fuente de

alimentación de DC, a ±12V, ya que no es capaz de resistir los 32 voltios

del amplificador de audio.


Debido a la gran cantidad de calor disipada por el amplificador de audio

se le añadió un disipador de calor y un ventilador de la marca Delta

Electronics, modelo DFB0616L alimentado a ±12V, que mantienen la

temperatura del amplificador dentro de los rangos admisibles.

El amplificador TDA7294 debe ajustarse con una ganancia de lazo cerrado

de al menos 24dB, según el Datasheet. Se ha ajustado a 30dB para dar

cierto margen. Esta ganancia se compensa en el sistema control para evitar

modificaciones de los algoritmos.

1.5 Sondas de medida

Para las mediciones de corriente se han utilizado sondas de efecto Hall de

la marca Tektronic, modelo A622 con una ganancia de 100mV/A. Una mide

la corriente inyectada por el filtro, en el sentido marcado en la Figura 6.1 y

otra mide la corriente de la carga, también con el mismo sentido.

Para la medida de la tensión en la carga se ha utilizado una sonda

diferencial de tensión de la marca Chauvin Arnoux, modelo DP25 con

ganancia 1/20.

1.6 Tarjeta de adquisición de datos

La tarjeta de adquisición de datos utilizada es el modelo PCI 6229 de

National Instruments. Tiene la posibilidad de tener hasta 32 canales

analógicos de entrada y 4 de salidas analógicas. Para el experimento

únicamente se utilizarán 3 entradas, que se corresponden con las sondas

de medida utilizadas. La única salida utilizada será la tensión de mando

del amplificador de audio. Para el correcto funcionamiento de los

algoritmos se estableció un tiempo de muestreo máximo de 4.5kHz, valor

utilizado en todos los ensayos, excepto en el del regulador óptimo que

utilizaron 4kHz por cuestión de cálculos.

La tarjeta de adquisición de datos está ubicada en un ordenador

únicamente destinada a realización de tareas en tiempo real (Target), con el


sistema operativo Real Time Windows Target. Los algoritmos de control se

cargan en el mismo a través de otro ordenador (Host), a través de una

conexión con protocolo de comunicaciones TCP/IP. Con esta estrategia se

consigue un uso más eficiente de los recursos del ordenador destinado a la

ejecución de tareas en tiempo real.

2 Descripción del Software

Los diagramas de bloques se diseñan utilizando Matlab y Simulink. Este

último programa es una herramienta de Software que permite simular

diagramas de bloques. Usando la herramienta Real Time Workshop se

compila el código del diagrama de bloques y posteriormente se carga en

una aplicación de tiempo real.

Para cargar los algoritmos de control en tiempo real, se utiliza la

aplicación xPC Target.

Este software permite, además de ejecutar los algoritmos en tiempo real,

guardar datos de los ensayos, para la posterior recogida de datos y

evaluación.

117

Capítulo 7 CONCLUSIONES

En este Capítulo se resumen las conclusiones al trabajo desarrollado en el

transcurso del proyecto. Se recapitula brevemente sobre los avances

conseguidos en los aspectos que se han tratado.

1 Introducción

En este proyecto se han estudiado algoritmos para el control de filtros

activos de electrónica de potencia. Se ha realizado un profundo estudio

teórico de los mismos y se ha construido una plataforma experimental

para contrastar los resultados empíricos con los teóricos.

2 Resumen

Estimación de medidas eléctricas:

Se ha estudiado el uso del filtro de Kalman para la estimación de

medidas eléctricas. Se ha propuesto un método para estimar

múltiples armónicos de una corriente con el filtro lineal de Kalman.

El método se basa en utilizar un filtro extendido de Kalman que

estime la frecuencia de la tensión de red, tomando la frecuencia

como entrada del filtro lineal de Kalman. Este método no había sido

probado antes y ha dado muy buenos resultados, disminuyendo el

coste computacional.

Modelado de un filtro activo:

Se ha modelado un filtro activo en conexión paralelo, incluyendo la

impedancia de la red. Se ha realizado una identificación del modelo

de la planta para conseguir unos de parámetros de diseño precisos.

El proceso ha resultado un éxito.

CAPÍTULO 7 – CONCLUSIONES 118

Control interno de corriente:

Con los parámetros el modelo identificados se ha realizado un

control dead beat con prealimentación que hace que el control

interno sea rápido. Se ha demostrado que con el control interno no

es suficiente para mitigar armónicos de corriente, y que es necesario

el uso de un regulador externo.

Control repetitivo:

Gran parte de los esfuerzos de este proyecto se han volcado en

control repetitivo. Se ha estudiado en regulador repetitivo de orden

superior y se ha adaptado a las necesidades del proyecto. Se ha

hecho un estudio exhaustivo de la estabilidad y la precisión en

régimen permanente.

Se ha propuesto el método de adaptación continua a la frecuencia

del regulador utilizando un filtro de Kalman como estimador de la

frecuencia. Se ha desarrollado el filtro L(z) y se ha reformulado el

regulador para lograr su implantación sin afectar a la estabilidad.

Los resultados de laboratorio confirman los resultados positivos de

los estudios teóricos.

Con los resultados obtenidos para el control repetitivo se ha escrito

un artículo de investigación para la revista internacional Electronic

Letters. En la fecha de entrega del proyecto se está esperando para la

aceptación del mismo.

Regulador basado en filtro de Kalman:

Además del filtro de L(z) del regulador repetitivo, una de las

principales aportaciones de este proyecto ha sido el incluir el filtro

de Kalman en el lazo de realimentación. Mediante esta técnica se

consigue un seguimiento desacoplado de armónicos.


