FIC UANL Mecnica Analtica

4I.- Esttica Estructuras en equilibrio Hibbeler 12 ed cap 6 Anlisis estructural

46.1 Armaduras simples 263

76.2 Mtodo de nodos 266

136.3 Elementos de fuerza cero 272

136.4 Mtodo de secciones 280

15II.- Esttica Estructuras en equilibrio Bedford Fawler cap 6 Anlisis estructural

156.2 Mtodo de las Juntas o nudos: Juntas especiales

176.3 Mtodo de las secciones

18III.- Esttica Estructuras en equilibrio Beer Jhonston cap 6 Anlisis de estructuras

196.2 Definicin de una armadura

206.3 Armaduras simples

206.4 Anlisis de armaduras mediante el mtodo de los nodos

246.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga

246.7 Anlisis de armaduras por el mtodo de secciones

I.- Esttica Estructuras en equilibrio Hibbeler 12 ed cap 6 Anlisis estructural: Objetivo: Mostrar cmo se determinan las fuerzas en los elementos de una armadura, por medio del mtodo de nodos y del mtodo de secciones.6.1 Armaduras simples 263Una armadura es una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre s en sus puntos extremos. Estos elementos usualmente son barras de madera o metlicas.

En particular, las armaduras planas se sitan en un solo plano y con frecuencia se usan para soportar techos y puentes. Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A Este tipo de soporte permite la expansin o la contraccin de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicacin de cargas.

Supuestos para el diseo. Para disear los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura est sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes:

1.- Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayora de las situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, este supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que la fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho ms grande que su peso, pero, si debe ser incluido en el anlisis, por lo general se aplica como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento.

2.- Los elementos estn unidos entre s mediante pasadores lisos. Por lo general, las conexiones de los nodos se forman con pernos soldando los extremos de los elementos a una placa de unin, o simplemente pasando un perno o pasador largo a travs de cada uno de los elementos, Podemos suponer que estas conexiones actan como pasadores siempre que las lneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes.

Cuando las armaduras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, comnmente se usa un soporte o rodillo para soportar un extremo, por ejemplo, el nodo A. Este tipo de soporte permite la expansin o la contraccin de los elementos debidas a los cambios de temperatura o a la aplicacin de cargas.

Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuar como un elemento de dos fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que acte en cada extremo del elemento debe estar dirigida a lo largo del eje del elemento. Si la fuerza tiende a alargar el elemento, es una fuerza de tensin (T); mientras que si tiende a acortar el elemento, es una fuerza de compresin (C). En el diseo real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de la fuerza es de tensin o de compresin. A menudo, los elementos a compresin deben ser ms gruesos que los elementos a tensin debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento est en compresin.Armadura simple. Si tres elementos se conectan entre s mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura triangular que ser rgida. Al unir dos elementos ms y conectar estos elementos a una nueva junta D, se forma una armadura ms grande. Este procedimiento puede repetirse todas las veces que se desee para formar una armadura an ms grande. Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular bsica, se denomina una armadura simple. 6.2 Mtodo de nodos 266

Para analizar o disear una armadura, es necesario determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el mtodo de nodos. Este mtodo se basa en el hecho de que toda la armadura est en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos tambin est en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre de cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener las fuerzas de los elementos que actan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos de dos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo est sometido a un sistema de fuerzas que es coplanar y concurrente.

En consecuencia, slo es necesario satisfacer Fx = 0 y Fy = 0 para garantizar el equilibrio.

Por ejemplo, considere el pasador situado en el nodo B de la armadura que aparece en la figura. Sobre el pasador actan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los elementos BA y BC. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura de la derecha.

Aqu, FBA est jalando el pasador, lo que significa que el elemento BA est en tensin; mientras que FBC est empujando el pasador, y en consecuencia, el miembro BC est en compresin. Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeos segmentos del elemento conectado al pasador. El jaln o el empujn sobre esos pequeos segmentos indican el efecto del elemento que est en compresin o en tensin.

Cuando se usa el mtodo de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. De esta manera, la aplicacin de Fx = 0 y Fy = 0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las cuales se pueden despejar las dos incgnitas. Al aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles mtodos.

1 por inspeccin. Por ejemplo, FBC en la figura b) debe empujar sobre el pasador (compresin) ya que su componente horizontal, FBC sen45, debe equilibrar la fuerza de 500 N (Fx = 0). De la misma manera, FBA es una fuerza de tensin ya que equilibra a la componente vertical, FBC cos45 (Fy = 0). En casos ms complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse; luego, despus de aplicar las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a partir de los resultados numricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir.

