Comparación entre el cociente de ángulo/distancia y el cociente

360grados/C donde C es la circunferencia de la Tierra.

Distancia entre dos sitios (sobre un mismo meridiano) y diferencia de ángulos, cuando en ninguno de los

sitios el Sol esta en el cenit.

Y

Autor: Carlos Miguel García Rosas

• Esta presentación te servirá para poder calcular la distancia entre dos ciudades a diferentes latitudes, por medio de la comparación que existe entre el cociente de ángulo/distancia y el cociente 360 grados/C donde C es la circunferencia de la Tierra.

Demostración de la formula para la comparación entre el cociente de ángulo/distancia y el cociente 360grados/C donde C es la circunferencia de la Tierra. Supongamos que el círculo que representa le perímetro de la Tierra. Entonces sabemos que aproximadamente su perímetro es de 40000km.

Sea ϕ1 la latitud la ciudad 1 y ϕ2 la latitud de la ciudad 2. La diferencia de latitudes la podemos escribir como: ϑ= ϕ1-ϕ2.

L

θ

Pero antes tenemos que calcular el radio de la tierra. Perímetro de la circunferencia = 2πr40000km=2πr Despejando r nos queda r= 40000km/2πEntonces r= 20000km/π

Ahora sabemos como esta denotado el radio de la tierra.

La longitud de arco esta dado por la fórmula L= ϑ r ----- 1

Donde ϑ es la diferencia de latitudes previamente definida.

Recuerda que ϑ esta medido en radianes y no en grados que es lo que queremos entonces haremos la siguiente conversión:ϑ= (ϕ1-ϕ2)π/180

Ahora sustituimos el valor de ϑ ya en radianes y el valor del radio en la ecuación 1, nos queda:

L= (ϕ1-ϕ2)π . 20000km 180 π

Simplificando nos queda

L= 1000(ϕ1-ϕ2) 9

Con esta fórmula resulta fácil calcular la distancia en la que se encuentran dos ciudades, siempre y cuando estén en la misma longitud geográfica.

• Supongamos que sobre la superficie de la Tierra en un lugar donde no hay montan as ̃�tenemos dos sitios separados por una distancia de 100 km. ¿A qué ángulo corresponde dicha distancia?

• Para calcular el ángulo sólo tenemos que recordar que la circunferencia de la Tierra (a la que suponemos de 40000km para visualizar mejor el procedimiento) es equivalente a 360º. Entonces, la equivalencia entre un ángulo α y una distancia d la encontramos empleando la ecuación.

θ/360º= d/40000 ----2• En nuestro caso necesitamos saber el ángulo,

entonces lo despejamos en la ecuación anterior

θ=(360º x d)/40000

• Sustituyendo d = 100 km tenemos que • θ = (360◦ × 100km)/40000km• lo cual es θ= 0,9◦ = 54 es decir, una distancia ′

de 100 km representa una diferencia en ángulos un poco menor a un grado.

• Con la ecuación dos también se puede calcular la distancia en la que se encuentran dos ciudades, siempre y cuando estén en la misma longitud geográfica

Ejemplo

Las ciudades de Mc Allen, Texas (Estados Unidos) y Puebla (México) están ambas aproximadamente en longitudes geográficas de 98◦. Se sabe que la circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40000 km y para hacer una estimación en este ejercicio vamos a usar Este valor. Si Mc Allen está a una latitud de 26◦ y Puebla a una latitud de 19◦ ¿cuál es la distancia entre estas ciudades?

Solución • Usando la ecuación 1 L= 1000(ϕ1-ϕ2) 9• Sustituyendo ϕ1 por 26º y ϕ2 por 19º, nos queda:L= 1000(26º-19º) 9L= 777.777km

Lo cual nos indica que hay una distancia de 777.77 km entre las dos ciudades.