Mediante el control integral en ejes móviles se ha dejado totalmente

claro que lo dicho anteriormente es cierto, habiendo realizado una

prueba en laboratorio para la supresión de los armónicos 3, 5, 7, 9 y

11, diseñando los reguladores por separado.

Se ha probado que realizar un control integral en ejes móviles es

similar a realizar un regulador selectivo en ejes fijos. Se han

probado en el laboratorio y los resultados han arrojado algunas

dudas sobre el funcionamiento del regulador selectivo en ejes fijos,

aunque el funcionamiento resultaba parecido.

Se ha adaptado el regulador óptimo para poder trabajar con

frecuencia variable. Antes, como se utilizaba la FFT, esto era

imposible. Los resultados de este regulador no han sido probados

modelando todas las componentes armónicas, ya que la aplicación

en tiempo real no tenía suficiente capacidad de cálculo para

soportar el peso del algoritmo.

Plataforma experimental:

Se ha construido un prototipo experimental de filtro activo para

realizar ensayos y contrastar las simulaciones. El prototipo se ha

desarrollado en el laboratorio de electrónica de potencia del ICAI,

tomando prestado del mismo el material necesario.

Para emular el inversor se ha utilizado un amplificador de audio

que se ha soldado a una placa de puntos junto con los componentes

necesarios para su funcionamiento. La descripción de la plataforma

experimental se encuentra el Capítulo 6. Los detalles del

amplificador de audio se encuentran en el Anexo E y los detalles de

implantación de los algoritmos en el Anexo D.

Los diagramas de bloques se han realizado en Simulink y han sido

probados con Real Time Windows Target.


El prototipo ha resultado versátil y todos los algoritmos han podido

ser probados.

3 Concusiones finales

El regulador repetitivo ha resultado ser un sistema de control rápido y se

han obtenido resultados excelentes con el mismo. Los mecanismos de

adaptación ideados en este proyecto lo hacen más versátil que en

versiones anteriores.

Como alternativa al regulador repetitivo se ha utilizado un sistema de

control basado en el filtro de Kalman. Este sistema de control requiere la

realización de un mayor número de cálculos, pero es más robusto frente a

cambios en el modelo de la planta a controlar.

121

Capítulo 8 FUTUROS DESARROLLOS

En este capítulo se comentan las posibles líneas futuras de desarrollo e

investigación sobre la compensación de armónicos de corriente con filtros

basados en electrónica de potencia.

1 Introducción

En este proyecto se ha profundizado ampliamente en los algoritmos de

control de filtros activos en conexión paralelo, dedicándose una gran

porción de tiempo al estudio de teórico de los mismos.

Estos algoritmos han sido probados en una plataforma experimental para

validar los resultados.

2 Futuros desarrollos

Extensión de la formulación a variables trifásicas:

Los algoritmos tratados en este proyecto se han formulado para

dispositivos que operen en redes monofásicas. Una de las tareas

pendientes es ampliar el estudio de las técnicas para variables

trifásicas.

Prueba en un inversor trifásico:

Para validar el trabajo realizado sería necesario aplicar los

algoritmos a un inversor trifásico.

Extensión de la formulación al filtro serie:

En la actualidad se están empezando a realizar prototipos del filtro

en conexión serie. Muchos de los aspectos tanto de modelado como

de control son parecidos entre el filtro serie y el filtro paralelo. Una

de las posibles líneas de investigación podría ser intentar aplicar los

CAPÍTULO 8 – FUTUROS DESARROLLOS 122

algoritmos de mitigación de armónicos aquí propuestos al

compensador serie.

Estudio exhaustivo del filtro de Kalman para la supresión de

armónicos:

En este proyecto se ha dedicado una Sección al estudio de la

dinámica del filtro de Kalman en el lazo de realimentación. Una de

las líneas de investigación podría ser la búsqueda de modelo teórico

para la dinámica del mismo.

El desarrollo de un modelo teórico en función de los parámetros

característicos del filtro de Kalman sería ampliamente útil para el

diseño de sistema de control.

Estudio de una variante de control repetitivo:

Recientemente se han publicado algunos artículos donde se

propone una mezcla del control repetitivo con un algoritmo de

optimización que mejora las condiciones de estabilidad. Este

algoritmo se puede encontrar en la referencia [7], y en más a fondo

en la referencia [36].

Esta podría ser una futura línea de investigación, que mejoraría las

cualidades del regulador repetitivo frente a cambios en el modelo

del proceso a controlar.

Estudio de nuevas técnicas de control:

Además de las técnicas utilizadas en el presente proyecto se puede

pensar en otras técnicas diferentes de control avanzado que

pudiesen ser beneficiosas para el control de filtros activos en

conexión paralelo, como el control predictivo.

123

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128

ANEXO A ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN

1 Algoritmo del filtro lineal de Kalman

El proceso que se pretende estimar viene dado por la representación de

estado de la ecuación (A.1).

kkk

kkkk

vHxz

wBuAxx

1

(A.1)

Se puede definir el error en los estados estimados a priori, marcadas con el

superíndice “-“, y a posteriori como se muestra en (A.2), y también las

matrices de covarianza de dichos errores. Asimismo se definen las

matrices de covarianza del ruido en la medida y del ruido en el proceso en

la ecuación (A.3).

kT

kk

kT

kk

kkk

kkk

eeEP

eeEP

xxe

xxe

ˆ

ˆ

(A.2)

T

kk

T

kk

wwEQ

vvER

(A.3)

Suponiendo que se tiene una estimación a priori de las variables de estado,

y la medida actual, la ecuación (A.4) puede verse como una interpolación

del residuo de la medida actual (la discrepancia entre el modelo y la

medida) y la estimación a priori, ponderado por una ganancia K,

denominada ganancia de Kalman.

kkkk xHzKxx ˆˆ

(A.4)

El criterio para calcular la ganancia de Kalman es minimizar la matriz de

covarianza del error a posteriori (A.2). La expresión que minimiza el error

medio cuadrático de esta función es (A.5). Para la demostración ver [15].