2 Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que actan en el diagrama de cuerpo libre del nodo estn en tensin; es decir, las fuerzas jalan el pasador. Si se hace as, entonces la solucin numrica de las ecuaciones de equilibrio darn escalares positivos para elementos en tensin y escalares negativos para elementos en compresin. Una vez que se encuentre la fuerza desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.

6.3 Elementos de fuerza cero 2726.4 Mtodo de secciones 280Cuando necesitamos encontrar la fuerza en slo unos cuantos elementos de una armadura, sta puede analizarse mediante el mtodo de secciones. Este mtodo se basa en el principio de que si la armadura est en equilibrio, entonces cualquier segmento de la armadura est tambin en equilibrio.Por ejemplo, considere la armadura que se muestra en la figura 6-15a. Si se deben determinar las fuerzas en los elementos BC, GC y GF, la seccin a-a podra ser apropiada. Los diagramas de cuerpo libre de las dos partes se muestran en las figuras 6-15b y 6-15c. Observe que la lnea de accin de cada fuerza del elemento se especifica a partir de la geometra de la armadura, ya que la fuerza en un elemento pasa a lo largo de su eje. Adems, las fuerzas del elemento que actan sobre una parte de la armadura son iguales pero opuestas a las que actan sobre la otra partetercera ley de Newton. Se supone que los elementos BC y GC estn en tensin puesto que se encuentran sometidos a un jaln, mientras que

GF est en compresin porque se encuentra sometido a un empujn.

II.- Esttica Estructuras en equilibrio Bedford Fawler cap 6 Anlisis estructural 6.2 Mtodo de las Juntas o nudos: Juntas especialesAl determinar las fuerzas axiales en las barras de una armadura, el trabajo se simplifica si se est familiarizado con tres tipos de juntas.

1.- Juntas de armaduras con dos barras colineales y sin carga (. La suma de las fuerzas debe ser cero, T1 = T2. Las fuerzas axiales son iguales.

2.- Juntas de armaduras con dos barras no colineales y sin carga. Como la suma de las fuerzas en x debe ser cero, T2 = 0. Por tanto, T1 tambin debe ser cero. Las fuerzas axiales son cero. 3.- Juntas de armaduras con tres barras, dos de ellas colineales, y sin carga. Como la suma de las fuerzas en la direccin x debe ser cero, T3 = 0. La suma en la direccin y debe ser cero, por lo que T1 = T2. Las fuerzas axiales en las barras colineales son iguales y la fuerza axial en la tercera barra es cero.Mtodo de las juntas para determinar las fuerzas axiales en las barras de una armadura.

1. Determinar las reacciones en los soportes. Por lo general se requiere dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determinar las reacciones en sus soportes.

2. Identificar juntas especiales. Examine la armadura para ver si tiene alguno de los tipos de juntas analizadas en la lista anterior. Aunque no es esencial, este paso puede simplificar la solucin.

3. Analizar las juntas. Dibuje diagramas de cuerpo libre de las juntas y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Escoja juntas que contengan no ms de dos fuerzas desconocidas.

6.3 Mtodo de las secciones

Cuando solo se requiere conocer las fuerzas axiales en ciertas barras de una armadura, es ms rpido determinarlas con el mtodo de las secciones que con el de las juntas. Consideremos de nuevo la armadura Warren que usamos para presentar el mtodo de las juntas. La armadura est cargada en B y D, cada barra tiene 2 m de longitud, y queremos determinar la fuerza axial en la barra BC.

Como en el mtodo de las juntas, empezamos por dibujar el diagrama de cuerpo libre de la armadura entera y determinamos las reacciones en los soportes. Los resultados de este paso se muestran en la figura b) El siguiente paso es cortar las barras AC, BC y BD para obtener un diagrama de cuerpo libre de una parte, o seccin, de la armadura (Fig. 6.21). Sumando momentos respecto al punto B, las ecuaciones de equilibrio para la parte izquierda son

Fx = TAC + TBD + TBC cos60 = 0,

Fy = 500 - 400 - TBC sen60 = 0,

M (punto B) = TAC (2 sen60) - (500)(2 cos60) = 0.

Al resolverlas obtenemos TAC = 289 N, TBC = 115 N y TBD = -346 N.

Se puede ver cun similar es este mtodo al mtodo de las juntas. Ambos implican cortar barras para obtener diagramas de cuerpo libre de las partes de una armadura. En el mtodo de las juntas se avanza de junta en junta, dibujando diagramas de cuerpo libre y determinando las fuerzas axiales en las barras. En el mtodo de las secciones se trata de obtener un solo diagrama de cuerpo libre que nos permita determinar las fuerzas axiales en ciertas barras especficas. En nuestro ejemplo obtuvimos un diagrama de cuerpo libre cortando tres barras, incluida aquella

(barra BC) cuya fuerza axial queremos determinar.