ANEXO A – ALGORITMO DEL FILTRO DE KALMAN 129

1 RHHPHPK T

k

T

kk (A.5)

Por tanto, la ganancia de Kalman se calcula para cada iteración, en función

de la matriz de covarianza y del ruido de medida, teniendo como criterio

de cálculo la minimización del error medio cuadrático.

Existen otras posibles expresiones que minimizan el error medio

cuadrático, pero la dada en la ecuación (A.5) es la más popular, y

corresponde con el algoritmo de mínimos cuadrados recursivos en su

versión de covarianzas. Para más información sobre el algoritmo de

mínimos cuadrados recursivos ver [41].

Una vez realizado el cálculo de la ganancia de Kalman, se debe obtener la

nueva matriz de covarianzas, que será utilizada en la siguiente iteración.

Esta matriz de covarianzas actualizada de puede obtener como la ecuación

(A.6). Esta ecuación procede del cálculo directo de la matriz de

covarianzas de (A.2)

kkkPHKIP

(A.6)

La matriz de covarianzas puede verse como una memoria de la “historia”

del filtro, con la peculiaridad de que toda esta “historia” se guarda en una

sola matriz, y solo depende de los datos de la iteración anterior.

Llegados a este punto sólo queda definir como se a hacer la estimación a

priori de los estados. Para tener una estimación de las variables de

estados, basta con realizar el cálculo con la matriz de estado (A.1). Para la

predicción de la ecuación (A.8), se puede sustituir en el resultado anterior

(A.7) en la matriz de covarianzas a priori (A.2).

kkkBuxAx

ˆˆ

1

(A.7)

QAAPP T

kk

1 (A.8)

Nótese que el algoritmo es “cerrado”, es decir, para poder calcular las

predicciones a priori se necesita la predicción anterior, y lo mismo para la


matriz de covarianzas. Por tanto, para comenzar el algoritmo, será

necesario dar unas condiciones iniciales tanto a la predicción de las

variables de estado como a la matriz de covarianzas. De los valores

iniciales de los estados como de la matriz de covarianzas depende la

convergencia final del algoritmo [41].

De manera secuencial, los pasos de ejecución del filtro de Kalman son los

expuestos en la Figura A.1

kkkBuxAx

ˆˆ

1

QAAPP T

kk

1

1 RHHPHPK T

k

T

kk

kkkkxHzKxx ˆˆ

kkkPHKIP

00 kkxP

Figura A.1: Diagrama de cálculo recursivo del filtro lineal de Kalman

2 Algoritmo del filtro extendido de Kalman

El algoritmo de filtro extendido de Kalman es tiene la misma base que el

del filtro lineal, pero en este caso no estará bajo la suposición de un

sistema lineal. El primer paso es redefinir las ecuaciones del Filtro de

Kalman como (A.9).

kk

kkk

vtxhz

wutxfx

,

,,1

(A.9)

Para poder usar el algoritmo del filtro lineal de Kalman con estas

ecuaciones se linealizan sobre la trayectoria. El término linealizar sobre la


trayectoria quiere decir que el estado actual del filtro de Kalman se utiliza

como punto de equilibrio para las estimaciones del siguiente periodo de

cálculo. El diagrama de la Figura A.2 puede resultar esclarecedor.

ts ts

Figura A.2: Croquis explicativo de linealización sobre la trayectoria

1 RHHPHPK T

k

T

kk

kkkPHKIP

00 kkxP

utxfxkkk,,ˆˆ

1

kkkkkkzzKxxxx ˆˆ*

QFFPP T

kk

1

kkkk

Hxxhz *

Figura A.3: Diagrama de cálculo recursivo del filtro extendido de Kalman

El algoritmo del filtro extendido de Kalman es el mismo que el filtro lineal,

pero calculado por incrementos, sobre la trayectoria linealizada. Para el

cálculo de los incrementos es necesario calcular las matrices jacobianas de

las ecuaciones del sistema, Fk y Hk. Estas matrices se recalculan cada


periodo de muestreo. En la Figura A.3 se muestra el diagrama de cálculo

secuencial. Para más información sobre el algoritmo ver [15].

k

H

xx

kkk

k

F

xx

kkkk

vx

hxtxhz

wx

fxutxfxx

k

k

k

k

*

*

,

,,

*

*

1

*

(A.10)

133

ANEXO B ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN

Para resolver el problema de optimización planteado en la Sección 5 del

Capítulo 5, se utiliza el método Gauss Newton. Como se mencionó

previamente, la función objetivo es la suma de los cuadrados del módulo

de cada armónico, que también se puede expresar como un producto

escalar de vectores (vector fila por vector columna):

h

Th

E

yh

yh

E

yhyhh

T

huhuhyhuhuhyhuhuhhb

abaEEbabbaabaV

..,,, 22

(B.1)

En el punto óptimo de uhuhh

baV , se debe anular el gradiente de dicha

función uhuhh

baV ˆ,ˆˆ , y por tanto se debe cumplir (B.2).

0

0.2

ˆ

ˆ,ˆ

ˆ

h

T

h

h

bauh

h

uh

h

h

h EE

b

V

a

V

V

h

uhuh

h

(B.2)

Siendo la matriz jacobiana (B.2) el vector columna h

E con respecto al

vector de parámetros correspondiente al armónico h, y que se puede

calcular como (B.3).

uh

yh

uh

yh

uh

yh

uh

yh

h

h

b

b

a

b

b

a

a

a

E

(B.3)

Si se aproxima la función gradiente de h

V por el desarrollo en serie de

Taylor de primer orden en su valor actual para posteriormente

particularizar en el punto óptimo, resulta (B.4).

ANEXO B – ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN 134

0

0ˆ.2.2

ˆ2

2

ˆ

hh

h

h

T

h

h

h

T

h

h

hh

h

h

h

h

h

h

hhh

hhh

EEE

E

VVV

(B.4)

Donde se han despreciado las segundas derivadas (método de Gauss-

Newton) en el cálculo de la matriz hessiana de la función de coste. Si se

despeja el incremento del vector de parámetros necesario para alcanzar el

punto óptimo, se obtiene:

h

T

h

h

h

h

T

h

h

h

h

h

h

uhuh

uhuh

nnE

EEEVV

bb

aa

hhhh

hi

ii..ˆ

ˆˆ

11

2

2

(B.5)

Estos incrementos determinan la dirección en la que hay que actualizar el

mando para buscar el óptimo y minimizar los armónicos en la salida.

135

ANEXO C IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA

En este Anexo se explica paso a paso el procedimiento seguido para

identificar el modelo de la planta. Con el modelo teórico se calcula un

control proporcional de manera que proporcione un amortiguamiento

adecuado para identificar la planta. Acto seguido, y según se muestra en

la Figura C.1, se introduce un señal PRBS de 50 ciclos y 1023 muestras por

ciclo. De todo el ensayo se elige un intervalo 20000 muestras, que se

dividen a partes iguales en muestras para identificar y validar.

_ iFAKP P(s)_

PRBS

d

Figura C.1: Diagrama del ensayo para la identificación del sistema

Figura C.2: Estimación de la respuesta al escalón mediante técnicas de correlación

ANEXO C – IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA 136

La notación utilizada para la identificación coincide es la misma utilizada

en [33]. La identificación de la respuesta al escalón se realiza mediante la

función de auto-correlación de la entrada y la salida. La respuesta al

escalón identificada se muestra en la Figura C.2. Parece que el número de

retardos de la función de transferencia es 2, por tanto se tomará nk=2.

La estructura elegida para el modelo de la planta en bucle cerrado será

ARX y el algoritmo utilizado será variables instrumentales (IV). Usando

esta estrategia se puede llegar a identificar el modelo exacto de la planta

sin necesidad de identificar la estructura del ruido.

Se hace un barrido de modelos ARX posibles con nk=2. Parece que el

modelo (na=4 nb=4 nk=2) tiene una varianza inexplicable suficientemente

baja, además de tener parámetros de sobra para reducir. Una vez

decidido, se estima (na=4 nb=4 nk=2) con IV, obteniéndose el diagrama de

ceros y polos de la Figura C.3.

Figura C.3: Diagrama de polos y ceros para (na=4 nb=4 nk=2)

Parece que existen dos polos que se cancelan con dos ceros en el eje real. El

tercer cero no puede cancelar con los polos que están en cero por que estos

son los dos retrasos identificados mediante la respuesta al escalón. Así se


prueba con (na=2 nb=2 nk=2). El diagrama de polos y ceros esta nueva

configuración es el de la Figura C.4.

Figura C.4: Diagrama de polos y ceros para (na=2 nb=2 nk=2)

La correlación de los residuos de la entrada y la salida se muestran en la

Figura C.5. Como no existe realimentación debe ser menor que la banda

del 99% en todo momento. El modelo probado cumple.

Figura C.5: Correlación cruzada entrada y residuos para ARX (na=2 nb=2 nk=2)

Aunque se puedan buscar modelos con menos parámetros a simple vista

parece que no los va a haber. Los polos complejos parecen bien

identificados y cuadran con la respuesta temporal, al igual que los dos

retardos. El cero, de magnitud reducida, parece no poderse cancelar.


De todas formas se prueban los modelos (na=2 nb=1 nk=1), en el que el cero

se cancela con el retardo, y (na=2 nb=1 nk=2), eliminando directamente el

cero. Ninguna de las dos soluciones hace que la correlación de los residuos

y la salida esté dentro de la banda del 99%, como se observa en la Figura

C.6.

Figura C.6: Correlación cruzada entrada y residuos para (na=2 nb=1 nk=1) y (na=2 nb=1 nk=2)

Una vez estimada la estructura del modelo, se observa para ver si la

magnitud de los parámetros estimados es muy pequeña. Los polinomios

característicos del modelo (na=2 nb=2 nk=2) se muestran en (C.1).

32

21

0140.03166.0

311.09482.01

zzzB

zzzA

(C.1)

La función de transferencia de la planta con el control proporcional

resultante es (C.2).

311.09482.0

04447.03166.012

zzz

z

zA

zBzF

(C.2)


Abriendo el lazo se puede estimar el modelo de la planta según la

ecuación (C.3).

zF

zF

KzP

P

1

1

(C.3)

Abriendo el lazo resulta la planta de la ecuación (C.4).

1176.01276.09382.0

0444.00211.0

zzz

zzP

(C.4)

140

ANEXO D IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS

En este anexo se explica el detalle de la implantación en Simulink de los

algoritmos de control para su posterior ejecución en tiempo real.

1 Filtro de Kalman

En esta Sección se explican los procedimientos seguidos para la

implantación de un filtro de Kalman en Simulink. Se explican las

peculiaridades tanto del EKF como del LKF.