En contraste con los diagramas de cuerpo libre de juntas, las fuerzas sobre los diagramas de cuerpo libre usados en el mtodo de las secciones no suelen ser concurrentes y (como en nuestro ejemplo) se pueden obtener tres ecuaciones de equilibrio independientes. Aunque hay excepciones, por lo general se deben escoger secciones que corten no ms de tres barras, porque de lo contrario se tendrn ms fuerzas axiales desconocidas que ecuaciones de equilibrio.III.- Esttica Estructuras en equilibrio Beer Jhonston cap 6 Anlisis de estructuras

Los problemas considerados en los captulos anteriores estuvieron relacionados con el equilibrio de un solo cuerpo rgido y todas las fuerzas involucradas eran externas a este ltimo. A continuacin se estudian problemas que tratan sobre el equilibrio de estructuras formadas por varias partes que estn conectadas entre s. Estos problemas, adems de determinar las fuerzas externas que actan sobre la estructura, implican calcular las fuerzas que mantienen unidas a las diversas partes que la constituyen. Desde el punto de vista de la estructura como un todo, estas fuerzas son fuerzas internas.6.2 Definicin de una armadura

Una armadura consta de elementos rectos que se conectan en nodos. Los elementos de la armadura slo estn conectados en sus extremos; por tanto, ningn elemento contina ms all de un nodo. Por ejemplo, en la figura 6.2a no existe un elemento AB, en su lugar existen dos elementos distintos AD y DB. La mayora de las estructuras reales estn hechas a partir de varias armaduras unidas entre s para formar una armadura espacial. Cada armadura est diseada para soportar aquellas cargas que actan en su plano y, por tanto, pueden ser tratadas como estructuras bidimensionales. 6.3 Armaduras simples

6.4 Anlisis de armaduras mediante el mtodo de los nodosLa armadura, cuyo diagrama de cuerpo libre se muestra, se puede desarmar y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada perno y para cada elemento. Cada elemento est sometido a la accin de dos fuerzas, una en cada uno de sus extremos; estas fuerzas tienen la misma magnitud, la misma lnea de accin y sentidos opuestosComo las lneas de accin de todas las fuerzas internas en una armadura son conocidas, el anlisis de una armadura se reduce a calcular las fuerzas en los elementos que la constituyen y a determinar si cada uno de dichos elementos est en tensin o en compresin.Los otros polgonos de fuerzas en la figura 6.8 se dibujaron de la misma forma, por ello se pueden reunir en un solo diagrama, como se ilustra en la figura 6.10.

6.5 Nodos bajo condiciones especiales de carga 6.7 Anlisis de armaduras por el mtodo de seccionesEl mtodo de los nodos es el ms eficiente cuando se deben determinar las fuerzas en todos los elementos de una a madura. pero, si slo se desea encontrar la fuerza en un elemento o en un nmero muy reducido de elementos, el mtodo de secciones es el ms eficiente.Su ponga que se desea de terminar la fuerza en el elemento BD de la arma dura que se muestra en la figura Para llevar a cabo esta tarea, se debe determinar la fuerza con la cual el elemento BD acta sobre el nodo B o sobre el nodo D. Si se utilizara el mtodo de los nodos, se seleccionara al nodo B o al nodo D como el cuerpo libre.En el mtodo de las secciones, la porcin de la arma dura que debe utilizarse se obtiene pasando una seccin a travs de tres elementos, de los cuales uno debe ser el elemento deseado, esto es, dicha porcin se obtiene dibujando una lnea que divida a la armadura en dos partes completamente separadas pero que no interseque a ms de tres elementos. Cualquiera de las dos porciones de la armadura que se obtenga despus de que los elementos intersecados han sido removidos puede utilizarse como el cuerpo libre.En la figura se ha pasado la seccin n-n a travs de los elementos BD, BE y CE y se ha seleccionado la porcin ABC de la armadura como el cuerpo libre. Las fuerzas que actan sobre el diagrama de cuerpo libre son las cargas P1 y P2 que estn aplicadas en los pun tos A y B y las tres fuerzas desconocidas FBD, FBE y FCE.

Como no se sabe si los elementos removidos estaban en tensin o compresin, de manera arbitraria se dibujaron las tres fuerzas alejndose del cuerpo libre como si los elementos estuvieran en tensin.

El hecho de que el cuerpo rgido ABC est en equilibrio se puede expresar con tres ecuaciones, las cuales pueden resolverse para encontrar tres fuerzas desconocidas. Si slo se desea determinar la fuerza FBD, slo se necesita escribir una ecuacin, siempre y cuando dicha ecuacin no contenga a las otras incgnitas. Por tanto, la ecuacin ME = 0 proporciona el valor de la magnitud FBD de la fuerza FBDPgina 22 de 22