1.1 Método general de implantación

A lo hora de la implantación, el filtro de Kalman se resume como un

conjunto de cálculos que se ejecutan para cada periodo de muestreo. Entre

una ejecución y otra se guardan los valores de la matriz de covarianzas y

de los estados estimados. En la Figura D.1 se muestra el esquema interno

del filtro de Kalman. En trazo más grueso se indica que la variable

realimentada se corresponde con una matriz.

z-1

Cálculos

z-1

z[k] x[k]

P[k]

Figura D.1: Vista externa del filtro de Kalman implantado en Simulink

Gracias a que en las últimas versiones de Simulink se puede trabajar con

matrices, la implantación de los mismos mediante diagrama de bloques ha

resultado sencilla.

ANEXO D – IMPLANTACIÓN DE ALGORITMOS 141

1.2 Matriz de estado para el LKF

La matriz de estado para el LKF no se puede implantar como una

representación de estado común, ya que la frecuencia, aunque se toma

como si fuese una variable constante, en realidad proviene de una

estimación mediante un EKF.

cos

sin

xts

hω Ф(h)Reshape

Figura D.2: Creación de una matriz Ф(h) para el LKF

En la Figura () se muestra como se calculan las funciones no lineales seno

y coseno de la variable hωts. Estas variables se manipulan para formar una

matriz de 2x2, correspondiente al armónico h. Se realiza el cálculo de todas

la matriz Ф(h) para todos los armónicos que estén modelados en el filtro

de Kalman. Acto seguido, como se muestra en la Figura D.3, se juntan en

la diagonal de una matriz. El resto de valores se rellena con ceros.

Reshape

Ф(1)

Ф(2)

Ф(...)

Matrices con ceros

A

Figura D.3: Organización de las matrices Ф(h) para generar la matriz de estado del LKF

1.3 Matriz de estado y matriz jacobiana para el EKF

Aunque la matriz de estados del EKF es no lineal se utiliza la misma

técnica que para el LKF, pero se añade la frecuencia a la representación de

estado, como se muestra en la Figura D.4.


cos

sin

xts

ω AReshape

Figura D.4: Generación de la matriz de estado para el EKF

Para el cálculo de la matriz jacobiana de la representación de estado se

calculo primero de manera implícita. El resultado de la matriz jacobiana

del EKF para una senoidal de frecuencia variable es la matriz de la

ecuación (D.1). El factor de olvido se tomado como cero.

100

323133

323133

ssssss

ssssss

txsintxtxcostxtxcostxsin

txcostxtxsintxtxsintxcos

F

(D.1)

El procedimiento de cálculo de esta matriz es el mismo que el de la Figura

D.4, únicamente que el número de cálculos a realizar es mayor y se

requiere reorganizar más términos dentro de la matriz. Nótese que para el

cálculo de esta matriz las variables de estado que se utilizan son las del

estado anterior, para linealizar sobre la trayectoria.

1.4 Ejes móviles

En la Figura D.5 se observa el diagrama para la implantación de los ejes

móviles. El valor de la frecuencia se integra y se multiplica por el periodo

de muestreo, que a su vez multiplica a las entradas correspondientes para

realizar el cambio de ejes fijos a ejes móviles.

cos

sin

xω

1

12

z

z

ts

ts

θ

Figura D.5: Diagrama de cálculo de las funciones trigonométricas en función del ángulo


2 Control repetitivo

2.1 Causalidad de los bloques por separado

Para hacer posible la implantación por bloques diferenciados del

regulador repetitivo es necesario hacer ciertos ajustes dentro del mismo,

para que todos los bloques por separado sean causales y no se modifiquen

las propiedades del regulador. En la Figura D.6 se muestran las

modificaciones necesarias para lograr la causalidad.

z-N+M+Cx[k] y[k]Q(z)z

-M

z-C

z-C

Gx(z)L(z)

Figura D.6: Estructura causal para el regulador repetitivo adaptativo

La variable M es el orden del filtro de Q(z). Para hacer que el mismo sea

causal es necesario multiplicarlo por z-N, resultando así un filtro de fase

lineal. La variable C es el número de retardos necesarios para que Gx(z)

resulte realizable. El filtro L(z) no requiere modificaciones.

2.2 Función retardo

La función retardo está disponible en las librerías de Simulink, pero no está

disponible un retardo que pueda cambiar según el momento de ejecución.

Una posible solución se plantea en la Figura D.7.

z-N+N’

z-1

z-1

z-1

N*+1

y[k]

x[k]

Figura D.7: Esquema de un retardo variable en el tiempo con la variable N*


Las variables N y N’ son números constantes. Con el valor de N* se

selecciona el número de retardos deseados. Por ejemplo, para el caso de la

Figura D.7, si N=90, se puede tomar N’=2. Si N*=0, entonces el número de

retardos es de 88. Si por el contrario N*=3 el número de retardos es 91.

2.3 Filtro L(z)

Como Simulink no permite la implantación directa de filtros adaptativos,

se deben proceder manualmente. Para el caso del filtro L(z) implantado en

este proyecto, el diagrama de bloques se puede observar en la Figura D.8.

z-1

z-1

+

+

-

x[k]

y[k]

1-le

1+le

1-le

1+le

Figura D.8: Esquema de un retardo variable en el tiempo con la variable N*

Como el valor de la variable le cambia con el tiempo, se utiliza el diagrama

de bloques de la Figura D.9, que permite variar el valor de le mientras el

programa se ejecuta.

xle

x[k]le

Figura D.9: Implantación de una ganancia variable en Simulink

2.4 Habilitador del regulador repetitivo

Para evitar problemas con el transitorio del regulador repetitivo se utiliza

un bloque habilitador. En la Figura D.10 se muestra un diagrama de

bloques de un habilitador. En el disparo se pone el tiempo inicial que se

desea que el regulador esté desactivado, por ejemplo, 1 segundo. Cuando


el reloj llega a un segundo el seleccionador cambia de estado y selecciona

la entrada al regulador.

Clock

0

x[k]

y[k]

Threshold

Figura D.10: Implantación de una ganancia variable en Simulink

La posición del habilitador en el regulador repetitivo tipo Plug-In se

muestra en la Figura D.11. Primero se espera a que el lazo de control se

estabilice. Para ello se espera un tiempo prudencial. Una vez estabilizado

se habilita el regulador repetitivo. El valor de la entrada del regulador

antes de habilitarse debe de ser cero, porque en caso contrario, el

regulador repetitivo integraría el valor del error.

Repetitivo

P(z)R(z)

Y(z)_

Enable

Figura D.11: Posición del bloques habilitador en el regulador repetitivo tipo Plug-In

3 Regulador selectivo e integral

Para conseguir que el regulador PI y el regulador selectivo diseñado en

anteriores capítulos mantenga los mismos polos que el diseñado en

tiempo continuo se utiliza el método de discretización descrito en la

referencia [14].

1

1

1

z

cI

cIz

kzC dPI

(D.2)


cI

cIKky

tc Pd

s

12

El regulador PI se convierte en la función de transferencia de la ecuación

(D.2). La discretización del regulador selectivo es algo más complicada y

se corresponde con la ecuación (D.3). La implantación del regulador PI se

hace mediante un bloque de función de transferencia de Simulink. La

función de transferencia del regulador selectivo es función de la frecuencia

y por tanto hay que realizar la función de transferencia de manera manual,

igual que el filtro L(z).

122

ztcosz

tcoszzzC

s

sSEL

(D.3)

4 Algoritmo de optimización

La implantación del algoritmo de optimización puede encontrarse de

manera detallada en la referencia [43].

5 Recogida de datos

5.1 Osciloscopio de laboratorio

Para la verificación del funcionamiento en los algoritmos en el laboratorio

se han utilizado dos osciloscopios de la marca Tektronik, con los que se

medían las corrientes y las tensiones necesarias.

Los osciloscopios utilizados permitían guardar datos en dispositivos de

almacenamiento USB. Los datos se guardaban en ficheros con la extensión

*.CSV, en formato de columnas de texto. No ha utilizado este método para

grabar datos por que las medidas tenían una resolución demasiado baja, lo

que limitada la calidad de las medidas.


5.2 Medidas usando Simulink

La herramienta Simulink permite la toma de medidas utilizando la tarjeta

de adquisición de datos. La tarjeta permite guardar datos tanto en el

ordenador en el que se ejecuta la aplicación en tiempo real como en el

ordenador en el que se diseña el sistema de control.

Al guardar datos en el ordenador que funciona en tiempo real surgieron

problemas que hicieron imposible utilizar este método, por lo que optó

por guardar los datos utilizando el ordenador de diseño.

Estos osciloscopios se utilizan igual que un Scope de Simulink para

simulación. La única diferencia es que para ver su contenido se debe usar

la aplicación XPCxplorer.

148

ANEXO E ACONDICIONAMIENTO DEL

AMPLIFICADOR DE AUDIO

El actuador utilizado para la realización de la plataforma experimental

está basado en un amplificador de audio SGS-Thomson TDA7294. Este

amplificador de audio es versátil y se ajusta perfectamente a los

requerimientos de este proyecto.

1 Alta impedancia entre tarjeta y amplificador

Para evitar problemas con la tarjeta de datos y el amplificador de audio se

utiliza un amplificador operacional LF411 en configuración seguidor. La

alimentación se fija a 12V. Para evitar problemas de oscilación con las

fuentes conmutadas se utilizan dos condensadores electrolíticos de 100uF.

2 Esquema de montaje

El amplificador de audio TDA7294 dispone de 15 pines. El fabricante

facilita unos valores estándar de componentes a añadir para el correcto

funcionamiento.

100nF 1mF

22uF

1mF100nF10uF10uF

22K

680Ω

22k

In

10K

22K

+12V

+32V

TDA7294

Out

-32V

2

3

4

10

9 1 156

14137

Figura E.1: Acondicionamiento del amplificador de audio TDA7294 realizado en el proyecto

ANEXO E – ACONDICIONAMIENTO DEL AMPLIFICADOR DE AUDIO 149

La elección de los valores de los parámetros para el montaje ha sido la

misma que la especificación del fabricante, a excepción de los

condensadores de desacoplo de corriente continua, que se han eliminado.

La razón se comenta en la Sección 3 del presente Anexo.

La alimentación del buffer se aprovecha para alimentar las entradas 9 y 10

del integrado, ya que el fabricante recomienda alimentarlas a menor

tensión que la de alimentación.

3 Desacoplo de corriente continua

Los esquemas utilizados para los amplificadores de audio no suelen dejar

el paso de la corriente continua. Esta realidad puede acarrear problemas

cuando se usen reguladores de tipo integral. Por ejemplo, para el

regulador repetitivo, requiere ciertos ajustes, comentados en [3] o [39].

Para lograr el paso de la corriente continua se han eliminado los

condensadores de desacoplo que el fabricante recomienda utilizar. Una

vez comprobada experimentalmente la validez de esta idea, se probó el

regulador repetitivo y no tuvo ningún tipo de problema.

150

Parte II ESTUDIO ECONÓMICO

ESTUDIO ECONÓMICO 151

El auge en la tecnología de semiconductores ha permitido en las últimas

décadas el desarrollo de nuevas tecnologías para la mejora de la calidad

de la energía en redes de distribución eléctrica.

El uso de inversores para la mitigación de armónicos permite reducir

costes en pérdidas óhmicas. Son un claro sustitutivo para los filtros

pasivos actualmente usados, ya que reducen los costes de equipo y el

tamaño de la instalación. Los algoritmos de control de filtros activos

permiten mitigar muchos más armónicos que un filtro pasivo, además de

hacerlo de una manera más eficiente.

Los filtros activos en conexión paralelo permiten además la compensación

de corrientes desequilibradas en redes trifásicas y la compensación de

potencia reactiva. Al poder actuar sobre la potencia reactiva se convierte

en una futura variable de control para las redes de distribución que

también puede incrementar la eficiencia de la distribución eléctrica.

Los filtros activos son claramente una tecnología en auge que permitirá en

el futuro mejorar el rendimiento de las instalaciones eléctricas y por ello es

de interés optimizar su funcionamiento para poder utilizar de la manera

más eficiente posible los recursos disponibles.

Por último cabe destacar que el estudio de algoritmos de control para

filtros activos en conexión paralelo permite el avance de la tecnología de

los filtros activos en conexión serie, que también son de gran utilidad en

las redes de distribución de energía eléctrica.

PRESUPUESTO

ÍNDICE DE CONTENIDOS


Parte I Presupuesto ................................................................................... 3

Capítulo 1 Coste de ingeniería ....................................................................... 4

1 Horas de investigación...................................................................................... 4

2 Horas de diseño y simulación ......................................................................... 5

3 Horas de implementación hardware .............................................................. 6

4 Horas de otras tareas ......................................................................................... 7

5 Coste total de ingeniería ................................................................................... 8

Capítulo 2 Coste de material .......................................................................... 9

1 Programas de Software ..................................................................................... 9

2 Material de la universidad ............................................................................... 9

3 Hardware para la realización del proyecto ................................................. 10

4 Coste total de material .................................................................................... 12

Capítulo 3 Coste de los intereses en curso .................................................. 13

Capítulo 4 Coste total de ejecución del proyecto ...................................... 14

Parte I PRESUPUESTO

4

Capítulo 1 COSTE DE INGENIERÍA

En este Capítulo se estima el coste del proyecto en concepto de horas de

horas de ingeniería invertidas en su realización. El coste de la ingeniería se

divide en tres secciones

1 Horas de investigación

Gran parte de los esfuerzos de este proyecto se han destinado a la

búsqueda, lectura y síntesis de artículos, proyectos y tesis doctorales en los

cuales era tratado el problema de control que se ha abordado en el

proyecto. Por este hecho se ha dedicado una sección completa al estudio

del tiempo invertido. Las horas estimadas se muestran en la Tabla 1.

Parte del trabajo Horas estimadas

Búsqueda de artículos 10

Lectura de trabajos de investigación 60

Verificación y discusión de trabajos existentes 15

Clasificación de la información 3

Total 83

Tabla 1. Estimación de las horas invertidas en investigación

Para el tiempo empleado en la lectura de trabajos de investigación se ha

estimado un tiempo de treinta minutos por artículo y dos horas por tesis

doctoral, habiéndose revisado unos 90 artículos de investigación, de los

cuales se han incluido unos 40 en la bibliografía. El número de tesis de

investigación consultadas ha sido aproximadamente 10, de las cuales 4

están presentes en la bibliografía.

CAPÍTULO 1 – COSTE DE INGENIERÍA 5

2 Horas de diseño y simulación

Para el diseño y la simulación del sistema se ha invertido gran cantidad de

tiempo. Parte del mismo se ha destinado al aprendizaje del uso de

Simulink y Matlab, así como la implementación teórica de los sistemas de

control diseñados. Las horas estimadas se muestran en la Tabla 2.


Aprendizaje de la herramientas de diseño

Modelo del filtro activo

10

5

Control interno 10

Identificación de la planta

Filtro de Kalman

Ejes móviles

Control repetitivo

Control repetitivo adaptativo

Control integral en ejes móviles

Control selectivo

Adaptación del algoritmo de optimización

5

30

5

30

40

15

5

10

Modelo del filtro activo 5

Total 170

Tabla 2. Estimación de las horas de trabajo en simulación y diseño para las tecnologías

implementadas

Por otra parte también se comenzaron algunas líneas de investigación que

al final no dieron resultado. Las horas de diseño invertidas en estas líneas

de investigación que al final no llegaron a ser implementadas o que por

diferentes motivos se descartaron se ven retratadas en la Tabla 3.



Variación del periodo de muestreo 15

Filtros tipo peine 5

Identificación en tiempo real

Estimación de frecuencia con filtro selectivo

10

10

Filtro FIR para estabilizar el control repetitivo 15

Total 55

Tabla 3. Estimación de las horas de trabajo en simulación y diseño para las tecnologías descartadas

3 Horas de implementación hardware

Dentro de las horas de implementación hardware se incluyen las horas

que han sido dedicadas a la elección, montaje y verificación del buen

funcionamiento de la plataforma experimental sobre la que se han

probado los algoritmos de control. Estas horas se muestran en la Tabla 4.


Dimensionado de componentes 5

Soldaduras del amplificador de audio 15

Problemas con la tarjeta de adquisición

Montaje del prototipo

5

5

Otros problemas de implementación

Toma de medidas

2

15

Total 47

Tabla 4. Estimación de horas empleadas para la realización de la plataforma experimental

Además de la plataforma experimental de la cual se han tomado los datos

expuestos en este proyecto, a mediados del transcurso del proyecto se creó


una pequeña plataforma experimental para verificar el funcionamiento de

manera experimental de algunos de los algoritmos, aunque no de manera

rigurosa. Las horas invertidas se muestran en la Tabla 5.


Diseño del circuito

Montaje del prototipo

2

3

Problemas con la tarjeta 5

Prueba de algoritmos 10

Otros problemas de implementación 1

Total 21

Tabla 5. Estimación de horas utilizadas para una realización de una pre-plataforma experimental

4 Horas de otras tareas

Dentro de esta sección se computan las horas utilizadas para la realización

de documentos y creación de imágenes para correcta visualización de los

resultados. También se computa el tiempo utilizado para la realización de

un artículo de investigación fruto de los resultados de este proyecto. Los

resultados se muestran en la Tabla 6.


Memoria 30

Estudio económico 2

Artículo de investigación 10

Presentación de resultados 15

Total 47

Tabla 6. Estimación de las horas utilizadas para la realización de la documentación


5 Coste total de ingeniería

Los datos en horas estimadas se han desglosado en las Secciones 1, 2, 3 y 4

del presente Capítulo. Se supone un coste de hora de trabajo de ingeniero

de 12€, teniendo en cuenta el coste de la seguridad social. Los resultados

se muestran en la Tabla 7.

Programa Horas estimadas Coste estimado

Investigación 83 996

Diseño y simulación 225 2700

Implementación

Otras tareas

68

47

816

564

Total 423 5076

Tabla 7. Coste total de las horas de ingeniería.

9

Capítulo 2 COSTE DE MATERIAL

Dentro de los costes relacionados con el material utilizado se distinguen

dos grandes partes. La primera parte es el uso de los programas de

Sotfware y la amortización del material que ha sido prestado de la

universidad. La segunda parte es el coste monetario de los elementos de

hardware que han sido comprados exclusivamente para la realización del

proyecto.

1 Programas de Software

Los programas de Software utilizados poseen licencia de la Universidad

Pontificia Comillas, por tanto se toman como coste nulo. Los programas

utilizados se muestran en la Tabla 8.

Programas de Software Precio

Matlab (Toolbox incluidas) 0

Simulink 0

Microsoft Word, Visio y Power Point 0

InkScape

GSScript & GSView

0

0

Total 0

Tabla 8. Programas utilizados para la realización del proyecto

2 Material de la universidad

El material utilizado ha sido tomado del laboratorio de investigación para

la elaboración del primer prototipo y del laboratorio de electrónica de

potencia para la elaboración del segundo prototipo. Ambos laboratorios se

encuentran en la segunda planta de la ETSI del ICAI.

CAPÍTULO 2 – COSTE DE MATERIAL 10

El material utilizado se muestra en la Tabla 9. Se estima una amortización

del 5% para los ordenadores y para el resto de componentes electrónicos.

Elemento Cantidad Unitario Amortización Total

Ordenador 2 500 5% 50

Cable 60 0.20 5% 0.6

Reóstato

Bobina

Rectificador

Transformador

Autotransformador

Fuente conmutada

Sonda

Polímetro

Soldador

2

2

1

1

1

2

4

3

1

20

10

3

20

100

500

15

15

15

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

5%

2

1

0.15

1

5

50

3

2.25

0.75

Total - - - 115.75

Tabla 9. Material de la universidad utilizado en el proyecto

3 Hardware para la realización del proyecto

En esta Sección se computan los costes asociados a los componentes

electrónicos que han sido pedidos especialmente para la realización del

proyecto, que se muestran en la Tabla 10.

Las tarjetas de adquisición de datos aunque serán utilizados en posteriores

proyectos, se han computado completamente como gastos del proyecto

porque fueron pedidas de forma exclusiva.


Elemento Cantidad Unitario Coste

Tarjeta PCI 6229

Conector SHC-68

Terminales de tornillo SCB-68

Condensador electrolítico 1mF 63V

Condensador electrolítico 100uF 63V



Condensador papel 470nF 63V

1

2

2

2

2

2

2

1

749

99

279

0.73

0.18

0.13

0.07

0.06

749

198

558

1.46

0.36

0.26

0.14

0.06

Condensador papel 100nF 63V 2 0.06 0.12

Resistor 10kΩ

Resistor 22kΩ

Resistor 680Ω

Amplificador TDA7294*

Amplificador LF411

Cable

Bornas

Ventilador

Disipador

Placa de puntos

Tornillos, arandelas y similares

1

3

1

2

1

1

6

1

1

1

15

0.04

0.04

0.04

8.50

0.50

0.40

0.20

12

3

0.30

0.05

0.04

0.12

0.04

17

0.50

0.40

1.20

12

3

0.30

0.75

Total - - 1538.05

Tabla 10. Componentes utilizados exclusivamente para la realización del proyecto


* Se utilizaron dos amplificadores de audio por que el primero

implementado llegó al término de su vida útil por sobrecalentamiento.

4 Coste total de material

El coste total por material utilizado en el proyecto se calcula como la suma

de los costes de material calculados en las distintas secciones de este

Capítulo, y se muestra en la Tabla 11.

Sección Precio

Programas 0

Material de la universidad 115.75

Hardware 1538.05

Total 1653.80

Tabla 11. Coste total de los materiales del proyecto

13

Capítulo 3 COSTE DE LOS INTERESES EN

CURSO

Suponiendo un coste del dinero del 15% anual, podemos hallar el coste en

por mes usando la fórmula:

011715.015.0112

ii

Por tanto en 9 meses:

11.01011715.019

ii

Aplicando el interés al coste de ingeniería hallamos la estimación del coste

por los intereses en curso:

82.74011.0·80.6734 €

14

Capítulo 4 COSTE TOTAL DE EJECUCIÓN DEL

PROYECTO

En la Tabla 12 se muestra el coste total de la ejecución del proyecto,

desglosado según los cálculos realizados en los Capítulos 1, 2 y 3.

Coste de ingeniería 5076 €

Coste de material 1658.80 €

Coste de los intereses en curso 740.82 €

Coste total 7475.62 €

Tabla 12. Coste total del proyecto.

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